CN112784413B - 一种zn-40阻尼减振结构剩余贮存寿命评估方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种ZN‑40阻尼减振结构剩余贮存寿命评估方法，在四种设置条件下，通过如下步骤实现：一：分析ZN‑40阻尼减振结构橡胶材料力学性能老化规律；二：建立ZN‑40阻尼减振结构动态响应时序分析模型；三：建立时序模型标准参数值列表；四：基于残差统计特性的老化状态识别；五：贮存年限与剩余贮存寿命估计。通过以上步骤，本发明将ZN‑40阻尼减振结构的老化状态映射到结构的振动特征上，便于进行结构老化状态识别，实现了无拆解整体评估；本发明激励类型简单，便于操作，振动能量要求低，对结构不具有破坏性；本评估方法科学，工艺性好，具有广阔推广应用价值。

Description

一种ZN-40阻尼减振结构剩余贮存寿命评估方法

技术领域

本发明涉及一种以丁基橡胶和硅橡胶为基础材料的阻尼减振结构(即ZN-40阻尼减振结构)剩余贮存寿命评估方法，它是一种基于动态响应时序分析理论和残差序列统计特征的阻尼减振结构剩余贮存寿命评估方法，它针对ZN-40阻尼减振结构中橡胶加速老化试验数据和阻尼减振结构振动响应数据，整体性地建立加速贮存试验、结构仿真分析、动态响应识别用于减振结构贮存寿命评估的定性逻辑关系和定量模型方法。它将ZN-40阻尼减振结构的老化状态映射到其振动特征上，便于进行结构老化状态识别，进一步开展贮存寿命评估。适用于以橡胶为主要减振吸能材料的阻尼减振结构剩余贮存寿命评估等领域。

背景技术

阻尼减振结构常用于关键设备或者精密部件的减振和隔振保护，防止其因剧烈振动而导致精度下降、结构损坏甚至解体，显著影响装备的可靠性。ZN-40阻尼橡胶具有较好的粘弹性，在阻尼减振结构中应用广泛。但是该橡胶材料在长期贮存过程中，随着物理化学性质逐步退化，通常产生开裂、硬化等老化现象。橡胶的老化导致其弹性下降，吸能减振效果丧失，致使阻尼减振结构无法为保护对象提供足够的缓冲保护效果。评估ZN-40阻尼减振结构的贮存寿命对于分析长期贮存装备的可靠性、维修性和使用保障特性有关键作用。

现有针对阻尼减振结构内部橡胶材料老化状态的测量试验通常带有破坏性，无法在检修维护过程中对结构剩余贮存寿命进行无损估计，对结构拆解程度要求极高。研究发现，ZN-40阻尼减振结构老化是由于其内部物理化学性质改变，引起结构基本力学特性(如硬度、刚度、永久变形率等)发生局部或者整体的退化，导致结构整体动态响应发生变化。因此，可以利用结构动力响应的变化逆向分析得到结构基本力学特性的变化，再依据ZN-40阻尼橡胶的力学性能老化规律，识别得到结构老化状态。

基于此，本发明结合ZN-40阻尼减振结构中橡胶加速老化试验数据和阻尼减振结构动态响应数据，提出一种基于动态响应时序分析理论和残差序列统计特征的橡胶材料阻尼减振结构剩余贮存寿命评估方法，实现贮存寿命的无损测量和整体评估。

发明内容

(1)本发明的目的：针对ZN-40阻尼减振结构在贮存过程中老化现象严重，且检测、评估方法复杂困难等问题，提供一种结构剩余贮存寿命评估方法，它是一种包含材料力学性能老化规律分析、结构动态响应分析及剩余贮存寿命估计的阻尼减振结构贮存状态无损测量和整体评估方法。通过减振结构随机振动响应识别其内部橡胶材料硬度，再根据硬度与橡胶老化特征参数的对应关系，确定结构在标准贮存环境意义下的相对贮存时间和剩余贮存寿命。

(2)技术方案：

本发明需建立如下基本设置：

设置1 ZN-40阻尼橡胶材料的硬度是影响阻尼减振结构振动特征的力学性能参数，阻尼减振结构贮存老化失效是因为ZN-40阻尼橡胶材料硬度增大，吸能减振效果下降；

设置2压缩永久变形率是ZN-40阻尼橡胶材料的老化特征参数，它与老化时间的定量关系服从老化经验公式：

式中：ε为压缩永久变形率，A为常数，τ为加速老化试验时间，α为时间指数，0＜α≤1，K为老化速率，由热力学温度T决定，二者之间服从阿伦尼乌斯模型：

式中：Z为大于0的常数，k为玻尔兹曼常数，T为绝对温度，E_a为激活能；

设置3 ZN-40阻尼橡胶材料邵氏A硬度与压缩永久变形率之间存在指数形式关系：

HA＝a-e^-b·ε+c (3)

式中：HA是橡胶材料邵氏A硬度，ε是橡胶材料压缩永久变形率，a,b,c是待定参数；

设置4阻尼减振结构在高斯白噪声振动激励下，其加速度响应等间隔采样结果是一个平稳、零均值的时间序列{x_t},t＝1,2,…,N，其中N为序列长度；利用自回归滑动平均模型(即ARMA模型)将该时间序列拟合为随机差分方程，根据方程左右差分多项式的阶数，记作ARMA(p,q)模型，形式如下：

式中：x_t是被测结构在t时刻对应的加速度响应瞬时值，p是自回归阶数，q是滑动平均阶数，

是自回归参数，θ_j,j＝1,2,…,q是滑动平均参数，序列{a_t,a_t-1,…,a_t-q}是残差序列，

表示均值为0，方差为

的高斯白噪声；

设ZN-40阻尼橡胶材料加速贮存试验共有m个温度应力水平，各应力水平下检测次数为n；记第i个温度应力水平下第j次检测的时间为τ_ij，测得的压缩永久变形率为ε_ij，邵氏A硬度为HA_ij，i＝1,2,…,m，j＝1,2，…,n；

设有h种老化程度已知的阻尼减振结构，对应h种不同的橡胶材料硬度值，并进行随机振动试验获取相应的加速度响应时序

t_k＝1,2,…,N，k＝1,2,…,h，N为时序

的样本长度，

分g段得到序列

l＝1,2,…,g；

本发明提出的方法主要包括分析ZN-40阻尼减振结构橡胶材料力学性能老化规律、建立ZN-40阻尼减振结构动态响应时序分析模型、建立时序模型标准参数列表、基于残差统计特性的老化状态识别以及贮存年限与剩余贮存寿命估计；

基于上述假设，本发明一种ZN-40阻尼减振结构剩余贮存寿命评估方法，通过如下步骤实现：

步骤一：分析ZN-40阻尼减振结构橡胶材料力学性能老化规律

首先，基于ZN-40阻尼橡胶材料加速贮存试验数据估计老化经验公式(1)与阿伦尼乌斯模型(2)中的未知参数，外推得到常规贮存温度下压缩永久变形率随时间的变化规律；其次，建立压缩永久变形率和邵氏A硬度数据对，据此拟合方程(3)；进一步，消去压缩永久变形率，得到ZN-40阻尼橡胶硬度与贮存老化时间的定量对应关系；

具体步骤为：

I.估计老化经验公式参数

根据公式(1)，建立如下方程：

ln(1-ε_ij)＝-K_iτ_ij ^α+lnA_i (5)

式中：τ_ij为第i个温度应力水平下第j次检测的时间，ε_ij为τ_ij时刻测得的压缩永久变形率，K_i为第i个温度应力水平下的老化速率，A_i与α为常数；对于0＜α≤1，间隔0.01对其进行赋值；对于每一个给定的α，计算误差平方和：

式中：Y_ij＝ln(1-ε_ij)，

分别为a′_i＝lnA_i,b′_i＝-K_i的最小二乘估计值；当S²取最小值时，得到α的最优估计值

进一步得到A_i,K_i的估计值

II.估计阿伦尼乌斯模型(即Arrhenius模型)参数

根据公式(2)，建立如下方程：

式中：K_i为第i个温度应力水平下的老化速率，Z为大于0的常数，k为玻尔兹曼常数，T_i为第i个温度应力水平值，E_a为激活能；依据上一步得到的老化速率估计值

按上式进行最小二乘拟合，得到老化速率K与温度应力T的关系：

式中：

为

d′＝lnZ的最小二乘估计值；

III.确定压缩永久变形率与硬度关系

基于压缩永久变形率和邵氏A硬度数据对(ε_ij,HA_ij)，结合式(1)、(3)、(8)，得到贮存温度T下硬度HA与贮存老化时间τ的对应关系：

式中：

为参数a,b,c的估计值；

步骤二：建立ZN-40阻尼减振结构动态响应时序分析模型

采用ARMA模型对ZN-40阻尼减振结构随机振动响应时序数据建模计算，包括时序数据预处理、模型定阶等过程；

具体步骤为：

I.阻尼减振结构动态响应时序预处理

对于被测阻尼减振结构的任一响应观测序列{x_t ⁽⁰⁾}，其标准化结果为：

式中：

和

为该序列的均值和方差的估计值；

II.阻尼减振结构动态响应时序模型定阶

采用贝叶斯信息准则(即BIC信息准则)确定ARMA模型(即自回归滑动平均模型)阶数，计算式如下：

式中：p,q为ARMA模型阶数，

为残差序列方差，N为时序样本长度；当贝叶斯信息准则取得最小值时，对应的模型阶数p,q为最佳模型阶数；

步骤三：建立时序模型标准参数值列表

针对响应序列

利用非线性最小二乘法求解时序模型参数，得到一系列模型参数向量估计值

k＝1,2,…,h，l＝1,2,…,g，形式如下：

式中：

为p个自回归参数的估计值，

为q个滑动平均参数的估计值，该参数向量维数等于p+q；

步骤四：基于残差统计特性的老化状态识别

对ZN-40阻尼减振结构施加高斯白噪声(即瞬时值服从高斯分布且功率谱密度是均匀分布的噪声)激励获取加速度响应时序{x_st}，t＝1,2,…,N_s，x_st是待识别结构在t时刻对应的加速度响应瞬时值，N_s为待识别序列长度；结合模型参数向量

计算各组残差序列{a_skl}；选用高阶统计量(即阶数大于二阶的统计量)计算残差序列{a_skl}的偏度系数和峰度系数，检验各组残差序列偏离正态分布的程度；结合残差序列的方差和偏峰度进行判别，当残差序列

方差最小且统计特征最符合高斯白噪声时，模型参数向量

与待识别序列{x_st}发展变化规律匹配性最好；进而根据该模型参数向量

对应的橡胶材料硬度

指出待识别结构对应的老化状态；

步骤五：贮存年限与剩余贮存寿命估计

利用步骤一中得到的ZN-40阻尼减振材料力学性能老化规律，推断具有某一邵氏A硬度

的阻尼减振结构在标准贮存环境意义下的相对贮存时间τ_s；结构贮存年限τ_max与该相对贮存时间τ_s相减即为结构在标准贮存环境意义下的剩余贮存寿命τ_r；

其中，在步骤三中所述的“非线性最小二乘法”，是指：

对于形如式(4)的ARMA(p,q)模型，经变形表达为：

式中：X_t＝[x_t-1 x_t-2 … x_t-p a_t-1 a_t-2 … a_t-q]^T为被拟合的时间序列及其残差，

为模型的待估参数向量，ε_t＝a_t是模型的残差；

通过最小化模型残差的平方和，即：

得到模型参数向量P的最小二乘估计值。

其中，在步骤四中所述的“残差”，是指：

时间序列在t时刻的取值x_t可表示为：

式中：x_t-1,x_t-2,…,x_t-p为前p步各采样点取值，a_t-1,a_t-2,…,a_t-q为前q步的残差，a_t为白噪声；x_t在t时刻的期望为：

则残差序列在t时刻的估计值

为：

式中：E(x_t)x_t在t时刻的期望。

(3)优点和功效：本发明一种ZN-40阻尼减振结构剩余贮存寿命评估方法，其优点是：

①本发明整体性地建立加速贮存试验、结构仿真分析、动态响应识别用于减振结构贮存寿命评估的定性逻辑关系和定量模型方法；将ZN-40阻尼减振结构的老化状态映射到结构的振动特征上，便于进行结构老化状态识别；

②本发明针对ZN-40阻尼减振结构整体的随机振动加速度响应进行分析，识别结构老化状态，实现了无拆解整体评估；

③本发明对结构施加的振动激励为高斯白噪声激励，激励类型简单，便于操作，振动能量要求低，对结构不具有破坏性；

④本评估方法科学，工艺性好，具有广阔推广应用价值。

附图说明

图1本发明所述方法流程图。

图2基于有限元模拟的随机振动加速度响应信号。

图3待识别序列{S_t}的残差统计特性。

具体实施方式

下面将结合实例对本发明做进一步详细说明。

某阻尼减振结构内部材料为以丁基橡胶和硅橡胶为基础的共混型阻尼材料(即ZN-40阻尼橡胶)。试验对ZN-40阻尼橡胶在90℃、110℃、130℃、150℃、170℃共5个温度等级下进行老化。材料老化过程中的永久变形率和硬度数据记录如表1所示。

表1橡胶材料加速老化试验数据

本发明一种ZN-40阻尼减振结构剩余贮存寿命评估方法，见图1所示，通过如下步骤实现：

步骤一：分析ZN-40阻尼减振结构中橡胶材料力学性能老化规律；

I.估计老化经验公式参数

首先确定待定参数α；由于0＜α≤1，间隔0.01进行取值，共进行100次计算；当不同α取值下线性回归残差平方和S²的值最小时，可得α＝0.64；在此基础上，对表1中压缩永久变形率与老化时间采用最小二乘方法拟合，结果如表2所示，r为线性相关系数；

表2压缩永久变形与老化时间拟合结果

II.加速老化参数推算

对表2所得

值与对应的T_i进行最小二乘拟合，计算得到老化速率估计值

与贮存温度T的关系为：

结合式(1)与上述拟合结果得到贮存温度T时压缩永久变形率ε与贮存老化时间τ(单位：d)的关系如下：

III.确定硬度与永久变形率关系

根据上述计算方法得到的拟合方程，外推不同老化时间对应的材料压缩永久变形率的估计值，补充表1中的压缩永久变形率和邵氏A硬度数据对，如表3所示：

表3压缩永久变形率和硬度对应数据表

对上表中的数据对按指数形式进行拟合，可得：

HA(ε)＝44.8-e^{-5.445ε+2.28} (20)

消去中间参数即压缩永久变形率(ε)，得到在贮存温度T(单位：K)的条件下，硬度(HA)与贮存老化时间(τ)的对应关系为：

步骤二：建立ZN-40阻尼减振结构动态响应时序分析模型；

I.阻尼减振结构动态响应时序特性检验与预处理

以高斯白噪声序列作为振动加速度激励。在给定硬度下，通过有限元模拟得到随机振动加速度响应信号，如图2所示；采样时间间隔为0.001s，根据式(10)对其进行标准化处理；

II.阻尼减振结构动态响应时序模型定阶

采用贝叶斯信息准则，对验证序列的10000点时序数据进行分析。当自相关阶数p和滑动平均阶数q都大于2时，贝叶斯信息准则达到最小值，因此取模型阶数为ARMA(3,3)；

步骤三：建立时序模型标准参数值列表；

设置15种ZN-40阻尼橡胶硬度(HA＝35,36,…,44,45,50,55,60,65)，然后对减振结构施加高斯白噪声激励，获取振动响应。每组试验采样间隔为0.001s，采样长度为12s，获取时序数据；将每组试验12000个时序数据点等分成4段序列，每段3000个数据点；采用非线性最小二乘法计算上述60个序列拟合ARMA(3,3)模型的模型参数，得到标准参数如表4所示；

表4标准参数列表

步骤四：基于残差统计特性的老化状态识别；

选取一种减振结构的老化程度进行识别，其所对应的橡胶材料真实的邵氏A硬度取为40，据此开展随机振动模拟试验，获取加速度响应序列并标准化后分别命名为待识别序列{S_t}，t＝1,2,…,12000；结合待识别序列与标准参数列表中的60个模型参数向量计算残差序列；

首先观察待识别序列1与标准参数列表中不同参数向量组合得到的残差序列统计特征。如图3所示，红色三角位置对应的残差序列方差最小、三阶中心矩最接近0、四阶中心矩最小、峰度系数最接近3，说明红色三角位置对应的残差序列的量值最低且最满足正态分布特点；因此，这组残差所对应的模型参数向量最能反映待识别序列的发展变化规律，匹配特性最好；从图中可以直接读出，该组模型参数对应的邵氏A硬度为40，与获取待识别序列时设定的硬度值一致，实现了识别效果；

步骤五：贮存年限与剩余贮存寿命估计；

对于本实例中的ZN-40阻尼减振结构，其内部橡胶材料邵氏A硬度达到42时，减振结构性能下降到失效临界值；在标准贮存环境温度为25℃下，根据步骤一的结果可以推断出橡胶材料邵氏A硬度为40和42时，在标准贮存环境意义下的相对贮存时间分别为19.0年和30.5年；此外，根据步骤四可知，该减振结构内部的橡胶材料硬度已经到达40，因此，该结构剩余贮存寿命为30.5-19.0＝11.5年；

结果表明，采用本发明方法可以通过分析ZN-40阻尼减振结构整体的随机振动响应实现结构剩余贮存寿命的估计，达到预期的目的。

综上所述，本发明涉及一种基于动态响应时序分析理论和残差序列统计特征的ZN-40阻尼减振结构剩余贮存寿命评估方法；它整体性地建立加速贮存试验、结构仿真分析、动态响应识别用于减振结构贮存寿命评估的定性逻辑关系和定量模型方法，将阻尼减振结构的老化状态映射到结构的振动特征上，便于进行结构老化状态识别；该方法的具体步骤是：一、分析ZN-40阻尼减振结构橡胶材料力学性能老化规律；二、建立ZN-40阻尼减振结构动态响应时序分析模型；三、建立时序模型标准参数值列表；四、基于残差统计特性的老化状态识别；五、贮存年限与剩余贮存寿命估计。本发明适用于以ZN-40橡胶为主要减振吸能材料的阻尼减振结构剩余贮存寿命评估等领域，具有整体测量和无损评估的特点，减小了检查时的拆解程度和对结构的损伤。

Claims (3)

1.一种ZN-40阻尼减振结构剩余贮存寿命评估方法，需要设置如下：

设置1：ZN-40阻尼橡胶材料的硬度是影响阻尼减振结构振动特征的力学性能参数，阻尼减振结构贮存老化失效是因为ZN-40阻尼橡胶材料硬度增大，吸能减振效果下降；

设置2：压缩永久变形率是ZN-40阻尼橡胶材料的老化特征参数，它与老化时间的定量关系服从老化经验公式：

式中：ε为压缩永久变形率，A为常数，τ为加速老化试验时间，α为时间指数，0＜α≤1，K为老化速率，由热力学温度T决定，二者之间服从阿伦尼乌斯模型：

式中：Z为大于0的常数，k为玻尔兹曼常数，T为绝对温度，E_a为激活能；

设置3：ZN-40阻尼橡胶材料邵氏A硬度与压缩永久变形率之间存在指数形式关系：

HA＝a-e^-b·ε+c (3)

式中：HA是橡胶材料邵氏A硬度，ε是橡胶材料压缩永久变形率，a,b,c是待定参数；

设置4：阻尼减振结构在高斯白噪声振动激励下，其加速度响应等间隔采样结果是一个平稳、零均值的时间序列{x_t},t＝1,2,…,N，其中N为序列长度；利用自回归滑动平均模型即ARMA模型，将该时间序列拟合为随机差分方程，根据方程左右差分多项式的阶数，记作ARMA(p,q)模型，形式如下：

式中：x_t是被测结构在t时刻对应的加速度响应瞬时值，p是自回归阶数，q是滑动平均阶数，

是自回归参数，θ_j,j＝1,2,…,q是滑动平均参数，序列{a_t,a_t-1,…,a_t-q}是残差序列，

表示均值为0，方差为

的高斯白噪声；

设ZN-40阻尼橡胶材料加速贮存试验共有m个温度应力水平，各应力水平下检测次数为n；记第i个温度应力水平下第j次检测的时间为τ_ij，测得的压缩永久变形率为ε_ij，邵氏A硬度为HA_ij，i＝1,2,…,m，j＝1,2,…,n；

设有h种老化程度已知的阻尼减振结构，对应h种不同的橡胶材料硬度值，并进行随机振动试验获取相应的加速度响应时序

N为时序

的样本长度，

分g段得到序列

其特征在于，通过如下步骤实现：

步骤一：分析ZN-40阻尼减振结构橡胶材料力学性能老化规律

首先，基于ZN-40阻尼橡胶材料加速贮存试验数据估计老化经验公式(1)与阿伦尼乌斯模型(2)中的未知参数，外推得到常规贮存温度下压缩永久变形率随时间的变化规律；其次，建立压缩永久变形率和邵氏A硬度数据对，据此拟合方程(3)；进一步，消去压缩永久变形率，得到ZN-40阻尼橡胶硬度与贮存老化时间的定量对应关系；

具体步骤为：

I.估计老化经验公式参数

根据公式(1)，建立如下方程：

ln(1-ε_ij)＝-K_iτ_ij ^α+lnA_i (5)

式中：τ_ij为第i个温度应力水平下第j次检测的时间，ε_ij为τ_ij时刻测得的压缩永久变形率，K_i为第i个温度应力水平下的老化速率，A_i与α为常数；对于0＜α≤1，间隔0.01对其进行赋值；对于每一个给定的α，计算误差平方和：

式中：Y_ij＝ln(1-ε_ij)，

分别为a′_i＝lnA_i,b′_i＝-K_i的最小二乘估计值；当S²取最小值时，得到α的最优估计值

进一步得到A_i,K_i的估计值

II.估计阿伦尼乌斯模型参数

根据公式(2)，建立如下方程：

式中：K_i为第i个温度应力水平下的老化速率，Z为大于0的常数，k为玻尔兹曼常数，T_i为第i个温度应力水平值，E_a为激活能；依据上一步得到的老化速率估计值

按上式进行最小二乘拟合，得到老化速率K与温度应力T的关系：

式中：

为

d′＝lnZ的最小二乘估计值；

III.确定压缩永久变形率与硬度关系

基于压缩永久变形率和邵氏A硬度数据对(ε_ij,HA_ij)，结合式(1)、(3)、(8)，得到贮存温度T下硬度HA与贮存老化时间τ的对应关系：

式中：

为参数a,b,c的估计值；

步骤二：建立ZN-40阻尼减振结构动态响应时序分析模型

采用ARMA模型对ZN-40阻尼减振结构随机振动响应时序数据建模计算，包括时序数据预处理、模型定阶等过程；

具体步骤为：

I.阻尼减振结构动态响应时序预处理

对于被测阻尼减振结构的任一响应观测序列{x_t ⁽⁰⁾}，其标准化结果为：

式中：

和

为该序列的均值和方差的估计值；

II.阻尼减振结构动态响应时序模型定阶

采用贝叶斯信息准则即BIC信息准则，确定ARMA模型阶数，计算式如下：

式中：p,q为ARMA模型阶数，

为残差序列方差，N为时序样本长度；当贝叶斯信息准则取得最小值时，对应的模型阶数p,q为最佳模型阶数；

步骤三：建立时序模型标准参数值列表

针对响应序列

利用非线性最小二乘法求解时序模型参数，得到一系列模型参数向量估计值

形式如下：

式中：

为p个自回归参数的估计值，

为q个滑动平均参数的估计值，该参数向量维数等于p+q；

步骤四：基于残差统计特性的老化状态识别

对ZN-40阻尼减振结构施加高斯白噪声激励获取加速度响应时序{x_st}，t＝1,2,…,N_s，x_st是待识别结构在t时刻对应的加速度响应瞬时值，N_s为待识别序列长度；结合模型参数向量

计算各组残差序列{a_skl}；选用高阶统计量计算残差序列{a_skl}的偏度系数和峰度系数，检验各组残差序列偏离正态分布的程度；结合残差序列的方差和偏峰度进行判别，当残差序列

方差最小且统计特征最符合高斯白噪声时，模型参数向量

与待识别序列{x_st}发展变化规律匹配性最好；进而根据该模型参数向量

对应的橡胶材料硬度

指出待识别结构对应的老化状态；

步骤五：贮存年限与剩余贮存寿命估计

利用步骤一中得到的ZN-40阻尼减振材料力学性能老化规律，推断具有某一邵氏A硬度

的阻尼减振结构在标准贮存环境意义下的相对贮存时间τ_s；结构贮存年限τ_max与该相对贮存时间τ_s相减即为结构在标准贮存环境意义下的剩余贮存寿命τ_r。

2.根据权利要求1所述的一种ZN-40阻尼减振结构剩余贮存寿命评估方法，其特征在于：在步骤三中所述的“非线性最小二乘法”，是指：

对于形如式(4)的ARMA(p,q)模型，经变形表达为：

式中：X_t＝[x_t-1 x_t-2 … x_t-p a_t-1 a_t-2 … a_t-q]^T为被拟合的时间序列及其残差，

为模型的待估参数向量，ε_t＝a_t是模型的残差；

通过最小化模型残差的平方和，即：

得到模型参数向量P的最小二乘估计值。

3.根据权利要求1所述的一种ZN-40阻尼减振结构剩余贮存寿命评估方法，其特征在于：在步骤四中所述的“残差”，是指：

时间序列在t时刻的取值x_t表示为：

式中：x_t-1,x_t-2,…,x_t-p为前p步各采样点取值，a_t-1,a_t-2,…,a_t-q为前q步的残差，a_t为白噪声；x_t在t时刻的期望为：

则残差序列在t时刻的估计值

为：

式中：E(x_t)为 x_t在t时刻的期望。

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