CN113341726B - 一种多质点车辆队列行驶系统的迭代学习控制方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种多质点车辆队列行驶系统的迭代学习控制方法，涉及迭代学习控制领域，该方法包括：首先利用有限差分法对多质点列车动力学方程进行离散化得到偏递推方程，然后将其转化为空间互联系统模型；其次，使用提升技术将空间互联系统模型转换为等价的一维动态模型，为补偿输入时滞，基于状态观测器设计迭代学习律；再次，根据迭代学习律将被控对象转化为等价的离散重复过程，基于重复过程的稳定性分析将控制器综合问题转换成线性矩阵不等式。该方法简单易于实现，解决了输入时滞引起的系统输出响应滞后的问题，并且考虑了系统的结构不确定性，具有良好的控制性能与鲁棒性。

Description

一种多质点车辆队列行驶系统的迭代学习控制方法
技术领域
本发明涉及迭代学习控制领域，尤其是一种多质点车辆队列行驶系统的迭代学习控制方法，针对一类具有结构不确定性和输入时滞的多质点车辆队列行驶系统。
背景技术
近年来，随着铁路的飞速发展，列车的高效出行方式深受人们的欢迎。多质点车辆队列行驶系统是一类由多个列车车厢相互耦合构成的空间互联系统，具有时空耦合、变量数目多、维数高的特性。在保证列车安全运行的前提下，提高列车有限时间和批次内运行的速度和性能成为了关注的重点。然而，由于列车复杂的运行环境，实际系统往往存在不确定性。此外，在控制实施中存在信息交互传输的现象，通常会涉及到输入时滞，导致系统输出响应滞后，影响系统的稳定和性能。针对上述多质点车辆队列行驶系统的运行特点，迭代学习控制被用于解决多质点车辆队列行驶系统的跟踪问题。
迭代学习控制(Iterative Learning Control，ILC)是一种新型的智能控制方法，通过从先前的批次中重复学习，能在有限时间内提高被控系统的跟踪性能。它最显著的特点是计算量小，对系统动力学的先验知识要求低，简单易于实现。本申请将迭代学习控制应用于具有不确定性和输入时滞的多质点车辆队列行驶系统可以提高系统的响应速度和轨迹跟踪精度，改善控制性能。
发明内容
本发明人针对上述问题及技术需求，提出了一种多质点车辆队列行驶系统的迭代学习控制方法，本发明的技术方案如下：
一种多质点车辆队列行驶系统的迭代学习控制方法，包括如下步骤：
第一步：建立多质点车辆队列行驶系统的空间互联系统模型
所述多质点车辆队列行驶系统的动力学方程描述为
Figure BDA0003122140200000011
其中，
Figure BDA0003122140200000021
表示第i辆车的位置，
Figure BDA0003122140200000022
是控制输入，表示列车的牵引力，τ是由信号传输所引起的时滞常量，
Figure BDA0003122140200000023
是测量输出，表示列车的速度；m表示每辆列车质量，其变化范围是
Figure BDA0003122140200000024
k是弹簧系数，其变化范围是
Figure BDA0003122140200000025
选择采样时间T，利用有限差分法对方程(1)进行近似离散化，即
Figure BDA0003122140200000026
其中，t和s分别为离散时间和列车序号，将上述公式代入方程(1)得到偏递推方程
Figure BDA0003122140200000027
设车辆间互相传递的信息为各自的位置信息，即令互联变量w+(t,s)＝w-(t,s)＝x1(t,s)，v+(t,s)＝x1(t,s-1)，v-(t,s)＝x1(t,s+1)，输出变量y(t,s)＝x2(t,s)，将方程(2)转化为不确定空间互联系统模型，即
Figure BDA0003122140200000028
其中，
Figure BDA0003122140200000029
Figure BDA00031221402000000210
上式x(t,s)∈Rn、u(t,s)∈Rq和y(t,s)∈Rm分别表示第s个子系统的状态、输入和输出变量；τ(0<τ<α)表示时滞常量；
Figure BDA00031221402000000211
和
Figure BDA00031221402000000212
表示相邻子系统间的互联作用，且满足
Figure BDA00031221402000000213
其边界条件为v+(1)＝w-(1)＝0，v-(n)＝w+(n)＝0，n为子系统数目；
p(t,s)表示结构不确定性的伪输入通道，q(t,s)表示结构不确定性的伪输出通道，且
p(t,s)＝θsq(t,s) (5)
其中，不确定块
Figure BDA0003122140200000031
δi描述了系统动力学参数的变化，
Figure BDA0003122140200000032
为维度为rf的单位矩阵；
第二步：对空间互联系统模型进行转换
利用提升技术将模型(3)转化为等价的一维动态模型，定义提升向量如下：
X(t)＝[x(t,1)T,x(t,2)T,…,x(t,n)T]T
V(t)＝[v(t,1)T,v(t,2)T,…,v(t,n)T]T
W(t)＝[w(t,1)T,w(t,2)T,…,w(t,n)T]T
P(t)＝[p(t,1)T,p(t,2)T,…,p(t,n)T]T
Q(t)＝[q(t,1)T,q(t,2)T,…,q(t,n)T]T
U(t-τ)＝[u(t-τ,1)T,u(t-τ,2)T,…,u(t-τ,n)T]T
Y(t)＝[y(t,1)T,y(t,2)T,…,y(t,n)T]T
则整个不确定空间互联系统模型由以下模型等价描述
Figure BDA0003122140200000033
其中，
Figure BDA0003122140200000034
Figure BDA0003122140200000035
Figure BDA0003122140200000036
Figure BDA0003122140200000037
模型(6)中包含互联变量，则需对所述模型(6)进一步简化；
利用式(4)的互联特性及其边界条件，得到互联变量间的等式关系
W(t)＝ηV(t) (7)
其中，η是与时间t无关的置换矩阵；
将式(7)代入(6)中，得到
V(t)＝η-1A21X(t) (8)
然后将式(8)代入(6)，消去互联变量W(t)和V(t)，得到以下等价的不确定模型
Figure BDA0003122140200000038
其中，
Figure BDA0003122140200000039
Figure BDA00031221402000000310
根据式(5)得到
P(t)＝θQ(t) (10)
其中不确定性块θ＝diag{θ1,…,θn},θi≤I,i＝1,…,n；
将式(10)代入(9)，得到
Figure BDA0003122140200000041
然后将式(11)代入(9)，利用消元法消去不确定变量P(t)和Q(t)，得到一般形式的状态空间模型
Figure BDA0003122140200000042
其中，
Figure BDA0003122140200000043
Figure BDA0003122140200000044
ΔB＝B11θ(I-D11θ)-1D12
第三步：基于状态观测器设计迭代学习律
将状态空间模型(12)描述为ILC结构形式
Figure BDA0003122140200000045
其中k+1表示系统当前运行批次，t∈[0,α]表示系统每一批次的有限工作周期，输入时滞常量满足条件τ<α；
则所述迭代学习律表示为
Uk+1(t)＝Uk(t)+rk+1(t) (14)
当前控制信号Uk+1(t)等于前一批次的控制信号Uk(t)加上一个更新项rk+1(t)，所述更新项rk+1(t)由前次误差信息计算得到；
第k+1批次系统的跟踪误差为
ek+1(t)＝Yr(t)-Yk+1(t) (15)
其中，Yr(t)为期望输出轨迹；
考虑到输出响应存在滞后，因此将所述跟踪误差重新描述为
ek+1(t)＝Yr(t-τ)-Yk+1(t) (16)
引入状态误差向量
Figure BDA0003122140200000046
假设Yr(0)＝Yk(0)＝CXk(0)和
Figure BDA0003122140200000047
即系统每一批次都返回至相同初始状态，则
Figure BDA0003122140200000051
且
Figure BDA0003122140200000052
为了补偿输入时滞，利用当前批次的输出信息构造了如下的状态观测器
Figure BDA0003122140200000053
其中，
Figure BDA0003122140200000054
Figure BDA0003122140200000055
是状态
Figure BDA0003122140200000056
的τ步超前预测，即
Figure BDA0003122140200000057
是
Figure BDA0003122140200000058
的估计值；L是待设计的观测器增益；
定义观测误差为
Figure BDA0003122140200000059
设学习律(14)中的更新项为
Figure BDA00031221402000000510
其中，K1、K2和K3是待设计的学习增益；
所述更新项由状态反馈信息和PD型前次跟踪误差信息构成，当学习增益K2＝K3时，式(22)简化为P型ILC；
将(22)代入(20)，得到
Figure BDA00031221402000000511
并且
Figure BDA00031221402000000512
令
Figure BDA00031221402000000513
K＝K2-K3，得到以下具有时滞的线性离散重复过程模型
Figure BDA00031221402000000514
其中，
Figure BDA0003122140200000061
Figure BDA0003122140200000062
Figure BDA0003122140200000063
Figure BDA0003122140200000064
第四步：对所述线性离散重复过程模型进行系统的稳定性分析和学习增益求解
选取李雅普诺夫函数为
Figure BDA0003122140200000065
其中，S＝diag{S1,S2}>0，Q＝diag{Q1,Q2}>0，P2>P1>0；V1(t,k)表示沿一个批次的能量变化，V2(k,t)表示批次间的能量变化；各子函数增量为
Figure BDA0003122140200000066
Figure BDA0003122140200000067
其中，
Figure BDA0003122140200000068
总的函数增量为
Figure BDA0003122140200000069
其中，
Figure BDA0003122140200000071
如果对任意的k和t，ΔV(k,t)<0都成立，则模型(25)沿批次稳定，其等价条件为Π<0；对Π<0使用Schur补引理，在不等式两边分别左乘和右乘
Figure BDA0003122140200000072
并且作变量代换，令
Figure BDA0003122140200000073
Figure BDA0003122140200000074
Figure BDA0003122140200000075
得到以下结论：
对于式(25)所描述的具有时滞的标称线性离散重复过程模型，若存在矩阵W＝diag{W1,W2}>0，X＝diag{X1,X2}>0，Z1>0，Z2>0和矩阵R、R1、R2、R3使得下列线性矩阵不等式成立
Figure BDA0003122140200000076
则模型(25)沿批次稳定，更新项(22)的学习增益和状态观测器(20)的增益分别为
Figure BDA0003122140200000077
当考虑系统存在结构不确定性时，对Π<0使用Schur补引理，并在不等式两边分别左乘和右乘
Figure BDA0003122140200000078
并且作变量代换，令
Figure BDA0003122140200000079
Figure BDA00031221402000000710
Figure BDA00031221402000000711
得到
Ξ1+MΘN+NTΘTMT<0 (32)
其中，
Figure BDA00031221402000000712
Figure BDA00031221402000000713
Θ＝θ(I-D11θ)-1,θTθ≤I
式(32)等价于
Figure BDA0003122140200000081
其中ε＞0；
根据Schur补引理，式(33)描述为
Figure BDA0003122140200000082
对上式分别左乘和右乘diag{I,εI,εI}，并用ε替换ε2，得出以下结论：
对于式(25)所描述的具有时滞的不确定线性离散重复过程模型，若存在矩阵W＝diag{W1,W2}>0，X＝diag{X1,X2}>0，Z1>0，Z2>0和矩阵R、R1、R2、R3使得下列线性矩阵不等式成立
Figure BDA0003122140200000083
其中，
Figure BDA0003122140200000084
Figure BDA0003122140200000085
则模型(25)沿批次鲁棒稳定，更新项(22)的学习增益和状态观测器(20)的增益由式(31)给出。
本发明的有益技术效果是：
本申请研究了一种具有结构不确定性和输入时滞的多质点车辆队列行驶系统的鲁棒ILC方法，首先利用有限差分法对多质点列车动力学方程进行离散化得到偏递推方程，然后将其转化为空间互联系统模型；其次使用提升技术将空间互联系统模型转换为等价的一维动态模型，为补偿输入时滞；基于状态观测器设计迭代学习律，根据设计的迭代学习律将被控对象转化为等价的离散重复过程，根据重复过程稳定性理论得到系统沿批次稳定的充分条件，将控制器综合问题转换成线性矩阵不等式。该方法简单易于实现，解决了输入时滞引起的输出响应滞后问题，并且考虑了系统的结构不确定性，具有良好的控制性能与鲁棒性。
附图说明
图1是本申请提供的多质点车辆队列行驶系统的结构图。
图2是本申请提供的空间互联系统模型的结构图。
图3是本申请提供的标称情况下第1个列车质点的输出曲线。
图4是本申请提供的标称情况下第2个列车质点的输出曲线。
图5是本申请提供的标称情况下第3个列车质点的输出曲线。
图6是本申请提供的标称系统的RMS对比曲线。
图7是本申请提供的不确定情况下第1个列车质点的输出曲线。
图8是本申请提供的不确定情况下第2个列车质点的输出曲线。
图9是本申请提供的不确定情况下第3个列车质点的输出曲线。
图10是本申请提供的不确定系统的RMS对比曲线。
具体实施方式
下面结合附图对本发明的具体实施方式做进一步说明。
图1为多质点车辆队列行驶系统的结构图，对于其动力学方程(1)，取时滞常量τ＝4；每辆列车质量m＝2[kg]，变化范围
Figure BDA0003122140200000091
弹簧系数k＝2[N/m]，变化范围
Figure BDA0003122140200000092
采样时间T＝0.05[s]。
图2为空间互联系统模型的结构图，则模型(3)的各个参数矩阵为
Figure BDA0003122140200000093
Figure BDA0003122140200000094
Figure BDA0003122140200000095
考虑3辆列车互联的多质点车辆队列行驶系统，设系统初始条件为x0(0,1)＝x0(0,2)＝x0(0,3)＝0，每一批次的有限工作周期为20s，每辆车的速度参考轨迹为
Figure BDA0003122140200000096
Figure BDA0003122140200000097
Figure BDA0003122140200000098
参考轨迹信号由波形发生器给出。
求解式(25)，得到标称系统PD型ILC的学习增益和观测器增益为
Figure BDA0003122140200000101
Figure BDA0003122140200000102
Figure BDA0003122140200000103
P型ILC的学习增益和相应的观测器增益为
Figure BDA0003122140200000104
Figure BDA0003122140200000105
Figure BDA0003122140200000106
上述迭代学习控制器的实现通过一块STM32F103RCT6芯片实现。芯片的输入信号由BENTLY 74712速度传感器采集得到。输入信号通过调理电路进入stm32芯片进行存储和计算，并用于构造迭代学习更新律，CPU计算后得到的信号作为当前批次的控制信号Uk+1(t)。控制信号通过D/A转换电路作用于步进电机DM3622，用于更新列车质点的速度，直到跟踪上给定的参考速度轨迹。
图3为标称情况下第1辆列车质点的输出曲线，图4为标称情况下第2辆列车质点的输出曲线，图5为标称情况下第3辆列车质点的输出曲线。为进一步评价系统跟踪性能，引入均方根误差性能指标
Figure BDA0003122140200000107
图6为标称系统的RMS对比曲线，可以看出在输入时滞常量的情况下，利用状态观测器估计的系统τ步以后的状态作为反馈，使系统输出提前响应，实现了对输入时滞的补偿。随着迭代次数的增加，控制信号不断更新，每辆列车的输出逐渐跟踪上期望的速度轨迹，验证了本发明方法的有效性。此外，相比于P型ILC，PD型ILC利用了更多的跟踪误差信息，均方根误差沿批次收敛的速度更快，可以实现更完美的跟踪性能。
求解式(34)，得到不确定系统的PD型ILC的学习增益和观测器增益为
Figure BDA0003122140200000111
Figure BDA0003122140200000112
Figure BDA0003122140200000113
同理，P型ILC的学习增益和相应的观测器增益为
Figure BDA0003122140200000114
Figure BDA0003122140200000115
Figure BDA0003122140200000116
图7为不确定情况下第1辆列车质点的输出曲线，图8为不确定情况下第2辆列车质点的输出曲线，图9为不确定情况下第3辆列车质点的输出曲线，图10表示不确定系统的RMS对比曲线。
可以看出在时滞常量和结构不确定性同时存在的情况下，利用状态观测器对系统未来状态进行估计并构成反馈作用于系统，使得系统在经过时滞τ后输出及时响应，改善了控制过程。随着迭代次数的增加，每辆列车的输出渐近跟踪上期望的速度轨迹，跟踪误差沿批次收敛，说明了本发明方法的有效性，并且对系统的结构不确定性具有鲁棒性。另外，PD型ILC实现完美跟踪需要几乎7个批次，相比于P型ILC收敛时间更短，收敛速度更快，跟踪性能更好。
以上所述的仅是本申请的优选实施方式，本发明不限于以上实施例。可以理解，本领域技术人员在不脱离本发明的精神和构思的前提下直接导出或联想到的其他改进和变化，均应认为包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种多质点车辆队列行驶系统的迭代学习控制方法，其特征在于，所述方法包括：
第一步：建立多质点车辆队列行驶系统的空间互联系统模型
所述多质点车辆队列行驶系统的动力学方程描述为
Figure FDA0003122140190000011
其中，
Figure FDA0003122140190000012
表示第i辆车的位置，
Figure FDA0003122140190000013
是控制输入，表示列车的牵引力，τ是由信号传输所引起的时滞常量，
Figure FDA0003122140190000014
是测量输出，表示列车的速度；m表示每辆列车质量，其变化范围是
Figure FDA0003122140190000015
k是弹簧系数，其变化范围是
Figure FDA0003122140190000016
选择采样时间T，利用有限差分法对方程(1)进行近似离散化，即
Figure FDA0003122140190000017
其中，t和s分别为离散时间和列车序号，将上述公式代入方程(1)得到偏递推方程
Figure FDA0003122140190000018
设车辆间互相传递的信息为各自的位置信息，即令互联变量w+(t,s)＝w-(t,s)＝x1(t,s)，v+(t,s)＝x1(t,s-1)，v-(t,s)＝x1(t,s+1)，输出变量y(t,s)＝x2(t,s)，将方程(2)转化为不确定空间互联系统模型，即
Figure FDA0003122140190000019
其中，
Figure FDA00031221401900000110
Figure FDA00031221401900000111
上式x(t,s)∈Rn、u(t,s)∈Rq和y(t,s)∈Rm分别表示第s个子系统的状态、输入和输出变量；τ(0<τ<α)表示时滞常量；
Figure FDA0003122140190000021
和
Figure FDA0003122140190000022
表示相邻子系统间的互联作用，且满足
Figure FDA0003122140190000023
其边界条件为v+(1)＝w-(1)＝0，v-(n)＝w+(n)＝0，n为子系统数目；
p(t,s)表示结构不确定性的伪输入通道，q(t,s)表示结构不确定性的伪输出通道，且
p(t,s)＝θsq(t,s) (5)
其中，不确定块
Figure FDA0003122140190000024
δi∈R,|δi|≤1,i＝1,…,f，δi描述了系统动力学参数的变化，
Figure FDA0003122140190000025
为维度为rf的单位矩阵；
第二步：对空间互联系统模型进行转换
利用提升技术将模型(3)转化为等价的一维动态模型，定义提升向量如下：
X(t)＝[x(t,1)T,x(t,2)T,…,x(t,n)T]T
V(t)＝[v(t,1)T,v(t,2)T,…,v(t,n)T]T
W(t)＝[w(t,1)T,w(t,2)T,…,w(t,n)T]T
P(t)＝[p(t,1)T,p(t,2)T,…,p(t,n)T]T
Q(t)＝[q(t,1)T,q(t,2)T,…,q(t,n)T]T
U(t-τ)＝[u(t-τ,1)T,u(t-τ,2)T,…,u(t-τ,n)T]T
Y(t)＝[y(t,1)T,y(t,2)T,…,y(t,n)T]T
则整个不确定空间互联系统模型由以下模型等价描述
Figure FDA0003122140190000026
其中，
Figure FDA0003122140190000027
Figure FDA0003122140190000028
Figure FDA0003122140190000029
Figure FDA00031221401900000210
模型(6)中包含互联变量，则需对所述模型(6)进一步简化；
利用式(4)的互联特性及其边界条件，得到互联变量间的等式关系
W(t)＝ηV(t) (7)
其中，η是与时间t无关的置换矩阵；
将式(7)代入(6)中，得到
V(t)＝η-1A21X(t) (8)
然后将式(8)代入(6)，消去互联变量W(t)和V(t)，得到以下等价的不确定模型
Figure FDA0003122140190000031
其中，
Figure FDA0003122140190000032
Figure FDA0003122140190000033
根据式(5)得到
P(t)＝θQ(t) (10)
其中不确定性块θ＝diag{θ1,…,θn},θi≤I,i＝1,…,n；
将式(10)代入(9)，得到
Figure FDA0003122140190000034
然后将式(11)代入(9)，利用消元法消去不确定变量P(t)和Q(t)，得到一般形式的状态空间模型
Figure FDA0003122140190000035
其中，
Figure FDA0003122140190000036
B＝B12,C＝C21
Figure FDA0003122140190000037
ΔB＝B11θ(I-D11θ)-1D12
第三步：基于状态观测器设计迭代学习律
将状态空间模型(12)描述为ILC结构形式
Figure FDA0003122140190000038
其中k+1表示系统当前运行批次，t∈[0,α]表示系统每一批次的有限工作周期，输入时滞常量满足条件τ<α；
则所述迭代学习律表示为
Uk+1(t)＝Uk(t)+rk+1(t) (14)
当前控制信号Uk+1(t)等于前一批次的控制信号Uk(t)加上一个更新项rk+1(t)，所述更新项rk+1(t)由前次误差信息计算得到；
第k+1批次系统的跟踪误差为
ek+1(t)＝Yr(t)-Yk+1(t) (15)
其中，Yr(t)为期望输出轨迹；
考虑到输出响应存在滞后，因此将所述跟踪误差重新描述为
ek+1(t)＝Yr(t-τ)-Yk+1(t) (16)
引入状态误差向量
Figure FDA0003122140190000041
假设Yr(0)＝Yk(0)＝CXk(0)和
Figure FDA0003122140190000042
即系统每一批次都返回至相同初始状态，则
Figure FDA0003122140190000043
且
Figure FDA0003122140190000044
为了补偿输入时滞，利用当前批次的输出信息构造了如下的状态观测器
Figure FDA0003122140190000045
其中，
Figure FDA0003122140190000046
Figure FDA0003122140190000047
是状态
Figure FDA0003122140190000048
的τ步超前预测，即
Figure FDA0003122140190000049
是
Figure FDA00031221401900000410
的估计值；L是待设计的观测器增益；
定义观测误差为
Figure FDA00031221401900000411
设学习律(14)中的更新项为
Figure FDA00031221401900000412
其中，K1、K2和K3是待设计的学习增益；
所述更新项由状态反馈信息和PD型前次跟踪误差信息构成，当学习增益K2＝K3时，式(22)简化为P型ILC；
将(22)代入(20)，得到
Figure FDA00031221401900000413
并且
Figure FDA0003122140190000051
令
Figure FDA0003122140190000052
K＝K2-K3，得到以下具有时滞的线性离散重复过程模型
Figure FDA0003122140190000053
其中，
Figure FDA0003122140190000054
Figure FDA0003122140190000055
Figure FDA0003122140190000056
Figure FDA0003122140190000057
第四步：对所述线性离散重复过程模型进行系统的稳定性分析和学习增益求解
选取李雅普诺夫函数为
Figure FDA0003122140190000058
其中，S＝diag{S1,S2}>0，Q＝diag{Q1,Q2}>0，P2>P1>0；V1(t,k)表示沿一个批次的能量变化，V2(k,t)表示批次间的能量变化；各子函数增量为
Figure FDA0003122140190000059
Figure FDA00031221401900000510
其中，
Figure FDA0003122140190000061
总的函数增量为
Figure FDA0003122140190000062
其中，
Figure FDA0003122140190000063
如果对任意的k和t，ΔV(k,t)<0都成立，则模型(25)沿批次稳定，其等价条件为Π<0；对Π<0使用Schur补引理，在不等式两边分别左乘和右乘
Figure FDA0003122140190000064
并且作变量代换，令
Figure FDA0003122140190000065
Figure FDA0003122140190000066
Figure FDA0003122140190000067
得到以下结论：
对于式(25)所描述的具有时滞的标称线性离散重复过程模型，若存在矩阵W＝diag{W1,W2}>0，X＝diag{X1,X2}>0，Z1>0，Z2>0和矩阵R、R1、R2、R3使得下列线性矩阵不等式成立
Figure FDA0003122140190000068
则模型(25)沿批次稳定，更新项(22)的学习增益和状态观测器(20)的增益分别为
Figure FDA0003122140190000069
当考虑系统存在结构不确定性时，对Π<0使用Schur补引理，并在不等式两边分别左乘和右乘
Figure FDA00031221401900000610
并且作变量代换，令
Figure FDA00031221401900000611
Figure FDA00031221401900000612
Figure FDA00031221401900000613
得到
Ξ1+MΘN+NTΘTMT<0 (32)
其中，
Figure FDA0003122140190000071
Figure FDA0003122140190000072
Θ＝θ(I-D11θ)-1,θTθ≤I
式(32)等价于
Figure FDA0003122140190000073
其中ε＞0；
根据Schur补引理，式(33)描述为
Figure FDA0003122140190000074
对上式分别左乘和右乘diag{I,εI,εI}，并用ε替换ε2，得出以下结论：
对于式(25)所描述的具有时滞的不确定线性离散重复过程模型，若存在矩阵W＝diag{W1,W2}>0，X＝diag{X1,X2}>0，Z1>0，Z2>0和矩阵R、R1、R2、R3使得下列线性矩阵不等式成立
Figure FDA0003122140190000075
其中，
Figure FDA0003122140190000076
Figure FDA0003122140190000077
则模型(25)沿批次鲁棒稳定，更新项(22)的学习增益和状态观测器(20)的增益由式(31)给出；
第五步：给出所述多质点车辆队列行驶系统的具体参数，确定所述迭代学习律的学习增益及相应的观测器增益，对ILC状态空间模型施加本批次的控制信号，得到本批次的输出，然后通过所述迭代学习律的反复调节控制，使得车辆队列行驶系统每辆列车的输出渐近跟踪上期望的速度轨迹。
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