CN111082837A - 基于递归压缩感知的电力线通信系统脉冲噪声抑制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于递归压缩感知的电力线通信系统脉冲噪声抑制方法，其通过从众多子载波中选取一部分子载波作为导频子载波用于块衰弱信道估计，将导频子载波上接收信号中的信道脉冲响应和异步脉冲噪声进行联合并给出联合概率密度函数，利用期望最大法分E‑step和M‑step两步交替迭代求解超参数，并在E‑step中利用卡尔曼滤波器和平滑器对超参数进行迭代估计，从而进一步获得信道脉冲响应和异步脉冲噪声的估计值；最后在接收的频域信号中减去异步脉冲噪声的估计值；获取经异步脉冲噪声抑制后得到的频域信号；优点是其能够联合估计出慢时变信道中的块衰弱信道和异步脉冲噪声，且估计准确度高。

Description

基于递归压缩感知的电力线通信系统脉冲噪声抑制方法

技术领域

本发明涉及一种脉冲噪声抑制技术，尤其是涉及一种基于递归压缩感知的电力线通信系统脉冲噪声抑制方法。

背景技术

随着智能电网的快速发展，电力线通信(PowerLine Communication，PLC)得到了广泛的应用。电力线通信是一种利用电力线介质进行数据信号传输的通信方式，早期的研究是以变电站投切为研究目标，研究了计量和负荷控制的问题。但是，受限于无线电频谱，当时的研究工作并没有得到很好地展开。在20世纪80年代的时候，有关电力线通信的研究工作变的重视起来。但是，由于电力线设计之初并没有考虑到数据信号的传输，其基本上不具备有线通信媒介所必备的电气特性，存在如系统稳定性差、噪声干扰严重等问题，因此极大地限制了它的发展。其中，噪声干扰是影响电力线通信系统性能的首要问题。一般而言，电力线通信系统中的噪声干扰是由连接在电力线上的电气设备或者通过辐射和传导耦合在能量节点的外部噪声产生。根据其特性不同，噪声被分为以下五类，包括有色背景噪声、窄带噪声、与主频同步的周期脉冲噪声、与主频异步的周期脉冲噪声、异步脉冲噪声。由于异步脉冲噪声的功率谱密度要远远高于背景噪声(高斯白噪声)的功率谱密度，因此异步脉冲噪声是影响电力线通信系统性能的主要因素。

在现实情况中，电力线信道的多径特性和异步脉冲噪声的影响是同时存在的，其实在研究中应该将信道估计与异步脉冲噪声估计结合起来一起估计，在意识到此问题之后，联合估计信道和异步脉冲噪声逐步引起了研究者的重视。在实际通信应用中，电力线通信系统中的发射机通常将多个OFDM(Orthogonal Frequency Division Multiplexing，正交频分复用技术)符号组成一个OFDM帧的形式送入信道，智能电网环境里面，传输一个OFDM帧期间，可以认为信道的状态是基本不变或者是变化缓慢的，因此将这种信道视为慢时变信道。目前，已有针对慢时变信道和异步脉冲噪声联合估计的方法。有研究者提出了一种基于最小二乘方法(LS)的算法来联合估计电力线通信系统的信道和脉冲噪声的方法，该方法需要在接收的OFDM信号中准确定位脉冲噪声的位置，但一般脉冲噪声都是随机发生的，很难事先去定位脉冲噪声的位置。考虑到联合估计问题有研究者利用稀疏贝叶斯学习方法对每个OFDM符号进行联合信道和脉冲噪声估计，该方法将两者进行了联合估计，但没有利用OFDM帧中的时变信道的相关性。以上这些方法能够联合估计慢时变信道中的一般信道和异步脉冲噪声，但无法有效联合估计慢时变信道中的特殊信道即块衰弱信道和异步脉冲噪声。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是提供一种基于递归压缩感知的电力线通信系统脉冲噪声抑制方法，其能够联合估计出慢时变信道中的块衰弱信道和异步脉冲噪声，且估计准确度高。

本发明解决上述技术问题所采用的技术方案为：一种基于递归压缩感知的电力线通信系统脉冲噪声抑制方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤1：设定OFDM系统具有N个子载波；在基于该OFDM系统的电力线通信系统的发送端，发送由K个OFDM符号组成的一个OFDM帧；在基于该OFDM系统的电力线通信系统的接收端，在每个子载波上接收到K个频域信号，将在任意一个子载波上接收到的第k个频域信号记为y_k，

其中，N、K、k均为正整数，N≥1，K≥1，k的初始值为1，1≤k≤K，X_k是一个维数为N×N的对角矩阵，X_k＝diag(x_k)，x_k表示发送端发送的OFDM帧中的第k个OFDM符号的列向量表示形式，x_k的维数为N×1，diag()表示矩阵对角线上的元素，F_L表示由F的第1列至第L列构成的子矩阵，F_L的维数为N×L，L为正整数，L∈[1,N)，L表示h_k的长度，F表示归一化后的离散傅里叶变换矩阵，F的维数为N×N，h_k表示发送端发送的OFDM帧中的第k个OFDM符号经历的信道脉冲响应，h_k的维数为L×1，i_k表示发送端发送的OFDM帧中的第k个OFDM符号在发送过程中叠加的异步脉冲噪声，i_k的维数为N×1，n_k表示发送端发送的OFDM帧中的第k个OFDM符号在发送过程中叠加的背景噪声，n_k为高斯白噪声，n_k的维数为N×1；

步骤2：从N个子载波中选取P个子载波作为导频子载波用于块衰弱信道估计，将在第p个导频子载波上接收到的第k个频域信号记为y_p,k，

然后引入一个维数为(L+N)×1的向量ω_k，引入一个维数为P×(L+N)的矩阵Φ_p,k，并定义

将

简化为y_p,k＝Φ_p,kω_k+n_p,k；其中，P和p均为正整数，P∈[1,L)，p的初始值为1，1≤p≤P，X_p,k是一个维数为P×P的对角矩阵，X_p,k由X_k中的P行P列元素构成，F_L,p表示由F_L中P行L列元素构成的维数为P×L的子矩阵，F_p表示由F中P行N列元素构成的维数为P×N的子矩阵，X_p,k、F_L,p、F_p均与P个导频子载波对应，n_p,k表示n_k中与P个导频子载波对应的部分背景噪声成分，n_p,k的维数为P×1，

表示高斯分布，λ表示n_k的功率的标量，符号

为定义符号，上标“T”表示向量或矩阵的转置；

步骤3：利用卡尔曼滤波器和平滑器对块衰弱信道和异步脉冲噪声进行联合估计，具体步骤如下：

步骤3_1：将应用y_p,k＝Φ_p,kω_k+n_p,k来估计未知向量ω_k视作线性动态系统的状态估计问题，将y_p,k＝Φ_p,kω_k+n_p,k作为线性动态系统的状态方程，将ω_k＝Aω_k-1+v_k作为线性动态系统的观测方程；其中，

表示h_k的协方差矩阵，Γ_ik表示i_k的协方差矩阵，A为引入的中间变量，

ρ表示块衰弱信道的相关系数，ρ＝1，A＝diag(1_L,0_N)，1_L表示维数为L×1且元素全部为1的列向量，0_N表示维数为N×1且元素全部为0的列向量，k＝1时ω₀＝0，

B为引入的中间变量，

B＝diag(0_L,1_N)，1_N表示维数为N×1且元素全部为1的列向量，0_L表示维数为L×1且元素全部为0的列向量；

步骤3_2：令y表示由y_p,1,y_p,2,...,y_p,K构成的集合，并令ω表示由ω₁,ω₂,...,ω_K构成的集合，令Γ表示由Γ₁,Γ₂,...,Γ_K构成的集合；然后计算y与ω的联合概率分布，记为pro(y,ω；Γ,λ)，

再对

取对数，得到

其中，y_p,1表示在第p个导频子载波上接收到的第1个频域信号，y_p,2表示在第p个导频子载波上接收到的第2个频域信号，y_p,K表示在第p个导频子载波上接收到的第K个频域信号，ω₁、ω₂、ω_K根据

确定，Γ₁、Γ₂、Γ_K根据

确定，pro()为概率的函数表示形式，符号“Π”为连乘符号，pro(ω₁；Γ₁)表示ω₁的概率，

pro(ω_k|ω_k-1；Γ_k)表示ω_k-1到ω_k的转移概率，pro(y_p,_k|ω_k；λ)表示ω_k的后向概率，符号“∝”表示已省略掉之后参数优化运算无关的量，符号“|| ||₂”为求矩阵的二范数符号，Ψ表示平滑器系数，符号“||”为取模运算符号，()^H表示向量的共轭转置，()^-1表示矩阵的逆；

步骤3_3：令r表示迭代次数，r的初始值为1；

步骤3_4：第r次迭代，使用期望最大化算法分E-step和M-step两步交替迭代，其中，

E-step的目标式为：Q({Γ,λ}|{Γ^r,λ^r})＝E(log(pro(y,ω；{Γ^r,λ^r})))；然后根据稀疏贝叶斯学习理论，设定ω的先验分布为高斯分布，将ω_k的后验分布的均值记为

将ω_k的后验分布的协方差矩阵记为

其中，Q({Γ,λ}|{Γ^r,λ^r})表示在参数Γ和参数λ未知情况下关于pro(y,ω；{Γ^r,λ^r})的期望函数，Γ^r表示第r次迭代时Γ的值，λ^r表示第r次迭代时λ的值，E()表示期望函数，pro(y,ω；{Γ^r,λ^r})表示第r次迭代时y与ω的联合概率分布，

和ε_k|K的值均通过卡尔曼滤波和平滑递归方式求解得到；

M-step的目标式为：

然后利用先固定一个超参数再求解另外一个超参数的方式，交替求解

中的Γ和λ的值，直到求解得到超参数Γ的最优解和超参数λ的最优解，将Γ的最优解作为Γ^r，将λ的最优解作为λ^r；其中，

求使得Q({Γ,λ}|{Γ^r,λ^r})最大时的Γ和λ的值，固定超参数λ求解超参数Γ的最优解的公式为：

表示求使得

最小时的Γ的值，

表示Γ_k的逆，Tr()表示求矩阵的迹，M_kK为引入的中间变量，

固定超参数Γ求解超参数λ的最优解的公式为：

步骤3_5：判断

和

两个收敛条件是否均成立，如果成立，则停止迭代，然后计算h_k的估计值和i_k的估计值，对应记为

和

再执行步骤4；否则，令r＝r+1，然后返回步骤步骤3_4继续执行；其中，r＝1时令Γ^r-1中的所有元素的值均为1，r＞1时Γ^r-1表示第r-1次迭代时Γ的值，r＝1时令λ^r-1＝1，r＞1时λ^r-1表示第r-1次迭代时λ的值，ξ表示收敛下界，

表示由

中的前L个元素组成的子向量，

表示由

中的后N个元素组成的子向量，r＝r+1中的“＝”为赋值符号；

步骤4：将y_p,k经异步脉冲噪声抑制后得到的频域信号记为

与现有技术相比，本发明的优点在于：

(1)本发明方法采用了慢时变信道中块衰弱信道模型，这种模型更加贴近了电力线通信中多输入多输出问题，同时这种模型更加符合智能电网中的应用环境，更加贴近实际情况。

(2)本发明方法提出了期望最大化(EM)算法来估计OFDM帧中信道脉冲响应和异步脉冲噪声的联合概率密度函数，这样有效地实现了信道脉冲响应和异步脉冲噪声的联合估计。

(3)本发明方法在期望最大化(EM)算法中又引入了卡尔曼滤波及平滑器算法对超参数进行估计，使得这些超参数能够用闭合式进行表示，从而提高了估计的准确性。

(4)本发明方法采用基于线性动态系统的参数估计理论实现了超参数迭代估计，其中线性动态系统的采用更加符合本发明方法采用的块衰弱信道的状态特征，同时利用线性动态系统可以实现超参数的有效估计。

(5)本发明方法能够更加准确地估计电力线通信系统中的异步脉冲噪声，从而完成异步脉冲噪声的抑制，仿真结果表明，在块衰弱信道下本发明方法的信道估计性能和误比特性能相比现有的算法有较显著优势。

(6)本发明方法在估计异步脉冲噪声的基础上，联合估计信道，仿真结果表明，在信道估计性能上，本发明方法具有最好的性能优势，说明通过联合多个OFDM符号进行估计，显著改善了信道估计性能。

(7)在块衰弱信道下，本发明方法的性能随着OFDM符号数目增加性能会逐渐改善，这就意味着，可以通过增加OFDM符号数目来提高本发明方法的性能。

附图说明

图1为本发明方法的总体实现框图；

图2为块衰弱信道下现有的四种方法与本发明方法的信道估计性能的对比示意图；

图3为块衰弱信道下现有的四种方法与本发明方法的误比特性能的对比示意图。

具体实施方式

以下结合附图实施例对本发明作进一步详细描述。

本发明提出的一种基于递归压缩感知的电力线通信系统脉冲噪声抑制方法，其总体实现框图如图1所示，其包括以下步骤：

步骤1：设定OFDM系统具有N个子载波；在基于该OFDM系统的电力线通信系统的发送端，发送由K个OFDM符号组成的一个OFDM帧；在基于该OFDM系统的电力线通信系统的接收端，在每个子载波上接收到K个频域信号，将在任意一个子载波上接收到的第k个频域信号记为y_k，

其中，N、K、k均为正整数，N≥1，在本实施例中取N＝256，K≥1，在本实施例中取K＝7，k的初始值为1，1≤k≤K，X_k是一个维数为N×N的对角矩阵，X_k＝diag(x_k)，x_k表示发送端发送的OFDM帧中的第k个OFDM符号的列向量表示形式，x_k的维数为N×1，diag()表示矩阵对角线上的元素，F_L表示由F的第1列至第L列构成的子矩阵，F_L的维数为N×L，L为正整数，L∈[1,N)，L表示h_k的长度，F表示归一化后的离散傅里叶变换矩阵，F的维数为N×N，h_k表示发送端发送的OFDM帧中的第k个OFDM符号经历的信道脉冲响应，h_k的维数为L×1，i_k表示发送端发送的OFDM帧中的第k个OFDM符号在发送过程中叠加的异步脉冲噪声，i_k的维数为N×1，n_k表示发送端发送的OFDM帧中的第k个OFDM符号在发送过程中叠加的背景噪声，n_k为高斯白噪声，n_k的维数为N×1。

步骤2：从N个子载波中选取P个子载波作为导频子载波用于块衰弱信道估计，将在第p个导频子载波上接收到的第k个频域信号记为y_p,k，

然后引入一个维数为(L+N)×1的向量ω_k，引入一个维数为P×(L+N)的矩阵Φ_p,k，并定义

将

简化为y_p,k＝Φ_p,kω_k+n_p,k；其中，P和p均为正整数，P∈[1,L)，根据信道脉冲响应的稀疏性，导频子载波的数量P可以小于信道脉冲响应的长度L，p的初始值为1，1≤p≤P，X_p,k是一个维数为P×P的对角矩阵，X_p,k由X_k中的P行P列元素构成，F_L,p表示由F_L中P行L列元素构成的维数为P×L的子矩阵，F_p表示由F中P行N列元素构成的维数为P×N的子矩阵，X_p,k、F_L,p、F_p均与P个导频子载波对应，假设P个导频子载波为N个子载波的前P个子载波，那么X_p,k由X_k中的第1行至第P行和第1列至第P列元素构成，F_L,p由F_L中的第1行至第P行和第1列至第L列元素构成，F_p由F中第1行至第P行和第1列至第N列元素构成，n_p,k表示n_k中与P个导频子载波对应的部分背景噪声成分，n_p,k的维数为P×1，

表示高斯分布，λ表示n_k的功率的标量，符号

为定义符号，上标“T”表示向量或矩阵的转置。

步骤3：利用卡尔曼滤波器和平滑器对块衰弱信道(即在一个OFDM帧传输期间信道保持不变，所以设定信道的相关系数ρ＝1，信道满足h₁＝h₂＝…＝h_K，h₁、h₂、h_K对应表示发送端发送的OFDM帧中的第1个、第2个、第K个OFDM符号经历的信道脉冲响应)和异步脉冲噪声进行联合估计，具体步骤如下：

步骤3_1：将应用y_p,k＝Φ_p,kω_k+n_p,k来估计未知向量ω_k视作线性动态系统的状态估计问题，将y_p,k＝Φ_p,kω_k+n_p,k作为线性动态系统的状态方程，将ω_k＝Aω_k-1+v_k作为线性动态系统的观测方程；其中，

表示h_k的协方差矩阵，

表示i_k的协方差矩阵，

表示h_k的L个方差，γ_L,γ_L+1,…,γ_L+N-1表示i_k的N个方差，A为引入的中间变量，

ρ表示块衰弱信道的相关系数，ρ＝1，A＝diag(1_L,0_N)，1_L表示维数为L×1且元素全部为1的列向量，0_N表示维数为N×1且元素全部为0的列向量，k＝1时ω₀＝0，

B为引入的中间变量，

B＝diag(0_L,1_N)，1_N表示维数为N×1且元素全部为1的列向量，0_L表示维数为L×1且元素全部为0的列向量。

步骤3_2：令y表示由y_p,1,y_p,2,...,y_p,K构成的集合，并令ω表示由ω₁,ω₂,...,ω_K构成的集合，令Γ表示由Γ₁,Γ₂,...,Γ_K构成的集合；然后计算y与ω的联合概率分布，记为pro(y,ω；Γ,λ)，

再对

取对数，得到

其中，y_p,₁表示在第p个导频子载波上接收到的第1个频域信号，y_p,₂表示在第p个导频子载波上接收到的第2个频域信号，y_p,_K表示在第p个导频子载波上接收到的第K个频域信号，ω₁、ω₂、ω_K根据

确定，Γ₁、Γ₂、Γ_K根据

确定，pro()为概率的函数表示形式，符号“∏”为连乘符号，pro(ω₁；Γ₁)表示ω₁的概率，

pro(ω_k|ω_k-1；Γ_k)表示ω_k-1到ω_k的转移概率，pro(y_p,_k|ω_k；λ)表示ω_k的后向概率，符号“∝”表示已省略掉之后参数优化运算无关的量，符号“|| ||₂”为求矩阵的二范数符号，Ψ表示平滑器系数，符号“| |”为取模运算符号，()^H表示向量的共轭转置，()^-1表示矩阵的逆。

步骤3_3：令r表示迭代次数，r的初始值为1。

步骤3_4：第r次迭代，使用期望最大化(EM)算法分E-step和M-step两步交替迭代，其中，

E-step的目标式为：Q({Γ,λ}|{Γ^r,λ^r})＝E(log(pro(y,ω；{Γ^r,λ^r})))；然后根据稀疏贝叶斯学习理论，设定ω的先验分布为高斯分布，这样ω的后验分布的估计值仍旧为高斯分布，将ω_k的后验分布的均值记为

将ω_k的后验分布的协方差矩阵记为

其中，Q({Γ,λ}|{Γ^r,λ^r})表示在参数Γ和参数λ未知情况下关于pro(y,ω；{Γ^r,λ^r})的期望函数，Γ^r表示第r次迭代时Γ的值，λ^r表示第r次迭代时λ的值，E()表示期望函数，pro(y,ω；{Γ^r,λ^r})表示第r次迭代时y与ω的联合概率分布，

和ε_kK的值均通过卡尔曼滤波和平滑递归方式求解得到，卡尔曼滤波和平滑处理是个递归的过程。

M-step的目标式为：

然后利用先固定一个超参数再求解另外一个超参数的方式，交替求解

中的Γ和λ的值，直到求解得到超参数Γ的最优解和超参数λ的最优解，将Γ的最优解作为Γ^r，将λ的最优解作为λ^r；其中，

求使得Q({Γ,λ}|{Γ^r,λ^r})最大时的Γ和λ的值，固定超参数λ求解超参数Γ的最优解的公式为：

表示求使得

最小时的Γ的值，

表示Γ_k的逆，Tr()表示求矩阵的迹，M_k|K为引入的中间变量，

固定超参数Γ求解超参数λ的最优解的公式为：

步骤3_5：判断

和

两个收敛条件是否均成立，如果成立，则停止迭代，然后计算h_k的估计值和i_k的估计值，对应记为

和

再执行步骤4；否则，令r＝r+1，然后返回步骤步骤3_4继续执行；其中，r＝1时令Γ^r-1中的所有元素的值均为1，r＞1时Γ^r-1表示第r-1次迭代时Γ的值，r＝1时令λ^r-1＝1，r＞1时λ^r-1表示第r-1次迭代时λ的值，ξ表示收敛下界，在本实施例中取ξ＝10^-5，

表示由

中的前L个元素组成的子向量，

表示由

中的后N个元素组成的子向量，r＝r+1中的“＝”为赋值符号。

步骤4：将y_p,k经异步脉冲噪声抑制后得到的频域信号记为

为了进一步说明本发明方法的可行性和有效性，对本发明方法进行MATLAB仿真。

仿真是在基于OFDM系统的电力线通道系统的复杂基带上进行的。在仿真中，OFDM系统的仿真参数设置为：子载波数为N＝256，其中导频子载波数为P＝24，空子载波数为50；块衰弱信道采用瑞利衰落模型，信道脉冲响应的长度为L＝64，信道脉冲响应的长度与循环前缀长度一致；每个OFDM帧包含K＝7个OFDM符号。噪声(包括异步脉冲噪声和背景噪声)采用仿真程序实现，该程序采用一个高斯混合模型模拟噪声分布；信号调制技术为4-QAM；信噪比(SNR)定义为每个子载波上信号发射功率与总的噪声功率的比值。参与性能对比的方法有：第一种方法为利用稀疏贝叶斯学习方法对每个OFDM符号进行联合信道和脉冲噪声估计的方法，在此简称为JCI方法；第二种方法为假设脉冲噪声完全去除，并且已知信道抽头位置，利用最小二乘法估计信道脉冲噪声响应的方法，在此简称为LS-NoIN方法；第三种方法为先使用稀疏贝叶斯方法利用空子载波去除脉冲噪声，再利用最小二乘法估计信道脉冲响应的方法，在此简称为LS-SBL方法；第四种方法为先使用稀疏贝叶斯学习方法利用空子载波去除脉冲噪声，然后利用稀疏贝叶斯学习方法估计信道脉冲响应的方法，在此简称为SBL-SBL方法。

图2给出了块衰弱信道下现有的四种方法与本发明方法的信道估计性能的对比示意图，图2中的JCI-Kalman代表本发明方法，图2中的纵坐标代表归一化均方误差(NMSE)。从图2中可以看出，在块衰弱信道下本发明方法的信道估计性能明显优于现有的四种方法，比JCI方法好10dB，比LS-NoIN方法好2dB。这充分说明了通过联合多个OFDM符号进行估计能显著改善信道估计性能。

图3给出了块衰弱信道下现有的四种方法与本发明方法的误比特性能的对比示意图，图3中的JCI-Kalman代表本发明方法，图3中纵坐标代表误比特(BER)。从图3中可以看出，在块衰弱信道下本发明方法的误比特性能只比LS-NoIN方法差些，但优于其他几种方法，这是因为异步脉冲噪声的估计误差会影响OFDM符号的检测。

Claims (1)

1.一种基于递归压缩感知的电力线通信系统脉冲噪声抑制方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤1：设定OFDM系统具有N个子载波；在基于该OFDM系统的电力线通信系统的发送端，发送由K个OFDM符号组成的一个OFDM帧；在基于该OFDM系统的电力线通信系统的接收端，在每个子载波上接收到K个频域信号，将在任意一个子载波上接收到的第k个频域信号记为y_k，

其中，N、K、k均为正整数，N≥1，K≥1，k的初始值为1，1≤k≤K，X_k是一个维数为N×N的对角矩阵，X_k＝diag(x_k)，x_k表示发送端发送的OFDM帧中的第k个OFDM符号的列向量表示形式，x_k的维数为N×1，diag()表示矩阵对角线上的元素，F_L表示由F的第1列至第L列构成的子矩阵，F_L的维数为N×L，L为正整数，L∈[1,N)，L表示h_k的长度，F表示归一化后的离散傅里叶变换矩阵，F的维数为N×N，h_k表示发送端发送的OFDM帧中的第k个OFDM符号经历的信道脉冲响应，h_k的维数为L×1，i_k表示发送端发送的OFDM帧中的第k个OFDM符号在发送过程中叠加的异步脉冲噪声，i_k的维数为N×1，n_k表示发送端发送的OFDM帧中的第k个OFDM符号在发送过程中叠加的背景噪声，n_k为高斯白噪声，n_k的维数为N×1；

步骤2：从N个子载波中选取P个子载波作为导频子载波用于块衰弱信道估计，将在第p个导频子载波上接收到的第k个频域信号记为y_p,k，

然后引入一个维数为(L+N)×1的向量ω_k，引入一个维数为P×(L+N)的矩阵Φ_p,k，并定义

将

简化为y_p,k＝Φ_p,kω_k+n_p,k；其中，P和p均为正整数，P∈[1,L)，p的初始值为1，1≤p≤P，X_p,k是一个维数为P×P的对角矩阵，X_p,k由X_k中的P行P列元素构成，F_L,p表示由F_L中P行L列元素构成的维数为P×L的子矩阵，F_p表示由F中P行N列元素构成的维数为P×N的子矩阵，X_p,k、F_L,p、F_p均与P个导频子载波对应，n_p,k表示n_k中与P个导频子载波对应的部分背景噪声成分，n_p,k的维数为P×1，

表示高斯分布，λ表示n_k的功率的标量，符号

为定义符号，上标“T”表示向量或矩阵的转置；

步骤3：利用卡尔曼滤波器和平滑器对块衰弱信道和异步脉冲噪声进行联合估计，具体步骤如下：

步骤3_1：将应用y_p,k＝Φ_p,kω_k+n_p,k来估计未知向量ω_k视作线性动态系统的状态估计问题，将y_p,k＝Φ_p,kω_k+n_p,k作为线性动态系统的状态方程，将ω_k＝Aω_k-1+v_k作为线性动态系统的观测方程；其中，

表示h_k的协方差矩阵，

表示i_k的协方差矩阵，A为引入的中间变量，

ρ表示块衰弱信道的相关系数，ρ＝1，A＝diag(1_L,0_N)，1_L表示维数为L×1且元素全部为1的列向量，0_N表示维数为N×1且元素全部为0的列向量，k＝1时ω₀＝0，

B为引入的中间变量，

B＝diag(0_L,1_N)，1_N表示维数为N×1且元素全部为1的列向量，0_L表示维数为L×1且元素全部为0的列向量；

步骤3_2：令y表示由y_p,1,y_p,2,...,y_p,K构成的集合，并令ω表示由ω₁,ω₂,...,ω_K构成的集合，令Γ表示由Γ₁,Γ₂,...,Γ_K构成的集合；然后计算y与ω的联合概率分布，记为pro(y,ω；Γ,λ)，

再对

取对数，得到

其中，y_p,1表示在第p个导频子载波上接收到的第1个频域信号，y_p,2表示在第p个导频子载波上接收到的第2个频域信号，y_p,K表示在第p个导频子载波上接收到的第K个频域信号，ω₁、ω₂、ω_K根据

确定，Γ₁、Γ₂、Γ_K根据

确定，pro()为概率的函数表示形式，符号“Π”为连乘符号，pro(ω₁；Γ₁)表示ω₁的概率，

pro(ω_k|ω_k-1；Γ_k)表示ω_k-1到ω_k的转移概率，pro(y_p,k|ω_k；λ)表示ω_k的后向概率，符号“∝”表示已省略掉之后参数优化运算无关的量，符号“|| ||₂”为求矩阵的二范数符号，Ψ表示平滑器系数，符号“||”为取模运算符号，()^H表示向量的共轭转置，()^-1表示矩阵的逆；

步骤3_3：令r表示迭代次数，r的初始值为1；

步骤3_4：第r次迭代，使用期望最大化算法分E-step和M-step两步交替迭代，其中，

E-step的目标式为：Q({Γ,λ}|{Γ^r，λ^r})＝E(log(pro(y,ω；{Γ^r,λ^r})))；然后根据稀疏贝叶斯学习理论，设定ω的先验分布为高斯分布，将ω_k的后验分布的均值记为

将ω_k的后验分布的协方差矩阵记为ε_k|K，

其中，Q({Γ,λ}|{Γ^r,λ^r})表示在参数Γ和参数λ未知情况下关于pro(y,ω；{Γ^r,λ^r})的期望函数，Γ^r表示第r次迭代时Γ的值，λ^r表示第r次迭代时λ的值，E()表示期望函数，pro(y,ω；{Γ^r,λ^r})表示第r次迭代时y与ω的联合概率分布，

和ε_k|K的值均通过卡尔曼滤波和平滑递归方式求解得到；

M-step的目标式为：

然后利用先固定一个超参数再求解另外一个超参数的方式，交替求解

中的Γ和λ的值，直到求解得到超参数Γ的最优解和超参数λ的最优解，将Γ的最优解作为Γ^r，将λ的最优解作为λ^r；其中，

求使得Q({Γ,λ}|{Γ^r,λ^r})最大时的Γ和λ的值，固定超参数λ求解超参数Γ的最优解的公式为：

表示求使得

最小时的Γ的值，

表示Γ_k的逆，Tr()表示求矩阵的迹，M_k|K为引入的中间变量，

固定超参数Γ求解超参数λ的最优解的公式为：

步骤3_5：判断

和

两个收敛条件是否均成立，如果成立，则停止迭代，然后计算h_k的估计值和i_k的估计值，对应记为

和

再执行步骤4；否则，令r＝r+1，然后返回步骤步骤3_4继续执行；其中，r＝1时令Γ^r-1中的所有元素的值均为1，r＞1时Γ^r-1表示第r-1次迭代时Γ的值，r＝1时令λ^r-1＝1，r＞1时λ^r-1表示第r-1次迭代时λ的值，ξ表示收敛下界，

表示由

中的前L个元素组成的子向量，

表示由

中的后N个元素组成的子向量，r＝r+1中的“＝”为赋值符号；

步骤4：将y_p,k经异步脉冲噪声抑制后得到的频域信号记为

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