CN112507467B - 基于阻力和升阻比的滑翔弹道随速度变化降阶解计算方法 - Google Patents

基于阻力和升阻比的滑翔弹道随速度变化降阶解计算方法 Download PDF

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CN112507467B CN202011532035.1A CN202011532035A CN112507467B CN 112507467 B CN112507467 B CN 112507467B CN 202011532035 A CN202011532035 A CN 202011532035A CN 112507467 B CN112507467 B CN 112507467B
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Abstract

本发明属于制导技术领域，涉及基于阻力和升阻比的滑翔弹道随速度变化降阶解计算方法。考虑基于阻力和升阻比的滑翔弹道随速度变化降阶解计算方法，包括以下步骤：建立滑翔飞行器的动力学模型；建立基于牛顿迭代法的滑翔飞行器的动力学模型的近似方程；求解一次近似方程的解析解。本方法建立了包含大范围横向运动的滑翔飞行器三维机动弹道一次近似方程，以阻力加速度和纵向升阻比为控制变量，利用了雅可比矩阵的稀疏特性，能够快速求解三维机动弹道一次近似方程的解析解，其求解精度相对传统求解方法明显提高。

Description

基于阻力和升阻比的滑翔弹道随速度变化降阶解计算方法
技术领域
本发明属于制导技术领域，涉及基于阻力和升阻比的滑翔弹道随速度变化降阶解计算方法。
背景技术
高超滑翔飞行器具有大范围、三维机动的弹道特性，其弹道制导规划复杂、运算量大，传统求解微分方程的数值解算方法计算耗时长，难以满足在线弹道规划和制导快速解算要求。由于弹道规划需要执行大量的迭代运算，因此，解析解在在线弹道规划方面具有极大的价值，但是高超滑翔弹道动力学模型的非线性和耦合特性非常强，推导包含大范围横向运动的三维滑翔弹道的高精度解析解十分困难。现有技术中大多数滑翔弹道解析解是基于二维剖面规划的求解方法，无法实现滑翔飞行器三维机动弹道的快速高精度求解，因此，有必要研究一种计算精度高的适应大范围、三维机动的滑翔弹道降价解。
发明内容
本发明的目的在于提供一种基于阻力和升阻比的滑翔弹道随速度变化降阶解计算方法，以阻力加速度和纵向升阻比为控制变量，可对大范围横向运动的三维滑翔弹道的高精度快速求解，实现了三维高超滑翔弹道快速制导解算和在线弹道规划的要求。
本发明采用的技术方案是：基于阻力和升阻比的滑翔弹道随速度变化降阶解计算方法，包括以下步骤：
Step1：建立滑翔飞行器的动力学模型
定义：地心坐标系下的滑翔飞行器的初始经度、初始纬度和初始方位角分别λ0、φ0和α0；
偏置地心坐标系为将地心坐标系分别绕z、y、x轴旋转角度λ0、-φ0和α0得到的坐标系；
偏置地心坐标系下的滑翔飞行器的经度、纬度和航向角分别λ、φ和ψ；
考虑到滑翔飞行过程的飞行高度相对地球半径为小量，引入无量纲高度
Figure GSB0000200765870000011
其中
Figure GSB0000200765870000012
re＝Re+Hm，Hm为滑翔飞行器在滑翔飞行段的平均飞行高度，Re为地球半径，re为飞行器质心与地心的距离；v0和vf分别为飞行器在滑翔起点和终点处的速度；
建立以速度v为自变量的滑翔飞行器的动力学模型：
Figure GSB0000200765870000021
其中，AD为阻力加速度，LDy为纵向升阻比，LDz为横向升阻比，ωe为地球旋转角速度，μ为地球引力常数；
Figure GSB0000200765870000022
Cσ≈2vωe cosλ(cosθsinφ0-sinα0sinθcosφ0)+2vωe sinλ(sinα0cosθcosφ0+sinθsinφ0)
Cθ≈2vωe cosφ0cosα0
Step2：建立基于牛顿迭代法的滑翔飞行器的动力学模型的近似方程
令xv＝v，对式(1)进行变量替换，并改写为y′(xv)＝f(xv，y)，
其中，
Figure GSB0000200765870000023
记yi为y′(xv)＝f(xv，y)的第i次迭代值，设第i+1次迭代值为yi+1＝yi+δyi，将函数y′(xv)＝f(xv，y)构造为函数空间中的牛顿迭代式，即：
Figure GSB0000200765870000031
yi+1(vini)＝yini
其中
Figure GSB0000200765870000032
xvini、
Figure GSB0000200765870000033
θini、φini、ψini、λini为相容初始条件；
已知第i次迭代值yi时，利用式(2)可求得第i+1步的解yi+1；
定义第N次利用式(2)形成的方程为式(1)的N次近似方程，其解记为N次近似解；定义
Figure GSB0000200765870000034
θ0，φ0，ψ0，λ0和
Figure GSB0000200765870000035
θ1，φ1，ψ1，λ1分别表示定义式(1)零次近似解和一次近似解；
采用偏置地心系方程时，滑翔飞行器近似沿着偏置地心坐标系的赤道飞向目标，则滑翔飞行段具有φ≈0、θ≈0、ψ≈0、
Figure GSB0000200765870000036
的特点，取式(1)的零次近似解为：
Figure GSB0000200765870000037
将式(3)代入式(2)，得到滑翔飞行段的一次近似方程为：
Figure GSB0000200765870000038
其中
Figure GSB0000200765870000041
Figure GSB0000200765870000042
由式(4)可知，其雅可比矩阵具有分块稀疏特性，可先求解θ1和
Figure GSB0000200765870000043
以及φ1和ψ1，然后求解λ1；
由于φ1和ψ1为横向运动变量的解，
Figure GSB0000200765870000044
和θ1为纵向运动变量的解，φ1和ψ1对
Figure GSB0000200765870000045
和θ1不敏感，式(4)可进一步简化为：
Figure GSB0000200765870000046
Step3：求解一次近似方程的解析解
Step31：以阻力加速度和纵向升阻比为控制变量，求解λ0的解析解
令
Figure GSB0000200765870000047
LDy＝d2v2+d1v+d0
其中，c0，c1，c2均为控制变量阻力加速度AD的设计参数；d0，d1，d2均为纵向升阻比LDy的设计参数；
定义滑翔飞行器的飞行高度为h，分别对气动阻力加速度和速度求关于能量的一阶导数得：
Figure GSB0000200765870000048
整理得：
Figure GSB0000200765870000049
CD为滑翔飞行器的阻力系数；
忽略阻力系数导数的影响，则可求出滑翔飞行器的近似高度：
Figure GSB0000200765870000051
利用气动力系数表或插值函数反求得参考攻角α*＝CD -1(v，h*，CD)，即可求得横向升阻比：
Figure GSB0000200765870000052
其中，
Figure GSB0000200765870000053
CL＝CL(v，h*，α*)
Figure GSB0000200765870000054
Figure GSB0000200765870000055
m，Sref分别为滑翔飞行器的质量和参考面积，ρ(h′)为参考高度h*对应的大气密度；CL为滑翔飞行器的升力系数，hs为大气密度函数的指数公式的系数；
式(6)代入式(3)，并从v0积到v，可得
Figure GSB0000200765870000056
Step32：求解φ1，ψ1，λ1的解析解
联立式(5)的前两式，可得
Figure GSB0000200765870000057
令
Figure GSB0000200765870000058
将式(7)左乘M(v，v0)整理后，逆向应用微分的乘法法则，再积分，整理得：
Figure GSB0000200765870000061
利用M(v，v0)求解其逆矩阵[M(v，v0)]-1，代入式(8)，令
Figure GSB0000200765870000062
整理可得φ1和ψ1的解析式：
Figure GSB0000200765870000063
利用n次Legendre的根为采样节点的拉格朗日插值多项式在区间[vf，v0]段上近似λ(v，v0)、cos(λ(xv，v0))m3(xv)、sin(λ(xv，v0))m3(xv)，可得：
Figure GSB0000200765870000064
Figure GSB0000200765870000065
Figure GSB0000200765870000066
则可快速求解得到φ1和ψ1的解析解：
Figure GSB0000200765870000067
cp0(k)、cp1(k)、cp2(k)为插值多项式的系数；用求得的φ1和ψ1代入式(5)，可得λ1的解析解：
Figure GSB0000200765870000068
本发明的有益效果：
本发明建立了包含大范围横向运动的滑翔飞行器三维机动弹道一次近似方程，以阻力加速度和纵向升阻比为控制变量，利用了雅可比矩阵的稀疏特性，能够快速求解三维机动弹道一次近似方程的解析解，其求解精度和计算速度相对传统求解方法明显提高。本发明应用于三维滑翔弹道制导计算，相对传统的数值解算方法，可得到更好制导性能的简化模型，并利于得到快速求解的解析式，计算结果误差小，可满足三维高超滑翔弹道快速精确制导解算和在线弹道规划的要求。
附图说明
无。
具体实施方式
下面结合具体实施例对本发明的技术方案作进一步具体的说明。
基于阻力和升阻比的滑翔弹道随速度变化降阶解计算方法，包括以下步骤：
Step1：建立滑翔飞行器的动力学模型
定义：地心坐标系下的滑翔飞行器的初始经度、初始纬度和初始方位角分别λ0、φ0和α0；
偏置地心坐标系为将地心坐标系分别绕z、y、x轴旋转角度λ0、-φ0和α0得到的坐标系；
偏置地心坐标系下的滑翔飞行器的经度、纬度和航向角分别λ、φ和ψ；
考虑到滑翔飞行过程的飞行高度相对地球半径为小量，引入无量纲高度
Figure GSB0000200765870000071
其中
Figure GSB0000200765870000072
re＝Re+Hm，Hm为滑翔飞行器在滑翔飞行段的平均飞行高度，Re为地球半径，re为飞行器质心与地心的距离；v0和vf分别为飞行器在滑翔起点和终点处的速度；
建立以速度v为自变量的滑翔飞行器的动力学模型：
Figure GSB0000200765870000081
其中，AD为阻力加速度，LDy为纵向升阻比，LDz为横向升阻比，ωe为地球旋转角速度，μ为地球引力常数；
Figure GSB0000200765870000082
Cσ≈2vωe cosλ(cosθsinφ0-sinα0sinθcosφ0)+2vωe sinλ(sinα0cosθcosφ0+sinθsinφ0)
Cθ≈2vωe cosφ0cosα0
Step2：建立基于牛顿迭代法的滑翔飞行器的动力学模型的近似方程
令xv＝v，对式(1)进行变量替换，并改写为y′(xv)＝f(xv，y)，
其中，
Figure GSB0000200765870000083
记yi为y′(xv)＝f(xv，y)的第i次迭代值，设第i+1次迭代值为yi+1＝yi+δyi，将函数y′(xv)＝f(xv，y)构造为函数空间中的牛顿迭代式，即：
Figure GSB0000200765870000084
yi+1(vini)＝yini
其中
Figure GSB0000200765870000091
xvini、
Figure GSB0000200765870000092
θini、φini、ψini、λini为相容初始条件；
为提高计算的精度，又具有使方程解耦的分块稀疏特性的雅可比矩阵，在计算雅可比矩阵所用的Cθ、Cσ表达式中，保留了ωe的一次项；已知第i次迭代值yi时，利用式(2)可求得第i+1步的解yi+1；
定义第N次利用式(2)形成的方程为式(1)的N次近似方程，其解记为N次近似解；定义
Figure GSB0000200765870000093
θ0，φ0，ψ0，λ0和
Figure GSB0000200765870000094
θ1，φ1，ψ1，λ1分别表示定义式(1)零次近似解和一次近似解；
采用偏置地心系方程时，滑翔飞行器近似沿着偏置地心坐标系的赤道飞向目标，则滑翔飞行段具有φ≈0、θ≈0、ψ≈0、
Figure GSB0000200765870000095
的特点，取式(1)的零次近似解为：
Figure GSB0000200765870000096
将式(3)代入式(2)，得到滑翔飞行段的一次近似方程为：
Figure GSB0000200765870000097
其中
Figure GSB0000200765870000101
Figure GSB0000200765870000102
式(4)保留了式(1)的基本特性，并包含地球自转速率的一次项，因此一次近似解相对零次近似解在精度上有明显改善，将它用于制导计算，将得到更好的制导性能。如果需要，可以多次利用方程(2)得到更高精度的解；由式(4)可知，其雅可比矩阵具有分块稀疏特性，可先求解θ1和
Figure GSB0000200765870000103
以及φ1和ψ1，然后求解λ1；
由于φ1和ψ1为横向运动变量的解，
Figure GSB0000200765870000104
和θ1为纵向运动变量的解，φ1和ψ1对
Figure GSB0000200765870000105
和θ1不敏感，式(4)可进一步简化为：
Figure GSB0000200765870000106
Step3：求解一次近似方程的解析解
Step31：以阻力加速度和纵向升阻比为控制变量，求解λ0的解析解
令
Figure GSB0000200765870000107
LDy＝d2v2+d1v+d0
其中，c0，c1，c2均为控制变量阻力加速度AD的设计参数；d0，d1，d2均为纵向升阻比LDy的设计参数；
定义滑翔飞行器的飞行高度为h，分别对气动阻力加速度和速度求关于能量的一阶导数得：
Figure GSB0000200765870000108
整理得：
Figure GSB0000200765870000111
CD为滑翔飞行器的阻力系数；
忽略阻力系数导数的影响，则可求出滑翔飞行器的近似高度：
Figure GSB0000200765870000112
利用气动力系数表或插值函数反求得参考攻角α*＝CD -1(v，h*，CD)，即可求得横向升阻比：
Figure GSB0000200765870000113
其中，
Figure GSB0000200765870000114
CL＝CL(v，h*，α*)
Figure GSB0000200765870000115
Figure GSB0000200765870000116
m，Sref分别为滑翔飞行器的质量和参考面积，ρ(h*)为参考高度h*对应的大气密度；CL为滑翔飞行器的升力系数，hs为大气密度函数的指数公式的系数；
式(6)代入式(3)，并从v0积到v，可得
Figure GSB0000200765870000117
Step32：求解φ1，ψ1，λ1的解析解
联立式(5)的前两式，可得
Figure GSB0000200765870000118
令
Figure GSB0000200765870000121
将式(7)左乘M(v，v0)整理后，逆向应用微分的乘法法则，再积分，整理得：
Figure GSB0000200765870000122
利用M(v，v0)求解其逆矩阵[M(v，v0)]-1，代入式(8)，令
Figure GSB0000200765870000123
整理可得φ1和ψ1的解析式：
Figure GSB0000200765870000124
利用10次Legendre的根为采样节点的拉格朗日插值多项式在区间[vf，v0]段上近似λ(v，v0)、cos(λ(xv，v0))m3(xv)、sin(λ(xv，v0))m3(xv)，可得：
Figure GSB0000200765870000125
Figure GSB0000200765870000126
Figure GSB0000200765870000127
则可快速求解得到φ1和ψ1的解析解：
Figure GSB0000200765870000128
cp0(k)、cp1(k)、cp2(k)为插值多项式的系数；用求得的φ1和ψ1代入式(5)，可得λ1的解析解：
Figure GSB0000200765870000129
以上关于本发明的具体描述，仅用于说明本发明而非受限于本发明实施例所描述的技术方案，本领域的普通技术人员应当理解，仍然可以对本发明进行修改或等同替换，以达到相同的技术效果；只要满足使用需要，都在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.基于阻力和升阻比的滑翔弹道随速度变化降阶解计算方法，其特征在于包括以下步骤：
Step1：建立滑翔飞行器的动力学模型
定义：地心坐标系下的滑翔飞行器的初始经度、初始纬度和初始方位角分别λ0、φ0和α0；
偏置地心坐标系为将地心坐标系分别绕z、y、x轴旋转角度λ0、-φ0和α0得到的坐标系；
偏置地心坐标系下的滑翔飞行器的经度、纬度和航向角分别λ、φ和ψ；
考虑到滑翔飞行过程的飞行高度相对地球半径为小量，引入无量纲高度
Figure FSB0000200765860000011
其中
Figure FSB0000200765860000012
re＝Re+Hm，Hm为滑翔飞行器在滑翔飞行段的平均飞行高度，Re为地球半径，re为飞行器质心与地心的距离；v0和vf分别为飞行器在滑翔起点和终点处的速度；
建立以速度v为自变量的滑翔飞行器的动力学模型：
Figure FSB0000200765860000013
其中，AD为阻力加速度，LDy为纵向升阻比，LDz为横向升阻比，ωe为地球旋转角速度，μ为地球引力常数；
Figure FSB0000200765860000014
Cσ≈2vωecosλ(cosθsinφ0-sinα0sinθcosφ0)+2vωesinλ(sinα0cosθcosφ0+sinθsinφ0)
Cθ≈2vωecosφ0cosα0
Step2：建立基于牛顿迭代法的滑翔飞行器的动力学模型的近似方程
令xv＝v，对式(1)进行变量替换，并改写为y′(xv)＝f(xv，y)，
其中，
Figure FSB0000200765860000021
记yi为y′(xv)＝f(xv，y)的第i次迭代值，设第i+1次迭代值为yi+1＝yi+δyi，将函数y′(xv)＝f(xv，y)构造为函数空间中的牛顿迭代式，即：
Figure FSB0000200765860000022
其中
Figure FSB0000200765860000023
xvini、
Figure FSB0000200765860000024
θini、φini、ψini、λini为相容初始条件；
已知第i次迭代值yi时，利用式(2)可求得第i+1步的解yi+1；
定义第N次利用式(2)形成的方程为式(1)的N次近似方程，其解记为N次近似解；定义
Figure FSB0000200765860000025
θ0，φ0，ψ0，λ0和
Figure FSB0000200765860000026
θ1，φ1，ψ1，λ1分别表示定义式(1)零次近似解和一次近似解；
采用偏置地心系方程时，滑翔飞行器近似沿着偏置地心坐标系的赤道飞向目标，则滑翔飞行段具有φ≈0、θ≈0、ψ≈0、
Figure FSB0000200765860000027
的特点，取式(1)的零次近似解为：
Figure FSB0000200765860000028
将式(3)代入式(2)，得到滑翔飞行段的一次近似方程为：
Figure FSB0000200765860000031
其中
Figure FSB0000200765860000032
Figure FSB0000200765860000033
由式(4)可知，其雅可比矩阵具有分块稀疏特性，可先求解θ1和
Figure FSB0000200765860000034
以及φ1和ψ1，然后求解λ1；
由于φ1和ψ1为横向运动变量的解，
Figure FSB0000200765860000035
和θ1为纵向运动变量的解，φ1和ψ1对
Figure FSB0000200765860000036
和θ1不敏感，式(4)可进一步简化为：
Figure FSB0000200765860000037
Step3：求解一次近似方程的解析解
Step31：以阻力加速度和纵向升阻比为控制变量，求解λ0的解析解
令
Figure FSB0000200765860000038
其中，c0，c1，c2均为控制变量阻力加速度AD的设计参数；d0，d1，d2均为纵向升阻比LDy的设计参数；
定义滑翔飞行器的飞行高度为h，分别对气动阻力加速度和速度求关于能量的一阶导数得：
Figure FSB0000200765860000041
整理得：
Figure FSB0000200765860000042
CD为滑翔飞行器的阻力系数；
忽略阻力系数导数的影响，则可求出滑翔飞行器的近似高度：
Figure FSB0000200765860000043
利用气动力系数表或插值函数反求得参考攻角α*＝CD -1(v，h*，CD)，即可求得横向升阻比：
Figure FSB0000200765860000044
其中，
Figure FSB0000200765860000045
CL＝CL(v，h*，α*)
Figure FSB0000200765860000046
Figure FSB0000200765860000047
m，Sref分别为滑翔飞行器的质量和参考面积，ρ(h*)为参考高度h*对应的大气密度；CL为滑翔飞行器的升力系数，hs为大气密度函数的指数公式的系数；
式(6)代入式(3)，并从v0积到v，可得
Figure FSB0000200765860000051
Step32：求解φ1，ψ1，λ1的解析解
联立式(5)的前两式，可得
Figure FSB0000200765860000052
令
Figure FSB0000200765860000053
将式(7)左乘M(v，v0)整理后，逆向应用微分的乘法法则，再积分，整理得：
Figure FSB0000200765860000054
利用M(v，v0)求解其逆矩阵[M(v，v0)]-1，代入式(8)，令
Figure FSB0000200765860000055
整理可得φ1和ψ1的解析式：
Figure FSB0000200765860000056
利用n次Legendre的根为采样节点的拉格朗日插值多项式在区间[vf，v0]段上近似λ(v，v0)、cos(λ(xv，v0))m3(xv)、sin(λ(xv，v0))m3(xv)，可得：
Figure FSB0000200765860000057
Figure FSB0000200765860000058
Figure FSB0000200765860000059
则可快速求解得到φ1和ψ1的解析解：
Figure FSB0000200765860000061
cp0(k)、cp1(k)、cp2(k)为插值多项式的系数；用求得的φ1和ψ1代入式(5)，可得λ1的解析解：
Figure FSB0000200765860000062
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