CN112506139A - 一种五轴短直线段轨迹的局部拐角光顺方法 - Google Patents

一种五轴短直线段轨迹的局部拐角光顺方法 Download PDF

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CN112506139A CN202011321839.7A CN202011321839A CN112506139A CN 112506139 A CN112506139 A CN 112506139A CN 202011321839 A CN202011321839 A CN 202011321839A CN 112506139 A CN112506139 A CN 112506139A
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Abstract

本发明涉及一种五轴短直线段轨迹的局部拐角光顺方法，属于数控系统插补器设计领域。首先生成一条针对刀尖的运动轨迹与一条针对刀轴上一点的运动轨迹，且刀轴上该点距离刀尖的长度保持不变；再根据对称样条的性质及最大误差限制，计算获得对称PH样条的控制多变形在拐角两端最末端的4个控制点；之后针对样条的重叠情况，调整相邻的控制点间的距离，同时调整控制点对相应拐角顶点的距离；调整后针对样条控制点实际的情况将刀尖与刀轴轨迹上相应的控制点按照相同比例进行调整；最后生成非对称PH光顺曲线，针对不相连的PH曲线，采用PH直线样条进行相连。本发明提高五轴短直线段轨迹的加工效率。

Description

一种五轴短直线段轨迹的局部拐角光顺方法
技术领域
本发明属于数控系统插补器设计领域，涉及一种五轴数控机床刀具轨迹的拐角光顺方法，特别涉及一种基于非对称PH曲线的针对数控机床五轴短直线段轨迹的三阶 连续局部拐角光顺方法。
背景技术
文献1“J.Huang,X.Du,L.-M.Zhu,Real-time local smoothing for five-axislinear toolpath considering smoothing error constraints,International Journalof Machine Tools and Manufacture 124(2018)67-79.”公开了一种基于B样条的五轴刀具轨迹拐角光顺方 法。其采用三次B样条对五轴刀具轨迹在工件坐标系中进行光顺，并通过将相邻B样条 曲线间的直线段也转化为B样条实现刀轴与刀尖的参数同步，实现了五轴刀具轨迹长 直线段的高效加工。但针对短直线段时，由于光顺样条的对称性以及直线B样条的存 在导致光顺的样条曲线曲率升高，降低了加工效率。
文献2“Q.Hu,Y.Chen,X.Jin,J.Yang,A real-time C3 continuous tool pathsmoothing and interpolation algorithm for five-axis machine tools,Transactionof ASME- Journal of Manufacturing Science and Engineering 142(2020)041002.”公开了一种基于 PH曲线的三阶连续的五轴刀具轨迹拐角光顺方法。其通过PH曲线获得了样条弧长的解 析解，实现了实时高效的插补计算。但同样由于在构建光顺样条的同时需要在样条中 间预留一定长度的直线路径来满足参数同步的需要，导致其在针对短直线段加工时效 率明显降低。
以上文献的典型特点是：由于相邻光顺曲线间的直线样条的存在使其均无法通过光顺来实现五轴短直线段轨迹的高效率加工。
发明内容
要解决的技术问题
为了提高五轴短直线段拐角光顺轨迹的加工效率，本发明针对短直线段轨迹提供了一种基于非对称PH曲线的三阶连续的实时拐角光顺方法。本方法通过PH曲线实现 样条弧长插补的高效计算，同时非对称样条可以保证相邻样条根据短直线段的具体路 径进行直接相连而不需要额外的直线部分进行参数同步。本方法首先生成一条针对刀 尖的运动轨迹与一条针对刀轴上一点的运动轨迹，且刀轴上该点距离刀尖的长度保持 不变；再根据对称样条的性质及最大误差限制，计算获得对称PH样条的控制多变形 在拐角两端最末端的4个控制点；之后针对样条的重叠情况，调整相邻的控制点间的 距离，同时调整控制点对相应拐角顶点的距离；调整后针对样条控制点实际的情况将 刀尖与刀轴轨迹上相应的控制点按照相同比例进行调整；最后生成非对称PH光顺曲 线，针对不相连的PH曲线，采用PH直线样条进行相连。本发明根据需要光顺的刀具 路径的具体情况，通过用两段或三段相连的PH样条替换原始每段的直线路径，可以 实现光顺曲线最大曲率的降低，从而提高五轴短直线段轨迹的加工效率。
技术方案
一种基于非对称PH曲线的五轴短直线段轨迹的三阶连续的局部拐角光顺方法，其特点是包括以下步骤：
步骤1、根据需要加工的自由曲线轨迹获得在工件坐标系下需要光顺的刀尖与刀轴轨迹：
Fi＝Pi+H×Oi
Pi为线性刀尖轨迹拐角处的顶点，Oi为对应Pi的刀轴矢量，Fi为与Pi对应的刀轴轨迹上拐角处的顶点，H为Fi与Pi间的距离。
步骤2、根据公差计算对称的光顺曲线分别在刀尖轨迹与刀轴轨迹第i个拐角处控制点到顶点允许的最大距离及相应末端两控制点间的距离：
Figure BDA0002793174340000031
Figure BDA0002793174340000032
Figure BDA0002793174340000033
其中
Figure BDA0002793174340000034
为刀尖轨迹光顺曲线控制点到顶点最大距离，
Figure BDA0002793174340000035
为刀轴轨迹光顺 曲线控制点到顶点最大距离，
Figure BDA0002793174340000036
与
Figure BDA0002793174340000037
分别为刀尖曲线与刀轴曲线在第i个拐角两端各自距拐角顶点最远的两个控制点之间的距离，
Figure BDA0002793174340000038
与
Figure BDA0002793174340000039
分别为刀尖轨迹与 刀轴轨迹第i个拐角的角度，
Figure BDA00027931743400000310
与
Figure BDA00027931743400000311
分别为刀尖轨迹与刀轴轨迹的光顺公差，
Figure BDA00027931743400000312
与
Figure BDA00027931743400000313
为与角度
Figure BDA00027931743400000314
和
Figure BDA00027931743400000315
有关的系数。
步骤3、调整曲线末端控制点间的长度，并按相同比例调整其与拐角顶点之间的长度：
Figure BDA00027931743400000316
Figure BDA00027931743400000317
步骤4、按照控制点与拐角顶点之间的距离，分情况调整控制点与拐角顶点间的距离，同时按比例调整末端两控制点的距离。
首先判断刀尖轨迹与刀轴轨迹在对应的直线段上的曲线是否重合，根据结果分为两种情况分别处理：
情况一：刀尖与刀轴两条轨迹在相应的直线段上的曲线均出现重合,即：
Figure BDA0002793174340000041
求解合适的比例使相邻样条缩减后可以在该直线路径上相连。
Figure BDA0002793174340000042
按照求得的比例调整曲线的控制点与相应拐角顶点间的距离
Figure BDA0002793174340000043
Figure BDA0002793174340000044
情况二：刀尖与刀轴两条轨迹在相应的直线段上的曲线均为重合或仅其中一对曲线出现重合现象,即：
Figure BDA0002793174340000045
或
Figure BDA0002793174340000046
将刀尖曲线与刀轴曲线的控制点与拐角顶点间的距离按相同比例对应调整。
Figure BDA0002793174340000047
Figure BDA0002793174340000051
步骤5、调整不相连曲线间控制点的间距，保证其可以插入直线PH样条。
首先判断其是否满足：
Figure BDA0002793174340000052
且
Figure BDA0002793174340000053
如果不满足，按下述比例缩减样条控制点与拐角顶点间的长度：
Figure BDA0002793174340000054
Figure BDA0002793174340000055
步骤6、计算光顺的曲线样条上的所有控制点。对于光顺曲线上任意一段样条曲线，均可以采用以下形式获得样条曲线的控制点。
针对刀尖曲线其样条控制点的表达形式为：
Figure BDA0002793174340000056
刀轴曲线的样条控制点为：
Figure BDA0002793174340000061
其中，
Figure BDA0002793174340000062
与
Figure BDA0002793174340000063
是已知单位向量，其可以通过下列关系式获得：
Figure BDA0002793174340000064
针对刀尖曲线的
Figure BDA0002793174340000065
Figure BDA0002793174340000066
与
Figure BDA0002793174340000067
以及针对刀轴曲线的
Figure BDA0002793174340000068
Figure BDA0002793174340000069
与
Figure BDA00027931743400000610
均为未知向量，其具体的求解过程将在步骤7进行。
步骤7、根据已知向量计算求解未知的向量
Figure BDA00027931743400000611
与
Figure BDA00027931743400000612
首先两相邻的线性轨迹处于同一平面内，因此针对每一条光顺曲线可以先将其转换到平面内，然后求解未知向量来简化求解过程。已知向量
Figure BDA00027931743400000613
与未 知向量
Figure BDA00027931743400000614
可以用相同的参数进行表示：
Figure BDA00027931743400000615
u0，v0，u4与v4可以通过求解下列方程组得到：
Figure BDA0002793174340000071
再通过已知向量
Figure BDA0002793174340000072
求解u3，v3，则u3与v3可以通过以下方程组求解得到：
Figure BDA0002793174340000073
同样的刀轴曲线的未知向量
Figure BDA0002793174340000074
Figure BDA0002793174340000075
与
Figure BDA0002793174340000076
也可以以同样的方式用已知向量
Figure BDA0002793174340000077
Figure BDA0002793174340000078
来进行表示。
步骤8、根据Bernstein基函数公式可以根据控制点得到每条曲线上具体的点：
Figure BDA0002793174340000079
步骤9、根据PH曲线的性质，可以具体得到曲线上任意位置的弧长解析式S(ξ)， 实现高效的实时插补：
Figure BDA00027931743400000710
Figure BDA0002793174340000081
步骤10、当任意一段直线路径上两相邻曲线无法直接相连时，在曲线中间插入 直线PH样条，刀尖与刀轴曲线的直线样条的控制点具体公式分别为：
Figure BDA0002793174340000082
其中，控制点D0,i＝B13,i-1,D13,i＝B0,i,E0,i＝Q13,i-1,E13,i＝Q0,i，未知的长度
Figure BDA0002793174340000083
及
Figure BDA0002793174340000084
可以 通过以下计算得到：
Figure BDA0002793174340000091
Figure BDA0002793174340000092
与
Figure BDA0002793174340000093
分别为刀尖与刀轴直线样条的总长度。
有益效果
本发明提出的一种五轴短直线段轨迹的局部拐角光顺方法，该方法首先计算刀尖与刀轴轨迹控制点到顶点的最大距离；然后根据直线刀具路径的长度，保证原始直线 路径可以采用两段直接相连的PH曲线或两段通过直线PH样条相连的PH曲线代替； 最后根据控制点计算刀尖与刀轴PH样条上的点，得到光顺后的五轴轨迹。本发明通 过将不同长度的直线段全部采用PH样条进行替换，完成了刀具路径光顺，同时减少 了因为避免相邻拐角重叠而缩减样条的程度，相应地降低了样条曲率，实现了五轴短 直线段光顺轨迹加工效率的提高。另外，该光顺方法采用的PH曲线可以实现曲线弧 长参数化，解析地获得曲线弧长与样条参数之间的关系式，有力保证了实时光顺算法 的实施。
附图说明
图1是本发明方法实施例中未光顺的刀尖与刀轴轨迹图。
图2是本发明方法实施例中光顺后刀尖轨迹的局部放大图。
图3是本发明方法实施例中刀尖轨迹的光顺误差图。
图4是本发明方法实施例中刀轴轨迹的光顺误差图。
图5是本发明方法实施例中光顺后刀尖轨迹各个拐角处的最大曲率图。
图6是本发明方法实施例中光顺后轨迹的速度图。
具体实施方式
现结合实施例、附图对本发明作进一步描述：
参照图1-6。得到的刀尖轨迹与刀轴轨迹如图1所示，两条轨迹均是由大量的短 直线段轨迹组成。采用本发明方法以及现有的三阶连续PH曲线方法分别对该轨迹进 行拐角光顺，预设刀尖轨迹与刀轴轨迹的光顺公差均为50μm。采用实时的速度规划 算法对用两个方法光顺过的轨迹分别进行速度规划，得到相应的速度曲线及加工时间。 采用的最大速度限制为30mm/s，最大加速度限制为150mm/s2，最大跃度限制为 2000mm/s3。
本发明所提出的基于非对称PH曲线的五轴短直线段轨迹三阶连续局部拐角光顺方法的具体步骤如下：
步骤1、根据需要加工的自由曲线轨迹获得在工件坐标系下需要光顺的刀尖与刀轴轨迹：
Fi＝Pi+H×Oi
Pi为线性刀尖轨迹拐角处的顶点，Oi为对应Pi的刀轴矢量，Fi为与Pi对应的刀轴轨迹上拐角处的顶点，H为Fi与Pi间的距离。
步骤2、根据公差计算对称的光顺曲线分别在刀尖轨迹与刀轴轨迹第i个拐角处控制点到顶点允许的最大距离及相应末端两控制点间的距离：
Figure BDA0002793174340000101
Figure BDA0002793174340000102
Figure BDA0002793174340000103
其中
Figure BDA0002793174340000111
为刀尖轨迹光顺曲线控制点到顶点最大距离，
Figure BDA0002793174340000112
为刀轴轨迹光顺 曲线控制点到顶点最大距离，
Figure BDA0002793174340000113
与
Figure BDA0002793174340000114
分别为刀尖曲线与刀轴曲线在第i个拐角两端各自距拐角顶点最远的两个控制点之间的距离，
Figure BDA0002793174340000115
与
Figure BDA0002793174340000116
分别为刀尖轨迹与 刀轴轨迹第i个拐角的角度，
Figure BDA0002793174340000117
与
Figure BDA0002793174340000118
分别为刀尖轨迹与刀轴轨迹的光顺公差，
Figure BDA0002793174340000119
与
Figure BDA00027931743400001110
为与角度
Figure BDA00027931743400001111
和
Figure BDA00027931743400001112
有关的系数。
步骤3、调整曲线末端控制点间的长度，并按相同比例调整其与拐角顶点之间的长度：
Figure BDA00027931743400001113
Figure BDA00027931743400001114
步骤4、按照控制点与拐角顶点之间的距离，分情况调整控制点与拐角顶点间的距离，同时按比例调整末端两控制点的距离。
判断刀尖轨迹与刀轴轨迹在对应的直线段上的曲线是否重合，可以分为两种情况：
情况一：刀尖与刀轴两条轨迹在相应的直线段上的曲线均出现重合,即：
Figure BDA00027931743400001115
求解合适的比例使相邻样条缩减后可以在该直线路径上相连。
Figure BDA00027931743400001116
按照求得的比例调整曲线的控制点与相应拐角顶点间的距离
Figure BDA0002793174340000121
Figure BDA0002793174340000122
情况二：刀尖与刀轴两条轨迹在相应的直线段上的曲线均为重合或仅其中一对曲线出现重合现象,即：
Figure BDA0002793174340000123
或
Figure BDA0002793174340000124
将刀尖曲线与刀轴曲线的控制点与拐角顶点间的距离按相同比例对应调整。
Figure BDA0002793174340000125
Figure BDA0002793174340000126
步骤5、调整不相连曲线间控制点的间距，保证其可以插入直线PH样条。 首先判断其是否满足：
Figure BDA0002793174340000127
且
Figure BDA0002793174340000128
如果不满足，按下述比例缩减样条控制点与拐角顶点间的长度：
Figure BDA0002793174340000129
Figure BDA0002793174340000131
步骤6、计算光顺的曲线样条上的所有控制点。对于光顺曲线上任意一段样条 曲线，均可以采用以下形式获得样条曲线的控制点。
针对刀尖曲线其样条控制点的表达形式为：
Figure BDA0002793174340000132
刀轴曲线的样条控制点为：
Figure BDA0002793174340000133
其中，
Figure BDA0002793174340000134
与
Figure BDA0002793174340000135
是已知单位向量，其可以通过下列关系式获得：
Figure BDA0002793174340000136
针对刀尖曲线的
Figure BDA0002793174340000137
与
Figure BDA0002793174340000138
以及针对刀轴曲线的
Figure BDA0002793174340000139
与
Figure BDA00027931743400001310
均为未知向量，其具体的求解过程将在步骤7进行。
步骤7、根据已知向量计算求解未知的向量
Figure BDA0002793174340000141
与
Figure BDA0002793174340000142
首先两相邻的线性轨迹处于同一平面内，因此针对每一条光顺曲线可以先将其转换到平面内，然后求解未知向量来简化求解过程。已知向量
Figure BDA0002793174340000143
与未 知向量
Figure BDA0002793174340000144
可以用相同的参数进行表示：
Figure BDA0002793174340000145
u0，v0，u4与v4可以通过求解下列方程组得到：
Figure BDA0002793174340000146
再通过已知向量
Figure BDA0002793174340000147
求解u3，v3，则u3与v3可以通过以下方程组求解得到：
Figure BDA0002793174340000148
同样的刀轴曲线的未知向量
Figure BDA0002793174340000149
与
Figure BDA00027931743400001410
也可以以同样的方式用已知向量
Figure BDA00027931743400001411
Figure BDA00027931743400001412
来进行表示。
步骤8、根据Bernstein基函数公式可以根据控制点得到每条曲线上具体的点：
Figure BDA0002793174340000151
步骤9、根据PH曲线的性质，可以具体得到曲线上任意位置的弧长解析式S(ξ)， 实现高效的实时插补：
Figure BDA0002793174340000152
Figure BDA0002793174340000153
步骤10、当任意一段直线路径上两相邻曲线无法直接相连时，在曲线中间插入 直线PH样条，刀尖与刀轴曲线的直线样条的控制点具体公式分别为：
Figure BDA0002793174340000161
其中，控制点D0,i＝B13,i-1,D13,i＝B0,i,E0,i＝Q13,i-1,E13,i＝Q0,i，未知的长度
Figure BDA0002793174340000162
及
Figure BDA0002793174340000163
可以 通过以下计算得到：
Figure BDA0002793174340000164
Figure BDA0002793174340000165
与
Figure BDA0002793174340000166
分别为刀尖与刀轴直线样条的总长度。
从以上步骤可以看出，本发明采用非对称的PH曲线，在误差允许的情况下实 现了光顺曲线的直接相连从而完美解决了样条曲线在短直线段轨迹光顺中常常出 现的重合现象。此外，所有的轨迹均被PH样条替换，实现了轨迹的弧长参数化， 相比与采用其他样条进行光顺的方法，提高了插补过程中弧长的计算效率。相比于 已有的三阶连续PH样条光顺五轴轨迹的方法，本方法通过相连的样条，在满足公 差限制的情况下大幅降低了曲线曲率，实现了机床加工速度的提高。另外，包括弧 长计算在内的所以步骤均是解析进行的，这为保证了实时光顺算法的实现。
图2为采用本发明方法与已有的三阶连续PH样条方法光顺后刀尖轨迹的局部放大图。可以看到，本发明方法在误差允许的范围内将短直线段光顺为了两条直接相连 的PH样条，更大程度的利用公差实现曲率的降低。图3图4分别为本发明方法的刀 尖与刀轴轨迹在光顺后各个拐角处的最大误差图。本发明方法的误差被严格限制在规 定的误差限制内。图5为两种方法的刀尖光顺曲线在每个拐角处的最大曲率，结合图 4，可以看出本发明方法在满足加工要求的前提下更充分地利用公差限制，极大地实现 了曲率的降低，最大曲率下降高达50.4％。图6为两种方法的加工时间对比，两方法 采用同样的进给限制(速度限制为50mm/s,加速度限制150mm/s，跃度限制2000mm/s)， 而本发明方法的加工时间为8.31秒，已有的三阶连续PH曲线方法加工时间为9.32 秒，整体加工时间提升10.8％。
综上所述，本方法主要采用三阶连续的非对称PH样条曲线，实现弧长解析计算的同时，又使得五轴短直线段轨迹在曲线构造的时候可以直接相连，极大程度的降低了 曲线的最大曲率，提升了加工效率，实现了五轴数控机床短直线段轨迹的高效加工。

Claims (1)

1.一种五轴短直线段轨迹的局部拐角光顺方法，其特征在于步骤如下：
步骤1：根据需要加工的自由曲线轨迹获得在工件坐标系下需要光顺的刀尖与刀轴轨迹：
Fi＝Pi+H×Oi
其中Pi为线性刀尖轨迹拐角处的顶点，Oi为对应Pi的刀轴矢量，Fi为与Pi对应的刀轴轨迹上拐角处的顶点，H为Fi与Pi间的距离；
步骤2：根据公差计算对称的光顺曲线分别在刀尖轨迹与刀轴轨迹第i个拐角处控制点到顶点允许的最大距离及相应末端两控制点间的距离：
Figure FDA0002793174330000011
Figure FDA0002793174330000012
Figure FDA0002793174330000013
其中
Figure FDA0002793174330000014
为刀尖轨迹光顺曲线控制点到顶点最大距离，
Figure FDA0002793174330000015
为刀轴轨迹光顺曲线控制点到顶点最大距离，
Figure FDA0002793174330000016
与
Figure FDA0002793174330000017
分别为刀尖曲线与刀轴曲线在第i个拐角两端各自距拐角顶点最远的两个控制点之间的距离，
Figure FDA0002793174330000018
与
Figure FDA0002793174330000019
分别为刀尖轨迹与刀轴轨迹第i个拐角的角度，
Figure FDA00027931743300000110
与
Figure FDA00027931743300000111
分别为刀尖轨迹与刀轴轨迹的光顺公差，
Figure FDA00027931743300000112
与
Figure FDA00027931743300000113
为与角度
Figure FDA00027931743300000114
和
Figure FDA00027931743300000115
有关的系数；
步骤3：调整曲线末端控制点间的长度，并按相同比例调整其与拐角顶点之间的长度：
Figure FDA0002793174330000021
Figure FDA0002793174330000022
步骤4：按照控制点与拐角顶点之间的距离，分情况调整控制点与拐角顶点间的距离，同时按比例调整末端两控制点的距离：
首先判断刀尖轨迹与刀轴轨迹在对应的直线段上的曲线是否重合，根据结果分为两种情况分别处理：
情况一：刀尖与刀轴两条轨迹在相应的直线段上的曲线均出现重合，即：
Figure FDA0002793174330000023
求解合适的比例使相邻样条缩减后可以在该直线路径上相连；
Figure FDA0002793174330000024
按照求得的比例调整曲线的控制点与相应拐角顶点间的距离
Figure FDA0002793174330000025
Figure FDA0002793174330000026
情况二：刀尖与刀轴两条轨迹在相应的直线段上的曲线均为重合或仅其中一对曲线出现重合现象，即：
Figure FDA0002793174330000031
或
Figure FDA0002793174330000032
将刀尖曲线与刀轴曲线的控制点与拐角顶点间的距离按相同比例对应调整
Figure FDA0002793174330000033
Figure FDA0002793174330000034
步骤5：调整不相连曲线间控制点的间距，保证其可以插入直线PH样条
首先判断其是否满足：
Figure FDA0002793174330000035
且
Figure FDA0002793174330000036
如果不满足，按下述比例缩减样条控制点与拐角顶点间的长度：
Figure FDA0002793174330000037
Figure FDA0002793174330000038
步骤6：计算光顺的曲线样条上的所有控制点。对于光顺曲线上任意一段样条曲线，均可以采用以下形式获得样条曲线的控制点；
针对刀尖曲线其样条控制点的表达形式为：
Figure FDA0002793174330000041
刀轴曲线的样条控制点为：
Figure FDA0002793174330000042
其中，
Figure FDA0002793174330000043
与
Figure FDA0002793174330000044
是已知单位向量，其可以通过下列关系式获得：
Figure FDA0002793174330000045
针对刀尖曲线的
Figure FDA0002793174330000046
与
Figure FDA0002793174330000047
以及针对刀轴曲线的
Figure FDA0002793174330000048
与
Figure FDA0002793174330000049
均为未知向量，其具体的求解过程将在步骤7进行；
步骤7：根据已知向量计算求解未知的向量
Figure FDA00027931743300000410
与
Figure FDA00027931743300000411
首先两相邻的线性轨迹处于同一平面内，因此针对每一条光顺曲线可以先将其转换到平面内，然后求解未知向量来简化求解过程；已知向量
Figure FDA00027931743300000412
与未知向量
Figure FDA0002793174330000051
可以用相同的参数进行表示：
Figure FDA0002793174330000052
u0，v0，u4与v4可以通过求解下列方程组得到：
Figure FDA0002793174330000053
再通过已知向量
Figure FDA0002793174330000054
求解u3，v3，则u3与v3可以通过以下方程组求解得到：
Figure FDA0002793174330000055
同样的刀轴曲线的控制点也可以被相同的公式计算得到；
步骤8：根据Bernstein基函数公式可以根据控制点得到每条曲线上具体的点：
Figure FDA0002793174330000056
步骤9：根据PH曲线的性质，可以具体得到曲线上任意位置的弧长解析式S(ξ)，实现高效的实时插补：
Figure FDA0002793174330000061
Figure FDA0002793174330000062
步骤10：当任意一段直线路径上两相邻曲线无法直接相连时，在曲线中间插入直线PH样条，刀尖与刀轴曲线的直线样条的控制点具体公式分别为：
Figure FDA0002793174330000063
其中，控制点D0,i＝B13,i-1,D13,i＝B0,i,E0,i＝Q13,i-1,E13,i＝Q0,i，未知的长度
Figure FDA0002793174330000071
及
Figure FDA0002793174330000072
可以通过以下计算得到：
Figure FDA0002793174330000073
Figure FDA0002793174330000074
与
Figure FDA0002793174330000075
分别为刀尖与刀轴直线样条的总长度。
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