CN111812580A - 基于欠定信源克拉美罗界的运动线性稀疏阵列优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种欠定信源下最优运动线性稀疏阵列的设计方法，解决了获取欠定信源下满足孔径和阵元数要求的波达方向估计克拉美罗界(CRB)最小的运动稀疏阵列问题。实现步骤：得到运动线性稀疏阵列的差分阵列D_c及其阵列流型矩阵A_c；计算运动线性稀疏阵列关于波达方向估计的CRB；用改进遗传算法对线性稀疏阵列优化，得到最优阵列结构S_opt。本发明提出了欠定信源下运动线性稀疏阵列关于波达方向估计的克拉美罗界表达式。引入锦标赛选择法，并在交叉变异过程中采用择优策略，避免陷入局部收敛。本发明得到的最优阵列关于波达方向估计的CRB更小，提高了DOA估计性能。信号环境变化时易调整为最优阵列结构。用于高精度的波达方向估计。

Description

基于欠定信源克拉美罗界的运动线性稀疏阵列优化方法

技术领域

本发明属于波达方向估计技术领域，主要涉及波达方向估计稀疏阵列的设计，具体为一种基于欠定信源克拉美罗界的运动线性稀疏阵列优化方法。适用于欠定信源下最优运动线性稀疏阵列设计问题。

背景技术

基于稀疏阵列结构的测向技术在通信、雷达、声纳、卫星导航、射电望远镜等领域有着广泛的应用。与均匀阵列相比，稀疏阵列具有更高的自由度,且在传感器数量相同时具有更大的阵列孔径。常用稀疏阵列有互质阵，最小冗余阵列(MRA)，最小孔阵列(MHA)，和嵌套阵(NA)等。在设计嵌套阵和互质阵时，一般考虑使用O(N)个传感器来估计O(N²)个不相关的远场窄带源，其中O(N)表示N阶，O(N²)表示N²阶。

但是，稀疏阵列往往具有一些局限性，如互质阵和最小孔阵列的差分阵列往往存在一些孔，这些孔的存在极大限制了测向性能。为解决这一问题，将稀疏阵列搭载在运动平台上，利用被动合成孔径技术将时间增益转化为空间增益，同时利用运动的运动特性将原有孔的位置填充，从而提高阵列自由度，以此来提高系统的测向性能，为高精度定位提供支撑。

在估计问题中，为了衡量估计性能，需要一个量化的综合评价指标。克拉美罗界(Cramer-Rao Bound，简称CRB)为任何无偏估计量的方差的下限。即不可能求得一个方差小于下限的无偏估计量；克拉美罗界为比较无偏估计量的性能提供了一个标准，是常用的性能评价指标。

CRB与Fisher信息矩阵(FIM)的逆直接相关，其中FIM包含所有未知参数的信息。对于典型应用情况，均匀线阵下的源的数量一般小于传感器的数量。对于稀疏阵列的情况，Liu等人在文献[C.-L.Liu,P.Vaidyanathan,Cramer-Rao bounds for coprime and othersparse arrays,which find more sources than sensors,Digital Signal Processing61.doi:10.1016/j.dsp.2016.04.011.]中给出了当源个数大于传感器个数，即欠定信源条件下CRB的具体表达式，并证明了在增广阵列流型矩阵存在的条件下，CRB是存在的。

目前主要研究和使用的稀疏阵列(如互质阵列、嵌套阵列等等)可以通过利用运动的特性获取更高的自由度，从而获得更好的超分辨测向性能。但当孔径和阵元数确定时，这些稀疏阵列的结构一般是固定的。尽管通过阵列的运动能提高它们的自由度，但这并不意味这些阵列在欠定信源下估计性能是最优的。即这些阵列在欠定信源下关于波达方向角的CRB并不是所有满足孔径和阵元数条件约束的阵列中最小的，从而使得阵列的波达方向估计性能不够优秀。

发明内容

本发明的目的在于针对运动线性稀疏阵列，提供一种在欠定信源下满足孔径和阵元数要求的CRB最小的运动线性稀疏阵列优化方法。

本发明是一种基于欠定信源克拉美罗界的运动线性稀疏阵列优化方法，其特征在于，包括有如下步骤：

1)：建立运动线性稀疏阵列及其阵列流型矩阵的数学模型：详细流程如下

(1.1)：参数设定及初始化：根据定位的应用需求设定阵列孔径、阵元数、测向范围和信源分布情况，并对其参数进行初始化；

(1.2)：建立运动线性稀疏阵列数学模型：随机产生N个满足孔径和阵元数要求的稀疏阵列，要求

其中Amp表示阵列孔径，L表示阵元数，C表示组合数算子；对每个稀疏阵列，通过运动进行被动孔径合成后，得到合成阵列S_c的差分阵列结构D_c，合成阵列及其差分阵列的数学模型表示如下：

D_c＝n₃-n₄ n₃,n₄∈S_c

其中，S_c＝{n}∪{n+1}，n∈S，n表示阵列S的阵元坐标，S表示稀疏阵列；n₃、n₄表示合成阵列S_c的坐标，()_c表示合成阵列的参数下标；

(1.3)：建立运动线性稀疏阵列的阵列流型矩阵数学模型：在信源个数为Q的情况下，所建立的欠定信源下稀疏阵列的阵列流型矩阵A_c表示如下：

其中a_c(θ_q)表示信号源q在合成阵列下的导向矢量，q＝1,…,Q；a_c(θ_q)＝[a^T(θ_q),b^T(θ_q)]^T＝[1,u₂(θ_q),…,u_L(θ_q),u_d(θ_q),u₂(θ_q)u_d(θ_q),…,u_L(θ_q)u_d(θ_q)]^T，

为合成阵列阵元数，()^T表示矩阵的转置；u₍₎表示相移量，u_l(θ_q)＝exp(-j2πd_lsin(θ_q)/λ)，u_d(θ_q)＝exp(-j2πdsin(θ_q)/λ)，d_l为第l个阵元的坐标，l∈1,2,…L，L为原阵列阵元数；d为单位阵元间距，

λ为信号波长，π为圆周率；θ_q为第q个信号源的波达方向角，q＝1,…,Q。

2)：计算欠定信源下运动线性稀疏阵列关于波达方向角的克拉美罗界CRB：对建立运动线性稀疏阵列及其阵列流型矩阵的数学模型中产生的每个线性稀疏阵列，根据其运动情况下的差分阵列结构D_c和阵列流型矩阵A_c，计算其关于波达方向角的克拉美罗界CRB(θ)。

3)：使用改进遗传算法对稀疏阵列优化：将上述CRB最小化，以下列表达式的形式体现对稀疏阵列的优化：

其中Tr()表示求矩阵的迹；

选取建立运动线性稀疏阵列及其阵列流型矩阵的数学模型中产生的稀疏阵列S作为种群中的个体，对应的CRB作为其适应度；在初代种群选择时，只有CRB小于该遗传算法设定门限值的线性稀疏阵列才可成为初代种群中的个体；按照遗传算法流程反复执行交叉、变异和选择操作，选择机制采用锦标赛选择法；最终得到欠定信源下运动线性稀疏阵列最优解S_opt。

本发明解决了欠定信源情况下固定结构稀疏阵列估计性能不够优秀的问题。

与现有技术相比，本发明的优点如下：

信号源欠定情况下得到估计性能更优的稀疏阵列：相比于互质阵、嵌套阵等结构固定的稀疏阵列，在孔径和阵元数相同的情况下执行本发明方案，可得到在欠定信源下估计性能更优的阵列，为欠定信源下的高精度定位提供支撑。

信号环境变化时阵列结构易调整：当信号环境变化时，固定结构的运动线性稀疏阵列只能通过增大阵列孔径或阵元数来维持原有的估计性能；而执行本发明方案不需要增大阵列孔径和阵元数，仅需要按照本发明方案预先训练出所有可能出现的信号环境下的最优稀疏阵列，并将其结构存储起来；当信号环境发生变化时，通过改变阵元排布情况，将原稀疏阵列变为对应的最优稀疏阵列，即可维持原有优秀的估计性能，在实际应用中相对更灵活。

附图说明：

图1是本发明的实现流程图。

图2是本发明得到的最优阵列与常规稀疏阵列在不同快拍数下关于波达方向角的CRB对比图。

图3是本发明得到的不同快拍数下的最优阵列及其差分阵列与常规稀疏阵列阵元位置对比图。

图4是本发明得到的最优阵列与常规稀疏阵列在不同信噪比下关于波达方向角的CRB对比图。

图5是本发明得到的不同信噪比下的最优阵列及其差分阵列与常规稀疏阵列阵元位置对比图。

具体实施方式：

下面结合附图对本发明详细说明。

实施例1：

现有技术中，对于稀疏阵列的应用大多局限于具有封闭表达式的线性稀疏阵列，如嵌套阵和互质阵等。这些阵列有一个共同点，即当孔径和阵元数确定时，阵列的结构随即固定。当信号环境出现变化导致原阵列估计性能下降时，若要恢复原有估计性能一般有两种方法，一是增大阵列孔径或阵元数，从物理结构上提高阵列自由度；二是将阵列搭载在运动平台上，利用阵列的运动特性提高阵列自由度；但是这两种方法的弊端很明显。姑且先不考虑阵列的孔径和阵元数是否可以无限增大，从影响阵列估计性能因素的角度看，自由度只是一个方面，在欠定信源下决定估计性能最根本的因素还是阵列关于波达方向角估计的克拉美罗界CRB。若克拉美罗界CRB过高，将直接导致角度估计偏差过大，从而使定位失准。本发明针对这一技术问题展开了研究与探讨，提出一种基于欠定信源克拉美罗界的运动线性稀疏阵列优化方法。

本发明是一种基于欠定信源克拉美罗界的运动线性稀疏阵列优化方法，参见图1，图1是本发明的实现流程框图，包括有如下步骤：

1)：建立运动线性稀疏阵列及其阵列流型矩阵的数学模型：凡是谈到优化，大多需要先建立数学模型。对本发明来说，首先要对运动线性稀疏阵列及其阵列流型矩阵建立数学模型，以方便后续优化操作；详细流程如下：

(1.1)：参数设定及初始化：根据定位的应用需求设定阵列孔径、阵元数、测向范围和信源分布情况，并对其参数进行初始化；

(1.2)：建立运动线性稀疏阵列的合成阵列及其差分阵列的数学模型：随机产生N个满足定位应用需求的孔径和阵元数要求的线性稀疏阵列，N要满足

其中Amp表示阵列孔径，L表示稀疏阵列的阵元数，C表示组合数算子；N所满足的条件具体体现为：随机产生的线性稀疏阵列数量即不要过少，也不要像接近遍历一样过多；更重要的是，这些线性稀疏阵列所满足的要求为：在欠定信源下这些阵列关于波达方向估计的CRB小于相同阵列孔径、阵元数的嵌套阵与超级嵌套阵关于波达方向角估计的CRB，如此才能保证在欠定信源下得到估计性能更优的线性稀疏阵列；对每个线性稀疏阵列，通过运动进行被动孔径合成后，得到阵列的合成阵列S_c的差分阵列结构D_c，合成阵列及其差分阵列的数学模型表示如下：

D_c＝n₃-n₄ n₃,n₄∈S_c

其中，S_c＝{n}∪{n+1}，n∈S，n表示稀疏阵列S的阵元坐标，S表示稀疏阵列；n₃、n₄表示合成阵列S_c的坐标，()_c为合成阵列的参数下标。

(1.3)：建立欠定信源下运动线性稀疏阵列的阵列流型矩阵数学模型：在信源个数为Q的情况下，所建立的欠定信源下稀疏阵列的阵列流型矩阵A_c表示如下：

其中a_c(θ_q)表示信号源q在合成阵列S_c下的导向矢量，q＝1,…,Q；

a_c(θ_q)＝[a^T(θ_q),b^T(θ_q)]^T＝[1,u₂(θ_q),…,u_L(θ_q),u_d(θ_q),u₂(θ_q)u_d(θ_q),…,u_L(θ_q)u_d(θ_q)]^T，

为合成阵列阵元数，()^T表示矩阵的转置；u表示相移量，u_l(θ_q)＝exp(-j2πd_lsin(θ_q)/λ)，u_d(θ_q)＝exp(-j2πdsin(θ_q)/λ)，d_l为第l个阵元的坐标，l∈1,2,…L，L为原阵列阵元数；d为单位阵元间距，

λ为信号波长，π为圆周率；θ_q为第q个信号源的波达方向角，q＝1,…,Q。

2)：计算欠定信源下线性稀疏阵列关于波达方向角的克拉美罗界CRB：对建立运动线性稀疏阵列及其阵列流型矩阵的数学模型中产生的每个满足要求的线性稀疏阵列，根据其运动情况下的差分阵列结构D_c和阵列流型A_c，计算其关于波达方向角的克拉美罗界CRB(θ)。

3)：使用改进遗传算法对线性稀疏阵列优化：将上述CRB最小化，根据步骤1)得到的阵列结构S和步骤2)计算结果即线性稀疏阵列关于波达方向角的克拉美罗界CRB，对步骤1)中随机产生的的线性稀疏阵列进行优化，以下列表达式的形式体现对线性稀疏阵列的优化：

其中Tr()表示求矩阵的迹；

选取建立欠定信源下运动线性稀疏阵列数学模型中产生的线性稀疏阵列作为种群中的个体，对应的CRB作为该个体的适应度，按照遗传算法流程反复执行交叉、变异和选择操作。

在实施优化过程中有以下三点需要注意：

一、门限值选取：在初代种群选择时，如步骤1)的(1.2)所述，只有CRB小于设定门限值的线性稀疏阵列才可以作为初代种群中的个体；这个门限值通常选取相同信号环境下嵌套阵和超级嵌套阵关于波达方向角估计的CRB的最小值。

二、强者生存原则：选择机制要采用锦标赛选择法，而不是传统的轮盘赌方法，如此才更能体现遗传算法“强者才有交配权”的策略。

三、防止局部收敛：由于优化的目标是使适应度最小化，在交叉和变异时，若新个体的适应度低于原个体，则以一定的趋优概率选择当前个体，以确保算法的全局趋优性，防止陷入局部收敛。

按照本发明的算法流程执行，最终可得到欠定信源下运动线性稀疏阵列最优解S_opt。

本发明从阵列关于波达方向角的CRB出发，考虑依赖环境的运动线性稀疏阵列，以CRB为目标函数求得欠定信源下的最佳阵列配置。得到的最佳线性稀疏阵列与现有的嵌套阵、互质阵等固定结构的稀疏阵列相比，可达到更小的CRB，从而获得更优的估计性能。尽管常规稀疏阵列能胜任大多数信号环境下的定位工作，但在应用情境固定的情况下，信号环境的变化通常都不是特别大，只有固定的几种形式。而执行本发明技术方案的目的就是要预先训练得到所有可能出现的信号环境下的最优稀疏阵列，将这些最优阵列的结构存储起来。当信号环境出现变化导致估计性能下降时，不必像常规稀疏阵列那样繁琐地改变阵列孔径和阵元数，只需直接在原阵列基础上改变阵元排布形式，切换成对应的最优稀疏阵列结构，即可在当前信号环境下实现高精度的定位。就算出现了新的信号分布形式，也只需按照本发明方案训练出对应的最优稀疏阵列，将得到的新的最优稀疏阵列添加到阵列库中即可。

实施例2：

基于欠定信源克拉美罗界的运动线性稀疏阵列优化方法同实施例1，本发明步骤2)中计算欠定信源下线性稀疏阵列关于波达方向角的克拉美罗界CRB(θ)，包括有如下步骤：

(2.1)：计算线性稀疏阵列的差分阵列流型矩阵及其增广矩阵：令θ_q为第q个信号源的波达方向角，q＝1,…,Q，则第q个信号源的差分阵列导向矢量为

考虑所有信号源，将导向矢量拓展为阵列流型矩阵，则差分阵列流型矩阵为

对应的增广矩阵为

e₀定义如下

< >_γ表示向量的第γ个元素，m为差分阵列D_c的阵元坐标。

(2.2)：计算阵列信号协方差矩阵及其M矩阵：令p_q为第q个通道的信号功率，

则阵列信号协方差矩阵为

为噪声功率，

为

阶单位矩阵，diag{}表示对角矩阵；

在计算得到信号协方差矩阵

的基础上，其M矩阵的计算方法如下：

表示kronecer积，J矩阵定义如下：

J_:,z＝vec(K(z))，z∈D

其中D为线性稀疏阵列的差分阵列，z表示线性稀疏阵列的差分阵列的阵元坐标，vec()表示将矩阵矢量化，即将矩阵按列重排成列向量；K(z)定义如下

其中< >_i,j表示矩阵第i行第j列元素，r1、r2表示稀疏阵列S的阵元坐标，()_:,w表示矩阵的第w列。

(2.3)：计算匹配矩阵MW_Dc矩阵的正交补

和信号功率矩阵G₀：为计算波达方向估计的Fisher信息矩阵FIM，按照正交补的计算方法，匹配矩阵MW_Dc的正交补

计算如下

信号功率矩阵G₀计算如下

G₀＝M(diag(D_c)×V_Dc×diag(p₁,p₂,…,p_Q))

其中，()^H表示矩阵的共轭转置。

(2.4)：计算欠定信源下线性稀疏阵列关于波达方向角的克拉美罗界CRB:根据步骤(2.1)-(2.3)所计算的参数，线性稀疏阵列关于波达方向角的CRB计算如下

其中，L_S表示快拍数。

本发明中计算得到的CRB作为改进遗传算法中每个线性稀疏阵列个体的适应度，优化的目标就是将线性稀疏阵列个体的适应度最小化，也就是使得欠定信源下线性稀疏阵列关于波达方向角的CRB最小。

实施例3：

基于欠定信源克拉美罗界的运动线性稀疏阵列优化方法同实施例1-2，本发明步骤3)中使用改进遗传算法对线性稀疏阵列优化，包括有如下步骤：

令N_p表示种群大小，即种群中个体总个数，p_s表示选择概率，N_c表示交叉次数，p_m表示变异概率；N_i表示迭代总次数，μ表示初始CRB值，p_c表示择优概率；基于改进遗传算法的线性稀疏阵列优化具体步骤如下：

(3.1)：初始化初代种群P₀：随机产生N_p个CRB小于μ的互不重复的线性稀疏阵列，令当前迭代次数i＝0。

(3.2)：进入算法迭代过程。

(3.3)：找到当代种群的最优解：计算当代种群中每个线性稀疏阵列的CRB，找到当代种群中的最小CRB，并记录对应的线性稀疏阵列。

(3.4)：使用锦标赛选择法产生下一代种群P_k：对每次锦标赛选择∈N_p，从第P_k代中选择N_i＝round(N_p×p_s)个个体，选择N_i个个体中CRB最小的个体来更新P_k。

(3.5)：对更新后的P_k执行交叉操作：对每次操作∈N_c，从P_k中选择两个个体，随机交叉这两个阵列的阵元位置，得到两个新的个体，根据择优策略按照择优概率p_c更新P_k。

(3.6)：执行变异操作：对P_k中的每个个体，产生一个0～1之间的随机数γ，若γ≤p_m，则从第2到第L-1个阵元中随机选择一个阵元，对其位置Ξ，随机选取一个比特位，取反后得到Ξ_m，得到新的个体，根据择优策略按照择优概率p_c更新P_k。

(3.7)：判断是否跳出迭代：若i＜N_i，则令i＝i+1，返回(3.2)，再次进入算法迭代过程；否则，跳出迭代，执行步骤(3.8)，寻找全局最优解；

(3.8)：寻找全局最优解：迭代结束后，找到所有代中的最小CRB，所对应的个体就是最优解S_opt；

(3.9)：输出最优阵列结构S_opt，即为欠定信源下的最优运动线性稀疏阵列。该稀疏阵列用于信号的高精度定位。

最后，改进遗传算法的输出S_opt即为多传感器运动平台欠定信源下的最优线性稀疏阵列。

需要注意的是，本发明改进遗传算法中提到的择优策略是指在当前的多个个体中按照给定的择优概率选择适应度更小的个体，并不像贪心策略那样只选择适应度更小的个体而不考虑那些适应度较大的个体，从而能一定程度上保证算法的趋优性，防止算法陷入局部收敛。

下面给出一个更加详细的例子对本发明进一步说明。

实施例4：

基于欠定信源克拉美罗界的运动线性稀疏阵列优化方法同实施例1-3，参见图1，包括有如下步骤：

步骤1：建立线性稀疏阵列及其阵列流型矩阵的数学模型

定义d＝[d₁,…,d_L]^T为阵列阵元位置，其中d_l为第l个阵元的坐标，l＝1,2,…,L，()^T表示矩阵的转置；d＝λ/2为单位阵元间距，λ为波长。选取第一个阵元作为参考点，即令d_1＝0。_Q个不相关远场信号源的接收信号表示为s_q(t0)＝α_qs(t0)，t0＝T_S,2T_S,…,L_ST_S，其中q＝1,…,Q,T_S和L_S分别表示采样间隔和快拍数,α_q是第q个信号源的复幅度，q＝1,…,Q。假设[α₁,…,α_Q]^T是高斯随机向量，其均值为0，且其协方差矩阵为diag{p₁,…,p_Q}，其中p_q是第q个信号源的功率，θ_q表示第q个信号源的到达角，q＝1,…,Q。则t时刻阵列接收到的信号可表示为

其中，

为导向矢量；此外，

为信号矢量。A＝[a(θ₁),…,a(θ_Q)]∈C^L×Q为线性稀疏阵列的阵列流型矩阵，ε(t)∈C^L×1为零均值复加性高斯白噪声向量，协方差矩阵为

I_L为L阶单位阵；在t+τ时刻，阵列的接收信号变为

其中B表示阵列在两个时刻接收信号的相位差矩阵，b为阵列在两个时刻接收信号的相位差矢量，

B＝[b(θ₁),…,b(θ_Q)]∈C^L×Q

对载频为_f的窄带信号，s_q(t+τ)＝s_q(t)exp(j2πfτ)。因此

x(t+τ)＝exp(j2πfτ)Bs(t)+ε(t+τ)

选取vτ＝d＝λ/2，则t+τ时刻的导向矢量变为

令补偿相位校正因子为exp(-j2πfτ)，得到一个相位同步的接收信号矢量

其中

将x(t)和

结合，得到一个合成阵列。阵列的输出表示为

其中

a_c(θ_q)＝[a^T(θ_q),b^T(θ_q)]^T

＝[1,u₂(θ_q),…,u_L(θ_q),u_d(θ_q),u₂(θ_q)u_d(θ_q),…,u_L(θ_q)u_d(θ_q)]^T

其中u表示相移量，u_l(θ_q)＝exp(-j2πd_lsin(θ_q)/λ)，u_d(θ_q)＝exp(-j2πdsin(θ_q)/λ)，

是合成阵列的阵元数；注意，

因为运动前后一些传感器位置可能重叠。将线性稀疏阵列运动前后的阵元位置进行组合，得到合成阵列。容易看出，合成阵列的自由度明显高于原始阵列；令S和S_c分别表示原始阵列和合成阵列的整数集，根据a_c(θ_q)的表达式，有

S_c＝{n}∪{n+1},n∈S

若D和D_c分别表示原始阵列和合成阵列的差分阵列，则

D＝n₁-n₂,n₁,n₂∈S

D_c＝n₃-n₄,n₃,n₄∈S_c

其中n₁、n₂表示原始阵列的阵元坐标，n₃、n₄表示合成阵列的阵元坐标。

组合后的两个阵列的差分阵列由原始阵列的差分阵列及其沿运动方向(右)的单位滞后运动差分阵列Dr、反向(左)的单位滞后运动差分阵列Dl组成，即

D_c＝D∪Dr∪Dl。

步骤2：计算欠定信源下运动线性稀疏阵列关于波达方向角的克拉美罗界CRB

(2.1)：计算运动线性稀疏阵列的差分阵列流型矩阵及其增广矩阵：令θ_q为第q个信号源的波达方向角，q＝1,…,Q，则第q个信号源的差分阵列导向矢量为

v_Dc(θ_q)＝exp(-jπD_csinθ_q)，

在空间中存在Q个信号源的情况下，将导向矢量拓展成阵列流型矩阵，则差分阵列流型矩阵为

为求解克拉美罗界，需要在

基础上构造增广矩阵；对应的增广矩阵为

e₀定义如下

其中<>_γ表示向量的第γ个元素，m为差分阵列D_c的阵元坐标。

(2.2)：计算阵列信号协方差矩阵及其M矩阵：令p_q为第q个通道的信号功率，

则阵列信号协方差矩阵为

为噪声功率，

为

阶单位矩阵；

在计算得到信号协方差矩阵

的基础上，其M矩阵计算方法如下：

表示kronecer积，J矩阵定义如下

J_:,z＝vec(K(z))，z∈D

其中vec()表示将矩阵矢量化，即将矩阵按列重排成列向量；K(z)定义如下

其中< >_i,j表示矩阵第i行第j列元素，r1、r2表示稀疏阵列S的阵元坐标，()_:,w表示矩阵的第w列。

(2.3)：计算匹配矩阵MW_Dc矩阵的正交补

和信号功率矩阵G₀：为构造Fisher信息矩阵，按照正交补的计算方法，矩阵

正交补计算如下

矩阵G₀计算如下

其中，()^H表示矩阵的共轭转置。

(2.4)：计算CRB:根据(2.1)-(2.3)所计算的参数，运动线性稀疏阵列关于波达方向角估计的CRB计算如下

其中，L_S表示快拍数。

步骤3：使用改进遗传算法对线性稀疏阵列优化

从CRB(θ)中可以看出，运动线性稀疏阵列的CRB与原始阵列S，合成阵列S_c，合成阵列的差分阵列D_c，波达方向角θ，信号源数Q，快拍数L_S及信噪比有关；为获得最优运动线性稀疏阵列，将上述CRB最小化，用Amp表示阵列孔径，Tr()表示矩阵的迹，则有

上式最小化所对应的目标函数是个非凸函数，改进遗传算法可以很好地解决这种非凸优化问题；

为便于描述，令N_p表示种群大小，即种群中个体总个数，p_s表示选择概率，N_c表示交叉次数，p_m表示变异概率；N_i表示迭代总次数，μ表示初始CRB值，p_c表示择优概率；初始CRB值μ按照下式进行计算：

μ＝min{CRB_N,CRB_SN}

其中CRB_N表示相同孔径、阵元数和信号环境下嵌套阵关于波达方向角的克拉美罗界，CRB_SN表示相同孔径、阵元数和信号环境下超级嵌套阵关于波达方向角的克拉美罗界；min{}表示取最小运算。

基于改进遗传算法的稀疏阵列优化具体步骤如下：

(3.1)：初始化初代种群P₀：随机产生N_p个CRB小于μ的互不重复的线性稀疏阵列；令当前迭代次数i＝0。

(3.2)：进入算法迭代过程。

(3.3)：找到当代种群的最优解：计算每个线性稀疏阵列的CRB，找到当代种群中的最小CRB，并记录对应的线性稀疏阵列。

(3.4)：使用锦标赛选择法产生下一代种群P_k：对每次选择∈N_p，从第P_k代中选择N_i＝round(N_p×p_s)个个体，用N_i个个体中CRB最小的个体来更新P_k。

(3.5)：对更新后的P_k执行交叉操作：对每次操作∈N_c，从P_k中选择两个个体，随机交叉这两个阵列的阵元位置，得到两个新的个体。

本发明中的择优策略：随机产生一个0～1之间的随机数rand1；若rand1＞p_c，则从四个个体中选取适应度小的两个个体更新P_k，否则使用适应度更大的两个个体更新P_k。

(3.6)：执行变异操作：对P_k中的每个个体产生一个0～1之间的随机数γ，若γ≤p_m，则从第2到第L-1个阵元中随机选择一个阵元，对其位置Ξ，随机选取一个比特位，取反后得到Ξ_m，得到一个新的个体。并利用本发明的择优策略随机产生一个0～1之间的随机数rand2；若rand2＞p_c，则选取适应度更小的个体更新P_k，否则使用适应度更大的个体更新P_k。

(3.7)：判断是否跳出迭代：若i＜N_i，则令i＝i+1，返回(3.2)，否则，跳出迭代。

(3.8)：寻找全局最优解：迭代结束后，找到所有代中的最小CRB，对应的个体就是最优解S_opt。

(3.9)：返回最优阵列结构S_opt。

最后，改进遗传算法的输出S_opt即为多传感器运动平台欠定信源下的最优稀疏阵列。

本发明主要解决现有技术中常规运动线性稀疏阵列在欠定信源下DOA估计性能不够优秀的问题，其实现步骤是：1)建立运动线性稀疏阵列及其阵列流型矩阵的数学模型，得到运动线性稀疏阵列的差分阵列结构D_c和阵列流型矩阵A_c；2)根据运动线性稀疏阵列的差分阵列D_c和阵列流型矩阵A_c，计算运动线性稀疏阵列关于波达方向角的克拉美罗界CRB(θ)；3)将上述CRB最小化，用Amp表示阵列孔径，L表示阵元数，以下列表达式的形式体现对线性稀疏阵列的优化：

使用改进遗传算法对线性稀疏阵列优化，得到最优阵列结构S_opt。与相同阵列孔径和阵元数的常规稀疏阵列相比，本发明得到的最优阵列的CRB更小，从而可以进一步提高DOA估计性能。

下面结合仿真实例对本发明提出的上述方案的效果进行验证说明。

实施例5：不同快拍数下最优线性稀疏阵列与嵌套阵、超级嵌套阵关于波达方向角的CRB对比，基于欠定信源克拉美罗界的运动线性稀疏阵列优化方法同实施例1-4；

仿真参数：

令Amp＝15，L＝7，选取相同孔径和阵元数的嵌套阵和超级嵌套阵作对比；对于嵌套阵，其原始阵列阵元位置为S＝{0,1,2,3,7,11,15}，对应的差分阵列阵元位置为D＝{0,±1,…,±15}；在运动半波长之后，合成阵列及其差分阵列阵元位置分别为S_c＝{0,1,2,3,4,7,8,11,12,15,16}和D_c＝{0,±1,±2,…,±15,±16}；对于超级嵌套阵，其原始阵列阵元位置为S＝{0,2,5,7,11,14,15}，差分阵列阵元位置为D＝{0,±1,…,±15}；在阵列运动半波长之后，合成阵列阵元位置为S_c＝{0,1,2,3,5,6,7,8,11,12,14,15,16}，其差分阵列与嵌套阵相同；考虑空间中存在Q＝9个等功率信号源，分别位于0.5sinθ_q＝-0.45+0.9(q-1)/Q处，q＝1,…,Q。

仿真内容：

令信噪比SNR＝0dB，快拍数由10到10000变化，分别计算三个阵列关于波达方向角的CRB。

仿真结果与分析:

仿真结果如图2所示，图2是本发明得到的最优阵列与常规稀疏阵列在不同快拍数下关于波达方向角的CRB对比图。图2中横坐标表示快拍数，纵坐标表示阵列关于波达方向角估计的CRB。带有“*”的曲线表示最优阵列在不同快拍数下关于波达方向角的CRB；带有“○”曲线表示相同孔径和阵元数的超级嵌套阵在不同快拍数下关于波达方向角的CRB；带有“+”曲线表示相同孔径和阵元数的嵌套阵在不同快拍数下关于波达方向角的CRB。

对比几条曲线，可见本发明得到的最优线性稀疏阵列与嵌套阵和超级嵌套阵相比，在相同信号环境和不同快拍数下关于波达方向角估计的CRB总是最小，意味着对波达方向的估计性能相对最优。

实施例6：不同快拍数下最优线性稀疏阵列的结构，基于欠定信源克拉美罗界的运动线性稀疏阵列优化方法同实施例1-4，仿真参数同实施例5；

仿真内容：

令信噪比SNR＝0dB，快拍数由10到10000变化，分别求得不同快拍数下最优稀疏阵列结构。

仿真结果与分析:

仿真结果如图3所示，图3是本发明得到的不同快拍数下的最优阵列及其差分阵列与常规稀疏阵列阵元位置对比图。图3(a)是快拍数为10时的最优阵列及其差分阵列结构；图3(b)是快拍数为100时的最优阵列及其差分阵列结构；图3(c)是快拍数为330时的最优阵列及其差分阵列结构；图3(d)是快拍数为670时的最优阵列及其差分阵列结构；图3(e)是快拍数为1000时的最优阵列及其差分阵列结构；图3(f)是快拍数为6700时的最优阵列及其差分阵列结构；图3(g)是快拍数为10000时的最优阵列及其差分阵列结构。值得注意的是，从图3(a)～(g)中可见，最优阵列结构均与快拍数无关，是因为本发明中的CRB与快拍数成反比。

图3(h)是相同孔径和阵元数的嵌套阵及超级嵌套阵的阵元位置对比图，图中可见嵌套阵与超级嵌套阵只有四个公共的阵元位置(用矩形框圈出)，这突出了配置上的差异，超级嵌套阵和最优阵列之间也有相同的重叠；而三个阵列之间有4个相同的阵元位置，也从另一方面印证了本发明中最优阵列与其他两个阵列的同源性。

实施例7：不同信噪比下最优线性稀疏阵列与嵌套阵、超级嵌套阵关于波达方向角的CRB对比，基于欠定信源克拉美罗界的运动线性稀疏阵列优化方法同实施例1-4，仿真参数同实施例5；

仿真内容

令快拍数L_s＝1000，信噪比从-20dB到30dB变化，分别计算不同信噪比下最优稀疏阵列与嵌套阵、超级嵌套阵三个阵列关于波达方向角的CRB。

仿真结果与分析

仿真结果如图4所示；图4是本发明得到的最优阵列与常规稀疏阵列在不同信噪比下关于波达方向角的CRB对比图。图4中横坐标表示信噪比，纵坐标表示阵列关于波达方向角估计的CRB；带有“*”的曲线表示最优阵列在不同信噪比下关于波达方向角的CRB；带有“○”曲线表示相同孔径和阵元数的超级嵌套阵在不同信噪比下关于波达方向角的CRB；带有“+”曲线表示相同孔径和阵元数的嵌套阵在不同信噪比下关于波达方向角的CRB。

对比几条曲线，可见本发明得到的最优线性稀疏阵列与嵌套阵和超级嵌套阵相比，在相同信号环境和不同信噪比下关于波达方向角估计CRB总是最小，此结果意味着本发明得到的最优线性稀疏阵列对波达方向的估计性能相对最优。

实施例8：不同信噪比下最优线性稀疏阵列的结构，基于欠定信源克拉美罗界的运动线性稀疏阵列优化方法同实施例1-4，仿真参数同实施例5；

仿真内容

令快拍数L_s＝1000，信噪比从-20dB到30dB变化，分别求得不同信噪比下最优稀疏阵列结构。

仿真结果与分析

仿真结果如图5所示；图5是本发明得到的不同信噪比下的最优阵列及其差分阵列与常规稀疏阵列阵元位置对比图。图5(a)是信噪比为-20dB时最优阵列及其差分阵列的结构；图5(b)是信噪比为-15dB时最优阵列及其差分阵列的结构；图5(c)是信噪比为-10dB时最优阵列及其差分阵列的结构；图5(d)是信噪比为-5dB时最优阵列及其差分阵列的结构；图5(e)是信噪比为0dB时最优阵列及其差分阵列的结构；图5(f)是信噪比为5dB时最优阵列及其差分阵列的结构；图5(g)是信噪比为10dB时最优阵列及其差分阵列的结构；图5(h)是信噪比为15dB时最优阵列及其差分阵列的结构；图5(i)是信噪比为20dB时最优阵列及其差分阵列的结构；图5(j)是信噪比为25dB时最优阵列及其差分阵列的结构；图5(k)是信噪比为30dB时最优阵列及其差分阵列的结构；值得注意的是，从图5(a)～(k)可见，与实施例6的仿真结果不同，最优阵列结构不再是固定的，而是随信噪比变化而改变。

图5(l)是相同孔径和阵元数的嵌套阵及超级嵌套阵的阵元位置对比图，图中可见，在考虑信噪比使用值时，嵌套阵与最优阵列之间总共有6个重叠传感器(用菱形框圈出)，与超级嵌套阵和最优阵列之间重叠的传感器(用圆形框圈出)总数相同；而当信噪比大于-5dB时，三个阵列之间有4个相同的阵元位置，同样从另一方面印证了最优阵列与其他两个阵列的同源性。

综上所述，本发明提供的基于欠定信源克拉美罗界的最优线性稀疏阵列的设计方法,解决了获取欠定信源下满足孔径和阵元数要求的能达到最小CRB的线性稀疏阵列的问题。实现步骤：建立运动线性稀疏阵列及其阵列流型矩阵的数学模型，得到运动线性稀疏阵列的差分阵列结构D_c和阵列流型矩阵A_c；计算运动线性稀疏阵列关于波达方向角的克拉美罗界CRB(θ)；将CRB最小化，用改进遗传算法对线性稀疏阵列优化，得到最优阵列结构S_opt。本发明提出了运动线性稀疏阵列关于波达方向角的克拉美罗界表达式。在遗传算法中引入锦标赛选择法，并在遗传算法交叉和变异过程中采用了择优策略，以保证算法的全局趋优性，避免陷入局部收敛。

本发明得到的最优阵列与相同阵列孔径和阵元数的常规稀疏阵列相比，关于波达方向角的CRB更小，可以进一步提高DOA估计性能；此外，在信号环境发生变化时，只需按照本发明技术方案进行优化，即可在不改变阵列孔径和阵元数情况下调整为最优阵列结构，相对于固定结构稀疏阵列应用起来更灵活。

Claims (3)

1.一种基于欠定信源克拉美罗界的运动线性稀疏阵列优化方法，其特征在于，包括有如下步骤：

1)：建立运动线性稀疏阵列及其阵列流型矩阵的数学模型：详细流程如下

(1.1)：参数设定及初始化：根据定位的应用需求设定阵列孔径、阵元数、测向范围和信源分布情况，并对其参数进行初始化；

(1.2)：建立运动线性稀疏阵列数学模型：随机产生N个满足孔径和阵元数要求的稀疏阵列，要求

其中Amp表示阵列孔径，L表示阵元数，C表示组合数算子；对每个稀疏阵列，通过运动进行被动孔径合成后，得到合成阵列S_c的差分阵列结构D_c，合成阵列及其差分阵列的数学模型表示如下：

D_c＝n₃-n₄n₃,n₄∈S_c

其中，S_c＝{n}∪{n+1}，n∈S，n表示阵列S的阵元坐标，S表示稀疏阵列；n₃、n₄表示合成阵列S_c的坐标，()_c表示合成阵列的参数下标；

(1.3)：建立运动线性稀疏阵列的阵列流型矩阵数学模型：在信源个数为Q的情况下，所建立的欠定信源下运动线性稀疏阵列的阵列流型矩阵A_c表示如下：

其中a_c(θ_q)表示信号源q在合成阵列下的导向矢量，q＝1,…,Q；a_c(θ_q)＝[a^T(θ_q),b^T(θ_q)]^T＝[1,u₂(θ_q),…,u_L(θ_q),u_d(θ_q),u₂(θ_q)u_d(θ_q),…,u_L(θ_q)u_d(θ_q)]^T，

为合成阵列阵元数，()^T表示矩阵的转置；u₍₎表示相移量，u_l(θ_q)＝exp(-j2πd_lsin(θ_q)/λ)，u_d(θ_q)＝exp(-j2πdsin(θ_q)/λ)，d_l为第l个阵元的坐标，l∈1,2,…L，L为原阵列阵元数；d为单位阵元间距，

λ为信号波长，π为圆周率；θ_q为第q个信号源的波达方向角，q＝1,…,Q。

2)：计算欠定信源下运动线性稀疏阵列关于波达方向角的克拉美罗界CRB：对建立运动线性稀疏阵列及其阵列流型矩阵的数学模型中产生的每个线性稀疏阵列，根据其运动情况下的差分阵列结构D_c和阵列流型矩阵A_c，计算其关于波达方向角的克拉美罗界CRB(θ)。

3)：使用改进遗传算法对线性稀疏阵列优化：将上述CRB最小化，以下列表达式的形式体现对线性稀疏阵列的优化：

其中Tr()表示求矩阵的迹；

选取建立运动线性稀疏阵列及其阵列流型矩阵的数学模型中产生的线性稀疏阵列S作为种群中的个体，对应的CRB作为其适应度；在初代种群选择时，只有CRB小于该遗传算法设定门限值的线性稀疏阵列才可成为初代种群中的个体；按照遗传算法流程反复执行交叉、变异和选择操作，选择机制采用锦标赛选择法；最终得到欠定信源下运动线性稀疏阵列最优解S_opt。

2.根据权利要求1所述的基于欠定信源克拉美罗界的运动线性稀疏阵列优化方法，其特征在于，其中步骤2)中所述的计算欠定信源下稀疏阵列关于波达方向角的克拉美罗界CRB(θ)，包括有如下步骤：

(2.1)：计算运动线性稀疏阵列的差分阵列流型矩阵及其增广矩阵：令θ_q为第q个信号源的波达方向角，q＝1,…,Q，则第q个信号源的差分阵列导向矢量为

差分阵列流型矩阵为

对应的增广矩阵为

e₀定义如下

<>_γ表示向量的第γ个元素，m为差分阵列D_c的阵元坐标；

(2.2)：计算阵列信号协方差矩阵

及其M矩阵：令p_q为第q个通道的信号功率，

则阵列信号协方差矩阵为

为噪声功率，

为

阶单位矩阵，diag{}表示对角矩阵；

表示kronecer积，J矩阵定义如下

J_:,z＝vec(K(z))，z∈D

其中D为线性稀疏阵列的差分阵列，z表示线性稀疏阵列的差分阵列的阵元坐标，vec()表示将矩阵矢量化，即将矩阵按列重排成列向量；K(z)定义如下

其中<>_i,j表示矩阵第i行第j列元素，r1、r2表示稀疏阵列S的阵元坐标，()_:,w表示矩阵的第w列；

(2.3)：计算匹配矩阵

的正交补

和信号功率矩阵G₀：

其中，()^H表示矩阵的共轭转置；

(2.4)：计算欠定信源下运动线性稀疏阵列关于波达方向角的克拉美罗界CRB:

其中，L_S表示快拍数。

3.根据权利要求1所述的基于欠定信源克拉美罗界的运动线性稀疏阵列优化方法，其特征在于，其中步骤3)中所述的使用改进遗传算法对线性稀疏阵列优化，包括有如下步骤：

令N_p表示种群大小，即种群中个体总个数，p_s表示选择概率，N_c表示交叉次数，p_m表示变异概率；N_i表示迭代总次数，μ表示初始CRB值，p_c表示择优概率；基于改进遗传算法的线性稀疏阵列优化具体步骤如下：

(3.1)：初始化初代种群P₀：随机产生N_p个CRB小于μ的互不重复的线性稀疏阵列，令当前迭代次数i＝0；

(3.2)：进入算法迭代过程；

(3.3)：找到当代种群的最优解：计算每个线性稀疏阵列的CRB，找到当代种群中的最小CRB，并记录对应的线性稀疏阵列；

(3.4)：使用锦标赛选择法产生下一代种群P_k：对每次选择∈N_p，从第P_k代中选择N_i＝round(N_p×p_s)个个体，用N_i个个体中CRB最小的个体来更新P_k；

(3.5)：对更新后的P_k执行交叉操作：对每次操作∈N_c，从P_k中选择两个个体，随机交叉这两个阵列的阵元位置，以择优概率p_c更新P_k；

(3.6)：执行变异操作：对P_k中的每个个体产生一个0～1之间的随机数γ，若γ≤p_m，则从第2到第L-1个阵元中随机选择一个阵元，对其位置Ξ，随机选取一个比特位，取反后得到Ξ_m，以择优概率p_c更新P_k；

(3.7)：判断是否跳出迭代：若i＜N_i，则令i＝i+1，返回(3.2)，否则，跳出迭代，执行步骤(3.8)；

(3.8)：寻找全局最优解：迭代结束后，找到所有代中的最小CRB，对应的个体就是最优解S_opt；

(3.9)：得到最优阵列结构S_opt，即欠定信源下的最优线性稀疏阵列结构；

最后，改进遗传算法的输出S_opt即为多传感器运动平台欠定信源下的最优线性稀疏阵列。

Images