CN102262191A - 一种固体钽电解电容器寿命预测方法 - Google Patents

Abstract

一种固体钽电解电容器寿命预测方法，它有五大步骤：一、采集漏电流和电容量退化数据；二、确定退化轨迹模型和加速退化模型；三、外推各应力水平下钽电容的伪失效寿命；四、伪寿命分布假设检验及其未知参数估计；五、外推估计正常应力下钽电容的寿命。本发明利用灰色理论自适应双参数预测模型来建立电容器的退化轨迹模型，外推各应力水平下钽电容的伪失效寿命，结合阿伦尼斯加速退化模型，检验钽电容的伪寿命分布假设并估计其未知参数，外推估计正常应力下钽电容的寿命分布总体参数，形成基于漏电流和电容量退化的钽电容寿命预测曲线。它无需寿命试验，缩短了试验时间，节约了试验成本，解决了传统寿命预测精度不高、与工程实际不相适应的难题。

Description

一种固体钽电解电容器寿命预测方法

(一)技术领域

本发明涉及一种固体钽电解电容器寿命预测方法，属于寿命预测技术领域。

(二)背景技术

固体钽电解电容器(以下简称为钽电容)由于其体积小、容量大、漏电流小、低损耗、可靠性高，具有自愈性等诸多优异性能而被广泛地应用于宇航、航空航天等领域，在电子产品中主要起电源滤波、退耦、耦合、谐振等作用。钽电容失效会引发整个系统可靠性迅速下降，甚至发生故障，因此对其寿命进行科学地评估和预测尤为重要。

随着科学技术的进步与发展，钽电容的可靠性得到极大的提高，在定时截尾寿命试验中，经常会出现无失效的情况。对于建立在失效数据分析基础上的贮存寿命理论来说，在极少失效甚至是无失效的情况下，如何对钽电容寿命进行预测是一个难题。

与普通电容相比，由于钽电容具高可靠、长寿命、软失效等特点，在短时间内很难得到它的寿命数据，传统寿命试验方法面临着试验时间长、费用贵等困难。由于高可靠钽电容在各军用型号中大量使用，迫切需要研究在工程上适用的高可靠性钽电容寿命评估技术。

预测可能会造成先后传统的可靠性验证试验仅记录失效和试验时间，在建模分析过程中并没有考虑钽电容性能退化过程中所包含的信息，而钽电容性能退化过程中包含着大量可信、精确而又有用的与钽电容寿命有关的关键信息，所以从钽电容性能参数的变化着手，通过对表征钽电容功能的某些量进行连续测量，取得退化数据，利用退化数据对元器件功能的退化过程进行分析，就可以对钽电容的寿命做出评定。利用性能退化数据进行钽电容寿命预测，可解决传统寿命预测与工程实际不相适应的问题。

钽电容的失效通常表现为两种形式：一种是突变性的致命失效，另一种是渐变性的参数超差失效。前者包括电容的各种击穿和开路，后者是由于在外界应力作用下，电容的电参数逐渐发生变化，当有一个电参数变化到超过允许偏差值、即超过规定的范围时，就属于超差失效。

钽电容功能是由其性能参数表征的，并且动态环境对钽电容的影响也体现在性能参数的变化上，很多情况下钽电容失效与性能退化存在着必然的联系，钽电容性能退化可导致失效。各个性能参数之间也存在着相互的影响，同时它们不可能同时达到退化失效阈值，而钽电容失效是以先达到失效阈值的参数来判定的，传统的曲线拟合一般选取单一退化参数进行预测寿命，当选取的参数达到退化失效阈值时间滞后于其他退化敏感参数时，就会造成预测寿命长于实际寿命。即使选取两个以上的退化参数进行曲线拟合，也是独立的进行拟合，没有考虑各参数之间的相关性。而其他退化轨迹建立方法，如时间序列模型、神经网络等都有一个共同点，就是等权重的处理所有数据，事实上，对于数据序列预测，当前数据比先前数据带有更多信息。因此，基于无权重数据处理所建立的预测模型，其预测精度可能并不是很理想。为了消除这种弊端，我们选取灰色理论自适应参数预测模型来建立各参数退化轨迹，它有以下优点：

(1)它考虑了相关退化参数数据的信息互补性，使得各参数数据不仅可以为自己的预测提供相关信息，同时也可以为其他相关序列预测提供必要的信息，从而使可利用的信息增加。

(2)模型考虑了预测序列的特点，以各退化参数的拟合平均相对误差最小为目标，选取最优初始值和背景值，提高了模型的适用性。

(3)依据新息有限原理，考虑到新数据对预测有较大的影响权值，将一步预测数据补充到数据序列，同时剔除最老数据，形成新的等维基准序列，使模型具有自适应性。

(三)发明内容

1、目的：本发明的目的是为了解决上述现有技术的不足，提供了一种固体钽电解电容器寿命预测方法，它是基于漏电流和电容量性能退化的钽电容寿命预测的一种方法，能解决传统寿命预测精度不高、与工程实际不相适应的问题。与传统寿命试验相比，采用本发明的寿命预测方法，可以提高预测精度，缩短试验时间，节约试验成本。

2、技术方案：本发明一种固体钽电解电容器寿命预测方法，它包括以下几个步骤：

步骤一、采集漏电流和电容量退化数据；

对某厂生产的片式固体钽电容(CAK45 68UF/16V)采用恒定应力加速退化试验，试验分别在85℃和145℃这两种温度应力下进行。各应力下的试验样本数为5个，各电容和漏电流参数测量时间间隔均为72小时，分别采集漏电流和电容量退化数据。

步骤二、确定退化轨迹模型和加速退化模型；

采用灰色自适应双参数预测模型建立各样本在对应温度应力下的退化轨迹，由于各样本是在额定电压下进行两种不同温度应力下的加速退化试验，此时温度是导致固钽电容退化的主要应力，因此本发明选择与温度有关的阿伦尼斯即Arrhenius模型作为加速退化模型。

步骤三、外推各应力水平下钽电容的伪失效寿命；

利用灰色自适应双参数预测模型对退化参数进行中长期预测，结合漏电流和电容量的退化失效阈值，当漏电流或者电容量达到其相应退化失效阈值时，可认为样本失效。即选取两者中先达到失效阈值的参数对应的时间作为钽电容样本在该温度应力下的失效时间。

步骤四、伪寿命分布假设检验及其未知参数估计；

通过步骤三可得到各样本在对应温度下的伪寿命，对各温度下的5个样本的伪寿命进行weibull、正态分布、指数分布检验，选取符合度最好的分布，再利用样本伪寿命值估计该分布的未知参数。

步骤五、外推估计正常应力下钽电容的寿命

通过步骤四可得到各温度应力下样本符合度最好的分布和该分布的未知参数估计值，即通过概率统计可得到两组温度应力下样本的平均伪寿命，将两组平均伪寿命和温度值代入Arrhenius加速模型中可辨识模型未知参数，将钽电容正常温度应力代入，即可外推得到正常应力下钽电容的寿命。

其中，步骤二中所述采用灰色自适应双参数预测模型来建立退化轨迹，其具体建模过程如下：

首先假设元器件退化敏感参数观测值序列为X⁽⁰⁾

(i＝1，2；k＝1，2，3…)

式中：i为选取的元器件退化敏感参数个数；k为参数序列号，X⁽¹⁾为相应敏感参数的一次累加生成序列，即

${x_i}^{\left(i\right)}\left(k\right)=\underset{j=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{x_i}^{\left(0\right)}\left(j\right)---\left(1\right)$

式中：k＝1，2，…，m

将选取的两个退化敏感参数原始序列及其一次累加生成序列分别用矩阵表示，则有第k列表示形式为：

X⁽⁰⁾(k)＝[x₁ ⁽⁰⁾(k)，x₂ ⁽⁰⁾(k)]^T

X⁽¹⁾(k)＝[x₁ ⁽¹⁾(k)，x₂ ⁽¹⁾(k)]^T

参照灰色预测GM(1，1)模型的基本形式及白化方程，对一次累加生成序列建立二元一阶常微分方程组

$\frac{{{\mathrm{dx}}_1}^{\left(1\right)}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}=a_{11}{x_1}^{\left(1\right)}\left(t\right)+a_{12}{x_2}^{\left(1\right)}\left(t\right)+b_1$ $\left(2\right)$

$\frac{{{\mathrm{dx}}_2}^{\left(1\right)}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}=a_{21}{x_1}^{\left(1\right)}\left(t\right)+a_{22}{x_2}^{\left(1\right)}\left(t\right)+b_2$

记 $A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right],$ $B=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right]$

式(2)可以写成矩阵形式

$\frac{{\mathrm{dx}}^{\left(1\right)}}{\mathrm{dt}}={\mathrm{AX}}^{\left(1\right)}\left(t\right)+B---\left(3\right)$

为辨识参数A和B，将式(2)和(3)离散化。由微分的定义，式(2)和(3)的前向和后向差分形式分别如下：

前向差分形式为

X⁽¹⁾(t+Δt)-X⁽¹⁾(t)＝AX⁽¹⁾(t)+B        (4)

后向差分形式为

X⁽¹⁾(t+Δt)-X⁽¹⁾(t)＝AX⁽¹⁾(t+Δt)+B    (5)

式中，Δt为单位时间间隔。

根据灰色系统理论，由X⁽¹⁾构造背景值序列，令式(4)×ω+式(5)×(1-ω)，得到模型的一般差分格式为

X⁽¹⁾(t+Δt)-X⁽¹⁾(t)＝A[ωX⁽¹⁾(t)+(1-ω)X⁽¹⁾(t+Δt)]+B    (6)

式中ω为权值因子，0≤ω≤1。

令a_i＝[a_i1 a_i2 b_i]^T(i＝1，2)。由最小二乘法可以得到a_i的辨识值为

${\hat{a}}_i={\left[\begin{array}{ccc}{\hat{a}}_{i1}& {\hat{a}}_{i2}& {\hat{b}}_i\end{array}\right]}^T={\left(L^{T}L\right)}^{-1}{L}^T{Y}_i---\left(7\right)$

式中：

$L=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\ω}{x}_1^{\left(1\right)}\left(1\right)+(1-\mathrm{\ω})x_1^{\left(1\right)}\left(2\right)& \mathrm{\ω}{x}_2^{\left(1\right)}\left(1\right)+(1-\mathrm{\ω})x_2^{\left(1\right)}\left(2\right)\\ \mathrm{\ω}{x}_1^{\left(1\right)}\left(2\right)+(1-\mathrm{\ω})x_1^{\left(1\right)}\left(3\right)& \mathrm{\ω}{x}_2^{\left(1\right)}\left(2\right)+(1-\mathrm{\ω})x_2^{\left(1\right)}\left(3\right)\\ \·& \·\\ \·& \·\\ \·& \·\\ \mathrm{\ω}{x}_1^{\left(1\right)}(m-1)+(1-\mathrm{\ω})x_1^{\left(1\right)}\left(m\right)& \mathrm{\ω}{x}_1^{\left(1\right)}(m-1)+(1-\mathrm{\ω})x_1^{\left(1\right)}\left(m\right)\end{array}\right]---\left(8\right)$

$Y_i={\left[\begin{array}{cccc}{x_i}^{\left(0\right)}\left(2\right)& {x_i}^{\left(0\right)}\left(3\right)& \·\·\·& {x_i}^{\left(0\right)}\left(m\right)\end{array}\right]}^T$

则A、B的辨识值为

$\hat{A}=\left[\begin{array}{cc}{\hat{a}}_{11}& {\hat{a}}_{12}\\ {\hat{a}}_{21}& {\hat{a}}_{22}\end{array}\right],\hat{B}=\left[\begin{array}{c}{\hat{b}}_1\\ {\hat{b}}_2\end{array}\right]---\left(9\right)$

以

的第l个分量为初始条件，则式(3)的连续时间响应为

X⁽¹⁾(t)＝e^AtX⁽¹⁾(l)+A^-1(e^At-1)B    (10)

式中： $e^{\mathrm{At}}=I+\mathrm{At}+\frac{A^2}{2!}{t}^2+\·\·\·=I+\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{A^k}{k!}{t}^k$

则双退化敏感参数退化轨迹模型的计算值为

${\hat{X}}^{\left(1\right)}\left(k\right)=e^{\hat{A}(k-l)}{X}^{\left(1\right)}\left(l\right)+A^{-1}(e^{\hat{A}(k-l)}-I)\hat{B}---\left(11\right)$

式中k＝1，2，…；1≤l≤m

因此预测值为

${\hat{X}}^{\left(0\right)}\left(k\right)={\hat{X}}^{\left(1\right)}\left(k\right)-{\hat{X}}^{\left(1\right)}(k-1)---\left(12\right)$

利用该式进行中长期预测，结合各参数失效阈值和观测值测量间隔，即可得到各样本在其相应应力条件下的伪寿命。

退化轨迹为单个试验样品在某一应力水平作用下的性能退化随着时间变化的轨迹，因此对于n个试验样品则有n条性能退化轨迹。

本发明采用平均残差P(相对误差的平均值大小)和后验差比D这两个指标来评价模型的拟合优度。其中P越接近1、D越接近0说明预测值与原始值拟合越好。

相对误差(ε_i)的计算公式为：

$\mathrm{\ϵ}\left(j\right)=\frac{x^{\left(0\right)}\left(j\right)-{\hat{x}}^{\left(0\right)}\left(j\right)}{x^{\left(0\right)}\left(j\right)}\×100\%---\left(13\right)$

平均误差

的计算公式为：

$\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}=\frac{\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=2}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\ϵ}\left(j\right)}{n(m-1)}$

其中：m为退化数列维数；x⁽⁰⁾(j)为原始数列，

为预测数列。

后验差比(D)为原始数列均方差(S1)与残差数列{Δ(i)}的均方差(S2)的比值，计算公式为：

$D=\frac{S1}{S2}---\left(14\right)$

分别用该模型对各应力条件下各样本的漏电流和电容量退化数据进行预测。

3、优点及功效：本发明一种固体钽电解电容器寿命预测方法，其主要优点是：

(1)它考虑了相关退化参数数据的信息互补性，使得各参数数据不仅可以为自己的预测提供相关信息，同时也可以为其他相关序列预测提供必要的信息，从而寿命预测提供更准确的信息。

(2)寿命预测采用的退化轨迹模型考虑了预测序列的特点，以各退化参数的拟合平均相对误差最小为目标，选取最优初始值和背景值，提高了模型的适用性。

(3)依据新息有限原理，在寿命预测中考虑到新数据对预测有较大的影响权值，将一步预测数据补充到数据序列，同时剔除最老数据，形成新的等维基准序列，使退化轨迹模型具有自适应性，预测寿命更接近实际。

(四)附图说明

图1是本发明建立钽电容退化轨迹预测程序流程图；

图2是85℃/145℃下GM(1，1)模型电容量预测图

图3是85℃/145℃下灰色自适应预测模型电容量预测图

图4是85℃/145℃下GM(1，1)模型漏电流预测图

图5是85℃/145℃下灰色自适应预测模型漏电流预测图

图中符号说明如下：

#1-#10为样本编号

(五)具体实施方式

下面将结合附图和实施例1对本发明作进一步的详细说明。

本发明是一种基于漏电流退化的钽电容寿命预测方法，方法执行之前首先进行如下假设：

假设1：钽电容退化不可逆；

假设2：钽电容试件的性能在加速退化试验开始前的退化可以忽略；

假设3：一种加速退化模型对应一种退化过程、机理或失效模式；

假设4：高应力水平下的失效(退化)机理与设计或常规使用应力下的失效(退化)机理一致。

并假设对n个钽电容进行恒定应力加速退化寿命试验，试验中共有d个应力水平S_a，a＝1，2，…，d。在t_1i，t_2i，…时刻对其进行性能参数退化量记录，共测m_i次，其中y_ija为应力水平S_a下的第i个样本在时刻t_ij的性能退化量值，同一应力水平下的测试时间相同。

具体方法实施流程如图1所示，通过如下步骤实现：

步骤一、采集漏电流退化数据；

对某厂生产的片式固体钽电容(CAK45 68UF/16V)采用恒定应力加速退化贮存寿命试验，试验分别在85℃和145℃这两种温度应力下进行。各应力下的试验样本数为5个，各电容和漏电流参数测量时间间隔为72小时，相应的电容量和漏电流测量数据如表1、表2所示。

表1 钽电容CAK45电容量测量数据

表2 钽电容CAK45漏电流测量数据

步骤二、建立退化轨迹模型和确定加速退化模型；

本发明采用灰色理论优化预测模型来建立退化轨迹。该模型考虑多个退化参数之间的相互影响，根据预测序列的实际特点，对GM(1，1)模型预测中的不足进行了修正，每预测一步，就将获得的预测数据充实到原始序列中去，去掉最老数据从而形成等维基准序列，从而自动调整预测背景值，符合预测理论中新息有限原理。在误差允许的条件下，可以利用该模型对漏电流和电容量数据进行长期预测，得到的预测退化曲线可以看成钽电容各退化敏感参数的实际退化轨迹。

灰色理论自适应双参数预测模型建模过程如下：

首先假设元器件退化敏感参数观测值序列为X⁽⁰⁾

(i＝1，2；k＝1，2，3…)

其中，i为选取的元器件退化敏感参数个数；k为参数序列号，X⁽¹⁾为相应敏感参数的一次累加生成序列，即

${x_i}^{\left(i\right)}\left(k\right)=\underset{j=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{x_i}^{\left(0\right)}\left(j\right)---\left(1\right)$

式中：k＝1，2，…，m

将选取的两个退化敏感参数原始序列及其一次累加生成序列分别用矩阵表示，则有第k列表示形式为：

X⁽⁰⁾(k)＝[x₁ ⁽⁰⁾(k)，x₂ ⁽⁰⁾(k)]^T

X⁽¹⁾(k)＝[x₁ ⁽¹⁾(k)，x₂ ⁽¹⁾(k)]^T

参照灰色预测GM(1，1)模型的基本形式及白化方程，对一次累加生成序列建立二元一阶常微分方程组

$\frac{{{\mathrm{dx}}_1}^{\left(1\right)}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}=a_{11}{x_1}^{\left(1\right)}\left(t\right)+a_{12}{x_2}^{\left(1\right)}\left(t\right)+b_1$ $\left(2\right)$

$\frac{{{\mathrm{dx}}_2}^{\left(1\right)}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}=a_{21}{x_1}^{\left(1\right)}\left(t\right)+a_{22}{x_2}^{\left(1\right)}\left(t\right)+b_2$

记 $A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right],$ $B=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right]$

式(2)可以写成矩阵形式

$\frac{{\mathrm{dx}}^{\left(1\right)}}{\mathrm{dt}}={\mathrm{AX}}^{\left(1\right)}\left(t\right)+B---\left(3\right)$

为辨识参数A和B，将式(2)和(3)离散化。由微分的定义，式(2)和(3)的前向和后向差分形式分别如下：

前向差分形式为

X⁽¹⁾(t+Δt)-X⁽¹⁾(t)＝AX⁽¹⁾(t)+B        (4)

后向差分形式为

X⁽¹⁾(t+Δt)-X⁽¹⁾(t)＝AX⁽¹⁾(t+Δt)+B    (5)

式中，Δt为单位时间间隔。

根据灰色系统理论，由X⁽¹⁾构造背景值序列，令式(4)×ω+式(5)×(1-ω)，得到模型的一般差分格式为

X⁽¹⁾(t+Δt)-X⁽¹⁾(t)＝A[ωX⁽¹⁾(t)+(1-ω)X⁽¹⁾(t+Δt)]+B    (6)

式中ω为权值因子，0≤ω≤1。

令a_i＝[a_i1 a_i2 b_i]^T(i＝1，2)。由最小二乘法可以得到a_i的辨识值为

${\hat{a}}_i={\left[\begin{array}{ccc}{\hat{a}}_{i1}& {\hat{a}}_{i2}& {\hat{b}}_i\end{array}\right]}^T={\left(L^{T}L\right)}^{-1}{L}^T{Y}_i---\left(7\right)$

式中：

$L=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\ω}{x}_1^{\left(1\right)}\left(1\right)+(1-\mathrm{\ω})x_1^{\left(1\right)}\left(2\right)& \mathrm{\ω}{x}_2^{\left(1\right)}\left(1\right)+(1-\mathrm{\ω})x_2^{\left(1\right)}\left(2\right)\\ \mathrm{\ω}{x}_1^{\left(1\right)}\left(2\right)+(1-\mathrm{\ω})x_1^{\left(1\right)}\left(3\right)& \mathrm{\ω}{x}_2^{\left(1\right)}\left(2\right)+(1-\mathrm{\ω})x_2^{\left(1\right)}\left(3\right)\\ \·& \·\\ \·& \·\\ \·& \·\\ \mathrm{\ω}{x}_1^{\left(1\right)}(m-1)+(1-\mathrm{\ω})x_1^{\left(1\right)}\left(m\right)& \mathrm{\ω}{x}_1^{\left(1\right)}(m-1)+(1-\mathrm{\ω})x_1^{\left(1\right)}\left(m\right)\end{array}\right]---\left(8\right)$

$Y_i={\left[\begin{array}{cccc}{x_i}^{\left(0\right)}\left(2\right)& {x_i}^{\left(0\right)}\left(3\right)& \·\·\·& {x_i}^{\left(0\right)}\left(m\right)\end{array}\right]}^T$

则A、B的辨识值为

$\hat{A}=\left[\begin{array}{cc}{\hat{a}}_{11}& {\hat{a}}_{12}\\ {\hat{a}}_{21}& {\hat{a}}_{22}\end{array}\right],\hat{B}=\left[\begin{array}{c}{\hat{b}}_1\\ {\hat{b}}_2\end{array}\right]---\left(9\right)$

以

的第l个分量

为初始条件，则式(3)的连续时间响应为

X⁽¹⁾(t)＝e^AtX⁽¹⁾(l)+A^-1(e^At-1)B    (10)

式中： $e^{\mathrm{At}}=I+\mathrm{At}+\frac{A^2}{2!}{t}^2+\·\·\·=I+\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{A^k}{k!}{t}^k$

则双退化敏感参数退化轨迹模型的计算值为

${\hat{X}}^{\left(1\right)}\left(k\right)=e^{\hat{A}(k-l)}{X}^{\left(1\right)}\left(l\right)+A^{-1}(e^{\hat{A}(k-l)}-I)\hat{B}---\left(11\right)$

式中k＝1，2，…；1≤l≤m

因此预测值为

${\hat{X}}^{\left(0\right)}\left(k\right)={\hat{X}}^{\left(1\right)}\left(k\right)-{\hat{X}}^{\left(1\right)}(k-1)---\left(12\right)$

利用该式进行中长期预测，结合各参数失效阈值和观测值测量间隔，即可得到各样本在其相应应力条件下的伪寿命。

退化轨迹为单个试验样品在某一应力水平作用下的性能退化随着时间变化的轨迹，因此对于n个试验样品则有n条性能退化轨迹。

本发明采用平均残差P(相对误差的平均值大小)和后验差比D这两个指标来评价模型的拟合优度。其中P越接近1、D越接近0说明预测值与原始值拟合越好。

相对误差(ε_i)的计算公式为：

$\mathrm{\ϵ}\left(j\right)=\frac{x^{\left(0\right)}\left(j\right)-{\hat{x}}^{\left(0\right)}\left(j\right)}{x^{\left(0\right)}\left(j\right)}\×100\%---\left(13\right)$

平均误差

的计算公式为：

$\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}=\frac{\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=2}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\ϵ}\left(j\right)}{n(m-1)}$

其中：m为退化数列维数；x⁽⁰⁾(j)为原始数列，

为预测数列。

后验差比(D)为原始数列均方差(S1)与残差数列{Δ(i)}的均方差(S2)的比值，计算公式为：

$D=\frac{S1}{S2}---\left(14\right)$

分别用该模型对各应力条件下各样本的漏电流和电容量退化数据进行预测。预测效果如图3、图5所示。为了横向比较预测效果，将其与GM(1，1)灰色理论基本模型预测效果进行对比，如图2、图4所示。从中可以看出灰色理论自适应双参数模型预测效果明显优于单参数GM(1，1)模型。相应的平均误差

的最小值为0.01％，最大值仅为0.26％。后验差比(D)最小值为0.066，最大值为0.141。具体数据如下：

表3 85℃下各样本退化数据预测精度和后验差比

表4 145℃下各样本退化数据预测精度和后验差比

由于各样本是在额定电压下进行两种不同温度应力下的加速退化试验，此时温度是导致固钽电容退化的主要应力，因此本发明选择与温度有关的Arrhenius加速退化模型。

步骤三、外推各应力水平下钽电容的伪失效寿命；

利用灰色自适应双参数预测模型对退化参数进行中长期预测，结合漏电流和电容量的退化失效阈值，当漏电流或者电容量达到其相应退化失效阈值时，可认为样本失效。即选取两者中先达到失效阈值的参数对应的时间作为钽电容样本在该温度应力下的失效时间。

步骤四、伪寿命分布假设检验及其未知参数估计；

由灰色自适应双参数模型预测得到每个样本的伪失效寿命后，采用Kolmoglrov-Smirnov检验法，对伪失效寿命数据分别进行Weibull分布、正态分布和指数分布检验，在显著性水平α＝0.05时，各应力水平的伪失效寿命服从这三种分布的概率如表5所示。由表5可知，伪失效寿命与正态分布拟合最好。

表5 伪寿命分布服从三种分布的概率

根据伪失效数据服从正态分布的寿命预测方法，通过极大似然估计法得到正态分布未知参数估计结果，如表6所示。

表6 正态分布时分布参数的估计值

步骤五、外推估计正常应力下钽电容的寿命；

结合Arrhenius加速退化模型和伪寿命服从正态分布，根据公式(3)，(4)和表3数据，可得正常温度应力下钽电容的平均寿命和标准差分别为：

该型钽电容在常温下的平均贮存寿命为70832小时，约为8.08年。这与生产厂所反馈的该型CAK45片式固体钽电容一般可以贮存8-10年相比，预测结果与实际情况基本相符。

Claims (2)

1.一种固体钽电解电容器寿命预测方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤一、采集漏电流和电容量退化数据；

对片式固体钽电容，采用恒定应力加速退化试验，试验分别在85℃和145℃这两种温度应力下进行；各应力下的试验样本数为5个，各电容和漏电流参数测量时间间隔均为72小时，分别采集漏电流和电容量退化数据；

步骤二、确定退化轨迹模型和加速退化模型；

采用灰色自适应双参数预测模型建立各样本在对应温度应力下的退化轨迹；选择与温度有关的阿伦尼斯即Arrhenius模型作为加速退化模型；

步骤三、外推各应力水平下钽电容的伪失效寿命；

利用灰色自适应双参数预测模型对退化参数进行中长期预测，结合漏电流和电容量的退化失效阈值，当漏电流或者电容量达到其相应退化失效阈值时，可认为样本失效；即选取两者中先达到失效阈值的参数对应的时间作为钽电容样本在该温度应力下的失效时间；

步骤四、伪寿命分布假设检验及其未知参数估计；

通过步骤三可得到各样本在对应温度下的伪寿命，对各温度下的5个样本的伪寿命进行weibull、正态分布、指数分布检验，选取符合度最好的分布，再利用样本伪寿命值估计该分布的未知参数；

步骤五、外推估计正常应力下钽电容的寿命；

通过步骤四得到各温度应力下样本符合度最好的分布和该分布的未知参数估计值，即通过概率统计得到两组温度应力下样本的平均伪寿命，将两组平均伪寿命和温度值代入Arrhenius加速模型中辨识模型未知参数，将钽电容正常温度应力代入，即外推得到正常应力下钽电容的寿命。

2.根据权利要求1所述的一种固体钽电容器寿命预测方法，其特征在于：步骤二中所述采用灰色自适应双参数预测模型来建立各样本在对应温度应力下的退化轨迹，其具体建模过程如下：

首先假设元器件退化敏感参数观测值序列为X⁽⁰⁾

(i＝1，2；k＝1，2，3…)

式中：i为选取的元器件退化敏感参数个数；k为参数序列号，X⁽¹⁾为相应敏感参数的一次累加生成序列，即

${x_i}^{\left(i\right)}\left(k\right)=\underset{j=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{x_i}^{\left(0\right)}\left(j\right)---\left(1\right)$

式中：k＝1，2，…，m

将选取的两个退化敏感参数原始序列及其一次累加生成序列分别用矩阵表示，则有第k列表示形式为：

X⁽⁰⁾(k)＝[x₁ ⁽⁰⁾(k)，x₂ ⁽⁰⁾(k)]^T

X⁽¹⁾(k)＝[x₁ ⁽¹⁾(k)，x₂ ⁽¹⁾(k)]^T

参照灰色预测GM(1，1)模型的基本形式及白化方程，对一次累加生成序列建立二元一阶常微分方程组

$\frac{{{\mathrm{dx}}_1}^{\left(1\right)}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}=a_{11}{x_1}^{\left(1\right)}\left(t\right)+a_{12}{x_2}^{\left(1\right)}\left(t\right)+b_1$ $\left(2\right)$

$\frac{{{\mathrm{dx}}_2}^{\left(1\right)}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}=a_{21}{x_1}^{\left(1\right)}\left(t\right)+a_{22}{x_2}^{\left(1\right)}\left(t\right)+b_2$

记 $A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right],$ $B=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right]$

式(2)可以写成矩阵形式

$\frac{{\mathrm{dx}}^{\left(1\right)}}{\mathrm{dt}}={\mathrm{AX}}^{\left(1\right)}\left(t\right)+B---\left(3\right)$

为辨识参数A和B，将式(2)和(3)离散化；由微分的定义，式(2)和(3)的前向和后向差分形式分别如下：

前向差分形式为

X⁽¹⁾(t+Δt)-X⁽¹⁾(t)＝AX⁽¹⁾(t)+B        (4)

后向差分形式为

X⁽¹⁾(t+Δt)-X⁽¹⁾(t)＝AX⁽¹⁾(t+Δt)+B    (5)

式中，Δt为单位时间间隔；

根据灰色系统理论，由X⁽¹⁾构造背景值序列，令式(4)×ω+式(5)×(1-ω)，得到模型的一般差分格式为

X⁽¹⁾(t+Δt)-X⁽¹⁾(t)＝A[ωX⁽¹⁾(t)+(1-ω)X⁽¹⁾(t+Δt)]+B    (6)

式中ω为权值因子，0≤ω≤1；

令a_i＝[a_i1 a_i2 b_i]^T(i＝1，2)，由最小二乘法可以得到a_i的辨识值为

${\hat{a}}_i={\left[\begin{array}{ccc}{\hat{a}}_{i1}& {\hat{a}}_{i2}& {\hat{b}}_i\end{array}\right]}^T={\left(L^{T}L\right)}^{-1}{L}^T{Y}_i---\left(7\right)$

式中：

$L=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\ω}{x}_1^{\left(1\right)}\left(1\right)+(1-\mathrm{\ω})x_1^{\left(1\right)}\left(2\right)& \mathrm{\ω}{x}_2^{\left(1\right)}\left(1\right)+(1-\mathrm{\ω})x_2^{\left(1\right)}\left(2\right)\\ \mathrm{\ω}{x}_1^{\left(1\right)}\left(2\right)+(1-\mathrm{\ω})x_1^{\left(1\right)}\left(3\right)& \mathrm{\ω}{x}_2^{\left(1\right)}\left(2\right)+(1-\mathrm{\ω})x_2^{\left(1\right)}\left(3\right)\\ \·& \·\\ \·& \·\\ \·& \·\\ \mathrm{\ω}{x}_1^{\left(1\right)}(m-1)+(1-\mathrm{\ω})x_1^{\left(1\right)}\left(m\right)& \mathrm{\ω}{x}_1^{\left(1\right)}(m-1)+(1-\mathrm{\ω})x_1^{\left(1\right)}\left(m\right)\end{array}\right]---\left(8\right)$

$Y_i={\left[\begin{array}{cccc}{x_i}^{\left(0\right)}\left(2\right)& {x_i}^{\left(0\right)}\left(3\right)& \·\·\·& {x_i}^{\left(0\right)}\left(m\right)\end{array}\right]}^T$

则A、B的辨识值为

$\hat{A}=\left[\begin{array}{cc}{\hat{a}}_{11}& {\hat{a}}_{12}\\ {\hat{a}}_{21}& {\hat{a}}_{22}\end{array}\right],\hat{B}=\left[\begin{array}{c}{\hat{b}}_1\\ {\hat{b}}_2\end{array}\right]---\left(9\right)$

以

的第l个分量

为初始条件，则式(3)的连续时间响应为

X⁽¹⁾(t)＝e^AtX⁽¹⁾(l)+A^-1(e^At-1)B    (10)

式中 $e^{\mathrm{At}}=I+\mathrm{At}+\frac{A^2}{2!}{t}^2+\·\·\·=I+\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{A^k}{k!}{t}^k$

则双退化敏感参数退化轨迹模型的计算值为

${\hat{X}}^{\left(1\right)}\left(k\right)=e^{\hat{A}(k-l)}{X}^{\left(1\right)}\left(l\right)+A^{-1}(e^{\hat{A}(k-l)}-I)\hat{B}---\left(11\right)$

式中k＝1，2，…；1≤l≤m

因此预测值为

${\hat{X}}^{\left(0\right)}\left(k\right)={\hat{X}}^{\left(1\right)}\left(k\right)-{\hat{X}}^{\left(1\right)}(k-1)---\left(12\right)$

利用该式进行中长期预测，结合各参数失效阈值和观测值测量间隔，即可得到各样本在其相应应力条件下的伪寿命；

退化轨迹为单个试验样品在某一应力水平作用下的性能退化随着时间变化的轨迹，因此对于n个试验样品则有n条性能退化轨迹；

采用平均残差P即相对误差的平均值大小和后验差比D这两个指标来评价模型的拟合优度；其中，P越接近1、D越接近0说明预测值与原始值拟合越好；

相对误差(ε_i)的计算公式为：

$\mathrm{\ϵ}\left(j\right)=\frac{x^{\left(0\right)}\left(j\right)-{\hat{x}}^{\left(0\right)}\left(j\right)}{x^{\left(0\right)}\left(j\right)}\×100\%---\left(13\right)$

平均误差

的计算公式为：

$\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}=\frac{\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=2}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\ϵ}\left(j\right)}{n(m-1)}$

其中：m为退化数列维数；x⁽⁰⁾(j)为原始数列，

为预测数列；

后验差比D为原始数列均方差S1与残差数列{Δ(i)}的均方差S2的比值，计算公式为：

$D=\frac{S1}{S2}---\left(14\right)$

分别用该模型对各应力条件下各样本的漏电流和电容量退化数据进行预测。

Images