CN114661056B - 一种考虑推进器伺服控制的差动水面无人船轨迹跟踪方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种考虑推进器伺服控制的差动水面无人船轨迹跟踪方法，本发明以推进器电机的占空比为控制输入，考虑到电机的动态响应，使控制器可以直接应用于实际的差动驱动水面无人船。与现在广泛采用的无人船控制方法相比，本发明：（1）在考虑推进器伺服环动态响应的情况下，使无人水面船的轨迹跟踪误差稳定在一个非常小的有限区间内。（2）以推进器的电机占空比作为系统输入，考虑了推进器电机的动态响应性能，可以直接应用于实际的水面无人船上而不需要其他的修改。

Description

一种考虑推进器伺服控制的差动水面无人船轨迹跟踪方法

技术领域

本发明属于水面无人船控制技术领域，涉及一种考虑推进器伺服控制的差动水面无人船轨迹跟踪方法。

背景技术

水面无人船是海洋勘探、搜索巡逻、环境监测等领域的重要辅助设备。其中，差动驱动的水面无人船机械结构简单而且操作方便，具有广泛的应用前景。轨迹跟踪是指无人船的位置跟踪期望的时变参考位置，是无人船运动控制的主要目标之一。

差动式无人船通常只有两个平行安装在船体的两侧的推进器，每个推进器提供独立的推力从而实现船的运动控制。其中，纵向平动由两螺旋桨推力之和实现，偏航方向的旋转由两个推进器的推力之差实现，而在横向上没有推力，所以差动驱动水面无人船是欠驱动的。欠驱动无人船的跟踪问题尤其具有挑战性，因为大多数欠驱动系统不是完全反馈线性化的，并且表现出非完整约束。此外，无人船动力学模型是高度非线性和强耦合的，带有未知时变扰动的不利环境以及模型不确定性等困难使得控制器设计更具挑战性。

然而，目前的研究主要集中在外环控制器的设计上，即速度和位置控制，而对推进器伺服内环的研究较少。大多数控制器的目标是设计以推力为控制量的控制律，而不考虑推进器控制。这样的控制器是无法直接使用的，因为我们不能直接向系统输入一个给定的推力值，而是要使用推进器产生推力。一般情况下，差动无人船使用电机螺旋桨作为推进器，电机的占空比作为系统直接的控制输入。因此，有必要用微分方程来描述电机从占空比到推力的动态过程响应。并且，电机的占空比必须限制在-1到1之间，因此控制器设计过程中还必须考虑到输入饱和约束问题。

发明内容

本发明的目的是提供一种考虑推进器伺服控制的差动水面无人船轨迹跟踪方法，本发明以推进器电机的占空比为控制输入，考虑到电机的动态响应，使控制器可以直接应用于实际的差动驱动水面无人船。

为了实现上述目的，本发明可通过以下技术方案予以实现：

一种考虑推进器伺服控制的差动水面无人船轨迹跟踪方法，该差动水面无人船包括运动学模型，动力学模型和执行器模型，该考虑推进器伺服控制的差动水面无人船轨迹跟踪方法包括以下步骤：

1)通过所述运动学模型，动力学模型和执行器模型建立无人船数学模型，并从传感器获得无人船当前的位置和角度η，给定期望位置轨迹η_1d，计算船体坐标系下的位置跟踪误差；

2)从传感器获得无人船当前的速度v，根据所述位置跟踪误差的动态方程，通过设计运动学控制律，输出速度参考值

用于动力学控制律的设计，使位置误差信号收敛；

3)通过与所述动力学模型连接的扰动观测器，估计未知时变的扰动d，并将观测值

用于所述动力学控制律的设计；

4)根据实际速度与所述设计速度参考值的误差的动态方程，通过设计动力学控制律，得到推力参考值，并解出推进器电机转速的参考值ω_d用于所述执行器控制律的设计，使速度误差信号收敛；同时在设计过程中通过引入所述扰动观测器的观测值

来补偿控制中由扰动和模型不确定性带来的误差；

5)根据实际推进器电机转速与所述推进器电机转速参考值的误差的动态方程，通过设计执行器控制律，得到电机占空比α_c，使转速误差信号收敛；在设计过程中考虑到占空比存在的输入饱和约束，设计了处理输入饱和约束的辅助动态系统，该输入饱和约束辅助动态系统与所述执行器模型相连，直接向无人船输入推进器电机占空比α。

进一步地，所述步骤1)具体为：首先定义世界坐标系{O}＝(x_O，y_O，z_O)和船体坐标系{B}＝(x_B，y_B，z_B)，其中O位于地面上任意一点，x_O，y_O，z_O分别指向正北、正东和地心；B位于船的重心，x_B，y_B，z_B分别指向船的前方、右舷和船底。对无人船的运动学-动力学-执行器系统建立数学模型：

其中η＝[x，y，ψ]^T表示世界坐标系下在x_O，y_O方向的位移和绕z_O轴的偏航角度；

v＝[u，v，r]^T表示船体坐标系下在x_B，y_B方向的速度和绕z_B轴的偏航角速度；

ω＝[ω₁，ω₂]^T表示两个推进器电机的转速；α＝[α₁，α₂]^T表示控制器给两个推进器电机的占空比信号；J(ψ)是旋转矩阵，且

M₀＝diag(m₁₁，m₂₂，m₃₃)是惯性矩阵的标称值；C₀(v)是科氏力矩阵的标称值，且

D₀＝diag(d₁₁，d₂₂，d₃₃)是阻尼矩阵的标称值；d表示来自外部环境的干扰力和力矩以及系统实际模型与标称值之间的误差；K_α＝diag(k_α1，k_α2)是电机的标称系数矩阵，k_α1，k_α2分别是两个电机输入占空比与电机转速之间的标称系数；τ₀(ω)＝[τ_u0，0，τ_r0]^T表示推进器提供的标称推力，且

τ_u0＝K_τ1|ω₁|+K_τ2|ω₂|，

τ_r0＝K_τ1B|ω₁|/2+K_τ2B|ω₂|/2，

B是船的宽度，γ₁，γ₂是推力衰减系数，K_Fa1，K_Fa2，K_Fb1，K_Fb2是无量纲的常数，ρ是水的密度，D₁，D₂分别是左右两个推进器螺旋桨的直径，μ是水流速度相对于船速的衰减系数；f(ω)表示推进器电机的动态响应，且

f(ω)＝K_ω|ω|-ω，

|ω|＝[|ω₁|，|ω₂|]^T，

N_c1，N_c2是电机负载传递系数，K_Ta1，K_Ta2，K_Tb1，K_Tb2是无量纲的常数；

从传感器获得无人船当前的位置和角度η，在给定期望位置轨迹η_1d＝[x_d(t)，y_d(t)]^T的情况下，希望船的轨迹η₁＝[x(t)，y(t)]^T跟踪η_1d，计算船体坐标系下的跟踪误差为：

η_1e＝R^T(η₁-η_1d)。

进一步地，所述步骤2)中，为了避免控制中的奇异问题，将被控制的位置平移到距离船质心靠前的一个点，定义z₁＝η_1e-Δ，其中Δ＝[δ，0]^T，δ是一个人为选取的非常小的标量参数，

从传感器获得无人船当前的速度v，计算z₁对时间的导数为：

其中，

是速度参考值；

是实际速度与速度参考值之间的误差；v′＝[0，v]；P＝diag(1，-δ)；S(r)是一个叉乘矩阵：

为了使位置的误差收敛，令速度参考值为：

其中K₁＝diag(k₁₁，k₁₂)是一个人为设计的正定参数。

进一步地，所述步骤3)具体为：建立扰动观测器用于估计未知时变的扰动d：

其中

是d的估计值；ζ是辅助系统的状态变量，ζ(0)＝0_3×1；K_d＝diag(k_d1，k_d2，k_d3)是一个人为设计的正定参数。

通过设计的扰动观测器，可以使外部扰动和模型不确定性的估计值

与实际值d的误差有界。

进一步地，所述步骤4)具体为：

定义跟踪速度误差为

计算z₂关于时间的导数为

其中M^*＝diag(m₁₁，m₃₃)；ω_d＝[ω_1d，ω_2d]^T是推进器电机的转速参考值；

τ_e＝τ₀(ω)-τ₀(ω_d)是标称推力与推力参考值的误差；

为了使速度误差收敛，令推力的参考值为：

其中τ_d＝[τ_ud，τ_rd]^T＝Wτ₀(ω_d)；K₂＝diag(k₂₁，k₂₂)是一个人为设计的正定参数；

解如下方程：τ_d＝Wτ₀(ω_d)，可以得到推进器电机的转速参考值ω_d的唯一解。

进一步地，所述步骤5)具体为：

定义转速跟踪误差为z₃＝ω-ω_d，计算z₃关于时间的导数为

计算电机占空比的指令值α_c＝[α_c1，α_c2]^T：

其中K₃＝diag(k₃₁，k₃₂)是一个人为设计的正定参数；K_c＝diag(k_c1，k_c2)是一个人为设计的正定参数；ξ是一个处理饱和约束辅助系统的状态量，且

K_ξ＝diag(k_ξ1，k_ξ2)是一个人为设计的正定参数；σ是一个非常小的正数；Δα是饱和约束前的占空比α_c与饱和约束后α＝[α₁，α₂]^T的占空比之差，即

Δα＝α-α_c，

根据以上步骤1)至步骤5)所设计的控制律，可以证明，无人船-控制器构成的闭环系统的李雅普诺夫函数

关于时间的导数

满足

其中κ是一个可以由控制器设计的比较大的标量，C是一个和闭环系统参数有关的比较小的有界标量。这说明跟踪误差η_1e在零附近的一个小邻域内，且闭环中所有物理量都是一致有界的，从而实现了对水面无人船的位置控制。

有益效果

(1)本发明在考虑推进器伺服环动态响应的情况下，使无人水面船的轨迹跟踪误差稳定在一个非常小的有限区间内。

(2)本发明以推进器的电机占空比作为系统输入，可以直接应用于实际的水面无人船上而不需要其他的修改。

附图说明

图1为本发明中控制系统的结构示意图。

图2为世界坐标系和船体坐标系示意图。

图3为参考轨迹和控制算法控制下的实际轨迹图。

图4为位置误差曲线图。

图5为控制算法输出的左差动推进器占空比曲线图。

图6为控制算法输出的右差动推进器占空比曲线图。

具体实施方式

为了更为具体地描述本发明，下面结合具体实施案例及附图对本发明的技术方案进行详细说明。

本发明的一种考虑推进器伺服控制的差动水面无人船轨迹跟踪方法，如图1所示，该差动水面无人船包括运动学模型，动力学模型和执行器模型，该考虑推进器伺服控制的差动水面无人船轨迹跟踪方法包括以下步骤：

1)通过所述运动学模型，动力学模型和执行器模型建立无人船数学模型，并从传感器获得无人船当前的位置和角度η，给定期望位置轨迹η_1d，计算船体坐标系下的位置跟踪误差；

2)从传感器获得无人船当前的速度v，根据所述位置跟踪误差的动态方程，通过设计运动学控制律，输出速度参考值

用于动力学控制律的设计，使位置误差信号收敛；

3)通过与所述动力学模型连接的扰动观测器，估计未知时变的扰动d，并将观测值

用于所述动力学控制律的设计；

4)根据实际速度与所述设计速度参考值的误差的动态方程，通过设计动力学控制律，得到推力参考值，并解出推进器电机转速的参考值ω_d用于所述执行器控制律的设计，使速度误差信号收敛；同时在设计过程中通过引入所述扰动观测器的观测值

来补偿控制中由扰动和模型不确定性带来的误差；

5)根据实际推进器电机转速与所述推进器电机转速参考值的误差的动态方程，通过设计执行器控制律，得到电机占空比α_c，使转速误差信号收敛；在设计过程中考虑到占空比存在的输入饱和约束，设计了处理输入饱和约束的辅助动态系统，该输入饱和约束辅助动态系统与所述执行器模型相连，直接向无人船输入推进器电机占空比α。

参见图2，为了确定运动方程，首先定义世界坐标系{O}＝(x_O，y_O，z_O)和船体坐标系{B}＝(x_B，y_B，z_B)，其中O位于地面上任意一点，x_O，y_O，z_O分别指向正北、正东和地心；B位于船的重心，x_B，y_B，z_B分别指向船的前方、右舷和船底。对无人船的运动学-动力学-执行器系统建立数学模型：

其中η＝[x，y，ψ]^T表示世界坐标系下在x_O，y_O方向的位移和绕z_O轴的偏航角度；v＝[u，v，r]^T表示船体坐标系下在x_B，y_B方向的速度和绕z_B轴的偏航角速度；ω＝[ω₁，ω₂]^T表示两个推进器电机的转速；α＝[α₁，α₂]^T表示控制器给两个推进器电机的占空比信号；J(ψ)是旋转矩阵，且

M₀＝diag(m₁₁，m₂₂，m₃₃)是惯性矩阵的标称值；C₀(v)是科氏力矩阵的标称值，且

D₀＝diag(d₁₁，d₂₂，d₃₃)是阻尼矩阵的标称值；d表示来自外部环境的干扰力和力矩以及系统实际模型与标称值之间的误差；K_α＝diag(k_α1，k_α2)是电机的标称系数矩阵，k_α1，k_α2分别是两个电机输入占空比与电机转速之间的标称系数；τ₀(ω)＝[τ_u0，0，τ_r0]^T表示推进器提供的标称推力，且

τ_u0＝K_τ1|ω₁|+K_τ2|ω₂|，

τ_r0＝K_τ1B|ω₁|/2+K_τ2B|ω₂|/2，

B是船的宽度，γ₁，γ₂是推力衰减系数，K_Fa1，K_Fa2，K_Fb1，K_Fb2是无量纲的常数，ρ是水的密度，D₁，D₂分别是左右两个推进器螺旋桨的直径，μ是水流速度相对于船速的衰减系数；

f(ω)表示推进器电机的动态响应，且

f(ω)＝K_ω|ω|-ω，

|ω|＝[|ω₁|，|ω₂|]^T，

N_c1，N_c2是电机负载传递系数，K_Ta1，K_Ta2，K_Tb1，K_Tb2是无量纲的常数。

从传感器(例如卫星定位系统、惯性导航装置等)获得无人船当前的位置和角度η。在给定期望位置轨迹η_1d＝[x_d(t)，y_d(t)]^T的情况下，希望船的轨迹η₁＝[x(t)，y(t)]^T跟踪η_1d，计算船体坐标系下的跟踪误差为η_1e＝R^T(η₁-η_1d)。

定义z₁＝η_1e-Δ，其中Δ＝[δ，0]^T，δ是一个人为选取的非常小的标量参数。

从传感器获得无人船当前的速度v。计算z₁对时间的导数为：

其中，

是速度参考值；

是实际速度与速度参考值之间的误差；v′＝[0，v]；P＝diag(1，-δ)；S(r)是一个叉乘矩阵：

令虚拟速度控制律为：

其中K₁＝diag(k₁₁，k₁₂)是一个人为设计的正定参数。

在控制器设计的第二部分中，通过设计虚拟推力控制律，使得速度跟踪第一部分设计的虚拟速度控制律误差收敛。首先建立扰动观测器用于估计未知时变的扰动d：

其中

是d的估计值；ζ是辅助系统的状态变量，ζ(0)＝0_3×1；K_d＝diag(k_d1，k_d2，k_d3)是一个人为设计的正定参数。

定义跟踪速度误差为

计算z₂关于时间的导数为

其中M^*＝diag(m₁₁，m₃₃)；ω_d＝[ω_1d，ω_2d]^T是推进器电机的转速参考值；τ_e＝τ₀(ω)-τ₀(ω_d)是标称推力与推力参考值的误差；

令虚拟推力控制律为：

其中τ_d＝[τ_ud，τ_rd]^T＝Wτ₀(ω_d)；K₂＝diag(k₂₁，k₂₂)是一个人为设计的正定参数。

在控制器设计的第三部分，设计执行器电机占空比控制律，使得电机产生的推力跟踪第二部分设计的虚拟推力控制律误差收敛，另外还要考虑到控制量存在饱和约束，占空比限制在-1至1之间。解如下方程：τ_d＝Wτ₀(ω_d)，可以得到推进器电机的转速参考值ω_d的唯一解。定义转速跟踪误差为z₃＝ω-ω_d。计算z₃关于时间的导数为

计算电机占空比的指令值α_c＝[α_c1，α_c2]^T：

其中K₃＝diag(k₃₁，k₃₂)是一个人为设计的正定参数；K_c＝diag(k_c1，k_c2)是一个人为设计的正定参数；ξ是一个处理饱和约束辅助系统的状态量，且

K_ξ＝diag(k_ξ1，k_ξ2)是一个人为设计的正定参数；σ是一个非常小的正数；Δα是饱和约束前的占空比α_c与饱和约束后α＝[α₁，α₂]^T的占空比之差，即

Δα＝α-α_c，

可以证明，在具有模型不确定性和外部扰动的情况下，无人船-控制器构成的闭环系统的李雅普诺夫函数

关于时间的导数

满足

其中κ是一个可以由控制器设计的比较大的标量，C是一个和闭环系统参数有关的比较小的有界标量。这说明跟踪误差η_1e在零附近的一个小邻域内，且闭环中所有物理量都是一致有界的，从而实现了对水面无人船的位置控制。

在一水面无人船上实现本发明提出的控制算法，所使用的无人船数学模型的标称值为：M₀＝diag(25.8，33.8，2.76)，D₀＝diag(0.723，0.861，1.90)，K_τ1＝-7.75×10^-3u+1.48×10^-4ω₁，K_τ2＝-7.75×10^-3u+1.48×10^-4ω₂，K_ω＝diag(-3.81×10^-4u+1.04×10^-5ω₁，-3.81×10^-4u+1.04×10^-5ω₂)；控制器参数选取为K₁＝diag(2，2)，K₂＝diag(2，2)，K₃＝diag(5，5)，K_d＝diag(6，6，6)，K_ξ＝diag(1，1)，K_c＝0.001，δ＝0.01。所设置的目标轨迹为：x_d(t)＝5sin(0.005πt)，y_d(t)＝-5cos(0.005πt)+5，

初始位置为[x(0)，y(0)，ψ(0)]＝[0，-1，π/4]，初始速度和初始电机转速为[u(0)，v(0)，r(0)]＝[0，0，0]，[ω₁(0)，ω₂(0)]＝[0，0]。仿真时间持续300秒。

仿真结果见图3至图6。无人船给定的期望参考轨迹和仿真中的实际运行轨迹如图3所示，虚线表示参考轨迹，实线表示由本发明提出的控制算法实际控制得到的实际轨迹；仿真开始时无人船位于[x(0)，y(0)，ψ(0)]＝[0，-1，π/4]处，不在期望的参考轨迹上；随着轨迹跟踪任务的进行，实际轨迹逐渐贴合参考轨迹，并稳定运行。跟踪误差如图4所示，实线和虚线代表仿真中实际运行轨迹和给定期望参考轨迹的位置偏差在世界坐标系下分别沿x_O，y_O轴方向上的分量随时间的变化；可以看出，随着任务的进行，跟踪误差从初始偏差开始变化，然后稳定在一个在0附近非常小的边界内，跟踪精度在0.1米以内。左右两个差动推进器的占空比如图5、图6所示，并把0至20秒的波形图放大，以便于观察；可以看出，占空比都被严格限制在-1到1之间。

上述对实施例的描述是为便于本技术领域的普通技术人员能理解和应用本发明。熟悉本领域技术的人员显然可以容易地对上述实施例做出各种修改，并把在此说明的一般原理应用到其他实施例中而不必经过创造性的劳动。因此，本发明不限于上述实施例，本领域技术人员根据本发明的揭示，对于本发明做出的改进和修改都应该在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种考虑推进器伺服控制的差动水面无人船轨迹跟踪方法，该差动水面无人船包括运动学模型，动力学模型和执行器模型，其特征在于，该考虑推进器伺服控制的差动水面无人船轨迹跟踪方法包括以下步骤：

1)通过所述运动学模型，动力学模型和执行器模型建立无人船数学模型，并从传感器获得无人船当前的位置和角度η，给定期望位置轨迹η_1d，计算船体坐标系下的位置跟踪误差，所述步骤1)具体为：

首先定义世界坐标系{O}＝(x_O，y_O，z_O)和船体坐标系{B}＝(x_B，y_B，z_B)，其中O位于地面上任意一点，x_O，y_O，z_O分别指向正北、正东和地心；B位于船的重心，x_B，y_B，z_B分别指向船的前方、右舷和船底；对无人船的运动学-动力学-执行器系统建立数学模型：

其中η＝[x，y，ψ]^T表示世界坐标系下在x_O，y_O方向的位移和绕z_O轴的偏航角度；

v＝[u，v，r]^T表示船体坐标系下在x_B，y_B方向的速度和绕z_B轴的偏航角速度；

ω＝[ω₁，ω₂]^T表示两个推进器电机的转速；α＝[α₁，α₂]^T表示控制器给两个推进器电机的占空比信号；J(ψ)是旋转矩阵，且

M₀＝diag(m₁₁，m₂₂，m₃₃)是惯性矩阵的标称值；C₀(v)是科氏力矩阵的标称值，且

D₀＝diag(d₁₁，d₂₂，d₃₃)是阻尼矩阵的标称值；d表示来自外部环境的干扰力和力矩以及系统实际模型与标称值之间的误差；K_α＝diag(k_α1，k_α2)是电机的标称系数矩阵，k_α1，k_α2分别是两个电机输入占空比与电机转速之间的标称系数；τ₀(ω)＝[τ_u0，0，τ_r0]^T表示推进器提供的标称推力，且

τ_u0＝K_τ1|ω₁|+K_τ2|ω₂|，

τ_r0＝K_τ1B|ω₁|/2+K_τ2B|ω₂|/2，

B是船的宽度，γ₁，γ₂是推力衰减系数，K_Fα1，K_Fa2，K_Fb1，K_Fb2是无量纲的常数，ρ是水的密度，D₁，D₂分别是左右两个推进器螺旋桨的直径，μ是水流速度相对于船速的衰减系数；f(ω)表示推进器电机的动态响应，且

f(ω)＝K_ω|ω|-ω，

|ω|＝[|ω₁|，|ω₂|]^T，

N_c1，N_c2是电机负载传递系数，K_Ta1，K_Ta2，K_Tb1，K_Tb2是无量纲的常数；

从传感器获得无人船当前的位置和角度η，在给定期望位置轨迹η_1d＝[x_d(t)，y_d(t)]^T的情况下，希望船的轨迹η₁＝[x(t)，y(t)]^T跟踪η_1d，计算船体坐标系下的跟踪误差为：η_1e＝R^T(η₁-η_1d)；

2)从传感器获得无人船当前的速度v，根据所述位置跟踪误差的动态方程，通过设计运动学控制律，输出速度参考值

用于动力学控制律的设计，使位置误差信号收敛，所述步骤2)具体为：定义z₁＝η_1e-Δ，其中Δ＝[δ，0]^T，δ是一个人为选取的非常小的标量参数；

从传感器获得无人船当前的速度v，计算z₁对时间的导数为：

其中，

是速度参考值；

是实际速度与速度参考值之间的误差；v′＝[0，v]；P＝diag(1，-δ)；S(r)是一个叉乘矩阵：

为了使位置的误差收敛，令速度参考值为：

其中K₁＝diag(k₁₁，k₁₂)是一个人为设计的正定参数；

3)通过与所述动力学模型连接的扰动观测器，估计未知时变的扰动d，并将观测值

用于所述动力学控制律的设计，具体为：

其中

是d的估计值；ζ是辅助系统的状态变量，ζ(0)＝0_3×1；

K_d＝diag(k_d1，k_d2，k_d3)是一个人为设计的正定参数；

4)根据实际速度与设计速度参考值的误差的动态方程，通过设计动力学控制律，得到推力参考值，并解出推进器电机转速的参考值ω_d用于执行器控制律的设计，使速度误差信号收敛；同时在设计过程中通过引入所述扰动观测器的观测值

来补偿控制中由扰动和模型不确定性带来的误差，具体为：

定义跟踪速度误差为

计算z₂关于时间的导数为

其中M^*＝diag(m₁₁，m₃₃)；ω_d＝[ω_1d，ω_2d]^T是推进器电机的转速参考值；

τ_e＝τ₀(ω)-τ₀(ω_d)是标称推力与推力参考值的误差；

为了使速度误差收敛，令推力的参考值为：

其中τ_d＝[τ_ud，τ_rd]^T＝Wτ₀(ω_d)；K₂＝diag(k₂₁，k₂₂)是一个人为设计的正定参数；

解如下方程：τ_d＝Wτ₀(ω_d)，得到推进器电机的转速参考值ω_d的唯一解；

5)根据实际推进器电机转速与所述推进器电机转速参考值的误差的动态方程，通过设计执行器控制律，得到电机占空比α_c，使转速误差信号收敛；在设计过程中考虑到占空比存在的输入饱和约束，设计了处理输入饱和约束的辅助动态系统，该输入饱和约束辅助动态系统与所述执行器模型相连，直接向无人船输入推进器电机占空比α，所述步骤5)具体为：

定义转速跟踪误差为z₃＝ω-ω_d，计算z₃关于时间的导数为

计算电机占空比的指令值α_c＝[α_c1，α_c2]^T：

其中K₃＝diag(k₃₁，k₃₂)是一个人为设计的正定参数；K_c＝diag(k_c1，k_c2)是一个人为设计的正定参数；ξ是一个处理饱和约束辅助系统的状态量，且

K_ξ＝diag(k_ξ1，k_ξ2)是一个人为设计的正定参数；σ是一个非常小的正数；Δα是饱和约束前的占空比α_c与饱和约束后α＝[α₁，α₂]^T的占空比之差，即

Δα＝α-α_c，

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