CN111523251B - 一种随机环境应力下的产品寿命快速评估方法 - Google Patents

一种随机环境应力下的产品寿命快速评估方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种随机环境应力下的产品寿命快速评估方法，包括建立确定性环境应力下的退化模型；对退化数据进行拟合得到产品失效寿命的概率密度函数和累积概率分布函数；推导不同加速应力下的退化参数与时间尺度转换下的加速因子的关系；再得到模型中漂移系数、扩散系数与当前应力的函数关系；估计退化模型中未知参数的估计值；求解随机环境应力的均值、方差向量；建立产品性能退化模型；对漂移系数和扩散系数进行等效，得到产品退化量均值和方差的表达式；建立性能退化模型；计算随机环境应力下的寿命的概率密度函数、可靠度函数及平均失效时间。本发明可快速获得产品失效寿命评估结果，且适用于具有退化特征的长寿命高可靠产品。

Description

一种随机环境应力下的产品寿命快速评估方法
技术领域
本发明涉及寿命评估方法，尤其涉及一种随机环境应力下的产品寿命快速评估方法。
背景技术
随着我国装备制造技术水平的不断进步和提高，产品可靠性得到有效提升。对于具有高可靠长寿命典型特征的产品，随着使用时间的延长，其性能指标会不断下降，当超过其规定的失效阈值，产品的使用性能和安全性能则不能得到保证。对其性能退化数据进行采集和分析，建立符合性能退化规律的退化模型，即可对其寿命进行预测。
由于当前商业竞争激烈、产品更新换代频繁造成研制周期短，采用传统的方法通过收集使用条件下的退化信息得到的结果往往会丧失其时效性。因此在产品出厂之前对其进行加速试验，在不改变其失效机理的条件下快速获取较高应力下的性能变化信息，建立加速模型，从而对额定应力下的寿命进行评估。然而，产品实际使用条件下的应力是随机变化的，额定应力下的寿命评估结果与随机环境应力下寿命真值间存在偏差。
因此，亟待解决上述问题。
发明内容
发明目的：本发明的目的是提供一种随机环境应力下的产品寿命快速评估方法，该评估方法可快速获得产品失效寿命评估结果，且适用于具有退化特征的长寿命高可靠产品。
技术方案：为实现以上目的，本发明公开了一种随机环境应力下的产品寿命快速评估方法，包括如下步骤：
(1)、基于时间尺度变换下的Wiener过程建立确定性环境应力下的退化模型，该退化模型可反映退化量与退化时间的关系；基于退化模型对加速应力下的退化数据进行拟合得到产品失效寿命的概率密度函数和累积概率分布函数；
(2)、根据失效机理不变原则，推导不同加速应力下的退化参数与时间尺度转换下的加速因子的关系；再根据退化参数和加速因子的关系式得到模型中漂移系数、扩散系数与当前应力的函数关系；
(3)、利用加速退化数据估计Wiener过程加速退化模型中未知参数的估计值；
(4)、根据产品随机环境应力下的应力变化情况，对随机环境应力进行表征，求解随机环境应力的均值、方差向量；
(5)、基于时间尺度转换下的非线性Wiener过程建立随机环境下的产品性能退化模型；
(6)、根据泰勒展开以及布朗运动的性质对随机环境应力下的退化模型中的漂移系数和扩散系数进行等效，得到随机环境应力下产品退化量均值和方差的表达式；
(7)、建立等效后的随机环境应力下的性能退化模型；
(8)、计算随机环境应力下的寿命的概率密度函数、可靠度函数及平均失效时间。
其中，所述步骤(1)包括如下步骤：首先通过试验获得产品在确定性环境应力下的状态监测数据，并提取能反应其健康状态的数据，随着试验时间的延长，表征其健康状态的数据不断发生退化，称该数据为退化数据；基于确定性环境应力下的退化数据，将退化过程用时间尺度变换下的非线性Wiener过程进行描述，退化量与退化时间的关系如下所示：
X(t)＝x0+λΛ(t；b)+σBB(Λ(t；b))   (1)
其中x0为产品初始退化量，其为0，λ为漂移系数，σB为扩散系数，Λ(t；b)为时间尺度转换函数，其为时间t的单调连续非线性函数，必须满足Λ(0)＝0，B(·)为标准布朗运动；
当产品的退化量大于D时，判定产品失效，将D称为该产品的失效阈值；当产品处于加速试验中，施加于产品的应力为恒定值，因此可基于式(1)所示的退化模型对加速应力下的退化数据进行拟合；随着退化过程的进行，产品的剩余寿命会随着退化时间不断减少，当退化量首次达到预设的失效阈值时，就认为产品寿命终结，因此将产品的寿命T定义为随机过程{X(t)，t＞0}首次穿越失效阈值D的时间，将该时刻称为产品的首达时间；在首达时间的定义下，产品失效寿命的概率密度函数和累积概率分布函数分别为
Figure BDA0002530096330000021
Figure BDA0002530096330000031
其中Φ(·)为标准正态分布函数。
优选的，所述步骤(2)包括如下具体步骤：
针对时间尺度转换非线性Wiener过程，将其加速因子定义为在转换时间尺度下的加速因子，该加速因子定义为
Figure BDA0002530096330000032
其中
Figure BDA0002530096330000033
为转换时间尺度下的退化时间，
Figure BDA0002530096330000034
同样假设F*为产品的累积失效概率，在应力Si条件下，假设经过转换时间
Figure BDA0002530096330000035
后，产品的累积失效概率达到F*；相应地，在应力水平Sj下，经过转换时间
Figure BDA0002530096330000036
后产品的累积失效概率达到F*，则得到下面的等式
Figure BDA00025300963300000314
根据式(4)所示的转换时间尺度下加速因子的定义可得
Figure BDA0002530096330000037
将其代入公式(5)得到
Figure BDA0002530096330000038
等式两边分别对
Figure BDA0002530096330000039
取一阶偏导数，对任意的
Figure BDA00025300963300000310
得到
Figure BDA00025300963300000311
根据基于时间尺度变换的非线性Wiener过程的失效寿命分布的概率密度函数可得
Figure BDA00025300963300000312
Figure BDA00025300963300000313
将式(7)和式(8)代入式(6)，并且整理以后可得
Figure BDA0002530096330000041
根据失效机理不变原则，加速因子为一个常数且与转换退化时间
Figure BDA0002530096330000042
无关，因此当且仅当退化参数满足下式时应力Si相对于应力Sj的加速因子为一个常数；
Figure BDA0002530096330000043
其中时间尺度转换函数Λ(t；b)中的参数b是相等的，即bi＝bj；在对加速退化试验的失效机理进行检验时，各加速应力下的漂移系数和扩散系数的估计值满足
Figure BDA0002530096330000044
如果满足，则表明加速应力Si与加速应力Sj下的失效机理一致，如果不满足则表明加速应力Si与加速应力Sj下的失效机理发生了改变；
根据失效机理不变原则可得各应力水平下的漂移系数和扩散系数的平方之比为定值，假定该比值为k0，则漂移系数和扩散系数具有如下的函数关系
Figure BDA0002530096330000045
扩散系数的平方是当前应力S的函数，可以表示为
Figure BDA0002530096330000046
其中函数h(·；Θ)为加速模型，Θ为加速模型中未知参数的集合，根据加速退化试验得到。
再者，所述步骤(3)包括如下具体步骤：假设加速退化试验中的加速应力个数为K，每个应力下的样本总数为Nk，第k级加速应力Sk下第i个产品第j次测试的退化量为xkij，测量时间为tkij，其中k＝1，…，K，i＝1，…，N，j＝1，…，Mki，其中第i个样本的测量次数为
Figure BDA0002530096330000047
第k个应力下第i个产品第j次测试的退化增量为Δxkij＝xkij-xki(j-1)，时间转换尺度下的退化时间增量为
Figure BDA0002530096330000048
根据Wiener过程退化增量的性质可得
Figure BDA0002530096330000051
根据Wiener过程独立增量特性，建立如下极大似然函数
Figure BDA0002530096330000052
通过对极大似然函数求最大值，即可得到未知参数Θ、b、k0的估计值。
进一步，所述步骤(4)包括如下具体步骤：假设产品工作条件下共有P种类型的应力，将t时刻的应力表示为
Figure BDA0002530096330000053
Sp＝sp+vp，其中sp为应力Sp的应力均值项，vp为应力随机项，其均值为0，方差为var(Sp)；因此应力
Figure BDA0002530096330000054
可以写成
Figure BDA0002530096330000055
其中
Figure BDA0002530096330000056
优选的，所述步骤(5)包括如下具体步骤：为了区分确定环境应力下的退化过程，将随机环境应力
Figure BDA0002530096330000057
下的退化量表示为
Figure BDA0002530096330000058
假设在随机环境应力下的退化量满足基于时间尺度转换的非线性Wiener模型，则其漂移系数表示为
Figure BDA0002530096330000059
扩散系数为
Figure BDA00025300963300000510
退化量为
Figure BDA00025300963300000511
综上随机环境应力下的产品的退化过程可以表示为
Figure BDA00025300963300000512
再者，所述步骤(6)包括如下具体步骤：
随机环境应力下退化量的均值和方差分别表示为
Figure BDA00025300963300000513
其中
Figure BDA00025300963300000514
根据布朗运动的性质可得E[dB(Λ(τ；b))]＝0，由于Wiener过程中扩散系数与布朗运动是相互独立的，得到
Figure BDA0002530096330000061
将上式代入式(17)可得退化量的期望为
Figure BDA0002530096330000062
由于函数h(·；Θ)为平滑函数，将式(17)中的积分项用泰勒公式在
Figure BDA0002530096330000063
处展开为
Figure BDA0002530096330000064
其中M2(vp)为vp的二阶矩，由于
Figure BDA0002530096330000065
且vp、vq(p≠q)是相互独立的，因此
Figure BDA0002530096330000066
可以近似表示为
Figure BDA0002530096330000067
根据
Figure BDA0002530096330000068
过程的定义，可得随机环境应力下产品的退化过程在转换时间尺度下满足
Figure BDA0002530096330000069
过程，因此基于
Figure BDA00025300963300000610
公式，可得
Figure BDA00025300963300000611
由于E[dB(Λ(τ；b))]＝0，
Figure BDA00025300963300000612
的均值可以等价为
Figure BDA0002530096330000071
当
Figure BDA0002530096330000072
严格满足联合遍历性时，表达式
Figure BDA0002530096330000073
也为遍历的，因此
Figure BDA0002530096330000074
为一个常数；当C为常数时，下式成立：
Figure BDA0002530096330000075
由上式可得
Figure BDA0002530096330000076
因此可得
Figure BDA0002530096330000077
的方差为
Figure BDA0002530096330000078
采用泰勒展开式将h(·；Θ)在
Figure BDA0002530096330000079
处展开并消除高阶项可得
Figure BDA00025300963300000710
综上可得，
Figure BDA0002530096330000081
的方差为
Figure BDA0002530096330000082
假设vp(t)是二次均方可积的，当
Figure BDA0002530096330000083
存在时，意味着
Figure BDA0002530096330000084
可以得到
Figure BDA0002530096330000085
因此
Figure BDA0002530096330000086
存在；
采用白噪声对vp进行描述，此时可得
Figure BDA0002530096330000087
其中δ(·)为克罗内克函数，可以表示为
Figure BDA0002530096330000088
因此，
Figure BDA0002530096330000089
的方差可以被近似表示为转换时间Λ(t；b)的函数：
Figure BDA00025300963300000810
优选的，所述步骤(7)包括如下具体步骤：
由于
Figure BDA00025300963300000811
的均值和方差皆与转换时间尺度函数Λ(t；b)成正比例关系，因此可以用等效转换时间尺度下的布朗运动U(Λ(t；b))对退化过程进行描述：
Figure BDA00025300963300000812
其中
Figure BDA0002530096330000091
Figure BDA0002530096330000092
U(·)为布朗运动。
进一步，所述步骤(8)包括如下具体步骤：
根据式(31)所示的随机环境应力下的近似退化过程，结合时间尺度转换的非线性Wiener过程的率密度函数可以近似得到随机环境应力下产品失效寿命的概率密度函数及可靠度函数和平均失效时间MTTF表示为
Figure BDA0002530096330000093
Figure BDA0002530096330000094
Figure BDA0002530096330000095
其中D为产品的失效阈值，Φ(·)为标准正态分布函数。
有益效果：与现有技术相比，本发明具有以下显著优点：本发明为了实现对随机环境应力下的产品寿命进行快速且准确地评估，基于产品加速退化数据建立加速退化模型，并且建立产品在随机环境下的退化模型，通过加速退化数据对随机环境应力下的寿命进行评估，提高寿命预测精度；本发明可快速获得产品失效寿命评估结果，且适用于具有退化特征的长寿命高可靠产品。
附图说明
图1为本发明的实施例中某电容器失效寿命的概率密度函数；
图2为本发明的实施例中某电容器的可靠度函数。
具体实施方式
下面结合附图对本发明的技术方案作进一步说明。
本发明一种随机环境应力下的产品寿命快速评估方法，包括如下步骤：
(1)、基于时间尺度变换下的Wiener过程建立确定性环境应力下的退化模型，该退化模型可反映退化量与退化时间的关系；基于退化模型对加速应力下的退化数据进行拟合得到产品失效寿命的概率密度函数和累积概率分布函数；
首先通过试验获得产品在确定性环境应力下的状态监测数据，并提取能反应其健康状态的数据，随着试验时间的延长，表征其健康状态的数据不断发生退化，称该数据为退化数据；基于确定性环境应力下的退化数据，将退化过程用时间尺度变换下的非线性Wiener过程进行描述，退化量与退化时间的关系如下所示：
X(t)＝x0+λΛ(t；b)+σBB(Λ(t；b))   (1)
其中x0为产品初始退化量，其为0，λ为漂移系数，σB为扩散系数，Λ(t；b)为时间尺度转换函数，其为时间t的单调连续非线性函数，必须满足Λ(0)＝0，B(·)为标准布朗运动；
当产品的退化量大于D时，判定产品失效，将D称为该产品的失效阈值；当产品处于加速试验中，施加于产品的应力为恒定值，因此可基于式(1)所示的退化模型对加速应力下的退化数据进行拟合；随着退化过程的进行，产品的剩余寿命会随着退化时间不断减少，当退化量首次达到预设的失效阈值时，就认为产品寿命终结，因此将产品的寿命T定义为随机过程{X(t)，t＞0}首次穿越失效阈值D的时间，将该时刻称为产品的首达时间；在首达时间的定义下，产品失效寿命的概率密度函数和累积概率分布函数分别为
Figure BDA0002530096330000101
Figure BDA0002530096330000102
其中Φ(·)为标准正态分布函数；
(2)、根据失效机理不变原则，推导不同加速应力下的退化参数与时间尺度转换下的加速因子的关系；再根据退化参数和加速因子的关系式得到模型中漂移系数、扩散系数与当前应力S的函数关系；
针对时间尺度转换非线性Wiener过程，将其加速因子定义为在转换时间尺度下的加速因子，该加速因子定义为
Figure BDA0002530096330000111
其中
Figure BDA0002530096330000112
为转换时间尺度下的退化时间，
Figure BDA0002530096330000113
接下来将在转换时间尺度下推导在失效机理不变原则下产品退化参数之间的关系，同样假设F*为产品的累积失效概率，在应力Si条件下，假设经过转换时间
Figure BDA0002530096330000114
后，产品的累积失效概率达到F*；相应地，在应力水平Sj下，经过转换时间
Figure BDA0002530096330000115
后产品的累积失效概率达到F*，则得到下面的等式
Figure BDA0002530096330000116
根据式(4)所示的转换时间尺度下加速因子的定义可得
Figure BDA0002530096330000117
将其代入公式(5)得到
Figure BDA0002530096330000118
等式两边分别对
Figure BDA0002530096330000119
取一阶偏导数，对任意的
Figure BDA00025300963300001110
得到
Figure BDA00025300963300001111
根据基于时间尺度变换的非线性Wiener过程的失效寿命分布的概率密度函数可得
Figure BDA00025300963300001112
Figure BDA00025300963300001113
将式(7)和式(8)代入式(6)，并且整理以后可得
Figure BDA0002530096330000121
根据失效机理不变原则，加速因子为一个常数且与转换退化时间
Figure BDA0002530096330000122
无关，因此当且仅当退化参数满足下式时应力Si相对于应力Sj的加速因子为一个常数；
Figure BDA0002530096330000123
除此之外，以上推导的重要前提是时间尺度转换函数Λ(t；b)中的参数b是相等的，即bi＝bj；在对加速退化试验的失效机理进行检验时，各加速应力下的漂移系数和扩散系数的估计值满足
Figure BDA0002530096330000124
如果满足，则表明加速应力Si与加速应力Sj下的失效机理一致，如果不满足则表明加速应力Si与加速应力Sj下的失效机理发生了改变；
根据失效机理不变原则可得各应力水平下的漂移系数和扩散系数的平方之比为定值，假定该比值为k0，则漂移系数和扩散系数具有如下的函数关系
Figure BDA0002530096330000125
扩散系数的平方是当前应力S的函数，可以表示为
Figure BDA0002530096330000126
其中函数h(·；Θ)为加速模型，Θ为加速模型中未知参数的集合，根据加速退化试验得到；
(3)、利用加速退化数据估计Wiener过程加速退化模型中未知参数的估计值；
假设加速退化试验中的加速应力个数为K，每个应力下的样本总数为Nk，第k级加速应力Sk下第i个产品第j次测试的退化量为xkij，测量时间为tkij，其中k＝1，…，K，i＝1，…，N，j＝1，…，Mki，其中第i个样本的测量次数为
Figure BDA0002530096330000127
第k个应力下第i个产品第j次测试的退化增量为Δxkij＝xkij-xki(j-1)，时间转换尺度下的退化时间增量为
Figure BDA00025300963300001313
根据Wiener过程退化增量的性质可得
Figure BDA0002530096330000131
根据Wiener过程独立增量特性，建立如下极大似然函数
Figure BDA0002530096330000132
通过对极大似然函数求最大值，即可得到未知参数Θ、b、k0的估计值；
(4)、根据产品随机环境应力下的应力变化情况，对随机环境应力进行表征，求解随机环境应力的均值、方差向量；
假设产品工作条件下共有P种类型的应力，将t时刻的应力表示为
Figure BDA0002530096330000133
Sp＝sp+vp，其中sp为应力Sp的应力均值项，vp为应力随机项，其均值为0，方差为var(Sp)；因此应力
Figure BDA0002530096330000134
可以写成
Figure BDA0002530096330000135
其中
Figure BDA0002530096330000136
(5)、基于时间尺度转换下的非线性Wiener过程建立随机环境下的产品性能退化模型；
为了区分确定环境应力下的退化过程，将随机环境应力
Figure BDA0002530096330000137
下的退化量表示为
Figure BDA0002530096330000138
假设在随机环境应力下的退化量满足基于时间尺度转换的非线性Wiener模型，则其漂移系数表示为
Figure BDA0002530096330000139
扩散系数为
Figure BDA00025300963300001310
退化量为
Figure BDA00025300963300001311
综上随机环境应力下的产品的退化过程可以表示为
Figure BDA00025300963300001312
(6)、根据泰勒展开以及布朗运动的性质对随机环境应力下的退化模型中的漂移系数和扩散系数进行等效，得到随机环境应力下产品退化量均值和方差的表达式；
随机环境应力下退化量的均值和方差分别表示为
Figure BDA0002530096330000141
其中
Figure BDA0002530096330000142
根据布朗运动的性质可得E[dB(Λ(τ；b))]＝0，由于Wiener过程中扩散系数与布朗运动是相互独立的，得到
Figure BDA0002530096330000143
将上式代入式(17)可得退化量的期望为
Figure BDA0002530096330000144
由于函数h(·；Θ)为平滑函数，将式(17)中的积分项用泰勒公式在
Figure BDA0002530096330000145
处展开为
Figure BDA0002530096330000146
其中M2(vp)为vp的二阶矩，由于
Figure BDA0002530096330000147
且vp、vq(p≠q)是相互独立的，因此
Figure BDA0002530096330000148
可以近似表示为
Figure BDA0002530096330000149
根据
Figure BDA00025300963300001410
过程的定义，可得随机环境应力下产品的退化过程在转换时间尺度下满足
Figure BDA00025300963300001411
过程，因此基于
Figure BDA00025300963300001412
公式，可得
Figure BDA0002530096330000151
由于E[dB(Λ(τ；b))]＝0，
Figure BDA0002530096330000152
的均值可以等价为
Figure BDA0002530096330000153
当
Figure BDA0002530096330000154
严格满足联合遍历性时，表达式
Figure BDA0002530096330000155
也为遍历的，因此
Figure BDA0002530096330000156
为一个常数；当C为常数时，下式成立：
Figure BDA0002530096330000157
由上式可得
Figure BDA0002530096330000158
因此可得
Figure BDA0002530096330000159
的方差为
Figure BDA00025300963300001510
采用泰勒展开式将h(·；Θ)在
Figure BDA00025300963300001511
处展开并消除高阶项可得
Figure BDA0002530096330000161
综上可得，
Figure BDA0002530096330000162
的方差为
Figure BDA0002530096330000163
假设vp(t)是二次均方可积的，当
Figure BDA0002530096330000164
存在时，意味着
Figure BDA0002530096330000165
可以得到
Figure BDA0002530096330000166
因此
Figure BDA0002530096330000167
存在；
采用白噪声可以对vp进行描述，此时可得
Figure BDA0002530096330000168
其中δ(·)为克罗内克函数，可以表示为
Figure BDA0002530096330000169
因此，
Figure BDA00025300963300001610
的方差可以被近似表示为转换时间Λ(t；b)的函数：
Figure BDA00025300963300001611
(7)、建立等效后的随机环境应力下的性能退化模型；
由于
Figure BDA0002530096330000171
的均值和方差皆与转换时间尺度函数Λ(t；b)成正比例关系，因此可以用等效转换时间尺度下的布朗运动U(Λ(t；b))对退化过程进行描述：
Figure BDA0002530096330000172
其中
Figure BDA0002530096330000173
Figure BDA0002530096330000174
U(·)为布朗运动；
(8)、计算随机环境应力下的寿命的概率密度函数、可靠度函数及平均失效时间；
根据式(31)所示的随机环境应力下的近似退化过程，结合时间尺度转换的非线性Wiener过程的率密度函数可以近似得到随机环境应力下产品失效寿命的概率密度函数及可靠度函数和平均失效时间MTTF表示为
Figure BDA0002530096330000175
Figure BDA0002530096330000176
Figure BDA0002530096330000177
其中D为产品的失效阈值，Φ(·)为标准正态分布函数。
实施例1
本发明在对某电子部件失效样本的失效原因及失效机理进行分析的过程中发现电容器为该电子部件的易失效元器件，对其单独进行加速退化试验。通过提高温度应力对电容器进行加速贮存试验，加速应力水平个数为3，分别为120℃、150℃、180℃，每个加速应力下的样本数量为5。在试验的过程中每隔一段时间将电容器从试验箱中取出测量其电容值，然后再将电容器放入试验箱中继续试验。由于在低加速温度应力下其退化比较缓慢，因此在低加速温度应力下的测量间隔应该适当延长，在120℃下每隔3天检测一次，在150℃下每隔2天检测一次，180℃下每隔1天检测一次，每个样本检测8次。在试验过程中发现，随着试验时间的增加，起爆电容器的电容值会逐渐减小，当电容器电容值减小量小于其初始电容值的5％即判定该电容器失效。为了统计以及后期建模的方便，将电容值相对减小百分比作为电容器的退化量，因此起爆电容器的失效阈值D＝5。
表1电容器恒定应力加速退化数据
Figure BDA0002530096330000181
Figure BDA0002530096330000191
本实施例一种随机环境应力下的电容器寿命快速评估方法，包括如下步骤：
(1)、基于时间尺度变换下的Wiener过程建立确定性环境应力下的退化模型，该退化模型可反映退化量与退化时间的关系；基于退化模型对加速应力下的退化数据进行拟合得到产品失效寿命的概率密度函数和累积概率分布函数；
在置信水平为0.05的条件下，采用Anderson-Darling统计量对退化增量进行假设检验，结果表明所有试验样本的性能退化数据都服从时间尺度转换的非线性Wiener过程；
(2)、根据失效机理不变原则，推导不同加速应力下的退化参数与时间尺度转换下的加速因子的关系；再根据退化参数和加速因子的关系式得到模型中漂移系数、扩散系数与当前应力的函数关系；
时间尺度转换函数为Λ(t；b)＝tb，计算每个样本的漂移系数、扩散系数和参数b的估计值；对退化参数进行假设检验，结果表明该电容器在各加速温度应力下的退化过程满足失效机理不变原则；
(3)、利用加速退化数据估计Wiener过程加速退化模型中未知参数的估计值；
由于加速应力为温度应力，根据阿伦尼斯方程可得加速模型的表达式为h(S；Θ)＝exp(γ0+γ1/T)，其中T为温度应力，其单位为绝对温度，Θ＝{γ0，γ1}；通过对极大似然函数求解，得到未知参数的估计值为γ0＝12.5487，γ1＝-1.0675×104，b＝1.5613，k0＝73.8625；
(4)、根据电容器随机环境应力下的应力变化情况，对随机环境应力进行表征，求解随机环境应力的均值、方差向量；
该电容器实际工作环境下的温度应力是不断变化的，其均值为25℃、标准差为5℃；
(5)、基于时间尺度转换下的非线性Wiener过程建立随机环境下的电容器性能退化模型；
(6)、根据泰勒展开以及布朗运动的性质对随机环境应力下的退化模型中的漂移系数和扩散系数进行等效，得到随机环境应力下电容器退化量均值和方差的表达式；
Figure BDA0002530096330000201
Figure BDA0002530096330000202
(7)、建立等效后的随机环境应力下的性能退化模型；
采用等效转换时间尺度下的布朗运动U(Λ(t；b))对随机环境应力下的退化过程进行描述：
Figure BDA0002530096330000203
其中等效漂移系数为6.8695×10-9，等效扩散系数为9.3004×10-11；
(8)、计算随机环境应力下的电容器失效寿命的概率密度函数曲线、可靠度函数曲线及平均失效时间；
其中概率密度函数曲线、可靠度曲线分别如图1和图2所示，其平均失效时间为4.7428×105。
采用不考虑环境应力随机性的模型对其电容器退化过程建模，得到25℃下其失效寿命的概率密度函数曲线、可靠度曲线如图1和图2中虚线所示，确定性环境应力下的平均失效时间为5.2451×105，结果表明相对于确定性环境应力下的退化过程，随机环境应力下的电容器的退化更快，其平均失效时间更短；如果不考虑环境应力的随机性，评估得到的结果将偏乐观，可能造成当失效发生时备件不足等问题。

Claims (1)

1.一种随机环境应力下的产品寿命快速评估方法，其特征在于，包括如下步骤：
(1)、基于时间尺度变换下的Wiener过程建立确定性环境应力下的退化模型，该退化模型可反映退化量与退化时间的关系；基于退化模型对加速应力下的退化数据进行拟合得到产品失效寿命的概率密度函数和累积概率分布函数；
所述步骤(1)包括如下步骤：首先通过试验获得产品在确定性环境应力下的状态监测数据，并提取能反应其健康状态的数据，随着试验时间的延长，表征其健康状态的数据不断发生退化，称该数据为退化数据；基于确定性环境应力下的退化数据，将退化过程用时间尺度变换下的非线性Wiener过程进行描述，退化量与退化时间的关系如下所示：
X(t)＝x0+λΛ(t；b)+σBB(Λ(t；b))              (1)
其中x0为产品初始退化量，其为0，λ为漂移系数，σB为扩散系数，Λ(t；b)为时间尺度转换函数，其为时间t的单调连续非线性函数，必须满足Λ(0)＝0，B(·)为标准布朗运动；
当产品的退化量大于D时，判定产品失效，将D称为该产品的失效阈值；当产品处于加速试验中，施加于产品的应力为恒定值，因此可基于式(1)所示的退化模型对加速应力下的退化数据进行拟合；随着退化过程的进行，产品的剩余寿命会随着退化时间不断减少，当退化量首次达到预设的失效阈值时，就认为产品寿命终结，因此将产品的寿命T定义为随机过程{X(t)，t＞0}首次穿越失效阈值D的时间，将该时刻称为产品的首达时间；在首达时间的定义下，产品失效寿命的概率密度函数和累积概率分布函数分别为
Figure FDA0004136015390000011
Figure FDA0004136015390000012
其中Φ(·)为标准正态分布函数；
(2)、根据失效机理不变原则，推导不同加速应力下的退化参数与时间尺度转换下的加速因子的关系；再根据退化参数和加速因子的关系式得到模型中漂移系数、扩散系数与当前应力的函数关系；
所述步骤(2)包括如下具体步骤：
针对时间尺度转换非线性Wiener过程，将其加速因子定义为在转换时间尺度下的加速因子，该加速因子定义为
Figure FDA0004136015390000021
其中
Figure FDA0004136015390000022
为转换时间尺度下的退化时间，
Figure FDA0004136015390000023
同样假设F*为产品的累积失效概率，在应力Si条件下，假设经过转换时间
Figure FDA0004136015390000024
后，产品的累积失效概率达到F*；相应地，在应力水平Sj下，经过转换时间
Figure FDA0004136015390000025
后产品的累积失效概率达到F*，则得到下面的等式
一种随机环境应力下的产品寿命快速评估方法(5)根据式(4)所示的转换时间尺度下加速因子的定义可得
Figure FDA0004136015390000026
将其代入公式(5)得到
Figure FDA0004136015390000027
等式两边分别对
Figure FDA0004136015390000028
取一阶偏导数，对任意的
Figure FDA0004136015390000029
得到
Figure FDA00041360153900000210
根据基于时间尺度变换的非线性Wiener过程的失效寿命分布的概率密度函数可得
Figure FDA00041360153900000211
Figure FDA00041360153900000212
将式(7)和式(8)代入式(6)，并且整理以后可得
Figure FDA0004136015390000031
根据失效机理不变原则，加速因子为一个常数且与转换退化时间
Figure FDA0004136015390000032
无关，因此当且仅当退化参数满足下式时应力Si相对于应力Sj的加速因子为一个常数；
Figure FDA0004136015390000033
其中时间尺度转换函数Λ(t；b)中的参数b是相等的，即bi＝bj；在对加速退化试验的失效机理进行检验时，各加速应力下的漂移系数和扩散系数的估计值满足
Figure FDA0004136015390000034
如果满足，则表明加速应力Si与加速应力Sj下的失效机理一致，如果不满足则表明加速应力Si与加速应力Sj下的失效机理发生了改变；
根据失效机理不变原则可得各应力水平下的漂移系数和扩散系数的平方之比为定值，假定该比值为k0，则漂移系数和扩散系数具有如下的函数关系
Figure FDA0004136015390000035
扩散系数的平方是当前应力S的函数，可以表示为
Figure FDA0004136015390000036
其中函数h(·；Θ)为加速模型，Θ为加速模型中未知参数的集合，根据加速退化试验得到；
(3)、利用加速退化数据估计Wiener过程加速退化模型中未知参数的估计值；
所述步骤(3)包括如下具体步骤：假设加速退化试验中的加速应力个数为K，每个应力下的样本总数为Nk，第k级加速应力Sk下第i个产品第j次测试的退化量为xkij，测量时间为tkij，其中k＝1，…，K，i＝1，…，N，j＝1，…，Mki，其中第i个样本的测量次数为
Figure FDA0004136015390000037
第k个应力下第i个产品第j次测试的退化增量为Δxkij＝xkij-xki(j-1)，时间转换尺度下的退化时间增量为
Figure FDA0004136015390000041
根据Wiener过程退化增量的性质可得
Figure FDA0004136015390000042
根据Wiener过程独立增量特性，建立如下极大似然函数
Figure FDA0004136015390000043
通过对极大似然函数求最大值，即可得到未知参数Θ、b、k0的估计值；
(4)、根据产品随机环境应力下的应力变化情况，对随机环境应力进行表征，求解随机环境应力的均值、方差向量；
所述步骤(4)包括如下具体步骤：假设产品工作条件下共有P种类型的应力，将t时刻的应力表示为
Figure FDA0004136015390000044
Sp＝sp+vp，其中sp为应力Sp的应力均值项，vp为应力随机项，其均值为0，方差为var(Sp)；因此应力
Figure FDA0004136015390000045
可以写成
Figure FDA0004136015390000046
其中
Figure FDA0004136015390000047
(5)、基于时间尺度转换下的非线性Wiener过程建立随机环境下的产品性能退化模型；
所述步骤(5)包括如下具体步骤：为了区分确定环境应力下的退化过程，将随机环境应力
Figure FDA0004136015390000048
下的退化量表示为
Figure FDA0004136015390000049
假设在随机环境应力下的退化量满足基于时间尺度转换的非线性Wiener模型，则其漂移系数表示为
Figure FDA00041360153900000410
扩散系数为
Figure FDA00041360153900000411
退化量为
Figure FDA00041360153900000412
综上随机环境应力下的产品的退化过程可以表示为
Figure FDA00041360153900000413
(6)、根据泰勒展开以及布朗运动的性质对随机环境应力下的退化模型中的漂移系数和扩散系数进行等效，得到随机环境应力下产品退化量均值和方差的表达式；
所述步骤(6)包括如下具体步骤：
随机环境应力下退化量的均值和方差分别表示为
Figure FDA0004136015390000051
其中
Figure FDA0004136015390000052
根据布朗运动的性质可得E[dB(Λ(τ；b))]＝0，由于Wiener过程中扩散系数与布朗运动是相互独立的，得到
Figure FDA0004136015390000053
将上式代入式(17)可得退化量的期望为
Figure FDA0004136015390000054
由于函数h(·；Θ)为平滑函数，将式(17)中的积分项用泰勒公式在
Figure FDA0004136015390000055
处展开为
Figure FDA0004136015390000056
其中M2(vp)为vp的二阶矩，由于
Figure FDA0004136015390000057
且vp、vq(p≠q)是相互独立的，因此
Figure FDA0004136015390000058
可以近似表示为
Figure FDA0004136015390000059
根据
Figure FDA00041360153900000510
过程的定义，可得随机环境应力下产品的退化过程在转换时间尺度下满足
Figure FDA0004136015390000061
过程，因此基于
Figure FDA0004136015390000062
公式，可得
Figure FDA0004136015390000063
由于E[dB(Λ(τ；b))]＝0，
Figure FDA0004136015390000064
的均值可以等价为
Figure FDA0004136015390000065
当
Figure FDA0004136015390000066
严格满足联合遍历性时，表达式
Figure FDA0004136015390000067
也为遍历的，因此
Figure FDA0004136015390000068
为一个常数；当C为常数时，下式成立：
Figure FDA0004136015390000069
由上式可得
Figure FDA00041360153900000610
因此可得
Figure FDA00041360153900000611
的方差为
Figure FDA00041360153900000612
采用泰勒展开式将h(·；Θ)在
Figure FDA0004136015390000071
处展开并消除高阶项可得
Figure FDA0004136015390000072
综上可得，
Figure FDA0004136015390000073
的方差为
Figure FDA0004136015390000074
假设vp(t)是二次均方可积的，当
Figure FDA0004136015390000075
存在时，意味着
Figure FDA0004136015390000076
可以得到
Figure FDA0004136015390000077
因此
Figure FDA0004136015390000078
存在；
采用白噪声对vp进行描述，此时可得
Figure FDA0004136015390000079
其中δ(·)为克罗内克函数，可以表示为
Figure FDA00041360153900000710
因此，
Figure FDA00041360153900000711
的方差可以被近似表示为转换时间Λ(t；b)的函数：
Figure FDA00041360153900000712
(7)、建立等效后的随机环境应力下的性能退化模型；
所述步骤(7)包括如下具体步骤：
由于
Figure FDA0004136015390000081
的均值和方差皆与转换时间尺度函数Λ(t；b)成正比例关系，因此可以用等效转换时间尺度下的布朗运动U(Λ(t；b))对退化过程进行描述：
Figure FDA0004136015390000082
其中
Figure FDA0004136015390000083
Figure FDA0004136015390000084
U(·)为布朗运动；
(8)、计算随机环境应力下的寿命的概率密度函数、可靠度函数及平均失效时间；
所述步骤(8)包括如下具体步骤：
根据式(31)所示的随机环境应力下的近似退化过程，结合时间尺度转换的非线性Wiener过程的率密度函数可以近似得到随机环境应力下产品失效寿命的概率密度函数及可靠度函数和平均失效时间MTTF表示为
Figure FDA0004136015390000085
Figure FDA0004136015390000086
Figure FDA0004136015390000087
其中D为产品的失效阈值，Φ(·)为标准正态分布函数。
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