CN112861251B - 考虑地球自转速率的滑翔弹道随速度变化降阶解计算方法 - Google Patents

考虑地球自转速率的滑翔弹道随速度变化降阶解计算方法 Download PDF

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CN112861251B CN202011532178.2A CN202011532178A CN112861251B CN 112861251 B CN112861251 B CN 112861251B CN 202011532178 A CN202011532178 A CN 202011532178A CN 112861251 B CN112861251 B CN 112861251B
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Abstract

本发明属于制导技术领域，涉及考虑地球自转速率的滑翔弹道随速度变化降阶解计算方法。其技术方案是考虑地球自转速率的滑翔弹道随速度变化降阶解计算方法，包括以下步骤：建立滑翔飞行器的动力学模型；建立基于牛顿迭代法的滑翔飞行器的动力学模型的近似方程；求解一次近似方程的解析解。本方法建立了包含地球自转速率的滑翔飞行器一次近似方程，以阻力加速度和横向升阻比为控制变量，利用了雅可比矩阵的稀疏特性，能够快速求解一次近似方程的解析解，其求解精度相对传统求解方法明显提高。

Description

考虑地球自转速率的滑翔弹道随速度变化降阶解计算方法
技术领域
本发明属于制导技术领域，涉及考虑地球自转速率的滑翔弹道随速度变化降阶解计算方法。
背景技术
高超滑翔飞行器具有大范围、三维机动的弹道特性，其弹道制导规划复杂、运算量大，传统求解微分方程的数值解算方法计算耗时长，难以满足在线弹道规划和制导快速解算要求。由于弹道规划需要执行大量的迭代运算，因此，解析解在在线弹道规划方面具有极大的价值，但是高超滑翔弹道动力学模型的非线性和耦合特性非常强，推导高精度的解析解十分困难。现有技术中大多数滑翔弹道解析解由于模型简化和忽略地球自转影响等因素，导致其计算效率和精度等方面存在一定的局限性，因此，有必要研究一种提高滑翔弹道计算精度的降价解。
发明内容
本发明的目的在于提供一种考虑地球自转速率的滑翔弹道随速度变化降阶解计算方法，以阻力加速度和横向升阻比为控制变量，实现高超滑翔弹道快速制导解算和在线弹道规划的要求。
本发明采用的技术方案是：考虑地球自转速率的滑翔弹道随速度变化降阶解计算方法，其特征是包括以下步骤：
Step1：建立滑翔飞行器的动力学模型
定义：地心坐标系下的滑翔飞行器的初始经度、初始纬度和初始方位角分别λ0、φ0和α0；
偏置地心坐标系为将地心坐标系分别绕z、y、x轴旋转角度λ0、-φ0和α0得到的坐标系；
偏置地心坐标系下的滑翔飞行器的经度、纬度和航向角分别λ、φ和ψ；
考虑到滑翔飞行过程的飞行高度相对地球半径为小量，引入无量纲高度
Figure GSB0000200765320000011
其中
Figure GSB0000200765320000012
re＝Re+Hm，Hm为滑翔飞行器在滑翔飞行段的平均飞行高度，Re为地球半径，re为飞行器质心与地心的距离；v0和vf分别为飞行器在滑翔起点和终点处的速度；
建立以速度v为自变量的滑翔飞行器的动力学模型：
Figure GSB0000200765320000021
其中，AD为阻力加速度，LDy为纵向升阻比，LDz为横向升阻比，ωe为地球旋转角速度，μ为地球引力常数；
Figure GSB0000200765320000022
Cσ≈2vωe cosλ(cosθsinφ0-sinα0sinθcosφ0)+2vωe sinλ(sinα0cosθcosφ0+sinθsinφ0)
Cθ≈2vωe cosφ0cosα0
Step2：建立基于牛顿迭代法的滑翔飞行器的动力学模型的近似方程
令xv＝v，对式(1)进行变量替换，并改写为y′(xv)＝f(xv，y)，
其中，
Figure GSB0000200765320000023
记yi为y′(xv)＝f(xv，y)的第i次迭代值，设第i+1次迭代值为yi+1＝yi+δyi，将函数y′(xv)＝f(xv，y)构造为函数空间中的牛顿迭代式，即：
Figure GSB0000200765320000024
其中
Figure GSB0000200765320000031
xvini、
Figure GSB0000200765320000032
θini、φini、ψini、λini为相容初始条件；
为提高计算的精度，又具有使方程解耦的分块稀疏特性的雅可比矩阵，在计算雅可比矩阵所用的Cθ、Cσ表达式中，保留了ωe的一次项；已知第i次迭代值yi时，利用式(2)可求得第i+1步的解yi+1；
定义第N次利用式(2)形成的方程为式(1)的N次近似方程，其解记为N次近似解；定义
Figure GSB0000200765320000033
θ0，φ0，ψ0，λ0和
Figure GSB0000200765320000034
θ1，φ1，ψ1，λ1分别表示定义式(1)零次近似解和一次近似解；
采用偏置地心系方程时，滑翔飞行器近似沿着偏置地心坐标系的赤道飞向目标，则滑翔飞行段具有φ≈0、θ≈0、ψ≈0、
Figure GSB0000200765320000035
的特点，取式(1)的零次近似解为：
Figure GSB0000200765320000036
将式(3)代入式(2)，得到滑翔飞行段的一次近似方程为：
Figure GSB0000200765320000037
其中
Figure GSB0000200765320000041
Figure GSB0000200765320000042
式(4)保留了式(1)的基本特性，并包含地球自转速率的一次项，因此一次近似解相对零次近似解在精度上有明显改善，将它用于制导计算，将得到更好的制导性能。如果需要，可以多次利用方程(2)得到更高精度的解。
由式(4)可知，其雅可比矩阵具有分块稀疏特性，可先求解θ1和
Figure GSB0000200765320000043
以及φ1和ψ1，然后求解λ1；
由于φ1和ψ1为横向运动变量的解，
Figure GSB0000200765320000044
和θ1为纵向运动变量的解，φ1和ψ1对
Figure GSB0000200765320000045
和φ1不敏感，式(4)可进一步简化为：
Figure GSB0000200765320000046
Step3：求解一次近似方程的解析解
Step31：以阻力加速度和横向升阻比为控制变量，求解λ0的解析解
令
Figure GSB0000200765320000047
其中，c0，c1，c2均为控制变量阻力加速度AD的设计参数；d0，d1，d2均为横向升阻比LDz的设计参数；
式(6)代入式(3)，并从v0积到v，可得
Figure GSB0000200765320000048
Step32：求解φ1，ψ1，λ1的解析解
联立式(5)的前两式，可得
Figure GSB0000200765320000051
令
Figure GSB0000200765320000052
将式(7)左乘M(v，v0)整理后，逆向应用微分的乘法法则，再积分，整理得：
Figure GSB0000200765320000053
利用M(v，v0)求解其逆矩阵[M(v，v0)]-1，代入式(8)，令
Figure GSB0000200765320000054
整理可得φ1和ψ1的解析式：
Figure GSB0000200765320000055
利用n次Legendre的根为采样节点的拉格朗日插值多项式在区间[vf，v0]段上近似λ(v，v0)、cos(λ(xv，v0))m3(xv)、sin(λ(xv，v0))m3(xv)，可得：
Figure GSB0000200765320000056
Figure GSB0000200765320000057
Figure GSB0000200765320000058
则可快速求解得到φ1和ψ1的解析解：
Figure GSB0000200765320000059
cp0(k)、cp1(k)、cp2(k)为插值多项式的系数；用求得的φ1和ψ1代入式(5)，可得λ1的解析解：
Figure GSB0000200765320000061
本发明的有益效果：
本发明建立了包含地球自转速率的滑翔飞行器一次近似方程，以阻力加速度和横向升阻比为控制变量，利用了雅可比矩阵的稀疏特性，能够快速求解一次近似方程的解析解，其求解精度相对传统求解方法明显提高；本发明应用于制导计算，相对传统的数值解算方法，可得到更好制导性能的简化模型，并利于得到快速求解的解析式，计算结果误差小，可满足高超滑翔弹道快速精确制导解算和在线弹道规划的要求。
附图说明
无。
具体实施方式
下面结合具体实施例对本发明的技术方案作进一步具体的说明。
考虑地球自转速率的滑翔弹道随速度变化降阶解计算方法，其特征是包括以下步骤：
Step1：建立滑翔飞行器的动力学模型
定义：地心坐标系下的滑翔飞行器的初始经度、初始纬度和初始方位角分别λ0、φ0和α0；
偏置地心坐标系为将地心坐标系分别绕z、y、x轴旋转角度λ0、-φ0和α0得到的坐标系；
偏置地心坐标系下的滑翔飞行器的经度、纬度和航向角分别λ、φ和ψ；
考虑到滑翔飞行过程的飞行高度相对地球半径为小量，引入无量纲高度
Figure GSB0000200765320000062
其中
Figure GSB0000200765320000063
re＝Re+Hm，Hm为滑翔飞行器在滑翔飞行段的平均飞行高度，Re为地球半径，re为飞行器质心与地心的距离；v0和vf分别为飞行器在滑翔起点和终点处的速度；
建立以速度v为自变量的滑翔飞行器的动力学模型：
Figure GSB0000200765320000071
其中，AD为阻力加速度，LDy为纵向升阻比，LDz为横向升阻比，ωe为地球旋转角速度，μ为地球引力常数；
Figure GSB0000200765320000072
Cσ≈2vωecosλ(cosθsinφ0-sinα0sinθcosφ0)+2vωe sinλ(sinα0cosθcosφ0+sinθsinφ0)
Cθ≈2vωecosφ0cosα0
Step2：建立基于牛顿迭代法的滑翔飞行器的动力学模型的近似方程
令xv＝v，对式(1)进行变量替换，并改写为y′(xv)＝f(xv，y)，
其中，
Figure GSB0000200765320000073
记yi为y′(xv)＝f(xv，y)的第i次迭代值，设第i+1次迭代值为yi+1＝yi+δyi，将函数y′(xv)＝f(xv，y)构造为函数空间中的牛顿迭代式，即：
Figure GSB0000200765320000074
其中
Figure GSB0000200765320000081
xvini、
Figure GSB0000200765320000082
θini、φini、ψini、λini为相容初始条件；
已知第i次迭代值yi时，利用式(2)可求得第i+1步的解yi+1；
定义第N次利用式(2)形成的方程为式(1)的N次近似方程，其解记为N次近似解；定义
Figure GSB0000200765320000083
θ0，φ0，ψ0，λ0和
Figure GSB0000200765320000084
θ1，φ1，ψ1，λ1分别表示定义式(1)零次近似解和一次近似解；
采用偏置地心系方程时，滑翔飞行器近似沿着偏置地心坐标系的赤道飞向目标，则滑翔飞行段具有φ≈0、θ≈0、ψ≈0、
Figure GSB0000200765320000085
的特点，取式(1)的零次近似解为：
Figure GSB0000200765320000086
将式(3)代入式(2)，得到滑翔飞行段的一次近似方程为：
Figure GSB0000200765320000087
其中
Figure GSB0000200765320000088
Figure GSB0000200765320000089
由式(4)可知，其雅可比矩阵具有分块稀疏特性，可先求解θ1和
Figure GSB0000200765320000091
以及φ1和ψ1，然后求解λ1；
由于φ1和ψ1为横向运动变量的解，
Figure GSB0000200765320000092
和θ1为纵向运动变量的解，φ1和ψ1对
Figure GSB0000200765320000093
和θ1不敏感，式(4)可进一步简化为：
Figure GSB0000200765320000094
Step3：求解一次近似方程的解析解
Step31：以阻力加速度和横向升阻比为控制变量，求解λ0的解析解
令
Figure GSB0000200765320000095
其中，c0，c1，c2均为控制变量阻力加速度AD的设计参数；d0，d1，d2均为横向升阻比LDz的设计参数；
式(6)代入式(3)，并从v0积到v，可得
Figure GSB0000200765320000096
Step32：求解φ1，ψ1，λ1的解析解
联立式(5)的前两式，可得
Figure GSB0000200765320000097
令
Figure GSB0000200765320000098
将式(7)左乘M(v，v0)整理后，逆向应用微分的乘法法则，再积分，整理得：
Figure GSB0000200765320000101
利用M(v，v0)求解其逆矩阵[M(v，v0)]-1，代入式(8)，令
Figure GSB0000200765320000102
整理可得φ1和ψ1的解析式：
Figure GSB0000200765320000103
利用10次Legendre的根为采样节点的拉格朗日插值多项式在区间[vf，v0]段上近似λ(v，v0)、cos(λ(xv，v0))m3(xv)、sin(λ(xv，v0))m3(xv)，可得：
Figure GSB0000200765320000104
Figure GSB0000200765320000105
Figure GSB0000200765320000106
则可快速求解得到φ1和ψ1的解析解：
Figure GSB0000200765320000107
cp0(k)、cp1(k)、cp2(k)为插值多项式的系数；用求得的φ1和ψ1代入式(5)，可得λ1的解析解：
Figure GSB0000200765320000108
以上关于本发明的具体描述，仅用于说明本发明而非受限于本发明实施例所描述的技术方案，本领域的普通技术人员应当理解，仍然可以对本发明进行修改或等同替换，以达到相同的技术效果；只要满足使用需要，都在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.考虑地球自转速率的滑翔弹道随速度变化降阶解计算方法，其特征在于包括以下步骤：
Step1：建立滑翔飞行器的动力学模型
定义：地心坐标系下的滑翔飞行器的初始经度、初始纬度和初始方位角分别λ0、φ0和α0；
偏置地心坐标系为将地心坐标系分别绕z、y、x轴旋转角度λ0、-φ0和α0得到的坐标系；
偏置地心坐标系下的滑翔飞行器的经度、纬度和航向角分别λ、φ和ψ；
考虑到滑翔飞行过程的飞行高度相对地球半径为小量，引入无量纲高度
Figure FSB0000200765310000011
其中
Figure FSB0000200765310000012
re＝Re+Hm，Hm为滑翔飞行器在滑翔飞行段的平均飞行高度，Re为地球半径，re为飞行器质心与地心的距离；v0和vf分别为飞行器在滑翔起点和终点处的速度；
建立以速度v为自变量的滑翔飞行器的动力学模型：
Figure FSB0000200765310000013
Figure FSB0000200765310000014
Figure FSB0000200765310000015
Figure FSB0000200765310000016
Figure FSB0000200765310000017
其中，AD为阻力加速度，LDy为纵向升阻比，LDz为横向升阻比，ωe为地球旋转角速度，μ为地球引力常数；
Figure FSB0000200765310000018
Cσ≈2vωecosλ(cosθsinφ0-sinα0sinθcosφ0)+2vωesinλ(sinα0cosθcosφ0+sinθsinφ0)
Cθ≈2vωecosφ0cosα0
Step2：建立基于牛顿迭代法的滑翔飞行器的动力学模型的近似方程
令xv＝v，对式(1)进行变量替换，并改写为y′(xv)＝f(xv，y)，
其中，
Figure FSB0000200765310000021
记yi为y′(xv)＝f(xv，y)的第i次迭代值，设第i+1次迭代值为yi+1＝yi+δyi，将函数y′(xv)＝f(xv，y)构造为函数空间中的牛顿迭代式，即：
Figure FSB0000200765310000022
yi+1(vini)＝yini
其中
Figure FSB0000200765310000023
xvini、
Figure FSB0000200765310000024
θini、φini、ψini、λini为相容初始条件；
已知第i次迭代值yi时，利用式(2)可求得第i+1步的解yi+1；
定义第N次利用式(2)形成的方程为式(1)的N次近似方程，其解记为N次近似解；定义
Figure FSB0000200765310000025
θ0，φ0，ψ0，λ0和
Figure FSB0000200765310000026
θ1，φ1，ψ1，λ1分别表示定义式(1)零次近似解和一次近似解；
采用偏置地心系方程时，滑翔飞行器近似沿着偏置地心坐标系的赤道飞向目标，则滑翔飞行段具有φ≈0、θ≈0、ψ≈0、
Figure FSB0000200765310000027
的特点，取式(1)的零次近似解为：
Figure FSB0000200765310000028
θ0(v)＝0
φ0(v)＝0 (3)
ψ0(v)＝0
Figure FSB0000200765310000029
将式(3)代入式(2)，得到滑翔飞行段的一次近似方程为：
Figure FSB0000200765310000031
Figure FSB0000200765310000032
Figure FSB0000200765310000033
Figure FSB0000200765310000034
Figure FSB0000200765310000035
其中
Figure FSB0000200765310000036
Figure FSB0000200765310000037
由式(4)可知，其雅可比矩阵具有分块稀疏特性，可先求解θ1和
Figure FSB0000200765310000038
以及φ1和ψ1，然后求解λ1；由于φ1和ψ1为横向运动变量的解，
Figure FSB0000200765310000039
和θ1为纵向运动变量的解，φ1和ψ1对
Figure FSB00002007653100000310
和θ1不敏感，式(4)可进一步简化为：
Figure FSB00002007653100000311
Figure FSB00002007653100000312
Figure FSB00002007653100000313
Step3：求解一次近似方程的解析解
Step31：以阻力加速度和横向升阻比为控制变量，求解λ0的解析解
令
Figure FSB00002007653100000314
LDz＝d2v2+d1v+d0
其中，c0，c1，c2均为控制变量阻力加速度AD的设计参数；d0，d1，d2均为横向升阻比LDz的设计参数；
式(6)代入式(3)，并从v0积到v，可得
Figure FSB0000200765310000041
Step32：求解φ1，ψ1，λ1的解析解
联立式(5)的前两式，可得
Figure FSB0000200765310000042
令
Figure FSB0000200765310000043
将式(7)左乘M(v，v0)整理后，逆向应用微分的乘法法则，再积分，整理得：
Figure FSB0000200765310000044
利用M(v，v0)求解其逆矩阵[M(v，v0)]-1，代入式(8)，令
Figure FSB0000200765310000045
整理可得φ1和ψ1的解析式：
Figure FSB0000200765310000046
利用n次Legendre的根为采样节点的拉格朗日插值多项式在区间[vf，v0]段上近似λ(v，v0)、cos(λ(xv，v0))m3(xv)、sin(λ(xv，v0))m3(xv)，可得：
Figure FSB0000200765310000047
Figure FSB0000200765310000048
Figure FSB0000200765310000049
则可快速求解得到φ1和ψ1的解析解：
Figure FSB0000200765310000051
cp0(k)、cp1(k)、cp2(k)为插值多项式的系数；用求得的φ1和ψ1代入式(5)，可得λ1的解析解：
Figure FSB0000200765310000052
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