CN108923898B - 硬件损伤下无线能量传输的大规模mimo系统能效优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明请求保护一种硬件损伤下无线能量传输的大规模MIMO系统能效优化方法。本发明建立硬件损伤条件下基于无线能量传输的大规模MIMO系统能效最大化模型，在保证用户的QoS的要求的同时引进了容许控制，把原始非线性分式规划问题通过等价转化和变量替换简化原始问题，最终转化为凸优化问题，用块坐标下降法计算。本发明具有计算低复杂度，信道适应性强的优点，同时保证了传感器节点的QoS约束，特别适合存在硬件条件下的基于无线能量传输大规模MIMO系统。

Description

硬件损伤下无线能量传输的大规模MIMO系统能效优化方法

技术领域

本发明属于大规模MIMO系统中的资源分配领域，具体地，基于无线能量传输的大规模MIMO系统中存在硬件损伤条件下联合功率和时间的资源分配方法。

背景技术

诸如无线传感器网络之类的无线设备由电池供电，需要手动充电或更换电池。有线充电是当前无线设备电池的主要方法，但在许多情况下，更换电池和充电往往会导致成本高昂甚至不切实际，例如在危险区域或植入体内的医疗设备中。此时，无线能量传输(WPT)引起了无线电研究的关注，并延长了能量受限网络的使用寿命。在传统的无线传输架构中，能量传输效率不高。因此，考虑使用大规模多输入多输出(MIMO)技术来提高无线能量传输的效率和距离也成为当前的一个研究热点，这是因为大规模MIMO技术可以使用非常窄的波束来将辐射能量集中在目标用户上，从而提高能量传输效率。

大规模MIMO系统可以提高数据速率并克服无线设备的能量限制，S.Kashyap,E.

and E.G.Larsson在文献“On the Feasibility of Wireless EnergyTransfer Using Massive Antenna Arrays”IEEE Transactions on WirelessCommunications,vol.15,no.5,pp.3466-3480,May 2016中列举出在无线能量传输中应用大规模天线阵列存在的潜在的优点，表明在基站处使用大量的天线阵列需要较低的下行链路能量以实现相同的中断性能并节省辐射能量，同时大量的天线阵列也可以显著的提高信干噪比，而且在无线能量传输中使用大规模MIMO技术可以确保传输功率的效率和无线信息传输的安全性。

尽管大规模MIMO有许多优势，但仍然有限的挑战是无法避免的。随着天线数量的增加，电路的部署成本和能耗将大大增加，因此大量的MIMO需要使用便宜的硬件组件。低价元件容易出现硬件缺陷(例如，相位噪声，非线性功率放大器，I/Q不平衡，非线性低噪声放大器和ADC损伤)。现有技术中公开了E.Bjornson,J.Hoydis,M.Kountouris and M.Debbah的文献“Massive MIMO Systems With Non-Ideal Hardware:Energy Efficiency,Estimation,and Capacity Limits(非理想硬件下的大规模MIMO系统：能量效率，估计和容量极限)”IEEE Transactions on Information Theory,vol.60,no.11,pp.7112-7139,中指出硬件损伤的影响是不可避免的，并且研究了硬件损伤对大规模MIMO系统造成的影响，表明多天线的情况下，硬件损伤的影响可以淹没导频污染对系统性能造成的影响。

G.Yang,C.K.Ho,R.Zhang and Y.L.Guan的文献”Throughput Optimization forMassive MIMO Systems Powered by Wireless Energy Transfer(无线能量传输的大规模MIMO的吞吐量优化)”IEEE Journal on Selected Areas in Communications,vol.33,no.8,pp.1640-1650,Aug.2015.研究了基于无线能量传输的大规模MIMO系统的吞吐量最大化方法，但是没有考虑硬件损伤的影响，也没有考虑到系统能效的问题。Q.Wu,W.Chen,D.W.Kwan Ng,J.Li and R.Schober的文献”User Centric Energy EfficiencyMaximization for Wireless Powered Communications(无线能量传输通信系统用户为中心的能效最大化)”IEEE Transactions on Wireless Communications,vol.15,no.10,pp.6898-6912,Oct.2016.考虑了联合功率和时间优化无线能量传输系统系统的能效，但是没有考虑到每个用户的最小信噪比要求，同时考虑的系统模型为单天线系统，没到考虑大规模多天线系统，也没有考虑硬件损伤对系统造成的影响。公开号为CN106506052A(名称为“一种在大规模MIMO系统中基于天线选择提高通信能效的方法”)的发明专利旨在基于天线选择提高大规模MIMO能效，但是该方法没有考虑到功率分配和硬件损伤对系统造成的影响等问题。公开号为CN106452525A(名称“一种大规模MIMO中能量效率、频谱效率和QoS联合优化方法”)的发明公开了一种保证用户时延和速率要求的基于用户调度和功率分配的大规模MIMO系统的频谱效率、能量效率的联合优化方案，但是忽视了硬件损伤对系统能效造成的影响。

目前大多学者中研究大规模MIMO时未考虑中硬件损伤的影响，并且很少考虑大规模MIMO系统结合无线能量传输，但是实际中硬件损伤在大规模MIMO系统中的影响是必不可少的，且无线能量传输结合大规模MIMO技术提供了许多优势。所以本发明中考虑了传感器节点处存在硬件损伤的情况，并且在保证了用户的最小QoS要求的同时，提出了基于无线能量传输的大规模MIMO系统中联合时间和功率分配方法来优化系统能效。

发明内容

本发明旨在解决以上现有技术的问题，提出了一种硬件损伤下的可同时严格保证传感器节点的QoS，提高基于能量采集大规模MIMO系统能效的优化方法。本发明的技术方案如下：

一种硬件损伤下无线能量传输的大规模MIMO系统能效优化方法，其包括以下步骤：

101、在传感器节点中使用非完美硬件接收机，存在硬件损伤条件下建立无线能量传输的大规模MIMO系统能效最大化模型并且判断可行性，所述的无线能量传输大规模MIMO系统能效最大化模型为一个非凸优化问题；

102、基于包括放缩法(即证明不等式时，将其一边放大或者缩小、等价替换)和变量替换(使得原本的分式问题，转化为减的形式)在内的简化方法简化步骤101的非凸优化问题并且使步骤101的非凸优化问题等价转化为凸优化问题；

103、然后运用块坐标下降法，求解步骤102等价转化后的凸优化问题，得出无线能量传输时间τ的闭式解，并且运用内点法求解分配的功率p_k，得出最优的系统能效，完成系统能效最大化的资源分配。

进一步的，所述步骤101判断可行性具体包括步骤：

首先判断是否满足可行性

使

i≠k，A_k,i表示k行，i列矩阵，k第k个传感器，

φ_k＝ε²d_kβ_kN，α_k＝(1-ε²)d_kβ_kN，d_k是传感器k到基站的大尺度衰落，β_k代表功率信标到传感器k的大尺度衰落，N代表功率信标的天线数，M是基站处的天线数，ε代表了硬件损伤的程度，当ε＝0时代表完美硬件，当为1时代表硬件完全损坏，

对用户k的最小信噪比要求，

表示定义为，同时定义

令

τ表示功率传输时间，σ²表示高斯噪声。

当满足

且ρ_A＜1满足可行性条件，P_max功率信标处的最大发射功率，m_k是引入的变量

M＝(m₁,m₂…m_K)，ρ_A表示矩阵A的谱半径。

当不满足可行性时则去掉信道条件差的传感器节点，否则，跳转至步骤102。

进一步的，所述步骤101基于无线能量传输大规模MIMO系统能效最大化目标函数为

C2:P≤P_max

C3:0≤τ≤1

C4:p_k≥0,i＝1,...,K

其中α_k＝(1-ε²)d_kβ_kN，φ_k＝ε²d_kβ_kN和

都是引入的变量。P_max表示功率塔的最大发射功率。p_k表示传感器k分配到的功率，p表示功率信标总的发射功率，d_k是传感器k到基站的大尺度衰落，β_k代表功率信标到传感器k的大尺度衰落，N代表功率信标的天线数，M是基站处的天线数，ε代表了硬件损伤的程度，当ε＝0时代表完美硬件，当为1时代表硬件完全损坏，

对用户k的最小信噪比要求，P_c代表固定功耗，τ表示功率信标给传感器节点无线能量传输的时间，1-τ是数据传输时间,σ²为高斯噪声。

进一步的，所述步骤102非凸优化问题式等价转化为凸优化问题具体包括：所述凸优化问题的表达式为

C3:0≤τ≤1

其中q_k是个引入的变量，

是系统能效的等价物，

是引入变量，α_k＝(1-ε²)d_kβ_kN，φ_k＝ε²d_kβ_kN和

都是引入的变量。P_max表示功率塔的最大发射功率。p_k表示传感器k分配到的功率，p表示功率信标总的发射功率，d_k是传感器k到基站的大尺度衰落，β_k代表功率信标到传感器k的大尺度衰落，N代表功率信标的天线数，M是基站处的天线数，ε代表了硬件损伤的程度，当ε＝0时代表完美硬件，当为1时代表硬件完全损坏，

对用户k的最小信噪比要求，P_c代表固定功耗，τ是功率传输的时间，σ²为高斯噪声。

进一步的，所述步骤103求解优化问题的步骤包括：

外层最大迭代次数out_max，初始化out＝2，设置能效初始值λ⁽²⁾和λ⁽¹⁾和精确度要求值

内层最大迭代次数in_max，初始化in＝0、F(λ)⁽⁰⁾、τ⁽⁰⁾和q_k ⁽⁰⁾计算初值

其中

是引入变量，其中

α_k＝(1-ε²)d_kβ_kN，φ_k＝ε²d_kβ_kN和

是引入的变量，q_k ⁽ⁱⁿ⁾是引入变量

in＝in+1，固定τ⁽ⁱⁿ⁾根据内点法计算出最优的q_k ⁽ⁱⁿ⁾，根据最优q_k ⁽ⁱⁿ⁾和闭式解求得τ⁽ⁱⁿ⁾更新F(λ)⁽ⁱⁿ⁾；其中

其中q_k ⁽ⁱⁿ⁾是引入变量

并且求解

精确度更新收敛判断：判断当前

满足则得出此时的q_k ⁽ⁱⁿ⁾、τ⁽ⁱⁿ⁾，不满足精确度要求值则返回重新迭代；

out＝out+1根据所求的q_k ⁽ⁱⁿ⁾、τ⁽ⁱⁿ⁾，更新能效λ^(out)；

精确度更新收敛判断：

成立则输出最大能效值，和最优的分配功率和时间，反之，更新λ^(out)直至收敛。

进一步的，所述各参数求解：目标函数F(λ)⁽ⁱⁿ⁾关于q_k ⁽ⁱⁿ⁾是凸函数，用内点法和已知的

得出最优值q_k ⁽ⁱⁿ⁾，此时固定q_k ⁽ⁱⁿ⁾的求得最优无线功率传输时间为：

其中

τ_min是满足可行性时的最小无线能量传输时间，τ_opt则是φ′(τ_opt)＝0，而λ按照下式更新

本发明的优点及有益效果如下：

本发明在考虑用户(传感器节点)中存在硬件的条件下，在保证用户的QoS的要求的同时引进了容许控制的条件下，在步骤102中把原始非线性分式规划问题通过等价转化和变量替换简化原始问题，把原先的分式问题转化成了更为简单的减数形式，最终转化为凸优化问题，使得本发明相比于其他传统的基于无线能量传输大规模MIMO系统具有计算低复杂度，信道适应性强的优点，同时保证了传感器节点的QoS约束。创新型的在步骤101处系统模型中传感器节点处引进了硬件损伤，因为大规模天线中随着天线的增加，硬件损伤造成的影响无法避免，使本发明更加符合现实情况。本发明特别适合存在硬件条件下的基于无线能量传输大规模MIMO系统，具有很好的实用性和可行性。

附图说明

图1是本发明提供优选实施例基于无线能量传输大规模MIMO系统的系统模型；

图2为本发明与对比方法在不同硬件损伤程度下，最大发射功率给系统能效造成的影响；

图3为本发明在不同硬件损伤程度下，基站处天线数对系统能效的影响；

图4为本发明在不同硬件损伤程度下，基站处天线数对系统容纳的用户数的影响；

图5为本发明在不同硬件损伤程度下，用户的最小信噪比要求对系统能效的影响

图6为本发明在不同硬件损伤程度下，用户的最小信噪比要求对系统容纳的用户数的影响；

图7为本发明的流程示意图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、详细地描述。所描述的实施例仅仅是本发明的一部分实施例。

本发明解决上述技术问题的技术方案是：

图7公开一种硬件损伤下无线能量传输的大规模MIMO系统能效优化方法。其包括以下步骤：

第一步：计算可行性，如果不可行去掉一个的用户数，直至可行转到步骤二；

第二步：初始化能效λ⁽²⁾、λ⁽¹⁾，迭代初始值out＝2，外层循环最大迭代次数out_max和精确度要求

初始化F(λ)⁽⁰⁾，in＝0，内层最大迭代次数in_max，设置时间τ⁽⁰⁾，和初始值q_k ⁽⁰⁾并且由时间初值和功率初值计算a_k ⁽⁰⁾，b_k ⁽⁰⁾；

第三步：in＝in+1，由给定的λ^(out)，固定时间值计算关于功率的最优值q_k ⁽ⁱⁿ⁾，固定关于功率的最优值，计算τ⁽ⁱⁿ⁾值，并且更新F(λ)⁽ⁱⁿ⁾；

第四步：精确度更新收敛判断：由当前F(λ)⁽ⁱⁿ⁾求得精确度，如果不满足精确度要求或者小于迭代次数则跳转到第三步，反之，得出最优

τ⁽ⁱⁿ⁾；

第五步，out＝out+1根据最优值

τ⁽ⁱⁿ⁾，更新能效值λ^(out)；

第六步：精确度更新收敛判断：由当前能效λ^(out)求得精确度，如果不满足精确度要求则跳转到第五步，反之，得出最大能效，最优功率

和最优时间；

进一步的，所述第一步中判断是否满足可行性

使

i≠k其中A_k,i表示k行，i列矩阵，k第k个传感器，

φ_k＝ε²d_kβ_kN，α_k＝(1-ε²)d_kβ_kN，d_k是传感器k到基站的大尺度衰落，β_k代表功率信标到传感器k的大尺度衰落，N代表功率信标的天线数，M是基站处的天线数，ε代表了硬件损伤的程度，当ε＝0时代表完美硬件，当为1时代表硬件完全损坏，

对用户k的最小信噪比要求，

表示定义为。同时定义

τ表示功率传输时间，σ²表示高斯噪声。

当满足

且ρ_A＜1满足可行性条件，P_max功率信标处的最大发射功率，m_k是引入的变量

M＝(m₁,m₂…m_K)，ρ_A表示矩阵A谱半径。

当不满足可行性时则去掉该传感器节点，否则，跳转至第二步，基于无线能量传输大规模MIMO系统能效最大化目标函数为

C2:P≤P_max

C3:0≤τ≤1

C4:p_k≥0,i＝1,...,K

其中α_k＝(1-ε²)d_kβ_kN，φ_k＝ε²d_kβ_kN和

都是引入的变量。P_max表示功率塔的最大发射功率。p_k表示传感器k分配到的功率，p表示功率信标总的发射功率，d_k是传感器k到基站的大尺度衰落，β_k代表功率信标到传感器k的大尺度衰落，N代表功率信标的天线数，M是基站处的天线数，ε代表了硬件损伤的程度，当ε＝0时代表完美硬件，当为1时代表硬件完全损坏，

对用户k的最小信噪比要求，P_c代表固定功耗，τ表示功率信标给传感器节点无线能量传输的时间，1-τ是数据传输时间,σ²为高斯噪声。

进一步的，所述第二步的能效初始值λ⁽⁰⁾、λ⁽¹⁾选取

为能效上界，初始化τ⁽⁰⁾＝τ_min，在可行域中选取p_k。

进一步的，所述第三步中

对于目标函数为凸函数，但是无法写出闭式解，因此用内点法求解。此时固定分配功率，则最优无线能量传输时间为

其中

τ_min是满足可行性时的最小无线能量传输时间，τ_opt则是φ′(τ_opt)＝0。并且更新F(λ)⁽ⁿ⁾；其中

其中q_k是引入变量

进一步的，所述第四步判断精确度

in为迭代次数，

为精确度要求值。

进一步的，所述第五步更新能效值

进一步的，所述第六步，计算精确度

out为外循环迭代次数，

为精确度要求值。

本发明在考虑用户(传感器节点)中存在硬件的条件下，在保证用户的QoS的要求的同时引进了容许控制的条件下，把原始非线性分式规划问题通过等价转化和变量替换简化原始问题，把分数形式转变成了减数的形式，最终转化为凸优化问题，并用块坐标下降法计算。本发明相比于其他传统的基于无线能量传输大规模MIMO系统具有计算低复杂度，信道适应性强的优点，同时保证了传感器节点的QoS约束，且创新型的在传感器节点处引进了硬件损伤，本发明特别适合存在硬件条件下的基于无线能量传输大规模MIMO系统，具有很好的实用性和可行性。

本实施例为硬件损伤条件下的基于无线能量传输大规模MIMO系统中能效最大化的资源分配方法，功率信标向传感器阶段传输能量，传感器节点向基站传输数据，干扰与背景噪声之和最小SINR需求

系统带宽B＝5MHz，室内链路的固定传播损耗

用户K＝8,基站的天线数M＝8,分布区域(-20,0)m，到用户的大尺度衰落为

其中m_k是到用户k的距离，功率信标的天线数N＝32,分布区域为(0,20)m，到用户的大尺度衰落为

其中l_k是到用户k的距离。用户[0，0]*[-10，10]m处随机分布，P_c＝0.1dBm。

在本实施例中，图1为本发明提供优选实施例基于无线能量传输的大规模MIMO的系统模型，图中功率信标通过无线能量传输给传感器节点传输能量，传感器节点使用所有采集到的能量向基站发送信息。图2在不同硬件损伤ε＝0,ε＝0.1,ε＝0.2条件下，本发明(EEA)和吞吐量最大化资源分配方法(TPA)的能效曲线图。图3给出了在不同硬件损伤程度ε＝0,ε＝0.1,ε＝0.2下，本方法的系统能效随着基站天线变化的曲线图；图4是在不同硬件损伤程度ε＝0,ε＝0.1,ε＝0.2下，随着基站天线数系统能容纳的用户数的曲线图；图5是在不同硬件损伤程度ε＝0,ε＝0.1,ε＝0.2下，系统能效随着用户的最小QoS要求变化的曲线图；图6是在不同硬件损伤程度ε＝0,ε＝0.1,ε＝0.2下，系统所能容纳用户数随着用户的最小QoS要求变化的曲线图。由图2可见所提方法的优越性，而且随着发射功率的增加，硬件损伤对系统性能造成的影响变大，在小的发射功率处对系统能效影响较小；图3可见，随着基站天线数的增加，系统能效不断的增大，且硬件损伤造成的影响也随着天线数的增大而增大了；图4可见，随着基站天线数的增加，系统容纳的用户增多，且硬件质量越好，容纳的用户越多；图5可见随着最小QoS要求的增加系统能效不断的减小；图6可见，随着最小QoS要求的增加容纳的用户不断减小，且硬件质量差的容纳的用户越少。

以上这些实施例应理解为仅用于说明本发明而不用于限制本发明的保护范围。在阅读了本发明的记载的内容之后，技术人员可以对本发明作各种改动或修改，这些等效变化和修饰同样落入本发明权利要求所限定的范围。

Claims (4)

1.一种硬件损伤下无线能量传输的大规模MIMO系统能效优化方法，其特征在于，包括以下步骤：

101、在传感器节点中使用非完美硬件接收机，建立硬件损伤条件下基于无线能量传输大规模MIMO系统能效最大化模型并且判断可行性，所述的无线能量传输大规模MIMO系统能效最大化模型为一个非凸优化问题；

102、基于包括放缩法和变量代替在内的简化方法简化步骤101的非凸优化问题并且使步骤101的非凸优化问题等价转化为凸优化问题；

103、然后运用块坐标下降法，求解步骤102等价转化后的凸优化问题，得出无线能量传输时间τ的闭式解，并且运用内点法求解分配的功率p_k，得出最优的系统能效，完成系统能效最大化的资源分配；

所述步骤101判断可行性具体包括步骤：

首先判断是否满足可行性

使

其中A_k,i表示k行，i列矩阵，k第k个传感器，

φ_k＝ε²d_kβ_kN，α_k＝(1-ε²)d_kβ_kN，d_k是传感器k到基站的大尺度衰落，β_k代表功率信标到传感器k的大尺度衰落，N代表功率信标的天线数，M是基站处的天线数，ε代表了硬件损伤的程度，当ε＝0时代表完美硬件，当为1时代表硬件完全损坏，

对用户k的最小信噪比要求，

表示定义为，同时定义

τ表示功率传输时间，σ²表示高斯噪声；

当满足

且ρ_A＜1时满足可行性条件，其中P_max功率信标处的最大发射功率，m_k是引入的变量

ρ_A表示矩阵A的谱半径；

当不满足可行性时则去掉信道条件差的传感器节点，否则，跳转至步骤102；

所述步骤101基于无线能量传输大规模MIMO系统能效最大化目标函数为

C2:P≤P_max

C3:0≤τ≤1

C4:p_k≥0,i＝1,...,K

其中α_k＝(1-ε²)d_kβ_kN，φ_k＝ε²d_kβ_kN和

都是引入的变量，P_max表示功率塔的最大发射功率；p_k表示传感器k分配到的功率，P表示功率信标总的发射功率，d_k是传感器k到基站的大尺度衰落，β_k代表功率信标到传感器k的大尺度衰落，N代表功率信标的天线数，M是基站处的天线数，ε代表了硬件损伤的程度，当ε＝0时代表完美硬件，当为1时代表硬件完全损坏，

对用户k的最小信噪比要求，P_c代表固定功耗,τ表示功率信标给传感器节点无线能量传输的时间，1-τ是数据传输时间,σ²为高斯噪声。

2.根据权利要求1所述的硬件损伤下无线能量传输的大规模MIMO系统能效优化方法，其特征在于，所述步骤102非凸优化问题式等价转化为凸优化问题具体包括：所述凸优化问题的表达式为

其中q_k是个引入的变量，

是系统能效的等价物，

是引入变量，其中

α_k＝(1-ε²)d_kβ_kN，φ_k＝ε²d_kβ_kN和

是引入的变量；P_max表示功率塔的最大发射功率；p_k表示传感器k分配到的功率，p表示功率信标总的发射功率，d_k是传感器k到基站的大尺度衰落，β_k代表功率信标到传感器k的大尺度衰落，N代表功率信标的天线数，M是基站处的天线数，ε代表了硬件损伤的程度，当ε＝0时代表完美硬件，当为1时代表硬件完全损坏，

对用户k的最小信噪比要求，P_c代表固定功耗，τ是功率传输的时间，σ²为高斯噪声；

3.根据权利要求2所述的硬件损伤下无线能量传输的大规模MIMO系统能效优化方法，其特征在于，所述步骤103求解优化问题的步骤包括：

外层最大迭代次数out_max，初始化out＝2，设置能效λ⁽²⁾和λ⁽¹⁾初始值和精确度要求值

内层最大迭代次数in_max，初始化in＝0、F(λ)⁽⁰⁾、τ⁽⁰⁾和q_k ⁽⁰⁾计算初值

其中

是引入变量，

α_k＝(1-ε²)d_kβ_kN，φ_k＝ε²d_kβ_kN和

是引入的变量，q_k ⁽ⁱⁿ⁾是引入变量

in＝in+1，固定τ⁽ⁱⁿ⁾根据内点法计算出最优的q_k ⁽ⁱⁿ⁾，根据最优q_k ⁽ⁱⁿ⁾和闭式解求得τ⁽ⁱⁿ⁾更新F(λ)⁽ⁱⁿ⁾；其中

其中q_k ⁽ⁱⁿ⁾是引入变量

并且求解

精确度更新收敛判断：判断当前

满足则得出此时的q_k ⁽ⁱⁿ⁾、τ⁽ⁱⁿ⁾，大于精确度要求值则返回重新迭代；

out＝out+1根据所求的q_k ⁽ⁱⁿ⁾、τ⁽ⁱⁿ⁾，更新能效λ^(out)；

精确度更新收敛判断：

成立则输出最大能效值，和最优的分配功率和时间，反之，更新λ^(out)直至收敛。

4.根据权利要求3所述的硬件损伤下无线能量传输的大规模MIMO系统能效优化方法，其特征在于，所述各参数求解：目标函数F(λ)⁽ⁱⁿ⁾关于q_k ⁽ⁱⁿ⁾是凸函数，用内点法和

得出最优值q_k ⁽ⁱⁿ⁾，此时固定q_k ⁽ⁱⁿ⁾的最优无线功率传输时间为：

其中

τ_min是满足可行性时的最小无线能量传输时间，τ_opt则是φ′(τ_opt)＝0，而λ按照下式更新

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