CN113625781A - 基于事件的欧拉-拉格朗日系统跟踪控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明是一种基于事件触发机制的控制设计方法，属于事件触发控制设计领域，提出了针对参数不确定性和外部干扰的欧拉‑拉格朗日系统的事件触发控制技术新方案，实现了保证闭环系统的稳定性的同时，能够有效节约网络通讯资源和减少控制器端的更新。基于事件触发的不确定欧拉‑拉格朗日系统跟踪控制设计方法，步骤如下：首先建立不确定欧拉‑拉格朗日系统模型动态，然后设计相应的自适应滑模控制器和参数更新策略；在此基础上设计合适的事件触发条件，当事件触发条件满足时才进行传输系统状态信息，自适应滑模控制器用该状态值计算并更新执行器输出，进而完成该系统的控制任务。本发明不仅能够处理不确定性上界未知这一实际应用中经常遇到的情况，并且在网络通讯资源受限时，保证系统的鲁棒性，通讯正常时减少网络资源占用、减少控制器更新频率、提升被控对象的鲁棒性和稳定性，确保不同情况下欧拉‑拉格朗日系统的运行性能。

Description

基于事件的欧拉-拉格朗日系统跟踪控制方法

技术领域

本发明涉及基于事件触发的网络化控制系统的领域，具体为涉及一种基于事件的自适应滑模控制方法。

背景技术

随着现代网络系统的发展和应用，网络控制系统之间通过共享网络进行通信，而不需要专门的传输线路进行连接，有效的提高了系统的灵活性和运转效率，减少了系统的维护成本，已经广泛应用到诸如无人机、无人车以及机械臂等众多工程应用领域中。

传统控制系统的执行是按照固定周期采样，计算控制、更新和执行控制信号的，这种周期性采样方式在通信负载、资源利用等方面具有一定保守性和局限性，使得网络系统在模型不确定、干扰以及传输资源受限时，控制性能难以得到保证。因此，很多学者研究随时间和状态改变对控制进行动态动态调度的方法，即事件触发控制，以便降低对网络负载和计算资源的要求，适用于资源有限的网络化系统、信息物理系统等。这种控制结构是传感器到控制器、控制器到执行器通过共享网络传输。但在实际应用中却存在如下两个方面的问题：首先，当系统出现不确定性与干扰时，易发生芝诺现象，导致系统在有限时间内发生无限次触发，给系统带来了极大的危害；其次，目前大多数研究都是针对给定的被控对象的特殊形式，例如某一类机械臂系统或者某一类给定尺寸和参数的飞行器系统进行，缺乏统一的处理方法和解决问题的技术。

滑模控制方法鲁棒性好、抗干扰能力强的优点，为提升事件触发控制系统的鲁棒性，有学者研究了基于事件触发的滑模控制方法。这些方法考虑了实际系统面临的精确模型未知以及外部干扰等问题，通常假设不确定上界已知。然而，实际系统中模型不确定的上界通常是未知的。因此，研究如何设计事件驱动控制方案能够在减少系统的传输次数，有效节约资源的同时保证在未知不确定性出现时系统稳定问题具有很强的理论价值和现实意义。与此同时，欧拉- 拉格朗日系统是一种非线性的力学系统，能够描述诸如机械臂、无人机以及无人车系统等，具有普适性。因此，如何将事件触发控制和滑模控制策略应用到该类系统中，解决该系统控制设计问题，是一个难点，也具有极大的应用价值和实际意义。

发明内容

针对目前事件触发控制存在的问题，将事件触发控制策略运用到带有参数不确定性和外部干扰的欧拉-拉格朗日系统中，提供了一种基于事件触发的自适应滑模控制的控制设计方案，在考虑参数不确定和外部干扰同时存在的场景下能够有效减少控制器更新的次数，提高网络资源的利用效率，保证闭环控制系统的有效性、鲁棒性和稳定性。

针对多输入的含有参数不确定性和外部干扰的欧拉-拉格朗日系统，分离出已知的已知信息和不确定信息，转换成一般的非线性形式。采用变量代换的方法，得到系统的误差动态方程，将跟踪问题转换成一般系统的稳定控制问题。设计滑模面，给出事件触发条件和自适应参数更新规律设计方案。然后，通过理论推导证明了闭环系统稳定性并保证排除Zeno行为不发生。具体包括以下内容和步骤：

各个符号意义：C²表示两次连续可微函数。符号‖·‖表示向量的欧几里得范数。‖x‖₁表示向量x的1-范数。对于矩阵N∈R^n×m，(‖·‖)的2-范数是由σ_max(N)给出的诱导范数，其中σ_max是矩阵的最大奇异值。M^T表示M的转置。sgn(·)表示符号函数运算符，表示sgn(x)＝[sgn(x₁) sgn(x₂)…sgn(x_n)]^T。

步骤一：建立带有参数不确定性和外部干扰的欧拉-拉格朗日系统。给出多输入系统的动态方程，考虑参数的加性干扰和外部干扰，分离出系统已知的已知信息和不确定信息，转换给一般的非线性系统形式。考虑一类特殊的不确定多输入非线性系统——欧拉-拉格朗日系统跟踪问题。其中系统如下：

其中q∈Rⁿ是广义位置向量，

表示广义速度矢量。u∈Rⁿ是控制输入。在这里，M(q)∈R^n×n是惯性矩阵，

代表科里奥利-向心力矢量。G(q)∈Rⁿ是重力向量。外部干扰d∈Rⁿ通过输入通道影响系统动态。实际动态量可以表示为标称部分和不确定部分的组合

M(q)＝M₀(q)+ΔM(q),

G(q)＝G₀(q)+ΔG(q),

其中M₀(q)，

和G₀(q)各自是M(q)，

和

的标称部分。并且ΔM(q)，

和

分别表示M(q)，

和

的不确定部分。因此，系统(2)可以表示为

其中

步骤二：将跟踪控制问题转换成稳定控制问题，表示成标准形式。

给定不确定的欧拉-拉格朗日系统和期望的轨迹q_d∈C²满足q_d,

是有界的信号。x_d∈D其中

为紧集。则

具有上界M₁，即

且

||x_d(t)||存在上界M₂＞0,||x_d(t)||≤M₂对于任意 t≥0。

变量代换。令

定义跟踪误差为ζ₁＝q-q_d，其一阶导为

则得

其中

和

其中不确定相关项ρ₀(ζ,x_d)，可表示

误差动态系统可进一步表示为

其中

考虑的未知上界的不确定项问题，不确定项中含有参数不确定性和外部干扰，不确定项ρ₀(ζ,x_d)是有界的，用和状态相关的二次函数进行界定，即满足||ρ₀(ζ,x_d)||≤D＝a₀+a₁||q||+a₂||q||²，各项系数待确定。

向量函数f(ζ,x_d)在紧集ζ,x_d∈D内满足利普希茨连续，利普希茨常数为L。M(q)的标称正定矩阵M₀(q)满足不等式0＜μ₁I≤M₀(q)≤μ₂I对于已知标量μ₁和μ₂。

步骤三：滑模面的设计。给出滑模面的定义式和选定滑模面的参数的可行方法，考虑线性滑模面，设计相对应滑模控制律，使得系统对于匹配的结构不确定性及外部干扰具有较好的鲁棒性。考虑线性滑模面，选择为s＝Cζ，其中C＝[C₁ I_n×n]。在这里C₁∈R^n×n，其中选定C₁能够使得矩阵P和Q正定矩阵且满足

步骤四：事件触发条件设计和自适应参数更新策略设计。按照一定要求，给出事件触发设计条件和相关参数，给出选定自适应参数更新策略和所需的参数。具体如下：

事件触发策略的设计

令

是由事件触发条件产生的触发时刻序列。令触发时刻的初始值为t₁＝0。定义测量误差为e(t)＝ζ(t)-ζ(t_i)。

事件触发条件设计为

t_i+1＝inf{t＞t_i,L||C||||e(t)||≥δ∨t-t_i＞T}, (4)

其中事件触发参数δ是待设计的正数。在事件触发条件中，设置区间的上界T＞0来保证不更新状态信息造成的不确定性估计误差的有界性。

自适应参数更新策略给出如下：

1)当sgn(s(t_i))＝sgn(s(t))成立时，自适应参数更新律为

其中

和

分别是a₀，a₁和a₂估计参数。σ₀，σ₁和σ₂为正常数。

2)针对sgn(s(t_i))≠sgn(s(t))时，自适应更新策略被设置为

因此可以看出，参数只有在sgn(s(t_i))＝sgn(s(t))满足时才进行更新。当该条件不满足时，待估计的参数

和

保持不变。

步骤五：滑模控制器的设计，在完成以上方案设计后，给出具体的滑模控制器具体设计形式和更新方案。设计基于事件触发的滑模控制输入为

其中控制增益K为K＝K₁+K₂(t_i)。增益K₁和K₂(t_i)为正数，设计之后会给出。K₃是正常数。β是待设计的正参数。

步骤六：中间参数计算

在计算控制输入的更新时，需要中间参数Δ₀,Δ₁,Δ₂

其中σ＝||ξ(t_i)||+δ/(L||C||)。参数

和

是

和

在触发时刻t_i相应的值。

步骤七：控制增益的计算，增益K₁和K₂(t_i)的选择满足以下条件

其中

δ₂＝Δ₀+Δ₁+Δ₂,

因此，针对以上的欧拉-拉格朗日系统，采用事件触发条件自适应更新策略和滑模控制方案，则可以得到闭环系统轨迹会进入实际滑模并且状态轨迹会收敛至一个最终界限，具体为

可以保证闭环系统的所有信号最终有界，闭环系统保持半全局稳定。并且该事件触发策略，可以保证最小的触发间隔大于0，可以保证芝诺现象不会发生。

与已有技术相比，本发明的技术特点和效果是：

本发明研究了具有外部扰动和参数不确定性的多输入欧拉-拉格朗日系统的跟踪问题。与欧拉-拉格朗日系统的现有结果相比，本文考虑了一种自适应滑模控制策略，以增强系统的鲁棒性和处理未知的不确定性。控制律的事件触发实现有助于减轻通信和计算资源的负担，在考虑本发明的设计方案时，能够保证闭环系统滑模的最终有界稳定，并且所有信号都有界。和传统的周期控制相比，只有在状态值变化超过设定误差范围时，系统才进行传输和更新控制，能够节省网络传输资源，有效降低了执行器的更新次数，有助于提高执行器的寿命。并且在这种事件触发控制下，可以保证芝诺现象不发生。在实际系统中出现的不确定项一般都是未知有界的，因此本发明中采用的自适应参数更新的策略估计不确定性项的上界函数，来补偿系统中的参数的不确定性和外部干扰，提高了闭环系统的鲁棒性能，拓展了事件触发策略的应用范围。

附图说明

图1基于事件触发的不确定欧拉-拉格朗日系统控制框架

图2双连杆机械手实际角度与期望角度变化效果图

图3考虑事件触发控制输入变化效果图

图4为连续事件触发间隔变化效果图，图5为基于事件触发的欧拉- 拉格朗日系统跟踪控制方法设计框架

具体实施方式

下面将结合附图对本发明做进一步的详细说明。为能够有效减少控制器更新的次数，提高网络资源的利用效率，将事件触发控制策略运用到带有参数不确定性和外部干扰的欧拉-拉格朗日系统中，同时保证在事件触发控制策略下闭环控制系统的稳定性。利用Lyapunov稳定性理论，得到了保证了闭环系统最终有界的充分条件。通过仿真算例验证了本方法的可行性和有效性。

欧拉-拉格朗日系统网络控制系统的主要结构如图1所示。它主要由执行器、设备、智能传感器、零阶保持器、事件触发检测器和控制器等几个部分组成。不同组件链接的虚线表示它们通过网络连接，实线表示它们通过物理连接进行通信。事件触发检测器位于传感器和控制器之间，确定测量信号的传输和控制输入的更新。控制输入保持最新更新的控制输入，直到下次更新。这种更新信号的设置也称为零阶保持器。因此，该方案可以减少从传感器到控制器以及从控制器到执行器器的信号传输以及控制输入的计算。

因此，这种基于事件的滑模控制设计方法，具体包括以下步骤：

步骤一：建立带有参数不确定性和外部干扰的欧拉-拉格朗日系统。考虑一类特殊的不确定多输入非线性系统——欧拉-拉格朗日系统跟踪问题。在结构图1中该部分内容为被控对象。如下：

其中q∈Rⁿ是广义位置向量，

表示广义速度矢量。u∈Rⁿ是控制输入。在这里，M(q)∈R^n×n是惯性矩阵，

代表科里奥利-向心力矢量。G(q)∈Rⁿ是重力向量。外部干扰d∈Rⁿ通过输入通道影响系统动态。实际动态量可以表示为标称部分和不确定部分的组合

M(q)＝M₀(q)+ΔM(q),

G(q)＝G₀(q)+ΔG(q),

其中M₀(q)，

和G₀(q)各自是M(q)，

和

的标称部分。并且ΔM(q)，

和

分别表示M(q)，

和

的不确定部分。因此，系统(7)可以表示为

其中

步骤二：将跟踪控制问题转换成稳定控制问题，表示成标准形式。期望的轨迹q_d∈C²。令

定义跟踪误差为ζ₁＝q-q_d，

那么，不确定系改写为如下

这里为

和

和不确定相关的项ρ₀(ζ,x_d)表示

为简洁起见，它也表示为

其中

不确定项ρ₀(ζ,x_d)是有界的，用||ρ₀(ζ,x_d)||≤D＝a₀+a₁||q||+a₂||q||²进行界定。

假设跟踪轨迹q_d,

有界。假设x_d∈D其中

表示紧集。则

具有上界M₁，即

并且

||x_d(t)||也存在上界 M₂＞0,||x_d(t)||≤M₂对于任意t≥0。

向量函数f(ζ,x_d)满足||f(ζ₁,x_d1)-f(ζ₂,x_d2)||≤L||ζ₁-ζ₂||+L||x_d1-x_d2||对于在紧集D内的任意向量ζ₁,x_d1,ζ₂,x_d2。M(q)的标称正定矩阵M₀(q)满足不等式0＜μ₁I≤M₀(q)≤μ₂I对于已知标量μ₁和μ₂。

步骤三：滑模面的设计，确定滑模面参数的选取。考虑线性滑模面，选择为s＝Cζ，其中C＝[C₁ I_n×n]。在这里C₁∈R^n×n，其中选定C₁能够使得矩阵 P和Q正定矩阵且满足

步骤四：事件触发条件设计和自适应参数更新策略设计

事件触发策略的设计

定义测量误差为e(t)＝ζ(t)-ζ(t_i)。事件触发条件设计为

t_i+1＝inf{t＞t_i,L||C||||e(t)||≥δ∨t-t_i＞T}, (9)

其中事件触发参数δ是待设计的正数。在事件触发条件中，设置区间的上界T＞0来保证不更新状态信息造成的不确定性估计误差的有界性。

自适应参数更新策略给出如下

1)当sgn(s(t_i))＝sgn(s(t))成立时，自适应参数更新律为

其中

和

分别是a₀，a₁和a₂估计参数。σ₀，σ₁和σ₂为正常数。

2)针对sgn(s(t_i))≠sgn(s(t))时，自适应更新策略被设置为

因此可以看出，参数只有在sgn(s(t_i))＝sgn(s(t))满足时才进行更新。当该条件不满足时，待估计的参数

和

保持不变。

步骤五：滑模控制器的设计

设计基于事件触发的滑模控制输入为

其中控制增益K为K＝K₁+K₂(t_i)。增益K₁和K₂(t_i)为正数，K₃是正常数。β是待设计的正参数。

步骤六：控制增益的计算

增益K₁和K₂(t_i)的选择满足以下条件：

其中

δ₂＝Δ₀+Δ₁+Δ₂,

其中中间参数Δ₀,Δ₁,Δ₂按照如下进行计算：

其中σ＝||ξ(t_i)||+δ/(L||C||)。

在运行过程中的具体执行步骤：

参数的初始化，已知系统参数和跟踪信号，给出所需的参数M₁、M₂、 L、标量μ₁和μ₂。给出自适应更新策略中的参数σ₀，σ₁和σ₂，给出

和

的初始值。给出事件触发控制参数δ,T。

自适应参数的策略更新，判断事件触发条件成立，确定是否更新控制器状态和计算控制输入。根据事件触发更新控制输入u(t)，其中如果事件触发条件不成立，则不进行触发，不更新控制输入u(t)，为零阶保持器的形式。若事件触发条件成立，传输最新时刻的状态值给控制器，计算控制输入的值。

应用实例

将本发明应用到如图所示的双连杆机械臂系统上，在MATLAB上进行仿真，以验证所提出的控制方案的有效性和可行性。考虑双连杆机械臂如下：

其中

其中l_i是连杆i的长度，m_i是连杆i的质量,I_i是连杆i的惯性矩，u_i是控制输入，d_i是外部扰动，i＝1,2。g＝9.8m/s²是重力加速度。系统的标称参数为

参考轨迹为

为了验证所提出控制方案的鲁棒性，考虑引入参数变化和外部干扰。考虑参数加性干扰

外部干扰是时变的，为

系统不确定性的上限应该是已知的，但在实际系统中是未知的。考虑定理5中的自适应滑模控制方案。状态的定义域为D＝{ζ∈R⁴,||ζ||＝1.5}。参数选为μ₁＝5.67,μ₂＝12.44,δ＝0.009,β＝4.64,σ₀＝σ₁＝0.01,σ₂＝0.001。T＝0.1。可以计算得到L＝13。初值选取为q(0)＝[0.1 -0.2]^T,

K₃＝0.1，

事件触发条件的参数设置为δ＝0.02。

仿真结果如图2-4所示。图2展示了实际角度和期望角度之间的比较情况，且从图中可以看出实际角度q₁和q₂是能够分别渐近跟踪上期望角度q_d1和 q_d2的。图3展示了控制输入随时间的变化情况，从中可以看出控制输入在经过一段相当长的间隔后才进行更新。已经达到预期目标，能够有效减少状态的更新次数。图4展示了连续触发间隔始终是正数并且芝诺现象不发生。连续触发间隔的平均值为0.0105s，最小值为0.0004s大于固定迭代步长h＝0.0002s。在事件触发条件的影响下，控制执行为次数为953。事件触发条件能够有效减少传输次数，减轻网络传输的负载。由此可以看出，所提出的控制方案可以保证欧拉-拉格朗日系统的稳定性，减少状态和控制信号的更新，从而大大降低传输资源的利用率。

但以上所述的具体实施步骤,对本发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明,所应理解的是,以上所述仅为本发明的一般步骤而已,并不用于限制本发明,凡在本发明的精神和原则之内,所做的任何修改、等同替换、改进等,均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (7)

1.一种基于事件触发的不确定欧拉-拉格朗日系统跟踪控制方法，其特征在于针对参数不确定性以及存在外部干扰等实际应用中欧拉-拉格朗日系统经常面临的问题，提出一种基于事件触发控制的自适应滑模控制解决方案，具体包括以下步骤：

步骤一：建立带有参数不确定性和外部干扰的欧拉-拉格朗日系统；

步骤二：将跟踪控制问题转换成稳定控制问题，表示成标准形式；

步骤三：滑模面的设计；

步骤四：事件触发条件设计和自适应参数更新策略设计；

步骤五：滑模控制器的设计；

步骤六：控制增益的计算。

2.根据权利要求1所述，步骤1中，建立的带有参数不确定性和外部干扰的欧拉-拉格朗日系统的模型如下：

其中

M₀(q)，

和G₀(q)是系统的标称部分，ΔM(q)，

和

是不确定部分，d是系统的干扰。

3.根据权利要求1以及权利要求2所述，步骤2中的标准形式如下：

其中q_d∈C²满足q_d,

是给定不确定的欧拉-拉格朗日系统和期望的轨迹，为一有界的信号，并且

ζ₁＝q-q_d，

4.根据权利要求1所述以及权利要求2对应的系统，步骤3中的滑模面设计为：

s＝[C₁ I_n×n]ζ，

选定C₁能够使得矩阵P和Q正定矩阵。

5.根据权利要求1所述，以及权利要求4对应的滑模面，步骤4中的事件触发条件和自适应参数更新策略如下：

事件触发策略的设计：

t_i+1＝inf{t＞t_i,L||C||||e(t)||≥δ∨t-t_i＞T},

其中事件触发参数δ是正常数，设置区间的上界T＞0来保证不更新状态信息造成的不确定性估计误差的有界性。

自适应参数更新策略给出如下：

a.当sgn(s(t_i))＝sgn(s(t))成立时，自适应参数更新律为:

其中

和

分别是a₀，a₁和a₂估计参数，σ₀，σ₁和σ₂为正常数，用于调节参数的估计速度；

b.针对sgn(s(t_i))≠sgn(s(t))时，自适应更新策略被设置为:

6.根据权利要求1所述，以及权利要求4对应的滑模面，步骤5中滑模控制器为：

其中控制增益K为K＝K₁+K₂(t_i)，增益K₁和K₂(t_i)为正数，K₃是正常数，β是正参数。

7.根据权利要求1所述，以及权利要求6，对应的控制增益计算

如下：

δ₂＝Δ₀+Δ₁+Δ₂，

其中σ＝||ξ(t_i)||+δ/(L||C||)。

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