CN115249028A - 一种基于稀疏正则化约束的盲解卷积信号重构方法 - Google Patents

一种基于稀疏正则化约束的盲解卷积信号重构方法 Download PDF

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CN115249028A CN202210520026.3A CN202210520026A CN115249028A CN 115249028 A CN115249028 A CN 115249028A CN 202210520026 A CN202210520026 A CN 202210520026A CN 115249028 A CN115249028 A CN 115249028A
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Abstract

一种基于稀疏正则化约束的盲解卷积信号重构方法，本发明涉及基于稀疏正则化约束的盲解卷积信号重构方法。本发明的目的是为了解决现有稀疏盲解卷积信号重构方法对观测点需求多、信号重构准确率低、误差大的问题。过程为：1、设置
Figure DDA0003642931690000011
的初始值；2、定义损失函数，迭代
Figure DDA0003642931690000012
的值；3、令
Figure DDA0003642931690000013
为2中得到的
Figure DDA0003642931690000014
中绝对值从大到小排列前sp个元素组成的向量，并记录这些元素的位置，C'为矩阵C中与这些位置对应的列组成的矩阵；4、设置新的盲解卷积问题的初值；5、定义损失函数，根据梯度下降算法迭代
Figure DDA0003642931690000015
的值；6、令
Figure DDA0003642931690000016
对应位置的值等于
Figure DDA0003642931690000017
其余位置的值为0；此时的
Figure DDA0003642931690000018
即为最终求解结果。本发明用于稀疏信号恢复技术领域。

Description

一种基于稀疏正则化约束的盲解卷积信号重构方法
技术领域
本发明涉及稀疏信号恢复技术领域，具体涉及对稀疏盲解卷积问题的精确求解。
背景技术
盲解卷积是指仅通过两个输入信号的卷积结果，精确重构出两个未知输入信号的技术，在图像去模糊、无源成像、无线通信等领域应用广泛。
一种使用已调输入信号(使用r对s调制)的卷积过程可以表示为
公式一
Figure BDA0003642931670000011
其中y为原始观测信号，h为长为M的任意结构的未知离散信号，s为长为Q的未知离散信号，r为长为Q的已知的随机±1序列。
Figure BDA0003642931670000012
代表长为L(L≥max(M,Q))的圆周卷积，⊙代表两个向量的点乘。其中，信号s需要能写成
公式四s＝Cx
其中，C为一个Q×Q的正交矩阵的K列组成的已知的Q×K的矩阵，x为长为K的未知离散信号。
对上述卷积过程两边进行离散傅里叶变换，可得到下式：
公式五
Figure BDA0003642931670000013
其中
Figure BDA0003642931670000014
F为L×L的DFT矩阵，FM为F的前M列组成的矩阵，FQ为F的前Q列组成的矩阵，R为将向量r对角化形成的对角矩阵。
盲解卷积问题即是要通过观测信号
Figure BDA0003642931670000015
恢复出未知的信号h、x。
如果每次仅考虑观测信号
Figure BDA0003642931670000016
的第l行，则
公式六
Figure BDA0003642931670000017
其中fl为矩阵FM的第l行，cl为矩阵FQRC的第l行，aT表示向量a的转置，＜,＞代表内积计算。
通过公式四可以看出，上述卷积过程可以视为对hxT这个秩为1的矩阵的线性变换。定义此线性变换为
Figure BDA0003642931670000018
则卷积过程可以写为
公式七
Figure BDA0003642931670000021
定义损失函数为：
公式八
Figure BDA0003642931670000022
其中，
Figure BDA0003642931670000023
分别代表对h、x的估计值。
梯度下降算法是迭代法的一种，可以通过不断迭代
Figure BDA0003642931670000024
的值找到损失函数的极小值。其迭代方法如下：
公式九
Figure BDA0003642931670000025
公式十
Figure BDA0003642931670000026
其中η表示学习率，
Figure BDA0003642931670000027
分别代表函数F(·)对
Figure BDA0003642931670000028
的偏导。
当观测信号的点数满足一定条件时，只要设置合适的初值，就能通过梯度下降算法，不断迭代
Figure BDA0003642931670000029
的值，使其逐渐收敛于h、x，从而实现由观测信号
Figure BDA00036429316700000210
精确重构出未知信号h、x。
在上述的盲解卷积问题模型中，未对未知信号x的结构做出任何假设。而在实际应用中，许多信号其本身或者在经过某些变换后呈现出稀疏的特点，即这些信号本身或经过某些变换后的大部分元素都为0或近似为0，只有少数非零点。如果信号x是稀疏的，利用信号x稀疏的结构特点，就能降低盲解卷积精确求解所需要的观测点数要求。
发明内容
本发明的目的是为了解决现有稀疏盲解卷积信号重构方法对观测点需求多、信号重构准确率低、误差大的问题，而提出一种基于稀疏正则化约束的盲解卷积信号重构方法。
一种基于稀疏正则化约束的盲解卷积信号重构方法具体过程为：
步骤1、求解
Figure BDA00036429316700000211
的最大的奇异值d及最大奇异值d对应的左右奇异向量
Figure BDA00036429316700000212
设置
Figure BDA00036429316700000213
的初始值分别为
Figure BDA00036429316700000214
其中，
Figure BDA00036429316700000215
为线性变换
Figure BDA00036429316700000216
的对偶映射，
Figure BDA00036429316700000217
为h的估计值，
Figure BDA00036429316700000218
为x的估计值，h为长为M的任意结构的未知离散信号，x为长为K的未知离散稀疏信号；
步骤2、定义损失函数
Figure BDA00036429316700000219
设置最大迭代次数，根据近端梯度下降算法迭代
Figure BDA00036429316700000220
的值，直至达到最大迭代次数，得到
Figure BDA00036429316700000221
的值；
其中，
Figure BDA0003642931670000031
为损失函数，
Figure BDA0003642931670000032
为线性变换，
Figure BDA0003642931670000033
为
Figure BDA0003642931670000034
的转置，
Figure BDA0003642931670000035
为L2范数的平方，λ为正则化强度参数，
Figure BDA0003642931670000036
表示
Figure BDA0003642931670000037
的L1范数；
步骤3、令
Figure BDA0003642931670000038
为步骤2中得到的
Figure BDA0003642931670000039
中绝对值从大到小排列前sp个元素组成的向量，并记录这些元素的位置，C'为矩阵C中与这些位置对应的列组成的矩阵；
其中，sp为x的非零点的个数；
步骤4、设置盲解卷积问题
Figure BDA00036429316700000310
的初值；
其中，FM为F的前M列组成的矩阵，⊙代表两个向量的点乘，FQ为F的前Q列组成的矩阵，R为将向量r对角化形成的对角矩阵，x'为x非零点组成的向量，
Figure BDA00036429316700000311
为从hx'T到
Figure BDA00036429316700000312
的线性变换；
步骤5、定义损失函数
Figure BDA00036429316700000313
设置最大迭代次数，根据梯度下降算法迭代
Figure BDA00036429316700000314
的值，直至达到最大迭代次数，得到
Figure BDA00036429316700000315
的值；
步骤6、令
Figure BDA00036429316700000316
对应位置的值等于
Figure BDA00036429316700000317
其余位置的值为0；此时的
Figure BDA00036429316700000318
即为最终求解结果。
本发明的有益效果为：
本发明针对稀疏盲解卷积问题，提出了使用稀疏正则化约束的方法，即使用L1范数惩罚项促进信号向稀疏的方向迭代，降低稀疏盲解卷积问题求解对观测点数的要求。
本发明一种基于稀疏正则化约束的盲解卷积方法，通过使用L1范数惩罚项，促进信号向稀疏的方向迭代，从而找到未知稀疏信号的非零点位置，将原稀疏盲解卷积问题转换为未知数更少的盲解卷积问题，提高了稀疏盲解卷积在观测点数较少时的信号重构准确率，降低稀疏盲解卷积问题精确求解对观测点数的要求。
本发明在初始损失函数的基础上增加L1范数惩罚项，设置合适的初值后，使用近端梯度下降算法迭代信号，促进信号在迭代中向稀疏的方向收敛，找出信号非零点位置，将稀疏盲解卷积问题转换为未知数更少的盲解卷积问题，并使用梯度下降算法求解，减少了稀疏盲解卷积问题求解需要的观测点数。本发明方法适用于观测点数较少时的场合。
本发明方法的信号重构正确率、平均相对误差在不同观测点数时均优于原始盲解卷积方法，信号精确重构所需的观测点数少于原始盲解卷积方法；以实验中的条件为例，本发明方法精确求解所需的观测点数为L＝300，而原始盲解卷积方法精确求解所需的观测点数为L＝380。
附图说明
图1为本发明流程图；
图2为两种方法的信号重构正确率对比图；
图3为两种方法的信号重构平均相对误差对比图。
具体实施方式
具体实施方式一：本实施方式一种基于稀疏正则化约束的盲解卷积信号重构方法具体过程为：
步骤1、求解
Figure BDA0003642931670000041
的最大的奇异值d及最大奇异值d对应的左右奇异向量
Figure BDA0003642931670000042
设置
Figure BDA0003642931670000043
的初始值分别为
Figure BDA0003642931670000044
其中，
Figure BDA0003642931670000045
为线性变换
Figure BDA0003642931670000046
的对偶映射，
Figure BDA0003642931670000047
为h的估计值，
Figure BDA0003642931670000048
为x的估计值，h为长为M的任意结构的未知离散信号，x为长为K的未知离散稀疏信号；
步骤2、定义损失函数
Figure BDA0003642931670000049
设置最大迭代次数，根据近端梯度下降算法迭代
Figure BDA00036429316700000410
的值，直至达到最大迭代次数，得到
Figure BDA00036429316700000411
的值；
其中，
Figure BDA00036429316700000412
为损失函数，
Figure BDA00036429316700000413
为线性变换，
Figure BDA00036429316700000414
为
Figure BDA00036429316700000415
的转置，
Figure BDA00036429316700000416
为L2范数的平方，λ为正则化强度参数，
Figure BDA00036429316700000417
表示
Figure BDA00036429316700000418
的L1范数；
步骤3、令
Figure BDA00036429316700000419
为步骤2中得到的
Figure BDA00036429316700000420
中绝对值从大到小排列前sp个元素组成的向量，并记录这些元素的位置，C'为矩阵C中与这些位置对应的列组成的矩阵；
其中，sp为x的非零点的个数；
步骤4、设置盲解卷积问题
Figure BDA00036429316700000421
的初值；
其中，FM为F的前M列组成的矩阵，⊙代表两个向量的点乘，FQ为F的前Q列组成的矩阵，R为将向量r对角化形成的对角矩阵，x'为x非零点组成的向量，
Figure BDA00036429316700000422
为从hx'T到
Figure BDA00036429316700000423
的线性变换；
步骤5、定义损失函数
Figure BDA00036429316700000424
设置最大迭代次数，根据梯度下降算法迭代
Figure BDA0003642931670000051
的值，直至达到最大迭代次数，得到
Figure BDA0003642931670000052
的值；
步骤6、令
Figure BDA0003642931670000053
对应位置的值等于
Figure BDA0003642931670000054
其余位置的值为0；此时的
Figure BDA0003642931670000055
即为最终求解结果。
M、Q、K、L为正整数。
具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是，所述步骤1中线性变换
Figure BDA0003642931670000056
的定义过程为：
Figure BDA0003642931670000057
其中，h为长为M的任意结构的未知列向量，s为长为Q的未知离散信号，r为长为Q的已知的随机±1序列；
Figure BDA00036429316700000515
代表长为L的圆周卷积，L≥max(M,Q)，⊙代表两个向量的点乘；y为原始观测信号；
其中信号s写成
s＝Cx (2)
其中，C为一个Q×Q的正交矩阵的K列组成的已知的Q×K的矩阵，x为长为K的未知离散稀疏信号；
对公式(1)两边进行离散傅里叶变换，得到下式：
Figure BDA0003642931670000058
其中，
Figure BDA0003642931670000059
为对y进行离散傅里叶变换结果，
Figure BDA00036429316700000510
F为L×L的离散傅里叶变换(DFT)矩阵，FM为F的前M列组成的矩阵，FQ为F的前Q列组成的矩阵，R为将向量r对角化形成的对角矩阵；
盲解卷积问题即是要通过观测信号
Figure BDA00036429316700000511
恢复出未知的信号h、x；
如果每次仅考虑观测信号
Figure BDA00036429316700000512
的第l行，则
Figure BDA00036429316700000513
其中，fl为矩阵FM的第l行，cl为矩阵FQRC的第l行，xT表示向量x的转置，
Figure BDA00036429316700000514
表示向量cl的转置，fl T表示向量fl的转置，＜,＞代表内积计算；fl、cl已知；
通过公式(4)可以看出，卷积过程可以视为从hxT这个秩为1的未知矩阵到观测信号
Figure BDA0003642931670000061
的线性变换；定义此线性变换为
Figure BDA0003642931670000062
则卷积过程可以写为
Figure BDA0003642931670000063
其它步骤及参数与具体实施方式一相同。
具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是，所述步骤2中根据近端梯度下降算法迭代
Figure BDA0003642931670000064
的值；具体过程为：
当损失函数可微时，可使用梯度下降算法进行迭代；当损失函数包含可微部分和不可微部分时，可使用近端梯度下降算法进行迭代。对于损失函数F(x)＝f(x)+g(x)，其中f(x)为可微凸函数，g(x)为不可微凸函数。近端梯度下降算法迭代公式为：
Figure BDA0003642931670000065
其中proxηg(·)为近端算子，xt表示第t次迭代对应的x，xt-1表示第t-1次迭代对应的x，η表示学习率，
Figure BDA0003642931670000066
为函数f(·)的梯度；
Figure BDA0003642931670000067
此处的损失函数
Figure BDA0003642931670000068
中
Figure BDA0003642931670000069
对
Figure BDA00036429316700000610
全部可微，所以使用梯度下降算法进行迭代，
Figure BDA00036429316700000611
迭代公式为：
Figure BDA00036429316700000612
其中，
Figure BDA00036429316700000613
表示第t次迭代对应的
Figure BDA00036429316700000614
为表示第t-1次迭代对应的
Figure BDA00036429316700000615
Figure BDA00036429316700000616
代表函数
Figure BDA00036429316700000617
在
Figure BDA00036429316700000618
处对
Figure BDA00036429316700000619
的偏导；η表示学习率；
而
Figure BDA00036429316700000620
对
Figure BDA00036429316700000621
部分可微，部分不可微，使用近端梯度下降算法进行迭代，损失函数可写为两部分之和：
Figure BDA00036429316700000622
其中，
Figure BDA00036429316700000623
为可微部分，
Figure BDA00036429316700000624
为不可微部分；
此时
Figure BDA00036429316700000625
的迭代公式为：
Figure BDA0003642931670000071
其中，proxηg(·)表示近端算子，
Figure BDA0003642931670000072
表示第t次迭代对应的
Figure BDA0003642931670000073
表示第t-1次迭代对应的
Figure BDA0003642931670000074
代表函数
Figure BDA0003642931670000075
在
Figure BDA0003642931670000076
处对
Figure BDA0003642931670000077
的偏导，Sλη(·)表示软阈值函数。
其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。
具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是，所述软阈值函数Sλη(·)关于自变量ω的表达式为
Figure BDA0003642931670000078
其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。
具体实施方式五：本实施方式与具体实施方式一至四之一不同的是，所述步骤4中设置盲解卷积问题
Figure BDA0003642931670000079
的初值；具体过程为：
求解
Figure BDA00036429316700000710
的最大的奇异值d'及最大奇异值d'对应的左右奇异向量
Figure BDA00036429316700000711
设置
Figure BDA00036429316700000712
的初始值分别为
Figure BDA00036429316700000713
其中，
Figure BDA00036429316700000714
为线性变换
Figure BDA00036429316700000715
的对偶映射，
Figure BDA00036429316700000716
为x'的估计值。
其它步骤及参数与具体实施方式一至四之一相同。
具体实施方式六：本实施方式与具体实施方式一至五之一不同的是，所述步骤5中根据梯度下降算法迭代
Figure BDA00036429316700000717
的值；具体过程为：
Figure BDA00036429316700000718
Figure BDA00036429316700000719
其中η表示学习率，
Figure BDA00036429316700000720
分别代表函数F(·)对
Figure BDA00036429316700000721
的偏导；
Figure BDA00036429316700000722
为x'的估计值；
Figure BDA00036429316700000723
表示第t次迭代对应的
Figure BDA00036429316700000724
表示第t-1次迭代对应的
Figure BDA00036429316700000725
其它步骤及参数与具体实施方式一至五之一相同。
当观测点数满足一定要求时，通过这种方法求解出的
Figure BDA00036429316700000726
即为未知信号h、x的近似。
本发明考虑未知信号x稀疏的情况，在初始损失函数的基础上增加了L1范数惩罚项，促进
Figure BDA0003642931670000081
向稀疏的方向迭代，在迭代完成后找出x的非零点的位置，将稀疏盲解卷积问题
Figure BDA0003642931670000082
转换为盲解卷积问题
Figure BDA0003642931670000083
(x'为x非零点组成的向量)，降低未知数的数量，从而降低稀疏盲解卷积问题求解对观测点数的要求。
采用以下实施例验证本发明的有益效果：
实施例一：
实验对比：本实验是将本发明方法和原始盲解卷积方法进行比较。
步骤1：信号产生
随机生成长为20的列向量h；生成长为200的稀疏列向量，其非零点个数为2，非零点的位置和非零点处值的大小随机生成。
步骤2：信号观测
随机生成长为Q的±1向量r；令C为Q×Q的DCT矩阵的前200列组成的矩阵；令F为L×L的DFT矩阵，FM为F的前20列组成的矩阵，FQ为F的前200列组成的矩阵，R为将向量r对角化形成的对角矩阵。通过
Figure BDA0003642931670000084
得到观测向量
Figure BDA0003642931670000085
步骤3：信号恢复
利用上述方法求解
Figure BDA0003642931670000086
(步骤1至步骤6)。定义相对误差为
Figure BDA0003642931670000087
其中||·||F为矩阵的F范数。当重构信号与原信号相对误差RE≤10-2时，视为重构正确。在相同条件下进行多次重复试验，定义正确率为重构正确次数与重复实验次数的比值，平均相对误差为重复实验的相对误差的均值。
实验1：令Q在200-440的范围内步进，观测点数L＝Q。对不同的观测点数L分别进行100次重复实验，分别计算出对不同的观测点数L，原始盲解卷积方法与使用L1范数约束的盲解卷积方法信号重构的正确率及平均相对误差。
使用原始盲解卷积方法与使用L1范数约束的盲解卷积方法的信号重构正确率对比如图2所示。可以看出在观测点数较少时，使用L1范数约束的盲解卷积方法重构成功概率显著高于原始盲解卷积方法，且使用L1范数约束的盲解卷积方法实现信号精确重构所需的观测值点数要少于原始盲解卷积方法，在本次实验的条件下，使用L1范数约束的盲解卷积方法精确求解所需的观测点数为L＝300，而原始盲解卷积方法精确求解所需的观测点数为L＝380。
使用原始盲解卷积方法与使用L1范数约束的盲解卷积方法的信号重构平均相对误差对比如图3所示。从图中可以看出，使用L1范数约束的盲解卷积方法信号重构平均相对误差始终低于原始盲解卷积方法。
从实验中可以看出，本发明方法相比于原始盲解卷积方法显著提高了观测点数较少时的信号重构正确率，降低了稀疏盲解卷积精确求解对观测点数的要求。
实施例二：
考虑一种无线通信系统：无线通信信号s(t)是周期为T的频域稀疏信号，其在经过周期同样为T的二进制序列r(t)调制后发送，已调信号在经过单位冲激响应为h(t)的线性时不变系统后被接收。最终接收到的无线通信信号y(t)可以写为y(t)＝h(t)*(r(t)·s(t))。
无线通信信号s(t)可以写成傅里叶级数的形式：
Figure BDA0003642931670000091
其中xk为傅里叶系数。对无线通信信号s(t)在时间
Figure BDA0003642931670000092
处采样得到Q点离散信号s(n)，则s(n)可以写为：
Figure BDA0003642931670000093
s(n)可以进一步写为：s(n)＝Cx，其中x为xk组成的长为K＝2B+1的向量，C是由
Figure BDA0003642931670000094
组成的Q×K的矩阵。由于s(t)为频域稀疏信号，则x是稀疏向量。
二进制序列r(t)在t∈[0,T)时可以表示为：
Figure BDA0003642931670000095
其中，rn以相同的概率取值为1或-1。对r(t)在时间
Figure BDA0003642931670000096
处采样得到Q点离散序列r(n)，则r(n)＝rn,n＝0,1,...,Q-1。
h(t)具有下列结构：
Figure BDA0003642931670000101
其中hm为幅度信息，δ(t)为冲激函数，
Figure BDA0003642931670000102
将hm组成的向量记为h。
对接收到的无线通信信号y(t)在
Figure BDA0003642931670000103
处采样得到Q点离散信号y，则y可以表示为：
Figure BDA0003642931670000104
其中s(n)＝Cx。根据步骤1至步骤6，求解出h、x的估计值
Figure BDA0003642931670000105
求解出
Figure BDA0003642931670000106
后，根据
Figure BDA0003642931670000107
重构出s(t)、h(t)，从而实现由接收到的无线通信信号y(t)的采样y重构出发送的无线通信信号s(t)及无线通信信号经过的系统的单位冲激响应h(t)；
所述步骤1至步骤6具体过程为：
步骤1、求解
Figure BDA0003642931670000108
的最大的奇异值d及最大奇异值d对应的左右奇异向量
Figure BDA0003642931670000109
设置
Figure BDA00036429316700001010
的初始值分别为
Figure BDA00036429316700001011
其中，
Figure BDA00036429316700001012
为线性变换
Figure BDA00036429316700001013
的对偶映射，
Figure BDA00036429316700001014
为h的估计值，
Figure BDA00036429316700001015
为x的估计值，h为长为M的由无线通信信号经过的系统的单位冲激响应的幅度系数组成的未知列向量，x为长为K的由无线通信信号的傅里叶系数组成的未知列向量；
步骤2、定义损失函数
Figure BDA00036429316700001016
设置最大迭代次数，根据近端梯度下降算法迭代
Figure BDA00036429316700001017
的值，直至达到最大迭代次数，得到
Figure BDA00036429316700001018
的值；
其中，
Figure BDA00036429316700001019
为损失函数，
Figure BDA00036429316700001020
为线性变换，
Figure BDA00036429316700001021
为
Figure BDA00036429316700001022
的转置，
Figure BDA00036429316700001023
为L2范数的平方，λ为正则化强度参数，
Figure BDA00036429316700001024
表示
Figure BDA00036429316700001025
的L1范数；
步骤3、令
Figure BDA00036429316700001026
为步骤2中得到的
Figure BDA00036429316700001027
中绝对值从大到小排列前sp个元素组成的向量，并记录这些元素的位置，C'为矩阵C中与这些位置对应的列组成的矩阵；
其中，sp为长为K的由无线通信信号的傅里叶系数组成的未知列向量x的非零点的个数；
步骤4、设置盲解卷积问题
Figure BDA0003642931670000111
的初值；
其中，FM为F的前M列组成的矩阵，⊙代表两个向量的点乘，FQ为F的前Q列组成的矩阵，R为将长为Q的已知的用于调制无线通信信号的随机±1序列r对角化形成的对角矩阵，x'为由无线通信信号的傅里叶系数组成的未知列向量x的非零点组成的向量，
Figure BDA0003642931670000112
为从hx'T到
Figure BDA0003642931670000113
的线性变换；
步骤5、定义损失函数
Figure BDA0003642931670000114
设置最大迭代次数，根据梯度下降算法迭代
Figure BDA0003642931670000115
的值，直至达到最大迭代次数，得到
Figure BDA0003642931670000116
的值；
步骤6、令
Figure BDA0003642931670000117
对应位置的值等于
Figure BDA0003642931670000118
其余位置的值为0；此时的
Figure BDA0003642931670000119
即为最终求解结果；
所述步骤1中线性变换
Figure BDA00036429316700001110
的定义过程为：
Figure BDA00036429316700001111
其中，h为长为M的由无线通信信号经过的系统的单位冲激响应的幅度系数组成的未知列向量，s为长为Q的由无线通信信号的采样组成的未知列向量，r为长为Q的已知的用于调制无线通信信号的随机±1序列；
Figure BDA00036429316700001112
代表长为Q的圆周卷积，⊙代表两个向量的点乘；y为由接收到的无线通信信号的采样组成的原始观测向量；
其中长为Q的由无线通信信号的采样组成的未知列向量s写成
s＝Cx (2)
其中，C是由
Figure BDA00036429316700001113
组成的已知的Q×K的矩阵，x为长为K的由无线通信信号的傅里叶系数组成的未知列向量；
对公式(1)两边进行离散傅里叶变换，得到下式：
Figure BDA00036429316700001114
其中，
Figure BDA00036429316700001115
为对y进行离散傅里叶变换结果，
Figure BDA00036429316700001116
F为L×L的离散傅里叶变换矩阵，FM为F的前M列组成的矩阵，FQ为F的前Q列组成的矩阵，R为将长为Q的已知的用于调制无线通信信号的随机±1序列r对角化形成的对角矩阵；
如果每次仅考虑观测向量
Figure BDA0003642931670000121
的第l行，则
Figure BDA0003642931670000122
其中，fl为矩阵FM的第l行，cl为矩阵FQRC的第l行，xT表示长为K的由无线通信信号的傅里叶系数组成的未知列向量x的转置，
Figure BDA0003642931670000123
表示向量cl的转置，fl T表示向量fl的转置，＜,＞代表内积计算；
通过公式(4)可以看出，卷积过程可以视为从hxT这个秩为1的未知矩阵到观测向量
Figure BDA0003642931670000124
的线性变换；定义此线性变换为
Figure BDA0003642931670000125
则卷积过程可以写为
Figure BDA0003642931670000126
所述步骤2中根据近端梯度下降算法迭代
Figure BDA0003642931670000127
的值；具体过程为：
损失函数
Figure BDA0003642931670000128
中
Figure BDA0003642931670000129
对
Figure BDA00036429316700001210
全部可微，使用梯度下降算法进行迭代，
Figure BDA00036429316700001211
迭代公式为：
Figure BDA00036429316700001212
其中，
Figure BDA00036429316700001213
表示第t次迭代对应的
Figure BDA00036429316700001214
为表示第t-1次迭代对应的
Figure BDA00036429316700001215
Figure BDA00036429316700001216
代表函数
Figure BDA00036429316700001217
在
Figure BDA00036429316700001218
处对
Figure BDA00036429316700001219
的偏导；η表示学习率；
而
Figure BDA00036429316700001220
对
Figure BDA00036429316700001221
部分可微，部分不可微，使用近端梯度下降算法进行迭代，损失函数可写为两部分之和：
Figure BDA00036429316700001222
其中，
Figure BDA00036429316700001223
为可微部分，
Figure BDA00036429316700001224
为不可微部分；
此时
Figure BDA00036429316700001225
的迭代公式为：
Figure BDA00036429316700001226
其中，proxηg(·)表示近端算子，
Figure BDA00036429316700001227
表示第t次迭代对应的
Figure BDA00036429316700001228
表示第t-1次迭代对应的
Figure BDA00036429316700001229
代表函数
Figure BDA00036429316700001230
在
Figure BDA00036429316700001231
处对
Figure BDA00036429316700001232
的偏导，Sλη(·)表示软阈值函数；
所述软阈值函数Sλη(·)关于自变量ω的表达式为
Figure BDA0003642931670000131
所述步骤4中设置盲解卷积问题
Figure BDA0003642931670000132
的初值；具体过程为：
求解
Figure BDA0003642931670000133
的最大的奇异值d'及最大奇异值d'对应的左右奇异向量
Figure BDA0003642931670000134
设置
Figure BDA0003642931670000135
的初始值分别为
Figure BDA0003642931670000136
其中，
Figure BDA0003642931670000137
为线性变换
Figure BDA0003642931670000138
的对偶映射，
Figure BDA0003642931670000139
为x'的估计值；
所述步骤5中根据梯度下降算法迭代
Figure BDA00036429316700001310
的值；具体过程为：
Figure BDA00036429316700001311
Figure BDA00036429316700001312
其中η表示学习率，
Figure BDA00036429316700001313
分别代表函数F(·)对
Figure BDA00036429316700001314
的偏导；
Figure BDA00036429316700001315
为x'的估计值；
Figure BDA00036429316700001316
表示第t次迭代对应的
Figure BDA00036429316700001317
表示第t-1次迭代对应的
Figure BDA00036429316700001318
本发明还可有其它多种实施例，在不背离本发明精神及其实质的情况下，本领域技术人员当可根据本发明作出各种相应的改变和变形，但这些相应的改变和变形都应属于本发明所附的权利要求的保护范围。

Claims (6)

1.一种基于稀疏正则化约束的盲解卷积信号重构方法，其特征在于：所述方法具体过程为：
步骤1、求解
Figure FDA0003642931660000011
的最大的奇异值d及最大奇异值d对应的左右奇异向量
Figure FDA0003642931660000012
设置
Figure FDA0003642931660000013
的初始值分别为
Figure FDA0003642931660000014
其中，
Figure FDA0003642931660000015
为线性变换
Figure FDA0003642931660000016
的对偶映射，
Figure FDA0003642931660000017
为h的估计值，
Figure FDA0003642931660000018
为x的估计值，h为长为M的任意结构的未知离散信号，x为长为K的未知离散稀疏信号；
步骤2、定义损失函数
Figure FDA0003642931660000019
设置最大迭代次数，根据近端梯度下降算法迭代
Figure FDA00036429316600000110
的值，直至达到最大迭代次数，得到
Figure FDA00036429316600000111
的值；
其中，
Figure FDA00036429316600000112
为损失函数，
Figure FDA00036429316600000113
为线性变换，
Figure FDA00036429316600000114
为
Figure FDA00036429316600000115
的转置，
Figure FDA00036429316600000116
为L2范数的平方，λ为正则化强度参数，
Figure FDA00036429316600000117
表示
Figure FDA00036429316600000118
的L1范数；
步骤3、令
Figure FDA00036429316600000119
为步骤2中得到的
Figure FDA00036429316600000120
中绝对值从大到小排列前sp个元素组成的向量并记录这些元素的位置，C'为矩阵C中与这些位置对应的列组成的矩阵；
其中，sp为x的非零点的个数；
步骤4、设置盲解卷积问题
Figure FDA00036429316600000121
的初值；
其中，FM为F的前M列组成的矩阵，⊙代表两个向量的点乘，FQ为F的前Q列组成的矩阵，R为将向量r对角化形成的对角矩阵，x'为x非零点组成的向量，
Figure FDA00036429316600000122
为从hx'T到
Figure FDA00036429316600000123
的线性变换；
步骤5、定义损失函数
Figure FDA00036429316600000124
设置最大迭代次数，根据梯度下降算法迭代
Figure FDA00036429316600000125
的值，直至达到最大迭代次数，得到
Figure FDA00036429316600000126
的值；
步骤6、令
Figure FDA00036429316600000127
对应位置的值等于
Figure FDA00036429316600000128
其余位置的值为0；此时的
Figure FDA00036429316600000129
即为最终求解结果。
2.根据权利要求1所述一种基于稀疏正则化约束的盲解卷积信号重构方法，其特征在于：所述步骤1中线性变换
Figure FDA00036429316600000130
的定义过程为：
Figure FDA00036429316600000131
其中，h为长为M的任意结构的未知离散信号，s为长为Q的未知离散信号，r为长为Q的已知的随机±1序列；
Figure FDA0003642931660000021
代表长为L的圆周卷积，L≥max(M,Q)，⊙代表两个向量的点乘；y为原始观测信号；
其中信号s写成
s＝Cx (2)
其中，C为一个Q×Q的正交矩阵的K列组成的已知的Q×K的矩阵，x为长为K的未知离散稀疏信号；
对公式(1)两边进行离散傅里叶变换，得到下式：
Figure FDA0003642931660000022
其中，
Figure FDA0003642931660000023
为对y进行离散傅里叶变换结果，
Figure FDA0003642931660000024
F为L×L的离散傅里叶变换(DFT)矩阵，FM为F的前M列组成的矩阵，FQ为F的前Q列组成的矩阵，R为将向量r对角化形成的对角矩阵；
如果每次仅考虑观测信号
Figure FDA0003642931660000025
的第l行，则
Figure FDA0003642931660000026
其中，fl为矩阵FM的第l行，cl为矩阵FQRC的第l行，xT表示向量x的转置，
Figure FDA0003642931660000027
表示向量cl的转置，fl T表示向量fl的转置，＜,＞代表内积计算；
通过公式(4)可以看出，卷积过程可以视为从hxT这个秩为1的未知矩阵到观测信号
Figure FDA0003642931660000028
的线性变换；定义此线性变换为
Figure FDA0003642931660000029
则卷积过程可以写为
Figure FDA00036429316600000210
3.根据权利要求2所述一种基于稀疏正则化约束的盲解卷积信号重构方法，其特征在于：所述步骤2中根据近端梯度下降算法迭代
Figure FDA00036429316600000211
的值；具体过程为：
损失函数
Figure FDA00036429316600000212
中
Figure FDA00036429316600000213
对
Figure FDA00036429316600000214
全部可微，使用梯度下降算法进行迭代，
Figure FDA00036429316600000215
迭代公式为：
Figure FDA00036429316600000216
其中，
Figure FDA0003642931660000031
表示第t次迭代对应的
Figure FDA0003642931660000032
Figure FDA0003642931660000033
为表示第t-1次迭代对应的
Figure FDA0003642931660000034
Figure FDA0003642931660000035
代表函数
Figure FDA0003642931660000036
在
Figure FDA0003642931660000037
处对
Figure FDA0003642931660000038
的偏导；η表示学习率；
而
Figure FDA0003642931660000039
对
Figure FDA00036429316600000310
部分可微，部分不可微，使用近端梯度下降算法进行迭代，损失函数可写为两部分之和：
Figure FDA00036429316600000311
其中，
Figure FDA00036429316600000312
为可微部分，
Figure FDA00036429316600000313
为不可微部分；
此时
Figure FDA00036429316600000314
的迭代公式为：
Figure FDA00036429316600000315
其中，proxηg(·)表示近端算子，
Figure FDA00036429316600000316
表示第t次迭代对应的
Figure FDA00036429316600000317
Figure FDA00036429316600000318
表示第t-1次迭代对应的
Figure FDA00036429316600000319
Figure FDA00036429316600000320
代表函数
Figure FDA00036429316600000321
在
Figure FDA00036429316600000322
处对
Figure FDA00036429316600000323
的偏导，
Figure FDA00036429316600000335
表示软阈值函数。
4.根据权利要求3所述一种基于稀疏正则化约束的盲解卷积信号重构方法，其特征在于：所述软阈值函数
Figure FDA00036429316600000336
关于自变量ω的表达式为
Figure FDA00036429316600000324
5.根据权利要求4所述一种基于稀疏正则化约束的盲解卷积信号重构方法，其特征在于：所述步骤4中设置盲解卷积问题
Figure FDA00036429316600000325
的初值；具体过程为：
求解
Figure FDA00036429316600000326
的最大的奇异值d'及最大奇异值d'对应的左右奇异向量
Figure FDA00036429316600000327
设置
Figure FDA00036429316600000328
的初始值分别为
Figure FDA00036429316600000329
其中，
Figure FDA00036429316600000330
为线性变换
Figure FDA00036429316600000331
的对偶映射，
Figure FDA00036429316600000332
为x'的估计值。
6.根据权利要求5所述一种基于稀疏正则化约束的盲解卷积信号重构方法，其特征在于：所述步骤5中根据梯度下降算法迭代
Figure FDA00036429316600000333
的值；具体过程为：
Figure FDA00036429316600000334
Figure FDA0003642931660000041
其中η表示学习率，
Figure FDA0003642931660000042
分别代表函数F(·)对
Figure FDA0003642931660000043
的偏导；
Figure FDA0003642931660000044
为x'的估计值；
Figure FDA0003642931660000045
表示第t次迭代对应的
Figure FDA0003642931660000046
表示第t-1次迭代对应的
Figure FDA0003642931660000047
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