CN102629300A - 一种基于灰色预测模型的步进应力加速退化数据评估方法 - Google Patents

Abstract

一种基于灰色预测模型的步进应力加速退化数据评估方法，它有五大步骤：步骤一：对试验数据进行初步处理和转换，得到各试验样本在各应力水平下性能退化量的数据序列；步骤二：利用灰色预测建立预测模型并求取模型参数和对各模型的预测精度进行检验；步骤三：根据预测模型，计算各样品在应力水平S_a下的达到退化阀值D_f的时间

各应力水平下样品的寿命分布类型及总体参数；步骤四：找出总体参数与应力水平之间的关系方程，即加速方程；步骤五：根据加速方程，用外推法估计正常应力水平下产品总体的分布参数，根据总体参数的估计值

即得到产品在正常使用条件下的可靠性函数。本发明应用灰色系统拟合产品退化轨迹，克服其它模型的缺点，提高了预测精度。

Description

一种基于灰色预测模型的步进应力加速退化数据评估方法

(一)技术领域

本发明涉及加速退化数据的评估方法，尤其涉及一种基于灰色预测模型的步进应力加速退化数据评估方法。对于复杂系统退化轨迹难拟合的问题，应用灰色系统理论GM(1.1)预测模型，对步进应力加速退化试验中产品的性能退化量进行预测，并以此得到产品的寿命特征分布，属于应用数学和可靠性工程技术领域。

(二)背景技术

随着科学技术的长足发展，航空航天领域对电子产品提出了高可靠性长寿命的要求。应用传统的可试验方法对其寿命和可靠性指标进行评估需要漫长的时间，耗费大量的人力、物力、财力。由于加速退化试验方法不需要观测到故障的发生，只需要对预先确定的性能退化参数进行检测即可，引起了人们越来越多的重视。

目前探讨较多的加速退化试验方法是恒定应力加速退化试验方法和步进应力加速退化试验方法。恒定应力加速退化试验评估方法由于方法简单、相应理论较为完善而经常被采用，而步进应力试验与恒定应力试验相比需要的样本数更少，试验效率更高。目前对步进应力试验的加速退化数据评估方法有三种：将步进应力加速退化试验数据转换为恒定应力加速退化试验数据进行评估；基于时间序列分析对步进应力加速退化试验进行评估；基于比例退化模型的步进应力加速退化数据评估。但它们都有各自的缺陷，前两种方法都需假设产品退化过程为线性或能转换为线性模型，这导致了预测的精度不高；基于比例退化模型的方法虽能够克服退化过程线性化假设，但其计算复杂且算法迭代不易收敛等限制了其在实际工程上的实际应用。

对于试验产品的退化过程部分确知、部分信息不确知的情形，灰色系统理论可以很好地处理这类问题。灰色系统理论认为，系统是否会出现信息不完全的情况、取决于认识的层次、信息的层次和决策的层次，低层次系统的不确定量是相当的高层次系统的确定量，要充分利用已知的信息去揭示系统的规律。本发明首先根据累积损伤理论-产品的残余寿命仅依赖当时已累积失效部分和当时应力水平，将步进应力加速退化数据转化为恒定应力加速退化数据。然后将电子产品在特定环境应力下的性能退化过程看作是在时间领域内变化的灰色过程，产品的性能退化量看作灰色量，建立各应力水平下每个样本性能退化量序列的GM(1，1)预测模型，并对各模型的预测精度进行检验，确定模型的预测精度是否合格。最后根据所建立的预测模型得到各应力水平下样品的寿命分布类型及总体参数，并利用加速寿命试验处理方法确定最终的加速方程，进而用外推方法估计出正常应力下产品总体分布参数。本发明应用灰色系统GM(1，1)拟合产品的退化轨迹，反映退化量随时间变化的规律，克服了其它模型将退化过程进行线性化假设的缺点，大大提高了预测精度。与传统评估方法相比，算法简单，易操作，评估精度高，具有很强的工程实用性。

(三)发明内容

(1)目的：本发明的目的是提供一种基于灰色预测模型的步进应力加速退化数据评估方法，它解决了复杂系统在步进应力试验中退化轨迹难拟合的实际问题，对推进产品的评估周期和准确性提供可靠帮助。

(2)技术方案：本发明一种基于灰色预测模型的步进应力加速退化数据评估方法，发明原理介绍如下：

3.1产品性能退化量的灰色预测建模

3.1.1灰色系统预测模型建立

GM(1，1)模型的建模过程如下：

记原始数据序列X⁽⁰⁾为非负序列，X⁽⁰⁾＝{x⁽⁰⁾(1)，x⁽⁰⁾(2)，…，x⁽⁰⁾(n)}，其中x⁽⁰⁾≥0，k＝1，2，...，n。原始数据列进行一次累加(1-AGO)后，相应的生成数据序列为X⁽¹⁾＝{x⁽¹⁾(1)，x⁽¹⁾(2)，…，x⁽¹⁾(n)}，其中

k＝1，2，…，n。对生成数据序列建立白化微分方程形式，即GM(1，1)方程：

$\frac{{\mathrm{dx}}^{\left(1\right)}}{\mathrm{dt}}+{\mathrm{ax}}^{\left(1\right)}=u---\left(1\right)$

式中，a和u为待估参数，a是发展系数，u是灰色参数^[6]。将上式离散化后得：

$x^{\left(0\right)}(k+1)+\frac{a}{2}[x^{\left(1\right)}(k+1)+x^{\left(1\right)}\left(k\right)]=u$

$k=\mathrm{2,3},\·\·\·,n---\left(2\right)$

写成矩阵的形式为：

其中

$B=\left\{\begin{array}{c}-\frac{1}{2}(x^{\left(1\right)}\left(1\right)+x^{\left(1\right)}\left(2\right)),1\\ -\frac{1}{2}(x^{\left(1\right)}\left(2\right)+x^{\left(1\right)}\left(3\right)),1\\ ......\\ -\frac{1}{2}(x^{\left(1\right)}(n-1)+x^{\left(1\right)}\left(n\right)),1\end{array}\right\},$ $Y=\left\{\begin{array}{c}{x}^{\left(0\right)}\left(2\right)\\ x^{\left(0\right)}\left(3\right)\\ ...\\ x^{\left(0\right)}\left(n\right)\end{array}\right\}$

应用最小二乘法其解方程得：

$\hat{a}={[a,u]}^T={\left(B^{T}B\right)}^{-1}{B}^{T}Y,$

最后解得方程的时间响应函数为：

${\hat{x}}^{\left(1\right)}(k+1)=(x^{\left(0\right)}\left(1\right)-\frac{u}{a}{e}^{-\mathrm{ak}}+\frac{u}{a})---\left(3\right)$

再作一次累减(1-IAGO)还原序列得到预测序列，即灰色GM(1，1)模型的具体计算公式为：

${\hat{x}}^{\left(0\right)}(k+1)={\hat{x}}^{\left(1\right)}(k+1)-{\hat{x}}^{\left(1\right)}\left(k\right)=-a[x^{\left(0\right)}\left(1\right)-\frac{u}{a}\exp (-\mathrm{ak})]$

$k=\mathrm{1,2,3},\·\·\·,n---\left(4\right)$

3.1.2GM(1，1)模型的检验

为确保所建立的灰色预测模型有较高的可信度应用于预测实践，一般需要检验其预测精度。可以用参差检验、后验差检验和灰度关联度等方法。进行精度检验的步骤如下：

Step1求出x⁽⁰⁾(k)与

之残差e(k)、相对误差Δk和平均相对误差

$e\left(k\right)=x^{\left(0\right)}\left(k\right)-{\hat{x}}^{\left(0\right)}\left(k\right)---\left(5\right)$

$\mathrm{\Δk}=\left|\frac{e\left(k\right)}{x^{\left(0\right)}\left(k\right)}\right|\×100\%---\left(6\right)$

Step2求出原始数据平均值

残差平均值

$\stackrel{\‾}{x}=\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}^{\left(0\right)}\left(k\right)---\left(7\right)$

$\stackrel{\‾}{e}=\frac{1}{n-1}\underset{k=2}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{\left(0\right)}\left(k\right)---\left(8\right)$

数据方差s₁ ²与残差方差s₂ ²的均方差比值C和小误差概率P为：

${s_1}^2=\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{[x^{\left(0\right)}\left(k\right)-\stackrel{\‾}{x}]}^2---\left(9\right)$

${s_2}^2=\frac{1}{n-1}\underset{k=2}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{[e^{\left(0\right)}\left(k\right)-\stackrel{\‾}{e}]}^2---\left(10\right)$

C＝S₂/S₁           (11)

$p=P\left\{\right|e^{\left(0\right)}\left(k\right)-\stackrel{\&OverBar;}{e}|<0.6745S_1\}---\left(12\right)$

通常，e(k)、Δk、C值越小，P值越大，则模型的预测精度越好。按P，C可以将模型精度分为4级，如表所示。根据灰色系统理论，当发展系数a∈(-2，2)且a≥-0.3时，则所建立的GM(1，1)模型可用于中长期预测。并且当p≥0.95且C≤0.35时说明预测精度良好。

3.2累积损伤理论

Nelson的累积损伤理论指出产品的残余寿命仅依赖于当时已累积失效部分和当时应力水平，而与累积方式无关。具体含义为：产品在应力水平S_i下工作τ_i时间的累积失效概率F_i(τ_i)等于此产品在应力水平S_j下工作某一段时间τ_ij的累积失效概率F_i(τ_ij)，即：

F_i(t_i)＝F_j(t_ij)，i≠j                (13)

在概率意义下，在S_i下工作τ_i相当于在S_i下工作τ_ij时间，见图1所示：

利用这一假定，可以获得步进试验中时间折算公式，这里假定电子产品是服从指数分布：

F_i(t_i)＝1-exp(-t/θ_i)               (14)

从式13和式14可得到：

其中两平均寿命之比θ_j/θ_i就是S_j对S_i的加速系数

当j＞i时，式子15可写为：

${\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{ij}}=\frac{{\mathrm{\&theta;}}_j}{{\mathrm{\&theta;}}_i}{\mathrm{\&tau;}}_i=\frac{{\mathrm{\&theta;}}_j}{{\mathrm{\&theta;}}_{j-1}}\frac{{\mathrm{\&theta;}}_{j-1}}{{\mathrm{\&theta;}}_{j-2}}\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\frac{{\mathrm{\&theta;}}_{i+1}}{{\mathrm{\&theta;}}_i}{\mathrm{\&tau;}}_i---\left(16\right)$

可发现把τ_i折算到S_i+1的时间，接着再折算到S_i+2下的时间，最后再折算到S_j下的时间，其结果与直接从S_i折算到S_j的结果是一致的。这表明时间折算与累积方式无关。

有了时间折算公式就可对步进试验数据进行补偿，使其成为寿命数据。在S_i下的失效时间t_ij并没有计算其产品在S₁，S₁，…，S_i-1下的工作时间τ₁，τ_i…，τ_i-1。而这些工作时间折算到S_i下的时间为a_i，其取值为：

$\left\{\begin{array}{c}{a}_1=0\\ a_2={\mathrm{\&tau;}}_{12}=\frac{{\mathrm{\&theta;}}_2}{{\mathrm{\&theta;}}_1}{\mathrm{\&tau;}}_1\\ a_2={\mathrm{\&tau;}}_{13}+{\mathrm{\&tau;}}_{23}=\frac{{\mathrm{\&theta;}}_3}{{\mathrm{\&theta;}}_1}{\mathrm{\&tau;}}_1+\frac{{\mathrm{\&theta;}}_3}{{\mathrm{\&theta;}}_2}{\mathrm{\&tau;}}_2\\ .........\\ a_k={\mathrm{\&tau;}}_{1k}+{\mathrm{\&tau;}}_{2k}+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+{\mathrm{\&tau;}}_{k-1,k}=\underset{j=1}{\overset{k-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{{\mathrm{\&theta;}}_k}{{\mathrm{\&theta;}}_j}{\mathrm{\&tau;}}_i\end{array}\right.---\left(17\right)$

把a_i加到t_ij上去，所得t_ij+a_i，j＝1，…r_i才是S_i下的寿命数据。

3.2.1定时转换步进试验的统计分析

设有n个产品在一组加速应力水平{S₁，S₂，…，S_k}下顺序进行定时转换步进试验，其应力水平转换时间按分别为τ₁，τ₂，…，τ_k，设在S_i下持续时间τ_i内共有r_i个失效，其失效时间为

i＝1，…，k。而在S_i下的寿命数据为：

$t_{i1}+a_i\&le;t_{i2}+a_i\&le;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;t_{i{r}_i}+a_i,i=1,\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,k---\left(18\right)$

其中a_i如式(17)所示，若记：

R_i＝r₁+r₂…+r_i，i＝1，…，k

则R_i是在τ₁+τ₂…+τ_i内的总失效数。除了i＝1以外，寿命数据(18)可以看作双截尾样本。它的左截尾数为R_i-1，因为在此样本出现前已有r₁+r₂…+r_i-1个产品发生失效。它的右截尾数为R_i，因为在此样本之后尚有n-R_i个产品未失效。故可改写为：

$t_{i,R_{i-1}+1}+a_i\&le;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;t_{i,R_i}+a_i,i=2,\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,k$

从折算公式(15)可见，折算时间τ_ij还是未知参数b的函数，τ_ij＝τ_ij(b)，故a_ij＝a_ij(b)也是b的函数。由于b是加速模型中的斜率，仍然是一个待估参数，因此双截尾样本(18)中，除i＝1外，其余均为有待估参数b。为了避免这个困难，有必要进行如下处理：

设t_r，n＝t_s，n(r＜s)是服从指数分布F_i(t_i)＝1-exp(-t/θ_i)，t＞0，中抽取的容量为n样本的第r个和第s个次序统计量，其差t_s,n-t_r,n是服从同一指数分布总体找那个抽取容量为n-r的样本的第s-r个次序统计量。这说明，在指数分布场合，用两个次序统计量的差不仅可以消去补偿量a_i，而且还是同一分布的次序统计量，只不过样本容量由n减少到n-r。这当然是一种信息损失，为了使信息损失最小，在i＝2，…，k的每个双截尾样本中都减去各自的第一个分量，如此得到数据：

$\left.\begin{array}{c}{t}_{i1}^{*}=t_{i,R_{i-1}+2}-t_{i,R_{i-1}+1}\\ t_{i2}^{*}=t_{i,R_{i-1}+3}-t_{i,R_{i-1}+1}\\ .........\\ t_{{\mathrm{ir}}_{i-1}}^{*}=t_{i,R_i}-t_{i,R_{i-1}+1}\end{array}\right\}i=2,\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,k$

是来自指数F_i(t_i)＝1-exp(-t/θ_i)的容量为n-R_i-1的样本的前r_i-1个次序统计量，即是一个定数截尾样本。尚有n-R_i-1-1-(r_i-1)＝n-R_i个产品未失效。而在i＝1时(即在S_i下)的样本本身就是一个截尾样本，这样依赖，就可以把定时转换步进试验数据转化为如下的定时截尾恒加试验数据：

$\left.\begin{array}{c}{t}_{11}^{*}\&le;t_{12}\&le;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&le;t_{1r_1}<{\mathrm{\&tau;}}_1^{*}\\ t_{21}^{*}\&le;t_{22}^{*}\&le;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&le;t_{2r_2-1}^{*}<{\mathrm{\&tau;}}_2^{*}\\ .........\\ t_{k1}^{*}\&le;t_{k2}^{*}\&le;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&le;t_{k{r}_k-1}^{*}<{\mathrm{\&tau;}}_k^{*}\end{array}\right\}$ 其中， $\begin{array}{c}{t}_1^{*}={\mathrm{\&tau;}}_1\\ {\mathrm{\&tau;}}_i^{*}={\mathrm{\&tau;}}_i-t_{i1}\\ i=2,\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,k\end{array}$

3.2.2定数转换步进试验的统计分析

设有n个产品在一组加速应力水平{S₁，S₂，…，S_k}下顺序进行定数转换步进试验，其应力水平转换时间按分别为r₁，r₂，…，r_k个产品发生的失效时间，而r₁，r₂，…，r_k分别为事先确定的各应力水平下的失效数。设在S_i下的失效时间为：

$t_i\&le;t_{i2}\&le;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;t_{i{r}_i}<t_i,i=1,\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,k$

利用时间折算公式(15)可得到补偿量a_i，，把它加到S_i下的失效时间上去，就可得到S_i下的寿命数据。

$t_i+a_i\&le;t_{i2}+a_i\&le;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;t_{i{r}_i}+a_i,i=1,\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,k$

其中，a₁＝0

$a_i=\underset{j=1}{\overset{i-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{{\mathrm{\&theta;}}_i}{{\mathrm{\&theta;}}_j}{t}_{j,r_j},i=2,\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,k$

恰好是在S_i下第R_i-1个失效数据。因此把a_i加到S_i下的失效时间上去，所得的r_i+1的寿命数据

是S_i下的容量为n的双截尾样本，它的左截尾数为R_i-1-1，右截尾数为R_i。为了回避对补偿量a_i的估计，用后面(从第二个开始)的分量分别减去第一个分量，所得

恰好是容量为R_i-1-1的前r_i个次序统计量，即

是来自指数分布总体F_i(t_i)＝1-exp(-t/θ_i)的容量为n-R_i-1的定数截尾样本。这样就可把定数转换步进试验数据转化为如下的定数截尾恒加试验数据：

3.3步进应力加速退化试验数据评估步骤

综上所述，本发明一种基于灰色预测模型的步进应力加速退化数据评估方法，该方法具体步骤如下：

步骤一：对试验数据进行初步处理和转换，得到各试验样本在各应力水平下性能退化量的数据序列。

根据累计损伤理论可知，产品的残余寿命仅依赖于当时已累积失效部分和当时应力水平，而与累积方式无关。对试验数据进行初步处理，将步进应力加速退化数据转化为恒定应力加速退化试验数据，其转换方法如下：

假设有n个试验样本进行k水平的温度SSADT。试验过程中每隔Δt时间对产品通电一次，并检测性能参数。设退化特征量为

Y(t)＝A-βt

其中，系数β为应力S的函数。则设第j个样品在t时刻的步进应力退化数据转化为恒定应力退化数据的折算公式为：

cy_ij(t)＝A_j-y_ij(t)+y_mi                (19)

其中，A_j(j＝1，…，n)为第j个样品的初始性能值，y_ij(i＝1，…，k)为第j个样品的在第i个应力下第k次测量时的步进应力退化量，y_mi(m＝1，…，i-1)为前m个应力水平下产品的性能退化量。通过转化，可以将步进加速应力性能退化数据对(t_ij，y_ij(t))转化为恒定应力性能退化数据对(t_ij，cy_ij(t))。利用此转换公式，可以得到各样本在各应力水平下性能退化量的数据序列。

步骤二：利用灰色预测建模方法，建立各应力水平下每个样本性能退化量序列的GM(1，1)预测模型，求取模型参数。利用模型，求得每个样本性能退化量序列的预测值。然后利用GM(1，1)模型的检验方法，对各模型的预测精度进行检验，以确认是否可以应用GM(1，1)进行预测样本的性能退化量。

GM(1，1)模型的建模过程如下：记原始数据序列X⁽⁰⁾为非负序列，X⁽⁰⁾＝{x⁽⁰⁾(1)，x⁽⁰⁾(2)，…，x⁽⁰⁾(n)}，其中x⁽⁰⁾≥0，k＝1，2，...，n。原始数据列进行一次累加(1-AGO)后，相应的生成数据序列为X⁽¹⁾＝{x⁽¹⁾(1)，x⁽¹⁾(2)，…，x⁽¹⁾(n)}，其中

k＝1，2，…，n。对生成数据序列建立白化微分方程形式，即GM(1，1)方程：

$\frac{{\mathrm{dx}}^{\left(1\right)}}{\mathrm{dt}}+{\mathrm{ax}}^{\left(1\right)}=u---\left(20\right)$

式中，a和u为待估参数，a是发展系数，u是灰色参数。将上式离散化后得：

$x^{\left(0\right)}(k+1)+\frac{a}{2}[x^{\left(1\right)}(k+1)+x^{\left(1\right)}\left(k\right)]=u$

$k=\mathrm{2,3},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,n---\left(21\right)$

写成矩阵的形式为：

其中

$B=\left\{\begin{array}{c}-\frac{1}{2}(x^{\left(1\right)}\left(1\right)+x^{\left(1\right)}\left(2\right)),1\\ -\frac{1}{2}(x^{\left(1\right)}\left(2\right)+x^{\left(1\right)}\left(3\right)),1\\ ......\\ -\frac{1}{2}(x^{\left(1\right)}(n-1)+x^{\left(1\right)}\left(n\right)),1\end{array}\right\},$ $Y=\left[\begin{array}{c}{x}^{\left(0\right)}\left(2\right)\\ x^{\left(0\right)}\left(3\right)\\ ...\\ x^{\left(0\right)}\left(n\right)\end{array}\right]$

应用最小二乘法其解方程得：

$\widehat{a=}{[a,u]}^T={\left(B^{T}B\right)}^{-1}{B}^{T}Y,$

最后解得方程的时间响应函数为：

${\hat{x}}^{\left(1\right)}(k+1)=(x^{\left(0\right)}\left(1\right)-\frac{u}{a}{e}^{-\mathrm{ak}}+\frac{u}{a})---\left(22\right)$

再作一次累减(1-IAGO)还原序列得到预测序列，即灰色GM(1，1)模型的具体计算公式为：

${\hat{x}}^{\left(0\right)}(k+1)={\hat{x}}^{\left(1\right)}(k+1)-{\hat{x}}^{\left(1\right)}\left(k\right)=-a[x^{\left(0\right)}\left(1\right)-\frac{u}{a}\exp (-\mathrm{ak})]$

$k=\mathrm{1,2,3},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,n---\left(23\right)$

GM(1，1)模型的检验过程如下：

为确保所建立的灰色预测模型有较高的可信度应用于预测实践，一般需要检验其预测精度。可以用参差检验、后验差检验和灰度关联度等方法。进行精度检验的步骤如下：

1、求出x⁽⁰⁾(k)与之残差e(k)、相对误差Δk和平均相对误差

$e\left(k\right)=x^{\left(0\right)}\left(k\right)-{\hat{x}}^{\left(0\right)}\left(k\right)---\left(24\right)$

$\mathrm{\&Delta;k}=\left|\frac{e\left(k\right)}{x^{\left(0\right)}\left(k\right)}\right|\&times;100\%---\left(25\right)$

2、求出原始数据平均值

残差平均值

$\stackrel{\&OverBar;}{x}=\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}^{\left(0\right)}\left(k\right)---\left(26\right)$

$\stackrel{\&OverBar;}{e}=\frac{1}{n-1}\underset{k=2}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{e}^{\left(0\right)}\left(k\right)---\left(27\right)$

数据方差s₁ ²与残差方差s₂ ²的均方差比值C和小误差概率P为：

${s_1}^2=\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{[x^{\left(0\right)}\left(k\right)-\stackrel{\&OverBar;}{x}]}^2---\left(28\right)$

${s_2}^2=\frac{1}{n-1}\underset{k=2}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{[e^{\left(0\right)}\left(k\right)-\stackrel{\&OverBar;}{e}]}^2---\left(29\right)$

C＝S₂/S₁                (30)

$p=P\left\{\right|e^{\left(0\right)}\left(k\right)-\stackrel{\&OverBar;}{e}|<0.6745S_1\}---\left(31\right)$

通常，e(k)、Δk、C值越小，P值越大，则模型的预测精度越好。按P，C可以将模型精度分为4级，如表所示。根据灰色系统理论，当发展系数a∈(-2，2)且a≥-0.3时，则所建立的GM(1，1)模型可用于中长期预测。并且当p≥0.95且C≤0.35时说明预测精度良好。

步骤三：若模型的预测精度检验合格，假定退化阀值为D_f，根据步骤二所建立的预测模型，计算各样品在应力水平S_α下的达到退化阀值D_f的时间

即样品的伪失效寿命时间。对应力水平S_α下各样本的伪失效寿命进行分布假设检验，得到各应力水平下样品的寿命分布类型(如威布尔分布)，并估算各应力水平下样品的寿命分布的总体参数(如威布尔分布参数中的尺度参数m和形状参数η)。

步骤四：利用加速寿命试验处理不同应力水平下总体参数之间关系的方法，对上一步得到的不用应力水平下样品分布的总体参数，找出总体参数与应力水平之间的关系方程，即加速方程。例如在温度应力下，一般采用Arrhenius模型。利用最小二乘法，估计加速方程中各参数值，得到总体参数与应力水平之间的对应关系。威布尔分布的参数与应力水平的对应关系为ln(η)＝a+b/T。

步骤五：根据上一步得到的加速方程，用外推法估计正常应力水平下产品总体的分布参数，根据总体参数的估计值

即可得到产品在正常使用条件下的可靠性函数：

$\hat{R}\left(T\right)=\exp \{-{\left\{\frac{t}{{\widehat{\mathrm{\&eta;}}}_0}\right\}}^{{\hat{m}}_0}\}$

(3)优点及功效：本发明的优点是：应用灰色系统理论GM(1，1)预测模型对步进应力加速退化试验数据进行评估，克服了其他模型将退化过程进行线性化假设的缺点，打打提高了预测精度，算法简单，易操作，评估精度高，具有很强的工程实用性。

(四)附图说明

图1是时间折算示意图

图2是本发明流程框图

图中符号说明如下：

F(t)代表累积失效率；F_i(t)代表应力水平S_i下的累积失效率；F_i(t)代表应力水平S_j下的累积失效率；τ_ij代表应力水平S_i下工作τ_i时间等价于在应力水平S_j下的工作时间。τ_i代表在应力水平S_i下工作τ_i时间。

(五)具体实施方式：

见图2，本发明一种基于灰色预测模型的步进应力加速退化数据评估方法，该方法具体步骤如下：

步骤一：对试验数据进行初步处理和转换，得到各试验样本在各应力水平下性能退化量的数据序列。

根据累计损伤理论可知，产品的残余寿命仅依赖于当时已累积失效部分和当时应力水平，而与累积方式无关。对试验数据进行初步处理，将步进应力加速退化数据转化为恒定应力加速退化试验数据，其转换方法如下：

假设有n个试验样本进行k水平的温度SSADT。试验过程中每隔Δt时间对产品通电一次，并检测性能参数。设退化特征量为

Y(t)＝A-βt

其中，系数β为应力S的函数。则设第j个样品在t时刻的步进应力退化数据转化为恒定应力退化数据的折算公式为：

cy_ij(t)＝A_j-y_ij(t)+y_mi                   (13)

其中，A_j(j＝1，…，n)为第j个样品的初始性能值，y_ij(i＝1，…，k)为第j个样品的在第i个应力下第k次测量时的步进应力退化量，y_mi(m＝1，…，i-1)为前m个应力水平下产品的性能退化量。通过转化，可以将步进加速应力性能退化数据对(t_ij，y_ij(t))转化为恒定应力性能退化数据对(t_ij，cy_ij(t))。利用此转换公式，可以得到各样本在各应力水平下性能退化量的数据序列。

步骤二：利用灰色预测建模方法，建立各应力水平下每个样本性能退化量序列的GM(1，1)预测模型，求取模型参数。利用模型，求得每个样本性能退化量序列的预测值。然后利用GM(1，1)模型的检验方法，对各模型的预测精度进行检验，以确认是否可以应用GM(1，1)进行预测样本的性能退化量。

GM(1，1)模型的建模过程如下：

记原始数据序列X⁽⁰⁾为非负序列，X⁽⁰⁾＝{x⁽⁰⁾(1)，x⁽⁰⁾(2)，…，x⁽⁰⁾(n)}，其中x⁽⁰⁾≥0，k＝1，2，...，n。原始数据列进行一次累加(1-AGO)后，相应的生成数据序列为X⁽¹⁾＝{x⁽¹⁾(1)，x⁽¹⁾(2)，…，x⁽¹⁾(n)}，其中

k＝1，2，…，n。对生成数据序列建立白化微分方程形式，即GM(1，1)方程：

$\frac{{\mathrm{dx}}^{\left(1\right)}}{\mathrm{dt}}+{\mathrm{ax}}^{\left(1\right)}=u---\left(1\right)$

式中，a和u为待估参数，a是发展系数，u是灰色参数^[6]。将上式离散化后得：

$x^{\left(0\right)}(k+1)+\frac{a}{2}[x^{\left(1\right)}(k+1)+x^{\left(1\right)}\left(k\right)]=u$

$k=\mathrm{2,3},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,n---\left(2\right)$

写成矩阵的形式为：

其中

$B=\left\{\begin{array}{c}-\frac{1}{2}(x^{\left(1\right)}\left(1\right)+x^{\left(1\right)}\left(2\right)),1\\ -\frac{1}{2}(x^{\left(1\right)}\left(2\right)+x^{\left(1\right)}\left(3\right)),1\\ ......\\ -\frac{1}{2}(x^{\left(1\right)}(n-1)+x^{\left(1\right)}\left(n\right)),1\end{array}\right\},$ $Y=\left[\begin{array}{c}{x}^{\left(0\right)}\left(2\right)\\ x^{\left(0\right)}\left(3\right)\\ ...\\ x^{\left(0\right)}\left(n\right)\end{array}\right]$

应用最小二乘法其解方程得：

$\hat{a}={[a,u]}^T={\left(B^{T}B\right)}^{-1}{B}^{T}Y,$

最后解得方程的时间响应函数为：

${\hat{x}}^{\left(1\right)}(k+1)=(x^{\left(0\right)}\left(1\right)-\frac{u}{a}{e}^{-\mathrm{ak}}+\frac{u}{a})---\left(3\right)$

再作一次累减(1-IAGO)还原序列得到预测序列，即灰色GM(1，1)模型的具体计算公式为：

${\hat{x}}^{\left(0\right)}(k+1)={\hat{x}}^{\left(1\right)}(k+1)-{\hat{x}}^{\left(1\right)}\left(k\right)=-a[x^{\left(0\right)}\left(1\right)-\frac{u}{a}\exp (-\mathrm{ak})]$

$k=\mathrm{1,2,3},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,n---\left(4\right)$

GM(1，1)模型的检验过程如下：

为确保所建立的灰色预测模型有较高的可信度应用于预测实践，一般需要检验其预测精度。可以用参差检验、后验差检验和灰度关联度等方法。进行精度检验的步骤如下：

1、求出x⁽⁰⁾(k)与之残差e(k)、相对误差Δk和平均相对误差

$e\left(k\right)=x^{\left(0\right)}\left(k\right)-{\hat{x}}^{\left(0\right)}\left(k\right)---\left(5\right)$

$\mathrm{\&Delta;k}=\left|\frac{e\left(k\right)}{x^{\left(0\right)}\left(k\right)}\right|\&times;100\%---\left(6\right)$

2、求出原始数据平均值

残差平均值

$\stackrel{\&OverBar;}{x}=\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}^{\left(0\right)}\left(k\right)---\left(7\right)$

$\stackrel{\&OverBar;}{e}=\frac{1}{n-1}\underset{k=2}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{e}^{\left(0\right)}\left(k\right)---\left(8\right)$

数据方差s₁ ²与残差方差s₂ ²的均方差比值C和小误差概率P为：

${s_1}^2=\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{[x^{\left(0\right)}\left(k\right)-\stackrel{\&OverBar;}{x}]}^2---\left(9\right)$

${s_2}^2=\frac{1}{n-1}\underset{k=2}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{[e^{\left(0\right)}\left(k\right)-\stackrel{\&OverBar;}{e}]}^2---\left(10\right)$

C＝S₂/S₁                (11)

$p=P\left\{\right|e^{\left(0\right)}\left(k\right)-\stackrel{\&OverBar;}{e}|<0.6745S_1\}---\left(12\right)$

通常，e(k)、Δk、C值越小，P值越大，则模型的预测精度越好。按P，C可以将模型精度分为4级，如表所示。根据灰色系统理论，当发展系数a∈(-2，2)且a≥-0.3时，则所建立的GM(1，1)模型可用于中长期预测。并且当p≥0.95且C≤0.35时说明预测精度良好。

步骤三：若模型的预测精度检验合格，假定退化阀值为D_f，根据第二步所建立的预测模型，计算各样品在应力水平S_α下的达到退化阀值D_f的时间

即样品的伪失效寿命时间。图1是时间折算示意图。对应力水平S_α下各样本的伪失效寿命进行分布假设检验，得到各应力水平下样品的寿命分布类型，并估算样品的寿命分布的总体参数(如威布尔分布参数中的尺度参数m和形状参数)。

步骤四：利用加速寿命试验处理不同应力水平下总体参数之间关系的方法，对上一步得到的不用应力水平下样品分布的总体参数，找出总体参数与应力水平之间的关系方程，即加速方程。例如在温度应力下，一般采用Arrhenius模型：ln(η)＝a+b/T

利用最小二乘法，估计加速方程中各参数值，得到总体参数与应力水平之间的对应关系：

${\widehat{\mathrm{\&eta;}}}_i=e^{\hat{a}+\hat{b}/T_i}$ ${\hat{m}}_i\&equiv;\frac{\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}}{n}_i{m}_i}{\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}}{n}_i}$

步骤五：根据上一步得到的加速方程，用外推法估计正常应力水平下产品总体的分布参数，根据总体参数的估计值，即可得到产品在正常使用条件下的可靠性函数：

$\hat{R}\left(T\right)=\exp \{-{\left\{\frac{t}{{\widehat{\mathrm{\&eta;}}}_0}\right\}}^{{\hat{m}}_0}\}.$

Claims (2)

1.一种基于灰色预测模型的步进应力加速退化数据评估方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤一：对试验数据进行初步处理和转换，得到各试验样本在各应力水平下性能退化量的数据序列；

根据累计损伤理论，产品的残余寿命仅依赖于当时已累积失效部分和当时应力水平，而与累积方式无关，对试验数据进行初步处理，将步进应力加速退化数据转化为恒定应力加速退化试验数据，其转换方法如下：

假设有n个试验样本进行k水平的温度SSADT，试验过程中每隔Δt时间对产品通电一次，并检测性能参数，设退化特征量为

Y(t)＝A-βt

其中，系数β为应力S的函数，则设第j个样品在t时刻的步进应力退化数据转化为恒定应力退化数据的折算公式为：

cy_ij(t)＝A_j-y_ij(t)+y_mi           (19)

其中，A_j(j＝1，…，n)为第j个样品的初始性能值，y_ij(i＝1，…，k)为第j个样品的在第i个应力下第k次测量时的步进应力退化量，y_mi(m＝1，…，i-1)为前m个应力水平下产品的性能退化量，通过转化，将步进加速应力性能退化数据对(t_ij，y_ij，(t))转化为恒定应力性能退化数据对(t_ij，cy_ij(t))；利用此转换公式，得到各样本在各应力水平下性能退化量的数据序列；

步骤二：利用灰色预测建模方法，建立各应力水平下每个样本性能退化量序列的GM(1，1)预测模型，求取模型参数；利用模型，求得每个样本性能退化量序列的预测值，然后利用GM(1，1)模型的检验方法，对各模型的预测精度进行检验，以确认是否可以应用GM(1，1)进行预测样本的性能退化量；

GM(1，1)模型的建模过程如下：记原始数据序列X⁽⁰⁾为非负序列，X⁽⁰⁾＝{x⁽⁰⁾(1)，x⁽⁰⁾(2)，…，x⁽⁰⁾(n)}，其中x⁽⁰⁾≥0，k＝1，2，...，n；原始数据列进行一次累加(1-AGO)后，相应的生成数据序列为X⁽¹⁾＝{x⁽¹⁾(1)，x⁽¹⁾(2)，…，x⁽¹⁾(n)}，其中 

k＝1，2，…，n；对生成数据序列建立白化微分方程形式，即GM(1，1)方程：

式中，a和u为待估参数，a是发展系数，u是灰色参数；将上式离散化后得：

写成矩阵的形式为： 

其中

应用最小二乘法其解方程得：

最后解得方程的时间响应函数为：

再作一次累减(1-IAGO)还原序列得到预测序列，即灰色GM(1，1)模型的具体计算公式为：

GM(1，1)模型的检验过程如下：

1、求出x⁽⁰⁾(k)与 之残差e(k)、相对误差Δk和平均相对误差 

。

2.求出原始数据平均值 

残差平均值 

数据方差s₁ ²与残差方差s₂ ²的均方差比值C和小误差概率P为：

C＝S₂/S₁            (30)

通常，e(k)、Δk、C值越小，P值越大，则模型的预测精度越好；按P，C将模型精度分为4级，根据灰色系统理论，当发展系数a∈(-2，2)且a≥-0.3时，则所建立的GM(1，1)模型用于中长期预测，并且当p≥0.95且C≤0.35时说明预测精度良好；

步骤三：若模型的预测精度检验合格，假定退化阀值为D_f，根据步骤二所建立的预测模型，计算各样品在应力水平S_a下的达到退化阀值D_f的时间 

即样品的伪失效寿命时间，对应力水平S_α下各样本的伪失效寿命进行分布假设检验，得到各应力水平下样品的寿命分布类型，并估算各应力水平下样品的寿命分布的总体参数；

步骤四：利用加速寿命试验处理不同应力水平下总体参数之间关系的方法，对上一步得到的不用应力水平下样品分布的总体参数，找出总体参数与应力水平之间的关系方程，即加速方程；例如在温度应力下，一般采用Arrhenius模型；利用最小二乘法，估计加速方程中各参数值，得到总体参数与应力水平之间的对应关系，威布尔分布的参数与应力水平的对应关系为ln(η)＝a+b/T；

步骤五：根据上一步得到的加速方程，用外推法估计正常应力水平下产品总体的分布参数，根据总体参数的估计值 

即得到产品在正常使用条件下的可靠性函数：

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