CN114012507B - 一种摇篮式五轴机床双旋转轴位置无关误差的辨识方法 - Google Patents

一种摇篮式五轴机床双旋转轴位置无关误差的辨识方法 Download PDF

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CN114012507B CN202111494922.9A CN202111494922A CN114012507B CN 114012507 B CN114012507 B CN 114012507B CN 202111494922 A CN202111494922 A CN 202111494922A CN 114012507 B CN114012507 B CN 114012507B
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Abstract

一种摇篮式五轴机床双旋转轴位置无关误差的辨识方法。本发明公开了一种关于任意转轴位置摇篮式五轴机床双转台位置无关误差的检测方法，其特征在于，针对任意转台轴线位置结构的摇篮式五轴机床利用球杆仪设计了通用的双转台联动轨迹，根据单位对偶四元数的全局表征形式与误差定义建立了工件端和刀具端间的运动学误差模型，通过对运动轨迹的均分化处理解决球杆仪运动与其采集速率不同步的问题，基于最小二乘算法并结合球杆仪实验数据对简化后的误差运动学模型进行解耦以辨识双转台的位置无关结合误差。本发明方法通过单条实验轨迹进行位置无关几何误差辨识，适用于各类任意旋转轴位置结构的摇篮式五轴机床，方法简单快捷，实用性好。

Description

一种摇篮式五轴机床双旋转轴位置无关误差的辨识方法
技术领域
本发明属于数控机床检测技术领域，特别涉及一种关于任意转轴位置结构的摇篮式五轴机床双旋转轴位置无关几何误差的辨识方法。
技术背景
相较于三轴机床，五轴机床通过转动旋转轴可以调整刀具与加工平面间的相对方向，使其具有更好的灵活性和更高的效率。摇篮式五轴机床是小型复杂曲面零件加工中应用最为广泛的机床类型，其根据双旋转轴线位置的不同可分为相交结构和非相交结构。相交共面结构作为非相交结构的特殊情况，是众多研究和实验方法的研究对象，然而这些方法大多并不适用于双旋转轴轴线非相交结构。
针对机床位置无关几何误差的辨识主要分为机床建模和误差测量两部分。现有的建模方法理论有齐次变换矩阵、旋量理论和指数积公式等，但以上方法中在运动学模型建立过程中仍局限于误差矩阵间的相乘，一定程度上导致计算的效率较低。误差测量方面使用的仪器包括激光干涉仪、激光跟踪仪、球杆仪和R-test等仪器。其中球杆仪由于便携性、结构简单、使用方便等优点，被广泛应用于误差测量。但是由于球杆仪的测量原理限制，在多轴同步运动过程中会存在球杆仪合成运动与球杆仪采样频率不同步的问题，很少有一种通用且简便的测量方法适用于任意旋转轴线位置的摇篮式五轴机床双旋转轴位置无关几何误差的测量。
发明内容
为解决上述问题，本发明的目的在于提出了一种关于任意旋转轴线位置结构的摇篮式五轴机床双旋转轴位置无关几何误差的辨识方法，通过基于单位对偶四元数建立全局坐标系下的五轴机床运动学误差模型，并结合球杆仪提出适用于任意旋转轴线位置结构的摇篮式五轴机床的双旋转轴同步协调运动轨迹，以更为简洁、快捷准确地辨识A轴和C轴的位置无关几何误差。具体方法步骤如下：
步骤1、基于单位对偶四元数变换原理重新表征旋转轴的位置无关几何误差，将五轴机床每个旋转轴的位置无关几何误差重新定义表征为两项微量旋转参量和两项微量位移参量，并基于单位对偶数的乘法运算及其误差表征建立五轴机床理想和实际的运动学模型。。
步骤2、根据摇篮式五轴机床双旋转轴间的位置偏移，结合理想的运动学模型设计旋转轴A轴和C轴的同步协调运动轨迹。
步骤3、建立轨迹均分算法，解决双旋转轴A轴和C轴同步协调运动过程中合运动与球杆仪采样频率间的不同步问题。
步骤4、简化实际的运动学误差模型，结合最小二乘算法进行双旋转轴位置无关几何误差的解耦。
步骤1中根据单位对偶四元数变换原理重新定义了摇篮式五轴机床双旋转轴的位置无关几何误差，并基于此建立了五轴机床理想和实际的运动学模型，包括步骤：
步骤1.1、基于单位对偶四元数，给出其旋量运动的指数表示形式：
Figure GSB0000204184940000021
其中对偶角度
Figure GSB0000204184940000022
和对偶向量/>
Figure GSB0000204184940000023
分别表示旋量运动的运动过程和所绕螺旋轴的位姿，θ表示绕螺旋轴的旋转角度，d表示沿螺旋轴的位移距离，n表示螺旋轴的单位方向向量，m＝p×n表示螺旋轴的矩，p是螺旋轴上任意一点。
步骤1.2、根据泰勒展开式将等式(1)展开为
Figure GSB0000204184940000024
步骤1.3、根据五轴机床的运动轴类型，由式(2)分别给出线性轴和旋转轴运动的单位对偶四元数表征形式：
Figure GSB0000204184940000025
步骤1.4、基于式(3)，将五轴机床旋转轴的理想的和实际的运动轴线间的位置无关几何误差变换如图2所示。以旋转轴C轴为例，其理想轴线在基坐标系b下通过式(1)中的对偶向量(也被称为Plücker line)表示为
Figure GSB0000204184940000026
步骤1.5、对应得到轴线与基坐标系的XY平面上的交点坐标为
Figure GSB0000204184940000027
步骤1.6、将理想轴线
Figure GSB0000204184940000028
和实际轴线/>
Figure GSB0000204184940000029
间的位置无关几何误差被转化一个为绕位于XY平面Plücker line/>
Figure GSB00002041849400000210
的微量角度/>
Figure GSB00002041849400000211
的旋转变换
Figure GSB00002041849400000212
以及一个XY平面上的微量位移变换
Figure GSB00002041849400000213
其中
Figure GSB00002041849400000214
表示微量位移向量。
步骤1.7、基于最小角理论，由于角度参数
Figure GSB00002041849400000215
非常小，式(6)简化为/>
Figure GSB0000204184940000031
其中
Figure GSB0000204184940000032
表示微量旋转向量。
步骤1.8、理想和实际轴线间的变换过程总结表示为
Figure GSB0000204184940000033
其中形如
Figure GSB0000204184940000034
表示单位对偶四元数的乘法运算，/>
Figure GSB0000204184940000035
是其伴随表示形式。
以旋转C轴为例的位置无关几何误差参数可以表征为
Figure GSB0000204184940000036
步骤1.9、基于如图3所示的五轴机床结构式意图和机床运动链示意图，将机床的基坐标系b设置与C轴旋转轴中心重合，各个运动轴在基坐标系下初始的Plückerline位姿分别为
Figure GSB0000204184940000037
Figure GSB0000204184940000038
Figure GSB0000204184940000039
Figure GSB00002041849400000310
Figure GSB00002041849400000311
其中yab和zab分别表示A轴在基坐标系下Y和Z方向的位置偏移。
步骤1.10、基于单位对偶数的乘法运算及其误差表征，建立工件在基坐标系下的理想运动学模型为
Figure GSB00002041849400000312
其中
Figure GSB00002041849400000313
分别表示刀具链中第i个运动轴在基坐标系b中运动驱动量和Plücker line位姿表征，/>
Figure GSB0000204184940000041
表示刀具在基坐标系下的位置单位对偶四元数。
步骤1.11、建立刀具在基坐标系下的理想运动学模型为
Figure GSB0000204184940000042
/>
其中
Figure GSB0000204184940000043
分别表示工件链中第j个运动轴在基坐标系b中运动驱动量和Plücker line位姿表征，/>
Figure GSB0000204184940000044
表示工件在基坐标系下的位置单位对偶四元数。
步骤1.12、建立工件在刀具坐标系下理想的运动学模型表示为
Figure GSB0000204184940000045
步骤1.13、结合旋转轴位置无关几何误差定义，建立五轴机床实际的运动学误差模型为
Figure GSB0000204184940000046
步骤2、针对双旋转轴线位置不相交的摇篮式五轴机床，结合理想的运动学模型设计了通用的A、C旋转轴的球杆仪同步协调运动轨迹。球杆仪两端分别吸附在主轴和工作台上，具体步骤如下：
步骤2.1、根据式(14)的理想运动学模型，在不考虑线性轴的运动情况下，刀具工具杯保持静止，得到理想的工件在刀具坐标系下的位置变化为
Figure GSB0000204184940000047
进而得到相对坐标表示为
Figure GSB0000204184940000048
其中sθc＝sinθc，cθc＝cosθc，sθa＝sinθa，cθa＝cosθa；twb(0)＝[xwb ywb zwb]T和ttb(0)＝[xtb ytb ztb]T分别表示工件工具杯和刀具工具杯在基坐标系下的位置向量。为了保证球杆仪在运动过程中不掉落，式(17)表示的相对坐标各方向分量需要满足
Figure GSB0000204184940000051
步骤2.2、考虑使用的DMU 85摇篮式五轴机床双旋转轴线间的位置偏移，为了简化实验安装和误差模型，使用长度为Ldbb＝100mm的球杆仪进行实验，分别对球杆仪刀具杯和工具杯的位置进行以下设置：
设置1：当A轴和C轴转角都为0°时，工件工具杯和刀具工具杯均位于基坐标系的z＝0平面上，即zwb＝ztb＝0；
设置2：将工件工具杯和刀具工具杯分别设置在基坐标系X轴和Y轴上，即twb＝[xwb0 0]和ttb＝[0 ytb 0]，两坐标还需要满足
Figure GSB0000204184940000052
/>
进而简化式(17)为
Figure GSB0000204184940000053
步骤2.3、以Δytb＝10mm作为位置间隔，获得如图4所示的一系列轨迹曲线。其中以ytb＝0mm作为界限划分了A类和B类轨迹曲线。其中A类和B类轨迹分别是以A轴转角(-45°，45°)、C轴转角(0°，-180°)为初始条件获取的。将式(20)带入式(18)，基于辅助角度公式，A类和B类轨迹对应的c轴和A轴转动角度可以得到表示为
Figure GSB0000204184940000054
Figure GSB0000204184940000055
其中aa＝(ytb-xwbsθc)zab，
Figure GSB0000204184940000056
Figure GSB0000204184940000057
ac＝yabxwb(cθa-1)+zabxwbsθa-xwbytbcθa，
Figure GSB0000204184940000058
A类轨迹和B类轨迹中的A轴和C轴转角如图5(a)和(b)所示，在图5(c)和(d)中分别给出了两类轨迹对应的C轴和A轴的转角跨度。B类轨迹以θc＝0°和θc＝-180°为分界线被分成了两段轨迹。当工件工具杯安装在Y轴负方向上时，A轴顺时针旋转角度过大会导致球杆仪掉落，因此B类轨迹上半段轨迹被舍去。为了可以更加有效和精准地进行数据测量，球杆仪运行轨迹所涉及的运动轴运动范围应该更加广泛，综合图5(c)和(d)，选取ytb＝-70mm处AC联动轨迹进行球杆仪实验。
步骤3、建立轨迹均分算法，解决双旋转轴A轴和C轴同步协调运动过程中的合运动与球杆仪采样频率间的不同步问题，具体步骤如下：
步骤3.1、基于式(20)-(22)，建立只含有参数θc的B类轨迹参数方程为
Figure GSB0000204184940000061
步骤3.2、基于式(23)，实验轨迹的总长通过积分表示为
Figure GSB0000204184940000062
步骤3.3、旋转角度相对于球体半径较小时，转过的弧长可近似为弧长两端i和i-1之间线段的长度，表示为
Figure GSB0000204184940000063
步骤3.4、均分整条轨迹长度为n段，得到每段长度为
Figure GSB0000204184940000064
步骤3.5、将式(23)带入式(26)，可以得到仅包含C轴转角θc的方程为
Figure GSB0000204184940000065
步骤3.6、基于MATLAB中的Solve函数，通过如图6所示迭代算法对式(27)中的未知数
Figure GSB0000204184940000066
进行解算，以获得均分轨迹后所对应的一系列点坐标p＝{p0，p1，··pn}和C轴转角θc＝{θc0，θc1，··θcn}。
图6中C轴转角范围为(-180°，0°)，即θc0＝-180°，通过式(23)可以得到对应的p0。通过将θc带入式(22)中得到对应的A轴转角θa＝{θa0，θa1，··θan}。图7所示为均分后的球杆仪运动轨迹，图8为在DMU 85AC五轴机床使用球杆仪进行的A、C轴同步轨迹实验示意图。
步骤4、简化实际的运动学误差模型，结合最小二乘算法进行位置无关几何误差的解耦，具体步骤如下：
步骤4.1、根据式(15)，给出刀具在工件坐标系下的实际运动学模型：
Figure GSB0000204184940000071
步骤4.2、通过省略二次项和高阶项的方式对式(28)所得结果进行简化为
Figure GSB0000204184940000072
步骤4.3、建立实验中球杆仪的实际长度
Figure GSB0000204184940000073
和相对运动坐标向量/>
Figure GSB0000204184940000074
间的关系为
Figure GSB0000204184940000075
步骤4.4、对式(30)进行整理并简化表示形如
ReXe＝Y (31)
其中
Figure GSB0000204184940000076
和/>
Figure GSB0000204184940000077
分别表示所定义的位置无关几何误差参数和系数矩阵，/>
Figure GSB0000204184940000078
是式(30)简化所得到的常数项。
步骤4.5、基于最小二乘法对式(31)进行误差解耦得到位置无关几何误差表示为
Figure GSB0000204184940000079
附图说明
图1为QC20-W球杆仪测量设备
图2为以C轴为例的旋转轴的误差变换示意图
图3为五轴机床结构示意图和机床运动链示意图
图4为工件工具杯相对刀具工具杯形成的一系列球形轨迹线
图5为A类和B类轨迹中对应的A轴和C轴的角度变化示意图
图6为实验轨迹均分数据迭代算法流程图
图7为均分后的球杆仪运动轨迹均匀分布示意图
图8为A轴和C轴同步轨迹实验示意图
具体实施方式
下面结合实验测量方法和附图叙述本发明的具体实施方式。
附图1为本实验涉及到的QC20-W球杆仪测量设备。
步骤1中根据单位对偶四元数变换原理重新定义了摇篮式五轴机床双旋转轴的位置无关几何误差，并基于此建立了五轴机床理想和实际的运动学模型，包括步骤：
步骤1.1、基于单位对偶四元数，给出其旋量运动的指数表示形式：
Figure GSB0000204184940000081
其中对偶角度
Figure GSB0000204184940000082
和对偶向量/>
Figure GSB0000204184940000083
分别表示旋量运动的运动过程和所绕螺旋轴的位姿，θ表示绕螺旋轴的旋转角度，d表示沿螺旋轴的位移距离，n表示螺旋轴的单位方向向量，m＝p×n表示螺旋轴的矩，p是螺旋轴上任意一点。
步骤1.2、根据泰勒展开式将等式(1)展开为
Figure GSB0000204184940000084
步骤1.3、根据五轴机床的运动轴类型，由式(2)分别给出线性轴和旋转轴运动的单位对偶四元数表征形式：
Figure GSB0000204184940000085
步骤1.4、基于式(3)，将五轴机床旋转轴的理想的和实际的运动轴线间的位置无关几何误差变换如图2所示。以旋转轴C轴为例，其理想轴线在基坐标系b下通过式(1)中的对偶向量(也被称为Plücker line)表示为
Figure GSB0000204184940000086
步骤1.5、对应得到轴线与基坐标系的XY平面上的交点坐标为
Figure GSB0000204184940000087
步骤1.6、将理想轴线
Figure GSB0000204184940000088
和实际轴线/>
Figure GSB0000204184940000089
间的位置无关几何误差被转化一个为绕位于XY平面Plücker line/>
Figure GSB00002041849400000810
的微量角度/>
Figure GSB00002041849400000811
的旋转变换/>
Figure GSB00002041849400000812
以及一个XY平面上的微量位移变换
Figure GSB0000204184940000091
其中
Figure GSB0000204184940000092
表示微量位移向量。
步骤1.7、基于最小角理论，由于角度参数
Figure GSB0000204184940000093
非常小，式(6)简化为
Figure GSB0000204184940000094
其中
Figure GSB0000204184940000095
表示微量旋转向量。
步骤1.8、理想和实际轴线间的变换过程总结表示为
Figure GSB0000204184940000096
其中形如
Figure GSB0000204184940000097
表示单位对偶四元数的乘法运算，/>
Figure GSB0000204184940000098
是其伴随表示形式。
以旋转C轴为例的位置无关几何误差参数可以表征为
Figure GSB0000204184940000099
对应旋转C轴的位置无关几何误差参数表征，给出A轴和B轴的误差定义如表1所示。
表1旋转轴位置无关几何误差表示
Figure GSB00002041849400000910
步骤1.9、基于如图3所示的五轴机床结构式意图和机床运动链示意图，将机床的基坐标系b设置与C轴旋转轴中心重合，各个运动轴在基坐标系下初始的Plücker line位姿分别为
Figure GSB00002041849400000911
Figure GSB00002041849400000912
Figure GSB00002041849400000913
Figure GSB00002041849400000914
Figure GSB00002041849400000915
其中yab和zab分别表示A轴在基坐标系下Y和Z方向的偏移。
步骤1.10、基于单位对偶数的乘法运算及其误差表征，建立工件在基坐标系下的理想运动学模型为
Figure GSB0000204184940000101
其中
Figure GSB0000204184940000102
分别表示刀具链中第i个运动轴在基坐标系b中运动驱动量和Plücker line位姿表征，/>
Figure GSB0000204184940000103
表示刀具在基坐标系下的位置单位对偶四元数。
步骤1.11、建立刀具在基坐标系下的理想运动学模型为
Figure GSB0000204184940000104
其中
Figure GSB0000204184940000105
分别表示工件链中第j个运动轴在基坐标系b中运动驱动量和Plücker line位姿表征，/>
Figure GSB0000204184940000106
表示工件在基坐标系下的位置单位对偶四元数。
步骤1.12、建立工件在刀具坐标系下理想的运动学模型表示为
Figure GSB0000204184940000107
步骤1.13、结合旋转轴位置无关几何误差定义，建立五轴机床实际的运动学误差模型为
Figure GSB0000204184940000111
步骤2、针对双旋转轴线位置不相交的摇篮式五轴机床，结合理想的运动学模型设计了通用的A和C旋转轴的球杆仪同步协调运动轨迹。球杆仪两端分别吸附在主轴和工作台上，具体步骤如下：
步骤2.1、根据式(14)的理想运动学模型，在不考虑线性轴的运动情况下，刀具工具杯保持静止，得到理想的工件在刀具坐标系下的位置变化为
Figure GSB0000204184940000112
进而得到相对坐标表示为
Figure GSB0000204184940000113
其中sθc＝sinθc，cθc＝cosθc，sθa＝sinθa，cθa＝cosθa；twb(0)＝[xwb ywb zwb]T和ttb(0)＝[xtb ytb ztb]T分别表示工件工具杯和刀具工具杯在基坐标系下的位置向量。为了保证球杆仪在运动过程中不掉落，式(17)表示的相对坐标各方向分量需要满足
Figure GSB0000204184940000114
步骤2.2、考虑使用的DMU 85摇篮式五轴机床双旋转轴线间的位置偏移，为了简化实验安装和误差模型，使用长度为Labb＝100mm的球杆仪进行实验，分别对球杆仪刀具杯和工具杯的位置进行以下设置：
设置1：当A轴和C轴转角都为0°时，工件工具杯和刀具工具杯均位于基坐标系的z＝0平面上，即zwb＝ztb＝0；
设置2：将工件工具杯和刀具工具杯分别设置在基坐标系X轴和Y轴上，即twb＝[xwb00]和ttb＝[0 ytb 0]，两坐标还需要满足
Figure GSB0000204184940000115
进而式(17)被简化为
Figure GSB0000204184940000116
步骤2.3、以Δytb＝10mm作为位置间隔，获得如图4所示的一系列轨迹曲线。其中以ytb＝0mm作为界限划分了A类和B类轨迹曲线。其中A类和B类轨迹分别是以A轴转角(-45°，45°)、C轴转角(0°，-180°)为初始条件获取的。通过将式(20)带入式(18)，A类和B类轨迹对应的C轴和A轴转动角度基于辅助角度公式可以得到表示为
Figure GSB0000204184940000121
Figure GSB0000204184940000122
其中aa＝(ytb-xwbsθc)zab，
Figure GSB0000204184940000123
Figure GSB0000204184940000124
ac＝yabxwb(cθa-1)+zabxwbsθa-xwbytbcθa，
Figure GSB0000204184940000125
A类轨迹和B类轨迹中的A轴和C轴转角如图5(a)和(b)所示，在图5(c)和(d)中分别给出了两类轨迹对应的C轴和A轴的转角跨度。B类轨迹以θc＝0°和θc＝-180°为分界线被分成了两段轨迹。当工件工具杯安装在Y轴负方向上时，A轴顺时针旋转角度过大会导致球杆仪掉落，因此B类轨迹上半段轨迹被舍去。为了可以更加有效和精准地进行数据测量，球杆仪运行轨迹所涉及的运动轴运动范围应该更加广泛，综合图5(c)和(d)，选取ytb＝-70mm处AC联动轨迹进行球杆仪实验。
步骤3、建立轨迹均分算法，解决双旋转轴A轴和C轴同步协调运动过程中的合运动与球杆仪采样频率间的不同步问题，具体步骤如下：
步骤3.1、基于式(20)-(22)，建立只含有参数θc的B类轨迹参数方程为
Figure GSB0000204184940000126
步骤3.2、基于式(23)，实验轨迹的总长通过积分表示为
Figure GSB0000204184940000127
步骤3.3、旋转角度相对于球体半径较小时，转过的弧长近似为弧长两端i和i-1之间线段的长度，表示为
Figure GSB0000204184940000128
步骤3.4、均分整条轨迹长度为n段，得到每段长度为
Figure GSB0000204184940000131
步骤3.5、将式(23)带入式(26)，可以得到仅包含C轴转角θc的方程为
Figure GSB0000204184940000132
步骤3.6、基于MATLAB中的Solve函数，通过如图6所示迭代算法对式(27)中的未知数
Figure GSB00002041849400001310
进行解算，以获得均分轨迹后所对应的一系列点坐标p＝{p0，p1，…pn}和C轴转角θc＝{θc0，θc1，…θcn}。
图6中C轴转角范围为(-180°，0°)，即θ0＝-180°，通过式(23)可以得到对应的p0。通过将θc带入式(22)中得到对应的A轴转角θa＝{θa0，θa1，…θan}。图7所示为均分后的球杆仪运动轨迹，图8为在DMU 85AC五轴机床使用球杆仪进行的A、C轴同步轨迹实验示意图。
步骤4、简化实际的运动学误差模型，结合最小二乘算法进行位置无关几何误差的解耦，具体步骤如下：
步骤4.1、根据式(15)，给出刀具在工件坐标系下的实际运动学模型：
Figure GSB0000204184940000133
步骤4.2、通过省略二次项和高阶项的方式对式(28)所得结果进行简化为
Figure GSB0000204184940000134
步骤4.3、建立实验中球杆仪的实际长度
Figure GSB0000204184940000135
和相对运动坐标向量/>
Figure GSB0000204184940000136
间的关系为/>
Figure GSB0000204184940000137
步骤4.4、对式(30)进行整理并简化表示形如
ReXe＝Y (31)
其中
Figure GSB0000204184940000138
和/>
Figure GSB0000204184940000139
分别表示所定义的位置无关几何误差参数和系数矩阵，/>
Figure GSB0000204184940000141
是式(30)简化所得到的常数项。
步骤4.5、基于最小二乘法对式(31)进行误差解耦得到位置无关几何误差表示为
Figure GSB0000204184940000142
辨识的A轴和C轴的位置无关几何误差如表2所示。
表2旋转轴位置无关几何误差表示
Figure GSB0000204184940000143
/>

Claims (1)

1.一种摇篮式五轴机床双旋转轴位置无关误差的辨识方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1、基于单位对偶四元数变换原理重新表征旋转轴的位置无关几何误差，将五轴机床每个旋转轴的位置无关几何误差重新定义表征为两项微量旋转参量和两项微量位移参量，并基于单位对偶数的乘法运算及其误差表征建立五轴机床理想和实际的运动学模型，包括以下步骤：
步骤1.1、基于单位对偶四元数，给出其旋量运动的指数表示形式：
Figure FSB0000204399180000011
其中对偶角度
Figure FSB0000204399180000012
和对偶向量/>
Figure FSB0000204399180000013
分别表示旋量运动的运动过程和所绕螺旋轴的位姿，θ表示绕螺旋轴的旋转角度，d表示沿螺旋轴的位移距离，n表示螺旋轴的单位方向向量，m＝p×n表示螺旋轴的矩，p是螺旋轴上任意一点；
步骤1.2、根据泰勒展开式将等式(1)展开为
Figure FSB0000204399180000014
步骤1.3、根据五轴机床的运动轴类型，由式(2)分别给出线性轴和旋转轴运动的单位对偶四元数表征形式：
Figure FSB0000204399180000015
步骤1.4、基于式(3)，以旋转轴C轴为例，建立理想和实际运动轴线位置无关几何误差间的变换关系，其理想轴线在基坐标系b下表示为式(1)中对偶向量的形式
Figure FSB0000204399180000016
步骤1.5、对应得到轴线与基坐标系的XY平面上的交点坐标为
Figure FSB0000204399180000017
步骤1.6、将理想轴线
Figure FSB0000204399180000018
和实际轴线/>
Figure FSB0000204399180000019
间的位置无关几何误差被转化一个为绕位于XY平面Plücker line/>
Figure FSB00002043991800000110
的微量角度/>
Figure FSB00002043991800000111
的旋转变换
Figure FSB00002043991800000112
以及一个XY平面上的微量位移变换
Figure FSB0000204399180000021
其中
Figure FSB0000204399180000022
表示微量位移向量；
步骤1.7、基于最小角理论，由于角度参数
Figure FSB0000204399180000023
非常小，将式(6)简化为
Figure FSB0000204399180000024
其中
Figure FSB0000204399180000025
表示微量旋转向量；
步骤1.8、理想和实际轴线间的变换过程总结表示为
Figure FSB0000204399180000026
其中形如
Figure FSB0000204399180000027
表示单位对偶四元数的乘法运算，/>
Figure FSB0000204399180000028
是其伴随表示形式；以旋转C轴为例的位置无关几何误差参数可以表征为两项微量旋转参量和两项微量位移参量的形式
Figure FSB0000204399180000029
对应旋转C轴的位置无关几何误差参数表征，给出A轴和B轴的误差定义为
Figure FSB00002043991800000210
步骤1.9、基于单位对偶数的乘法运算及其误差表征，建立工件在基坐标系下的理想运动学模型为
Figure FSB00002043991800000211
其中
Figure FSB00002043991800000212
分别表示刀具链中第i个运动轴在基坐标系b中运动驱动量和Plücker line位姿表征，/>
Figure FSB00002043991800000213
表示刀具在基坐标系下的位置单位对偶四元数；
步骤1.10、建立刀具在基坐标系下的理想运动学模型为
Figure FSB00002043991800000214
其中
Figure FSB00002043991800000215
分别表示工件链中第j个运动轴在基坐标系b中运动驱动量和Plücker line位姿表征，/>
Figure FSB0000204399180000031
表示工件在基坐标系下的位置单位对偶四元数；
步骤1.11、建立工件在刀具坐标系下理想的运动学模型表示为
Figure FSB0000204399180000032
步骤1.12、结合旋转轴位置无关几何误差定义，建立五轴机床实际的运动学误差模型为
Figure FSB0000204399180000033
步骤2、根据摇篮式五轴机床双旋转轴轴线间的位置偏移，结合理想的运动学模型设计了A轴和C轴的同步协调运动轨迹，包括以下步骤：
步骤2.1、根据式(14)的理想运动学模型，在不考虑线性轴的运动情况下，刀具工具杯保持静止，得到理想的工件在刀具坐标系下的位置变化为
Figure FSB0000204399180000034
进而得到相对坐标表示为
Figure FSB0000204399180000035
其中sθc＝sinθc，cθc＝cosθc，sθa＝sinθa，cθa＝cosθa；twb(0)＝[xwb ywb zwb]T和ttb(0)＝[xtb ytb ztb]T分别表示工件工具杯和刀具工具杯在基坐标系下的位置向量；为了保证球杆仪在运动过程中不掉落，式(17)表示的相对坐标各方向分量需要满足
Figure FSB0000204399180000036
步骤2.2、考虑使用的DMU 85摇篮式五轴机床双旋转轴线间的位置偏移，为了简化实验安装和误差模型，使用长度为Ldbb＝100mm的球杆仪进行实验，分别对球杆仪刀具杯和工具杯的位置进行以下设置：
设置1：当A轴和C轴转角都为0°时，工件工具杯和刀具工具杯均位于基坐标系的z＝0平面上，即zwb＝ztb＝0；
设置2：将工件工具杯和刀具工具杯分别设置在基坐标系X轴和Y轴上，即twb＝[xwb 0 0]和ttb＝[0 ytb 0]，两工具杯坐标还需要满足
Figure FSB0000204399180000041
进而将式(17)化简为
Figure FSB0000204399180000042
/>
步骤2.3、以Δytb＝10mm作为位置间隔，获得一系列轨迹曲线；以ytb＝0mm作为界限划分了A类和B类轨迹曲线，其中A类和B类轨迹分别是以A轴转角(-45°，45°)、C轴转角(0°，-180°)为初始条件获取的；通过将式(20)带入式(18)，A类和B类轨迹对应的C轴和A轴转动角度基于辅助角度公式可以得到表示为
Figure FSB0000204399180000043
Figure FSB0000204399180000044
其中aa＝(ytb-xwbsθc)zab，
Figure FSB0000204399180000045
Figure FSB0000204399180000046
ac＝yabxwb(cθa-1)+zabxwbsθa-xwbytbcθa，
Figure FSB0000204399180000047
B类轨迹以θc＝0°和θc＝-180°为分界线被分成了两段轨迹，当工件工具杯安装在Y轴负方向上时，A轴顺时针旋转角度过大会导致球杆仪掉落，因此B类轨迹上半段轨迹被舍去；为了可以更加有效和精准地进行数据测量，球杆仪运行轨迹所涉及的运动轴运动范围应该更加广泛，选取ytb＝-70mm处A轴和C轴联动轨迹进行球杆仪实验；
步骤3、建立轨迹均分算法，解决双旋转轴A轴和C轴同步协调运动过程中的合运动与球杆仪采样频率间的不同步问题，包括以下步骤：
步骤3.1、基于式(20)-(22)，建立只含有参数θc的B类轨迹参数方程为
Figure FSB0000204399180000048
步骤3.2、基于式(23)，实验轨迹的总长可以通过积分表示为
Figure FSB0000204399180000051
步骤3.3、旋转角度相对于球体半径较小时，转过的弧长近似表示为弧长两端i和i-1之间线段的线段长度表示为
Figure FSB0000204399180000052
步骤3.4、均分整条轨迹长度为n段，得到每段长度为
Figure FSB0000204399180000053
步骤3.5、将式(23)带入式(26)，得到仅包含C轴转角θc的方程为
Figure FSB0000204399180000054
步骤3.6、基于MATLAB中的Solve函数，通过迭代算法对式(27)中的未知数
Figure FSB0000204399180000059
进行解算，以获得均分轨迹后所对应的一系列点坐标p＝{p0，p1，…pn}和C轴转角θc＝{θc0，θc1，…θcn}；
C轴转角范围为(-180°，0°)，即θc0＝-180°，通过式(23)可以得到对应的p0，将θc带入式(22)中得到对应的A轴转角θa＝{θa0，θa1，…θan}；
步骤4、简化实际的运动学误差模型，结合最小二乘算法进行位置无关几何误差解耦，包括以下步骤：
步骤4.1、根据式(15)，给出刀具在工件坐标系下的实际运动学模型：
Figure FSB0000204399180000055
步骤4.2、通过省略二次项和高阶项的方式对式(28)所得结果进行简化为
Figure FSB0000204399180000056
步骤4.3、建立实验中球杆仪的实际长度
Figure FSB0000204399180000057
和相对运动坐标向量/>
Figure FSB0000204399180000058
间的关系为
Figure FSB0000204399180000061
步骤4.4、对式(30)进行整理并简化表示形如
ReXe＝Y (31)
其中
Figure FSB0000204399180000062
和/>
Figure FSB0000204399180000063
分别表示所定义的位置无关几何误差参数和系数矩阵，/>
Figure FSB0000204399180000064
是式(30)简化所得到的常数项；
步骤4.5、基于最小二乘法对式(31)进行解耦得到位置无关几何误差表示为
Figure FSB0000204399180000065
/>
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