DE10154200C9 - Verfahren zum Erzeugen wenigstens einer Folge von an Zahlenfolgen eines 1/f-Rauschens angenäherten Zufallszahlen - Google Patents
Verfahren zum Erzeugen wenigstens einer Folge von an Zahlenfolgen eines 1/f-Rauschens angenäherten ZufallszahlenInfo
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Abstract
Ein Verfahren zum Erzeugen einer Folge von an Zahlenfolgen eines 1/f-Rauschens angenäherten Zufallszahlen beruht auf der Verwendung (0,1)-normalverteilter Zufallszahlen. Mit der Erfindung ist eine Erzeugung von beliebig langen Folgen von Zufallszahlen möglich, die eine gute Näherung an Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens darstellen. Die Rechenzeit zur Bestimmung solcher Zufallszahlenfolgen wird durch das erfindungsgemäße Verfahren begrenzt.
Description
Beschreibung
[0001] Verfahren zum Erzeugen wenigstens einer Folge von an Zahlenfolgen eines 1/f-Rauschens angenäherten Zufallszahlen
[0002] Die Erfindung betrifft ein Verfahren zum Erzeugen wenigstens einer Folge von an Zahlenfolgen eines 1/f-Rauschens
angenäherten Zufallszahlen.
[0003] Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens können beispielsweise bei einer transienten Schaltkreissimulation eingesetzt
werden, die Rauscheinflüsse berücksichtigt. Unter einem 1/f-Rauschen wird ein stochastischer Prozeß mit einen bestimmten
Frequenzspektrum verstanden, das mit der Gleichung
ι
beschrieben werden kann.
[0004] 1/f-Rauschquellen eignen sich zur Modellierung von Rauscheinflüssen in einer Vielzahl technischer und physikalischer
Systeme sowie für Systeme zur Einschätzung und Vorhersage von Geschehnissen auf den Finanzmärkten. Insbesondere
weisen viele elektronische Bauelemente, wie beispielsweise pn-Dioden und MOS-Feldeffekttransistoren, 1/f-Rauschquellen
auf.
[0005] Aus der DE 100 01 124 Cl ist eine Schaltungsanordnung sowie ein Verfahren zur Reduktion des 1/f-Rauschens von MOSFETs in einer elektronischen Schaltung insbesondere in einer integrierten Schaltung bekannt, die mindestens einen MOSFET aufweist. Dabei ist einem, mehreren oder allen MOSFETs mindestens eine Gleichspannungsquelle zur Einstellung eines oder mehrerer konstanter Arbeitspunkte des bzw. der MOSFETs zugeordnet.
[0005] Aus der DE 100 01 124 Cl ist eine Schaltungsanordnung sowie ein Verfahren zur Reduktion des 1/f-Rauschens von MOSFETs in einer elektronischen Schaltung insbesondere in einer integrierten Schaltung bekannt, die mindestens einen MOSFET aufweist. Dabei ist einem, mehreren oder allen MOSFETs mindestens eine Gleichspannungsquelle zur Einstellung eines oder mehrerer konstanter Arbeitspunkte des bzw. der MOSFETs zugeordnet.
[0006] Die US-A-5 719 784 zeigt eine Vorrichtung und ein Verfahren zur Analyse aus Gewebeproben gewonnenen
Daten, die in Frequenzspektren vorliegen. Die nicht zufällige Natur von Zeil- und Gewebemikrostrukturen entspricht dabei
angeblich einem 1/f-Rauschen. In der US-A-5 719 784 wird explizit ausgesagt, daß keine mathematischen Modelle
zur Erzeugung von 1/f-Rauschen bekannt sind.
[0007] Aus der US 6 188 294Bl ist ein Verfahren bekannt, bei dem weißes Rauschen differential in eine Verstärkungsstufe
gekoppelt wird. Dabei wird das weiße Rauschen mit einem Verstärker, der ein erstes Signal mit einem weißen
Rauschen erzeugt, differential verstärkt. Die 1/f-Anteile des Rauschens sowie eine vorhandene Verschiebungsspannung
werden im wesentlichen von diesem ersten Signal entfernt, wodurch ein zweites Signal mit einem weißen Rauschen entsteht.
Dann wird ein Zufallsfolgensignal erzeugt, indem entschieden wird, ob das erzeugte zweite Signal jeweils die
Werte von Null oder Eins annimmt.
[0008] Die US 6 081 228 A offenbart ein Verfahren zum Schätzen der Komponente des Phasenrauschens in einem
GPS-Empfänger, die dann vor dem Verfolgen jedes Satelliten entfernt werden kann. Die US 6 081 228 A offenbart auch
ein Verfahren zum Reduzieren des Phasenrauschens in einem vielkanaligen Radioempfänger, bei dem die Vielzahl der
Empfängerkanäle ein Taktsignal von einer Sourceschaltung ableiten.
[0009] Es ist Aufgabe der Erfindung, ein Verfahren zum Erzeugen einer beliebig langen Folge von Zufallszahlen anzugeben,
die an Folgen von Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens angenähert ist, wobei das Verfahren schnell und mit geringem
für lange Zahlenfolgen nicht über die Maßen anwachsenden Rechenaufwand durchgeführt werden kann. Es ist
weiterhin Aufgabe der Erfindung, ein verbessertes Verfahren zur Simulation eines technischen Systems anzugeben, das
einem 1/f-Rauschen unterliegt. Schließlich soll auch ein Computersystem mit einem Computerprogramm zum Bestimmen
von Folgen von an Zahlenfolgen eines 1/f-Rauschens angenäherten Zufallszahlen angegeben werden, das schnell
ausgeführt werden kann und das nur wenig Ressourcen eines Computersystems beansprucht.
[0010] Diese Aufgabe wird durch den Gegenstand des unabhängigen Patentanspruchs gelöst. Vorteilhafte Weiterbildüngen ergeben sich aus den jeweiligen Unteransprüchen.
[0010] Diese Aufgabe wird durch den Gegenstand des unabhängigen Patentanspruchs gelöst. Vorteilhafte Weiterbildüngen ergeben sich aus den jeweiligen Unteransprüchen.
[0011] Gemäß der Erfindung wird das Problem der Rauschsimulation bei der Modellierung des zu simulierenden Systems
in das Problem der Generierung einer Zufallszahlen-Sequenz überführt. Dabei werden die Korrelationen dieser
Zufallszahlen bestimmt und zu einer einfachen und genauen Generierung der Zufallszahlen-Sequenzen verwendet.
[0012] Das erfindungsgemäße Verfahren zum Erzeugen wenigstens einer Folge von Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens sieht dabei zunächst die folgenden Schritte vor:
[0012] Das erfindungsgemäße Verfahren zum Erzeugen wenigstens einer Folge von Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens sieht dabei zunächst die folgenden Schritte vor:
- Bestimmen eines gewünschten Spektralwerts ß,
- Bestimmen einer Intensitätskonstante const.
[0013] Dadurch werden die Charakteristika des zu simulierenden 1/f-Rauschens festgelegt.
[0014] Danach wird die Anzahl der zu erzeugenden Zufallszahlen, die an Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens angenähert
sind, ein Startwert für eine zur Simulation benutzten Laufvariablen η sowie ein Wert für eine Fenstergröße d festgelegt.
[0015] Die Erfindung sieht solange, bis die gewünschte Anzahl von Elementen y(n) eines oder mehrerer Vektoren y der Länge η aus 1/f-verteilten Zufallszahlen berechnet ist, das schleifenartige Wiederholen von Schritten vor. Die ersten zwei dieser schleifenartig zu wiederholenden Schritte sind der Schritt des Erhöhens des aktuellen Werts der Laufvariablen η um den Wert 1 sowie der Schritt des Festlegens eines Simulationszeitschrittes [tn_i; tj.
[0015] Die Erfindung sieht solange, bis die gewünschte Anzahl von Elementen y(n) eines oder mehrerer Vektoren y der Länge η aus 1/f-verteilten Zufallszahlen berechnet ist, das schleifenartige Wiederholen von Schritten vor. Die ersten zwei dieser schleifenartig zu wiederholenden Schritte sind der Schritt des Erhöhens des aktuellen Werts der Laufvariablen η um den Wert 1 sowie der Schritt des Festlegens eines Simulationszeitschrittes [tn_i; tj.
[0016] Die restlichen, schleifenartig zu wiederholenden Verfahrensschritte sind von dem Wert der Laufvariablen η abhängig.
Vor jedem schleifenartigen Durchlauf der Verfahrensschritte wird geprüft, ob der Wert der Laufvariablen η kleiner
oder größer als der festgelegte Wert der Fenstergröße d ausgebildet ist. Für den Fall (n
< d) bzw. (n > d) werden danach jeweils unterschiedliche Verfahrensschritte vorgesehen.
[0017] Im folgenden wird zur Vereinfachung der Notation folgende Indizierung der Teilmatrizen und Teilvektoren vorgenommen:
Die Indizierung bezieht sich auf die dazugehörigen Zeitpunkte und beginnt damit bei Teilmatrizen und Teil-
vektoren im Fall (η > d) nicht mit 1. Beispielsweise ist ein d-dimensionaler Vektor mit (n - d + 1), (n - d + 2), . . ., η indiziert.
Das n-te Element ist das mit η indizierte Element, also die letzte Komponente des d-dimensionalen Vektors. Analoges
gilt für Teilmatrizen.
[0018] Für den Fall (n < d) werden die folgenden Schritte schleifenartig wiederholt:
[0018] Für den Fall (n < d) werden die folgenden Schritte schleifenartig wiederholt:
- Bestimmen der Elemente Cy einer Covarianzmatrix C(n) der Dimension (n X n) nach der folgenden Vorschrift:
C . : = const ■ I -
ß+l | "l· | ί.,-t. | 0+1 | t -t , | — | |
J-I ι | / /-I | |||||
J ι | ||||||
0+1
- Bestimmen der invertierten Covarianzmatrix
M = S(n)
der Dimension (n X n),
- Bestimmen einer Größe O gemäß der Vorschrift
G = sqrt(l/e(n, n)),
wobei sqrt die Funktion "Quadratwurzel" und wobei e(n, n) das durch (n, n) indizierte Element der invertierten Covarianzmatrix
B(n) bezeichnet,
- Bestimmen einer (0, l)-normalverteilten Zufallszahl, die die n-te Komponente eines Vektors χ der Länge η bildet,
- Bilden einer Größe μ aus den ersten (n - 1) Komponenten der η-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix B(n)
und den (n - 1) Elementen des Vektors y, die für einen vorausgehenden (n - 1) Simulations-Zeitschritt berechnet
wurden, und zwar gemäß der folgenden Vorschrift:
wobei y(n-i) die ersten (n - 1) Komponenten des Vektors y bezeichnet, wobei B.jn die ersten (n - 1) Komponenten
der η-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix B(n) bezeichnet und wobei BnjI1 das mit (n, n) indizierte Element
der invertierten Covarianzmatrix B(n) bezeichnet,
- Berechnen eines Elements y(n) eines Vektors y der Länge η aus 1/f-verteilten Zufallszahlen nach folgender Vorschrift:
Y(n) = x(n) · σ + μ
[0019] Für den Fall (n > d) erfolgt das schleifenartige Wiederholen der folgenden Schritte:
[0019] Für den Fall (n > d) erfolgt das schleifenartige Wiederholen der folgenden Schritte:
- Bestimmen der Elemente Cy einer Covarianzmatrix C(n) der Dimension (d χ d) nach der folgenden Vorschrift:
C : = const ■ | -
0+1
■l\...,n
0+1
0+1
- Bestimmen der invertierten Covarianzmatrix
£-χ(τι) = B (η)
der Dimension (d X d),
- Bestimmen einer Größe σ gemäß der Vorschrift
G = sqrt(l/e(n, n)),
wobei sqrt die Funktion "Quadratwurzel" und wobei e(n, n) das durch (n, n) indizierte Element der invertierten Covarianzmatrix
B(n) bezeichnet,
- Bestimmen einer (0, l)-normalverteilten Zufallszahl, die die n-te Komponente eines Vektors χ der Länge η bildet,
- Bilden einer Größe μ aus den ersten (d - 1) Komponenten der η-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix B(n)
und den letzten (d - 1) Elementen des Vektors y, die für einen vorausgehenden (n - 1) Simulations-Zeitschritt berechnet
wurden, und zwar gemäß der folgenden Vorschrift:
wobei y(n-i) die letzten (d - 1) Komponenten des Vektors y bezeichnet, wobei Β.ΐΠ die ersten (d - 1) Komponenten
der η-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix B(n) bezeichnet und wobei Bnn das mit (n, n) indizierte Element
der invertierten Covarianzmatrix B(n) bezeichnet,
- Berechnen eines Elements y(n) eines Vektors y der Länge η aus 1/f-verteilten Zufallszahlen nach folgender Vorschrift:
Y(n) = x(n) · σ + μ
[0020] Ein Grundgedanke der vorliegenden Erfindung liegt darin, ein Verfahren bereitzustellen, mit dem Sequenzen
von an 1/f-verteilte Zufallszahlen angelehnten Zufallszahlen sukzessive, also Element für Element, generiert werden
können. Dabei stellt das Verfahren sicher, daß jede neu generierte Zufallszahl auf korrekte Weise im stochastischen Sinne
von den zuvor generierten an 1/f-verteilten Zufallszahlen angelehnten Zufallszahlen abhängt. Dadurch ist es möglich im
Verlauf der numerischen Simulation eines Schaltkreises die jeweils benötigten Zufallszahlen zu erzeugen.
[0021] Ein weiterer Grundgedanke der Erfindung besteht darin, die Dimension der zur Erzeugung der Zufallszahlen benötigten Covarianzmatrix C (n) und deren Inversen B(n) auf den Wert einer vorgebbaren Fenstergröße d zu begrenzen und somit die Rechenzeit des erfindungsgemäßen Verfahrens im Rahmen zu halten. Diesen Gedanken liegt die Erkenntnis zugrunde, daß der Aufwand zum Aufstellen und Invertieren der Covarianzmatrix C (n) wenigstens quadratisch mit der Anzahl der zu berücksichtigenden Zeitschritte anwächst. Bei fehlender Begrenzung der Dimension der Covarianzmatrix C (n) und deren Inversen B(n) wächst der Rechenaufwand für lange Simulationsintervalle, wie sie beispielsweise zur Simulation von Phasenregelkreisen bzw. "Phase Locked Loops" notwendig sind, auf eine unverhältnismäßige Größe an, so daß eine transiente Rauschsimulation über den gewünschten Zeitraum unmöglich wird. Durch die Beschränkung des Anwachsens der Covarianzmatrix C(n) und deren Inversen B(n) werden vorteilhafterweise die zur Simulation von 1/f-Rauschquellen notwendige Rechenzeit sowie der benötigte Speicherbedarf beschränkt.
[0022] Mit dem erfindungsgemäßen Verfahren wird dementsprechend eine beliebig lange Simulation von technischen System gewährleistet. Ausgehend von bereits generierten 1/f-verteilten Zufallszahlen können auf einfache Weise zusätzliche 1/f-verteilte Zufallszahlen generiert werden. Dabei ist es möglich, eine Simulation auf den Ergebnissen von zuvor simulierten Zeitintervallen aufzusetzen. Diese sogenannte Restart-Fähigkeit stellt eine für die Simulationspraxis sehr wichtige Eigenschaft dar. Gerade für 1/f-Rauschquellen ist dies nur schwierig zu erreichen, weil Zufallszahlen, die eine 1/f-Rauschquelle für ein gewisses Zeitintervall simulieren, von bereits numerisch bestimmten Zufallszahlen früherer Zeitintervalle abhängen.
[0021] Ein weiterer Grundgedanke der Erfindung besteht darin, die Dimension der zur Erzeugung der Zufallszahlen benötigten Covarianzmatrix C (n) und deren Inversen B(n) auf den Wert einer vorgebbaren Fenstergröße d zu begrenzen und somit die Rechenzeit des erfindungsgemäßen Verfahrens im Rahmen zu halten. Diesen Gedanken liegt die Erkenntnis zugrunde, daß der Aufwand zum Aufstellen und Invertieren der Covarianzmatrix C (n) wenigstens quadratisch mit der Anzahl der zu berücksichtigenden Zeitschritte anwächst. Bei fehlender Begrenzung der Dimension der Covarianzmatrix C (n) und deren Inversen B(n) wächst der Rechenaufwand für lange Simulationsintervalle, wie sie beispielsweise zur Simulation von Phasenregelkreisen bzw. "Phase Locked Loops" notwendig sind, auf eine unverhältnismäßige Größe an, so daß eine transiente Rauschsimulation über den gewünschten Zeitraum unmöglich wird. Durch die Beschränkung des Anwachsens der Covarianzmatrix C(n) und deren Inversen B(n) werden vorteilhafterweise die zur Simulation von 1/f-Rauschquellen notwendige Rechenzeit sowie der benötigte Speicherbedarf beschränkt.
[0022] Mit dem erfindungsgemäßen Verfahren wird dementsprechend eine beliebig lange Simulation von technischen System gewährleistet. Ausgehend von bereits generierten 1/f-verteilten Zufallszahlen können auf einfache Weise zusätzliche 1/f-verteilte Zufallszahlen generiert werden. Dabei ist es möglich, eine Simulation auf den Ergebnissen von zuvor simulierten Zeitintervallen aufzusetzen. Diese sogenannte Restart-Fähigkeit stellt eine für die Simulationspraxis sehr wichtige Eigenschaft dar. Gerade für 1/f-Rauschquellen ist dies nur schwierig zu erreichen, weil Zufallszahlen, die eine 1/f-Rauschquelle für ein gewisses Zeitintervall simulieren, von bereits numerisch bestimmten Zufallszahlen früherer Zeitintervalle abhängen.
[0023] Die vorliegende Erfindung gestattet auch die Verwendung einer adaptiven Schrittweitensteuerung, ohne daß
hierdurch die Rechenzeiten zur Simulation eines technischen Systems signifikant erhöht werden. Eine solche adaptive
Schrittweitensteuerung steigert die Präzision und die Rechenzeiteffizienz bei der numerischen Bestimmung der Dynamik
eines simulierten technischen Systems erheblich. Durch das Vorsehen von variablen Schrittweiten kann auch eine Adaption
an aktuelle Systemdynamiken erfolgen, was die Genauigkeit der Simulationen erhöht.
[0024] Die Erfindung verwendet die Theorie bedingter Wahrscheinlichkeitsdichten, um eine 1/f-verteilte Zufallszahl
zu erzeugen, die den stochastischen Zusammenhang dieser Zufallszahl mit den bereits erzeugten und für vorangegangene
Simulationsschritte benötigten Zufallszahlen sicherstellt.
[0025] In einer besonders vorteilhaften Ausgestaltung des erfindungsgemäßen Verfahrens wird die invertierte Covarianzmatrix B(n) nicht bei jeder schleifenartigen Wiederholung der betreffenden Verfahrensschritte vollständig neu berechnet, sondern die bereits ermittelten Ergebnisse zur Berechnung der Covarianzmatrix C(n — 1) sowie der invertierten Covarianzmatrix B(n - 1) herangezogen. ~~
[0025] In einer besonders vorteilhaften Ausgestaltung des erfindungsgemäßen Verfahrens wird die invertierte Covarianzmatrix B(n) nicht bei jeder schleifenartigen Wiederholung der betreffenden Verfahrensschritte vollständig neu berechnet, sondern die bereits ermittelten Ergebnisse zur Berechnung der Covarianzmatrix C(n — 1) sowie der invertierten Covarianzmatrix B(n - 1) herangezogen. ~~
[0026] Dabei werden anstelle des Schritts des Bestimmens der invertierten Covarianzmatrix C'^n) = B(n) der Dimension
(d X d) die folgenden Schritte vorgesehen:
- Bestimmen eines Vektors ci2T(n - 1) und einer Matrix C22(n - 1) aus der Covarianzmatrix C(n - 1):
Dabei ist cn(n - 1) das mit (n - d + 1, η - d + 1) indizierte Element von C(n - 1), also das Element links oben. ci2T(n
- 1) ist der Vektor bestehend aus den letzten (d - 1) Elementen der mit (n - d + 1) indizierten Zeile von C (n - 1), also
der obersten Zeile. C22(n - 1) ist die rechte untere Teilmatrix der Dimension (d - 1) X (d - 1) von C(rT- 1).
- Bestimmen der invertierten Covarianzmatrix C^n - 1) = B(n - 1) der Dimension (d X d) DabeFist B(n - 1) bereits
aus dem vorangegangenen Schritt bekannt.
- Bestimmen des Vektors bi2(n - 1) und der Matrix B22(n - 1) aus der invertierten Covarianzmatrix B(n - 1)
bu(n-l)
Dabei ist bu(n - 1) das mit (n - d + 1, η - d + 1) indizierte Element von B(n - 1), also das Element links oben. bi2 T(n
- 1) ist der Vektor bestehend aus den letzten (d - 1) Elementen der mit (n - d + 1) indizierten Zeile von B(n - 1), also
der obersten Zeile. B22(n - 1) ist die rechte untere Teilmatrix der Dimension (d - 1) X (d - 1) von B(n - 1).
- Bestimmen der invertierten Matrix C22^n - 1) nach folgender Vorschrift:
C22-1Cn - 1) = (Id-i - b12(n - l)c12 T(n - I))"1 · B22(n - 1)
wobei I<j_i die Einheitsmatrix der Dimension ((d - 1) X (d - I)) darstellt,
- Bestimmen der invertierten Covarianzmatrix B(n) der Dimension (d X d) unter Verwendung der invertierten Matrix
C22^n - 1) mittels Schurkomplementtechniken.
[0027] Durch diese Ausführungsform der Erfindung wird eine mit steigender Dimension der Covarianzmatrix C(n)
sehr rechenzeitintensive, explizite Neuberechnung der invertierten Covarianzmatrix B(n) für jeden Wert der Laufvariable
η vermieden. Anstelle dessen wird die invertierte Covarianzmatrix B(n) unter Verwendung von dem Fachmann bekannten
Schurkomplementtechniken ermittelt, wobei auf die bereits ermittelten Größen C22(n - 1), Ci2 T(n - 1), C 22 ~l(n -1)>
B22(n - 1), bi2 T(n - 1) zurückgegriffen wird.
[0028] Mit Hilfe der Sherman-Morrison-Woodbury-Formel kann die invertierte Teilmatrix C22^n - 1) ohne explizite
Invertierung berechnet werden. Die Sherman-Morrison-Woodbury-Formel ist aus Dokument [1] bekannt.
[0029] Durch diese Ausführungsform der Erfindung werden Simulationen, die eine hohe Anzahl an Zeitschritten erfordern,
überhaupt erst möglich. Die Umsetzung des erfindungsgemäßen Gedankens der Begrenzung der Rechenzeit des erfindungsgemäßen
Verfahrens liegt darin, daß, wenn die Covarianzmatrix C(n) eine frei wählbare Fenstergröße d erreicht
und überschreitet, ein (d X d)-großes Fenster über die Covarianzmatrix C(n) gelegt wird, das eine rechte, untere Teilmatrix
der Dimension (d X d) aus der Covarianzmatrix auswählt.
[0030] Mit jedem weiteren Zeitschritt wird dieses Fenster (d X d) innerhalb der Covarianzmatrix C (n) um eine Position
nach rechts unten verschoben, so daß ab Erreichen der frei wählbaren Fenstergröße d nur das Fenster (d X d) der Covarianzmatrix
C(n) betrachtet wird und nur dieser Teil der Covarianzmatrix C(n) invertiert wird. Damit wird der Rechenaufwand
für steigende Größen der Covarianzmatrix C(n) nahezu konstant gehalten. Durch die Aktualisierung der invertierten
Covarianzmatrix B(n) mittels obiger Formel anstelle der expliziten Invertierung kann auch der Aufwand für die
Verschiebung des (d X d) großen Fensters der Covarianzmatrix klein gehalten werden.
[0031] In einer besonders vorteilhaften Ausgestaltung des erfindungsgemäßen Verfahrens werden q Folgen von Zufallszahlen
eines 1/f-Rauschens gleichzeitig berechnet, wobei anstelle der schleifenartig zu wiederholenden Schritte:
- Bestimmen einer (0, l)-normalverteilten Zufallszahl, die die n-te Komponente eines Vektors χ der Länge η bildet,
- Bilden einer Größe μ aus den ersten (d - 1) Komponenten der η-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix B(n)
und den letzten (d - 1) Elementen des Vektors y, die für einen vorausgehenden (n - 1) Simulations-Zeitschritt berechnet
wurden, und zwar gemäß der folgenden Vorschrift:
"=»■»
wobei y(n-i) die letzten (d - 1) Komponenten des Vektors y bezeichnet, wobei B.jn die ersten (d - 1) Komponenten
der η-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix B bezeichnet und wobei BnjI1 das mit (n, n) indizierte Element der
invertierten Covarianzmatrix B bezeichnet,
- Berechnen eines Element y(n) eines Vektor y der Länge η aus 1/f-verteilten Zufallszahlen nach folgender Vorschrift:
Y(n) = x(n) · σ + μ
die folgenden Schritte vorgesehen sind:
- Bestimmen von q Stück (0, l)-normalverteilte Zufallszahlen X^n, welche die jeweils letzte Komponente der Vektoren
X]j der Länge η bilden, wobei k = 1,. . ., q. Hierbei ist zu beachten, daß die jeweils ersten (n - 1) Komponenten
der Vektoren Xk bereits im Schritt zuvor berechnet wurden.
- Bilden von q Größen μ^ gemäß der folgenden Vorschrift:
τ
= n,n
wobei y(n- i),k die letzten (d - 1) Komponenten des Vektors y^ bezeichnet, die für einen vorausgehenden Simulations-Zeitschritt
berechnet wurden. B.jn bezeichnet dabei die ersten (d - 1) Komponenten der η-ten Zeile der invertierten
Covarianzmatrix B. BnjI1 bezeichnet das mit (n, n) indizierte Element der invertierten Covarianzmatrix B.
Dies wird für k = 1, . . ., q durchgeführt,
- Berechnen von q Elementen γ^η, welche die jeweils n-te Komponente des Vektors y^ der Länge η aus 1/f-verteilten
Zufallszahlen bilden, und zwar nach folgender Vorschrift:
Yk,n = Xk,n · ö + Mk
wobei k = 1, . . ., q.
[0032] Die q Vektoren y^ (k = 1,. . ., q) der Länge η aus 1/f-verteilten Zufallszahlen werden besonders vorteilhaft in einer
Matrix NOISE angeordnet, die in einer Simulation die 1/f-Rauscheinflüsse eines zu simulierenden Systems angeben.
[0033] Dem Konzept zur Simulation von 1/f-Rauschen liegt gemäß der Erfindung der folgende Gedankengang zugrunde.
Die Dynamik eines Systems, das stochastischen Einflüssen ausgesetzt ist, wird adäquat durch einen stochastischen
Prozeß modelliert. Zur Simulation einer solchen Systemdynamik werden im allgemeinen einzelne Zufalls-Realisierungen
bzw. Pfade des zugrundeliegenden stochastischen Prozesses numerisch berechnet. Zur Simulation von Systemen
mit 1/f-Rauschquellen gilt es, Pfade von stochastischen Integralen der Form
numerisch zu berechnen. Hierbei bezeichnen s die Integrationsvariable und t als obere Integrationsgrenze die Zeit,
η L{s)ds
eine 1/f-Rauschquelle und Y(s) einen stochastischen Prozess, der die zeitliche Dynamik einer Größe, z. B. der elektrisehen
Spannung in der Schaltkreissimulation, beschreibt.
[0034] Wenn man mit Bjtbm(s) denjenigen stochastischen Prozess bezeichnet, dessen Ableitung (mathematisch: Ableitung
im Distributionssinn) den 1/f-Rauschprozess
ergibt, so läßt sich das zu berechnende stochastische Integral schreiben als
J0 1^W »71W* = JVW^W (1.1
[0035] Das Integral der rechten Seite ist als Riemann-Stieltjes-Integral des stochastischen Prozesses Y(s) mit dem Prozess
Bfbm(s) als Integrator aufzufassen. Dieses Integral läßt sich durch eine Summe approximieren, indem das Integrationsintervall
[0, t] gemäß O = to<ti<...<t = tinn disjunkte Teilintervalle [ti, ti_i], i = 1, . . . n, zerlegt wird:
35
35
[0036] Diese Summe ist eine Zufallsvariable. Die Abhängigkeit vom Ergebnis ω des Zufallsexperiments wurde konsistent
weggelassen.
[0037] Ein Prozess Bfbm(s), dessen verallgemeinerte Ableitung ein 1/f-Spektrum aufweist, ist dem Fachmann beispielsweise
aus dem Dokument [2] unter dem Namen "Fractional Brownian Motion" bekannt. Bjtbm(s) istem Gaußscher
stochastischer Prozess und als solcher vollständig charakterisiert durch seinen Erwartungswert
E(Bfbm(s)) = 0 V s e R (1.3)
und durch seine Covarianzfunktion
und durch seine Covarianzfunktion
), Βρβμ(0) = const · (ls|P+1 + lt|P+1 - It - s|P+1) (1.4)
[0038] Das erfindungsgemäße Verfahren zur bedarfsorientierten Generierung geeigneter Zufallszahlen führt die Simulation
von 1/f-Rauscheinflüssen im wesentlichen auf die Erzeugung von Realisierungen der Zufallsvariablen [BpBM(ti) ~
BpBM(ti-i)], also von Zuwächsen der Fractional Brownian Motion, zurück.
[0039] Die vorliegende Erfindung erlaubt es, die benötigten Realisierungen der Zufallsvariablen ABjtbmÖ) online, d. h.
im Verlauf der sukzessiven Integration der Systemgleichungen, zu erzeugen. Daraus resultieren zwei Anforderungen an
das Verfahren:
(a) Die Länge η der Sequenz von Zufallszahlen {ABfbm(1)>
· · ·> ΔΒεβμ(π)} muß während eines Simulationslaufs
variabel bleiben. Insbesondere muß es jederzeit möglich sein, die Simulation zu verlängern. Dies wird als Restart-Fähigkeit
bezeichnet und impliziert die Fähigkeit des Verfahrens, die hierfür benötigten zusätzlichen Zufallszahlen
so zu generieren, daß sie auf korrekte Weise mit der bereits generierten Teilsequenz korrelieren.
(b) Bei ti die im Laufe einer Simulation aktuell erreichte Zeit. Dann muß das Zeitintervall [tj, ti+i], also die Schrittweite
des nächsten Integrationsschritts aus der momentanen Systemdynamik heraus, also adaptiv, bestimmbar sein.
[0040] Die Erfindung wird beiden Anforderungen gerecht, indem sie eine Vorschrift angibt, wie eine Realisierung von
(ΔΒρβμ(Ι); · · ·>
ΔΒεβμ(π)}; also eine Sequenz von Zufallszahlen, sukzessive, d. h. Element für Element generiert werden
kann. Hierbei ist die Schrittweite Ati: = ti - ti_i für jede neue Zufallszahl frei wählbar.
[0041] Zunächst wird der Ansatz für sogenannte "bedingte Dichten" untersucht.
[0041] Zunächst wird der Ansatz für sogenannte "bedingte Dichten" untersucht.
[0042] Es wird zunächst die Verteilung des Zufallsvariablen-Vektors (ABpbm(1)>
· · ·> ΔΒεβμ(π)) betrachtet.
[0043] Da die einzelnen Zufallsvariablen ABpbm(i) Zuwächse eines Gaußschen stochastischen Prozesses darstellen, ist der Zufallsvariablen-Vektor (ABpBM(l), . . ., ABpBM(n)) eine n-dimensionale Gauß-verteilte Zufallsvariable und somit durch seinen (n-dimensionalen) Erwartungswert E und seine Covarianzmatrix C vollständig bestimmt. Die beiden Größen lassen sich aus den Formeln (1.3) und (1.4) berechnen zu
[0043] Da die einzelnen Zufallsvariablen ABpbm(i) Zuwächse eines Gaußschen stochastischen Prozesses darstellen, ist der Zufallsvariablen-Vektor (ABpBM(l), . . ., ABpBM(n)) eine n-dimensionale Gauß-verteilte Zufallsvariable und somit durch seinen (n-dimensionalen) Erwartungswert E und seine Covarianzmatrix C vollständig bestimmt. Die beiden Größen lassen sich aus den Formeln (1.3) und (1.4) berechnen zu
= 0,i = l,...,n (3.5)
{ | - | ß+\ | ß+ | tj-l -{i | |
= const | {- | ή, | |||
ß+l | |||||
(3.6)
[0044] Das erfindungsgemäße Online-Verfahren soll nun in Form einer vollständigen Induktion angegeben werden.
[0045] Induktionsanfang und somit Startpunkt des Verfahrens ist die Realisierung einer reellwertigen Gaußverteilung
mit Erwartungswert 0 und Varianz E11 = 2 · const · IAt1IP+1.
[0046] Im Sinne eines Induktionsschlusses müssen wir angeben, wie wir eine Realisierung von (ABpBm(I), . . .,
ΔΒρβμ(π ~~ I)) erweitern um eine Realisierung von ΔΒρβμ(π)>
so daß sich insgesamt eine Realisierung von (ABpbm(1)>
. . ., ΔΒρβμ(π)) ergibt. Zur Vereinfachung der Schreibweise sei die bereits "gewürfelte" Teilsequenz von Zufallszahlen
mit (V1, . . ., Yn-1) =: Y(n-i)T und die noch zu würfelnde Realisierung von ABp5M (n) mit Yn bezeichnet.
[0047] Das Problem kann nun folgendermaßen formuliert werden: Gegeben sei eine n-dimensionale mittelwertfreie
Gaußsche Zufallsvariable Z mit der Covarianzmatrix C. Die ersten η - 1 Elemente einer Realisierung von Z seien in
Form eines Zufallszahlen-Vektors y(n_i) bereits gewürfelt und bekannt. Gesucht ist nun die Verteilung, aus der das n-te
Element yn gezogen werden muß, um Y(n-i) zu einer Realisierung y = (y(n-i), yn) von Z zu vervollständigen.
[0048] Eine Lösung dieser Aufgabe kann gefunden werden, wenn man die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte
f(ynly(n_i)) für yn unter der Bedingung, daß y(n-i) bereits festliegt betrachtet. Diese Größe läßt sich im vorliegenden Fall
einer Gaußschen Normalverteilung berechnen zu
exp<
YlK
c:\
(3.7)
[0049] Hierbei ergibt sich die Größe C^n aus folgender Schreibweise der invertierten Covarianzmatrix C l:
r \
1-1
C,
-1
= n,n
;3.8)
wobei
wobei
und wobei
[0050] Die Größe μ steht für
μ ■_-
C'1
(3.9]
[0051] Die bedingte Dichte f(ynly(n-i)) ist also die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Gaußschen Normalverteilung mit
Mittelwert μ und Varianz
-ι ■
[0052] Damit obige Varianz existiert, muß gelten
£nn * 0 *
Dies ist aufgrund folgender Argumentation sichergestellt: C und C"1 haben die selben Eigenrichtungen und inverse Eigenwerte.
Ein Eigenwert 0 der Matrix C"1 hätte also eine unendliche Varianz des Zufallsvariablen-Vektors (ΔΒηβμ(Ι),
. . ., ΔΒρβμ(π)) zur Folge. Es kann daher vorausgesetzt werden, daß alle Eigenwerte von C"1 ungleich Null sind. Da die
Eigenwerte von C"1 in jedem Fall nicht negativ sind, gilt somit: Die Matrix C"1 ist symmetrisch und positiv definit.
Durch Umbenennung der Koordinatenachsen kann diese Matrix von der Form (3.8) auf folgende Form gebracht werden:
[0053] Diese Matrix ist per constructionem ebenfalls symmetrisch und positiv definit. Gemäß des Sylvester-Kriteriums
für symmetrische und positiv definite Matrizen folgt daraus, daß
30 W =·, η
's;1.
k("-i
(3.10)
und die Behauptung ist gezeigt.
[0054] Durch das erfindungsgemäße Verfahren wird die Simulation von 1/f-Rauschquellen zurückgeführt auf die Generierung
von Gauß-verteilten Zufallszahlen.
[0055] Um eine Zufallszahl yn zu erzeugen, die mit einer bereits erzeugten Sequenz y(n-i) auf die geforderte Weise korreliert,
wird die invertierte Covarianzmatrix C"1 (eine η X η-Matrix) benötigt. Streng genommen ist nur die Kenntnis der
η-ten Zeile dieser Matrix von noten, also die Kenntnis von
c-1 )
Wie an Formel (3.6) abzulesen ist, hängt die Covarianzmatrix Cvon der Zerlegung des Simulationsintervalls [0, tn] in
disjunkte Teilintervalle (Schrittweiten) [tu, tj ab. Insbesondere hängt die letzte Spalte von C (wegen der Symmetrie von
C identisch mit der letzten Zeile) ab von tn und damit von der aktuellen Schrittweite Atn = tn - tn_i.
[0056] Die linke obere (n - 1) X (n - 1)-Teilmatrix C der η X n-Covarianzmatrix C ist genau die Covarianzmatrix für eine Zufallszahlen-Sequenz der Länge n-l. Diese Covarianzmatrix mußte bereits für die Berechnung von y(n-i) (bzw. für die Berechnung des letzten Elements (yn_i) bestimmt und invertiert werden. Zur Beschleunigung des Verfahrens kann somit auf inkrementelle Verfahren zur Matrixinversion, z. B. mittels des Schur-Komplements, zurückgegriffen werden. [0057] Zur Bestimmung der invertierten Covarianzmatrix C-1Cn + 1) = B(n + 1) des nächsten Zeitschritts (n + 1) ist es notwendig, die Covarianzmatrix C(n), sowie deren invertierte Covarianzmatrix C-1(n) = B(n) wie folgt zu betrachten:
[0056] Die linke obere (n - 1) X (n - 1)-Teilmatrix C der η X n-Covarianzmatrix C ist genau die Covarianzmatrix für eine Zufallszahlen-Sequenz der Länge n-l. Diese Covarianzmatrix mußte bereits für die Berechnung von y(n-i) (bzw. für die Berechnung des letzten Elements (yn_i) bestimmt und invertiert werden. Zur Beschleunigung des Verfahrens kann somit auf inkrementelle Verfahren zur Matrixinversion, z. B. mittels des Schur-Komplements, zurückgegriffen werden. [0057] Zur Bestimmung der invertierten Covarianzmatrix C-1Cn + 1) = B(n + 1) des nächsten Zeitschritts (n + 1) ist es notwendig, die Covarianzmatrix C(n), sowie deren invertierte Covarianzmatrix C-1(n) = B(n) wie folgt zu betrachten:
C{n) = \
'12 W
13.12)
[0058] Dabei gilt: 55 B(n)· C(n) = Id (3.13)
wobei Id die d-dimensionale Einheitsmatrix bezeichnet. Aus der Beziehung B(n) · C(n) = Id ergibt sich mit den obigen
Darstellungen der Covarianzmatrix C(n) und der invertierten Covarianzmatrix B(n):
b12(n)c12 T(n) + B22(n)C22(n) = 1^1 (3.14)
und damit:
C22 (n) = (Id-i — b12(n)c12 (n)) ' B22O1) (3. 15)
und damit:
C22 (n) = (Id-i — b12(n)c12 (n)) ' B22O1) (3. 15)
[0059] Mit Hilfe der aus Dokument [1] bekannten Sherman-Morrison-Woodbury-Formel kann die invertierte Teilmatrix
C22^n) der Teilmatrix C22(n) ohne explizite Invertierung von (Id_i - b12(n)ci2 T(n))"1 berechnet werden als:
(3.16)
[0060] Damit steht die korrigierte Inverse C22"1Cn) der Covarianzmatrix C22(n) zur Verfügung, die im nächsten Zeitschritt
(n + 1) beispielsweise mittels Schurkomplementtechniken erweitert werden kann.
[0061] Die Erfindung ist auch in einem Verfahren zur Simulation eines technischen Systems verwirklicht, das einem
1/f-Rauschen unterliegt. Dabei werden bei der Modellierung und/oder bei der Festlegung der an Eingangskanälen des
Systems anliegenden Größen Zufallszahlen verwendet, die mit einem erfindungsgemäßen. Verfahren bestimmt worden
sind.
[0062] Die Erfindung ist des weiteren in einem Computerprogramm zur Ausführung eines Verfahrens zum Erzeugen
wenigstens einer Folge von an Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens angenäherten Zufallszahlen verwirklicht.
[0063] Das Computerprogramm ist dabei so ausgebildet, daß nach Eingabe eines gewünschten Spektralwerts ß, nach
Eingabe der Anzahl der zu erzeugenden Zufallszahlen, nach Eingabe einer Intensitätskonstante const, nach Eingabe eines
Startwerts für eine Laufvariable η und nach Eingabe eines Werts für eine Fenstergröße d ein erfindungsgemäßes Verfahren
in einer oben beschriebenen Ausführungsform durchführbar ist. Dabei wird als Ergebnis des Verfahrens eine
Folge von Zufallszahlen ausgegeben, die jeweils einem 1/f-Rauschen angenähert sind. Mit einer solchen Folge von Zufallszahlen
können Rauscheinflüsse in einer Vielzahl technischer und physikalischer Systeme modelliert werden.
[0064] Durch das erfindungsgemäß verbesserte Computerprogramm ergeben sich eine verbesserte Anwendbarkeit des Verfahrens für eine Vielzahl von technischen und physikalischen Systemen, eine einfache und effektive Erzeugung von Folgen von Zufallszahlen und eine Laufzeitverbesserung sowie eine Rechenleistungsoptimierung.
[0064] Durch das erfindungsgemäß verbesserte Computerprogramm ergeben sich eine verbesserte Anwendbarkeit des Verfahrens für eine Vielzahl von technischen und physikalischen Systemen, eine einfache und effektive Erzeugung von Folgen von Zufallszahlen und eine Laufzeitverbesserung sowie eine Rechenleistungsoptimierung.
[0065] Durch das erfindungsgemäße Computerprogramm ergibt sich ferner ein breites Anwendungsspektrum des Verfahrens
für eine Vielzahl von technischen und physikalischen Systemen und eine einfache und effektive Erzeugung von
an Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens angenäherten Zufallszahlen, wobei eine schnelle Laufzeit und ein optimaler Einsatz
von Rechenleistung gewährleistet wird.
[0066] Der Erfindung betrifft außerdem ein Computerprogramm, das auf einem Speichermedium enthalten ist, das in
einem Computerspeicher abgelegt ist, das in einem Direktzugriffspeicher enthalten ist oder das auf einem elektrischen
Trägersignal übertragen wird.
[0067] Weiterhin betrifft die Erfindung einen Datenträger mit einem solchen Computerprogramm sowie ein Verfahren,
bei dem ein solches Computerprogramm aus einem elektrischen Datennetz, wie beispielsweise aus dem Internet, auf einen
an das Datennetz angeschlossenen Computer heruntergeladen wird.
[0068] Die Erfindung ist in den Figuren anhand eines Ausführungsbeispiels näher veranschaulicht.
[0069] Fig. 1 zeigt eine schematische Darstellung eines zu simulierenden technischen Systems,
[0070] Fig. 2 zeigt ein Struktogramm zur Bestimmung von Folgen von Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens,
[0071] Fig. 3 zeigt anhand ihrer Teilfiguren 3a bis 3f ein Berechnungsbeispiel für einen Simulations-Zeitschritt [I4, t^] = [2.75, 3.00],
[0070] Fig. 2 zeigt ein Struktogramm zur Bestimmung von Folgen von Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens,
[0071] Fig. 3 zeigt anhand ihrer Teilfiguren 3a bis 3f ein Berechnungsbeispiel für einen Simulations-Zeitschritt [I4, t^] = [2.75, 3.00],
[0072] Fig. 4 zeigt anhand ihrer Teilfiguren 4a bis 4c ein Berechnungsbeispiel für einen sechsten Simulations-Zeitschritt
[t5,t6] = [3.000, 4.000].
[0073] Fig. 1 zeigt eine schematische Darstellung eines rauschbehafteten Systems, das simuliert werden soll.
[0074] Das System wird durch ein als Kasten angedeutetes Systemmodell 1 beschrieben, welches das Systemverhalten beschreibt. Das Systemverhalten ergibt sich aus den Eingangskanälen 2, die auch als Vektor INPUT bezeichnet werden, und aus den Ausgangskanälen 3, die auch als OUTPUT bezeichnet werden. Weiterhin ist ein systembedingtes Rauschen vorgesehen, das an Rauscheingangskanälen 4 anliegt und das auch als Vektor bzw. als Matrix NOISE bezeichnet wird. Eine Matrix NOISE liegt dann vor, wenn das Rauschen mit mehreren Kanälen berücksichtigt wird, wobei jede Spalte der Matrix NOTSE einen Vektor von Rauschwerten enthält, die an einem Rauscheingangskanal anliegen.
[0075] Das Rauschen an den Rauscheingangskanälen 4 wird vorzugsweise als rauschbedingte Veränderung des Systemmodells 1 aufgefaßt. [0076] Das Verhalten der Eingangskanäle 2 und der Ausgangskanäle 3 kann durch ein System von Differentialgleichungen oder durch ein System differential-algebraischer Gleichungen beschrieben werden, so daß zuverlässige Vorhersagen des Systemverhaltens möglich sind.
[0074] Das System wird durch ein als Kasten angedeutetes Systemmodell 1 beschrieben, welches das Systemverhalten beschreibt. Das Systemverhalten ergibt sich aus den Eingangskanälen 2, die auch als Vektor INPUT bezeichnet werden, und aus den Ausgangskanälen 3, die auch als OUTPUT bezeichnet werden. Weiterhin ist ein systembedingtes Rauschen vorgesehen, das an Rauscheingangskanälen 4 anliegt und das auch als Vektor bzw. als Matrix NOISE bezeichnet wird. Eine Matrix NOISE liegt dann vor, wenn das Rauschen mit mehreren Kanälen berücksichtigt wird, wobei jede Spalte der Matrix NOTSE einen Vektor von Rauschwerten enthält, die an einem Rauscheingangskanal anliegen.
[0075] Das Rauschen an den Rauscheingangskanälen 4 wird vorzugsweise als rauschbedingte Veränderung des Systemmodells 1 aufgefaßt. [0076] Das Verhalten der Eingangskanäle 2 und der Ausgangskanäle 3 kann durch ein System von Differentialgleichungen oder durch ein System differential-algebraischer Gleichungen beschrieben werden, so daß zuverlässige Vorhersagen des Systemverhaltens möglich sind.
[0077] Zu jedem Zeitschritt der Simulation des in Fig. 1 gezeigten Systems wird für einen an den Eingangskanälen 2
anliegenden Vektor INPUT und für einen an den Rauscheingangskanälen 4 anliegenden Vektor NOISE ein Vektor OUT-PUT
der Ausgangskanäle 3 berechnet.
[0078] Sinnvollerweise werden zur Simulation über einen längeren Zeitraum die Vektoren INPUT, OUTPUT, NOISE
als Matrix angegeben, wobei je eine Spalte k der betreffenden Matrix die Werte der entsprechenden Zeitreihe des betreffenden
INPUT, OUTPUT, NOISE enthält.
[0079] Fig. 2 veranschaulicht, wie man zu je einem Vektor y^ gelangt, der eine Spalte k der Matrix NOISE für die Rauscheingangskanäle
4 des Systemmodells 1 bildet. Jeder Vektor y^ dient zur Simulation einer Rauschquelle.
[0080] In einem ersten Schritt wird ein gewünschter Spektral wert ß, eine Intensitätskonstante const sowie eine Fenstergröße d festgelegt. Weiterhin wird der Zähler η des aktuellen Simulations-Zeitintervalls auf einen Anfangswert gesetzt, der im betrachteten Ausführungsbeispiel als (n > d) angenommen wird.
[0080] In einem ersten Schritt wird ein gewünschter Spektral wert ß, eine Intensitätskonstante const sowie eine Fenstergröße d festgelegt. Weiterhin wird der Zähler η des aktuellen Simulations-Zeitintervalls auf einen Anfangswert gesetzt, der im betrachteten Ausführungsbeispiel als (n > d) angenommen wird.
[0081] Nun wird sukzessive für jeden Simulations-Zeitschritt die folgende Abfolge von Rechenschritten durchgeführt.
[0082] Zunächst wird der aktuelle Simulations-Zeitschritt festgelegt. Äquivalent hierzu kann auch das Ende des aktuellen
Simulationszeitschritts festgelegt werden, wodurch sich der nächste Betrachtungszeitpunkt ergibt.
[0083] Danach wird der Zähler η des aktuellen Simulationszeitschritts um Eins hochgezählt.
[0083] Danach wird der Zähler η des aktuellen Simulationszeitschritts um Eins hochgezählt.
[0084] Anschließend wird die Covarianzmatrix C(n) der Dimension (d X d) nach Gleichung (3.6) bestimmt. Im Falle
(n > d) wird nur das rechte untere (d X d)-große Fenster der Covarianzmatrix C (n) bestimmt. Die Variablen i, j, der Gleichung
(3.6) nehmen dabei die Werte i, j = (n - d + 1),. . ., η ein. Im Falle (n = d) wird die gesamte Covarianzmatrix C(n)
für die Werte i, j = 1, . . ., η bestimmt.
[0085] Bei der Bestimmung der Covarianzmatrix C(n) wird auf die Werte des ((d - 1) X (d - l))-großen Fensters der
beim vorigen Durchlauf der Verfahrensschritte berechneten Covarianzmatrix C(n - 1) zurückgegriffen, das rechts unten
in der Covarianzmatrix C(n - 1) angeordnet ist. Die Werte dieses Fensters bilden die in der neu zu bestimmenden Covarianzmatrix
C(n) im linken oberen ((d - 1) X (d - l))-großen Fenster angeordneten Werte. Dementsprechend werden bei
der Neuberechnung nur die Werte der letzten Zeile und der letzten Spalte der Covarianzmatrix C(n) explizit neu berechnet.
[0086] Im nächsten Schritt des erfindungsgemäßen Verfahrens erfolgt die Bestimmung der Inversen B(n) der Covarianzmatrix
C(n).
[0087] Diese wird für den Fall (n < d) explizit berechnet, beispielsweise mittels einer Cholesky-Zerlegung. Für den
Fall (n > d) wird diese Inverse B (η) zur Steigerung der Effizienz unter Verwendung von Schurkomplement-Techniken
ermittelt. Dabei wird auf die im letzten Durchlauf der Verfahrensschritte bestimmten Größen C 22(11 - 1), C22"1Cn - 1),
ci2T(n - 1), B22(n - 1) sowie b12(n - 1) zurückgegriffen.
[0088] In den beiden nächsten Verfahrensschritten werden die Hilfsgrößen C22(n) und Ci2T(n) aus der Covarianzmatrix
C(n) unter Anwendung der Gleichung (3.11) sowie die HilfsgrößenB22(n) und bi2(n) aus der Inversen B(n) unter Anwendung
der Gleichung (3.12) bestimmt.
[0089] Die invertierte Teilmatrix C22"1Cn) wird mittels der Gleichung (3.15) unter Verwendung der Hilfsgrößen
ci2T(nX B22(n) sowie b 12(11) bestimmt. Diese invertierte Teilmatrix C22"1Cn) wird beim jeweils nächsten Durchlauf der
Verfahrensschritte zur Berechnung der invertierten Covarianzmatrix B22(n) benötigt.
[0090] Als nächstes wird die Größe σ aus der Formel
[0090] Als nächstes wird die Größe σ aus der Formel
σ = sqrt(l/e(n, n))
berechnet, wobei sqrt die Funktion "Quadratwurzel" und wobei e(n, n) das durch (n, n) indizierte Element der invertierten
Covarianzmatrix B(n) bezeichnet.
[0091] Außerdem wird ein Wert einer (0, l)-normalverteilte Zufallsvariable Xk gezogen und damit der Vektor xk der normalverteilten Zufallszahlen ergänzt. Die gezogene Zufallszahl weist den Erwartungswert 0 und die Varianz 1 auf. Dieser Schritt wird für jede zu simulierende Rauschquelle durchgeführt.
[0091] Außerdem wird ein Wert einer (0, l)-normalverteilte Zufallsvariable Xk gezogen und damit der Vektor xk der normalverteilten Zufallszahlen ergänzt. Die gezogene Zufallszahl weist den Erwartungswert 0 und die Varianz 1 auf. Dieser Schritt wird für jede zu simulierende Rauschquelle durchgeführt.
[0092] Des weiteren wird eine Größe μ^ gebildet. Sie wird für (n
< d) aus den ersten (n - 1) Komponenten der n-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix B(n) und aus der Sequenz von (n - 1) 1/f-verteilten Zufallszahlen gebildet, die für
die vorausgehenden (n - 1) Simulations-Zeitschritte berechnet wurden.
[0093] Für (n > d) wird μ^ aus den ersten (d - 1) Komponenten der η-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix B(n)
und aus der Sequenz der letzten (d - 1) 1/f-verteilten Zufallszahlen gebildet, die für die vorausgehenden (n - 1) Simulations-Zeitschritte
berechnet wurden.
[0094] Hierzu wird gemäß Formel (3.9) vorgegangen. Dieser Schritt wird im Falle mehrere vorhandener Rauschquellen
k für jede zu simulierende Rauschquelle k separat durchgeführt.
[0095] Schließlich wird dasjenige Element der Matrix NOISE berechnet, dessen Spaltenindex k die zu simulierende
Rauschquelle angibt und dessen Zeilenindex gleich η ist. Hierdurch wird der aktuelle Simulations-Zeitschritt bezeichnet.
Das aktuell berechnete Element r(k, n) der Matrix NOISE stellt eine Zufallszahl dar, die zusammen mit den darüberstehenden
(n - 1) Elementen derselben Spalte k von NOISE einen Vektor yk der Länge η aus 1/f-verteilten Zufallszahlen bildet.
Dieser Vektor yk dient zur Simulation einer der Rauschquellen für die ersten η Simulationszeitschritte.
[0096] Jedes Element yk der η-ten Zeile von NOISE wird dann aufgrund der Gleichungen (3.7) - (3.9) aus der letzten
Zufallszahl xk des Vektors χ und den Größen μ^ und O bestimmt, und zwar nach folgender Vorschrift:
yk = xk · σ + μκ.
[0097] In den Fig. 3 und 4 wird die Durchführung des erfindungsgemäßen Verfahrens anhand eines konkreten Berechnungsbeispiels
gezeigt.
[0098] In dem Berechnungsbeispiel wird eine Folge von Zufallszahlen erzeugt, die an Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens
angelehnt sind. Diese Folge von Zufallszahlen wird in einem Vektor y abgelegt. Die Erzeugung dieser Zufallszahlen wird im folgenden für die Zeitschritte to = 0.000,11 = 1.000, t2 = 1.500Tt3 = 2.000, U = 2.750, t5 = 3.000 und t6 =
4.000 durchgeführt. Dabei werden die berechneten Werte zum Zwecke der einfachen Darstellung nach genauer Rechnung
nach der dritten Kommastelle abgeschnitten. Zur leichteren Zuordnung der verwendeten Vektoren und Matrizen
wird jeweils in Klammer der Index des Zeitschritts angegeben, für den diese Größe jeweils berechnet wurde. So gibt
C(5) die Covarianzmatrix des Zeitschritts \t^, t$\ = [2.750, 3.000] an, die sich auf die Zeitpunkte to, . . ., t$ bezieht.
[0099] Im Berechnungsbeispiel wird der Wert des Spektralwerts β stets als 0.5 angenommen. Der Wert der Intensitätskonstante const wird willkürlich als 1.0 angenommen. Als Fenstergröße wurde d = 5 verwendet.
[0099] Im Berechnungsbeispiel wird der Wert des Spektralwerts β stets als 0.5 angenommen. Der Wert der Intensitätskonstante const wird willkürlich als 1.0 angenommen. Als Fenstergröße wurde d = 5 verwendet.
[0100] Fig. 3 zeigt anhand ihrer Teilfiguren 3a bis 3f ein Berechnungsbeispiel für einen Simulations-Zeitschritt [t4, ts]
= [2.750, 3.000].
[0101] Die 1/f-verteilten Zufallszahlen der Zeitpunkte ti,. . ., U werden im folgenden Ausführungsbeispiel als bekannt
vorausgesetzt.
[0102] Fig. 3a zeigt eine Covarianzmatrix C (5) der Dimension (n X n) = (5 X 5), die zur Erzeugung einer weiteren Zufallszahl
benötigt wird. Die Covarianzmatrix C(5) wird nach Gleichung (3.6) bestimmt.
[0103] Beispielhaft wird dies am Element C(5, 4), also C(i, j) mit i = 5 und j = 4 durchgeführt.
[0104] Unter Anwendung von Gleichung (3.6) ergibt sich C(5, 4) zu:
[0103] Beispielhaft wird dies am Element C(5, 4), also C(i, j) mit i = 5 und j = 4 durchgeführt.
[0104] Unter Anwendung von Gleichung (3.6) ergibt sich C(5, 4) zu:
l°-5+1
05+1
I0·5 + 1 L l°-5 + 1
(-12.750-3.000 |15 + 12.000-3.000 |15 + | 2.750 - 2.750115 - | 2.000-2.750 |
-0.125 + 1 + 0 - 0.649 =0.225
[0105] Im nächsten Simulationsschritt überschreitet die Laufvariable η die Fenstergröße d und somit die Dimension
der Covarianzmatrix C(6). Dementsprechend werden in den Teilfiguren 3b, 3c, 3e sowie 3f Hilfsgrößen ermittelt, die zur
Bestimmung der invertierten Covarianzmatrix B(6) des nächsten Simulations-Zeitschritts η = 6 benötigt werden.
[0106] Fig. 3b zeigt einen aus der Covarianzmatrix C(5) ermittelten Vektor c12 T(5). Dieser Vektor c12 T(5) beinhaltet
das zweite, das dritte, das vierte und das fünfte Element der ersten Zeile der Covarianzmatrix C (5) und ergibt sich aus der
Gleichung (3.11).
[0107] Fig. 3c zeigt eine aus der Covarianzmatrix C(5) ermittelte Teilmatrix C22(5). Diese Teilmatrix C22(5) enthält
die Elemente des ((d - 1) X (d - I)) = (4x4) großen Fensters, das rechts unten in der Covarianzmatrix C(5) angeordnet
ist. Diese Teilmatrix C22(5) ergibt sich aus der Covarianzmatrix C(5) unter Anwendung der Gleichung (3.11).
[0108] Fig. 3d zeigt eine invertierte Covarianzmatrix C~1(5) = B(5) zu der Covarianzmatrix C(5), die im folgenden ausschließlich als B(5) bezeichnet wird. Eine Überprüfung anhand der Gleichung (3.13) zeigt, daß die Matrizenmultiplikation der Covarianzmatrix C (5) mit der invertierten Covarianzmatrix B (5) die Einheitsmatrix \ ergibt.
[0109] Im vorliegenden Fall wurde die invertierte Covarianzmatrix B (5) unter Anwendung einer hier nicht näher dargestellten Cholesky-Zerlegung aus der Covarianzmatrix C (5) explizit berechnet.
[0108] Fig. 3d zeigt eine invertierte Covarianzmatrix C~1(5) = B(5) zu der Covarianzmatrix C(5), die im folgenden ausschließlich als B(5) bezeichnet wird. Eine Überprüfung anhand der Gleichung (3.13) zeigt, daß die Matrizenmultiplikation der Covarianzmatrix C (5) mit der invertierten Covarianzmatrix B (5) die Einheitsmatrix \ ergibt.
[0109] Im vorliegenden Fall wurde die invertierte Covarianzmatrix B (5) unter Anwendung einer hier nicht näher dargestellten Cholesky-Zerlegung aus der Covarianzmatrix C (5) explizit berechnet.
[0110] Fig. 3e zeigt einen aus der invertierten Covarianzmatrix B(5) ermittelten Vektor bi2(5). Dieser Vektor bi2(5)
enthält das zweite, das dritte, das vierte sowie das fünfte Element der ersten Spalte der invertierten Covarianzmatrix
B(5). Der Vektor b12(5) ergibt sich aus der invertierten Covarianzmatrix B(5) unter Anwendung der Gleichung (3.12).
[Olli] Fig. 3f zeigt eine Teilmatrix B22(5) der in Fig. 3d gezeigten invertierten Covarianzmatrix B(5). Diese Teilmatrix
B22(5) umfaßt diejenigen Elemente der invertierten Covarianzmatrix B(5), die in dem rechten unteren Fenster der
Dimension ((d - l)x(d- 1)) = (4x4) der invertierten Covarianzmatrix B(5) enthalten sind. Die Teilmatrix B22(5) ergibt
sich aus der invertierten Covarianzmatrix B(5) unter Anwendung der Gleichung (3.12).
[0112] Aus dem in der invertierten Covarianzmatrix B (5) rechts unten angeordneten Element, nämlich dem Wert
B(5)5;5 = 4.787 kann nun die Größe O berechnet werden.
[0113] σ ergibt sich im vorliegenden Ausführungsbeispiel als:
[0114] Unter Verwendung des Vektors: b(5)5;i,...,4 = (-0.094, -0.109, -0.093, -0.749),
der den ersten, den zweiten, den dritten sowie den vierten Wert der fünften Zeile der invertierten Covarianzmatrix C (5)
enthält, ist der Wert μ berechenbar. Dabei wird die Formel (3.9) verwendet.
[0115] Unter Verwendung der so bestimmten Größen O und μ sowie unter Verwendung von zufällig gezogenen, normal
verteilten Zufallzahlen x(n) kann y(5) nach der Formel
y(n) = x(n) · σ + μ
berechnet werden. Dabei stellt y(5) das fünfte Element des Vektors y dar, der eine Folge von Zufallszahlen aufweist, die
an Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens angenähert sind.
[0116] Fig. 4 zeigt anhand ihrer Teilfiguren 4a bis 4c ein Berechnungsbeispiel für einen sechsten Simulations-Zeitschritt
[t5, tß] = [3.000, 4.000]. Der Wert der Laufvariablen η ist für den sechsten Simulations-Zeitschritt stets gleich 6.
[0117] Fig. 4a zeigt eine invertierte Teilmatrix C22"1(5) zu der in Fig. 3c gezeigten Teilmatrix C22(5). Die invertierte
Teilmatrix C22"1^) wird nicht explizit vollkommen neu berechnet, sondern ergibt sich unter Anwendung der Gleichung
(3.16).
[0118] Die in der Gleichung (3.16) zur Berechnung der invertierten Teilmatrix C^^(5) notwendigen Hilfsgrößen
bi2(5), ci2 T(5) sowie B22(5) sind in den vorangegangenen Schritten bestimmt worden. Die Größe Id_i in der Gleichung
(3.16) entspricht der Einheitsmatrix zur Dimension (d - 1) = 4.
[0119] Fig. 4b zeigt eine Covarianzmatrix C*(6) der Dimension (d X d) = (5 X 5). C*(6) ergibt sich als rechtes unteres
Fenster (2, . . ., 6; 2, . . ., 6) der Covarianzmatrix C (6) mit der Dimension d = 6.
[0120] Für die Berechnung der Covarianzmatrix C*(6) wird auf die in Fig. 3c gezeigte Teilmatrix C22(5) zurückgegriffen,
die in der Covarianzmatrix C *(6) das linke obere Fenster der Dimension ((d - 1) X (d - I)) = (4x4) bildet. Dementsprechend
werden lediglich diejenigen Elemente der in Fig. 4b gezeigten Covarianzmatrix C *(6) neu berechnet, die
in der fünften Zeile oder in der fünften Spalte angeordnet sind.
[0121] Beispielhaft wird diese Berechnung unter Anwendung der Gleichung (3.6) für das Element C(3, 6), durchgeführt:
-\h-h
0.5+1
0.5+1
0.5 + 1
0.5 + 1
4.000 - 2.000
-2.828
-2.828
3.000-2.000 1
1.5
'6-1 -'3-,
4.000-1.500I15 - I 3.000-1.500I15) =
3.952 - 1.837 =0.287
[0122] Fig. 4c zeigt die invertierte Covarianzmatrix C *(6) der Dimension d = 5 zu der in Fig. 4b gezeigten Covarianzmatrix
C*(6).
[0123] Eine Überprüfung mittels der Gleichung (3.13) ergibt, daß die in Fig. 4b gezeigte Covarianzmatrix C*(6) multipliziert
mit der in Fig. 4c gezeigten invertierten Covarianzmatrix B*(6) die Einheitsmatrix I<j ergibt.
[0124] Die invertierte Covarianzmatrix B *(6) wird nicht explizit Element für Element neu berechnet, sondern ergibt
sich mittels Schurkomplement-Techniken unter Verwendung der in Fig. 3 sowie der in Fig. 4a gezeigten Hilfsgrößen.
[0125] Unter Verwendung des rechten unteren Werts der invertierten Covarianzmatrix B*(6) nämlich des Werts
B *(6)5;5 = 0.630 ergibt sich σ zu 1.259. Unter Verwendung des Vektors ~
I*(6)5;i 4= (-0.085, -0.078, -0.139, -0.507)
ist der Wert μ berechenbar.
[0126] Mittels der so bestimmten Größen σ und μ sowie mittels gezogener, normal verteilter Zufallszahlen x(n) wird
nun eine weitere Zufallszahl y(6) berechnet, die den Vektor y(n) der an Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens angenäherten
Zufallszahlen erweitert.
[0127] Der Vektor y(n) kann durch das erfindungsgemäße Verfahren beliebig erweitert werden. Bei dieser Berechnung
wird die zur Bestimmung der Zufallszahlen notwendige Covarianzmatrix C(n) sowie deren invertierten Covarianzmatrix
B (n) in der Dimension η auf die vorgegebene Fenstergröße d begrenzt. Diese Maßnahme hält den Rechenaufwand für jeden
Simulations-Zeitschritt klein genug. Die so erzeugten Zufallszahlen treffen zwar nicht exakt die Zufallszahlen eines
1/f-Rauschens, stellen aber eine sehr gute Näherung an diese dar.
[0128] Im Rahmen dieses Dokuments wurden die folgenden Veröffentlichungen zitiert:
[1] G. H. Golub and C. F. von Loan. Matrix Computations. John Hopkins University Press, Page 51, 2. Auflage, 1989.
[2] R. Barton and H. V. Poor. Signal Detection in Fractional Gaussian Noise. ΓΕΕΕ Transactions an Information Theory,
Pages 943-959, 1988
Bezugszeichenliste
1 Systemmodel
2 Eingangskanäle
3 Ausgangskanäle
4 Rauscheingangskanäle
Claims (11)
1. Verfahren zum Erzeugen wenigstens einer Folge von an Zahlenfolgen eines 1/f-Rauschens angenäherten Zufallszahlen,
das die folgenden Schritte aufweist:
- Bestimmen eines gewünschten Spektralwerts ß,
- Bestimmen einer Intensitätskonstante const,
- Bestimmen der Anzahl der zu erzeugenden Zufallszahlen,
- Festlegen eines Startwerts für eine Laufvariable n,
- Festlegen einer Fenstergröße d,
wobei solange, bis die gewünschte Anzahl von Elementen y(n) des Vektor y der Länge η aus 1/f-verteilten Zufallszahlen berechnet ist, das schleifenartige Wiederholen der folgenden Schritte vorgesehen ist:
a) Erhöhen des aktuellen Werts der Laufvariablen η um 1,
b) Festlegen eines Simulationszeitschritts [V1; tn], wobei für den Fall (n
< d) die Schritte c), d), g) bis i), k) und für den Fall (n > d) die Schritte e) bis h), j), k) ausgeführt werden:
c) Bestimmen der Elemente Cy einer Covarianzmatrix C(n) der Dimension (n X n) nach der folgenden Vorschrift:
C :-const ■ \ -
'j-i
βή,
d) Bestimmen der invertierten Covarianzmatrix C 1(n) = B(n) der Dimension (n X n),
e) Bestimmen der Elemente Cy einer Covarianzmatrix C(n) der Dimension (d X d) nach der folgenden Vorschrift:
12
C : = const ■
/S+I
ß+l
/T+I
f) Bestimmen der invertierten Covarianzmatrix
g~Un) = I(n)
der Dimension (d X d),
g) Bestimmen einer Größe O gemäß der Vorschrift
O = sqrt(l/e(n, n)),
wobei sqrt die Funktion "Quadratwurzel" und wobei e(n, n) das durch (n, n) indizierte Element der invertierten
Covarianzmatrix B(n) bezeichnet,
h) Bestimmen einer (0, l)-normalverteilten Zufallszahl, welche die n-te Komponente eines Vektors χ der
Länge η bildet,
i) Bilden einer Größe μ aus den ersten (n - 1) Komponenten der η-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix
B(n) und aus den (n - 1) Elementen des Vektors y, die für einen vorausgehenden (n - l)-ten Simulations-Zeit-
schritt berechnet wurden, und zwar gemäß der folgenden Vorschrift:
VuJ-B
wobei y(n-i) die ersten (n -1) Komponenten des Vektors y bezeichnet, wobei B.jD die ersten (n - 1) Komponenten
der η-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix B(n) bezeichnet und wobei B11n das mit (n, n) indizierte
Element der invertierten Covarianzmatrix B(n) bezeichnet,
j) Bilden einer Größe μ aus den ersten (d - 1) Komponenten der η-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix
B(n) und aus den letzten (d - 1) Elementen des Vektors y, die für einen vorausgehenden (n - l)-ten Simulations-Zeitschritt
berechnet wurden, und zwar gemäß der folgenden Vorschrift:
20
25
30
35
wobei y(n-i) die letzten (d - 1) Komponenten des Vektors y bezeichnet, wobei B.jn die ersten (d - 1) Komponenten
der η-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix B(n) bezeichnet und wobei BnjI1 das mit (n, n) indizierte
Element der invertierten Covarianzmatrix B(n) bezeichnet,
k) Berechnen eines Elements y(n) eines Vektors y der Länge η aus 1/f-verteilten Zufallszahlen nach folgender
Vorschrift:
Y(n) = x(n) · σ + μ
Y(n) = x(n) · σ + μ
2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß anstelle des Schritts f) die folgenden Schritte fl) bis
f4) ausgeführt werden:
fl) Bestimmen eines Vektors ci2 T(n) und einer Matrix C22(n) aus der Covarianzmatrix C(n), und zwar gemäß
der folgenden Vorschrift:
_( cu(n)
ci2(«)
f2) Bestimmen der invertierten Covarianzmatrix
der Dimension (d X d) unter Verwendung der invertierten Matrix C22^n - 1) mittels Schurkomplementtechniken,
O) Bestimmen des Vektors bi2(n) und der Matrix B22(n) aus der invertierten Covarianzmatrix B (n), und zwar
gemäß der folgenden Vorschrift:
B(n) =
f4) Bestimmen der invertierten Matrix C22 1Cn) nacn folgender Vorschrift:
C22-1Cn) = (Id-i - bi2(n)c12 T(n))-1 · B22(n)^
C22-1Cn) = (Id-i - bi2(n)c12 T(n))-1 · B22(n)^
wobei I(j_i die Einheitsmatrix der Dimension ((d - 1) X (d - I)) darstellt.
3. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, daß q Folgen von Zufallszahlen eines
50
55
60
65
13
l/f-Rauschens gleichzeitig berechnet werden, wobei anstelle der schleifenartig zu wiederholenden Schritte h), i), j)
und k) die folgenden Schritte h'), i'), j') und k') durchgeführt werden:
h') Bestimmen von q Stück (0, l)-normalverteilte Zufallszahlen X^n, welche die jeweils letzte Komponente der
Vektoren x^ der Länge η bilden, wobei k = 1, . . ., q,
i') Bilden von q Größen pjj gemäß der folgenden Vorschrift:
wobei V(I1-I)Jj die ersten (n - 1) Komponenten des Vektors y^ bezeichnet, die für einen vorausgehenden Simulations-Zeitschritt
berechnet wurden, wobei k = 1, . . ., q,
j') Bilden von q Größen pjj gemäß der folgenden Vorschrift:
j') Bilden von q Größen pjj gemäß der folgenden Vorschrift:
V/ ,)t T B
=n,n
wobei V(I1-I)Jj die letzten (d - 1) Komponenten des Vektors y^ bezeichnet, die für einen vorausgehenden Simulations-Zeitschritt
berechnet wurden, wobei k = 1, . . ., q,
k') Berechnen von q Elementen γ^η, welche die jeweils n-te Komponente des Vektors y^ der Länge η aus 1/fverteilten
Zufallszahlen bilden, und zwar nach folgender Vorschrift:
Yk,n = Xk,n · ö + Mk
wobei k= 1, . . ., q.
4. Verfahren zur Simulation eines technischen Systems, das einem 1/f-Rauschen unterliegt, bei dem bei der Modellierung
und/oder bei der Festlegung der an Eingangskanälen des Systems anliegenden Größen Zufallszahlen verwendet
werden, die nach einem Verfahren gemäß den vorhergehenden Ansprüche bestimmt worden sind.
5. Computerprogrammprodukt sowie Computerprogramm zur Ausführung eines Verfahrens zur Bestimmung von
Folgen von an Zufallszahlen eines l/f-Rauschens angenäherten Zufallszahlen, das so ausgebildet ist, daß ein Verfahren
gemäß einem der Ansprüche 1 bis 4 ausführbar ist.
6. Computerprogramm nach Anspruch 5, das auf einem Speichermedium enthalten ist.
7. Computerprogramm nach Anspruch 5, das in einem Computerspeicher abgelegt ist.
8. Computerprogramm nach Anspruch 5, das in einem Direktzugriffsspeicher enthalten ist.
9. Computerprogramm nach Anspruch 5, das auf einem elektrischen Trägersignal übertragen wird.
10. Datenträger mit einem Computerprogrammprodukt bzw. Computerprogramm nach Anspruch 5.
11. Verfahren, bei dem ein Computerprogrammprodukt bzw. Computerprogramm nach Anspruch 5 aus einem elektronischen
Datennetz wie beispielsweise aus dem Internet auf einen an das Datennetz angeschlossenen Computer
heruntergeladen wird.
Hierzu 3 Seite(n) Zeichnungen
- Leerseite -
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