CN113655763A - 非连续自时延多智能体系统一致性与饱和分布式控制方法 - Google Patents

非连续自时延多智能体系统一致性与饱和分布式控制方法 Download PDF

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CN113655763A CN202110937103.0A CN202110937103A CN113655763A CN 113655763 A CN113655763 A CN 113655763A CN 202110937103 A CN202110937103 A CN 202110937103A CN 113655763 A CN113655763 A CN 113655763A
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Abstract

本发明提供了非连续自时延多智能体系统一致性与饱和分布式控制方法，属于信息技术领域。利用具有时变控制增益的分布式负反馈控制器实现智能体之间状态信息交互。又考虑到实际系统运行环境与控制成本，增设外部饱和环节来将控制信号幅值限制在一个合理的范围。然后利用高斯误差函数以及微分中值定理来近似模拟饱和效应，以此降低控制信号的不平滑度。随后应用Filippov微分包含理论和测度选择定理处理非线性动力学函数的非连续性。接着通过广义Halanay不等式和Lyapunov稳定性定理得到指数一致性判定条件与最大容许时延。最后通过数值仿真验证了本发明所提出的控制策略的有效性。

Description

非连续自时延多智能体系统一致性与饱和分布式控制方法
技术领域
本发明涉及一种非连续混合自时延多智能体系统指数一致性技术，属于信息技术领域。
背景技术
分布式人工智能是人工智能领域一个重要的研究方向，而多智能体系统(MAS)则是其一个主要的分支。随着计算机技术、网络通信技术等的高速发展，对应MAS的相关研究已经成为信息科学领域一个新兴的研究方向。由于智能体具有很强的自治性和适应性，使得越来越多的学者开始关注其理论及应用方面的研究。在电子商务、智能交通、多机器人系统等诸多领域已经广泛应用了MAS的相关理论。
近年来，从控制角度对MAS进行分析与研究已经成为国内外众多研究人员关注的热点，特别是在MAS 集群运动控制和协同控制方面取得了很大的进展。在多智能体分布式协同合作控制问题中，一致性问题作为研究多智能体集群行为的基础，具有重要的现实意义和理论价值。包括生物科学、物理科学、系统与控制科学、计算机科学等各个领域都对一致性问题从不同层面进行了深入分析。简要阐述MAS一致性问题，就是系统中各个智能体利用自身的本质状态信息和其邻接节点的状态信息通过有效的通信拓扑，完成初态更新，并共同收敛至目标轨道。
现阶段提出的有效控制策略包括牵制控制、脉冲控制、分布式控制、容错控制、滑模控制等。然而，大量先前的关于多智能体系统一致性的研究工作只考虑了非线性动力学函数为连续的情况，由此提出的线性化非线性函数的方法将不再适用于非连续情况。另一方面，为了加快多智能体系统一致收敛的速度，有大量学者研究了实现指数一致性的控制策略。但是对于非连续多智能体系统的指数一致性问题，还没有引起广泛的关注。此外，由于通信传输能力的有限以及存在信道拥塞，时延现象也是多智能体系统的研究中最应该考虑的问题之一。注意到先前的研究工作，大部分只考虑系统存在单一时延的情况。由于实际系统的不确定性与工业运行环境的复杂性，研究系统存在多个自时延的情况很有必要。为实现智能体之间状态信息的交互，分布式控制策略已被广泛地应用于研究一致性问题。不过这些研究工作大多都默认将控制增益设置为常量。这很大程度上降低了控制的灵活度，还可能导致多智能体系统实现全局一致的动态性能下降。因此研究一种限制宽泛的时变分布式控制策略很有必要。再者，考虑到经济成本与执行器有限的输入阈值，必须对控制信号的幅值加以限制。由此，研究人员提出了众多基于饱和策略的有效控制方法。然而由饱和策略的限幅作用造成控制信号不平滑度加剧的现象经常被忽略。
发明内容
本发明要解决的技术问题，要达到的目标：本发明涉及的具有时变控制增益的分布式负反馈控制策略，主要针对具有非连续动力学性态与混合自时延的多智能体系统，实现各个智能体状态指数收敛至一致。利用Filippov集值映射将有限个间断点映射到对应集合中，再通过Filippov微分包含和测度选择定理得到非连续微分方程在Filippov意义下的解。随后综合高斯误差函数与微分中值定理来近似模拟饱和效应，从而有效限制了控制信号的幅值，同时降低其不平滑度，提高控制效果。本发明提出的分布式控制器具有时变控制增益。并且对于时变项的限制条件非常宽泛，仅要求其在任一控制域内的积分平均值存在下界，这极大得增加了控制器的应用范围。最后通过广义Halanay不等式和Lyapunov稳定性定理可得到指数一致性判定条件与最大容许时延的估算式。
本发明的技术方案：
非连续自时延多智能体系统一致性与饱和分布式控制方法，步骤如下：
步骤一、建立具有非连续动力学性态和混合自时延的多智能体系统并确定其一致性目标
Figure BDA0003213644270000021
其中
Figure BDA0003213644270000022
表示第i个智能体的状态变量。
Figure BDA0003213644270000023
Figure BDA0003213644270000024
体现了该系统混自时延的特性。非连续向量值函数
Figure BDA0003213644270000025
与
Figure BDA0003213644270000026
刻画了每个孤立智能体的本质动力学性态。常数矩阵B为状态内联矩阵，半正定矩阵D1,D2表示时延配置矩阵。τs表示第s个状态自时延、
Figure BDA0003213644270000027
表示智能体i第n个状态分量；
Figure BDA0003213644270000028
表示对
Figure BDA0003213644270000029
的求导。
由于通信带宽的限制与传输拥塞现象的存在，本发明在系统建模时考虑了动力学函数非连续以及存在混合自时延的情况。这导致一般的Lipschitz条件、QUAD条件、扇形条件等用来处理连续非线性动力学函数的传统方法将不再适用。因此本发明将提出一种广义的Lipschitz条件。本发明选取第一个智能体x1(t)为参考节点(充当一致性目标)，其动力学方程为
Figure BDA00032136442700000210
步骤二、通过传感器装置获得各节点状态信息并建立误差模型
通过定义误差向量
Figure BDA00032136442700000211
由式(1)和(2)可得多智能体误差系统：
Figure BDA00032136442700000212
其中i＝1,2,…,N,s＝1,2,…,S；ei n(t)表示误差向量ei(t)的第n个分量。通过定义的误差向量ei(t)，可以将研究多智能体系统的全局指数一致性问题，转换成误差系统的指数稳定性问题，便于直接利用Lyapunov 稳定性定理进行系统分析。
步骤三、设计具有时变控制增益的非平滑分布式控制策略
为了实现非连续多智能体系统的全局指数一致性，智能体之间需由通信拓扑完成状态信息交互，因此需对其施加分布式策略。
Figure BDA00032136442700000214
其中k为正值常数，sign(·)表示符号函数。控制配置矩阵A＝[aij]N×N用来实现分布式控制策略，满足耗散耦合条件，即
Figure BDA0003213644270000031
若第i个智能体与第j个智能体之间有信息传递，i≠j，则 aij＝aji>0,否则aij＝aji＝0。时变控制强度ρ(t):[0,+∞)→[0,+∞)有界且分段连续，其反映了系统运行过程中，智能体之间耦合强度的变化情况。且满足在任一控制域内，其控制增益的积分平均值存在下界，即：
Figure BDA0003213644270000032
其中，T指控制域时间、m表示第m个控制域、
Figure BDA0003213644270000033
表示任一控制域内控制增益积分平均值的下界；
步骤四、利用高斯误差函数和微分中值定理模拟饱和效应
又考虑到系统实际运行环境以及控制成本，必须对控制信号加以限幅。引入饱和策略，形式如下：
Figure BDA0003213644270000034
其中，
Figure BDA0003213644270000035
表示控制器ui(t)第j个控制分量，
Figure BDA0003213644270000036
为预设的控制器输出阈值，i＝1,2,…,N,j＝1,2,…,n。
从上述饱和策略的函数结构可以预见到，由于存在间断点，会导致控制信号的不平滑度加剧。由此执行器的输入信号发生突变的频率增加,会加剧工件的磨损，降低控制效果甚至导致系统不稳定。考虑到上述这些情况，本发明利用高斯误差函数来近似模拟饱和效应，从而降低控制信号的不平滑度。
Figure BDA0003213644270000037
其中erf(·)表示高斯误差函数，
Figure BDA0003213644270000038
又考虑到高斯误差函数结构的复杂性，难以直接应用至分布式控制器(4),本发明利用微分中值定理来简化函数形式。首先定义下式：
Figure BDA0003213644270000039
其中i＝1,2,…,N,j＝1,2,…,n；由于控制信号的幅值已经被限制，很容易得到
Figure BDA00032136442700000310
是有界的，这意味着
Figure BDA00032136442700000311
随后对函数
Figure BDA00032136442700000312
应用微分中值定理，即存在一个常数
Figure BDA00032136442700000313
满足下式
Figure BDA00032136442700000314
其中
Figure BDA00032136442700000315
线性主部
Figure BDA00032136442700000316
Figure BDA00032136442700000317
表示控制器初值；
从高斯误差函数的表达式得到
Figure BDA00032136442700000320
令
Figure BDA00032136442700000318
可以将(9)式转换成下式：
Figure BDA00032136442700000319
结合式(8)和(10)，最终得到改进的饱和策略：
Figure BDA0003213644270000041
为了便于后续推导，将式(11)转换成如下紧凑形式
Figure BDA0003213644270000042
其中
Figure BDA0003213644270000043
diag(·)表示对角矩阵。
步骤五、获得多智能体系统在分布式控制策略下实现指数一致性的参数配置与最大容许时延
假设1：通信拓扑
Figure BDA0003213644270000044
包含一个有向生成树，且智能体1为根节点。
基于图论，若智能体1为根节点，拉普拉斯矩阵的底层拓扑可划分为：
Figure BDA0003213644270000045
其中
Figure BDA0003213644270000046
为常值列向量，
Figure BDA0003213644270000047
为全零列向量，
Figure BDA0003213644270000048
为非奇异M矩阵。则存在一个正对对角矩阵
Figure BDA0003213644270000049
使得
Figure BDA00032136442700000410
成立。其中
Figure BDA00032136442700000411
为了便于后续分析，记
Figure BDA00032136442700000412
λmin表示矩阵
Figure BDA00032136442700000413
的最小特征值。
假设2：对于非连续混合自时延多智能体系统(1)，若非连续动力学函数满足
Figure BDA00032136442700000414
Figure BDA00032136442700000415
则基于Filippov集值映射和测度选择定理，对于任意的
Figure BDA00032136442700000416
Figure BDA00032136442700000417
假设存在正值常数
Figure BDA00032136442700000418
使得下列式子成立；
Figure BDA00032136442700000419
表示Filippov集值映射，α1(t)、β1(t)、α2(t-τs)、β2(t-τs)均为定义域内的可测函数，h1(t)属于函数f1(t,h1(t)的一个自变量；
Figure BDA00032136442700000423
Figure BDA00032136442700000420
一般的，当分析非线性动力学系统时，通常会要求非线性函数满足全局Lipschitz条件、QUAD条件、扇形条件等。然而当动力学函数非连续时，这些传统的线性化手段都将不再适用。因此我们利用Filippov 集值映射理论，将有限个间断点映射到对应集合中，将不连续函数转化成Filippov集值函数。然后利用测度选择定理挑选出可测函数以获得非连续微分方程在Filippov意义下的解。又因为可测函数的不唯一性, 导致出现式(13)所示，即使当h1(t)＝h2(t)时，α(t)也不一定等于β1(t)的情况。基于式(13)进一步分析可以得到
Figure BDA00032136442700000421
这意味着f1(·)的连续可微部分的导数将被限制在一个可变上界区间
Figure BDA00032136442700000422
内。对于式(14)，由于存在乘积效应，当h1(t)＝h2(t)时，不等式可以取到等号。当τs＝0时，其便转换成一般的处理交叉项的形式。
先推导非连续混合自时延多智能体系统(1)在非平滑分布式负反馈控制策略(4)辅之以改进的饱和策略(12)的作用下实现全局指数一致的充分条件，并估计其最大容许时延。
选取如下Lyapunov函数：
Figure BDA0003213644270000051
其中
Figure BDA0003213644270000052
In表示n×n单位矩阵。为了便于后续的推导，基于式(15)得到如下关系式
Figure BDA0003213644270000053
计算V(t)关于时间t的集值Lie导数
Figure BDA0003213644270000054
并根据Filippov集值映射的性质得
Figure BDA0003213644270000055
其中
Figure BDA0003213644270000056
Figure BDA0003213644270000057
补偿项
Figure BDA0003213644270000058
Figure BDA0003213644270000059
为集值函数。
Figure BDA00032136442700000510
Figure BDA00032136442700000511
定义如下：
Figure BDA00032136442700000512
显然可知存在可测函数满足
Figure BDA00032136442700000513
Figure BDA00032136442700000514
由此可得
Figure BDA00032136442700000515
基于假设2，进一步得到
Figure BDA00032136442700000516
其中
Figure BDA00032136442700000517
为矩阵D2的最大特征值。
随后根据引理2，假设2以及式(16)可以得到
Figure BDA0003213644270000061
Figure BDA0003213644270000062
其中
Figure BDA0003213644270000063
分别为矩阵
Figure BDA0003213644270000064
和
Figure BDA0003213644270000065
的最大特征值。
Figure BDA0003213644270000066
为矩阵
Figure BDA0003213644270000067
的最小特征值；
Figure BDA0003213644270000068
根据式(18)、(19)、(20)以及(21)可得
Figure BDA0003213644270000069
Figure BDA00032136442700000610
表示矩阵D2的最大特征值；
Figure BDA00032136442700000611
表示函数V(t+q)在区间t∈[0,+∞)内的上确界，其中
Figure BDA00032136442700000612
综上分析，可以得到在分布式策略(4)辅之以改进饱和策略(12)的作用下，多智能体系统 (1)实现指数一致的充分条件与最大容许时延的估算式。
结论:
对于非连续混合自时延多智能体系统(1)，若各项参数满足假设1与假设2，在非平滑分布式负反馈控制器(4)辅之以改进的饱和策略(12)的作用下，可实现全局指数一致的条件为
Figure BDA0003213644270000071
最大容许时延：
Figure 1
其中
Figure BDA0003213644270000073
本发明的有益效果：本发明所带来的好处，及达到的指标。
1.本发明提出的控制策略针对具有非连续非线性动力学性态的多智能体系统。大量物理模拟包含非连续函数，因此在实际工程中非连续微分方程广泛存在。特别是在机械与电气领域，很多经典的工程问题都是以右端不连续微分方程建模。
2.本发明考虑具有混合自时延的多智能体系统，有效地增强了模型的普适性。由于通信传输能力的有限以及存在信道拥塞，时延现象也是多智能体系统的研究中最应该考虑的问题之一。又考虑到实际系统的不确定性与工业运行环境的复杂性，研究系统存在多个自时延的情况很有必要。
3.本发明提出的非平滑分布式负反馈控制器具有时变控制增益。并且对于时变项的限制条件非常宽泛，仅要求其在任一控制域内的积分平均值存在下界。这使得控制难度有效降低。
4.考虑到实际系统运行环境与控制成本，本发明利用高斯误差函数与微分中值定理近似模拟饱和效应，从而有效限制了控制信号的幅值，同时降低其不平滑度，提高控制效果。
5.为加快多智能体系统一致收敛的速度，基于广义Halanay不等式和Lyapunov稳定性定理，本发明提出的分布式控制器在各项参数满足一定条件时，可实现非连续多智能体系统全局指数一致性，同时可得到最大容许时延。
6.在线性化非连续非线性动力学函数时，本发明提出广义Lipschitz条件。同时利用 Filippov微分包含理论与测度选择定理处理非连续微分方程。
附图说明
图1时变控制增益ρ(t)为半波正弦信号；
图2为图1相应系统误差演化图；其中，(a)为e2(t)，(b)为e3(t)，(c)为e4(t)。
图3时变控制增益ρ(t)为三角波信号；
图4为图3相应系统误差演化图；其中，(a)为e2(t)，(b)为e3(t)，(c)为e4(t)。
图5时变控制增益ρ(t)受外部周期干扰；
图6为图5相应系统误差演化图。其中，(a)为e2(t)，(b)为e3(t)，(c)为e4(t)。
具体实施方式
以下根据附图和实施例对本发明的技术方案进行进一步说明。
步骤1：配置系统参数。考虑由4个智能体构成的非连续多智能体系统，每个智能体有3个状态分量 (N＝4,n＝3)，具体形式如下
Figure BDA0003213644270000081
由此可以得到状态内联矩阵B＝diag(-1.3,-1.5,-2.4)，时延配置矩阵D1＝diag(0,0,1),D2＝diag(1,1,0)， S＝2.非连续动力学函数
Figure BDA00032136442700000819
取m0＝0.1.
步骤2：选取分布式控制矩阵参数。为实现智能体之间状态信息交互，选取控制耦合矩阵以实现分布式控制。取第一个智能体为参考节点(孤立节点)，则其无法接收其他智能体的状态更新信息。但可以将自身的状态信息传送给其他智能体，也就是说a1j＝0,j＝1,2,3,4.
Figure BDA0003213644270000082
接着得到
Figure BDA0003213644270000083
则Λ＝diag(0.875,0.5625,0.125),λmin＝1.6344,ξmax＝0.875,ξmin＝0.125.
步骤3：配置改进饱和策略参数。对所有控制信号都加以限幅20％,30％,50％，即
Figure BDA0003213644270000084
Figure BDA0003213644270000085
补偿项Δi＝[0.101,0.021,0.093]T，取
Figure BDA0003213644270000086
负反馈增益取k＝0.27.
步骤4：配置不同工况下时变控制增益ρ(t)。根据所得一致性判据，对于不同类型的ρ(t)配置分别选择控制器参数。
(1).ρ(t)为半波正弦信号(幅值为4.5，周期为0.4)。则
Figure BDA0003213644270000087
取
Figure BDA0003213644270000088
(2).ρ(t)为三角波信号(幅值为7.2，周期为0.3)。则
Figure BDA0003213644270000089
取
Figure BDA00032136442700000810
(3).ρ(t)受外部周期干扰。不失一般性，假设在整个控制域内存在持续的外部周期干扰，即
Figure BDA00032136442700000811
形式如下
Figure BDA00032136442700000812
选取T＝0.2,ρ0＝2.8,c1＝0.2,c2＝1.2,
Figure BDA00032136442700000813
则
Figure BDA00032136442700000814
三种不同ρ(t)的演化曲线如图1、图3、图5所示。
步骤5：根据所得参数，分别估算最大容许时延
Figure BDA00032136442700000815
并搭建Simulink模型，配置时延参数。
Figure 100002_2
取τ1＝0.12,τ2＝0.24；
Figure 3
取τ1＝0.23,τ2＝0.15；
Figure BDA00032136442700000818
取τ1＝0.52,τ2＝0.48；系统误差演化如图2、图4、图6所示。

Claims (1)

1.非连续自时延多智能体系统一致性与饱和分布式控制方法，其特征在于，步骤如下：
步骤一、建立具有非连续动力学性态和混合自时延的多智能体系统并确定其一致性目标
Figure FDA0003213644260000011
其中
Figure FDA0003213644260000012
表示第i个智能体的状态变量；
Figure FDA0003213644260000013
Figure FDA0003213644260000014
体现了该系统混自时延的特性；非连续向量值函数
Figure FDA0003213644260000015
与
Figure FDA0003213644260000016
刻画了每个孤立智能体的本质动力学性态；常数矩阵B为状态内联矩阵，半正定矩阵D1,D2表示时延配置矩阵；τs表示第s个状态自时延、
Figure FDA0003213644260000017
表示智能体i第n个状态分量；
Figure FDA0003213644260000018
表示对
Figure FDA0003213644260000019
的求导；
提出一种广义的Lipschitz条件，选取第一个智能体x1(t)为参考节点，充当一致性目标，其动力学方程为
Figure FDA00032136442600000110
步骤二、通过传感器装置获得各节点状态信息并建立误差模型
通过定义误差向量ei(t)＝xi(t)-x1(t),
Figure FDA00032136442600000111
由式(1)和(2)可得多智能体误差系统：
Figure FDA00032136442600000112
其中i＝1,2,…,N,s＝1,2,…,S；ei n(t)表示误差向量ei(t)的第n个分量；通过定义的误差向量ei(t)，可以将研究多智能体系统的全局指数一致性问题，转换成误差系统的指数稳定性问题，便于直接利用Lyapunov稳定性定理进行系统分析；
步骤三、设计具有时变控制增益的非平滑分布式控制策略
智能体之间需由通信拓扑完成状态信息交互，因此需对其施加分布式策略；
Figure FDA00032136442600000113
其中k为正值常数，sign(·)表示符号函数；控制配置矩阵A＝[aij]N×N用来实现分布式控制策略，满足耗散耦合条件，即
Figure FDA00032136442600000114
若第i个智能体与第j个智能体之间有信息传递，i≠j，则aij＝aji>0,否则aij＝aji＝0；时变控制强度ρ(t):[0,+∞)→[0,+∞)有界且分段连续，其反映了系统运行过程中，智能体之间耦合强度的变化情况；且满足在任一控制域内，其控制增益的积分平均值存在下界，即：
Figure FDA00032136442600000115
其中，T指控制域时间、m表示第m个控制域、
Figure FDA00032136442600000116
表示任一控制域内控制增益积分平均值的下界；
步骤四、利用高斯误差函数和微分中值定理模拟饱和效应
又考虑到系统实际运行环境以及控制成本，必须对控制信号加以限幅；引入饱和策略，形式如下：
Figure FDA0003213644260000021
其中，
Figure FDA0003213644260000022
表示控制器ui(t)第j个控制分量，
Figure FDA0003213644260000023
为预设的控制器输出阈值，i＝1,2,…,N,j＝1,2,…,n；
利用高斯误差函数来近似模拟饱和效应，从而降低控制信号的不平滑度；
Figure FDA0003213644260000024
其中erf(·)表示高斯误差函数，
Figure FDA0003213644260000025
利用微分中值定理来简化函数形式；首先定义下式：
Figure FDA0003213644260000026
其中i＝1,2,…,N,j＝1,2,…,n；由于控制信号的幅值已经被限制，很容易得到
Figure FDA0003213644260000027
是有界的，这意味着
Figure FDA0003213644260000028
随后对函数
Figure FDA0003213644260000029
应用微分中值定理，即存在一个常数
Figure FDA00032136442600000210
满足下式
Figure FDA00032136442600000211
其中
Figure FDA00032136442600000212
线性主部
Figure FDA00032136442600000213
Figure FDA00032136442600000214
Figure FDA00032136442600000215
表示控制器初值；
从高斯误差函数的表达式得到g(0)＝0，令
Figure FDA00032136442600000216
可以将(9)式转换成下式：
Figure FDA00032136442600000217
结合式(8)和(10)，最终得到改进的饱和策略：
Figure FDA00032136442600000218
为了便于后续推导，将式(11)转换成如下紧凑形式
Figure FDA00032136442600000219
其中
Figure FDA00032136442600000220
diag(·)表示对角矩阵；
步骤五、获得多智能体系统在分布式控制策略下实现指数一致性的参数配置与最大容许时延
设1：通信拓扑
Figure FDA00032136442600000221
包含一个有向生成树，且智能体1为根节点；
基于图论，若智能体1为根节点，拉普拉斯矩阵的底层拓扑可划分为：
Figure FDA00032136442600000222
其中
Figure FDA00032136442600000223
为常值列向量，
Figure FDA00032136442600000224
为全零列向量，
Figure FDA00032136442600000225
为非奇异M矩阵；则存在一个正对对角矩阵
Figure FDA0003213644260000031
使得
Figure FDA0003213644260000032
成立；其中Λ＝diag(ξ1,ξ2,…,ξN-1),
Figure FDA0003213644260000033
为了便于后续分析，记
Figure FDA0003213644260000034
λmin表示矩阵
Figure FDA0003213644260000035
的最小特征值；
设2：对于非连续混合自时延多智能体系统(1)，若非连续动力学函数满足
Figure FDA00032136442600000321
Figure FDA00032136442600000322
则基于Filippov集值映射和测度选择定理，对于任意的
Figure FDA0003213644260000037
Figure FDA0003213644260000038
设存在正值常数m0,m1,m2,
Figure FDA00032136442600000323
使得下列式子成立；
Figure FDA0003213644260000039
表示Filippov集值映射，α1(t)、β1(t)、α2(t-τs)、β2(t-τs)均为定义域内的可测函数，h1(t)属于函数f1(t,h1(t)的一个自变量；
Figure FDA00032136442600000324
Figure FDA00032136442600000310
利用Filippov集值映射理论，将有限个间断点映射到对应集合中，将不连续函数转化成Filippov集值函数；然后利用测度选择定理挑选出可测函数以获得非连续微分方程在Filippov意义下的解；又因为可测函数的不唯一性,导致出现式(13)所示，即使当h1(t)＝h2(t)时，α(t)也不一定等于β1(t)的情况；基于式(13)进一步分析可以得到
Figure FDA00032136442600000311
这意味着f1(·)的连续可微部分的导数将被限制在一个可变上界区间
Figure FDA00032136442600000312
内；对于式(14)，由于存在乘积效应，当h1(t)＝h2(t)时，不等式可以取到等号；当τs＝0时，其便转换成一般的处理交叉项的形式；
先推导非连续混合自时延多智能体系统(1)在非平滑分布式负反馈控制策略(4)辅之以改进的饱和策略(12)的作用下实现全局指数一致的充分条件，并估计其最大容许时延；
选取如下Lyapunov函数：
Figure FDA00032136442600000313
其中
Figure FDA00032136442600000314
In表示n×n单位矩阵；为了便于后续的推导，基于式(15)得到如下关系式
Figure FDA00032136442600000315
计算V(t)关于时间t的集值Lie导数
Figure FDA00032136442600000316
并根据Filippov集值映射的性质得：
Figure FDA00032136442600000317
其中
Figure FDA00032136442600000318
Figure FDA00032136442600000319
补偿项
Figure FDA00032136442600000320
Figure FDA0003213644260000041
为集值函数；
Figure FDA0003213644260000042
Figure FDA0003213644260000043
定义如下：
Figure FDA0003213644260000044
显然可知存在可测函数满足
Figure FDA0003213644260000045
Figure FDA0003213644260000046
由此可得
Figure FDA0003213644260000047
基于设2，进一步得到：
Figure FDA0003213644260000048
其中
Figure FDA0003213644260000049
Figure FDA00032136442600000410
为矩阵D2的最大特征值；
随后根据引理2，设2以及式(16)可以得到：
Figure FDA00032136442600000411
Figure FDA00032136442600000412
Figure FDA0003213644260000051
其中
Figure FDA0003213644260000052
分别为矩阵
Figure FDA0003213644260000053
和
Figure FDA0003213644260000054
的最大特征值；
Figure FDA0003213644260000055
为矩阵
Figure FDA0003213644260000056
的最小特征值；
Figure FDA0003213644260000057
根据式(18)、(19)、(20)以及(21)可得
Figure FDA0003213644260000058
Figure FDA0003213644260000059
表示矩阵D2的最大特征值；
Figure FDA00032136442600000510
表示函数V(t+q)在区间t∈[0,+∞)内的上确界，其中
Figure FDA00032136442600000511
综上分析，可以得到在分布式策略(4)辅之以改进饱和策略(12)的作用下，多智能体系统(1)实现指数一致的充分条件与最大容许时延的估算式；
对于非连续混合自时延多智能体系统(1)，若各项参数满足设1与设2，在非平滑分布式负反馈控制器(4)辅之以改进的饱和策略(12)的作用下，可实现全局指数一致的条件为
Figure FDA00032136442600000512
最大容许时延：
Figure 2
其中
Figure FDA00032136442600000514
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