CN116414024A - 一种基于史密斯预估器的pid控制系统及参数整定方法 - Google Patents

一种基于史密斯预估器的pid控制系统及参数整定方法 Download PDF

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CN116414024A CN202210197877.9A CN202210197877A CN116414024A CN 116414024 A CN116414024 A CN 116414024A CN 202210197877 A CN202210197877 A CN 202210197877A CN 116414024 A CN116414024 A CN 116414024A
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张西
卢旭东
单银忠
谭川
王慧召
万晖
孙明
延寒
冯小雅
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Abstract

本发明属于自动化控制技术领域，具体涉及一种基于史密斯预估器的PID控制系统及参数整定方法，该系统参数方法的整定方向清晰，整定方法形象直观，具有明确的调试规律和物理意义，更能满足现场控制工程师的调试习惯，避免了通过经验整定公式带来的参数意义不清楚和调试过程不明确的问题；本发明广泛适用于工业过程自动化控制领域，尤其适用于火电厂、石油化工，钢铁冶金等过程控制领域。

Description

一种基于史密斯预估器的PID控制系统及参数整定方法
技术领域
本发明属于自动化控制技术领域，具体涉及一种基于史密斯预估器的PID控制系统及参数整定方法。
背景技术
PID控制器结构的调节器广泛应用于工业控制领域中，在一些复杂的控制律中，其基本控制层采用的仍然是PID控制算法。但PID控制对纯延迟系统效果不佳，在工业过程中，被控对象或多或少存在一定的纯延迟特性，纯延迟特性往往使系统稳定性降低，动态性能变坏，可能引起超调或振荡。于是专门针对纯延迟系统设计的控制策略，即史密斯预估器SP诞生了。史密斯预估器SP通过引入一个和被控对象并联的补偿器对纯延迟进行消除，经过史密斯预估器SP的补偿，纯延迟环节被转移到闭环控制回路之外，史密斯预估器的引入很好地补偿了大迟延对象的纯延迟特性，提高了系统的稳定性和动态特性。
但史密斯预估器SP往往要求补偿器的参考模型必须和被控对象的传递函数相匹配，而对象的传递函数往往难于精确获得，另一方面目前对PID控制参数整定需要进行大量工作，通常根据经验对比例单元P、积分单元I和微分单元D，通过Kp，Ki和Kd三个参数进行试凑，费时费力，如何寻找基于史密斯预估器的PID控制器的一个简洁高效的参数整定方法，一直是一个难点。
发明内容
本发明的目的为：为解决现有技术中存在的问题，本发明从工程应用角度出发，结合了史密斯预估器和PID控制器的特点，提供一种基于史密斯预估器的PID控制系统及参数整定方法。
本发明的技术方案
一种基于史密斯预估器的PID控制系统，其特征在于：包括被控对象、PID控制器和史密斯预估器SP，PID控制器包括比例单元P、积分单元I、微分单元D和控制器增益系数kc，所述PID控制器的传递函数为：
Figure BDA0003527853070000021
其中Ti为积分时间，kp为比例系数，Td为微分时间，kd为微分系数，kc为控制器增益系数；
Ti、kp、Td、kd、表达式分别为：
Figure BDA0003527853070000022
ω0为PID控制器的滤波参数，ωc为闭环期望的PID控制器带宽，ξ为阻尼比；
则，PID控制器的传递函数
Figure BDA0003527853070000023
化为如下公式：
Figure BDA0003527853070000024
令λ为闭环期望的PID控制器带宽ωc与PID控制器的滤波参数ω0的比值，即
Figure BDA0003527853070000025
则Ti、kp、Td、kd、的表达式分别为：
Figure BDA0003527853070000026
kp＝2ξλ-λ2，/>
Figure BDA0003527853070000027
kd＝(1-2ξλ+λ2)；
史密斯预估器模型与PID控制器相匹配，其模型的传递函数
Figure BDA0003527853070000028
k＝kc*Kλωc，则可得到史密斯预估器模型G0(s)：
Figure BDA0003527853070000031
其中K为被控对象的稳态增益，λ为闭环期望的PID控制器带宽ωc与PID控制器的滤波参数ω0的比值。
当ξ＝1，λ＝1，PID控制器简化为PI控制器，PI控制器的传递函数为
Figure BDA0003527853070000032
当ξ＝1，λ＝1，史密斯预估器的参考模型为/>
Figure BDA0003527853070000033
基于史密斯预估器的PID控制系统的参数整定方法，其特征在于：包括如下步骤：
1)基于史密斯预估器的PID控制器在被控对象的控制系统上进行控制算法组态；
2)现场获取被控对象的飞升曲线，得到被控对象的可作为初始值的稳态增益K、近似一阶或二阶惯性加纯迟延系统的时间参数T和延迟时间τ；
3)不投入史密斯预估器，即令a＝0，a代表系统是否投入史密斯预估器控制值，阻尼比ξ的初值为1，选择PID控制器或者PI控制器调节被控对象，当使用PID控制器时，设置λ＝0.1，再设置ωc、kc初值；当使用PI控制器时，设置λ＝1，再设置ωc、kc初值；
4)当PID或PI控制器在调节过程中，如果闭环控制效果无超调且调节时间最快时，获取PID或PI控制器当前ωc、kc的值，然后改变ωc，再重新调节出一个闭环控制效果无超调且调节时间最快的kc，两者比较取较佳者，直到最终得到一个最佳的ωc、kc的值；
5)投入史密斯预估器，即令a＝1，当使用PID控制器时，设置史密斯预估器的参考模型
Figure BDA0003527853070000034
当使用PI控制器时，ξ＝1，λ＝1，设置史密斯预估器的参考模型/>
Figure BDA0003527853070000035
6)史密斯预估器延迟时间t的初值从大于0的数开始增加，此时kc在原来PID的最佳kc的基础上逐渐增大，获取一个无超调最快响应曲线，记下此时的kc，然后增大t，又获取一个最佳kc，两者比较取较佳者，直到最终获得最佳的延迟时间t和kc。
更进一步地，基于史密斯预估器的PID控制系统的参数整定方法，步骤1)中，被控对象的控制系统包括DCS控制系统和PLC控制系统。
基于史密斯预估器的PID控制系统的参数整定方法，步骤4)中，所述阻尼比ξ初值为1，如果闭环控制效果不好，适当减少ξ，阻尼比ξ取值范围为0＜ξ≤1。
基于史密斯预估器的PID控制系统的参数整定方法，步骤4)中，无超调指的是超调量不超过5％，低调不超过-2.5％的控制指令响应曲线，在无超调的目标下，如果被控对象为二阶对象
Figure BDA0003527853070000041
PID的最佳整定参数为：λ＝0.1、ξ＝ζ、
Figure BDA0003527853070000042
基于史密斯预估器的PID控制系统的参数整定方法，如果被控对象是一阶对象
Figure BDA0003527853070000043
则PI控制器的最佳参数为/>
Figure BDA0003527853070000044
基于史密斯预估器的PID控制系统的参数整定方法，步骤5)中，当使用PID控制器时，设置史密斯预估器的参考模型为：
Figure BDA0003527853070000045
基于史密斯预估器的PID控制系统的参数整定方法，在所述步骤6)中将史密斯预估器的延迟时间t的初值从被控对象的延迟时间τ开始，取不同t值下获得的最佳kc，两者比较取最佳，直到获得最佳延迟时间t和kc。
基于史密斯预估器的PID控制系统的参数整定方法，在步骤6)中当史密斯预估器的延迟时间t的初值从被控对象的延迟时间τ开始赋值，t可能是增加也可能是减少，延迟时间t值变化的方向是根据是否获得更好的响应曲线的t和kc而定。
本发明的有益效果：
本发明提供一种基于史密斯预估器的PID控制系统及参数整定方法，该系统参数方法的整定方向清晰，整定方法形象直观，具有明确的调试规律和物理意义，更能满足现场控制工程师的调试习惯，避免了通过经验整定公式带来的参数意义不清楚和调试过程不明确的问题。
本发明广泛适用于工业过程自动化控制领域，尤其适用于火电厂、石油化工，钢铁冶金等过程控制领域。
附图说明
图1为实施例一中基于史密斯预估器的PID控制系统结构图；
图2为实施例三中PID控制器算法组态图；
图3为实施例三中主汽温系统单位阶跃响应曲线及它的一阶简化模型的单位阶跃响应曲线；
图4为实施例三中使用史密斯预估器和未使用史密斯预估器的PI控制器的系统输出响应曲线；
图5为实施例四中由于模型未知，PID控制器在不同控制器带宽下的最佳kc值系统输出响应曲线最佳参数的对比图；
图6为实施例四中史密斯预估器在不同延迟时间下的最佳kc值系统输出响应曲线；
图7为实施例四和例五中史密斯预估器模型有零点和无零点的最佳kc值系统输出响应曲线；
图8为本发明所涉及的基于史密斯预估器的PID控制系统的参数整定方法步骤流程框图。
具体实施方式
下面对照附图，通过对实施例的描述，对本发明的具体实施方式如所涉及的各构件的形状、构造、各部分之间的相互位置及连接关系、各部分的作用及工作原理、制造工艺及操作使用方法等，作进一步详细的说明，以帮助本领域的技术人员对本发明的构思、技术方案有更完整、准确和深入的理解：
实施例一：
本实施例的一种基于史密斯预估器的PID控制系统，包括被控对象、PID控制器和史密斯预估器，如图1所示。
PID控制器包括比例单元P、积分单元I、微分单元D和控制器增益系数kc，其传递函数为：
Figure BDA0003527853070000061
通过整理可得传递函数为：
Figure BDA0003527853070000062
其中kp为比例系数；Ti为积分时间；kd为微分系数；Td为微分时间；kc为控制器增益系数；ω0为PID控制器的滤波参数；ωc为闭环期望的PID控制器带宽；ξ为阻尼比。
它们之间的参数表达式分别为：
Figure BDA0003527853070000063
令PID控制器带宽ωc与闭环期望的PID控制器滤波参数ω0的比值为λ，则
Figure BDA0003527853070000064
kp＝2ξλ-λ2，/>
Figure BDA0003527853070000065
kd＝(1-2ξλ+λ2)
当ξ＝1，λ＝1，PID控制器可以简化为PI控制器，
Figure BDA0003527853070000066
传统的史密斯预估器要求模型和控制对象相匹配，控制对象模型为GP(s)e-τs，则史密斯预估器模型为G0(s)＝GP(s)，史密斯预估器通过引入一个和被控对象并联的补偿器G0(s)(1-e-τs)，其中G0(s)＝GP(s)，对纯延迟进行消除，经过史密斯预估器的补偿，纯延迟环节被转移到闭环控制回路之外，史密斯预估器的引入很好地补偿了大迟延对象的纯延迟特性，提高了系统的稳定性和动态特性。但是现场的控制对象往往是时变参数，G0(s)≠GP(s)，这样限制了史密斯预估器在现场的使用。
换个思路，如果G0(s)为对象的理想模型，但G0(s)≠GP(s)，基于史密斯预估器的PID控制器的传递函数表达式为：
Figure BDA0003527853070000071
其中Gc(s)可能是PID控制器，G0(s)为对象的理想模型，τ为对象的延迟时间。
如果令
Figure BDA0003527853070000072
则/>
Figure BDA0003527853070000077
相当于控制器后面串接了一个
Figure BDA0003527853070000073
环节，此环节相当于一个零阶保持器
Figure BDA0003527853070000074
的单位反馈。
因此大胆假定史密斯预估器的模型是和PID控制器相匹配，其模型的传递函数为
Figure BDA0003527853070000075
k＝Kkcωc，当ξ＝1，λ＝1，模型可简化为
Figure BDA0003527853070000076
史密斯预估器的模型G0(s)和控制对象相匹配的唯一参数是被控对象的稳态增益K，这个可以通过现场测量直接获得。
实施例二：
本实施例提供基于史密斯预估器的PID控制系统的参数整定方法，如图8所示，包括如下步骤：
1)基于史密斯预估器的PID控制器在被控对象的控制系统上进行控制算法组态；被控对象的控制系统包括DCS控制系统和PLC控制系统；
2)现场获取被控对象的飞升曲线，得到被控对象的稳态增益K、近似一阶或二阶惯性加纯迟延系统的时间参数T和延迟时间τ；
3)不投入史密斯预估器，即令a＝0，选择PID控制器或者PI控制器调节被控对象，当使用PID控制器时，设置λ＝0.1，ξ＝1，再设置ωc、kc初值；当使用PI控制器时，设置λ＝1，ξ＝1，再设置ωc、kc初值；
4)当PID或PI控制器在调节过程中，如果闭环控制效果无超调且调节时间最快时，获取PID或PI控制器当前ωc、kc的值，否则，重新调节PID或PI控制器参数ωc、kc的值，直至闭环控制效果无超调且调节时间最快；所述阻尼比ξ初值为1，如果闭环控制效果不好，适当减少ξ，阻尼比ξ取值范围为0＜ξ≤1；
无超调指的是超调量不超过5％，低调不超过-2.5％的控制指令响应曲线，在无超调的目标下，如果被控对象为二阶对象
Figure BDA0003527853070000081
PID的最佳整定参数为：λ＝0.1、ξ＝ζ、/>
Figure BDA0003527853070000082
如果被控对象是一阶对象
Figure BDA0003527853070000083
则PI控制器的最佳参数为
Figure BDA0003527853070000084
优选的，步骤4)中，当使用PID控制器时，设置史密斯预估器的参考模型为：
Figure BDA0003527853070000085
5)投入史密斯预估器，即令a＝1，当使用PID控制器时，设置史密斯预估器的参考模型
Figure BDA0003527853070000086
当使用PI控制器时，ξ＝1，λ＝1，设置史密斯预估器的参考模型/>
Figure BDA0003527853070000087
6)史密斯预估器延迟时间t的初值从0开始增加直到等于τ值，在史密斯预估器延迟时间t增加的过程中逐渐增大kc值，如果获得最好的无超调响应曲线，则进入到步骤7)，否则，如果史密斯预估器延迟时间t的初值从0开始增加直到等于τ值过程中，无法获得最好的无超调响应曲线时，进入步骤8)；
7)获取当前史密斯预估器延迟时间t，并把当前的kc值作为最佳值，此时参数已经调到最佳；
8)当无法获得最好的无超调响应曲线时，史密斯预估器的延迟时间t的初值从被控对象的延迟时间τ开始，逐渐增大，并调节kc值，直至获得最好的无超调响应曲线，再回到步骤7)。
由以上步骤可见，本发明的方法调试步骤清晰，调试规律明确，满足现场控制需要，参数意义设定清楚和调试过程明确，调试时间较短，适用于DCS控制系统和PLC控制系统的自动控制。
实施例三：
本实施例采用本发明控制系统及参数整定方法对某330MW循环流化床机组主汽温控制系统进行自动控制，该机组的主汽温系统模型如下
Figure BDA0003527853070000091
其中，P1(s)为导前区模型(℃/％)，P2(s)为惰性区模型(℃/℃)，两者串联后的单位阶跃响应曲线如图4所示。
该系统近似FOPTD模型如下：
Figure BDA0003527853070000092
主汽温系统模型及它的简化模型的阶跃响应曲线见图3。
参数整定方法包括：
第1步，基于本发明的PID控制器在被控对象的控制系统上进行控制算法组态，如图1和图2所示；
第2步，现场采用飞升曲线法，获取被控对象的稳态增益K、近似一阶惯性加纯迟延FOPTD系统的时间参数T和τ，即K＝-2.51，T1＝80，τ1＝84.2；
第3步，由于被控对象的飞升曲线无超调，因此设置各参数初值，λ初值选择为1，阻尼比ξ初值为1；此时实际采用PI控制方式ξ＝1，λ＝1，由于第2步已经知道对象的K＝-2.51，T1＝80，τ1＝84.2，则PI最佳参数为
Figure BDA0003527853070000101
第4步，设置史密斯预估器的模型
Figure BDA0003527853070000102
其中K＝-2.51，ωc＝0.0125。
第5步，设置模型的延迟时间，τ＝84.2，调节kc，初值从-0.19，慢慢减少，直到kc＝-0.8获得最佳效果，如图4所示。
通过有无史密斯预估器的比较，可以发现加了史密斯预估器后，闭环响应的调节时间明显缩短了，前者269.4秒，后者192.6秒，提高了28％，超调前者4.54％，后者4.32％，也有一个缺点，有4％低调。
实施例四：
本例采用本发明系统以及参数整定方法对实施例三中330MW循环流化床机组的主汽温系统模型进行自动控制，与实施例三相比，本例选取PID控制器ξ＝1，λ＝0.1，包括如下步骤：
直接从第3步开始：由于第2步不知道模型的二阶简化对象
Figure BDA0003527853070000103
的时间参数T2和延迟时间τ2，所以第3步只能通过调节PID的参数ωc、kc，近似获得对象参数。
由于原模型
Figure BDA0003527853070000104
最大的时间参数是28.234，估计简化的二阶模型时间参数要大于28.234，同时也小于一阶简化模型的T1＝80，所以PID参数ωc初值/>
Figure BDA0003527853070000105
逐渐减小ωc，每减小一次ωc，调节最佳控制器增益系数kc，ωc分别取值0.03，0.025，0.02，0.015，选择出最佳的k值，系统最佳响应曲线如图5所示，整定完成后四条曲线控制参数分别为：
ωc＝0.03，kc＝-0.7，超调量σ＝2.95％，取5％稳态误差时，调节时间ts＝346；
ωc＝0.025，kc＝-1，超调量σ＝3.53％，取5％稳态误差时，调节时间ts＝282；
ωc＝0.02，kc＝-1.5，超调量σ＝3.23％，取5％稳态误差时，调节时间ts＝218；
ωc＝0.015，kc＝-2.2，超调量σ＝4.36％，取5％稳态误差时，调节时间ts＝404
最终选择最佳参数为ωc＝0.02，kc＝-1.5。
第4步，设置史密斯预估器的模型
Figure BDA0003527853070000111
其中K＝-2.51，ωc＝0.02，ξ＝1，λ＝0.1。
第5步，投入史密斯预估器，史密斯预估器延迟时间的初值从0开始增加，调节增大kc来获得最好的无超调响应曲线，直到等于某个τ值后，再增大τ，闭环响应出现欠调，后劲不足，说明参数已经调到最佳了。
τ＝0，kc＝-1.5，调节时间ts＝218，超调量σ＝3.23％
τ＝30，kc＝-2.1，调节时间ts＝204.5，超调量σ＝3.74％
τ＝60，kc＝-5，调节时间ts＝160，超调量σ＝4.21％
τ＝70，kc＝-10，曲线看起来不好且控制量u的曲线也不好，舍去。
最后τ＝60，kc＝-5为最佳。比未使用史密斯预估器的控制器缩短了26％的调节时间。同时也可以判断原模型的二阶简化模型大概是
Figure BDA0003527853070000112
和实施例三相比，使用基于史密斯预估器的PI控制器的调节时间为192.6秒，而使用基于史密斯预估器的PID控制器的调节时间是160秒，又前进了一步，缩短了16.9％时间
实施例五：
本例采用本发明系统以及参数整定方法对实施例四中330MW循环流化床机组的主汽温系统模型进行自动控制，与实施例四相比，本例选取史密斯预估器
Figure BDA0003527853070000121
其它参数同例四，只是将控制器增益调到kc＝-5.5，此时超调3.18％，调节时间154秒，快了6秒，同时超调降低，但缺点是低调也增大了。见图7。
上述实施例为本发明较佳的实施方式，但本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所做的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种基于史密斯预估器的PID控制系统，其特征在于：包括被控对象、PID控制器和史密斯预估器SP，PID控制器包括比例单元P、积分单元I、微分单元D和控制器增益系数kc，所述PID控制器的传递函数为：
Figure FDA0003527853060000011
其中Ti为积分时间，kp为比例系数，Td为微分时间，kd为微分系数，kc为控制器增益系数；
Ti、kp、Td、kd、表达式分别为：
Figure FDA0003527853060000012
ω0为PID控制器的滤波参数，ωc为闭环期望的PID控制器带宽，ξ为阻尼比；
则，PID控制器的传递函数
Figure FDA0003527853060000013
化为如下公式：
Figure FDA0003527853060000014
令λ为闭环期望的PID控制器带宽ωc与PID控制器的滤波参数ω0的比值，即
Figure FDA0003527853060000015
则Ti、kp、Td、kd、的表达式分别为：
Figure FDA0003527853060000016
kp＝2ξλ-λ2，/>
Figure FDA0003527853060000017
kd＝(1-2ξλ+λ2)；
史密斯预估器模型与PID控制器相匹配，其模型的传递函数
Figure FDA0003527853060000018
k＝kc*Kλωc，则可得到史密斯预估器模型G0(s)：
Figure FDA0003527853060000021
其中K为被控对象的稳态增益，λ为闭环期望的PID控制器带宽ωc与PID控制器的滤波参数ω0的比值。
2.根据权利要求1所述的一种基于史密斯预估器的PID控制系统，其特征在于：当ξ＝1，λ＝1，PID控制器简化为PI控制器，PI控制器的传递函数为
Figure FDA0003527853060000022
当ξ＝1，λ＝1，史密斯预估器的参考模型为/>
Figure FDA0003527853060000023
3.根据权利要求1或2所述基于史密斯预估器的PID控制系统的参数整定方法，其特征在于：包括如下步骤：
1)基于史密斯预估器的PID控制器在被控对象的控制系统上进行控制算法组态；
2)现场获取被控对象的飞升曲线，得到被控对象的可作为初始值的稳态增益K、近似一阶或二阶惯性加纯迟延系统的时间参数T和延迟时间τ；
3)不投入史密斯预估器，即令a＝0，a代表系统是否投入史密斯预估器控制值，阻尼比ξ的初值为1，选择PID控制器或者PI控制器调节被控对象，当使用PID控制器时，设置λ＝0.1，再设置ωc、kc初值；当使用PI控制器时，设置λ＝1，再设置ωc、kc初值；
4)当PID或PI控制器在调节过程中，如果闭环控制效果无超调且调节时间最快时，获取PID或PI控制器当前ωc、kc的值，然后改变ωc，再重新调节出一个闭环控制效果无超调且调节时间最快的kc，两者比较取较佳者，直到最终得到一个最佳的ωc、kc的值；
5)投入史密斯预估器，即令a＝1，当使用PID控制器时，设置史密斯预估器的参考模型
Figure FDA0003527853060000024
当使用PI控制器时，ξ＝1，λ＝1，设置史密斯预估器的参考模型
Figure FDA0003527853060000025
6)史密斯预估器延迟时间t的初值从大于0的数开始增加，此时kc在原来PID的最佳kc的基础上逐渐增大，获取一个无超调最快响应曲线，记下此时的kc，然后增大t，又获取一个最佳kc，两者比较取较佳者，直到最终获得最佳的延迟时间t和kc。
4.根据权利要求3所述基于史密斯预估器的PID控制系统的参数整定方法，其特征在于：步骤1)中，被控对象的控制系统包括DCS控制系统和PLC控制系统。
5.根据权利要求3所述基于史密斯预估器的PID控制系统的参数整定方法，其特征在于：步骤4)中，所述阻尼比ξ初值为1，如果闭环控制效果不好，适当减少ξ，阻尼比ξ取值范围为0＜ξ≤1。
6.根据权利要求3所述基于史密斯预估器的PID控制系统的参数整定方法，其特征在于：步骤4)中，无超调指的是超调量不超过5％，低调不超过-2.5％的控制指令响应曲线，在无超调的目标下，如果被控对象为二阶对象
Figure FDA0003527853060000031
PID的最佳整定参数为：λ＝0.1、ξ＝ζ、/>
Figure FDA0003527853060000032
7.根据权利要求3所述基于史密斯预估器的PID控制系统的参数整定方法，其特征在于：如果被控对象是一阶对象
Figure FDA0003527853060000033
则PI控制器的最佳参数为
Figure FDA0003527853060000034
8.根据权利要求3所述基于史密斯预估器的PID控制系统的参数整定方法，其特征在于：步骤5)中，当使用PID控制器时，设置史密斯预估器的参考模型为：
Figure FDA0003527853060000035
9.根据权利要求3所述基于史密斯预估器的PID控制系统的参数整定方法，其特征在于：在所述步骤6)中将史密斯预估器的延迟时间t的初值从被控对象的延迟时间τ开始，取不同t值下获得的最佳kc，两者比较取最佳，直到获得最佳延迟时间t和kc。
10.根据权利要求9所述基于史密斯预估器的PID控制系统的参数整定方法，其特征在于，在步骤6)中当史密斯预估器的延迟时间t的初值从被控对象的延迟时间τ开始赋值，t可能是增加也可能是减少，延迟时间t值变化的方向是根据是否获得更好的响应曲线的t和kc而定。
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