CN110580383A - 一种分组拓扑径向受载圆环应力叠加的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种分组拓扑径向受载圆环应力叠加的方法，包括以下步骤：针对径向受载圆环的应力分布，在圆环的微段上利用截面法建立静力学模型；通过静力学模型计算单个径向集中力作用下圆环的切向应力和径向应力的分布函数；利用叠加法，得到分组拓扑径向受载圆环的切向应力以及径向应力的分布函数。与现有方法相比，本发明具有创新、高效、准确和普适等特征，根据该方法可研究径向集中力分布与应力分布之间的关系。

Description

一种分组拓扑径向受载圆环应力叠加的方法

技术领域

本发明涉及材料力学应力分布领域，尤其涉及一种分组拓扑径向受载圆环应力叠加的方法。

背景技术

环状结构在基础设施建设、工业发展以及国防建设等众多领域中有着广泛的应用，如齿轮齿圈、静止或者行驶中的汽车或者飞机的轮毂、永磁电机的定转子以及飞机上的陀螺仪等。汽车或者飞机的轮毂在静止或者行驶的过程中，轮胎与地面接触，在接触的位置有一个径向集中力施加在轮毂上，轮毂可以看成圆环结构，径向集中力的大小可以影响轮毂的应力分布，当应力超过轮毂材料的许用应力时，轮毂将发生破坏，而径向集中力的大小与汽车或者飞机的载重是有关系的，所以，研究圆环的应力分布，可以在轮毂的设计阶段进行指导。当永磁电机以及超声电机转子旋转时，由于转子不是标准的圆环结构，在转子上会有凹槽，凹槽之间的结构，可以看成圆环上附加的质点，当转子旋转时，附加的质点会产生离心力，转子的转速越高，圆环上附加质点的离心力就越大，转子上的应力分布会随之改变，所以，研究圆环的应力分布，可以在设计阶段对转子凹槽的位置以及大小进行指导。

文献(G.D.Lee and G.T.Kim.The equilibrium design of radial magneticforce for reduction of vibration in IPM type BLDC motor.J Electr Eng Technol,2016,11(2):377-382)研究了齿槽转矩和径向磁力不平衡对IPM(Intelligent PowerModule智能功率模块)型无刷直流电动机振动的影响。振动试验结果表明，径向磁力的不平衡对振动影响显著。

文献(F.Lin,S.G.Zuo,W.Z.Deng,S.L.Wu.Reduction of vibration andacoustic noise in permanent magnet synchronous motor by optimizing magneticforces.J.Sound Vib,2018,429:193-205)提出通过调整开槽宽度和磁铁形状来降低永磁同步电动机电磁振动的方法。

目前，很多环状周期结构的动力学研究，在考虑圆环的应力分布时，均按照标准圆环的应力应变假设来求解圆环的势能，由于圆环应力分布分析技术的局限性，特别需要一种在径向集中力作用下圆环应力分布的分析方法。

发明内容

本发明提供了一种分组拓扑径向受载圆环应力叠加的方法，本发明针对径向受载圆环的应力分布问题，在圆环的微段上利用截面法建立静力学模型，采用叠加法来计算分组拓扑径向受载圆环的应力分布，使所得结果更好地满足工程实际的需求，详见下文描述：

一种分组拓扑径向受载圆环应力叠加的方法，所述方法包括以下步骤：

针对径向受载圆环的应力分布，在圆环的微段上利用截面法建立静力学模型；

通过静力学模型计算单个径向集中力作用下圆环的切向应力和径向应力的分布函数；

利用叠加法，得到分组拓扑径向受载圆环的切向应力以及径向应力的分布函数。

其中，所述静力学模型具体为：

式中，θ为圆环上某质点的角度，F_ff为虚拟支撑力，F_sf为径向内力，F_tf为切向内力，M_bm为弯矩。

其中，所述单个径向集中力作用下圆环的切向应力和径向应力的分布函数具体为：

式中，F_tfθ为切向应力，F_sfr为径向应力，F_ef为径向集中力，A＝bh为圆环的截面面积，h是径向厚度，b是轴向厚度。

所述分组拓扑径向受载圆环的切向应力以及径向应力的分布函数具体为：

式中，N₁为径向集中力的组数，N₂为每组径向集中力的个数，θ_i1,j1是第i₁组中第j₁个径向集中力的位置角。

本发明提供的技术方案的有益效果是：

1、本发明利用截面法在圆环的微段上建立静力学模型，求解单个径向集中力作用下圆环的应力分布；

2、本发明采用叠加法求解分组拓扑径向受载圆环的应力分布；

3、与现有方法相比，本发明具有创新、高效、准确和普适等特征，根据该方法可研究径向集中力分布与应力分布之间的关系。

附图说明

图1为本发明提供的力的分布示意图；

其中，(a)为单个径向力作用下圆环上力的分布示意图；(b)为单个径向力作用下圆环微段上力的分布示意图。

图2为本发明提供的旋转θ_k角的单个径向力作用下整环上力的分布示意图；

图3为本发明提供的单个径向力作用下圆环的切向和径向应力大小及其分布的示意图；

其中，(a)为单个径向集中力作用下圆环的切向和径向应力分布的示意图；(b)为单个径向集中力作用下圆环的切向和径向应力大小的示意图；(c)为旋转θ_k角的单个径向集中力作用下圆环的切向和径向应力分布的示意图。

图4为本发明提供的分组拓扑径向受载圆环上力的分布示意图。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面对本发明实施方式作进一步地详细描述。

本发明实施例提出了一种适用性较强的专门针对分组拓扑径向受载圆环应力叠加的方法。首先在圆环的微段上建立单个径向集中力作用下圆环的静力学模型，得到受载圆环的各内力分布，根据材料力学中内力和应力的关系，求出圆环在单个径向集中力作用下圆环的应力分布，然后采用叠加法来计算分组拓扑径向受载圆环的应力分布。本方法也可用于齿圈、旋转电机的定转子以及微器件中的环形构件等典型周期结构的应力分布的求解。

圆环受分组拓扑径向集中力的作用；该应力分布的叠加方法的基本特征在于：采用应力叠加法实现圆环的应力分布求解，具体步骤为：

(1)利用截面法，在圆环的微段上根据力和力矩平衡原理建立单个径向集中力作用下圆环的静力学模型：

式中，θ为圆环上某质点的角度，F_ff为虚拟支撑力，F_sf为径向内力，F_tf为切向内力，M_bm为弯矩，R为半径。

图1为单个径向集中力作用下圆环及微段上力的分布图。如图1(a)所示，圆环中性圆的半径是R，径向厚度是h，轴向厚度是b。圆环在θ＝0处受一个径向集中力F_ef的作用，方向向左。在圆环的一周，分布着均匀的虚拟支撑，虚拟支撑产生虚拟力F_ff，方向向右。圆环在一个集中力以及均布的虚拟力的作用下维持平衡。为了研究圆环在单个径向集中力作用下的应力分布，在圆环θ(θ∈(0,2π))处截取dθ的微段，采用截面法对微段进行受力分析，如图1(b)所示，O和O′分别是圆环的几何中心和微段的中点。

(2)由于研究的是圆环的微段，dθ为微量，利用极限的思想，因此，含有微量的三角函数可以化简为：

(3)将式(4)-(7)代入式(1)-(3)中，化简可得：

dM_bm＝RF_sfdθ (10)

(4)求径向内力的通解

由式(8)和(9)可得径向内力F_sf与径向集中力F_ef的关系：

式(11)是径向内力的二阶非齐次微分方程，由式(11)可得特征方程：

λ_sf ²+1＝0 (12)

式中，λ_sf是特征方程的特征值，解之得λ_sf1,2＝±i，i为虚数单位。

为了求解微分方程的通解，设该微分方程的一个特解为：

F_sf ^*＝θ(a₁cosθ+b₁sinθ) (13)

式中，a₁和b₁为实数。

将式(13)代入式(11)中，化简可得：

由待定系数法可得a₁和b₁分别为：

b₁＝0 (16)

因此，微分方程的特解为：

由特征方程得到的特征值以及微分方程的一个特解，可得径向内力的通解为：

式中，c₁和c₂为实数。

(5)求切向内力及弯矩的通解

由式(8)、(10)和(18)可得：

式中，c₃为实数。

(6)求径向变形的通解

对于小曲率圆环，由材料力学的知识可知弯矩与径向变形的关系是：

式中，v为圆环的径向变形，E和I分别为圆环的弹性模量和转动惯量。

由式(10)、(11)和(21)可得径向变形的五阶非齐次微分方程：

由式(22)可得特征方程为：

λ_v ⁵+2λ_v ³+λ_v＝0 (23)

解之得λ_v1＝0,λ_v2,3＝±i,λ_v4,5＝±i，i为虚数单位。

为了求解微分方程的通解，设该微分方程的一个特解为：

v^*＝θ²(a₂cosθ+b₂sinθ) (24)

式中，a₂和b₂为实数。

将式(24)代入式(22)中，化简可得：

由待定系数法可得a₂和b₂分别为：

b₂＝0 (27)

因此，微分方程的特解为：

由特征方程得到的特征值以及微分方程的一个特解，可得径向变形的通解为：

式中，a_v1～a_v5均为实数。

(7)利用边界条件求各通解的系数

由材料力学知识可知，对于小曲率圆环，任意截面上的转角为：

取圆环θ＝0处的截面分析，径向内力为：

由式(18)和(31)解得：

圆环在θ＝0和θ＝π处的转角均为零，由式(30)可知：

由式(20)、(21)和(29)可知：

由式(32)、(33)和(34)可知：

对于小曲率圆环，由无延展假设可知，圆环在(0,π)上的切向变形量u＝0，由式(29)和(35a,b)可知：

由式(34c)和(36)可知：

圆环在θ＝0处，径向变形为0，由式(25)可知：

a_v2＝-a_v1 (38)

因此，受单个径向集中力时，圆环的径向内力、切向内力、弯矩以及径向变形分别为：

由材料力学中内力与应力的关系及式(39)-(40)可知，圆环的切向应力和径向应力分别为：

式中，A为圆环的截面面积。

(8)应力的叠加

如图2所示，圆环在θ＝θ_k处受一个径向集中力F_ef的作用，在圆环的一周分布着与集中力相平衡的虚拟力，与图1(a)相比，径向力和虚拟力的大小分别相等，方向分别旋转θ_k角。

图3(a)是在单个径向集中力作用下圆环的切向应力和径向应力的分布图，其大小如图3(b)所示。图3(c)是由图3(a)旋转θ_k角之后得到的切向应力和径向应力的分布图。

由于在单个径向集中力的作用下，圆环的切向应力和径向应力的周期为2π，设式(43)和(44)的傅里叶级数展开式为：

式中，和分别为：

由将式(47)-(49)化简并代入式(45)可得：

由将式(50)-(52)化简并代入式(46)可得：

径向集中力旋转θ_k角之后，圆环的切向应力和径向应力的分布也应该旋转相同的角度，即：

式中，θ_k为第一个集中力旋转到第k个集中力时的旋转角。

如图4所示，圆环的一周受到N个径向集中力的作用，这N个径向集中力采用分组拓扑的布置形式，径向集中力被分为N₁组，如图G_i1(i₁＝1,2,...N₁)所示，每组N₂个，如图L_i1,j1(i₁＝1,2,...N₁,j₁＝1,2,...N₂)所示。θ_i1,j1描述的是第i₁组中第j₁个径向集中力的位置角，θ_i1,j1＝2π(i₁-1)/N₁+(j₁-1)α，α是同组内相邻两个径向集中力之间的夹角。利用叠加法，当圆环受到N个径向集中力作用时，设第一个径向集中力作用在θ＝0处，圆环的切向应力和径向应力分别为：

综上所述，本发明实施例提供了一种分组拓扑径向受载圆环应力叠加的方法。该方法在圆环的微段上建立静力学模型，采用截面法得到单个径向集中力作用下圆环的内力，根据内力与应力之间的关系求出圆环的应力分布，利用叠加法,得到分组拓扑径向受载圆环的应力分布，显著提高了圆环应力计算的准确性、效率以及普适性，更好地满足了工程实际的需求。

本领域技术人员可以理解附图只是一个优选实施例的示意图，上述本发明实施例序号仅仅为了描述，不代表实施例的优劣。

以上所述仅为本发明的较佳实施例，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种分组拓扑径向受载圆环应力叠加的方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：

针对径向受载圆环的应力分布，在圆环的微段上利用截面法建立静力学模型；

通过静力学模型计算单个径向集中力作用下圆环的切向应力和径向应力的分布函数；

利用叠加法，得到分组拓扑径向受载圆环的切向应力以及径向应力的分布函数。

2.根据权利要求1所述的一种分组拓扑径向受载圆环应力叠加的方法，其特征在于，所述静力学模型具体为：

式中，θ为圆环上某质点的角度，F_ff为虚拟支撑力，F_sf为径向内力，F_tf为切向内力，M_bm为弯矩。

3.根据权利要求2所述的一种分组拓扑径向受载圆环应力叠加的方法，其特征在于，所述单个径向集中力作用下圆环的切向应力和径向应力的分布函数具体为：

式中，F_tfθ为切向应力，F_sfr为径向应力，F_ef为径向集中力，A＝bh为圆环的截面面积，h是径向厚度，b是轴向厚度。

4.根据权利要求3所述的一种分组拓扑径向受载圆环应力叠加的方法，其特征在于，所述分组拓扑径向受载圆环的切向应力以及径向应力的分布函数具体为：

式中，N₁为径向集中力的组数，N₂为每组径向集中力的个数，θ_i1,j1是第i₁组中第j₁个径向集中力的位置角。