CN110850366B - 混合视距和非视距环境下基于接收信号强度的定位方法 - Google Patents

混合视距和非视距环境下基于接收信号强度的定位方法 Download PDF

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CN110850366B CN201911052603.5A CN201911052603A CN110850366B CN 110850366 B CN110850366 B CN 110850366B CN 201911052603 A CN201911052603 A CN 201911052603A CN 110850366 B CN110850366 B CN 110850366B
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Abstract

本发明公开了一种混合视距和非视距环境下基于接收信号强度的定位方法，其构建接收传感器接收到的测量信号的信号强度的模型；通过引入非视距误差引起的额外损耗的平衡参数，对模型进行转换，进而得到对应的一阶泰勒展开表达式及一阶泰勒简化表达式；根据一阶泰勒简化表达式构建鲁棒加权最小二乘问题；利用近似关系、上镜图方法、S‑Lemma定理，并引入额外损耗的误差上界，转换为鲁棒加权最小二乘简化问题；利用凸松弛的方法将鲁棒加权最小二乘简化问题转化为半正定规划问题；求解半正定规划问题，得到目标源的坐标位置的估计值；优点是其能够解决测量环境中非视距误差的存在问题，从而能够提高定位精度。

Description

混合视距和非视距环境下基于接收信号强度的定位方法
技术领域
本发明涉及一种目标定位方法，尤其是涉及一种混合视距和非视距环境下基于接收信号强度的定位方法。
背景技术
近些年，无线传感器网络(WSN)因其广泛的应用而迅速发展，其可以便捷快速地实现定位导航、环境监测、智能家居、工业控制等。随着技术的发展与社会的进步，高精度的目标定位技术在各个领域展现出了广泛的应用前景。因此，对无线传感器网络中高精度的目标定位方法的研究十分有必要。
目前，实现目标定位的基本方法有很多，使用最为广泛的是基于到达时间(TOA)的时间测量方法。然而，无线传感器网络通常由多个具有受限通信范围和受限计算能力的小型传感器节点组成，这一缺点限制了基于到达时间(TOA)的定位方法和基于到达时间差(TDOA)的定位方法的应用范围。由于基于接收信号强度(RSS)的定位方法对于传感器节点的计算能力要求较低，因而，对于基于接收信号强度(RSS)的高精度定位方法的研究十分有必要。
目标的精确定位是目标定位方法设计的关键。然而，现实的无线传感器网络中会存在很多影响定位精度的因素，主要的问题是非视距误差问题。所谓的非视距误差是指信号的传输在目标源和接收传感器之间受阻挡而产生额外的功率损耗，使接收信号强度减小，产生较大的测量误差，即接收信号强度误差，使定位精度降低。事实上，如果不能有效地处理非视距误差带来的额外损耗的问题，则定位精度将不会得到有效的大幅度提升。
为了解决基于接收信号强度的定位方法中存在的非视距误差带来的额外损耗的问题，需要设计一种方法消除非视距误差带来的额外损耗对定位精度的不利影响。目前，基于接收信号强度的定位方法中处理非视距误差带来的额外损耗的方法较少，如采用最坏情况下的鲁棒方法进行处理，则在混合视距和非视距环境中定位精度较低。因此，对于混合视距和非视距环境中对非视距误差进行鲁棒处理的方法研究十分有必要。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是提供一种混合视距和非视距环境下基于接收信号强度的定位方法，其能够解决测量环境中非视距误差的存在问题，从而能够提高定位精度。
本发明解决上述技术问题所采用的技术方案为：一种混合视距和非视距环境下基于接收信号强度的定位方法，其特征在于包括以下步骤：
步骤一：在无线传感器网络中建立一个平面坐标系或空间坐标系作为参考坐标系；设定无线传感器网络中存在一个用于发射测量信号的目标源和N个用于接收测量信号的接收传感器；将N个接收传感器在参考坐标系中的坐标位置的真实值对应记为s1,...,sN，将目标源在参考坐标系中的坐标位置记为x；其中，N≥3，s1表示第1个接收传感器在参考坐标系中的坐标位置的真实值，sN表示第N个接收传感器在参考坐标系中的坐标位置的真实值；
步骤二：在混合视距和非视距环境下，获取每个接收传感器接收到的测量信号的信号强度，将第i个接收传感器接收到的测量信号的信号强度记为Pi；然后以模型形式对每个接收传感器接收到的测量信号的信号强度进行描述，将Pi以模型形式描述为：
Figure BDA0002255687540000031
其中，i为正整数，i的初始值为1，1≤i≤N，dis0表示参考距离，P0表示一个离目标源的距离为参考距离的接收传感器接收到的测量信号的信号强度，bi表示测量信号从目标源发射到第i个接收传感器接收所经历的路径上存在的非视距误差引起的额外损耗，γ表示路径损耗因子的真实值，符号“||||”为求欧几里德范数符号，si表示第i个接收传感器在参考坐标系中的坐标位置的真实值，ni表示测量信号从目标源发射到第i个接收传感器接收所经历的路径上存在的测量噪声，ni服从零均值的高斯分布
Figure BDA0002255687540000032
Figure BDA0002255687540000033
表示ni的功率；
步骤三：引入一个关于bi的平衡参数
Figure BDA00022556875400000315
并将bi表达为平衡参数
Figure BDA0002255687540000034
和剩余误差项
Figure BDA0002255687540000035
的和，即令
Figure BDA0002255687540000036
然后根据
Figure BDA0002255687540000037
将
Figure BDA0002255687540000038
变换为
Figure BDA0002255687540000039
接着令dis0＝1，并将
Figure BDA00022556875400000310
中的对数消除，再对噪声项进行一阶泰勒展开，获得一阶泰勒展开表达式，描述为：
Figure BDA00022556875400000311
之后令
Figure BDA00022556875400000312
y＝αx，对一阶泰勒展开表达式进行简化，得到一阶泰勒简化表达式，描述为：
Figure BDA00022556875400000313
其中，di、
Figure BDA00022556875400000314
α、y均为引入的中间变量；
步骤四：构建一个矩阵A和一个向量
Figure BDA0002255687540000041
并令A＝diag{d1,...,dN}，令
Figure BDA0002255687540000042
然后根据A＝diag{d1,...,dN}、
Figure BDA0002255687540000043
和一阶泰勒简化表达式，构建一个鲁棒加权最小二乘问题，描述为：
Figure BDA0002255687540000044
其中，diag{d1,...,dN}表示以d1,...,dN为对角线元素构成的对角矩阵，d1和dN根据
Figure BDA0002255687540000045
得到，
Figure BDA0002255687540000046
和
Figure BDA0002255687540000047
根据
Figure BDA0002255687540000048
得到，min()为取最小值函数，max()为取最大值函数，g为引入的中间变量，Q表示权重矩阵，Q＝DRDT，
Figure BDA0002255687540000049
表示以
Figure BDA00022556875400000410
为对角元素构成的对角矩阵，R表示所有测量噪声的协方差矩阵，
Figure BDA00022556875400000411
表示以
Figure BDA00022556875400000412
为对角元素构成的对角矩阵，
Figure BDA00022556875400000413
表示测量信号从目标源发射到第1个接收传感器接收所经历的路径上存在的测量噪声n1的功率，
Figure BDA00022556875400000414
表示测量信号从目标源发射到第N个接收传感器接收所经历的路径上存在的测量噪声nN的功率，“s.t.”表示“受约束于……”，()T和[]T均表示转置，Q-1表示Q的逆；
步骤五：利用近似关系di≈||y-αsi||将鲁棒加权最小二乘问题中的未知权重矩阵Q变为已知权重矩阵，记为
Figure BDA00022556875400000415
同时，利用上镜图方法，在鲁棒加权最小二乘问题中引入辅助变量τ；再根据S-Lemma定理、
Figure BDA00022556875400000416
τ，并引入误差上界
Figure BDA00022556875400000417
将鲁棒加权最小二乘问题简化为鲁棒加权最小二乘简化问题，描述为：
Figure BDA0002255687540000051
其中，τ为上镜图方法引入的辅助变量，λ为一个大于或等于0的变量，IN表示维数为N×N的单位矩阵，1N×1表示维数为N×1且元素全为1的向量，
Figure BDA0002255687540000052
表示设定的
Figure BDA0002255687540000053
的上界，
Figure BDA0002255687540000054
Figure BDA0002255687540000055
ρi表示设定的bi的上界，
Figure BDA0002255687540000056
Figure BDA0002255687540000057
和
Figure BDA0002255687540000058
根据
Figure BDA0002255687540000059
计算得到，
Figure BDA00022556875400000510
均为引入的中间变量；
步骤六：令G＝ggT、z＝[yT,α]T、Z＝zzT；然后利用凸松弛的方法，将鲁棒加权最小二乘简化问题转化为半正定规划问题，描述为：
Figure BDA00022556875400000511
其中，G、z、Z均为引入的中间变量，Z1:2,1:2表示矩阵Z中第一行到第二行和第一列到第二列的所有元素组成的子矩阵，Z1:2,3表示矩阵Z中第一行到第二行第三列的所有元素组成的向量，Z3,3表示矩阵Z中第三行第三列的元素，tr{}表示求矩阵的迹，Gi,i表示矩阵G中第i行第i列的元素；
步骤七：求解半正定规划问题，得到Z的解，记为Z*；然后根据Z*，计算x的估计值，记为x*，
Figure BDA0002255687540000061
其中，
Figure BDA0002255687540000062
表示Z*中第一行到第二行第三列的所有元素组成的向量，
Figure BDA0002255687540000063
表示Z*中第三行第三列的元素。
所述的步骤五中的误差上界
Figure BDA0002255687540000064
的获取过程为：
①设定
Figure BDA0002255687540000065
的上界为
Figure BDA0002255687540000066
即
Figure BDA0002255687540000067
并设定bi的上界为ρi，即0≤bi≤ρi；然后根据
Figure BDA0002255687540000068
0≤bi≤ρi，得出
Figure BDA0002255687540000069
的范围，
Figure BDA00022556875400000610
再根据
Figure BDA00022556875400000611
Figure BDA00022556875400000612
得到
Figure BDA00022556875400000613
的范围，
Figure BDA00022556875400000614
②令
Figure BDA00022556875400000615
并令
Figure BDA00022556875400000616
然后根据
Figure BDA00022556875400000617
Figure BDA00022556875400000618
得到
Figure BDA00022556875400000619
的范围的简化表达式，描述为：
Figure BDA00022556875400000620
其中，符号“| |”为取绝对值符号；
③令
Figure BDA00022556875400000621
得到误差上界
Figure BDA00022556875400000622
其中，
Figure BDA00022556875400000623
为引入的中间变量。
与现有技术相比，本发明的优点在于：
1)本发明方法在建立每个接收传感器接收到的信号强度的模型的过程中，考虑了非视距误差引入的额外损耗，建立了混合视距和非视距环境下的模型，更加贴近实际应用。
2)本发明方法引入了一项关于非视距误差引起的额外损耗的平衡参数，在对额外损耗做鲁棒处理的同时，对平衡参数做估计，可以提高在混合视距和非视距环境下的定位精度。
3)本发明方法对非视距误差引起的额外损耗使用最坏情况下的鲁棒最小二乘方法进行处理，使本发明方法的定位性能在条件恶劣的情况下(非视距误差引起的额外损耗较大的情况下)，定位性能依旧能保持稳定状态。
4)本发明方法使用S-Lemma定理消除鲁棒加权最小二乘问题中的“max”部分，将原问题，转化为最小化的非凸问题，使用S-Lemma定理不仅可以有效避免近似带来的误差，而且不需要非视距误差引起的额外损耗的准确统计信息，仅仅需要知道非视距误差引起的额外损耗的上界，更加贴近实际应用。
附图说明
图1为本发明方法的总体流程框图；
图2为在非视距传输路径的条数为4条时，本发明方法(RWLS)与现有的置信区间子问题估计法(GTRS)和现有的最小平方相关误差估计法(LSRE)的定位性能随测量噪声的功率增大的变化情况；
图3为测量噪声的功率相同(σ2＝9dB)的情况下，本发明方法(RWLS)与现有的置信区间子问题估计法(GTRS)和现有的最小平方相关误差估计法(LSRE)的定位性能随非视距传输路径的条数增大的变化情况；
图4为测量噪声的功率相同(σ2＝9dB)、非视距传输路径的条数相同(4条)情况下，本发明方法(RWLS)与现有的置信区间子问题估计法(GTRS)和现有的最小平方相关误差估计法(LSRE)的定位性能随接收传感器的数量增大的变化情况。
具体实施方式
以下结合附图实施例对本发明作进一步详细描述。
本发明提出的一种混合视距和非视距环境下基于接收信号强度的定位方法，其总体流程框图如图1所示，其包括以下步骤：
步骤一：在无线传感器网络中建立一个平面坐标系或空间坐标系作为参考坐标系；设定无线传感器网络中存在一个用于发射测量信号的目标源和N个用于接收测量信号的接收传感器；将N个接收传感器在参考坐标系中的坐标位置的真实值对应记为s1,...,sN，将目标源在参考坐标系中的坐标位置记为x；其中，N≥3，在本实施例中取N＝8，s1表示第1个接收传感器在参考坐标系中的坐标位置的真实值，sN表示第N个接收传感器在参考坐标系中的坐标位置的真实值。
步骤二：在混合视距和非视距环境下，获取每个接收传感器接收到的测量信号的信号强度，将第i个接收传感器接收到的测量信号的信号强度记为Pi；然后以模型形式对每个接收传感器接收到的测量信号的信号强度进行描述，将Pi以模型形式描述为：
Figure BDA0002255687540000081
其中，i为正整数，i的初始值为1，1≤i≤N，dis0表示参考距离，dis0的值一般自行设定，如取dis0＝1米，P0表示一个离目标源的距离为参考距离的接收传感器接收到的测量信号的信号强度，P0的值为事先测得，bi表示测量信号从目标源发射到第i个接收传感器接收所经历的路径上存在的非视距误差引起的额外损耗，γ表示路径损耗因子的真实值，γ的值为事先测得，符号“|| ||”为求欧几里德范数符号，si表示第i个接收传感器在参考坐标系中的坐标位置的真实值，ni表示测量信号从目标源发射到第i个接收传感器接收所经历的路径上存在的测量噪声，ni服从零均值的高斯分布
Figure BDA0002255687540000082
Figure BDA0002255687540000083
表示ni的功率。
步骤三：引入一个关于bi的平衡参数
Figure BDA0002255687540000091
并将bi表达为平衡参数
Figure BDA0002255687540000092
和剩余误差项
Figure BDA0002255687540000093
的和，即令
Figure BDA0002255687540000094
然后根据
Figure BDA0002255687540000095
将
Figure BDA0002255687540000096
变换为
Figure BDA0002255687540000097
接着令dis0＝1，并将
Figure BDA0002255687540000098
中的对数消除，再对噪声项进行一阶泰勒展开，获得一阶泰勒展开表达式，描述为：
Figure BDA0002255687540000099
之后令
Figure BDA00022556875400000910
y＝αx，对一阶泰勒展开表达式进行简化，得到一阶泰勒简化表达式，描述为：
Figure BDA00022556875400000911
其中，di、
Figure BDA00022556875400000912
α、y均为引入的中间变量。
步骤四：构建一个矩阵A和一个向量
Figure BDA00022556875400000913
并令A＝diag{d1,...,dN}，令
Figure BDA00022556875400000914
然后根据A＝diag{d1,...,dN}、
Figure BDA00022556875400000915
和一阶泰勒简化表达式，构建一个鲁棒加权最小二乘问题，描述为：
Figure BDA00022556875400000916
其中，diag{d1,...,dN}表示以d1,...,dN为对角线元素构成的对角矩阵，d1和dN根据
Figure BDA00022556875400000917
得到，
Figure BDA00022556875400000918
和
Figure BDA00022556875400000919
根据
Figure BDA00022556875400000920
得到，min()为取最小值函数，max()为取最大值函数，g为引入的中间变量，Q表示权重矩阵，Q＝DRDT，
Figure BDA0002255687540000101
表示以
Figure BDA0002255687540000102
为对角元素构成的对角矩阵，R表示所有测量噪声的协方差矩阵，
Figure BDA0002255687540000103
表示以
Figure BDA0002255687540000104
为对角元素构成的对角矩阵，
Figure BDA0002255687540000105
表示测量信号从目标源发射到第1个接收传感器接收所经历的路径上存在的测量噪声n1的功率，
Figure BDA0002255687540000106
表示测量信号从目标源发射到第N个接收传感器接收所经历的路径上存在的测量噪声nN的功率，“s.t.”表示“受约束于……”，()T和[]T均表示转置，Q-1表示Q的逆。
步骤五：利用近似关系di≈||y-αsi||将鲁棒加权最小二乘问题中的未知权重矩阵Q变为已知权重矩阵，记为
Figure BDA0002255687540000107
同时，利用上镜图方法，在鲁棒加权最小二乘问题中引入辅助变量τ；再根据S-Lemma定理、
Figure BDA0002255687540000108
τ，并引入误差上界
Figure BDA0002255687540000109
将鲁棒加权最小二乘问题简化为鲁棒加权最小二乘简化问题，描述为：
Figure BDA00022556875400001010
其中，τ为上镜图方法引入的辅助变量，λ为一个大于或等于0的变量，IN表示维数为N×N的单位矩阵，1N×1表示维数为N×1且元素全为1的向量，
Figure BDA00022556875400001011
表示自行设定的
Figure BDA00022556875400001012
的上界，
Figure BDA00022556875400001013
ρi表示自行设定的bi的上界，
Figure BDA00022556875400001014
Figure BDA00022556875400001015
和
Figure BDA00022556875400001016
根据
Figure BDA0002255687540000111
计算得到，
Figure BDA0002255687540000112
均为引入的中间变量。
在此具体实施例中，步骤五中的误差上界
Figure BDA0002255687540000113
的获取过程为：
①设定
Figure BDA0002255687540000114
的上界为
Figure BDA0002255687540000115
即
Figure BDA0002255687540000116
并设定bi的上界为ρi，即0≤bi≤ρi；然后根据
Figure BDA0002255687540000117
0≤bi≤ρi，得出
Figure BDA0002255687540000118
的范围，
Figure BDA0002255687540000119
再根据
Figure BDA00022556875400001110
Figure BDA00022556875400001111
得到
Figure BDA00022556875400001112
的范围，
Figure BDA00022556875400001113
②令
Figure BDA00022556875400001114
并令
Figure BDA00022556875400001115
然后根据
Figure BDA00022556875400001116
Figure BDA00022556875400001117
得到
Figure BDA00022556875400001118
的范围的简化表达式，描述为：
Figure BDA00022556875400001119
其中，符号“| |”为取绝对值符号。
③令
Figure BDA00022556875400001120
得到误差上界
Figure BDA00022556875400001121
可以根据
Figure BDA00022556875400001122
和
Figure BDA00022556875400001123
计算得到
Figure BDA00022556875400001124
的范围，
Figure BDA00022556875400001125
其中，
Figure BDA00022556875400001126
为引入的中间变量。
步骤六：令G＝ggT、z＝[yT,α]T、Z＝zzT；然后利用凸松弛的方法，将鲁棒加权最小二乘简化问题转化为半正定规划问题，描述为：
Figure BDA00022556875400001127
其中，G、z、Z均为引入的中间变量，Z1:2,1:2表示矩阵Z中第一行到第二行和第一列到第二列的所有元素组成的子矩阵，Z1:2,3表示矩阵Z中第一行到第二行第三列的所有元素组成的向量，Z3,3表示矩阵Z中第三行第三列的元素，tr{}表示求矩阵的迹，Gi,i表示矩阵G中第i行第i列的元素。
步骤七：求解半正定规划问题，得到Z的解，记为Z*；然后根据Z*，计算x的估计值，记为x*，
Figure BDA0002255687540000121
其中，
Figure BDA0002255687540000122
表示Z*中第一行到第二行第三列的所有元素组成的向量，
Figure BDA0002255687540000123
表示Z*中第三行第三列的元素。
为了验证本发明方法的可行性和有效性，对本发明方法进行仿真试验。
假设有N＝8个接收传感器，随机分布在以原点(0，0)为中心的50×50m2的正方形区域内，目标源的坐标位置也是在50×50m2的正方形区域内随机选择。假设所有接收传感器对应的测量噪声的功率(方差)相同，即为
Figure BDA0002255687540000124
假设所有接收传感器对应的非视距误差引起的额外损耗的上界相同，即为ρ1＝ρ2＝…＝ρ8＝ρ＝4ln(10)；其中，
Figure BDA0002255687540000125
对应表示测量信号从目标源发射到第1个接收传感器接收所经历的路径上存在的测量噪声的功率、测量信号从目标源发射到第2个接收传感器接收所经历的路径上存在的测量噪声的功率、测量信号从目标源发射到第8个接收传感器接收所经历的路径上存在的测量噪声的功率，σ2表示设定的功率值，ρ1、ρ2、ρ8对应表示测量信号从目标源发射到第1个接收传感器接收所经历的路径上存在的非视距误差引起的额外损耗的上界、测量信号从目标源发射到第2个接收传感器接收所经历的路径上存在的非视距误差引起的额外损耗的上界、测量信号从目标源发射到第8个接收传感器接收所经历的路径上存在的非视距误差引起的额外损耗的上界，ρ表示设定的上界值，且ρ＝4ln(10)。平衡参数
Figure BDA0002255687540000126
的上界为
Figure BDA0002255687540000127
P0＝30dBm；γ＝3。
测试本发明方法的性能在相同的非视距传输路径条数的情况下随测量噪声的功率增加的变化情况。图2给出了在非视距传输路径的条数为4条时，本发明方法(RWLS)与现有的置信区间子问题估计法(GTRS)和现有的最小平方相关误差估计法(LSRE)的定位性能随测量噪声的功率增大的变化情况；图3给出了测量噪声的功率相同(σ2＝9dB)的情况下，本发明方法(RWLS)与现有的置信区间子问题估计法(GTRS)和现有的最小平方相关误差估计法(LSRE)的定位性能随非视距传输路径的条数增大的变化情况；图4给出了测量噪声的功率相同(σ2＝9dB)、非视距传输路径的条数相同(4条)情况下，本发明方法(RWLS)与现有的置信区间子问题估计法(GTRS)和现有的最小平方相关误差估计法(LSRE)的定位性能随接收传感器的数量增大的变化情况。
从图2中可以看出，在测量噪声的功率增大的变化过程中，本发明方法的均方根误差(RMSE)要比现有的两种方法小至少1米。从图3中可以看出，在非视距传输路径的条数增大的变化过程中，只有在非视距传输路径的条数较少的情况下，本发明方法的定位精度略低于现有的LSRE方法，随着非视距传输路径的条数增大，本发明方法的定位精度趋于稳定，且均方根误差(RMSE)比现有的两种方法小接近2米。从图4中可以看出，在接收传感器的数量增大的变化过程中，本发明方法的定位精度有着明显的优势，本发明方法的均方根误差(RMSE)比现有的两种方法中较好的方法小至少1米。
从上述仿真结果可以看出，本发明方法具有良好的性能，能够很好地满足定位高精度的需求。

Claims (1)

1.一种混合视距和非视距环境下基于接收信号强度的定位方法，其特征在于包括以下步骤：
步骤一：在无线传感器网络中建立一个平面坐标系或空间坐标系作为参考坐标系；设定无线传感器网络中存在一个用于发射测量信号的目标源和N个用于接收测量信号的接收传感器；将N个接收传感器在参考坐标系中的坐标位置的真实值对应记为s1,...,sN，将目标源在参考坐标系中的坐标位置记为x；其中，N≥3，s1表示第1个接收传感器在参考坐标系中的坐标位置的真实值，sN表示第N个接收传感器在参考坐标系中的坐标位置的真实值；
步骤二：在混合视距和非视距环境下，获取每个接收传感器接收到的测量信号的信号强度，将第i个接收传感器接收到的测量信号的信号强度记为Pi；然后以模型形式对每个接收传感器接收到的测量信号的信号强度进行描述，将Pi以模型形式描述为：
Figure FDA0003055758510000011
其中，i为正整数，i的初始值为1，1≤i≤N，dis0表示参考距离，P0表示一个离目标源的距离为参考距离的接收传感器接收到的测量信号的信号强度，bi表示测量信号从目标源发射到第i个接收传感器接收所经历的路径上存在的非视距误差引起的额外损耗，γ表示路径损耗因子的真实值，符号“|| ||”为求欧几里德范数符号，si表示第i个接收传感器在参考坐标系中的坐标位置的真实值，ni表示测量信号从目标源发射到第i个接收传感器接收所经历的路径上存在的测量噪声，ni服从零均值的高斯分布
Figure FDA0003055758510000012
Figure FDA0003055758510000013
表示ni的功率；
步骤三：引入一个关于bi的平衡参数
Figure FDA0003055758510000014
并将bi表达为平衡参数
Figure FDA0003055758510000015
和剩余误差项
Figure FDA0003055758510000016
的和，即令
Figure FDA0003055758510000021
然后根据
Figure FDA0003055758510000022
将
Figure FDA0003055758510000023
变换为
Figure FDA0003055758510000024
接着令dis0＝1，并将
Figure FDA0003055758510000025
中的对数消除，再对噪声项进行一阶泰勒展开，获得一阶泰勒展开表达式，描述为：
Figure FDA0003055758510000026
之后令
Figure FDA0003055758510000027
y＝αx，对一阶泰勒展开表达式进行简化，得到一阶泰勒简化表达式，描述为：
Figure FDA0003055758510000028
其中，di、
Figure FDA0003055758510000029
α、y均为引入的中间变量；
步骤四：构建一个矩阵A和一个向量
Figure FDA00030557585100000210
并令A＝diag{d1,...,dN}，令
Figure FDA00030557585100000211
然后根据A＝diag{d1,...,dN}、
Figure FDA00030557585100000212
和一阶泰勒简化表达式，构建一个鲁棒加权最小二乘问题，描述为：
Figure FDA00030557585100000213
其中，diag{d1,...,dN}表示以d1,...,dN为对角线元素构成的对角矩阵，d1和dN根据
Figure FDA00030557585100000214
得到，
Figure FDA00030557585100000215
和
Figure FDA00030557585100000216
根据
Figure FDA00030557585100000217
得到，min()为取最小值函数，max()为取最大值函数，g为引入的中间变量，Q表示权重矩阵，Q＝DRDT，
Figure FDA00030557585100000218
表示以
Figure FDA0003055758510000031
为对角元素构成的对角矩阵，R表示所有测量噪声的协方差矩阵，
Figure FDA0003055758510000032
Figure FDA0003055758510000033
表示以
Figure FDA0003055758510000034
为对角元素构成的对角矩阵，
Figure FDA0003055758510000035
表示测量信号从目标源发射到第1个接收传感器接收所经历的路径上存在的测量噪声n1的功率，
Figure FDA0003055758510000036
表示测量信号从目标源发射到第N个接收传感器接收所经历的路径上存在的测量噪声nN的功率，“s.t.”表示“受约束于……”，()T和[]T均表示转置，Q-1表示Q的逆；
步骤五：利用近似关系di≈||y-αsi||将鲁棒加权最小二乘问题中的未知权重矩阵Q变为已知权重矩阵，记为
Figure FDA0003055758510000037
同时，利用上镜图方法，在鲁棒加权最小二乘问题中引入辅助变量τ；再根据S-Lemma定理、
Figure FDA0003055758510000038
τ，并引入误差上界
Figure FDA0003055758510000039
将鲁棒加权最小二乘问题简化为鲁棒加权最小二乘简化问题，描述为：
Figure FDA00030557585100000310
Figure FDA00030557585100000311
其中，τ为上
g＝[‖y-αs1‖,...,‖y-αsN‖]T,
Figure FDA00030557585100000312
镜图方法引入的辅助变量，λ为一个大于或等于0的变量，IN表示维数为N×N的单位矩阵，1N×1表示维数为N×1且元素全为1的向量，
Figure FDA00030557585100000313
表示设定的
Figure FDA00030557585100000314
的上界，
Figure FDA00030557585100000315
Figure FDA00030557585100000316
ρi表示设定的bi的上界，
Figure FDA00030557585100000317
Figure FDA00030557585100000318
和
Figure FDA00030557585100000319
根据
Figure FDA00030557585100000320
计算得到，
Figure FDA00030557585100000321
均为引入的中间变量；
所述的步骤五中的误差上界
Figure FDA00030557585100000322
的获取过程为：
①设定
Figure FDA0003055758510000041
的上界为
Figure FDA0003055758510000042
即
Figure FDA0003055758510000043
并设定bi的上界为ρi，即0≤bi≤ρi；然后根据
Figure FDA0003055758510000044
0≤bi≤ρi，得出
Figure FDA0003055758510000045
的范围，
Figure FDA0003055758510000046
再根据
Figure FDA0003055758510000047
Figure FDA0003055758510000048
得到
Figure FDA0003055758510000049
的范围，
Figure FDA00030557585100000410
②令
Figure FDA00030557585100000411
并令
Figure FDA00030557585100000412
然后根据
Figure FDA00030557585100000413
Figure FDA00030557585100000414
得到
Figure FDA00030557585100000415
的范围的简化表达式，描述为：
Figure FDA00030557585100000416
其中，符号“||”为取绝对值符号；
③令
Figure FDA00030557585100000417
得到误差上界
Figure FDA00030557585100000418
其中，
Figure FDA00030557585100000419
为引入的中间变量；
步骤六：令G＝ggT、z＝[yT,α]T、Z＝zzT；然后利用凸松弛的方法，将鲁棒加权最小二乘简化问题转化为半正定规划问题，描述为：
Figure FDA00030557585100000420
其中，G、z、Z均为引入的中间变量，Z1:2,1:2表示矩阵Z中第一行到第二行和第一列到第二列的所有元素组成的子矩阵，Z1:2,3表示矩阵Z中第一行到第二行第三列的所有元素组成的向量，Z3,3表示矩阵Z中第三行第三列的元素，tr{}表示求矩阵的迹，Gi,i表示矩阵G中第i行第i列的元素；
步骤七：求解半正定规划问题，得到Z的解，记为Z*；然后根据Z*，计算x的估计值，记为x*，
Figure FDA0003055758510000051
其中，
Figure FDA0003055758510000052
表示Z*中第一行到第二行第三列的所有元素组成的向量，
Figure FDA0003055758510000053
表示Z*中第三行第三列的元素。
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