CN113030853B - 基于rss和aoa联合测量的多辐射源无源定位方法 - Google Patents

基于rss和aoa联合测量的多辐射源无源定位方法 Download PDF

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Abstract

基于RSS和AOA联合测量的多辐射源无源定位方法，属于无线通信技术的无源定位领域。本发明在无线传感器网络中每个传感器无差别地接收所有辐射源信号，并在本地测量出接收信号的RSS和AOA，计算出传感器到辐射源的单位方向向量；所有传感器将数据上报到融合中心；融合中心完成上报数据与所有辐射源的关联后，估计出所有辐射源的位置。本发明是针对多辐射源无源定位中测量数据缺乏先验知识、辐射源间距离较近、测量噪声较大等情况，通过解决测量数据在空间上和时间上与对应辐射源间的关联问题，快速、精准地实现三维空间中多辐射源无源定位，并且具有较强的抗噪能力。

Description

基于RSS和AOA联合测量的多辐射源无源定位方法
技术领域
本发明属于无线通信技术的无源定位领域，具体是一种基于RSS和AOA联合测量的多辐射源无源定位方法。
背景技术
在智能交通系统、移动蜂窝网络、物联网、空天地一体化远程预警等基于位置和环境感知的服务中，获取准确的位置信息是十分关键的。虽然GPS、北斗等卫星导航系统已能达到米级的定位精度，但在城市环境或室内环境中，由于卫星信号微弱，定位性能会大大下降。同时，5G及下一代无线通信网络系统正蓬勃发展，将无线网络应用到辐射源定位中获得了广泛的关注。无线网络有望借助其高速率、宽带宽、小体积、D2D通信、配备MIMO等特点，实现高度精确的辐射源定位。
辐射源定位可分为两类：有源定位技术和无源定位技术。有源定位技术需要定位设备向辐射源主动发射信号，并通过分析处理辐射源返射回的信号以实现探测、定位及跟踪。有源定位技术又可分为合作式和非合作式两类。然而，有源定位技术在面临电磁隐身技术、综合性电子干扰等情况时往往无法发挥作用。无源定位技术指定位设备在定位过程中不主动向辐射源发射信号，而是被动接收辐射源发出的信号。因此，无源定位也称为被动定位，具有非合作性质。相较于有源定位技术，无源定位技术具有定位作用距离长、隐蔽性高、抗干扰能力强等优势。
当前，辐射源无源定位主要集中于改善单辐射源情况下的定位精度和算法复杂度。然而，在许多基于位置服务的实际应用中，关注多辐射源无源定位问题的研究并不多见。此外，在多辐射源的定位过程中，现有研究较少考虑测量数据在空间上和时间上的不确定性。
发明内容
针对多辐射源无源定位中测量数据缺乏先验知识、辐射源间距离较近、测量噪声较大等情况，本发明提出一种基于RSS和AOA联合测量的多辐射源无源定位方法。该方法通过解决测量数据在空间上和时间上与对应辐射源间的关联问题，快速、精准地实现三维空间中多辐射源无源定位，并且具有较强的抗噪能力。
实现本发明目的的技术解决方案为：一种基于RSS和AOA联合测量的多辐射源无源定位方法，步骤如下：
步骤1，在无线传感器网络中每个传感器无差别地接收所有辐射源信号，并在本地测量出接收信号的RSS和AOA，计算出传感器到辐射源的单位方向向量；
步骤2，所有传感器以协同工作方式将各自位置及其所测数据上报到融合中心；
步骤3，融合中心选择关联算法解决上报数据与对应辐射源的关联问题；关联问题包含两个子问题：测量数据与对应辐射源在空间上的匹配问题和上报数据在融合中心的顺序纠正问题；
步骤4，最小转换距离求和算法：采用基于空间坐标转换的迭代算法对测量数据的最小欧氏距离求和进行优化，解决关联问题中的两个子问题；
步骤5，测量序列分类算法：采用长-短期记忆网络以监督学习的方式对测量数据进行序列分类，解决关联问题中的两个子问题；
步骤6，融合中心完成上报数据与所有辐射源的关联后，利用加权最小二乘法线性化处理定位问题中的非凸性，并估计出所有辐射源的位置。
本发明与现有技术相比，其显著优点为：
1、本发明可有效解决融合中心缺乏对测量数据在空间上和时间上与对应辐射源间关联知识的情况下，三维空间中的多辐射源无源定位问题；
2、本发明可在辐射源数量较多、辐射源间距离较近、测量噪声较大的恶劣情况下，实现对多辐射源快速、精准的定位。
3、本发明可避免对传感器过大的能耗、计算和控制开销，并且有效降低了传感器与融合中心之间的通信负载。
附图说明
图1为本发明中一种基于RSS和AOA联合测量的多辐射源无源定位方法步骤流程图。
图2为本发明实施例中数据测量示意图。
图3为本发明实施例中系统模型示意图。
图4为本发明实施例中关联问题示意图。
图5a为本发明实施例中关联算法中最小转换距离求和算法的性能对比图。
图5b为本发明实施例中关联算法中测量序列分类算法的性能对比图。
图6a为本发明实施例中五种算法的均方根误差与M的关系性能对比图。
图6b为本发明实施例中五种算法的相对误差与M的关系性能对比图。
图7a为本发明实施例中五种算法的均方根误差与
Figure GDA0003632863220000032
的关系性能对比图。
图7b为本发明实施例中五种算法的均方根误差与σθi的关系性能对比图。
图7c为本发明实施例中五种算法的均方根误差与
Figure GDA0003632863220000031
的关系性能对比图。
图8a为辐射源数量为5时两种关联算法的定位结果对比图。
图8b为辐射源数量为10时两种关联算法的定位结果对比图。
图8c为辐射源数量为15时两种关联算法的定位结果对比图。
图8d为辐射源数量为20时两种关联算法的定位结果对比图。
具体实施方式
本发明考虑了测量数据在空间上和时间上与对应辐射源间的关联问题，在辐射源数量较多、辐射源间距离较近、测量噪声较大的恶劣情况下，实现在三维空间中对多辐射源快速、精准的定位。
如图1所示，一种基于RSS和AOA联合测量的多辐射源无源定位方法，包括以下步骤：
步骤1，在无线传感器网络中每个传感器无差别地接收所有辐射源信号，并在本地测量出接收信号的RSS和AOA，计算出传感器到辐射源的单位方向向量；
步骤2，所有传感器以协同工作方式将各自位置及其所测数据上报到融合中心；
步骤3，融合中心选择关联算法解决上报数据与对应辐射源的关联问题；关联问题包含两个子问题：测量数据与对应辐射源在空间上的匹配问题和上报数据在融合中心的顺序纠正问题；
步骤4，最小转换距离求和算法：采用基于空间坐标转换的迭代算法对测量数据的最小欧氏距离求和进行优化，解决关联问题中的两个子问题；
步骤5，测量序列分类算法：采用长-短期记忆网络以监督学习的方式对测量数据进行序列分类，解决关联问题中的两个子问题；
步骤6，融合中心完成上报数据与所有辐射源的关联后，利用加权最小二乘法线性化处理定位问题中的非凸性，并估计出所有辐射源的位置。
本发明的具体实施过程如下：
一、传感器本地测量出接收信号的RSS和AOA，计算出辐射源到传感器的单位方向向量，
Figure GDA0003632863220000041
pm＝[pmx，pmy，pmz]T为第m个传感器的三维坐标，qn＝[qnx，qny，qnz]T为第n个辐射源的三维坐标；
Figure GDA0003632863220000042
为第m个传感器与第n个辐射源间的RSS，P0为在参考距离d0处测得的发射功率，γ为在一定范围内变动的路径损耗指数，||qn-pm||为第m个传感器与第n个辐射源间的欧氏距离，
Figure GDA0003632863220000043
为服从零均值高斯分布的RSS测量噪声变量；
Figure GDA0003632863220000044
为第m个传感器处测得第n个辐射源的仰角，
Figure GDA0003632863220000045
为服从零均值高斯分布的仰角测量噪声；
Figure GDA0003632863220000046
为第m个传感器处测得第n个辐射源的方位角，
Figure GDA0003632863220000047
为服从零均值高斯分布的方位角测量噪声；
Figure GDA0003632863220000048
为第m个传感器到第n个辐射源的单位方向向量。
二、所有传感器以协同工作方式将各自位置及其所测数据上报到融合中心
Figure GDA0003632863220000049
C表示所有传感器在融合中心上报的数据，M为传感器个数，L为到达顺序个数，
其中，
Figure GDA00036328632200000411
表示第m个传感器上报的所有数据，
Figure GDA00036328632200000410
表示第m个传感器在第l个到达顺序上报的数据内容。
三、融合中心选择关联算法解决上报数据与对应辐射源的关联问题
Figure GDA0003632863220000051
B表示运行关联算法后重新整理得到的数据，M为传感器个数，N为辐射源个数，
其中，
Figure GDA0003632863220000052
表示第m个传感器对应于第n个辐射源的数据，
bn＝[b1n，b2n，...，bMn]T表示M个传感器对应于第n个辐射源的所有数据。
具体过程如下：
分别运行最小转换距离求和算法和测量序列分类算法，通过重新排列组合C中的数据，形成与C维度一致的B。B的所有元素都来自于C，并且B的每一列表示M个传感器对应于同一辐射源n的测量数据。
四、基于空间坐标转换的迭代算法对测量数据的最小欧氏距离求和进行优化
Figure GDA0003632863220000053
其中，
Figure GDA0003632863220000054
表示三维空间中的M条方向线，它们在空间中共存在LM-1种可能的分布，
Figure GDA0003632863220000055
f(ki)是关于ki的目标函数，k(opt)为可能性最大的一种分布情况；a1+a2＝1(a1，a2∈[0，1])分别表求和项∑1与求和项∑2的权重；
Figure GDA0003632863220000056
表示沿着
Figure GDA0003632863220000057
和
Figure GDA0003632863220000058
方向的笛卡尔坐标间的欧氏距离，
Figure GDA0003632863220000059
和
Figure GDA00036328632200000510
分别表示两个系数。
具体步骤如下：
5.1编码
将cm进行顺序编码，
Figure GDA0003632863220000069
因此C可以为
Figure GDA0003632863220000061
5.2选择与组合
在c1中选择某一辐射源l，并按行列出cm所有的可能组合，定义一个维度为M×LM-1的新矩阵
Figure GDA0003632863220000067
为
Figure GDA0003632863220000062
其中ki为
Figure GDA0003632863220000068
中的每一列，
Figure GDA0003632863220000063
表示三维空间中的M条方向线，
Figure GDA0003632863220000064
5.3优化
计算(4)式得k(opt)，并用bn代替k(opt)填入B中，直至所有辐射源N都被关联。
五、长-短期记忆网络以监督学习的方式对测量数据进行序列分类
6.1加载训练集和训练标签
CXtrain为训练集，包含M×N个测量数据，每个数据是维数为3的可变长度序列，如下所示，
Figure GDA0003632863220000065
其中，
Figure GDA0003632863220000066
是行数固定为3，列数可变的序列；
CYtrain为训练标签，包含M×N个对应CXtrain测量数据的辐射源标签，如下所示，
Figure GDA0003632863220000071
6.2定义长-短期记忆网络架构
指定输入大小为3(cmn的维数)的序列，用零均值方法对序列进行归一化。定义一个带有100个隐藏单元的LSTM层，并输出序列的最后一个元素。最后，依次通过大小为N的全连接层、softmax层和分类层来输出N个类别；
6.3训练和测试长-短期记忆网络
在训练期间，默认情况下，将训练数据分割成小批次并填充序列，使它们具有相同的长度。过多的填充会对网络性能产生负面影响。指定求解器为“Adam”，梯度阈值为1，最大训练周期数为100。为了减少小批次中的填充量，选择20的批次大小。为了使填充数据具有与最长序列相同的长度，将序列长度指定为“longest”。并且为了确保数据仍然按照序列长度排序，指定不打乱数据顺序。在完成网络训练后，使用已训练好的网络去测试数据CXtest，并得到与之对应的辐射源标签CYtest。
六、加权最小二乘法线性化处理定位问题中的非凸性并估计所有辐射源位置
Figure GDA0003632863220000072
Figure GDA0003632863220000073
其中x＝[qnx，qny，qnz]T为第n个辐射源的三维坐标；
Figure GDA0003632863220000074
为M个传感器测得第n个辐射源的实际数值，
Figure GDA0003632863220000075
分别表示第n个辐射源的RSS、仰角和方位角；
Figure GDA0003632863220000076
为第n个辐射源的测量噪声；
Figure GDA0003632863220000077
是关于x的函数，表示第n个辐射源的理论数值；
式(10)是非凸的，且不具有闭式解。
具体步骤如下：
7.1坐标转换
将笛卡尔坐标转换为球坐标，x沿着由第i个传感器定义的方向线可以表示为
Figure GDA0003632863220000081
为从pi到x沿着
Figure GDA0003632863220000082
方向上的投影，即：
Figure GDA0003632863220000083
RSS可以表示为：
Figure GDA0003632863220000084
其中
Figure GDA0003632863220000085
分别表示两个系数；
7.2加权最小二乘法
Figure GDA0003632863220000086
其中，
Figure GDA0003632863220000087
为加权系数；
根据加权最小二乘准则，式(13)可以转换为：
Figure GDA0003632863220000088
其中w＝[w1，w2，...，w4M]T为加权系数集合，W＝diag(w)为关于加权系数集合w的对角阵形式，
Figure GDA0003632863220000089
分别表示两个系数；
7.3输出定位结果
Figure GDA00036328632200000810
根据式(15)依次输出所有辐射源的位置。
实施例：本发明的一个具体实施例如下描述，系统仿真采用Matlab软件。下述实施例考察本发明所设计的基于RSS和AOA联合测量的多辐射源无源定位方法的有效性。
本实例中，图2所示为传感器在三维空间直角坐标系下的RSS和AOA联合测量。图3所示为多辐射源无源定位的系统模型。图4所示为上报数据与对应辐射源间的关联过程。我们考虑M＝18个传感器(M＝4为起始数量)，N＝5到N＝20个辐射源(每次增加5个)部署在100m×100m×100m的立方空间内。为了模拟实际的RSS和AOA联合测量、测试关联算法的鲁棒性，设置γ服从间隔为[2.2，2.8]的均匀分布，即
Figure GDA0003632863220000091
P0＝-10dBm，d0＝1m，测量噪声分别服从σp＝2dBm，σθ＝5deg和
Figure GDA0003632863220000092
的高斯分布；最小转换距离求和算法的参数设置：a1＝0.9和a2＝0.1；测量序列分类算法的参数设置：求解器为“Adam”，梯度阈值为1，最大训练周期数为100，批次大小20，将序列长度指定为“longest”，指定不打乱数据顺序。此外，每次仿真结果都经过5×105蒙特卡洛方法计算得出。
为展现关联算法的有效性，图5a和图5b给出了在两种不同关联算法下的正确关联率对比。其中图5a为最小转换距离求和算法下的正确关联率对比，图5b为测量序列分类算法下的正确关联率对比，结果表明，两种算法在处理关联问题上都有较好的性能。它们的平均正确关联率达到90％以上，并且两种算法的偏差都小于2％，表明两种算法只会造成十分小的性能损失。此外，对于一定数量的辐射源，增加传感器的数量并不会降低平均正确关联率，表明两种算法在有大量测量数据时是具有可扩展性的。
为展现所提的联合RSS-AOA定位算法的优越性，图6a和图6b给出了所提算法与现有的RSS、AOA以及其他RSS-AOA定位算法的性能比较。其中图6a是在
Figure GDA0003632863220000093
σθi＝10deg，
Figure GDA0003632863220000094
条件下，五种算法的均方根误差与M的关系示意图；图6b是在
Figure GDA0003632863220000095
σθi＝10deg，
Figure GDA0003632863220000096
条件下，五种算法的相对误差与M的关系示意图。结果表明，虽然所有的算法都能通过增加传感器数量来引入额外信息从而提高定位性能，但与其他算法相比，所提的RSS-AOA定位算法一直表现出优越的性能。即使将噪声功率设置为一个相对较高的值，所提算法依旧表现良好。此外，其他算法都很容易受到噪声的影响，因为它们以假设噪声功率很小为前提，而这种假设在实际应用中是受限的。
为展现所提的联合RSS-AOA定位算法的抗噪性能，图7a和图7b给出了所提算法与其他算法的抗噪性能比较。其中图7a是在M＝20，
Figure GDA0003632863220000097
σθi＝10deg，
Figure GDA0003632863220000098
条件下，五种算法的均方根误差与
Figure GDA0003632863220000101
的关系示意图；图7b是在M＝20，
Figure GDA0003632863220000102
σθi＝10deg，
Figure GDA0003632863220000103
条件下，五种算法的均方根误差与σθi的关系示意图；图7b是在M＝20，
Figure GDA0003632863220000104
σθi＝10deg，
Figure GDA0003632863220000105
条件下，五种算法的均方根误差与
Figure GDA0003632863220000106
的关系示意图。结果表明，所有算法的性能都会随着某一测量指标的质量下降而下降。然而，并不是所有的测量误差对所提算法的性能都有相同的影响。例如，RSS测量的质量对所提算法的影响很小，而AOA测量的质量对其性能的影响较大。但可以看出，在如此大的噪声内，所提算法的性能下降幅度适中，总体上优于现有其他算法。
图8a-8d给出了在两种关联算法下的定位结果对比。图8a是在M＝4～18，
Figure GDA0003632863220000107
σθi＝5deg，
Figure GDA0003632863220000108
条件下，两种关联算法的定位结果对比示意图；图8b是在M＝4～18，
Figure GDA0003632863220000109
σθi＝5deg，
Figure GDA00036328632200001010
条件下，两种关联算法的定位结果对比示意图；图8c是在M＝4-18，
Figure GDA00036328632200001011
σθi＝5deg，
Figure GDA00036328632200001012
条件下，两种关联算法的定位结果对比示意图；图8d是在M＝4～18，
Figure GDA00036328632200001013
σθi＝5deg，
Figure GDA00036328632200001014
条件下，两种关联算法的定位结果对比示意图。从中可以看到，通过增加传感器数量来引入额外信息从而提高了定位性能。无论采用哪种关联算法，最终的定位结果因辐射源数量的增加，性能会略有下降，但定位性能依旧表现出了一致性和稳定性。

Claims (4)

1.一种基于RSS和AOA联合测量的多辐射源无源定位方法，其特征在于包括以下步骤：
步骤1，在无线传感器网络中每个传感器无差别地接收所有辐射源信号，并在本地测量出接收信号的RSS和AOA，计算出传感器到辐射源的单位方向向量；
如下所示，
Figure FDA0003651047790000011
其中，pm＝[pmx，pmy，pmz]T为第m个传感器的三维坐标，qn＝[qnx，qny，qnz]T为第n个辐射源的三维坐标；
Figure FDA0003651047790000012
为第m个传感器与第n个辐射源间的RSS，P0为在参考距离d0处测得的发射功率，γ为在一定范围内变动的路径损耗指数，||qn-pm||为第m个传感器与第n个辐射源间的欧氏距离，
Figure FDA0003651047790000013
为服从零均值高斯分布的RSS测量噪声变量；
Figure FDA0003651047790000014
为第m个传感器处测得第n个辐射源的仰角，
Figure FDA0003651047790000015
为服从零均值高斯分布的仰角测量噪声；
Figure FDA0003651047790000016
为第m个传感器处测得第n个辐射源的方位角，
Figure FDA0003651047790000017
为服从零均值高斯分布的方位角测量噪声；
Figure FDA0003651047790000018
为第m个传感器到第n个辐射源的单位方向向量；
步骤2，所有传感器以协同工作方式将各自位置及其所测数据上报到融合中心；
如下所示，
Figure FDA0003651047790000019
C表示所有传感器在融合中心上报的数据，M为传感器个数，L为到达顺序个数，其中，
Figure FDA00036510477900000111
(1≤m≤M)表示第m个传感器上报的所有数据，
Figure FDA00036510477900000110
表示第m个传感器在第l个到达顺序上报的数据内容；
步骤3，融合中心选择关联算法解决上报数据与对应辐射源的关联问题；关联问题包含两个子问题：测量数据与对应辐射源在空间上的匹配问题和上报数据在融合中心的顺序纠正问题；
如下所示，
Figure FDA0003651047790000021
B表示运行关联算法后重新整理得到的数据，M为传感器个数，N为辐射源个数，
其中，
Figure FDA0003651047790000022
表示第m个传感器对应于第n个辐射源的数据，
bn＝[b1n，b2n，...，bMn]T(1≤n≤N)表示M个传感器对应于第n个辐射源的所有数据；
具体过程如下：
分别运行最小转换距离求和算法和测量序列分类算法，通过重新排列组合C中的数据，形成与C维度一致的B；B的所有元素都来自于C，并且B的每一列表示M个传感器对应于同一辐射源n的测量数据；
步骤4，最小转换距离求和算法：采用基于空间坐标转换的迭代算法对测量数据的最小欧氏距离求和进行优化，解决关联问题中的两个子问题；
步骤5，测量序列分类算法：采用长-短期记忆网络以监督学习的方式对测量数据进行序列分类，解决关联问题中的两个子问题；
步骤6，融合中心完成上报数据与所有辐射源的关联后，利用加权最小二乘法线性化处理定位问题中的非凸性，并估计出所有辐射源的位置。
2.根据权利要求1所述的一种基于RSS和AOA联合测量的多辐射源无源定位方法，其特征在于：步骤4所述的采用基于空间坐标转换的迭代算法对测量数据的最小欧氏距离求和进行优化，如下所示，
Figure FDA0003651047790000031
其中，
Figure FDA0003651047790000032
表示三维空间中的M条方向线，它们在空间中共存在LM-1种可能的分布，
Figure FDA0003651047790000033
f(ki)是关于ki的目标函数，k(opt)为可能性最大的一种分布情况；a1+a2＝1(a1，a2∈[0，1])分别表求和项∑1与求和项∑2的权重；
Figure FDA0003651047790000034
表示沿着
Figure FDA0003651047790000035
和
Figure FDA0003651047790000036
方向的笛卡尔坐标间的欧氏距离，
Figure FDA0003651047790000037
和
Figure FDA0003651047790000038
分别表示两个系数；
具体步骤如下：
5.1编码
将cm进行顺序编码，
Figure FDA00036510477900000310
(1≤m≤M)，因此C为
Figure FDA0003651047790000039
5.2选择与组合
在c1中选择某一辐射源l，并按行列出cm所有的可能组合，定义一个维度为M×LM-1的新矩阵
Figure FDA00036510477900000311
为
Figure FDA0003651047790000041
其中，ki为
Figure FDA0003651047790000046
中的每一列，
Figure FDA0003651047790000042
表示三维空间中的M条方向线，
Figure FDA0003651047790000043
5.3优化
计算(4)式得k(opt)，并用bn代替k(opt)填入B中，直至所有辐射源N都被关联。
3.根据权利要求2所述的一种基于RSS和AOA联合测量的多辐射源无源定位方法，其特征在于：步骤5所述的采用长-短期记忆网络以监督学习的方式对测量数据进行序列分类，具体步骤如下，
6.1加载训练集和训练标签
CXtrain为训练集，包含M×N个测量数据，每个数据是维数为3的可变长度序列，如下所示，
Figure FDA0003651047790000044
其中，
Figure FDA0003651047790000045
是行数固定为3，列数可变的序列；
CYtrain为训练标签，包含M×N个对应CXtrain测量数据的辐射源标签，如下所示，
Figure FDA0003651047790000051
6.2定义长-短期记忆网络架构
指定输入大小为3的序列，用零均值方法对序列进行归一化；定义一个带有100个隐藏单元的LSTM层，并输出序列的最后一个元素；最后，依次通过大小为N的全连接层、softmax层和分类层来输出N个类别；
6.3训练和测试长-短期记忆网络
在训练期间，默认情况下，将训练数据分割成小批次并填充序列，使它们具有相同的长度；过多的填充会对网络性能产生负面影响；指定求解器为“Adam”，梯度阈值为1，最大训练周期数为100；为了减少小批次中的填充量，选择20的批次大小；为了使填充数据具有与最长序列相同的长度，将序列长度指定为“longest”；并且为了确保数据仍然按照序列长度排序，指定不打乱数据顺序；在完成网络训练后，使用已训练好的网络去测试数据CXtest，并得到与之对应的辐射源标签CYtest。
4.根据权利要求3所述的一种基于RSS和AOA联合测量的多辐射源无源定位方法，其特征在于：步骤6所述的利用加权最小二乘法线性化处理定位问题中的非凸性并估计所有辐射源位置，如下所示
Figure FDA0003651047790000052
Figure FDA0003651047790000053
其中x＝[qnx，qny，qnz]T为第n个辐射源的三维坐标；
Figure FDA0003651047790000054
为M个传感器测得第n个辐射源的实际数值，
Figure FDA0003651047790000055
(1≤i≤M)分别表示第n个辐射源的RSS、仰角和方位角；
Figure FDA0003651047790000056
为第n个辐射源的测量噪声；
Figure FDA0003651047790000057
是关于x的函数，表示第n个辐射源的理论数值；
式(10)是非凸的，且不具有闭式解；
具体步骤如下：
7.1坐标转换
将笛卡尔坐标转换为球坐标：
Figure FDA0003651047790000061
其中，
Figure FDA0003651047790000062
表示x沿着由第i个传感器pi定义的方向线
Figure FDA0003651047790000063
上的三维坐标；
Figure FDA0003651047790000064
为从pi到x沿着
Figure FDA0003651047790000065
方向上的投影；
将RSS表示为：
Figure FDA0003651047790000066
其中，
Figure FDA0003651047790000067
分别表示两个系数；
7.2加权最小二乘法
Figure FDA0003651047790000068
其中，
Figure FDA0003651047790000069
为加权系数；
根据加权最小二乘准则，式(13)转换为：
Figure FDA00036510477900000610
其中w＝[w1，w2，...，w4M]T为加权系数集合，W＝diag(w)为关于加权系数集合w的对角阵形式，
Figure FDA00036510477900000611
分别表示两个系数；
7.3输出定位结果
Figure FDA0003651047790000071
其中，
Figure FDA0003651047790000072
为第n个辐射源的三维估计坐标；根据式(15)依次输出所有辐射源的位置。
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