CN112507465B - 基于阻力和升阻比的滑翔弹道随能量变化降阶解计算方法 - Google Patents

基于阻力和升阻比的滑翔弹道随能量变化降阶解计算方法 Download PDF

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CN112507465B CN202011532033.2A CN202011532033A CN112507465B CN 112507465 B CN112507465 B CN 112507465B CN 202011532033 A CN202011532033 A CN 202011532033A CN 112507465 B CN112507465 B CN 112507465B
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Abstract

本发明属于制导技术领域，涉及基于阻力和升阻比的滑翔弹道随能量变化降阶解计算方法。考虑基于阻力和升阻比的滑翔弹道随能量变化降阶解计算方法，包括以下步骤：建立滑翔飞行器的动力学模型；建立基于牛顿迭代法的滑翔飞行器的动力学模型的近似方程；求解一次近似方程的解析解。本方法建立了包含大范围横向运动的滑翔飞行器三维机动弹道一次近似方程，以阻力加速度和纵向升阻比为控制变量，利用了雅可比矩阵的稀疏特性，能够快速求解三维机动弹道一次近似方程的解析解，其求解精度和计算速度相对传统求解方法明显提高。

Description

基于阻力和升阻比的滑翔弹道随能量变化降阶解计算方法
技术领域
本发明属于制导技术领域，涉及基于阻力和升阻比的滑翔弹道随能量变化降阶解计算方法。
背景技术
高超滑翔飞行器具有大范围、三维机动的弹道特性，其弹道制导规划复杂、运算量大，传统求解微分方程的数值解算方法计算耗时长，难以满足在线弹道规划和制导快速解算要求。由于弹道规划需要执行大量的迭代运算，因此，解析解在在线弹道规划方面具有极大的价值，但是高超滑翔弹道动力学模型的非线性和耦合特性非常强，推导包含大范围横向运动的三维滑翔弹道的高精度解析解十分困难。现有技术中大多数滑翔弹道解析解是基于二维剖面规划的求解方法，无法实现滑翔飞行器三维机动弹道的快速高精度求解，因此，有必要研究一种计算精度高的适应大范围、三维机动的滑翔弹道降价解。
发明内容
本发明的目的在于提供一种基于阻力和纵向升阻比的滑翔弹道随速度变化降阶解，以阻力加速度和纵向升阻比为控制变量，可对大范围横向运动的三维滑翔弹道的高精度快速求解，实现了三维高超滑翔弹道快速制导解算和在线弹道规划的要求。
本发明采用的技术方案是：
基于阻力和升阻比的滑翔弹道随能量变化降阶解计算方法，包括以下步骤：
Step1：建立滑翔飞行器的动力学模型
定义：地心坐标系下的滑翔飞行器的初始经度、初始纬度和初始方位角分别λ0、φ0和α0；
偏置地心坐标系为将地心坐标系分别绕z、y、x轴旋转角度λ0、-φ0和α0得到的坐标系；
偏置地心坐标系下的滑翔飞行器的经度、纬度和航向角分别λ、φ和ψ；
考虑到滑翔飞行过程的飞行高度相对地球半径为小量，引入无量纲高度
Figure GSB0000200758600000011
其中
Figure GSB0000200758600000012
re＝Re+Hm，Hm为滑翔飞行器在滑翔飞行段的平均飞行高度，Re为地球半径，re为飞行器质心与地心的距离；设E0和Ef分别为飞行器在滑翔起点和终点处的能量；
建立以能量E为自变量的滑翔飞行器的动力学模型：
Figure GSB0000200758600000021
其中，AD为阻力加速度，LDy为纵向升阻比，LDz为横向升阻比，ωe为地球旋转角速度，μ为地球引力常数；
Figure GSB0000200758600000022
Cσ≈2vωe(sinφ-sinψtanθcosφ)
Cθ≈-2vωecosφcosψ
Step2：建立基于牛顿迭代法的滑翔飞行器的动力学模型的近似方程
令xE＝E，对式(1)进行变量替换，并改写为y′(xE)＝f(xE，y)，
其中，
Figure GSB0000200758600000023
记yi为y′(xE)＝f(xE，y)的第i次迭代值，设第i+1次迭代值为yi+1＝yi+δyi，将函数y′(xE)＝f(xE，y)构造为函数空间中的牛顿迭代式，即：
Figure GSB0000200758600000031
其中
Figure GSB0000200758600000032
xEini、
Figure GSB0000200758600000033
θini、φini、ψini、λini为相容初始条件；
已知第i次迭代值yi时，利用式(2)可求得第i+1步的解yi+1；
定义第N次利用式(2)形成的方程为式(1)的N次近似方程，其解记为N次近似解；定义
Figure GSB0000200758600000034
θ0，φ0，ψ0，λ0和
Figure GSB0000200758600000035
θ1，φ1，ψ1，λ1分别表示式(1)的零次近似解和一次近似解；
采用偏置地心系方程时，滑翔飞行器近似沿着偏置地心坐标系的赤道飞向目标，则滑翔飞行段具有φ≈0、θ≈0、ψ≈0、
Figure GSB0000200758600000036
的特点，取式(1)的零次近似解为：
Figure GSB0000200758600000037
将式(3)代入式(2)，得到滑翔飞行段的一次近似方程为：
Figure GSB0000200758600000038
其中
Figure GSB0000200758600000041
Figure GSB0000200758600000042
由式(4)可知，其雅可比矩阵具有分块稀疏特性，可先求解θ1和
Figure GSB0000200758600000043
以及φ1和ψ1，然后求解λ1；
由于φ1和ψ1为横向运动变量的解，
Figure GSB0000200758600000044
和θ1为纵向运动变量的解，φ1和ψ1对
Figure GSB0000200758600000045
和θ1不敏感，式(4)可进一步简化为：
Figure GSB0000200758600000046
Step3：求解一次近似方程的解析解
Step31：以阻力加速度和纵向升阻比为控制变量，求解λ0的解析解
令
Figure GSB0000200758600000047
其中，c0，c1，c2均为控制变量阻力加速度AD的设计参数；d0，d1，d2均为纵向升阻比LDy的设计参数；
定义滑翔飞行器的飞行高度为h，分别对气动阻力加速度和速度求关于能量的一阶导数得：
Figure GSB0000200758600000048
整理得：
Figure GSB0000200758600000049
CD为滑翔飞行器的阻力系数；
忽略阻力系数导数的影响，则可求出滑翔飞行器的近似高度：
Figure GSB0000200758600000051
利用气动力系数表或插值函数反求得参考攻角α*＝CD -1(v，h*，CD)，即可求得横向升阻比：
Figure GSB0000200758600000052
其中，
Figure GSB0000200758600000053
CL＝CL(v，h*，α*)
Figure GSB0000200758600000054
Figure GSB0000200758600000055
m，Sref分别为滑翔飞行器的质量和参考面积，ρ(h*)为参考高度h*对应的大气密度；CL为滑翔飞行器的升力系数，hs为大气密度函数的指数公式的系数；
式(6)代入式(3)，并从E0积到E，可得
Figure GSB0000200758600000056
Step32：求解φ1，ψ1，λ1的解析解
联立式(5)的前两式，可得
Figure GSB0000200758600000057
令
Figure GSB0000200758600000058
将式(7)左乘M(E，E0)整理后，逆向应用微分的乘法法则，再积分，整理得：
Figure GSB0000200758600000061
利用M(E，E0)求解其逆矩阵[M(E，E0)]-1，带入式(8)，令
Figure GSB0000200758600000062
整理可得φ1和ψ1的解析式：
Figure GSB0000200758600000063
利用n次Legendre的根为采样节点的拉格朗日插值多项式在区间[Ef，E0]段上近似λ(E，E0)、cos(λ(xE，E0))m3(xE)、sin(λ(xE，E0))m3(xE)，可得：
Figure GSB0000200758600000064
Figure GSB0000200758600000065
Figure GSB0000200758600000066
则可快速求解得到φ1和ψ1的解析解：
Figure GSB0000200758600000067
cp0(k)、cp1(k)、cp2(k)为插值多项式的系数；用求得的φ1和ψ1代入式(5)，可得λ1的解析解：
Figure GSB0000200758600000068
本发明的有益效果：
本发明建立了包含大范围横向运动的滑翔飞行器三维机动弹道一次近似方程，以阻力加速度和纵向升阻比为控制变量，利用了雅可比矩阵的稀疏特性，能够快速求解三维机动弹道一次近似方程的解析解，其求解精度和计算速度相对传统求解方法明显提高。本发明应用于三维滑翔弹道制导计算，相对传统的数值解算方法，可得到更好制导性能的简化模型，并利于得到快速求解的解析式，计算结果误差小，可满足三维高超滑翔弹道快速精确制导解算和在线弹道规划的要求。
附图说明
无。
具体实施方式
下面结合具体实施例对本发明的技术方案作进一步具体的说明。
基于阻力和升阻比的滑翔弹道随能量变化降阶解计算方法，包括以下步骤：
Step1：建立滑翔飞行器的动力学模型
定义：地心坐标系下的滑翔飞行器的初始经度、初始纬度和初始方位角分别λ0、φ0和α0；
偏置地心坐标系为将地心坐标系分别绕z、y、x轴旋转角度λ0、-φ0和α0得到的坐标系；
偏置地心坐标系下的滑翔飞行器的经度、纬度和航向角分别λ、φ和ψ；
考虑到滑翔飞行过程的飞行高度相对地球半径为小量，引入无量纲高度
Figure GSB0000200758600000071
其中
Figure GSB0000200758600000072
re＝Re+Hm，Hm为滑翔飞行器在滑翔飞行段的平均飞行高度，Re为地球半径，re为飞行器质心与地心的距离；设E0和Ef分别为飞行器在滑翔起点和终点处的能量；
建立以能量E为自变量的滑翔飞行器的动力学模型：
Figure GSB0000200758600000081
其中，AD为阻力加速度，LDy为纵向升阻比，LDz为横向升阻比，ωe为地球旋转角速度，μ为地球引力常数；
Figure GSB0000200758600000082
Cσ≈2vωe(sinφ-sinψtanθcosφ)
Cθ≈-2vωecosφcosψ
Step2：建立基于牛顿迭代法的滑翔飞行器的动力学模型的近似方程
令xE＝E，对式(1)进行变量替换，并改写为y′(xE)＝f(xE，y)，
其中，
Figure GSB0000200758600000083
记yi为y′(xE)＝f(xE，y)的第i次迭代值，设第i+1次迭代值为yi+1＝yi+δyi，将函数y′(xE)＝f(xE，y)构造为函数空间中的牛顿迭代式，即：
Figure GSB0000200758600000091
其中
Figure GSB0000200758600000092
xEini、
Figure GSB0000200758600000093
θini、φini、ψini、λini为相容初始条件；
为提高计算的精度，又具有使方程解耦的分块稀疏特性的雅可比矩阵，在计算雅可比矩阵所用的Cθ、Cσ表达式中，保留了ωe的一次项；已知第i次迭代值yi时，利用式(2)可求得第i+1步的解yi+1；
定义第N次利用式(2)形成的方程为式(1)的N次近似方程，其解记为N次近似解；定义
Figure GSB0000200758600000094
θ0，φ0，ψ0，λ0和
Figure GSB0000200758600000095
θ1，φ1，ψ1，λ1分别表示式(1)的零次近似解和一次近似解；
采用偏置地心系方程时，滑翔飞行器近似沿着偏置地心坐标系的赤道飞向目标，则滑翔飞行段具有φ≈0、θ≈0、ψ≈0、
Figure GSB0000200758600000096
的特点，取式(1)的零次近似解为：
Figure GSB0000200758600000097
将式(3)代入式(2)，得到滑翔飞行段的一次近似方程为：
Figure GSB0000200758600000098
其中
Figure GSB0000200758600000101
Figure GSB0000200758600000102
式(4)保留了式(1)的基本特性，并包含地球自转速率的一次项，因此一次近似解相对零次近似解在精度上有明显改善，将它用于制导计算，将得到更好的制导性能。如果需要，可以多次利用方程(2)得到更高精度的解。
由式(4)可知，其雅可比矩阵具有分块稀疏特性，可先求解θ1和
Figure GSB0000200758600000103
以及φ1和ψ1，然后求解λ1；
由于φ1和ψ1为横向运动变量的解，
Figure GSB0000200758600000104
和θ1为纵向运动变量的解，φ1和ψ1对
Figure GSB0000200758600000105
和θ1不敏感，式(4)可进一步简化为：
Figure GSB0000200758600000106
Step3：求解一次近似方程的解析解
Step31：以阻力加速度和纵向升阻比为控制变量，求解λ0的解析解
令
Figure GSB0000200758600000107
其中，c0，c1，c2均为控制变量阻力加速度AD的设计参数；d0，d1，d2均为纵向升阻比LDy的设计参数；
定义滑翔飞行器的飞行高度为h，分别对气动阻力加速度和速度求关于能量的一阶导数得：
Figure GSB0000200758600000108
整理得：
Figure GSB0000200758600000111
CD为滑翔飞行器的阻力系数；
忽略阻力系数导数的影响，则可求出滑翔飞行器的近似高度：
Figure GSB0000200758600000112
利用气动力系数表或插值函数反求得参考攻角α*＝CD -1(v，h*，CD)，即可求得横向升阻比：
Figure GSB0000200758600000113
其中，
Figure GSB0000200758600000114
CL＝CL(v，h*，α*)
Figure GSB0000200758600000115
Figure GSB0000200758600000116
m，Sref分别为滑翔飞行器的质量和参考面积，p(h*)为参考高度h*对应的大气密度；CL为滑翔飞行器的升力系数，hs为大气密度函数的指数公式的系数；
式(6)代入式(3)，并从E0积到E，可得
Figure GSB0000200758600000117
Step32：求解φ1，ψ1，λ1的解析解
联立式(5)的前两式，可得
Figure GSB0000200758600000118
令
Figure GSB0000200758600000121
将式(7)左乘M(E，E0)整理后，逆向应用微分的乘法法则，再积分，整理得：
Figure GSB0000200758600000122
利用M(E，E0)求解其逆矩阵[M(E，E0)]-1，带入式(8)，令
Figure GSB0000200758600000123
整理可得φ1和ψ1的解析式：
Figure GSB0000200758600000124
利用10次Legendre的根为采样节点的拉格朗日插值多项式在区间[Ef，E0]段上近似λ(E，E0)、cos(λ(xE，E0))m3(xE)、sin(λ(xE，E0))m3(xE)，可得：
Figure GSB0000200758600000125
Figure GSB0000200758600000126
Figure GSB0000200758600000127
则可快速求解得到φ1和ψ1的解析解：
Figure GSB0000200758600000128
cp0(k)、cp1(k)、cp2(k)为插值多项式的系数；用求得的φ1和ψ1代入式(5)，可得λ1的解析解：
Figure GSB0000200758600000129
以上关于本发明的具体描述，仅用于说明本发明而非受限于本发明实施例所描述的技术方案，本领域的普通技术人员应当理解，仍然可以对本发明进行修改或等同替换，以达到相同的技术效果；只要满足使用需要，都在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.基于阻力和升阻比的滑翔弹道随能量变化降阶解计算方法，其特征在于：
包括以下步骤：
Step1：建立滑翔飞行器的动力学模型
定义：地心坐标系下的滑翔飞行器的初始经度、初始纬度和初始方位角分别λ0、φ0和α0；
偏置地心坐标系为将地心坐标系分别绕z、y、x轴旋转角度λ0、-φ0和α0得到的坐标系；
偏置地心坐标系下的滑翔飞行器的经度、纬度和航向角分别λ、φ和ψ；
考虑到滑翔飞行过程的飞行高度相对地球半径为小量，引入无量纲高度
Figure FSB0000200758590000011
其中
Figure FSB0000200758590000012
re＝Re+Hm，Hm为滑翔飞行器在滑翔飞行段的平均飞行高度，Re为地球半径，re为飞行器质心与地心的距离；设E0和Ef分别为飞行器在滑翔起点和终点处的能量；
建立以能量E为自变量的滑翔飞行器的动力学模型：
Figure FSB0000200758590000013
Figure FSB0000200758590000014
Figure FSB0000200758590000015
Figure FSB0000200758590000016
Figure FSB0000200758590000017
Figure FSB0000200758590000018
其中，AD为阻力加速度，LDy为纵向升阻比，LDz为横向升阻比，ωe为地球旋转角速度，μ为地球引力常数；
Figure FSB0000200758590000019
Cσ≈2vωe(sinφ-sinψtanθcosφ)
Cθ≈-2vωecosφcosψ
Step2：建立基于牛顿迭代法的滑翔飞行器的动力学模型的近似方程
令xE＝E，对式(1)进行变量替换，并改写为y′(xE)＝f(xE，y)，
其中，
Figure FSB0000200758590000021
记yi为y′(xE)＝f(xE，y)的第i次迭代值，设第i+1次迭代值为yi+1＝yi+δyi，将函数y′(xE)＝f(xE，y)构造为函数空间中的牛顿迭代式，即：
Figure FSB0000200758590000022
yi+1(xEini)＝yini
其中
Figure FSB0000200758590000023
xEini、
Figure FSB0000200758590000024
θini、φini、ψini、λini为相容初始条件；
已知第i次迭代值yi时，利用式(2)可求得第i+1步的解yi+1；
定义第N次利用式(2)形成的方程为式(1)的N次近似方程，其解记为N次近似解；定义
Figure FSB0000200758590000025
θ0，φ0，ψ0，λ0和
Figure FSB0000200758590000026
θ1，φ1，ψ1，λ1分别表示式(1)的零次近似解和一次近似解；
采用偏置地心系方程时，滑翔飞行器近似沿着偏置地心坐标系的赤道飞向目标，则滑翔飞行段具有φ≈0、θ≈0、ψ≈0、
Figure FSB0000200758590000027
的特点，取式(1)的零次近似解为：
Figure FSB0000200758590000031
θ0＝0
φ0＝0 (3)
ψ0＝0
Figure FSB0000200758590000032
将式(3)代入式(2)，得到滑翔飞行段的一次近似方程为：
Figure FSB0000200758590000033
Figure FSB0000200758590000034
Figure FSB0000200758590000035
其中
Figure FSB0000200758590000036
Figure FSB0000200758590000037
由式(4)可知，其雅可比矩阵具有分块稀疏特性，可先求解θ1和
Figure FSB0000200758590000038
以及φ1和ψ1，然后求解λ1；
由于φ1和ψ1为横向运动变量的解，
Figure FSB0000200758590000039
和θ1为纵向运动变量的解，φ1和ψ1对
Figure FSB00002007585900000310
和θ1不敏感，式(4)可进一步简化为：
Figure FSB00002007585900000311
Figure FSB00002007585900000312
Figure FSB00002007585900000313
Step3：求解一次近似方程的解析解
Step31：以阻力加速度和纵向升阻比为控制变量，求解λ0的解析解
令
Figure FSB0000200758590000041
LDy＝d2E2+d1E+d0
其中，c0，c1，c2均为控制变量阻力加速度AD的设计参数；d0，d1，d2均为纵向升阻比LDy的设计参数；
定义滑翔飞行器的飞行高度为h，分别对气动阻力加速度和速度求关于能量的一阶导数得：
Figure FSB0000200758590000042
整理得：
Figure FSB0000200758590000043
CD为滑翔飞行器的阻力系数；
忽略阻力系数导数的影响，则可求出滑翔飞行器的近似高度：
Figure FSB0000200758590000044
利用气动力系数表或插值函数反求得参考攻角α*＝CD -1(v，h*，CD)，即可求得横向升阻比：
Figure FSB0000200758590000045
其中，
Figure FSB0000200758590000046
CL＝CL(v，h*，α*)
Figure FSB0000200758590000047
Figure FSB0000200758590000048
m，Sref分别为滑翔飞行器的质量和参考面积，ρ(h*)为参考高度h*对应的大气密度；CL为滑翔飞行器的升力系数，hs为大气密度函数的指数公式的系数；
式(6)代入式(3)，并从E0积到E，可得
Figure FSB0000200758590000051
Step32：求解φ1，ψ1，λ1的解析解
联立式(5)的前两式，可得
Figure FSB0000200758590000052
令
Figure FSB0000200758590000053
将式(7)左乘M(E，E0)整理后，逆向应用微分的乘法法则，再积分，整理得：
Figure FSB0000200758590000054
利用M(E，E0)求解其逆矩阵[M(E，E0)]-1，带入式(8)，令
Figure FSB0000200758590000055
整理可得φ1和ψ1的解析式：
Figure FSB0000200758590000056
利用n次Legendre的根为采样节点的拉格朗日插值多项式在区间[Ef，E0]段上近似λ(E，E0)、cos(λ(xE，E0))m3(xE)、sin(λ(xE，E0))m3(xE)，可得：
Figure FSB0000200758590000057
Figure FSB0000200758590000058
Figure FSB0000200758590000059
则可快速求解得到φ1和ψ1的解析解：
Figure FSB0000200758590000061
cp0(k)、cp1(k)、cp2(k)为插值多项式的系数；用求得的φ1和ψ1代入式(5)，可得λ1的解析解：
Figure FSB0000200758590000062
。
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助推-滑翔弹道高精度滑翔射程解析估算方法;王洁瑶等;《宇航学报》;20160530(第05期);全文 *

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