CN114492074A - 一种概率损伤容限评估分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种概率损伤容限评估分析方法，将随机性对零件剩余强度影响小、分布相对集中的参数近似为确定值，将随机性对剩余强度影响大、分散度大的参数作为变量，通过概率损伤容限分析，确定断裂韧度、应力极值、剩余强度许用值、初始裂纹尺寸和临界裂纹尺寸重要参数的概率密度与分布；进一步进行裂纹扩展分析，确定裂纹扩展速率和裂纹尺寸变化规律，确定裂纹扩展寿命；根据概率断裂力学理论对裂纹扩展的随机性进行分析，确定裂纹尺寸下零部件裂纹扩展寿命概率密度函数，或者循环次数下的零部件失效概率；再使用常见概率分布函数拟合裂纹扩展寿命分布，实现对裂纹扩展的寿命进行预测和风险评估。能够非常精确地反映裂纹扩展寿命曲线。

Description

一种概率损伤容限评估分析方法

技术领域

本发明涉及一种零件故障预判技术，特别涉及一种概率损伤容限评估分析方法。

背景技术

航空发动机热端零部件长期工作在恶劣的环境下，对安全性要求苛刻；零部件故障中，高温零部件故障占80％左右，其拆换费用昂贵。发动机明确要求必须对民用发动机的限寿件开展损伤容限评估，损伤容限评估工作已经是限寿件设计的基本环节之一。

损伤容限分析是建立在断裂力学的基础上的，通过裂纹扩展分析和剩余强度分析计算结构的临界裂纹尺寸和裂纹扩展寿命，从而提出结构的检查周期。通过对结构按检查周期进行检查，即可确保疲劳、腐蚀、意外和离散源等损伤不会导致飞机在无检查使用期内发生灾难性破坏。概率断裂力学(PFM)考虑了各种因素的概率特性，可以准确描述结构剩余强度与裂纹扩展规律，概率损伤容限分析技术就是建立在概率断裂力学基础上的。概率损伤容限技术可以用于确定含裂纹结构的在给定可靠度下的剩余强度及裂纹扩展寿命可靠性。概率损伤容限分析已成为固体力学领域重要组成部分，也是工程技术发展的重要方向。

NASGRO(疲劳断裂机理与疲劳裂纹扩展分析软件)、FRANC3D(裂纹分析软件)可解决叶片、盘、机匣等结构的确定性裂纹扩展分析计算，但不具备不确定性分析功能，无法实现概率风险计算，DARWIN可实现概率风险计算，但购买DARWIN后短期内也无法开展概率损伤容限分析工作。

发明内容

针对影响零部件剩余强度和裂纹扩展的参数有很多，且具有一定随机性，导致剩余强度分析的复杂性大大提高问题，提出了一种概率损伤容限评估分析方法。

本发明的技术方案为：一种概率损伤容限评估分析方法，将随机性对零件剩余强度影响小、分布相对集中的参数近似为确定值，将随机性对剩余强度影响大、分散度大的参数作为变量，通过概率损伤容限分析，确定断裂韧度、应力极值、剩余强度许用值、初始裂纹尺寸和临界裂纹尺寸重要参数的概率密度与分布；基于初始裂纹尺寸分布函数和临界裂纹尺寸参数进行裂纹扩展分析，确定裂纹扩展速率和裂纹尺寸变化规律，确定裂纹扩展寿命；根据概率断裂力学理论对裂纹扩展的随机性进行分析，确定裂纹尺寸下发动机零部件裂纹扩展寿命概率密度函数，或者循环次数下的零部件失效概率；再使用常见概率分布函数拟合裂纹扩展寿命分布，实现对裂纹扩展的寿命进行预测和风险评估。

进一步，所述初始裂纹尺寸通过两种方式确定，第一种是由气孔、夹杂、加工残余应力造成的初始缺陷或裂纹，用当量初始缺陷尺寸定量描述发动机零部件的初始裂纹；第二种是将发动机零部件达到经济寿命时的裂纹作为概率损伤容限技术的初始裂纹。

进一步，所述初始裂纹尺寸确定的第一种方法：确定初始裂纹分布即当量初始缺陷尺寸分布，先根据发动机零部件原始疲劳质量模型，通过裂纹萌生时间反推法计算获得初始裂纹尺寸；具体为先通过耐久性试验收集裂纹尺寸a与时间t的数据集(a-t)，获取裂纹萌生时间样本，确定裂纹萌生时间分布模型进行分布参数估计，利用裂纹萌生时间与当量初始裂纹尺寸的函数关系，确定当量初始裂纹尺寸分布函数。

进一步，所述初始裂纹尺寸确定的第二种方法：先确定零部件当量初始裂纹尺寸分布，使用当量初始裂纹尺寸的累积分布函数建立经济寿命下的裂纹尺寸与当量初始裂纹的尺寸关系，根据零部件经济寿命，确定此类初始裂纹尺寸分布函数。

进一步，所述零部件失效概率通过蒙特卡罗抽样法确定航空发动机零部件失效概率：

1)确定抽样分析的重要参数及其分布：

进行概率损伤容限分析时确定的重要参数也是抽样的随机变量，其分布规律如下表：

重要参数	参数分布规律
		应力极值σ<sub>max</sub>	服从极值分布函数
材料断裂韧度K<sub>C</sub>	服从正态分布函数
		裂纹扩展速率参数Z	服从对数正态分布函数
初始裂纹尺寸a<sub>0</sub>	服从对数正态分布函数

2)抽样法的步骤为：

2.1)选择初始抽样中心，选定抽样中心为随机变量的均值处；

2.2)对于第l次抽样数据，并按概率密度函数h_Y(y)抽取N_k个样本，概率密度函数h_Y(y)＝φ_Y(m_Y,σ_Y)，φ_Y(m_Y,σ_Y)为均值为m_Y，方差为σ_Y多维正态分布密度函数，m_Y＝x^*，x*为失效域内h_Y(y)的峰值；

分别通过确定性损伤容限分析计算其功能函数值G，根据G(a₀,Z,σ_max,K_C)＝K_C-K(a₀,Z,σ_max,t)的判定样本点是否位于失效域内，其中K_C表示材料平面应力断裂韧度，K(a₀,Z,σ_max,t)为给定a₀,Z,σ_max和裂纹扩展寿命寿命t下的裂纹尖端处的应力强度因子；

若样本点位于失效域外，对于落入失效域外的点，记录其功能函数值,G(y_l,i)；对落入失效域内的点计算其等价联合概率密度函数值f_X(y_k,i)和重要抽样概率密度函数值

X＝(a₀,Z,σ_max,K_IC)，K_IC为平面应变断裂韧度，f_X(x)为X的联合概率密度函数，I为抽样模拟的指示函数，并分别通过下式计算失效概率

若

及满足精度要求，则结束结束运算输出结果，否则重新选择抽样中心进行重要抽样；

2.3)关于选择第l+1次抽样中心：

(a)如果有样本点落入失效域内，则选择落入失效域内的样本点中f_X(y_k,i)最大点作为新的抽样中心；

(b)如果没有样本点落入失效域内，则选择其功能函数值的绝对值|G(y_l,i)|的最小值点作为新的抽样中心；

通过上述方法进行重要抽样，经过迭代会使得抽样中心逐渐趋近最优的抽样中心-失效域内f_X(x)的峰值点。

进一步，所述结构在裂纹扩展时间为t时失效的极限状态方程为：K(a₀,Z,σ_max,t)＝K_C，通过响应面法对极限状态方程进行响应面函数的构造，通过响应面法分析结构的可靠度。

本发明的有益效果在于：本发明概率损伤容限评估分析方法，大大减少了计算量，提高了计算效率，而且在概率统计模型时如果样本数量或者模拟样本次数足够多，概率分布函数能够非常精确地反映裂纹扩展寿命曲线。

附图说明

图1为本发明概率损伤容限评估方法分析流程图；

图2为本发明初始裂纹尺寸分布函数确定方法一流程图；

图3为本发明初始裂纹尺寸分布函数确定方法二流程图；

图4为本发明蒙特卡罗抽样法分析流程图；

图5为本发明1概率损伤容限分析重要抽样法分析流程图图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细说明。本实施例以本发明技术方案为前提进行实施，给出了详细的实施方式和具体的操作过程，但本发明的保护范围不限于下述的实施例。

如图1所示，本发明概率损伤容限评估分析方法，在剩余强度的重要参数概率密度与分布的基础上，对裂纹扩展的寿命进行预测和风险评估。

为降低剩余强度分析的复杂性，可将随机性对零件剩余强度影响小、分布相对集中的参数近似为确定值，而将随机性对剩余强度影响大、分散度大的参数作为变量，通过概率损伤容限分析，确定断裂韧度、应力极值、剩余强度许用值、初始裂纹尺寸和临界裂纹尺寸等重要参数的概率密度与分布；基于初始裂纹尺寸分布函数和临界裂纹尺寸等参数进行裂纹扩展分析，确定裂纹扩展速率和裂纹尺寸变化规律，确定裂纹扩展寿命；根据概率断裂力学理论对裂纹扩展的随机性进行分析，确定一定裂纹尺寸下发动机零部件裂纹扩展寿命概率密度函数，或者一定扩展寿命(循环次数)下的发动机零部件失效概率；再使用常见概率分布函数拟合裂纹扩展寿命分布。

下面对具体实现进行进一步阐述：

一、参数的概率密度与分布：

剩余强度：根据剩余强度理论，t时刻含裂纹零部件断裂失效可通过下式表示：

K(t)>K_C (1)

1、断裂韧性：式中K_C表示材料平面应力断裂韧度，K(t)表示t时刻应力强度因子最大值，如下式所示：

式中a(t)为t时刻裂纹尺寸，σ_max为结构在寿命期内可能承受的最大应力，β为断裂韧性比例系数。

将式(2)代入式(1)可得含裂纹结构断裂失效的条件。

上式中σ_max与K_C都具有一定的随机性，其概率分布与发动机零部件的寿命预测和风险评估直接相关。

剩余强度对航空发动机零部件安全性影响非常大，为避免含裂结构脆断失效，必须保证临界裂纹尺寸下的结构剩余强度许用值[σ]_rs大于等于其要求值[σ]_rep。

平面应变断裂韧度K_IC是衡量材料抵抗脆断能力的力学性能指标，其大小等于应力强度因子的临界值。K_IC的概率统计分布为对数正态分布，或者正态分布。

如果K_IC概率统计服从正态分布，那么概率密度函数可表示为：

如果K_IC概率统计服从对数正态分布，则概率密度函数可表示为：

材料任意厚度值B下的断裂韧度K_C值与K_IC间的关系为：

且

式中，v为泊松比，E_S为钢的弹性模量，E为材料的弹性模量，μ是正态分布的随机变量均值，σ_ys为屈服强度。

则K_C的概率密度函数为：

一般情况下如果K_IC服从正态分布K_IC～N(μ,σ²)，那么K_C也服从正态分布K_C～N(r·μ,r²σ²)，式中，

而如果K_IC服从对数正态分布K_IC～LN(μ,σ²)，那么K_C也服从对数正态分布K_C～LN(r·μ,r²σ²)。

2、应力极值：

零部件剩余强度必须大于在规定检测间隔内预期的最大载荷，因此应力极值分布函数可表示为：

式中，ξ＝0称为极值I型分布(Gumbel分布)；当ξ≠0时，ξ＜0表示极值Ⅱ型分布，ξ>0表示极值Ⅲ型分布(Weibull分布)。

如果航空发动机零部件在全寿命周期内应力极值服从Gumbel分布，则应力极值分布函数可表示为：

式中m为任务类型，N_i(i＝1,2,...,m)为各任务类型飞行次数。

3、剩余强度许用值：

航空发动机含裂纹零部件承载能力即其剩余强度许用值，表示为[σ]_rs，随裂纹长度的增加而减小。如果可靠度p确定，则

式中σ为参考应力，a为裂纹尺寸，K_C为材料平面应力断裂韧度，为随机变量，K_C，1-p为K_C的1-p分位数。满足上式要求的σ_max，即为p下零部件所对应的[σ]_rs。

4、初始裂纹尺寸：

在概率损伤容限理论中可以通过两种方式确定裂纹扩展的初始裂纹，一种是由气孔、夹杂、加工残余应力等造成的初始缺陷或裂纹，用当量初始缺陷尺寸定量描述发动机零部件的初始裂纹；另一种是将发动机零部件达到经济寿命时的裂纹作为概率损伤容限技术的初始裂纹。

当量初始缺陷尺寸分布：

第一种初始裂纹分布即当量初始缺陷尺寸分布，通常根据发动机零部件原始疲劳质量模型，通过裂纹萌生时间反推法计算。此类初始裂纹尺寸分布函数的确定方法一如下图2所示。

在计算当量初始裂纹尺寸分布时，裂纹扩展速率可表示为：

da/dt＝Q[a(t)]^b (14)

式中Q和b为与载荷谱与材料等相关参数。可通过耐久性试验收集的数据集(a-t)，确定参数Q和b的值。

对上式积分，得到当量初始缺陷尺寸控制曲线。

式中a_r表示裂纹萌生尺寸的阈值，t表示裂纹萌生的时间，x表示当量初始裂纹的尺寸大小。此处仅考虑b＝1的情况。

当量初始缺陷尺寸分布函数F_X(x)与裂纹萌生时间分布函数F_T(t)之间的关系式为：

F_X(x)＝1-F_T(t(x)) (16)

(1)当裂纹萌生时间服从对数正态分布时

相容模型当量初始缺陷尺寸的分布函数为：

式中a_r为裂纹萌生尺寸的阈值，μ_s为裂纹萌生时间分布均值,σ_s为裂纹萌生时间分布标准差。

(2)当裂纹萌生时间服从双参数Weibull分布时

式中α为形状参数，β为断裂韧性比例系数。相容模型当量初始缺陷尺寸的分布函数为：

(3)当裂纹萌生时间服从三参数Weibull分布时

相容模型当量初始缺陷尺寸的分布函数为：

式中x_u为当量初始缺陷尺寸分布的最大值。

第二种初始裂纹：

第二种初始裂纹分布表示为：

式中

为零部件在t_e时刻达到经济寿命时，裂纹尺寸a概率分布函数。此类初始裂纹尺寸分布函数的确定方法二如下图3所示。

建立零部件细节当量初始裂纹尺寸分布后，对式(18)从0到t_e积分后，

式中a_e表示经济寿命下的裂纹尺寸，t_e表示零部件经济寿命，x表示当量初始裂纹的尺寸大小。

建立了a_e与x的函数关系后，可得到a_e分布与x分布间的关系式。

式中

为a_e(x)的反函数，F_X(x)为当量初始裂纹尺寸的累积分布函数。

服从三参数Weibull分布的初始裂纹尺寸分布函数

式中t_e为经济寿命，Q_max为最大应力区裂纹扩展参数。

5、临界裂纹尺寸：

根据概率断裂力学理论可知，

令

则Z是随机变量，在σ_max与K_C相互独立时，临界裂纹尺寸的分布函数表示为：

临界裂纹尺寸a_c的概率密度函数为：

二、裂纹扩展的寿命：

裂纹扩展分析的主要目的是发现裂纹扩展速率和裂纹尺寸等变化的规律，确定裂纹扩展寿命，对裂纹的安全风险进行评估，保证发动机零部件在有裂纹情况下使用的可靠性和安全性。根据概率断裂力学理论对裂纹扩展的随机性进行分析，确定一定裂纹尺寸下发动机零部件裂纹扩展寿命概率密度函数，或者一定扩展寿命(循环次数)下的发动机零部件失效概率。

1、裂纹扩展寿命：

裂纹扩展寿命首先会受到材料性能的影响，材料不同其扩展寿命也不相同。而主要影响因素有结构几何构型、裂纹扩展抗力和载荷谱等，裂纹扩展寿命可通过主要影响参数计算

T＝f(S,M,G) (30)

式中G表示几何构型参数，M表示裂纹扩展抗力参数，S表示载荷谱参数。

发动机零部件材料确定后，应力比

和应力强度因子变程△K为影响裂纹扩展速率的主要因素，裂纹扩展速率如下式所示

da/dN＝f(ΔK,R) (31)

N为裂纹扩展寿命,模型不同，f(ΔK,R)不同，因此提出了各种裂纹扩展速率模型。模型中使用参数越多，拟合程度越高，模型的精确性越强，但求解难度越大，适用性越弱。比较著名的衡量扩展速率规律的表达式有Paris公式、Walker公式以及Forman公式等。

对裂纹扩展速率表达式进行积分，可得如下裂纹扩展寿命表达式

对上式积分非常困难，通常使用变量分离方法、快速积分方法以及循环续循环方法等进行数值计算。

2、裂纹扩展概率密度函数：

发动机零部件概率损伤容限分析中，使用概率方法反映裂纹扩展的随机过程。发动机零部件裂纹扩展速率如下式所示：

da/dt＝q(a)X(t) (33)

式中X(t)表示裂纹扩展随机过程,q(a)为裂纹扩展速率。

与工程实际相结合，上式可变为：

da(t)/d(t)＝Z·q(a) (34)

式中Z为一个随机变量，用来描述裂纹扩展过程中的随机性。

模拟实际工作载荷谱和工作环境进行试验，通过试验数据分析可得，随机变量Z一般服从对数正态分布，可得到其均值

与方差的无偏估计,下面公式中n是试验次数，S_Z是标准差的无偏估计。

裂纹扩展Z的近似概率密度函数可表示为：

基于裂纹扩展的寿命预测：

3、裂纹扩展寿命概率密度函数：

在得到裂纹扩展Z的概率密度函数后，通过推导得出裂纹扩展寿命概率密度函数。

对式37积分可以得到：

将式36、38代入式37可得指定裂纹尺寸下发动机零部件裂纹扩展寿命概率密度函数。

4、裂纹扩展寿命分布拟合：

利用概率断裂力学理论对发动机零部件裂纹扩展进行分析，使用常见概率分布函数拟合裂纹扩展寿命分布，如果样本数量或者模拟样本次数足够多，概率分布函数能够非常精确地反映裂纹扩展寿命曲线。概率统计分布模型很多，经常用于发动机零部件裂纹扩展寿命分析的有三参数Weibull分布、对数正态分布和正态分布等模型。

(1)正态分布

如果随机变量服从正态分布，其概率密度与分布函数如下所示：

τ为随机变量,正态分布具有均值μ与标准差σ两个参数，μ表示集中趋势位置，σ表示离散程度。通过确定两参数的估值求得裂纹扩展寿命概率分布。假设n个样本下裂纹扩展寿命为T_i(i＝1,2,...,n)，计算μ与σ的无偏估计

和S为：

裂纹扩展寿命概率密度函数为：

正态分布会出现随机变量为负值的可能，但裂纹扩展寿命不会是负值，故正态分布需满足μ＞3σ的条件，得到概率密度函数在非负积分区间上的误差不大于0.14％，保证一定计算精度。

(2)对数正态分布

对数正态分布概率密度与分布函数分别为：

对数正态分布由参数对数均值μ和对数标准差σ'控制，通过模拟样本裂纹扩展寿命T_i(i＝1,2,...,n)得到其参数的无偏估计值μ'和S'为：

则发动机零部件裂纹扩展寿命近似概率密度函数表示为：

因可避免裂纹扩展寿命出现负值的情况，故对数正态分布相比于正态分布，适用性更强。

(3)三参数Weibull分布

三参数相对于双参数Weibull分布增加了位置参数，使得其模拟准确度更高，能够更加精确地拟合发动机零部件裂纹扩展寿命的概率分布。发动机零部件裂纹扩展寿命概率密度与分布函数分别为：

式中θ是尺度参数，β是形状参数，γ是位置参数。可以使用极大似然估计、Bayes估计、双线性回归估计等方法进行参数值估计。通过不同参数取值，三参数的Weibull分布能够更精确拟合裂纹扩展寿命分布曲线。

三、概率抽样算法，对失效风险进行评估：

蒙特卡罗抽样法

在裂纹扩展到一定寿命时，是否存在失效风险，是否能满足航空发动机零部件剩余强度要求，是概率损伤容限安全分析的重要内容。通过蒙特卡罗抽样法确定航空发动机零部件失效概率，对其失效风险进行评估，以保证发动机的可靠性与安全性。

蒙特卡罗(Monte-Carlo)抽样方法，依据概率统计理论通过随机抽样来计算随机事件的数值解，对发动机零部件的失效风险进行评估。而且模拟次数越多，数值解越精确。蒙特卡罗抽样法分析流程如下图4所示。

(1)确定抽样分析的重要参数及其分布

进行概率损伤容限分析时确定的重要参数也是抽样的随机变量，其分布规律如下表所示。表1重要参数及其分布函数：

表5

重要参数	参数分布规律
		应力极值σ<sub>max</sub>	服从极值分布函数
材料断裂韧度K<sub>C</sub>	服从正态分布函数
		裂纹扩展速率参数Z	服从对数正态分布函数
初始裂纹尺寸a<sub>0</sub>	服从对数正态分布函数

对重要参数分析可知，其为相互独立的随机变量，进行抽样时可将这四组随机数列{_ia₀},{_iZ},{_iK_C},{_iσ_max}，组成一个随机序列{_ia_0,iZ,_iK_C,iσ_max}(i＝1,2，…，n)。

不同分布规律的参数抽样方法不同，具体如下。

1)正态分布X～N(μ,σ)

当重要参数服从正态分布X～N(μ,σ)时，可使用Muller和Boa函数的变换加以抽样。

式中{ξ_i}是随机数序列，在区间(0,1)上服从均匀分布。利用上式计算重要参数含2n个样本时的随机数序列，此重要参数服从正态分布。

2)对数正态分布X～LN(μ,σ)

当重要参数服从对数正态分布X～LN(μ,σ)时，它的对数形式lnX服从正态分布)lnX～N(μ,σ)，抽样方法可示为：

x_i＝exp(χ_i)(i＝1,2,...,n) (49)

式中{χ_i}为服从正态分布的随机数序列。

3)极值分布X～G(X₀,a)

当重要参数服从极值分布X～G(X₀,a)时，其抽样方法可表示为：

x_i＝-αln(-lnξ_i)+x₀(i＝1,2,...,n) (50)

式中{ξ_i}是随机数序列，在区间(0,1)上服从均匀分布，α是尺度参数，x₀是位置参数。

(2)建立发动机零部件失效模型

发动机零部件失效概率可表示为：

(3)抽样模拟与置信区间

通过确定性发动机零部件裂纹扩展分析，抽样序列{_ia_0,iZ,_iK_C,iσ_max}，抽样模拟的指示函数可定义为：

则模拟的发动机零部件失效概率为：

发动机零部件可靠度为：

在置信水平为1-α时，P_f的置信区间为：

重要抽样法

通过Monte-Carlo直接抽样法得到的结构失效概率的近似值为：

J的均值和方差为：

由式58可知，J为P_f的无偏估计；J的方差与D(I_i)成正比，与模拟次数n成反比。若能减少D(I_i)，就可以在n一定时获得更优的J值，或者在精度一定时减少模拟次数。

引入重要抽样密度函数h_Y(y)，并要求：

(1)对任意的y，h_Y(y)存在；(2)f_X(y)≠0；(3)I_i(y)f_X(y)在积分中不改变符号。则式54可改写成

设{y_i}(i＝1,2,...,n)为满足概率密度函数h_Y(y)的随机向量序列。则根据式(57)，P_f的近似值为

上式是式(57)的推广形式。在上式中h_Y(y)控制着样本的分布，通过选择合适的h_Y(y)可以减少J的方差，从而在n一定时获得更优的J值，或者在精度一定时减少模拟次数。

若选择

则

因此式62所给出的是h_Y(y)的最优形式，但是该形式的具体表达式难以直接得到。在实际使用中，一般采用一个相对较优的h_Y(y)，使得J的方差在相当程度上减小。

H_Y(y)的均值点m_y决定了h_Y(y)在空间的位置。在结构可靠度计算中f_x(x)在失效域I(X,t)＝1内的体积就是结构的失效概率P_f。因此，失效域内h_Y(y)的峰值x*的邻近区域对P_f的“贡献”是主要的。为使样本密度在x*处最大，将h_Y(y)的均值大致选择在x*附近是合理的。一个常用的做法是将x*取为验算点。一旦确定了x*，选择h_Y(y)的方法之一就是将f_x(x)平移至x*关处，也就是选择均值改为x*、但协方差矩阵仍保持原值f_x(X)作为h_Y(y)。简便的方法则是选择

h_Y(y)＝φ_Y(m_Y,σ_Y) (63)

式中m_Y＝x^*，σ_Y＝σ_X。φ_Y(m_Y,σ_Y)为均值为m_Y，方差为σ_Y多维正态分布密度函数。

上面所述的方法关键在于选取抽样中心x*，传统的做法是使用验算点作为抽样中心，但是在实际应用中，若功能方程的显式表达式未知，验算点也就难以确定。而且若已经得到验算点，可靠度可直接通过一次二阶矩方法得到，重要抽样就没有必要了。因此，下面介绍自适应重要抽样方法，应用于概率损伤容限分析中。记给定裂纹扩展时间t时的功能函数为

G(a₀,Z,σ_max,K_C)＝K_C-K(a₀,Z,σ_max,t) (64)

则当G(·)≤0时，结构失效

抽样法的基本步骤为：

(1)选择初始抽样中心，一般选定抽样中心为随机变量的均值处；

(2)对于第l次抽样数据，并按式(63)所示的抽样密度函数抽取N_k个样本。分别通过确定性损伤容限分析计算其功能函数值，根据式(64)G(y)的判定样本点是否位于失效域内：若样本点位于失效域外，对于落入失效域外的点，记录其功能函数值,G(y_l,i)；对落入失效域内的点计算其等价联合概率密度函数值f_X(y_k,i)和重要抽样概率密度函数值

并分别通过下式计算

若

及满足精度要求，则结束结束运算输出结果，否则重新选择抽样中心进行重要抽样。

(3)关于选择第l+1次抽样中心

(a)如果有样本点落入失效域内，则选择落入失效域内的样本点中最大点作为新的抽样中心；

(b)如果没有样本点落入失效域内，则选择其功能函数值的绝对值|G(y_l,i)|的最小值点作为新的抽样中心。

通过上述方法进行重要抽样，经过迭代会使得抽样中心逐渐趋近最优的抽样中心-失效域内f_X(x)的峰值点。

以上的重要抽样方法可通过流程下图5表示。

四、响应面法，通过构造隐式极限状态方程的近似显式表达式实现系统可靠度的近似计算。

概率损伤容限分析的最终目的是由指定可靠度下的安全裂纹扩展寿命确定结构的检查周期，从而保证结构在指定的高可靠度下满足剩余强度要求。因此分析结构在给定可靠度要求下的安全裂纹扩展寿命和给定扩展寿命下的可靠度是概率损伤容限分析的最重要内容。

结构在裂纹扩展时间为t时失效的极限状态方程为

K(a₀,Z,σ_max,t)＝K_C (66)

结构的失效概率及可靠度可表示为

式中X＝(a₀,Z,σ_max,K_IC)，f_x(x)为X的联合概率密度函数，K(a₀,Z,σ_max,t)为给定a₀,Z,σ_max和裂纹扩展寿命寿命t下的裂纹尖端处的应力强度因子。以上模型将初始裂纹尺寸、裂纹扩展速率参数、材料的断裂韧度、结构可能承受的最大应力作为随机变量，充分考虑了影响结构在给定寿命下可靠度的各因素的随机性，而且给出了基于线弹性断裂准则的临界状态方程的数学表达式。

在实际应用中直接对式(67)进行积分通常由于其积分区域难以确定而无法实现。在此情况下响应面法可以通过构造隐式极限状态方程的近似显式表达式实现系统可靠度的近似计算。事实上如果响应面函数能够高精度地近似实际的极限状态方程，通过其计算的失效概率估计值也会具有相当高的精度。响应面法在结构可靠度分析中已经得到了广泛的应用，许多学者对此做出了大量的工作，并提出了许多改进技术。主要工作是将其应用于概率损伤容限分析中，通过比较各种响应面分析技术的结果，得到最适合概率损伤容限分析的方法。

1)样本点的选取

最初响应面方法的样本点选取方法是以均值点为样本选取中心，沿坐标走向分别偏离一定距离选取样本点，即选择μ＝fσ作为样本点。这种方法无法反映结构极限状态的概率特性，其效率较低，在现在的可靠度分析中很少使用。结构可靠度分析中最常用的方法是Bucher在1990年提出的一种迭代选取样本点的方法。这种方法第一次迭代时选取均值点作为抽样中心，然后围绕抽样中心偏离一定距离选取样本点。随后通过样本数据得到一个响应面函数，并根据该响应面函数估计验算点。最后利用插值法得到新的抽样中心。通过Bucher设计法，可以使得抽样中心位于对失效概率贡献最大的区域附近，从而提高计算的效率。

利用Bucher设计法可以构造一个迭代序列法计算结构可靠度，具体步骤如下：

1)给定初始抽样中心

2)围绕初始抽样中心选取样本点

并计算功能函数

得到M+1个点估计值；

3)通过M+1个点估计值计算响应面表达式的待定系数，得到响应面函数表达的近似功能函数，从而确定极限状态方程；

4)通过结构可靠度分析方法求解验算点

和可靠度指标β^k，上标k表示第k次迭代；

5)判断|β^k-β^k-1|＜∈是否成立，若成立，β^k即为系统的可靠度指标，相应的失效概φ(-β^k)；否则通过插值法得到新的展开点，然后返回67)进行下一步迭代。

通过该方法得到的抽样点落在验算点附近，使得对失效概率贡献大的区域能够很好的被近似。

2)响应面函数的选取

从简化计算步骤、提高计算效率的角度出发，响应面函数应该是显式的、形式简单的初等函数，并且其系数应可以简便地通过样本数据拟合。Wong提出使用含有交叉项的二次函数作为响应面函数，其形式如下：

式中n为随机变量个数。这种形式的响应面函数需要估计的参数是a,b_i,c_ij，共有

个。相应地，每一步计算需要选取的样本点及结构分析次数至少为

Bucher选择不含交叉项的二次函数作为响应面函数：

这种形式的响应面函数需要估计的参数是a,b_i,c_i，共有2n+个。只需2n+1个样本数据即可得到参数的估计。这种形式比之含有交叉项的响应面函数计算量明显减少，尤其是在随机变量个数较多的情况下。

在概率损伤容限分析中，在t时刻结构失效的极限状态方程如(66)式所示。因此系统的功能函数应具有如下的形式：

式中

是需要通过简单的函数形式拟合的。

分别使用含有交叉项和不含交叉项的二次函数表示H(a₀,Z,t)，则近似的功能函数可写为：

这两种形式的响应面函数每次计算需要估计的参数个数分别为6个和7个，相应的需要选取和计算的最少样本个数也是这些。

通过抽样计算得到M个样本点(a_0,i,Z_i,σ_max,K_IC,i)及相应的功能函数值G_i后，就可以分别构造一个线性方程组

通过以上的线性方程组可以发现K_C，i和σ_max，i的值并不会影响线性方程组的解，因此抽样中可以取其抽样中心处的定值。为了避免线性方程组的病态和奇异性，抽样方程的个数应大于待定系数的个数，然后通过最小二乘法求解方程组。求解以上方程组即可得到待定系数，从而确定如式(71)和式(72)表示的响应面函数。

3)响应面分析可靠性方法

通过响应面法分析结构的可靠度主要有两种途径：混合模拟法和几何法。这两种方法都可以简化结构的可靠度分析，其在实施和效果上具有各自的特点。

(1)混合模拟法

Monte-Carlo模拟在保证样本数目足够大的条件下可获得足够高的精度。然而传统的Monte-Carlo模拟法每个样本需进行一次确定性分析，计算量巨大。通过表达式简单的响应面函数近似实际极限状态方程可以大大减少系统分析的计算量，显著地提高计算效率。假设已获得响应面函数

用之代替实际的功能函数g(X)，则指示函数

相应地，系统失效概率变为

在概率损伤容限分析中，使用响应面混合模拟法得到响应面函数后，每次抽样只需计算一个响应面函数值，而不必对每个样本进行一次裂纹扩展分析。这大大减少了计算量，提高了计算效率。

(2)一次二阶矩法

一次二阶矩是可靠度分析的常用方法，其要点是将极限状态方程在某点处进行泰勒级数展开，并略去高阶项，从而得到功能函数的均值μ_g和方差

结构的可靠度指标可表示为

泰勒级数展开点选择的不同，使得一次二阶矩法在使用上也存在不同。常用的包括在均值处展开的均值一次二阶矩法和在设计验算点展开的改进一次二阶矩法。

对功能函数在均值处展开，可以得到功能函数的均值和方差如式(78)和式(79)所示：

该方法计算简便，但是对于非线性功能函数，因略去二阶及高阶项，故随着展开点到失效边界距离的增加，误差越来越大。为解决均值一次二阶矩的问题，展开点选在结构最大可能失效概率对应的设计验算点上。依此得到的方法称为改进一次二阶矩法或验算点法。对功能函数在验算点

处展开，得到其均值和方差为：

在概率损伤容限分析中，各随机变量是独立分布的，因此式(79)和式(81)中的COV(x_i,x_j)＝0，计算中可省去等式右端第二项。

以上的一次二阶矩法适用于随机变量为正态分布的情形。对于非正态分布变量，需通过以下两式对其进行当量正态化，得到等效正态分布均值和标准差

用以上得到的

代替式(79)和(80)中的

即可使用一次二阶矩法进行可靠度分析。

验算点一般通过迭代法求得，其迭代过程如下：

(1)取定一个初始的验算点，一般取为均值点

(2)对非正态分布变量，通过式(82)和(83)计算其当量正态分布均值和当量正态分布标准差；

(3)利用式(77)、式(80)和式(81)计算可靠度指标β；

(4)计算灵敏度系数：

(5)计算新的验算点

(6)重复步骤(67)～(70)，直至前后两次β值之差的绝对值小于允许误差。由此，相应的可靠度为

R＝φ(β) (86)

失效概率为

P_f＝φ(-β) (87)

本发明所提供的方法，大大减少了计算量，提高了计算效率，而且在概率统计模型时如果样本数量或者模拟样本次数足够多，概率分布函数能够非常精确地反映裂纹扩展寿命曲线。

以上所述实施例仅表达了本发明的几种实施方式，其描述较为具体和详细，但并不能因此而理解为对发明专利范围的限制。应当指出的是，对于本领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进，这些都属于本发明的保护范围。因此，本发明专利的保护范围应以所附权利要求为准。

Claims (6)

1.一种概率损伤容限评估分析方法，其特征在于，将随机性对零件剩余强度影响小、分布相对集中的参数近似为确定值，将随机性对剩余强度影响大、分散度大的参数作为变量，通过概率损伤容限分析，确定断裂韧度、应力极值、剩余强度许用值、初始裂纹尺寸和临界裂纹尺寸重要参数的概率密度与分布；基于初始裂纹尺寸分布函数和临界裂纹尺寸参数进行裂纹扩展分析，确定裂纹扩展速率和裂纹尺寸变化规律，确定裂纹扩展寿命；根据概率断裂力学理论对裂纹扩展的随机性进行分析，确定裂纹尺寸下发动机零部件裂纹扩展寿命概率密度函数，或者循环次数下的零部件失效概率；再使用常见概率分布函数拟合裂纹扩展寿命分布，实现对裂纹扩展的寿命进行预测和风险评估。

2.根据权利要求1所述概率损伤容限评估分析方法，其特征在于，所述初始裂纹尺寸通过两种方式确定，第一种是由气孔、夹杂、加工残余应力造成的初始缺陷或裂纹，用当量初始缺陷尺寸定量描述发动机零部件的初始裂纹；第二种是将发动机零部件达到经济寿命时的裂纹作为概率损伤容限技术的初始裂纹。

3.根据权利要求2所述概率损伤容限评估分析方法，其特征在于，所述初始裂纹尺寸确定的第一种方法：确定初始裂纹分布即当量初始缺陷尺寸分布，先根据发动机零部件原始疲劳质量模型，通过裂纹萌生时间反推法计算获得初始裂纹尺寸；具体为先通过耐久性试验收集裂纹尺寸a与时间t的数据集(a-t)，获取裂纹萌生时间样本，确定裂纹萌生时间分布模型进行分布参数估计，利用裂纹萌生时间与当量初始裂纹尺寸的函数关系，确定当量初始裂纹尺寸分布函数。

4.根据权利要求2所述概率损伤容限评估分析方法，其特征在于，所述初始裂纹尺寸确定的第二种方法：先确定零部件当量初始裂纹尺寸分布，使用当量初始裂纹尺寸的累积分布函数建立经济寿命下的裂纹尺寸与当量初始裂纹的尺寸关系，根据零部件经济寿命，确定此类初始裂纹尺寸分布函数。

5.根据权利要求1所述概率损伤容限评估分析方法，其特征在于，所述零部件失效概率通过蒙特卡罗抽样法确定航空发动机零部件失效概率：

1)确定抽样分析的重要参数及其分布：

进行概率损伤容限分析时确定的重要参数也是抽样的随机变量，其分布规律如下表：

重要参数 参数分布规律 应力极值σ_max 服从极值分布函数 材料断裂韧度K_C 服从正态分布函数 裂纹扩展速率参数Z 服从对数正态分布函数 初始裂纹尺寸a₀ 服从对数正态分布函数

2)抽样法的步骤为：

2.1)选择初始抽样中心，选定抽样中心为随机变量的均值处；

2.2)对于第l次抽样数据，并按概率密度函数h_Y(y)抽取N_k个样本，

概率密度函数h_Y(y)＝φ_Y(m_Y,σ_Y)，φ_Y(m_Y,σ_Y)为均值为m_Y，方差为σ_Y多维正态分布密度函数，m_Y＝x^*，x*为失效域内h_Y(y)的峰值；

分别通过确定性损伤容限分析计算其功能函数值G，根据G(a₀,Z,σ_max,K_C)＝K_C-K(a₀,Z,σ_max,t)的判定样本点是否位于失效域内，其中K_C表示材料平面应力断裂韧度，K(a₀,Z,σ_max,t)为给定a₀,Z,σ_max和裂纹扩展寿命寿命t下的裂纹尖端处的应力强度因子；

若样本点位于失效域外，对于落入失效域外的点，记录其功能函数值,G(y_l,i)；对落入失效域内的点计算其等价联合概率密度函数值f_X(y_k,i)和重要抽样概率密度函数值

X＝(a₀,Z,σ_max,K_IC)，K_IC为平面应变断裂韧度，f_X(x)为X的联合概率密度函数，I为抽样模拟的指示函数，并分别通过下式计算失效概率

若

及满足精度要求，则结束结束运算输出结果，否则重新选择抽样中心进行重要抽样；

2.3)关于选择第l+1次抽样中心：

(a)如果有样本点落入失效域内，则选择落入失效域内的样本点中f_X(y_k,i)最大点作为新的抽样中心；

(b)如果没有样本点落入失效域内，则选择其功能函数值的绝对值|G(y_l,i)|的最小值点作为新的抽样中心；

通过上述方法进行重要抽样，经过迭代会使得抽样中心逐渐趋近最优的抽样中心-失效域内f_X(x)的峰值点。

6.根据权利要求5所述概率损伤容限评估分析方法，其特征在于，所述结构在裂纹扩展时间为t时失效的极限状态方程为：K(a₀,Z,σ_max,t)＝K_C，通过响应面法对极限状态方程进行响应面函数的构造，通过响应面法分析结构的可靠度。

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