CN110032066A - 分数阶非线性系统轨迹跟踪的自适应迭代学习控制方法 - Google Patents

Abstract

一种分数阶非线性系统轨迹跟踪的自适应迭代学习控制方法，属于控制技术领域，目的是解决不满足全局利普希茨条件的分数阶非线性系统的轨迹跟踪问题，其技术方案是，所述方法首先通过定义一个恰当的中间变量，将分数阶非线性系统轨迹跟踪问题转化为整数阶非线性系统状态零点的镇定问题；然后设计能够抵制系统参数时变影响的自适应迭代学习控制器；最后通过求解不等式得到控制器的待定参数。本发明所提出的迭代学习控制器不需要精确知道跟踪系统的模型，能够通过多次重复任务实现有限时间区间内精确跟踪目标轨迹的目的，因此不仅可以抵制参数时变对跟踪性能的不利影响，而且经过一定迭代次数之后能够使不满足全局利普希茨条件的分数阶非线性系统在整个运动过程中始终保持良好的跟踪性能，具有很强的实用性。

Description

分数阶非线性系统轨迹跟踪的自适应迭代学习控制方法

技术领域

本发明涉及一种适用于不满足全局利普希茨条件的分数阶非线性系统的轨 迹跟踪自适应迭代学习控制方法，属于控制技术领域。

背景技术

已有研究结果表明，一些在特殊条件下工作的物理系统，如在沙地或泥泞 的道路上运行的车辆和在雨、雪、冰雹等天气中飞行的飞行器等，应该用分数 阶系统描述。此外，许多自然现象，如在分形环境中智能体的同步行为，高分 子流体和多孔介质等，也必须利用具有分数阶动力学的模型才能合理解释。由 于在工程、生物和社会经济等领域均具有广泛的应用前景，分数阶系统成为当 前科学研究领域的一个研究热点。其中，控制领域的研究人员的关注点之一就 是分数阶非线性系统的轨迹跟踪问题。

近年来，国内外众多学者针对分数阶非线性系统的轨迹跟踪问题进行了大 量研究并取得进展，但是在已有文献中，为讨论方便，一般假设分数阶非线性 系统满足全局利普希茨条件。然而在实际工程应用中，被控对象的非线性函数 通常不具有全局利普希茨特征。因此，考虑不满足全局利普希茨条件的分数阶 非线性系统的轨迹跟踪问题是十分必要的。

此外，已有关于分数阶系统轨迹跟踪的文献主要关注渐近跟踪问题或有限 时间跟踪问题，即当时间趋于无穷或某一个有限值时跟踪误差收敛到零的情形。 然而，在一些实际问题中，例如进行空中加油的飞机，要求零跟踪误差在飞机 空中加油的过程中始终能够保持。鉴于迭代学习控制方法适用于精确完成给定 时间区间内的控制任务，将其应用到分数阶非线性系统轨迹跟踪问题中将会是 一个可行的方案。然而，考虑到分数阶系统的复杂性、迭代学习控制对全局利 普希茨条件的依赖性等，当不满足全局利普希茨条件时如何在分数阶微积分的 框架下应用已有的迭代学习控制理论及方法成为解决分数阶非线性系统轨迹跟 踪问题的关键。

发明内容

本发明的目的在于针对现有技术之弊端，提供一种分数阶非线性系统轨迹 跟踪的自适应迭代学习控制方法，以解决不满足全局利普希茨条件下的分数阶 非线性系统的轨迹跟踪问题。

本发明所述问题是以下述技术方案实现的：

一种分数阶非线性系统轨迹跟踪的自适应迭代学习控制方法，所述方法首 先通过定义一个恰当的中间变量，将分数阶非线性系统轨迹跟踪问题转化为整 数阶非线性系统状态零点的镇定问题；然后设计能够抵制系统参数时变影响的 自适应迭代学习控制器；最后通过求解不等式得到控制器的待定参数。

上述分数阶非线性系统轨迹跟踪的自适应迭代学习控制方法，所述方法包 括以下步骤：

a.问题的转化

已知：处在可重复控制环境中的分数阶目标-跟踪系统，目标系统的动力学 方程为：

其中α∈(0,1)，为采用Caputo微分定义的α阶导数，x_d(t)∈R在t∈[0,T]连续，T＞0表示每次迭代实验结束的时刻，f_d(t,x_d(t))∈R是目标系统的非线性动力 学函数，x₀∈R为常数，R表示实数集合；

跟踪系统的动力学方程为：

其中i表示迭代次数，x_i(t)∈R和u_i(t)∈R分别为跟踪系统的状态和输入，θ(t)∈R未 知且在t∈[0,T]连续，满足θ(t)≤θ_m，表示θ(t)在区间t∈[0,T]的上确界；

定义第i次迭代的跟踪误差为e_i(t)＝x_i(t)-x_d(t)，将上述分数阶非线性系统轨迹跟踪问题转化为分数阶误差系统

的状态零点的镇定问题；

定义变量s_i(t)满足

分数阶误差系统的状态零点的镇定问题转化为整数阶系统

的状态零点的镇定问题；

b.自适应迭代学习控制器的设计

针对整数阶系统，设计迭代学习控制器为：

其中k＞0是需要设计的参数。为第i次迭代中未知参数θ(t)的估计值，它的更新率设计为

c.待定参数的求解

控制器中待定参数k的计算方法为：

其中表示第0次迭代过程中θ(t)的估计偏差，c∈(0,0.5)是已知常 数。

本发明所提出的迭代学习控制器不需要精确知道跟踪系统的模型，能够通 过多次重复任务实现有限时间区间内精确跟踪目标轨迹的目的，因此，不仅可 以抵制参数时变对跟踪性能的不利影响，而且经过一定迭代次数之后能够使不 满足全局利普希茨条件的分数阶非线性系统在整个运动过程中始终保持良好的 跟踪性能，具有很强的实用性。

附图说明

下面结合附图对本发明作进一步详述。

图1为本发明中迭代学习控制器的设计流程示意图；

图2(a)为迭代次数i＝5时跟踪系统和目标系统的轨迹；

图2(b)为迭代次数i＝10时跟踪系统和目标系统的轨迹；

图2(c)为迭代次数i＝50时跟踪系统和目标系统的轨迹；

图2(d)为迭代次数i＝150时跟踪系统和目标系统的轨迹；

图3为迭代学习控制器作用下跟踪误差与迭代次数之间的关系。

文中各符号表示为：R表示实数集合，i表示迭代次数，c∈(0,0.5)是已知常 数，k是控制器中的待定参数，T＞0表示每次迭代实验结束的时刻，为采 用Caputo微分定义的α阶导数，α∈(0,1)。x₀∈R表示目标系统和跟踪系统的初 始状态值，x_d(t)∈R和f_d(t,x_d(t))∈R分别为目标系统的状态和非线性动力学函数， x_i(t)∈R和u_i(t)∈R分别为跟踪系统的状态和输入，θ(t)∈R为跟踪系统中的未知参 数，表示θ(t)在区间t∈[0,T]的上确界，为第i次迭代过程中参数 θ(t)的估计值，表示第i次迭代过程中θ(t)的估计偏差。e_i(t)为 第i次迭代的跟踪误差，s_i(t)是在问题转化过程中引入的中间变量，满足 E_i(t)为第i次迭代过程中的复合能量函数，ΔE_i(t)＝E_i(t)-E_i-1(t)表 示复合能量函数E_i(t)的差分，max_t∈[0,T]|e_i(t)|表示第i次迭代过程中在区间t∈[0,T] 上追踪误差绝对值的最大值。

具体实施方式

本发明针对不满足全局利普希茨条件下的分数阶非线性系统的轨迹跟踪问 题，提出一种自适应迭代学习控制方法，使得分数阶非线性系统能够在所讨论 的时间区间内始终保持良好的跟踪性能。

如图1所示，本发明的技术解决方案是按如下步骤实现的：

1.将分数阶非线性系统轨迹跟踪问题转化为整数阶非线性系统状态零点的 镇定问题；

2.设计自适应迭代学习控制器；

3.构造复合能量函数；

4.给出闭环分数阶跟踪系统能够跟踪到目标系统轨迹的条件；

5.求解控制器的待定参数。

本发明有以下技术特征：

(1)步骤1中通过定义一个恰当的中间变量，将分数阶非线性系统轨迹跟踪 问题转化为整数阶非线性系统状态零点的镇定问题。

(2)步骤2中设计的是一个自适应迭代学习控制器，该控制器能够抵制系统 参数时变对跟踪性能的不利影响。

(3)步骤3中为了分析整数阶非线性系统状态零点的稳定性，构造复合能量 函数。

(4)步骤4中基于上述复合能量函数，利用压缩映射理论给出能够保证整数 阶非线性系统状态零点稳定的条件；

(5)步骤5中以待定参数上确界不等式的形式给出迭代收敛条件，通过求解 不等式可以方便地确定控制器中的待定参数。

本发明考虑在实际应用中，不满足全局利普希茨条件的分数阶非线性系统 的轨迹跟踪问题，充实了迭代学习控制的研究内容，拓宽了其工程应用范围， 其具体实施步骤为：

已知：处在可重复控制环境中的分数阶目标-跟踪系统，目标系统的动力学 方程为：

其中α∈(0,1)，为采用Caputo微分定义的α阶导数。x_d(t)∈R在t∈[0,T]连续，T＞0表示每次迭代实验结束的时刻，f_d(t,x_d(t))∈R是目标系统的非线性动力 学函数，x₀∈R为常数，R表示实数集合。

跟踪系统的动力学方程为：

其中i表示迭代次数，x_i(t)∈R和u_i(t)∈R分别为跟踪系统的状态和输入，θ(t)∈R未 知且在t∈[0,T]连续，满足θ(t)≤θ_m，表示θ(t)在区间t∈[0,T]的上确界。从(2)可看出跟踪系统的非线性动力学函数θ(t)x_i(t)²不满足全局利普希茨条件。

本发明的目标是：对于不满足全局利普希茨条件的分数阶非线性系统(2)， 设计自适应迭代学习控制器，使得闭环分数阶非线性系统(2)能够跟踪目标系统 (1)的轨迹。参照图1，本发明的具体实现过程如下：

步骤1：问题的转化

定义第i次迭代中跟踪误差为e_i(t)＝x_i(t)-x_d(t)，将上述分数阶非线性系统轨迹跟踪问题转化为分数阶误差系统

的状态零点的镇定问题。

定义变量s_i(t)满足

则

那么分数阶误差变系统(3)的状态零点的镇定问题转化为整数阶系统

的状态零点的镇定问题。

步骤2：自适应迭代学习控制器的设计

针对整数阶系统(6)，设计迭代学习控制器为

其中k＞0是需要设计的参数。为第i次迭代中未知参数θ(t)的估计值，它的更新率设计为

步骤3：复合能量函数的构造

在迭代学习控制器(7)作用下系统(6)可表示为

其中表示第i次迭代过程中θ(t)的估计偏差。

定义第i次迭代过程中的复合能量函数E_i(t)为

其中

因为E_i(t)是正定的，所以E₀(t)是正定的且满足条件

E₀(t)关于时间t的导数为

注意到当时，不等式

成立。因此要使不等式(9)成立必须满足如下条件：

其中c∈(0,0.5)是已知常数。

步骤4：收敛条件的分析

令E_i(t)的差分为ΔE_i(t)＝E_i(t)-E_i-1(t)。利用(8),ΔE_i(t)可表示为：

因为所以复合能量函数E_i(t)满足

因为E_i(t)和E₀(t)都是正定的，且E₀(t)是有界的，为了使(11)当i趋于无穷 时依然成立，必须满足

和

(12)等效为

利用s_i(t)的定义式(4),(13)可等效为

因此，在控制器(7)作用下闭环分数阶跟踪系统能够跟踪到目标系统轨迹的条件为：

对于c∈(0,0.5)，如果存在常数k＞0满足不等式

那么对于t∈[0,T]，当迭代次数i趋于无穷时，在控制器(7)作用下分数阶跟踪系统(2)能够跟踪到目标系统(1)的轨迹，即

步骤5：待定参数的求解

基于不等式(14)，给出控制器中待定参数k的计算方法为：

其中c∈(0,0.5)为已知常数。为了计算方便，利用和的上确界将(15)改写为

本发明的效果可以通过以下仿真进一步说明：

仿真内容：令分数阶数α＝0.92,T＝1,即t∈[0,1],选取目标系统的动力学函 数为f_d(t,x_d(t))＝cos(πt),设定跟踪系统中的时变参数θ(t)＝1+sin(πt),因此θ_m＝2。 可见不满足全局利普希茨条件。选取c＝0.25，目标系统 和跟踪系统的初始状态设定为x_d(0)＝x_i(0)＝x₀＝0.25。因此,和利用公式(16)可以得到0＜k≤75.6388,本仿真中选取k＝2。

图2描述了分数阶目标系统和分数阶跟踪系统在不同迭代次数时的轨迹， 其中(a)、(b)、(c)和(d)分别为第5次、10次、50次和150次迭代的仿真结果。 图2表明，随着迭代次数的增加，跟踪系统的轨迹逐渐收敛到目标系统的轨迹 上。图3描述了在自适应迭代学习控制器作用下跟踪误差与迭代次数的关系。 图3表明，随着迭代次数的增加，跟踪误差渐近收敛到零。因此，由图2和3 可以看出，本发明中提出的自适应迭代学习控制器能够抵制参数时变对跟踪性 能的不利影响，控制不满足全局利普希茨条件的分数阶非线性系统精确跟踪目 标系统的轨迹。

Claims (2)

1.一种分数阶非线性系统轨迹跟踪的自适应迭代学习控制方法，其特征是，所述方法首先通过定义一个恰当的中间变量，将分数阶非线性系统轨迹跟踪问题转化为整数阶非线性系统状态零点的镇定问题；然后设计能够抵制系统参数时变影响的自适应迭代学习控制器；最后通过求解不等式得到控制器中待定的参数。

2.根据权利要求1所述的一种分数阶非线性系统轨迹跟踪的自适应迭代学习控制方法，其特征是，所述方法包括以下步骤：

a.问题的转化

已知：处在可重复控制环境中的分数阶目标-跟踪系统，目标系统的动力学方程为：

其中α∈(0,1)，为采用Caputo微分定义的α阶导数，x_d(t)∈R是目标系统的状态且在t∈[0,T]连续，T＞0表示每次迭代实验结束的时刻，f_d(t,x_d(t))∈R是目标系统的非线性动力学函数，x₀∈R为常数，R表示实数集合；

跟踪系统的动力学方程为：

其中i表示迭代次数，x_i(t)∈R和u_i(t)∈R分别为跟踪系统的状态和输入，θ(t)∈R未知且在t∈[0,T]连续，满足θ(t)≤θ_m，表示θ(t)在区间t∈[0,T]的上确界；

定义第i次迭代的跟踪误差为e_i(t)＝x_i(t)-x_d(t)，将上述分数阶非线性系统轨迹跟踪问题转化为分数阶误差系统

的状态零点的镇定问题；

定义变量s_i(t)满足

则分数阶误差系统的状态零点的镇定问题转化为整数阶系统

的状态零点的镇定问题；

b.自适应迭代学习控制器的设计

针对整数阶系统设计迭代学习控制器：

其中k＞0是需要设计的参数。为第i次迭代中未知参数θ(t)的估计值，它的更新率设计为

c.待定参数的求解

控制器中待定参数k的计算方法为：

其中表示第0次迭代过程中θ(t)的估计偏差，c∈(0,0.5)为已知常数。