CN117359645B - 一种单连杆机械臂的自适应预定义时间控制方法 - Google Patents
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Abstract
本发明提供了一种单连杆机械臂的自适应预定义时间控制方法，涉及机器人控制技术领域，具体包括如下步骤：考虑随机噪声、外部干扰和输入饱和的影响，得到单连杆机械臂的状态方程。引入轨迹跟踪误差系统，并设计辅助变量系统来处理控制器的输入饱和问题。利用模糊逻辑系统的逼近特性，对单连杆机械臂的动力学方程中的未知函数进行估计。根据自适应反步法步骤，设计所需的虚拟控制、实际控制和自适应更新率。结合李雅普诺夫稳定性理论对所提出的控制方法进行稳定性分析和仿真验证。本发明的技术方案克服现有技术中中单连杆机械臂的跟踪误差不能在预定的时间内收敛到一个期望的小邻域内的问题。
Description
技术领域
本发明涉及机器人控制技术领域，具体涉及一种单连杆机械臂的自适应预定义时间控制方法。
背景技术
随着科学技术的进步和工业自动化的需求增加，机械臂系统广泛应用于工业自动化领域，用于实现各种任务，如装配、搬运、焊接等。相比于复杂多关节机械臂系统，单连杆机械臂具有简单的结构和操作，仅有一个自由度。这使得单连杆机械臂更容易设计、控制和维护，并且成本相对较低。同时，单连杆机械臂在一些特定任务中具有较高的精确性和重复性。
在实际应用中，单连杆机械臂系统会受到外部干扰和随机噪声的影响，这会对机械臂的控制性能产生很大影响。另外在某些应用场景中，需要机械臂能够在预定的时间内控制关节角度达到指定的目标位置。例如，在流水线上的装配过程中，每个工件都需要在预定的时间间隔内完成。受限于执行器的输出存在输入饱和问题，这也增加了控制器的设计难度。现有的研究中并未针对解决上述问题，因此设计一种新的控制方法是不可或缺的。
因此，现需要一种精度较高的单连杆机械臂的自适应预定义时间控制方法。
发明内容
本发明的主要目的在于提供一种单连杆机械臂的自适应预定义时间控制方法，以解决现有技术中单连杆机械臂的跟踪误差不能在预定的时间内收敛到一个期望的小邻域内的问题。
为实现上述目的，本发明提供了一种单连杆机械臂的自适应预定义时间控制方法，具体包括如下步骤：
S1，考虑随机噪声、外部干扰和输入饱和的影响，得到单连杆机械臂系统的动力学方程。
S2，引入轨迹跟踪误差系统，并设计辅助变量系统来处理控制器的输入饱和问题。
S3，利用模糊逻辑系统的逼近特性，对单连杆机械臂系统的动力学方程中的未知函数进行估计。
S4，根据自适应反步法步骤，设计轨迹跟踪误差系统的虚拟控制、实际控制和自适应更新率。
S5，结合Lyapunov稳定性理论对所提出的控制方法进行稳定性分析和仿真验证。
进一步地，步骤S1具体包括：
S1.1，考虑随机噪声、外部干扰和输入饱和的单连杆机械臂的动力学方程由公式（1）中的状态方程描述：
（1）。
其中，代表单连杆机械臂系统的状态，和分别为单连杆机械臂的位置和速度，为控制器输入，表示单连杆机械臂系统输出，为伺服电机的转动惯量，和分别表示单连杆机械臂系统未知的漂移项函数和扩散项函数，代表连杆的质量，表示重力加速度，为连杆的长度，表示阻尼系数，是一个未知常数，表示单连杆机械臂系统的饱和输入，表示未知的外部干扰，表示标准的一维维纳过程。
S1.2，公式（1）中的为具有非对称输入饱和的控制器，利用公式（2）描述：
（2）。
其中，表示控制器正向输出的最大值，表示控制器反向输出的最大值。
进一步地，步骤S2具体包括：
S2.1，引入的轨迹跟踪误差系统用公式（3）描述：
（3）。
其中，代表误差变量，代表虚拟控制，代表跟踪的参考信号，代表一种辅助控制信号。
S2.2，辅助变量系统由公式（4）描述：
（4）。
其中，为输入饱和的非线性估计。
由公式（5）描述：
（5）；
定义表示控制器饱和输入和估计输入的误差。
根据函数的性质，可以得到：
。
进一步地，步骤S3具体包括：
S3.1，对单连杆机械臂系统的动力学方程中的未知函数进行估计，构造如公式（6）所示的模糊逻辑系统：
（6）。
其中，表示待估计的未知函数，表示待估计的未知函数中的变量；表示理想的权重向量；表示模糊基函数向量，，为一般的高斯函数，即，其中表示高斯函数的中心向量，表示高斯函数的宽度，为模糊规则的总数；表示估计误差。
S3.2，根据模糊逼近引理，模糊逻辑系统允许在紧集上以任意精度逼近未知连续函数。
进一步地，步骤S4具体包括：
S4.1，构造虚拟控制的具体步骤为：
构造李雅普诺夫函数如公式（7）所示：
（7）。
其中为设计参数。
对求导，并结合公式（1）和公式（3）可得：
（8）。
其中为随机系统的微分算子。
由于有：
（9）。
将式（9）代入式（8）可得：
（10）。
设计虚拟控制为：
（11）。
其中。
S4.2，构造实际控制和自适应更新率的具体步骤为：
构造李雅普诺夫函数如公式（12）所示：
（12）；
其中为设计参数，表示最优值与自适应参数的误差。
由公式（1）、公式（3）和公式（4）可得：
（13）。
由于中含有随机项，根据公式可得：
（14）。
根据杨氏不等式，可以得到：
（15）。
（16）。
其中，为常数；
（17）。
设，为待估计的未知函数，利用模糊逻辑系统近似：
（18）。
将公式（15）、公式（16）、公式（17）、公式（18）代入公式（14）可得：
（19）。
根据杨氏不等式可得：
（20）。
将公式（20）代入公式（19）可得：
（21）。
其中。
设计实际控制和自适应更新率为：
（22）。
（23）。
进一步地，步骤S5具体包括：
S5.1，总的李雅普诺夫方程为：
（24）。
将公式（10）、公式（11）、公式（22）、公式（23）代入公式（21）可得：
（25）。
由，可以得到：
（26）。
（27）。
将公式（26）和公式（27）代入公式（25）可得：
（28）。
其中 （29）。
S5.2，由于有：
（30）。
（31）。
将公式（30）和公式（31）代入公式（29）可得：
（32）。
其中系统输出与期望轨迹误差。
定义，
。
若公式（32）成立，则满足：，
，其中，为期望。
本发明具有如下有益效果：
1.本发明提出的控制策略在考虑随机噪声和输入饱和的情况下，可以保证单连杆机械臂的跟踪误差在预定的时间内收敛到一个期望的小邻域内。
2.在存在外部干扰时，单连杆机械臂系统具有性能，可以抵消或补偿外部干扰对跟踪性能的影响，即满足： 。
附图说明
为了更清楚地说明本发明具体实施方式或现有技术中的技术方案，下面将对具体实施方式或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图是本发明的一些实施方式，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。在附图中：
图1示出了本发明的一种单连杆机械臂的自适应预定义时间控制方法的流程图。
图2示出了本发明的单连杆机械臂的结构示意图。
图3示出了本发明的单连杆机械臂系统输出和跟踪参考信号的随时间变化轨迹示意图。
图4示出了本发明的系统输出与期望轨迹的误差随时间变化示意图。
图5示出了本发明的单连杆机械臂的速度随时间变化示意图。
图6示出了本发明的自适应参数随时间变化示意图。
图7示出了本发明的控制器输入随时间变化示意图。
图8示出了本发明的单连杆机械臂系统的饱和输入随时间变化示意图。
图9示出了本发明的随机外部干扰随时间变化示意图。
图10示出了本发明的单连杆机械臂系统（ H无穷）性能随时间变化示意图。
具体实施方式
下面将结合附图对本发明的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
如图1和图2所示的一种单连杆机械臂的自适应预定义时间控制方法，具体包括如下步骤：
S1，考虑随机噪声、外部干扰和输入饱和的影响，得到单连杆机械臂系统的动力学方程。
S2，引入轨迹跟踪误差系统，并设计辅助变量系统来处理控制器的输入饱和问题。
S3，利用模糊逻辑系统的逼近特性，对单连杆机械臂系统的动力学方程中的未知函数进行估计。
S4，根据自适应反步法步骤，设计轨迹跟踪误差系统的虚拟控制、实际控制和自适应更新率。
S5，结合李雅普诺夫Lyapunov稳定性理论对所提出的控制方法进行稳定性分析和仿真验证。
具体地，步骤S1具体包括：
S1.1，标准的单连杆机械臂系统动力模型可以描述为：。
令，考虑随机噪声、外部干扰和输入饱和的单连杆机械臂的动力学方程由公式（1）中的状态方程描述：
（1）。
其中，代表单连杆机械臂系统的状态，和分别为单连杆机械臂的位置和速度，为控制器输入，表示单连杆机械臂系统输出，为伺服电机的转动惯量，和分别表示单连杆机械臂系统未知的漂移项函数和扩散项函数，代表连杆的质量，表示重力加速度，为连杆的长度，表示阻尼系数，是一个未知常数，表示单连杆机械臂系统的饱和输入，表示未知的外部干扰，表示标准的一维维纳过程。
S1.2，针对控制器的输入饱和问题，在单连杆机械臂的动力学方程中构建了具有非对称输入饱和的控制器利用公式（2）描述：
（2）。
其中，表示控制器正向输出的最大值，表示控制器反向输出的最大值。
具体地，步骤S2具体包括：
S2.1，引入的轨迹跟踪误差系统用公式（3）描述：
（3）。
其中，代表误差变量，代表虚拟控制，代表跟踪的参考信号，代表一种辅助控制信号。
S2.2，为处理控制器的输入饱和问题设计了辅助变量系统，辅助变量系统由公式（4）描述：
（4）；
其中，为输入饱和的非线性估计。
由公式（5）描述：
（5）。
定义表示控制器饱和输入和估计输入的误差。
根据函数的性质，可以得到：
。
引入的轨迹跟踪误差系统其微分形式可用下式描述：
。
注意到在加入辅助变量后，将饱和输入消去而引入了实际的控制输入，这样就抵消了输入饱和的影响从而方便进行控制器设计。
具体地，步骤S3具体包括：
S3.1，对单连杆机械臂系统的动力学方程中的未知函数进行估计，构造如公式（6）所示的模糊逻辑系统：
（6）。
其中，表示待估计的未知函数，表示待估计的未知函数中的变量；表示理想的权重向量；表示模糊基函数向量，，为一般的高斯函数，即，其中表示高斯函数的中心向量，表示高斯函数的宽度，为模糊规则的总数；表示估计误差。
S3.2，根据模糊逼近引理，模糊逻辑系统允许在紧集上以任意精度逼近未知连续函数。
具体地，步骤S4具体包括：
S4.1，构造虚拟控制的具体步骤为：
构造李雅普诺夫函数如公式（7）所示：
（7）。
其中为设计参数。
对求导，并结合公式（1）和公式（3）可得：
（8）。
其中为随机系统的微分算子；根据公式，对形如，有下式成立：
。
其中表示矩阵的迹。
根据参考文献【1】：T. Zhang, R. Bai and Y. Li, "Practically Predefined-Time Adaptive Fuzzy Quantized Control for Nonlinear Stochastic Systems WithActuator Dead Zone," in IEEE Transactions on Fuzzy Systems, vol. 31, no. 4,pp. 1240-1253, April 2023, doi: 10.1109/TFUZZ.2022.3197970.可以得到：
（9）。
将式（9）代入式（8）可得：
（10）。
设计虚拟控制为：
（11）。
其中。
S4.2，构造实际控制和自适应更新率的具体步骤为：
构造李雅普诺夫函数如公式（12）所示：
（12）。
其中为设计参数，表示最优值与自适应参数的误差。
由公式（1）、公式（3）和公式（4）可得：
（13）。
由于中含有随机项，根据公式可得：
（14）。
根据参考文献【1】和杨氏不等式，可以得到：
（15）；
（16）。
其中，为常数。
（17）。
设，为待估计的未知函数，利用模糊逻辑系统近似：
（18）。
将公式（15）、公式（16）、公式（17）、公式（18）代入公式（14）可得：
（19）。
根据杨氏不等式可得：
（20）。
将公式（20）代入公式（19）可得：
（21）。
其中。
设计实际控制和自适应更新率为：
（22）。
（23）。
具体地，步骤S5具体包括：
S5.1，总的李雅普诺夫方程为：
（24）。
将公式（10）、公式（11）、公式（22）、公式（23）代入公式（21）可得：
（25）。
由，可以得到：
（26）；
（27）。
将公式（26）和公式（27）代入公式（25）可得：
（28）。
其中 （29）。
S5.2，根据参考文献【1】，可以得到：
（30）。
（31）。
将公式（30）和公式（31）代入公式（29）可得：
（32）。
其中系统输出与期望轨迹误差。
若公式（32）成立，则满足：，
，
其中，为期望。
在没有干扰的情况下闭环系统的所有信号都是半全局实用预定义时间稳定的，且系统轨迹跟踪误差收敛到紧集：
。
值得注意的是，正项可以通过调节参数使其尽可能的小以满足控制需求。
因此，采用设计的虚拟控制、实际控制和自适应更新率后，构造的李雅普诺夫系统保证了系统轨迹跟踪误差实现实用预定义时间收敛并对外部干扰具有（H无穷）性能。
接下来，为了验证本实施例提供的一种单连杆机械臂的自适应实用预定义时间控制方法的有效性，采用MATLAB进行仿真实验验证，并通过附图作出详细说明。
在仿真实验中，选取的单连杆机械臂模型的参数为：，，，，，，，，选择系统的初始状态为：，轨迹跟踪参考信号为：
，外部干扰为：，其中为期望为0方差为1的独立随机过程。设计参数为：
，，，，，，, ，干扰抑制水平。根据设计的虚拟控制如公式（11）、实际控制如公式（22）和参数更新率如公式（23），使用MATLAB进行3次独立的实验以消除随机系统的偶然性，得到的主要仿真结果如图3至图9所示，图3至图9中的不同线型表示3次独立重复运行的结果。
从图3可以看出单连杆机械臂系统输出可很好的跟踪参考信号；图4说明绝大部分情况下系统输出与期望轨迹误差在1以内收敛到小紧集内，这也证明了所提实用预定义时间控制的有效性；图5和图6分别展示了单连杆机械臂的速度的轨迹和自适应参数的收敛情况；图7和图8给出了控制器输入和单连杆机械臂系统的饱和输入；图9为本次仿真实验实验所采用的随机外部干扰；图10显示了系统输出与期望轨迹误差对外部干扰具有的抑制水平。
当然，上述说明并非是对本发明的限制，本发明也并不仅限于上述举例，本技术领域的技术人员在本发明的实质范围内所做出的变化、改型、添加或替换，也应属于本发明的保护范围。
Claims (2)
1.一种单连杆机械臂的自适应预定义时间控制方法，其特征在于，具体包括如下步骤：
S1，考虑随机噪声、外部干扰和输入饱和的影响，得到单连杆机械臂系统的动力学方程；
S2，引入轨迹跟踪误差系统，并设计辅助变量系统来处理控制器的输入饱和问题；
S3，利用模糊逻辑系统的逼近特性，对单连杆机械臂系统的动力学方程中的未知函数进行估计；
S4，根据自适应反步法步骤，设计轨迹跟踪误差系统的虚拟控制、实际控制和自适应更新率；
S5，结合Lyapunov稳定性理论对所提出的控制方法进行稳定性分析和仿真验证；
步骤S1具体包括：
S1.1，考虑随机噪声、外部干扰和输入饱和的单连杆机械臂的动力学方程由公式（1）中的状态方程描述： （1）；
其中，代表单连杆机械臂系统的状态，和分别为单连杆机械臂的位置和速度，为控制器输入，表示单连杆机械臂系统输出，为伺服电机的转动惯量，和分别表示单连杆机械臂系统未知的漂移项函数和扩散项函数，代表连杆的质量，表示重力加速度，为连杆的长度，表示阻尼系数，是一个未知常数，表示单连杆机械臂系统的饱和输入，表示未知的外部干扰，表示标准的一维维纳过程；
S1.2，公式（1）中的为具有非对称输入饱和的控制器，利用公式（2）描述：
（2）；
其中，表示控制器正向输出的最大值，表示控制器反向输出的最大值；
步骤S2具体包括：
S2.1，引入的轨迹跟踪误差系统用公式（3）描述：
（3）；
其中，代表误差变量，代表虚拟控制，代表跟踪的参考信号，代表一种辅助控制信号；
S2.2，辅助变量系统由公式（4）描述：
（4）；
其中，为输入饱和的非线性估计；
由公式（5）描述：
（5）；
定义表示控制器饱和输入和估计输入的误差；
根据函数的性质，可以得到：
；
步骤S3具体包括：
S3.1，对单连杆机械臂系统的动力学方程中的未知函数进行估计，构造如公式（6）所示的模糊逻辑系统：
（6）；
其中，表示待估计的未知函数，表示待估计的未知函数中的变量；表示理想的权重向量；表示模糊基函数向量，，为一般的高斯函数，即，其中表示高斯函数的中心向量，表示高斯函数的宽度，为模糊规则的总数；表示估计误差；
S3.2，根据模糊逼近引理，模糊逻辑系统允许在紧集上以任意精度逼近未知连续函数；
步骤S4具体包括：
S4.1，构造虚拟控制的具体步骤为：
构造李雅普诺夫函数如公式（7）所示：
（7）；
其中为设计参数；
对求导，并结合公式（1）和公式（3）可得：
（8）；
其中为随机系统的微分算子；
由于有：
（9）；
将式（9）代入式（8）可得：
（10）；
设计虚拟控制为：
（11）；
其中；
S4.2，构造实际控制和自适应更新率的具体步骤为：
构造李雅普诺夫函数如公式（12）所示：
（12）；
其中为设计参数，表示最优值与自适应参数的误差；
由公式（1）、公式（3）和公式（4）可得：
（13）；
由于中含有随机项，根据公式可得：
（14）；
根据杨氏不等式，可以得到：
（15）；
（16）；
其中，为常数；
（17）；
设，为待估计的未知函数，利用模糊逻辑系统近似：
（18）；
将公式（15）、公式（16）、公式（17）、公式（18）代入公式（14）可得：
（19）；
（20）；
将公式（20）代入公式（19）可得：
（21）；
其中；
设计实际控制和自适应更新率为：
（22）；
（23）。
2.根据权利要求1所述的一种单连杆机械臂的自适应预定义时间控制方法，其特征在于，步骤S5具体包括：
S5.1，总的李雅普诺夫方程为：
（24）；
将公式（10）、公式（11）、公式（22）、公式（23）代入公式（21）可得：
（25）；
由，可以得到：
（26）；
（27）；
将公式（26）和公式（27）代入公式（25）可得；
（28）；
其中 （29）；
S5.2，由于有：
（30）；
（31）；
将公式（30）和公式（31）代入公式（29）可得：
（32）；
其中系统输出与期望轨迹误差；
定义，；
若公式（32）成立，则满足：，
，
其中，为期望。
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