CN110632845B - 基于改进pi模型的压电驱动器迟滞建模及前馈控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于改进PI模型的压电驱动器迟滞建模及前馈控制方法。传统PI模型在描述压电陶瓷驱动器的非对称迟滞曲线时，误差大。本发明基于改进PI模型的迟滞非线性模型设计压电陶瓷驱动器的前馈控制器，把各时刻压电陶瓷驱动器的期望输出位移输入到前馈控制器，并利用迭代关系式进行迭代，求得压电陶瓷驱动器迭代完成后的输入电压，然后将该电压作用于压电陶瓷驱动器上，得到压电陶瓷驱动器在各个时刻对应的实际输出位移。本发明可以改变单个算子在零点处的输出位移，提高模型在零点处的精度；改进PI模型能同时表征对称与非对称的迟滞曲线，基于改进PI模型压电驱动器的前馈控制器可以很好抑制压电陶瓷驱动器的迟滞特性。

Description

基于改进PI模型的压电驱动器迟滞建模及前馈控制方法

技术领域

本发明属于微纳驱动技术领域，具体涉及一种基于改进PI模型的压电驱动器迟滞非线性建模及该压电陶瓷驱动器的前馈控制方法。

背景技术

近年来，随着微电子信息器件制造、微纳制造、超精密加工技术的飞速发展，制造装备对精度的要求越来越高。传统意义上的电机驱动器已无法满足精密运动的苛刻要求，需要采用能直接将电或磁能转换成机械能的智能材料驱动器。压电陶瓷驱动器具有位移分辨率高、频响高、刚度高、体积小、可靠性高等优点，广泛应用于微纳加工装备、精密仪器仪表、原子力显微镜、超精密机床等领域。

压电陶瓷驱动器是利用压电材料的逆压电特性，在输入电压或电流的作用下产生变形，达到机械运动的目的。但压电陶瓷驱动器在输入信号和输出位移之间存在复杂的迟滞非线性，与传统的非线特性相比，迟滞非线性反映了输入与输出信号之间一种特殊非线性关系。这种迟滞非线性关系的存在降低了压电陶瓷驱动器的驱动精度，严重影响了压电陶瓷驱动器的应用。

目前，国内外学者提出了多种迟滞非线性的建模方法，如Prandtl-Ishlinskii模型(俗称PI模型)。但传统PI模型描述零点处的残余位移时精度较差，而且只能用来表征对称性的迟滞曲线，在描述压电陶瓷驱动器的非对称迟滞曲线时，会产生较大误差。除此之外，在设计压电陶瓷驱动器的前馈控制器时，需要迟滞非线性模型的逆模型。该逆模型的精度和求解决定了前馈控制器的补偿精度和复杂程度。

发明内容

本发明针对现有建模方法的局限性，提出一种基于改进PI模型的压电陶瓷驱动器迟滞非线性建模及该压电陶瓷驱动器的前馈控制方法。该建模方法能够同时表征对称与非对称的迟滞曲线，有效提高了模型零点处残余位移的精度。

本发明基于改进PI模型的压电驱动器迟滞非线性模型建模方法，具体如下：

1)将Play算子改进为M-Play算子：

y(t)＝p·max{u(t)-r,min{u(t)+ηr,y(t-T)}}

其中，y(t)为算子在t时刻的输出位移，u(t)为算子在t时刻的输入电压，p为权重系数，r为阈值，T为相邻时刻点输入电压的时间间隔，η为阈值修正系数，max为求最大值，min为求最小值。

2)将PI模型改进为PMPI模型，即基于改进PI模型的压电驱动器迟滞非线性模型；所述的PMPI模型如下：

其中，y₀为压电陶瓷驱动器的初始位移，即压电陶瓷驱动器在0时刻的输出位移Y(0)，Y(t)为压电陶瓷驱动器在t时刻的输出位移，p₀为线性系数，p_i为第i个算子的权重系数，r_i为第i个算子的阈值，η_i为第i个算子的阈值修正系数，a₁和a₂均为非线性系数，n为算子的总个数，y_i(t-T)为第i个算子在t-T时刻的输出位移。

本发明基于改进PI模型的压电驱动器的前馈控制方法，具体如下：

设计压电陶瓷驱动器的前馈控制器表达式为：

当相邻时刻点输入电压的时间间隔T很小时，由于u_d(t)与u_d(t-T)接近相等，因此，将前馈控制器表达式等式右边的u_d(t)用u_d(t-T)代替，并设置u_d(0)＝0，进而得到t时刻与t-T时刻电压的迭代关系为：

其中，y_d(t)为压电陶瓷驱动器的期望输出位移，u_d(t)为在t时刻时根据压电陶瓷驱动器期望输出位移得到的压电陶瓷驱动器输入电压，u_d(t-T)为在(t-T)时刻时根据压电陶瓷驱动器期望输出位移得到的压电陶瓷驱动器输入电压；非线性多项式部分

为除去非线性多项式部分的解析逆模型的函数符号，除去非线性多项式部分的解析逆模型记作

若记y′_d(t)＝y_d(t)-P[u_d](t-T)，则

的计算公式如下：

其中，

为y′_d(t)代入除去多项式部分的解析逆模型

中的函数符号表达，

为除去多项式部分的解析逆模型的线性系数，

为除去多项式部分的解析逆模型中第i个算子的权重系数，

为除去多项式部分的解析逆模型中第i个算子的阈值，y′_d(t-T)＝y_d(t-T)-P[u_d](t-2T)。

把各时刻压电陶瓷驱动器的期望输出位移输入到前馈控制器，并利用公式(1)的迭代关系式进行迭代，直到迭代次数等于采样点数，求得压电陶瓷驱动器在各个时刻的输入电压，然后将各个时刻的输入电压作用于压电陶瓷驱动器上，得到压电陶瓷驱动器在各个时刻对应的实际输出位移。

本发明具有的有益效果：

1、本发明所提出的改进PI模型，相比于传统PI模型，引入参数η和非线性多项式a₁u³(t)+a₂u²(t)；通过参数η可以改变单个算子在零点处的输出位移，从而提高整个模型在零点处的精度；而非线性多项式a₁u³(t)+a₂u²(t)的引入弥补了传统PI模型只能表征对称迟滞曲线的缺陷，改进PI模型能够同时表征对称与非对称的迟滞曲线。改进后的PI模型相比传统PI模型，其精度有了显著提高。

2、本发明通过迭代的方式求解改进模型的逆模型，解决了多项式引入而不能求得其解析逆模型的难题，并将该逆模型运用于前馈控制器中，该控制器可以很好地抑制压电陶瓷驱动器的迟滞特性。

附图说明

图1是传统的Play算子示意图；

图2是本发明中M-Play算子在不同η值下的示意图；

图3是本发明中前馈控制器的结构示意图；

图4是传统的PI模型与本发明中PMPI模型的拟合效果图；

图5是传统的PI模型与本发明中PMPI模型拟合误差图；

图6是通过本发明控制方法得到的复杂衰减三角波实际位移与预期位移信号对比效果图；

图7是通过本发明控制方法得到的复杂衰减三角波实际位移与预期位移信号误差图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步说明。

如图1所示，传统的Play算子(简称C-Play算子)为

y(t)＝p·max{u(t)-r,min{u(t)+r,y(t-T)}}

其中，y(t)为算子在t时刻的输出位移，u(t)为算子在t时刻的输入电压，p为权重系数，r为阈值，T为相邻时刻点输入电压的时间间隔，max为求最大值，min为求最小值。

传统的PI模型(简称CPI模型)为：

其中，y₀为压电陶瓷驱动器的初始位移，即压电陶瓷驱动器在0时刻的位移Y(0)，Y(t)为压电陶瓷驱动器在t时刻的输出位移，p₀为线性系数，p_i为第i个算子的权重系数，r_i为第i个算子的阈值，n为算子的总个数，y_i(t-T)为第i个算子在t-T时刻的输出位移。

本发明基于改进PI模型的压电驱动器迟滞非线性模型建模方法，具体如下：

1)如图2所示，将Play算子改进为M-Play算子：

y(t)＝p·max{u(t)-r,min{u(t)+ηr,y(t-T)}}

其中，y(t)为算子在t时刻的输出位移，u(t)为算子在t时刻的输入电压，p为权重系数，r为阈值，T为相邻时刻点输入电压的时间间隔，η为阈值修正系数，max为求最大值，min为求最小值。

2)将PI模型改进为PMPI模型：

其中，y₀为压电陶瓷驱动器的初始位移，即压电陶瓷驱动器在0时刻的输出位移Y(0)，Y(t)为压电陶瓷驱动器在t时刻的输出位移，p₀为线性系数，p_i为第i个算子的权重系数，r_i为第i个算子的阈值，η_i为第i个算子的阈值修正系数，a₁和a₂均为非线性系数，n为算子的总个数，y_i(t-T)为第i个算子在t-T时刻的输出位移。

相比传统的PI模型，PMPI模型引入参数η和非线性多项式a₁u³(t)+a₂u²(t)。从图2可见，通过参数η可以改变单个算子在零点处的输出位移，从而提高整个模型在零点处的精度；而非线性多项式a₁u³(t)+a₂u²(t)的引入弥补了传统PI模型只能表征对称迟滞曲线的缺陷。

如图3所示，基于改进PI模型的压电驱动器的前馈控制方法，具体如下：

由于非线性多项式a₁u³(t)+a₂u²(t)的存在，PMPI模型不存在解析逆模型，其逆模型只能通过迭代方式求解，故设计压电陶瓷驱动器的前馈控制器表达式为：

当相邻时刻点输入电压的时间间隔T很小时，由于u_d(t)与u_d(t-T)接近相等，因此，将前馈控制器表达式等式右边的u_d(t)用u_d(t-T)代替，并设置u_d(0)＝0，进而得到t时刻与t-T时刻电压的迭代关系为：

其中，y_d(t)为压电陶瓷驱动器的期望输出位移，u_d(t)为在t时刻时根据压电陶瓷驱动器期望输出位移得到的压电陶瓷驱动器输入电压，u_d(t-T)为在(t-T)时刻时根据压电陶瓷驱动器期望输出位移得到的压电陶瓷驱动器输入电压；非线性多项式部分

为除去非线性多项式部分的解析逆模型的函数符号，除去非线性多项式部分的解析逆模型记作

压电陶瓷驱动器的前馈控制器结构如图3所示，图3中，[P]表示非线性多项式部分P[u_d](t-T)，[MPI]^-1表示除去多项式部分的解析逆模型，y(t)为压电陶瓷驱动器的实际输出位移。若记y′_d(t)＝y_d(t)-P[u_d](t-T)，则

的计算公式如下：

其中，

为y′_d(t)代入除去多项式部分的解析逆模型

中的函数符号表达，

为除去多项式部分的解析逆模型的线性系数，

为除去多项式部分的解析逆模型中第i个算子的权重系数，

为除去多项式部分的解析逆模型中第i个算子的阈值，y′_d(t-T)＝y_d(t-T)-P[u_d](t-2T)。

把各时刻压电陶瓷驱动器的期望输出位移输入到前馈控制器，并利用公式(1)的迭代关系式进行迭代，直到迭代次数等于采样的时刻点总数，求得各个时刻的输入电压，然后将各个时刻的输入电压作用于压电陶瓷驱动器上，得到压电陶瓷驱动器在各个时刻对应的实际输出位移。本发明实现了压电陶瓷驱动器的实际输出位移与期望输出位移基本等值。

下面给出PMPI模型的一组具体参数值如下：如图5所示，采样点取2000个，每个采样点对应一个t时刻；设定y₀＝0，p₀＝4.770，T＝0.001s，第i个算子的阈值为r_i＝(i-1)；通过差分进化算法(或采用最小二乘法、神经网络算法等其它参数辨识方法)辨识得到a₁、a₂以及第i个算子的阈值修正系数η_i和权重系数p_i如表1所示：

表1

另外，给出传统PI模型所需的参数值如表2所示：

表2

表2中，权重系数p_i也是通过差分进化算法辨识得到。

如图4所示，实验数据为给定的一组电压数据与其对应的压电陶瓷驱动器实际输出位移数据的关系曲线；由图4可见，在与实验数据同样的一组电压数据下，基于上述给定具体参数值的PMPI模型得到的输出位移与基于上述给定具体参数值的传统PI模型得到的输出位移相比，更接近于压电陶瓷驱动器实际输出位移；由图5可见，基于本发明PMPI模型的输出位移与压电陶瓷驱动器实际输出位移的误差随采样点位置变化曲线的波动小于基于传统PI模型的输出位移与压电陶瓷驱动器实际输出位移的误差随采样点位置变化曲线的波动；因此，本发明PMPI模型的输出位移相比传统PI模型的输出位移，更贴近电陶瓷驱动器的实际输出位移。

如图6所示，设计出基于PMPI模型的压电驱动器的前馈控制器，把各时刻压电陶瓷驱动器的期望输出位移输入到前馈控制器，并利用公式(1)的迭代关系式进行迭代，直到迭代次数等于采样点数2000时，求得压电陶瓷驱动器在各个时刻的输入电压，然后将各个时刻的输入电压作用于压电陶瓷驱动器上，得到压电陶瓷驱动器在各个时刻对应的实际输出位移；由图6可见，基于本发明PMPI模型的压电陶瓷驱动器的实际输出位移随不同时刻变化曲线与压电陶瓷驱动器期望输出位移随不同时刻变化曲线非常接近；由图7可见，基于本发明PMPI模型的压电陶瓷驱动器的实际输出位与压电陶瓷驱动器期望输出位移的误差随不同时刻变化曲线波动很小。因此，可以看出，本发明通过迭代的方式求解PMPI模型的逆模型，并将该逆模型运用于前馈控制器中，使得得到的前馈控制器可以很好地抑制压电陶瓷驱动器的迟滞特性。

Claims (1)

1.基于改进PI模型的压电驱动器迟滞非线性模型建模方法，其特征在于：该方法具体如下：

1)将Play算子改进为M-Play算子：

y(t)＝p·max{u(t)-r,min{u(t)+ηr,y(t-T)}}

其中，y(t)为算子在t时刻的输出位移，u(t)为算子在t时刻的输入电压，p为权重系数，r为阈值，T为相邻时刻点输入电压的时间间隔，η为阈值修正系数，max为求最大值，min为求最小值；

2)将PI模型改进为PMPI模型，即基于改进PI模型的压电驱动器迟滞非线性模型；所述的PMPI模型如下：

其中，y₀为压电陶瓷驱动器的初始位移，即压电陶瓷驱动器在0时刻的输出位移Y(0)，Y(t)为压电陶瓷驱动器在t时刻的输出位移，p₀为线性系数，p_i为第i个算子的权重系数，r_i为第i个算子的阈值，η_i为第i个算子的阈值修正系数，a₁和a₂均为非线性系数，n为算子的总个数，y_i(t-T)为第i个算子在t-T时刻的输出位移；

由于非线性多项式a₁u³(t)+a₂u²(t)的存在，PMPI模型不存在解

析逆模型，其逆模型只能通过迭代方式求解，故设计压电陶瓷驱

动器的前馈控制器表达式为：

将前馈控制器表达式等式右边的u_d(t)用u_d(t-T)代替，并设置u_d(0)＝0，进而得到t时刻与t-T时刻电压的迭代关系为：

其中，y_d(t)为压电陶瓷驱动器的期望输出位移，u_d(t)为在t时刻时根据压电陶瓷驱动器期望输出位移得到的压电陶瓷驱动器输入电压，u_d(t-T)为在(t-T)时刻时根据压电陶瓷驱动器期望输出位移得到的压电陶瓷驱动器输入电压；非线性多项式部分

为除去非线性多项式部分的解析逆模型的函数符号，除去非线性多项式部分的解析逆模型记作

若记y′_d(t)＝y_d(t)-P[u_d](t-T)，则

的计算公式如下：

其中，

为y′_d(t)代入除去多项式部分的解析逆模型

中的函数符号表达，

为除去多项式部分的解析逆模型的线性系数，

为除去多项式部分的解析逆模型中第i个算子的权重系数，

为除去多项式部分的解析逆模型中第i个算子的阈值，y′_d(t-T)＝y_d(t-T)-P[u_d](t-2T)；

把各时刻压电陶瓷驱动器的期望输出位移输入到前馈控制器，并利用公式(1)的迭代关系式进行迭代，直到迭代次数等于采样的时刻点总数，求得压电陶瓷驱动器在各个时刻的输入电压，然后将各个时刻的输入电压作用于压电陶瓷驱动器上，得到压电陶瓷驱动器在各个时刻对应的实际输出位移。

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