CN112803978B - 基于逐次逼近的智能表面miso系统联合波束成形方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于逐次逼近的智能表面MISO系统联合波束成形方法，属于多小区多用户MIMO通信技术领域，要解决的技术问题为如何有效的实现该系统的联合波束成形。该方法为在满足BS的单个发射功率约束和IRS的反射约束的条件下，通过联合优化BS的传输波束成形向量w_k和IRS的反射波束成形向量θ，基于AO框架以及逐次逼近方法最大化MISO系统中所有用户的和速率。

Description

基于逐次逼近的智能表面MISO系统联合波束成形方法

技术领域

本发明涉及多小区多用户MIMO通信技术领域，具体地说是基于逐次逼近的智能表面MISO系统联合波束成形方法。

背景技术

随着物联网和人工智能等新兴应用的发展，对第五代(5G)及5G以上的蜂窝网络提出了大量具有各种服务质量(QoS)的无线设备的需求。高数据传输速率，低延迟，高效节能，低成本，增加的系统容量和大规模设备连接对未来的通信系统至关重要。

为了实现即将到来的通信网络的性能，许多无线通信技术被提出和深入研究，包括超密集网络(UDN)、大规模多输入多输出(MIMO)和毫米波(mmWave)通信。虽然上述技术显著提高了无线通信系统的频谱和能源效率，但在实际系统中的网络能耗和硬件成本仍然是关键问题。为了降低能耗和硬件成本，近年来提出了智能反射面(IRS)，并且由于其能在从微波到可见光的宽频率范围内对电磁波进行裁剪而引起了广泛关注。IRS就像一面镜子，它通过智能地调整每个反射单元的反射相移来积极地将反射信号对准所需要的接收机。在过去的几年中，IRS作为一种革命性的技术被提出，它能够通过重新配置无线传播环境来提高无线通信系统的性能。IRS受到学者青睐的原因主要包含两个方面，一方面，IRS在不使用任何功率放大器的情况下放大和转发入射信号，而是通过巧妙地设计每个反射单元所应用的相移，来构造性地结合每个反射信号。很容易发现，由于没有使用放大器，IRS将消耗比传统的放大和转发(AF)中继收发机少得多的能量。因此，可以预见IRS可以作为一种绿色和经济有效的方案来提高未来蜂窝网络的频谱和能源效率。另一方面，IRS是低剖面的，可以实际制作成适形的安装在任意形状的表面上，以满足不同的应用场景。所有这些令人瞩目的优势促使许多学者关注IRS的研究。

大多数之前的工作集中在单小区的场景，没有考虑相邻小区间的交互。众所周知，当多个用户被不同的分布在邻近地区的BS服务时，干扰是一个不可忽略的因素，因此研究IRS辅助的多小区系统的波束成形技术是很有意义的。然而，在目前的文献中，只有少数的工作考虑到多小区通信。本文考虑了一个IRS辅助的多小区MISO系统，其中部署了一个IRS辅助多小区通信和抑制小区间干扰。这里构建的问题是非凸的，如何有效的实现该系统的联合波束成形，是需要解决的技术问题。

发明内容

本发明的技术任务是针对以上不足，提供一种基于逐次逼近的智能表面MISO系统联合波束成形方法，来解决如何有效的实现该系统的联合波束成形的问题。

第一方面，本发明提供一种基于逐次逼近的智能表面MISO系统联合波束成形方法，其特征在于在满足BS的单个发射功率约束和IRS的反射约束的条件下，通过联合优化BS的传输波束成形向量w_k和IRS的反射波束成形向量θ，基于AO框架以及逐次逼近方法最大化MISO系统中所有用户的和速率，所述和速率R表示为：

其中，θ＝[θ₁,θ₂,......,θ_n,.......,θ_N]^H，满足常数模约束

表示入射信号的相移，β_n＝1，表示反射振幅；

表示MISO系统中BS或用户的集合；

表示在IRS处反射单元的集合；

P_k表示第k个BS的最大功率预算；

w_k∈C^M×1。

作为优选，基于AO框架以及逐次逼近方法最大化MISO系统中所有用户的和速率，包括如下步骤：

将和速率R表示为：

函数φ表示为：

函数

表示为：

其中，

BS_j到用户k的有效反射信道记为：

表示为从IRS到用户k的信道向量；

表示为从BSj到用户k的信道向量；

G_j表示为从BS_j到IRS的信道矩阵。

其中函数φ和函数

关于发送波束成形量或反射波束成形量均为凸的，当反射波束成形量为固定的，上述和速率最大化问题退化为第一约束优化问题，所述第一约束优化问题表示为：

函数φ和函数

关于w_k,

为凹的，上述问题的目标为两个凹函数的差函数，基于逐次逼近方法将非凸问题凹替代，当发射波束成形向量为固定的，上述第一约束优化问题退化为第二约束优化问题，所述第二约束优化问题表示为：

交替求解上述第一约束优化问题和第二约束优化问题，并根据第一约束优化问题的和速率结构，通过局部线性化函数

到函数

的一阶泰勒展开式来构造凹替代。

作为优选，通过线性化一个凸替代函数求解上述第一约束优化问题，包括如下步骤：

给定θ和一个可行点

关于发射波束成形向量

的和速率的凹替代函数被构建第一替代函数，所述第一替代函数表示为：

其中，

函数φ等价为第一等价公式，所述第一等价公式为：

函数

等价第二等价公式，所述第二等价公式为：

定义BS_j到用户k的有效或者组合信道记为：

通过局部线性化函数

到函数

的一阶泰勒展开式进行迭代计算，上述第二等价公式改写为：

其中，

且

为

的函数，通过Q表示

的缩写；

设定

是一个已知点，

在点

附近一阶泰勒近似可以表示成第一泰勒等式，所述第一泰勒等式表示为：

给定θ和一个可行点

由第一替代函数构造的替代包含原函数的下届，在给顶点相切，即分别得到第一不等式和第一等式：

由于

是凹的，且

是

的一阶泰勒展开式，以下第二不等式成立：

进一步得到上述第一不等式成立；

在定点

由第一泰勒等式检验得到

进一步得到上述第一等式成立；

将上述第一约束优化问题近似为第三约束优化问题，所述第三约束优化问题为：

上述第三约束优化问题为一个有秩约束的SDP，结果是非凸的，去掉秩约束，得到如下凸SDR问题：

通过标准凸优化工具，用

SDP上述凸SDR问题的最优解，得到解后，对解进行奇异值分解，为：

其中，特征矩阵U_k＝[u₁，u₂，…，u_M]；

对角矩阵Λ_k＝diag(λ₁，λ₂，…，λ_M)；

由降序奇异值构成对角元素，并利用最大奇异值对应的特征向量恢复发射波束成形向量，公式为：

在当前步骤中得到的解

更新为最优解，构造新的替代函数开始下一轮优化；执行逐次逼近的过程中，当达到一个光滑点时终止，最终得到了一个解。

作为优选，通过逐次逼近方法求解上述第二约束优化问题，包括如下步骤：

定义如下：

c_k，j＝Φ_k，jw_j

得到第二等式，所述第二等式表示为：

用户k的SINR写为：

上述第二等式进一步定义为：

基于上述，第二约束优化问题改写第二替代问题，所述第二替代问题为：

定义

将上述第二替代优化问题重新表示如下第二替代优化问题：

V_m,n表示矩阵V的第m行第n列的元素，去掉秩约束rank(V)＝1，得到松弛第二约束优化问题，所述松弛第二约束优化问题为：

定义如下：

上述松弛第二约束优化问题重新表示为如下DC规划问题：

通过线性化Ω到Ω的一阶泰勒展开式进行求解，Ω为V的函数；

设定

为已知点，Ω(V)在点

附件的一阶泰勒近似式表示为：

Ω(V)为凹函数，得到如下第三不等式：

及第四不等式：

将上述DC规划问题的目标函数Ω替换为Ω(V)在点

附件的一阶泰勒近似式，并舍弃常数项，将上述DC规划问题近似为SDR问题，所述SDR问题为：

通过标准凸优化工具，求解上述SDR问题；

定义V^*为SDR问题的解，执行奇异值分解V^*＝ZΓZ^H，得到：

特征矩阵：

Z＝[z₁，z₂，…，z_N+1]

并得到对角矩阵：

Γ＝diag(γ₁，γ₁，…，γ_N+1)

通过最大奇异值对应的特征向量恢复反射波束成形向量，即

在当前步骤中得到的解V^*更新为最优解，构造新的替代函数开始下一轮优化；

通过如下方式进行恢复，得到：

其中，[x]_(1：N)表示包含x的前N个元素的向量；

在上述逐次逼近过程中，当达到光滑点时终止，得到解。

作为优选，通过联合优化BS的发射波束成形向量

和IRS的反射波束成形向量θ，基于AO框架和逐次逼近方法最大化MISO系统中最小SINR最大化问题：

所述最小SINR最大化问题表示为：

作为优选，通过联合优化BS的发射波束成形向量

和IRS的反射波束成形向量θ，基于AO框架和逐次逼近方法最大化MISO系统中最小SINR最大化问题，包括如下步骤：

引入辅助变量t，将上述最小SINR最大化问题改写为辅助变量最大化问题，所述辅助变量最大化问题表示为：

借助AO框架，基于发射波束成形

和反射波束成形θ，固定其中一个，以交替的方式优化发射波束成形

和反射波束成形θ。

作为优选，通过如下方法优化发射波束成形向量

定义BS_j到用户k的有效或组合信道记为：

传输波束成形问题被写为第二辅助变量最大化问题，所述第二辅助变量最大化问题表示为：

对于第二辅助变量最大化问题，等效地将第一个约束项写为第四不等式，所述第四不等式表示为：

将上述第四不等式的右部分进一步写为第三等式，所述第三等式表示为：

其中，

将第四不等式重写为第五不等式，所述第五不等式表示为：

将上述第五不等式进一步重写为第六不等式，所述第六不等式表示为：

基于上述，将第二辅助变量最大化问题等价重写为第三辅助变量最大化问题，所述第三辅助变量最大化问题表示为：

上述第三辅助变量最大化问题中约束为二阶锥，上述第三辅助变量最大化问题中前两个约束确保

的值为实数，即：

如果给定任意问题t，上述第三辅助变量最大化问题的可行性问题能够写为：

设定上述第三辅助变，量最大化问题中t的最优解为γ^*，如果上述可行性问题为可行的，t≤γ^*，如果上述可行性问题不可行，t＞γ^*，基于上述，给定任意t＞0，结合二分法，上述第三辅助变量最大化问题通过检验可行性问题的可行性等价求解。

作为优选，结合二分法，上述第三辅助变量最大化问题通过检验可行性问题的可行性等价求解，包括如下步骤：

设定上述可行性问题为可行的，且具有一个包含最优解γ^*的区间[γ_min,γ_max]；

在中间

处求解凸可行性问题；

确定最优值在上述区间的上半部分还是下半部分，并相应的更新内部值；

重复执行上述步骤，直至间隔的宽度足够小。

作为优选，通过如下方法优化优化反射波束成形θ：

定义如下：

c_k，j＝Φ_k，jw_j

基于上述定义，用户k的SINR写为：

据上述用户k的SINR，在数学上给出反射波束成形问题，如下：

上述反射波束成形问题为非凸优化问题，基于逐次逼近方法求解上述反射波束成形问题。

作为优选，基于逐次逼近方法求解上述反射波束成形问题，包括如下步骤：

定义如下：

将上述反射波束成形问题改下为如下第二反射波束成形问题：

定义如下：

进一步将上述反射波束成形问题等价改写为如下第三反射波束成形问题：

其中，V_m,n表示矩阵V中第m行第n列中的元素；

由于非凸秩1约束，将上述第三反射波束成形问题改写为如下的松弛版反射波束成形问题：

上述松弛版反射波束成形问题为非凸的，通过对t进行二分搜索求解可行性问题，所述可行性问题为：

上述可行性问题为一个凸半定规划，通过CVX最优求解可行性问题的最优解，进而得到松弛版反射波束成形问题的最优解；

设定V^*和t^*为松弛版反射波束成形问题的最优解，通过逐次逼近方法恢复反射波束成形向量θ，如果rank(V^*)＝1，V^*和t^*为上述第三反射波束成形问题的最优解，如果rank(V^*)≥1，采用高斯随机过程产生第三反射波束成形问题和第二反射波束成形问题的秩1解。

本发明的基于逐次逼近的智能表面MISO系统联合波束成形方法具有以下优点：

1、IRS在多小区多用户MIMO系统的使用，可以有效地实现信号的定向发射，而又不产生额外的能量消耗；

2、构建的问题是非凸的，直接求解是NP-难的。SCA技术通过将非凸问题转化为凸问题，进而求得原问题的近似最优解。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域的普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

下面结合附图对本发明进一步说明。

图1为实施例中用于IRS辅助的多小区MISO系统的联合波束成形设计方法的系统模型图的结构示意图；

图2为所提波束成形收发机优化算法的收敛曲线；

图3为所提波束成形收发机优化算法所实现的和速率性能曲线。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明，以使本领域的技术人员可以更好地理解本发明并能予以实施，但所举实施例不作为对本发明的限定，在不冲突的情况下，本发明实施例以及实施例中的技术特征可以相互结合。

本发明实施例提供基于逐次逼近的智能表面MISO系统联合波束成形方法，用于解决如何有效的实现该系统的联合波束成形的技术问题。

实施例：

一个由IRS辅助的多小区MISO系统，其中IRS被部署来协助多小区通信并抑制小区间干扰，如图1所示。我们假设配备多天线的K个发射机与它们预期的单天线接收机通信。假设每个BS处的天线数为M，IRS处的反射单元数为N。令

表示系统中BS或用户的集合，

表示在IRS处反射单元的集合。令

表示从BS j到IRS的信道矩阵，

表示从IRS到用户k的信道向量，h_k，j表示从BS_j到用户k的信道向量。每个用户k的发送机将其各自的信息信号s_k发送到其指定的接收机。为了抑制小区间的干扰，信号由波束成形向量

预先编码。每个基站k的发射信号表示为x_k＝w_ks_k。假设每个BS k都有一个最大的功率预算P_k。

关于IRS的反射，令

和β_n＝1表示入射信号的相移和反射振幅。我们定义反射系数矩阵Θ＝diag(θ₁，…，θ_n，…，θ_N)，其中

用户k接收端接收到的信号表示为

其中n_k为加性高斯白噪声(AWGN)。

此外，令θ＝[θ₁，…，θ_n，…，θ_N]^H表示反射波束成形向量，满足常数模约束

为了方便推导，我们定义

BS j到用户k的有效反射信道记为

将干扰视为噪声，则第k个接收机的可达率为R_k＝log₂(1+SINR_k)， (2)

其中

整个网络的可达率则可写为

在MISO系统中，基于两个不同的目标来考虑两个不同的问题。一种是最大化系统中所有用户的和速率，另一种是最大化网络中最差的信号干扰加噪声比(SINR)，以均衡所有用户之间的速率。

(1)和速率最大化问题：其目标是在满足BS的单个发射功率约束和IRS的反射约束的条件下，通过联合优化BS的传输波束成形向量w_k和IRS的反射波束成形向量θ，使网络中所有用户的总可达率达到最大。这个问题用数学公式表示为：

其中P_k表示各BS的最大功率预算，(5)的第一个约束保证了单个BS的峰值功率预算，所述单位模约束由约束(5)的第二个约束体现；

(2)SINR均衡问题：SINR均衡方法设计的基本逻辑是在满足BS的单个发射功率约束和IRS反射约束的条件下，通过联合优化BS的发射波束成形向量

和IRS的反射波束成形向量θ，来最大化网络中所有用户的最差可达率。最小可达率最大化问题表示为：

因为问题(6)中的每个用户的速率R_k是SINR_k的单调递增函数，该最小速率最大化问题可以等效地重新定义为对应的最小SINR最大化问题，即

值得注意的是，由于SINR项中发射波束成形向量w_k和反射波束成形向量θ之间的耦合，问题(5)和(7)都是高度非凸的。它通常是NP-难的，很难直接找到最优解。在接下来的部分中，将基于交替优化(AO)框架和SCA技术来设计和速率最大化问题迭代算法。对于SINR均衡问题，依靠AO和二分法来寻找一个可行的解。

针对和速率最大化问题的交替优化框架，为了便于分析，将可达和速率(4)重新表示为

其中函数φ定义为

函数

定义为

函数φ和

关于发射波束成形向量或反射波束成形向量都是凸的，当反射波束成形向量是固定的，问题(5)退化为约束优化问题

由于φ和

关于

是凹的，问题(11)的目标是两个凹函数的差(D.C.)函数，因此问题(11)是一个D.C.规划。D.C.规划仍然是非凸的，但是，它是易于处理的。如下一部分所示，基于序列凸逼近(SCA)技术，将给出非凸问题的凹替代方案，将其松弛为凸问题。当发射波束成形向量是固定的，问题退化为以下问题

通过交替求解问题(11)和(12)，提出了原始和率最大化优化问题(5)的AO框架，该AO框架总结为算法1。

命题1：如果能得到问题(11)和(12)的(局部)最优解，算法1一定是收敛的。

证明：假设在第n次迭代时，算法从一定可行值θ^(n-1)开始。在算法1的步骤4中，当优化得到局部最优解时，目标必须是非递减的，即：

基于SCA的发射和反射波束成形求解方案：

(1)发射波束成形设计

由于问题(11)的目标仍然是非凸的，我们通过线性化一个凸替代函数来求解它。然后利用半定松弛(SDR)技术求解凸替代问题。

如上所述，问题(11)的目标是一个D.C.函数，既不是凸的也不是凹的。为了设计D.C.规划的求解算法，我们依赖于SCA的方法。

SCA的核心思想是逐次地解决一系列原问题的凸替代，从而得到一个平稳解。根据问题(11)的和速率结构，可以通过局部线性化

到它的一阶泰勒展开来构造凹替代。具体来说，可以根据以下命题构造和速率函数(8)的凹替代。

命题2：给定θ和一个可行点

。一个关于发射波束成形向量

的和速率的凹替代函数可以被构建为

其中

并且Q和

分别表示

和

的缩写。

证明：式(9)、(10)等价改写为

和

为了方便标记，我们定义

为从BS

到用户

的有效或者组合信道。

如上所述，问题(11)的目标包含一个D.C.规划，因此，它可以通过局部线性化

到它的一阶泰勒展式进行迭代求解。式(18)可改写为

其中

且

现在是

的函数。为了简化推导过程，我们接下来用Q表示

的缩写。

假设

是一个已知点，

在点

附近的一阶泰勒近似可以表示成(请参阅附录A)

其中

下面的命题给出了凹替代的一个重要性质。

命题3：给定θ和可行点

由(16)构造的替代包含原函数的下界，它们在给定点相切，即，

证明：由于

是凹的，且

是其一阶泰勒展式，以下不等式成立

进一步使得式(21)成立。

在定点

由式(20)很容易检验

。因此，等式(22)成立。

根据命题3，将(11)中的目标函数用(16)代替，舍弃(20)中的常数项，将问题(11)近似为

问题(24)是一个有秩约束的SDP，结果是非凸的。我们去掉秩约束，得到如下凸SDR问题

使用标准凸优化工具，如CVX【38】，可以有效地解决这一问题。用

SDP问题(25)的最优解，如果

那么松弛问题(24)是紧的。虽然这还没有被证明，但我们的实验表明，解是紧的。秩1解的证明留给以后的工作。

得到解后，我们对其进行奇异值分解(SVD)为

其中U_k＝[u₁，u₂，…，u_M]是特征矩阵，Λ_k＝diag(λ₁，λ₂，…，λ_M)一种对角矩阵，由降序奇异值构成其对角元素。然后利用最大奇异值对应的特征向量恢复发射波束成形向量

在当前步骤中得到的解

可更新为最优解，构造新的替代函数开始下一轮优化。在这样一个逐次逼近的过程中，当达到一个光滑点时，我们最终得到了一个解。针对IRS辅助的多小区MISO系统，本文提出了一种基于SCA的迭代发射波束成形方法，总结为算法2。

(2)反射波束成形设计

根据AO原理，在优化反射波束成形向量时，发射波束成形向量是固定的。在这种情况下，反射波束成形优化问题数学上由式(12)给出。注意，问题(12)仍然是非凸优化问题。接下来，我们使用完善的SDR技术来解决问题(12)。

为了方便标记，我们定义

因此，

其中

且

用户k的SINR写为

式(27)可进一步定义为

其中

且

因此，将问题(12)改写为

此外，通过定义

我们等价地将问题(29)重新表示为

其中V_m，n表示矩阵V的第m行第n列的元素。去掉秩约束rank(V)＝1，我们得到问题(30)的松弛版本如下

定义

和

上面讨论的优化问题可以重新表述为下面的D.C.规划

它可以通过线性化Ω到它的一阶泰勒展式进行求解，很明显Ω是V的函数。假设

是已知点，Ω(V)在点

附近的一阶泰勒近似可表示为

其中

因为Ω(V)是凹函数，我们有以下不等式(类似于命题3)

及

通过将式(34)的目标函数Ω替换为式(35)，舍弃常数项，则将问题(34)近似为

使用标准凸优化工具可以有效地解决这一问题。

定义V^*是SDR问题(38)的解，执行奇异值分解(SVD)V^*＝ZΓZ^H，获得特征矩阵Z＝[z₁，z₂，…，z_N+1]，Γ＝diag(γ₁，γ₁，…，γ_N+1）是一种对角矩阵，由降序奇异值构成其对角元素。然后利用最大奇异值对应的特征向量恢复反射波束成形向量，即

如果V^*的秩都等于1，该解也是问题(38)的最优解。在当前步骤中得到的解V^*可更新为最优解，构造新的替代函数开始下一轮优化。为了得到问题(12)的最优解，我们通过下式恢复它

其中[x]_(1：N)表示包含x的前N个元素的向量。在这种逐次逼近过程中，当达到光滑点时，最终可以得到解。针对IRS辅助的多小区MISO系统，基于SCA的反射波束成形迭代方法总结为算法3。

针对SINR均衡波束成形问题的优化方案，问题(7)是非凸且NP-难的，因此需要设计一个有效的算法在多项式时间内找到一个好的近似解。通过引入辅助变量t，问题(7)可以改写为

注意，由于发射波束成形

和反射波束成形θ之间的耦合，问题(41)很难被最优地求解。正如在第四部分中讨论的基于SCA的和速率最大化算法，我们也借助AO框架解决这一难题，即固定其中一个，以交替的方式优化发射波束成形向量

和反射波束成形向量θ。

(1)发射波束成形优化

给定反射波束成形向量θ，只需要优化发射波束成形向量

。如前所述，我们定义

是从BS

到用户

的有效或组合信道。因此，传输波束成形问题被写为

(42)的第一个约束关于w_k或t都是线性的，但同时关于两者不是线性的。因此(42)仍然不是一个凸优化问题。为了解决这个问题，我们等效地将(42)的第一个约束写成

不等式右边进一步写成

其中

然后SINR约束(43)被重写为

由于可以在不影响SINR的情况下给波束成形器添加任意相位，我们选择w_k的解使得对任意用户

是实值非负的。因此，约束(45)可以进一步重新表达为

因此，将问题(42)等价地重写为

问题(47)中的约束现在是二阶锥(soc)。注意(47)的前两个约束保证

的值是实数，即

如果给定任意问题t，(47)的可行性问题可以写成

设问题(47)中t的最优解为γ^*，因此，很明显，如果可行性问题(49)是可行的，那么我们有t≤γ^*。反之，如果问题不可行，则可以得出结论t＞γ^*。因此，给定任意t＞0，结合二分法，问题(47)可以通过检验问题(49)的可行性来等价求解。

给定t，问题(49)是一个凸SOCP，可以使用CVX等标准凸优化求解器进行求解。因此，最终得到了问题(42)的最优发射波束成形解。

基于我们上面讨论的观察，问题(49)可以用二分法来解决。我们假设这个问题是可行的，并且有一个包含最优解γ^*的区间[γ_min，γ_max]。然后，我们在中点

求解凸可行性问题，确定最优值是在区间的下半部分还是上半部分，并相应地更新内部值。这个过程将重复，直到间隔的宽度足够小。这种二分算法在算法4中得到了总结。

(2)反射波束成形优化

在这一部分，我们考虑给定任意波束成形向量

的情形。所以我们只需要优化反射波束成形向量θ。为了方便标记，我们定义c_k，j＝Φ_k，jw_j，

其中

用户k的SINR写成

据此，在数学上给出了反射波束成形问题

可见(52)也是一个非凸优化问题。下面，由于SDR在反射波束成形优化中的广泛应用，我们使用完善的SDR技术来求解它。

首先定义

其中

且

那么，将问题(52)改写为

进一步，我们定义

则问题(53)或问题(52)等价地重新表述为

其中V_m，n表示矩阵V第m行第n列中的元素。然而，由于非凸秩1约束，问题(54)仍然难以得到最优解。去掉秩1约束，我们得到(54)的松弛版本为

显然，问题(55)仍然是非凸的，但与问题(49)类似，它可以通过对t进行二分搜索来求解可行性问题。

可行性问题(56)是一个凸半定规划(SDP)，从而可以使用CVX最优地求解，从而得到问题(55)的最优解。

定义V^*和t^*为SDR问题(55)的最优解，我们可以通过SVD恢复反射波束成形向量θ。如果rank(V^*)＝1，那么V^*和t^*也是问题(54)的最优解。然而，如果rank(V^*)≥1，那么我们需要采用高斯随机过程来产生问题(54)和(53)的秩1解。

幸运的是，我们发现在仿真中，解总是秩1的，这简化了我们的工作。通过对问题(52)的基于SDR的反射波束成形方案和对问题(42)的基于SOCP的发射波束成形方案交替优化，可以得到原问题(7)的有效解，我们将该算法称为基于SDR的交替优化(AO)框架。使用SDR的AO算法总结为算法5。

由图3可得该方法收敛迅速。由图3可得，与现有方法相比，在同等信噪比条件下该方法能够实现最大的可达速率。

上文通过附图和优选实施例对本发明进行了详细展示和说明，然而本发明不限于这些已揭示的实施例，基与上述多个实施例本领域技术人员可以知晓，可以组合上述不同实施例中的代码审核手段得到本发明更多的实施例，这些实施例也在本发明的保护范围之内。

Claims (7)

1.基于逐次逼近的智能表面MISO系统联合波束成形方法，其特征在于在满足BS的单个发射功率约束和IRS的反射约束的条件下，通过联合优化BS的传输波束成形向量w_k和IRS的反射波束成形向量θ，基于AO框架以及逐次逼近方法最大化MISO系统中所有用户的和速率，所述和速率R表示为：

其中，θ＝[θ₁，θ₂，......，θ_n，.......，θ_N]^H，满足常数模约束

表示入射信号的相移，β_n＝1，表示反射振幅；

表示MISO系统中BS或用户的集合；

表示在IRS处反射单元的集合；

P_k表示第k个BS的最大功率预算；

基于A0框架以及逐次逼近方法最大化MISO系统中所有用户的和速率，包括如下步骤：

将和速率R表示为：

函数φ表示为：

函数

表示为：

其中，

BS_j到用户k的有效反射信道记为：

表示为从IRS到用户k的信道向量；

表示为表示从BS_j到用户k的信道向量；

G_j表示为从BS j到IRS的信道矩阵；

其中函数φ和函数

关于发送波束成形量或反射波束成形量均为凸的，当反射波束成形量为固定的，上述和速率最大化问题退化为第一约束优化问题，所述第一约束优化问题表示为：

函数φ和函数

关于w_k，

为凹的，上述问题的目标为两个凹函数的差函数，基于逐次逼近方法将非凸问题凹替代，当发射波束成形向量为固定的，上述第一约束优化问题退化为第二约束优化问题，所述第二约束优化问题表示为：

交替求解上述第一约束优化问题和第二约束优化问题，并根据第一约束优化问题的和速率结构，通过局部线性化函数

到函数

的一阶泰勒展开式来构造凹替代；

当优化得到局部最优解时，目标必须是非递减的，即：

通过线性化一个凸替代函数求解上述第一约束优化问题，包括如下步骤：

给定θ和一个可行点

关于发射波束成形向量

的和速率的凹替代函数被构建第一替代函数，所述第一替代函数表示为：

其中，

函数φ等价为第一等价公式，所述第一等价公式为：

函数

等价第二等价公式，所述第二等价公式为：

定义BS_j到用户k的有效或者组合信道记为：

通过局部线性化函数

到函数

的一阶泰勒展开式进行迭代计算，上述第二等价公式改写为：

其中，

且

为

的函数，通过Q表示

的缩写；

设定

是一个已知点，

在点

附近一阶泰勒近似可以表示成第一泰勒等式，所述第一泰勒等式表示为：

给定θ和一个可行点

由第一替代函数构造的替代包含原函数的下界，在给顶点相切，即分别得到第一不等式和第一等式：

由于

是凹的，且

是

的一阶泰勒展开式，以下第二不等式成立：

进一步得到上述第一不等式成立；

在定点

由第一泰勒等式检验得到

进一步得到上述第一等式成立；

将上述第一约束优化问题近似为第三约束优化问题，所述第三约束优化问题为：

上述第三约束优化问题为一个有秩约束的SDP，结果是非凸的，去掉秩约束，得到如下凸SDR问题：

通过标准凸优化工具，用

SDP上述凸SDR问题的最优解，得到解后，对解进行奇异值分解，为：

其中，特征矩阵U_k＝[u₁，u₂，…，u_M]；

对角矩阵Λ_k＝diag(λ₁，λ₂，…，λ_M)；

由降序奇异值构成对角元素，并利用最大奇异值对应的特征向量恢复发射波束成形向量，公式为：

在当前步骤中得到的解

更新为最优解，构造新的替代函数开始下一轮优化；执行逐次逼近的过程中，当达到一个光滑点时终止，最终得到了一个解；

通过逐次逼近方法求解上述第二约束优化问题，包括如下步骤：

定义如下：

C_k，j＝Φ_k，jw_j

得到第二等式，所述第二等式表示为：

用户k的SINR写为：

上述第二等式进一步定义为：

基于上述，第二约束优化问题改写第二替代问题，所述第二替代问题为：

定义

将上述第二替代优化问题重新表示如下第二替代优化问题：

V≥0，

rank(V)＝1，

V_m，n表示矩阵V的第m行第n列的元素，去掉秩约束rank(V)＝1，得到松弛第二约束优化问题，所述松弛第二约束优化问题为：

V≥0.

定义如下：

上述松弛第二约束优化问题重新表示为如下DC规划问题：

V≥0.

通过线性化Ω到Ω的一阶泰勒展开式进行求解，Ω为V的函数；

设定

为已知点，Ω(V)在点

附近的一阶泰勒近似式表示为：

Ω(V)为凹函数，得到如下第三不等式：

及第四不等式：

将上述DC规划问题的目标函数Ω替换为Ω(V)在点

附近的一阶泰勒近似式，并舍弃常数项，将上述DC规划问题近似为SDR问题，所述SDR问题为：

V≥0，

通过标准凸优化工具，求解上述SDR问题；

定义V^*为SDR问题的解，执行奇异值分解V^*＝ZFZ^H，得到：

特征矩阵：

Z＝[z₁，z₂，…，z_N+1]

并得到对角矩阵：

Γ＝diag(γ₁，γ₁，…，γ_N+1)

通过最大奇异值对应的特征向量恢复反射波束成形向量，即

在当前步骤中得到的解V^*更新为最优解，构造新的替代函数开始下一轮优化；

通过如下方式进行恢复，得到：

其中，[x]_(1:N)表示包含x的前N个元素的向量；

在上述逐次逼近过程中，当达到光滑点时终止，得到解。

2.根据权利要求1所述的基于逐次逼近的智能表面MISO系统联合波束成形方法，其特征在于通过联合优化BS的发射波束成形向量

和IRS的反射波束成形向量θ，基于AO框架和逐次逼近方法最大化MISO系统中最小SINR最大化问题：

所述最小SINR最大化问题表示为：

3.根据权利要求2所述的基于逐次逼近的智能表面MISO系统联合波束成形方法，其特征在于通过联合优化BS的发射波束成形向量

和IRS的反射波束成形向量θ，基于AO框架和逐次逼近方法最大化MISO系统中最小SINR最大化问题，包括如下步骤：

引入辅助变量t，将上述最小SINR最大化问题改写为辅助变量最大化问题，所述辅助变量最大化问题表示为：

借助AO框架，基于发射波束成形

和反射波束成形θ，固定其中一个，以交替的方式优化发射波束成形

和反射波束成形θ。

4.根据权利要求3所述的基于逐次逼近的智能表面MISO系统联合波束成形方法，其特征在于通过如下方法优化发射波束成形向量

定义BS_j到用户k的有效或组合信道记为：

传输波束成形问题被写为第二辅助变量最大化问题，所述第二辅助变量最大化问题表示为：

对于第二辅助变量最大化问题，等效地将第一个约束项写为第四不等式，所述第四不等式表示为：

将上述第四不等式的右部分进一步写为第三等式，所述第三等式表示为：

其中，

将第四不等式重写为第五不等式，所述第五不等式表示为：

将上述第五不等式进一步重写为第六不等式，所述第六不等式表示为：

基于上述，将第二辅助变量最大化问题等价重写为第三辅助变量最大化问题，所述第三辅助变量最大化问题表示为：

上述第三辅助变量最大化问题中约束为二阶锥，上述第三辅助变量最大化问题中前两个约束确保

的值为实数，即：

如果给定任意问题t，上述第三辅助变量最大化问题的可行性问题能够写为：

设定上述第三辅助变，量最大化问题中t的最优解为γ^*，如果上述可行性问题为可行的，t≤γ^*，如果上述可行性问题不可行，t＞γ^*，基于上述，给定任意t＞0，结合二分法，上述第三辅助变量最大化问题通过检验可行性问题的可行性等价求解。

5.根据权利要求4所述的基于逐次逼近的智能表面MISO系统联合波束成形方法，其特征在于结合二分法，上述第三辅助变量最大化问题通过检验可行性问题的可行性等价求解，包括如下步骤：

设定上述可行性问题为可行的，且具有一个包含最优解γ^*的区间[γ_min，γ_max]；

在中间

处求解凸可行性问题；

确定最优值在上述区间的上半部分还是下半部分，并相应的更新内部值；

重复执行上述步骤，直至间隔的宽度足够小。

6.根据权利要求1所述的基于逐次逼近的智能表面MISO系统联合波束成形方法，其特征在于通过如下方法优化优化反射波束成形θ：

定义如下：

c_k，j＝Φ_k，jw_j

基于上述定义，用户k的SINR写为：

据上述用户k的SINR，在数学上给出反射波束成形问题，如下：

上述反射波束成形问题为非凸优化问题，基于逐次逼近方法求解上述反射波束成形问题。

7.根据权利要求4所述的基于逐次逼近的智能表面MISO系统联合波束成形方法，其特征在于基于逐次逼近方法求解上述反射波束成形问题，包括如下步骤：

定义如下：

将上述反射波束成形问题改下为如下第二反射波束成形问题：

定义如下：

进一步将上述反射波束成形问题等价改写为如下第三反射波束成形问题：

V≥0，

rank(V)＝1，

其中，V_m，n表示矩阵V中第m行第n列中的元素；

由于非凸秩1约束，将上述第三反射波束成形问题改写为如下的松弛版反射波束成形问题：

V≥0.

上述松弛版反射波束成形问题为非凸的，通过对t进行二分搜索求解可行性问题，所述可行性问题为：

find：V

V≥0.

上述可行性问题为一个凸半定规划，通过CVX最优求解可行性问题的最优解，进而得到松弛版反射波束成形问题的最优解；

设定V^*和t^*为松弛版反射波束成形问题的最优解，通过逐次逼近方法恢复反射波束成形向量θ，如果rank(V^*)＝1，V^*和t^*为上述第三反射波束成形问题的最优解，如果rank(V^*)≥1，采用高斯随机过程产生第三反射波束成形问题和第二反射波束成形问题的秩1解。

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