CN111478706A - 一种面向压缩感知的稀疏多带信号盲重构方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种面向压缩感知的稀疏多带信号盲重构方法。步骤1、将多带信号重构问题转化为线性规划问题；步骤2、步骤1的线性公式设定输入值；步骤3、输入采样得到的稀疏多带信号，对稀疏多带信号进行l次迭代操作；步骤4、计算SPG投影的估计值；步骤5、更新对应的残差的估计值：步骤6、更新迭代；步骤7、完成稀疏多带信号的重构。本发明解决现有方法在实际应用中由于无法获得当前有效频带数而导致无法进行稀疏多带信号重构的问题。

Description

一种面向压缩感知的稀疏多带信号盲重构方法

技术领域

本发明涉及信号采样技术领域，尤其涉及一种稀疏多带信号重构方法。

背景技术

压缩感知(Compressed Sensing，CS)是最近几年提出的一个全新的信号采样理论，它指出，对于一个稀疏的或者在某个变换域上稀疏的信号，可以用一个与变换基不相关的测量矩阵将源信号从高维空间投影到低维空间，然后通过解一个优化问题，能从远小于信号长度的投影数中以高概率重构出源信号。

对于一个长度为N的K稀疏信号：

其中|supp(·)|表示信号的0-范数，即信号值不为0的个数。可以找到它的m个线性测量：

y＝Φx (2)

其中：

为测量矩阵，且m<<N。在拥有了观测向量y和测量矩阵Φ的情况下，可以用0-范数意义下的优化问题来重构或逼近源信号x。此种类型的问题也称为单观测向量(Single Measurement Vector，SMV)问题。

考虑另外一种类型的稀疏信号-多带稀疏信号(Sparse Multiband Signal)，其定义如下：

1)原信号x(t)是带限的；

2)信号的傅立叶变换X(f)的支撑包含N个无交连频带；

3)每个频带的宽度不大于；

其形式如图1所示。

对多带稀疏信号观测，其观测模型可用多观测向量(Multiple MeasurementVectors，MMV)问题来描述，定义如下：

Y＝ΦX (3)

其中

为测量矩阵，且m<<N。X∈R^N×L为原信号矩阵，每个列向量表示一个原信号。Y∈R^m×L为观测值矩阵，每一列为一观测值向量。多观测向量问题的目的是通过定义合适的原信号间的结构来实现原信号的同时恢复。

目前针对多观测向量问题的信号重构方法主要是单观测向量方法的拓展类方法，如同步正交匹配追踪(Simultaneous Orthogonal Matching Pursuit，SOMP)方法、同步子空间方法(Simultaneous Subspace Pursuit，SSP)等，还有一类方法是将多观测向量问题转换为单观测向量问题来求解，如ReMBo(Reduction of MMV and Boosting)方法。但是，这些方法都要求频带的数量已知来进行信号重构，在有些实际的应用场合，通常当前活动的频带数量是随时间变化的，即在进行信号重构时无法获得当前有效频带数，现有的上述方法在这种情况下无法应用。

发明内容

本发明是为了解决现有方法在实际应用中由于无法获得当前有效频带数而导致无法进行稀疏多带信号重构的问题，从而提供一种面向压缩感知的稀疏多带信号重构方法。

本发明通过以下技术方案实现：

一种面向压缩感知的稀疏多带信号盲重构方法，所述重构方法由以下步骤实现：

步骤1、将多带信号重构问题转化为线性规划问题，线性公式为：

式中，F为矩阵的F范数，s.t.为目标函数(subjectto)；

步骤2、步骤1的线性公式设定输入值：观测矩阵Y，待优化矩阵X，测量矩阵Φ且

优化误差阈值τ，评价标准对偶差的阈值δ，设初始步长α₀∈[α_min，α_mtx]，设定迭代最小步长和最大步长的关系为0＜α_min＜α_max，设定充分下降参数γ∈(0，1)，设定线性搜索历史步长M≥1，设定初始迭代：X₀←0，R₀←y-Az₀，G₀←-Φ^Tr₀，迭代次数l←0；

步骤3、输入采样得到的稀疏多带信号，对稀疏多带信号进行l次迭代操作；

步骤4、计算SPG投影的估计值，公式为，

式中，P_τ为为投影函数；

步骤5、更新对应的残差的估计值：

步骤6、更新迭代；

步骤7、当对偶差满足小于设定阈值δ时，输出结果X_τ←X_l,完成稀疏多带信号的重构。

进一步的，所述步骤3具体为，l次迭代中l∈{1，2，...，M}，M为正整数；在每次迭代操作过程前，计算对偶差，对偶差公式为：

δ_l←||R_l||_F-(Tr(B_l ^TR_l)-τ||G_l||_max)/||R_l||_F

其中，R_l＝Y-ΦX_l,B_l＝R_l/||R_l||₂,G_l＝-Φ^TR_l，R_l为算法每一次迭代之后的残差，B_l为新的向量，带有l下标的为参数第l次迭代得到的值，当对偶差小于设定阈值δ时，输出结果，当对偶差大于设定阈值δ时，则初始化步长为α←α_l。

进一步的，所述步骤4的计算SPG投影的估计值的方法为：

先令待优化矩阵X＝C，如果满足||X||_1，1≤τ,则估算结束。

否则，对于待优化矩阵X中所有元素，先求得矩阵X各行的L1范数Z_X

Z_X＝[|X₁|₁，|X₂|₁，...，|X_m|₁]

并从大到小排序，形成新的向量SZ_X，

SZ_X＝sort[|X₁|₁，|X₂|₁，…，|X_m|₁]

其中，

代表向量Z_X的第i个元素，

代表向量SZ_X的第i个元素，l是使得

不小于

的最小整数，l的范围是[1，2，…m]，n是待优化矩阵各行的元素数目，当待处理数据为复数时，对数据的模值进行该运算，实部虚部比例不变。

进一步的，所述步骤5中，

当

式中，

为矩阵的F范数的平方，||R_l-j||_F ²为矩阵的F范数的平方，

继续新的迭代，否则在新的迭代之前减小步长α←α/2。

进一步的，所述步骤6中更新迭代为：

ΔX←X_l+1-X_l，G←G_l+1-G_l。

进一步的，如果：Tr(ΔX^TΔG)≤0

那么α_l+1←α_max

否则α_l+1←min{α_max，max[α_mtn，Tr(Δz^TΔz)/Tr(Δz^TΔg)]}

至此，完成一次迭代。

有益效果：

最直观的是本发明可以在不事先知道载波频率的情况下恢复多波段信号，这是传统的重构算法无法实现的；在算法性能方面，本发明解决了BP问题，利用矩阵的L1，1范数来描述矩阵的稀疏性，即求取矩阵的行向量的L1范数之后，以新的范数向量的L1范数衡量矩阵的稀疏性，将压缩感知模型转化为线性规划问题，并利用SPG算法对矩阵进行估计；最后用牛顿迭代法求出目标函数的最优解，这种迭代方法属于全局优化，避免了传统重建方法中局部优化的麻烦，在面对噪声时更加稳定；最重要的是，本发明直接恢复信号，而经典的算法根据联合稀疏观测值找到最匹配的列向量原子，然后通过求解最小二乘问题得到原始信号的估计，一旦匹配失败，则重建失败；本发明可以大大减小原子选择不匹配对原始信号恢复误差的影响。

附图说明

图1现有的具有两个无交连频带的多带信号示意图。

图2是信噪比等于0dB，本发明与传统相对于当前活动频带数的重构概率变化曲线对比图。

图3是信噪比等于10dB，本发明与传统相对于当前活动频带数的重构概率变化曲线对比图。

图4是信噪比等于10dB，本发明与传统通道数从20到100的重构信号的信噪比曲线对比图。

图5是当通道数等于50，本发明与传统信噪比从25dB到-5dB的，重构信号比原始信号增加的信噪比曲线对比图。

具体实施方式

实施例1

结合图1和图2说明本具体实施方式，一种面向压缩感知的稀疏多带信号重构方法，

一种面向压缩感知的稀疏多带信号盲重构方法，所述重构方法由以下步骤实现：

步骤1、将多带信号重构问题转化为线性规划问题，线性公式为：

式中，F为矩阵的F范数，s.t.为目标函数(subjectto)；

步骤2、步骤1的线性公式设定输入值：测量矩阵

观测矩阵Y，优化误差阈值τ，评价标准对偶差的阈值δ，待优化矩阵X，设定迭代最小步长和最大步长0＜α_min＜α_max，设初始步长α₀∈[α_min，α_max]，设定充分下降参数γ∈(0，1)，线性搜索历史步长M≥1，设定初始迭代：X₀←0，R₀←y-Az₀，G₀←-Φ^Tr₀，迭代次数l←0；

步骤3、输入采样得到的稀疏多带信号，对稀疏多带信号进行l次迭代操作；

步骤4、计算SPG投影的估计值，公式为，

式中，P_τ为投影函数；

步骤5、更新对应的残差的估计值：

得到待优化矩阵X的估计值

此时把这个估计值

当作理想值的话，残差也需要一个估计值，残差R的估计值

对应待优化矩阵X的估计值就是对应的残差

步骤6、更新迭代；在迭代中，Y是不变的，每次得到一个X和X的估计值

R是残差，也就是某次迭代的结果距离真实解，也需要估计，对于ΔX是两次迭代结果的差。

步骤7、当对偶差满足小于设定阈值δ时，输出结果X_τ←X_l,完成稀疏多带信号的重构。

进一步的，所述步骤3具体为，l次迭代中l∈{1，2，…，M}，M为正整数；在每次迭代操作过程前，计算对偶差，对偶差公式为：

R_l←||R_l||_F-(Tr(B_l ^TR_l)-τ||G_l||_max)/||R_l||_F

其中，R_l＝Y-ΦX_l,B_l＝R_l/||R_l||₂,G_l＝-Φ^TR_l，R_l为算法每一次迭代之后的残差，B_l为新的向量，带有l下标的为参数第l次迭代得到的值，当对偶差小于设定阈值δ时，输出结果，当对偶差大于设定阈值δ时，则初始化步长为α←α_l。

进一步的，所述步骤4的计算SPG投影的估计值的方法为：

先令待优化矩阵X＝C，如果满足||X||_1，1≤τ,则估算结束

否则，对于待优化矩阵X中所有元素，先求得矩阵X各行的L1范数Z_X

Z_X＝[|X₁|₁，|X₂|₁，…，|X_m|₁]

并从大到小排序，形成新的向量SZ_X，

SZ_X＝sort[|X₁|₁，|X₂|₁，...，|X_m|₁]

其中，

代表向量Z_X的第i个元素，

代表向量SZ_X的第i个元素，l是使得

不小于

的最小整数，l的范围是[1，2，...m]，n是待优化矩阵各行的元素数目，当待处理数据为复数时，对数据的模值进行该运算，实部虚部比例不变。

进一步的，所述步骤5中，

当

式中，

为矩阵的F范数的平方，||R_l-j||_F ²为矩阵的F范数的平方，

继续新的迭代，否则在新的迭代之前减小步长α←α/2。

进一步的，所述步骤6中更新迭代为：

ΔX←X_l+1-X_l，G←G_l+1-G_l。

进一步的，如果：Tr(ΔX^TΔG)≤0

那么α_l+1←α_max

否则α_l+1←min{α_max，max[α_min，Tr(Δz^TΔz)/Tr(Δz^TΔg)]}

至此，完成一次迭代。

实施例2

以下通过具体仿真实验将本发明方法和传统的同步正交匹配追踪法(Simultaneous Orthogonal Matching Pursuit，SOMP)进行比较，并计算每一种方法的重构概率进行对比。

仿真实验按以下步骤进行：

一、随机产生一个高斯分布测量矩阵

假设原信号满足

并假设B＝50MHz，m＝40，ε＝0.05，f_NYQ＝10GHz，E_i、τ_i、f_i随机选取，并假设当前活动的载频数目为3。

二、通过公式二得到观测信号Y＝ΦX，利用每种重构算法对信号的支撑集进行重构，若当前活动的频带位置全部找到则重构成功；

三、对每种重构算法运行1000次，并计算重构概率。

绘制重构概率、迭代次数随当前活动频带数的变化曲线。实验结果如图2至图5所示，其中图2和图3是相对于当前活动频带数的重构概率变化曲线；图4和图5是相对于当前活动频带数的迭代次数变化曲线。

从图2至图5可见，本发明方法的重构概率和重构性能比SOMP方法有大幅提高；并且本发明方法不再依赖于当前活动的频带数这个先验知识。本发明方法尤其适用于不知道载波频率个数的场合，如无线电通信、认知无线电频谱感知等领域。

Claims (6)

1.一种面向压缩感知的稀疏多带信号盲重构方法，其特征是：所述重构方法由以下步骤实现：

步骤1、将多带信号重构问题转化为线性规划问题，线性公式为：

式中，F为矩阵的F范数，s.t.为目标函数(subject to)；

步骤2、步骤1的线性公式设定输入值：观测矩阵Y，待优化矩阵X，测量矩阵Φ且

优化误差阈值τ，评价标准对偶差的阈值δ，设初始步长α₀∈[α_min，α_max]，设定迭代最小步长和最大步长的关系为0＜α_min＜α_max，设定充分下降参数γ∈(0，1)，设定线性搜索历史步长M≥1，设定初始迭代：X₀←0，R₀←y-Az₀，G₀←-Φ^Tr₀，迭代次数l←0；

步骤3、输入采样得到的稀疏多带信号，对稀疏多带信号进行l次迭代操作；

步骤4、计算SPG投影的估计值，公式为，

式中，P_τ为投影函数；

步骤5、更新对应的残差的估计值：

步骤6、更新迭代；

步骤7、当对偶差满足小于设定阈值δ时，输出结果X_τ←X_l，完成稀疏多带信号的重构。

2.根据权利要求1所述一种面向压缩感知的稀疏多带信号盲重构方法，其特征是：所述步骤3具体为，l次迭代中l∈{1，2，...，M}，M为正整数；在每次迭代操作过程前，计算对偶差，对偶差公式为：

δ_l←-||R_l||_F-(Tr(B_l ^TR_l)-τ||G_l||_max)/||R_l||_F

其中，R_l＝Y-ΦX_l，B_l＝R_l/||R_l||₂，G_l＝-Φ^TR_l，R_l为算法每一次迭代之后的残差，B_l为新的向量，带有l下标的为参数第l次迭代得到的值，当对偶差小于设定阈值δ时，输出结果，当对偶差大于设定阈值δ时，则初始化步长为α←α_l。

3.根据权利要求1所述一种面向压缩感知的稀疏多带信号盲重构方法，其特征是：所述步骤4的计算SPG投影的估计值的方法为：

先令待优化矩阵X＝C，如果满足||X||_1，1≤τ，则估算结束，

否则，对于待优化矩阵X中所有元素，先求得矩阵X各行的L1范数Z_X，

Z_X＝[|X₁|₁，|X₂|₁，...，|X_m|₁]

并从大到小排序，形成新的向量SZ_X，

SZ_X＝sort[|X₁|₁，|X₂|₁，...，|X_m|₁]

其中，

代表向量Z_X的第i个元素，

代表向量SZ_X的第i个元素，l是使得

不小于

的最小整数，l的范围是[1，2，...m]，n是待优化矩阵各行的元素数目，当待处理数据为复数时，对数据的模值进行该运算，实部虚部比例不变。

4.根据权利要求1所述一种面向压缩感知的稀疏多带信号盲重构方法，其特征是：所述步骤5中，

当

式中，

为矩阵的F范数的平方，||R_l-j||_F ²为矩阵的F范数的平方，

继续新的迭代，否则在新的迭代之前减小步长α←α/2。

5.根据权利要求1所述一种面向压缩感知的稀疏多带信号盲重构方法，其特征是：所述步骤6中更新迭代为：

G_l+1←-Φ^TR_l+1

ΔΔX←X_l+1-X_l，G←G_l+1-G_l。

6.根据权利要求5所述一种面向压缩感知的稀疏多带信号盲重构方法，其特征是：如果：Tr(ΔX^TΔG)≤0

那么α_l+1←α_max

否则α_l+1←min{α_max，max[α_min，Tr(Δz^TΔz)/Tr(Δz^TΔg)]}

至此，完成一次迭代。

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