CN110543703B - 一种考虑不同时间尺度的准谐振变换器建模分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑不同时间尺度的准谐振变换器建模分析方法，该方法是根据准谐振变换器具有多时间尺度的特点，按照时间常数的不同将准谐振变换器网络划分成谐振单元电路和滤波单元电路，相应地将准谐振变换器的状态变量分为谐振状态变量和滤波状态变量，并建立其相对应的非线性数学模型，把高阶准谐振变换器状态变量转化为具有不同时间尺度的低阶状态变量的求解，利用等效小参量方法求解状态变量的直流分量与各次谐波分量，然后合并得到其近似解析解的表达式。本发明考虑了准谐振变换器具有不同时间尺度的特点，能够较快速准确地获得准谐振变换器状态变量的解。

Description

一种考虑不同时间尺度的准谐振变换器建模分析方法

技术领域

本发明涉及准谐振开关变换器的建模与分析的技术领域，尤其是指一种考虑不同时间尺度的准谐振变换器建模分析方法。

背景技术

随着电力电子技术的快速发展，大容量电力电子系统和大规模可再生能源发电装备得到了进一步的升级。为了减小电力电子器件的尺寸和重量，减少开关元件的损耗，软开关技术被广泛应用于上述的电力电子系统中。准谐振开关变换器作为软开关技术中的一种常见的应用，有其自身的特点和应用场合，值得深入地研究。

过去针对开关变换器常用的建模与分析方法有：离散映射模型、基于状态空间平均法或者广义状态空间平均法的模型、基于KBM渐进法的模型和基于等效小参量法的模型。这些方法在对分析对象进行建模时，都是使用同一个时间尺度进行的，但是通过对准谐振变换器的分析能够知道，加入了谐振元件使得电路阶数升高，具有不同时间尺度的特点，这就需要考虑不同时间尺度的影响对准谐振变换器建立相应的模型。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的缺点与不足，提出了一种考虑不同时间尺度的准谐振变换器建模分析方法，考虑了准谐振变换器具有不同时间尺度的特点，能够较快速准确地获得准谐振变换器状态变量的解。

为实现上述目的，本发明所提供的技术方案为：一种考虑不同时间尺度的准谐振变换器建模分析方法，该方法是根据准谐振变换器具有多时间尺度的特点，按照时间常数的不同将准谐振变换器网络划分成谐振单元电路和滤波单元电路，相应地将准谐振变换器的状态变量分为谐振状态变量和滤波状态变量，并建立其相对应的非线性数学模型，把高阶准谐振变换器状态变量转化为具有不同时间尺度的低阶状态变量的求解，利用等效小参量方法求解状态变量的直流分量与各次谐波分量，然后合并得到其近似解析解的表达式；其包括以下步骤：

S1、根据准谐振变换器具有的不同时间尺度划分单元电路

依据谐振元件与滤波元件对应的时间常数不同，将准谐振变换器划分为谐振单元电路和滤波单元电路；

S2、建立准谐振变换器各单元电路的非线性数学模型；

S3、利用等效小参量法建立准谐振变换器的等效数学模型；

S4、利用谐波平衡法求准谐振变换器各单元电路状态变量的解析解

步骤S3的等效数学模型为一组迭代方程，其中每个方程都有确定的频率集，故能利用谐波平衡法逐次求解；

S5、获取准谐振变换器各单元电路状态变量的近似解析解。

在步骤S1中，根据准谐振变换器具有的不同时间尺度划分单元电路过程如下：

根据准谐振变换器的元件组成，划分谐振单元电路和滤波单元电路；谐振单元电路包括谐振电感和谐振电容、开关管以及二极管，谐振电感电流和谐振电容电压在一个开关周期内变化相对快，对应的时间常数小，且在某些工作状态下其值为零；滤波单元电路的元件包括构成低通滤波器的滤波电感和滤波电容，其对应的时间常数是谐振单元电路时间常数的k倍，k>1。

在步骤S2中，建立准谐振变换器各单元电路的非线性数学模型，包括以下步骤：

S21、以谐振单元电路中的谐振电感电流和谐振电容电压为待求状态变量，列写谐振单元电路对应的微分方程组如式(1)；以滤波单元电路中的滤波电感电流和滤波电容电压为待求状态变量，写出对应的微分方程组如式(2)：

其中，x_H＝[i_Lr,v_Cr]^Tr表示谐振单元电路的状态变量向量，x_L＝[i_Lf,v_o]^Tr表示滤波单元电路的状态变量向量，上标Tr表示矩阵的转置，i_Lr表示谐振电感电流，v_Cr表示谐振电容电压，i_Lf表示滤波电感电流，v_o表示滤波电容电压；v_in表示输入电压向量，P_H,Q_H,S_H和P_L,Q_L,S_L分别表示谐振单元电路和滤波单元电路的系数矩阵；

S22、滤波电感电流与输入电压组成新的向量W₁＝[i_Lf,E]^Tr，E为输入电压；由此整理式(1)得到如下形式：

其中，l表示在一个开关周期中变换器的工作模态数，n表示变换器所处的工作模态标号，n＝1,2,…,l；G_H0是包含微分算子p＝d/dt的系数矩阵，G_Hn和G_sHn为第n模态与电路参数相关的系数矩阵；

和

为非线性函数，δ⁽ⁿ⁾为表征变换器开关通断状态的开关函数，当变换器处于第n工作模态时δ⁽ⁿ⁾＝1，处于其它工作模态时δ⁽ⁿ⁾＝0；

谐振电容电压与输入电压组成新的向量W₂＝[v_Cr,E]^Tr，由此整理式(2)得到如下形式：

G_L0是包含微分算子p＝d/dt的系数矩阵，G_Ln和G_sLn是第n模态与电路参数相关的系数矩阵；f_L ⁽ⁿ⁾＝δ⁽ⁿ⁾·x_L和

为非线性函数；

在步骤S3中，利用等效小参量法建立准谐振变换器等效数学模型，包括以下步骤：

S31、将步骤S2模型中的开关函数δ⁽ⁿ⁾、状态变量x以及非线性函数f⁽ⁿ⁾＝δ⁽ⁿ⁾·x展开成幂级数的形式，

其中，在谐振单元电路中x指谐振状态变量x_H，在滤波单元电路中x指滤波状态变量x_L；在谐振单元电路中f⁽ⁿ⁾指非线性函数

在滤波单元电路中f⁽ⁿ⁾指非线性函数f_L ⁽ⁿ⁾；

表示开关函数的主振荡分量，

表示开关函数的第i阶分量，上标和下标中的i为整数，i＝1,2,3,..,N，N表示展开形式的前有限项，ε是引入的一个小量标记；同理，x展开为

其中x₀表示状态变量的主振荡分量，x_i表示状态变量的第i阶分量；f⁽ⁿ⁾展开为

其中f₀ ⁽ⁿ⁾表示非线性函数的主振荡分量，

表示非线性函数的第i阶分量；

S32、把非线性函数写成形式

其中

中包含与x_j具有相同频率成分的项记为主项

其余与x_j具有不同频率的剩余成分的项记为余项

j＝0,1,2,3,..,N；

S33、把开关函数δ⁽ⁿ⁾、状态变量x以及非线性函数f⁽ⁿ⁾展开得到的幂级数形式代入式(3)中，令等号两边小量标记ε具有相同幂次的项相等，能够得到准谐振变换器谐振单元电路的等效数学模型如下：

其中，x_H0，x_H1，x_H2，…，x_HN为谐振状态变量展开成幂级数形式的各项，

为谐振单元电路对应非线性函数展开成幂级数形式的主项；

为谐振单元电路对应非线性函数展开成幂级数形式的余项；

S34、同样地，把开关函数δ⁽ⁿ⁾、状态变量x以及非线性函数f⁽ⁿ⁾展开得到的幂级数形式分别代入式(4)中，令等号两边小量标记ε具有相同幂次的项相等，能够得到准谐振变换器滤波单元电路的等效数学模型如下：

其中，x_L0，x_L1，x_L2，…，x_LN为滤波状态变量展开成幂级数形式的各项，

为滤波单元电路对应非线性函数展开成幂级数形式的主项，

为滤波单元电路对应非线性函数展开成幂级数形式的余项；

在步骤S4中，利用谐波平衡法求准谐振变换器单元电路状态变量的解析解，包括以下步骤：

S41、求解谐振单元电路状态变量和滤波单元电路状态变量的稳态周期解：把状态变量x和开关函数δ⁽ⁿ⁾表示成傅里叶级数的形式，然后代入式(5)和(6)中，能够得到一系列方程组，根据谐波平衡法依次求解得出主振荡分量、一阶修正量、二阶修正量如下所示：

其中，x_H-steady＝[i_Lr-steady,v_Cr-steady]^Tr表示谐振单元电路的状态变量的稳态解，x_L-steady＝[i_Lf-steady,v_o-steady]^Tr表示滤波单元电路的状态变量的稳态解；τ₁＝ω₁t，τ₂＝ω₂t分别代表谐振单元电路和滤波单元电路的归一化时间；ω₁＝2πf₁，ω₂＝2πf₂分别为谐振单元电路和滤波单元电路的角频率；a_H0，a_H1，…，a_HN表示谐振状态变量各分量的系数；a_L0，a_L1，…，a_LN表示滤波状态变量分量的系数，c.c表示共轭复数；

S42、求解谐振单元电路和滤波单元电路状态变量的瞬态解：步骤S41中代入傅里叶级数展开式后得到的方程为线性微分方程组，能够直接求解，依次求出零阶瞬态近似解、一阶瞬态近似解；然后将求得的瞬态近似解的直流部分用步骤S41求得的稳态周期解替代就得到了完整的瞬态解如下：

公式(9)中，i_Lr表示谐振电感电流的完整瞬态解，i_Lr-steady表示谐振电感电流的稳态解；i_Lr-trans0，i_Lr-trans1，…，i_Lr-transN表示谐振电感电流的零阶瞬态近似解，一阶瞬态近似解，…，N阶瞬态近似解；α_H00，…，α_H0N，β_H00，…，β_H0N，γ_H00，…，γ_H0N，p_H00，…，p_H0N和q_H00，…，q_H0N均为谐振电感电流瞬态近似解的系数；公式(10)中，v_Cr表示谐振电容电压的完整瞬态解，v_Cr-steady表示谐振电容电压的稳态解；v_Cr-trans0，v_Cr-trans1，…，v_Cr-transN表示谐振电容电压的零阶瞬态近似解，一阶瞬态近似解，…，N阶瞬态近似解；α_H10，…，α_H1N，β_H10，…，β_H1N，γ_H10，…，γ_H1N，p_H10，…，p_H1N和q_H10，…，q_H1N均为谐振电容电压瞬态近似解的系数；公式(11)中，i_Lf表示滤波电感电流的完整瞬态解，i_Lf-steady表示滤波电感电流的稳态解；i_Lf-trans0，i_Lf-trans1，…，i_Lf-transN表示滤波电感电流的零阶瞬态近似解，一阶瞬态近似解，…，N阶瞬态近似解；α_L00，…，α_L0N，β_L00，…，β_L0N，γ_L00，…，γ_L0N，p_L00，…，p_L0N和q_L00，…，q_L0N均为滤波电感电流瞬态近似解的系数；公式(12)中，v_o表示滤波电容电压的完整瞬态解，v_o-steady表示滤波电容电压的稳态解；v_o-trans0，v_o-trans1，…，v_o-transN表示滤波电容电压的零阶瞬态近似解，一阶瞬态近似解，…，N阶瞬态近似解；α_L10，…，α_L1N，β_L10，…，β_L1N，γ_L10，…，γ_L1N，p_L10，…，p_L1N和q_L10，…，q_L1N均为滤波电容电压瞬态近似解的系数。

在步骤S5中，获取准谐振变换器网络状态变量的近似解析解，具体过程如下：

对于谐振和滤波单元电路状态变量的稳态周期解，求解出主振荡分量及一、二阶修正分量然后相加就能够得到满足高精度要求的近似解析解；同样，对于谐振和滤波单元电路状态变量的瞬态解，求解出零阶瞬态解和一阶瞬态解然后相加就能够得到满足高精度要求的近似解析解表达式。

本发明与现有技术相比，具有如下优点与有益效果：

1、本发明考虑的准谐振变换器具有的不同时间尺度特点，根据不同的时间常数把电路分成不同时间尺度的单元电路进行建模分析，整个过程直观易理解。

2、本发明使用方法的求解公式是把高阶准谐振变换器状态变量转化为具有不同时间尺度的低阶状态变量进行求解，利用等效小参量方法求解状态变量的直流分量与各次谐波分量，然后合并得到其近似解析解的表达式，求解的过程清晰，计算量小。

3、求得的结果与电路仿真波形的对比验证，说明该发明提供的方法能够较好地建模分析准谐振变换器，便于电路的设计和优化。

附图说明

图1为一种零电流准谐振Buck变换器电路模型。

图2为本实施例中选择的具体补偿电路。

图3为本实施例中考虑不同时间尺度的准谐振变换器建模分析方法的流程图。

图4a为本发明方法与PSIM电路模型仿真所得滤波电感电流波形对比图。

图4b为本发明方法与PSIM电路模型仿真所得滤波电感电流波形瞬态阶段(放大)对比图。

图4c为本发明方法与PSIM电路模型仿真所得滤波电感电流波形稳态阶段(放大)对比图。

图5a为本发明方法与PSIM电路模型仿真所得滤波电容电压波形对比图。

图5b为本发明方法与PSIM电路模型仿真所得滤波电容电压波形瞬态阶段(放大)对比图。

图5c为本发明方法与PSIM电路模型仿真所得滤波电容电压波形稳态阶段(放大)对比图。

图6a为本发明方法与PSIM电路模型仿真所得谐振电感电流波形对比图。

图6b为本发明方法与PSIM电路模型仿真所得滤波电容电压波形稳态阶段(放大)对比图。

图7a为本发明方法与PSIM电路模型仿真所得谐振电容电压波形对比图。

图7b为本发明方法与PSIM电路模型仿真所得滤波电容电压波形稳态阶段(放大)对比图。

具体实施方式

下面结合具体实施例对本发明作进一步说明，但所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

如图3所示，本实施例所提供的考虑不同时间尺度的准谐振变换器建模分析方法，包括以下步骤：

S1、根据准谐振变换器具有的不同时间尺度划分单元电路

根据准谐振变换器的元件组成，划分谐振单元电路和滤波单元电路。谐振单元电路包括谐振电感和谐振电容，开关管以及二极管，谐振电感电流和谐振电容电压在一个开关周期内变化相对较快，对应的时间常数较小，且在某些工作状态下其值为零；滤波单元电路的元件包括了构成低通滤波器的滤波电感和滤波电容，其对应的时间常数较大，是谐振单元电路时间常数的k倍，k能够为整数或非整数，k>1。

S2、建立准谐振变换器各单元电路的非线性数学模型

S21、以谐振单元电路中的谐振电感电流和谐振电容电压为待求状态变量，列写谐振单元电路对应的微分方程组如式(1)；以滤波单元电路中的滤波电感电流和滤波电容电压为待求状态变量，写出对应的微分方程组如式(2)：

其中，x_H＝[i_Lr,v_Cr]^Tr表示谐振单元电路的状态变量向量，x_L＝[i_Lf,v_o]^Tr表示滤波单元电路的状态变量向量，上标Tr表示矩阵的转置，i_Lr表示谐振电感电流，v_Cr表示谐振电容电压，i_Lf表示滤波电感电流，v_o表示滤波电容电压；v_in表示输入电压向量，P_H,Q_H,S_H和P_L,Q_L,S_L分别表示谐振单元电路和滤波单元电路的系数矩阵；

S22、滤波电感电流与输入电压组成新的向量W₁＝[i_Lf,E]^Tr，E为输入电压；由此整理式(1)得到如下形式：

其中，l表示在一个开关周期中变换器的工作模态数，n表示变换器所处的工作模态标号，n＝1,2,…,l；G_H0是包含微分算子p＝d/dt的系数矩阵，G_Hn和G_sHn为第n模态与电路参数相关的系数矩阵；

和

为非线性函数，δ⁽ⁿ⁾为表征变换器开关通断状态的开关函数，当变换器处于第n工作模态时δ⁽ⁿ⁾＝1，处于其他工作模态时δ⁽ⁿ⁾＝0；

谐振电容电压与输入电压组成新的向量W₂＝[v_Cr,E]^Tr，由此整理式(2)得到如下形式：

G_L0是包含微分算子p＝d/dt的系数矩阵，G_Ln和G_sLn第n模态与电路参数相关的系数矩阵；f_L ⁽ⁿ⁾＝δ⁽ⁿ⁾·x_L和

为非线性函数。

S3、利用等效小参量法建立准谐振变换器的等效数学模型

S31、将步骤S2模型中的开关函数δ⁽ⁿ⁾、状态变量x以及非线性函数f⁽ⁿ⁾＝δ⁽ⁿ⁾·x展开成幂级数的形式，

其中，在谐振单元电路中x指谐振状态变量x_H，在滤波单元电路中x指滤波状态变量x_L；在谐振单元电路中f⁽ⁿ⁾指非线性函数

在滤波单元电路中f⁽ⁿ⁾指非线性函数f_L ⁽ⁿ⁾；

表示开关函数的主振荡分量，

表示开关函数的第i阶分量，上标和下标中的i为整数，i＝1,2,3,..,N，N表示展开形式的前有限项，ε是引入的一个小量标记；同理，x展开为

其中x₀表示状态变量的主振荡分量，x_i表示状态变量的第i阶分量；f⁽ⁿ⁾展开为

其中f₀ ⁽ⁿ⁾表示非线性函数的主振荡分量，

表示非线性函数的第i阶分量；

S32、把非线性函数写成形式

其中

中包含与x_j具有相同频率成分的项记为主项

其余与x_j具有不同频率的剩余成分的项记为余项

j＝0,1,2,3,..,N；

S33、把开关函数δ⁽ⁿ⁾、状态变量x以及非线性函数f⁽ⁿ⁾展开得到的幂级数形式代入式(3)中，令等号两边小量标记ε具有相同幂次的项相等，能够得到准谐振变换器谐振单元电路的等效数学模型如下：

其中，x_H0，x_H1，x_H2，…，x_HN为谐振状态变量展开成幂级数形式的各项，

为谐振单元电路对应非线性函数展开成幂级数形式的主项；

为谐振单元电路对应非线性函数展开成幂级数形式的余项；

S34、同样地，把开关函数δ⁽ⁿ⁾、状态变量x以及非线性函数f⁽ⁿ⁾展开得到的幂级数形式分别代入式(4)中，令等号两边小量标记ε具有相同幂次的项相等，能够得到准谐振变换器滤波单元电路的等效数学模型如下：

其中，x_L0，x_L1，x_L2，…，x_LN为滤波状态变量展开成幂级数形式的各项，

为滤波单元电路对应非线性函数展开成幂级数形式的主项，

为滤波单元电路对应非线性函数展开成幂级数形式的余项。

S4、利用谐波平衡法求准谐振变换器各单元电路状态变量的解析解

S41、求解谐振单元电路状态变量和滤波单元电路状态变量的稳态周期解：把状态变量x和开关函数δ⁽ⁿ⁾表示成傅里叶级数的形式，然后代入式(5)和(6)中，可得到一系列方程组，根据谐波平衡法依次求解得出主振荡分量、一阶修正量、二阶修正量等等如下所示：

其中，x_H-steady＝[i_Lr-steady,v_Cr-steady]^Tr表示谐振单元电路的状态变量的稳态解，x_L-steady＝[i_Lf-steady,v_o-steady]^Tr表示滤波单元电路的状态变量的稳态解；τ₁＝ω₁t，τ₂＝ω₂t分别代表谐振单元电路和滤波单元电路的归一化时间；ω₁＝2πf₁，ω₂＝2πf₂分别为谐振单元电路和滤波单元电路的角频率；

f₂＝f_s，f_s为开关频率，a_H0，a_H1，…，a_HN表示谐振状态变量各分量的系数，a_L0，a_L1，…，a_LN表示滤波状态变量分量的系数，c.c表示共轭复数；

S42、求解谐振单元电路和滤波单元电路状态变量的瞬态解：S41中代入傅里叶级数展开式后得到的方程为线性微分方程组，能够直接求解，依次求出零阶瞬态近似解、一阶瞬态近似解等等；然后将求得的瞬态近似解的直流部分用步骤S41求得的稳态周期解替代就得到了完整的瞬态解如下：

公式(9)中，i_Lr表示谐振电感电流的完整瞬态解，i_Lr-steady表示谐振电感电流的稳态解；i_Lr-trans0，i_Lr-trans1，…，i_Lr-transN表示谐振电感电流的零阶瞬态近似解，一阶瞬态近似解，…，N阶瞬态近似解；α_H00，…，α_H0N，β_H00，…，β_H0N，γ_H00，…，γ_H0N，p_H00，…，p_H0N和q_H00，…，q_H0N均为谐振电感电流瞬态近似解的系数；公式(10)中，v_Cr表示谐振电容电压的完整瞬态解，v_Cr-steady表示谐振电容电压的稳态解；v_Cr-trans0，v_Cr-trans1，…，v_Cr-transN表示谐振电容电压的零阶瞬态近似解，一阶瞬态近似解，…，N阶瞬态近似解；α_H10，…，α_H1N，β_H10，…，β_H1N，γ_H10，…，γ_H1N，p_H10，…，p_H1N和q_H10，…，q_H1N均为谐振电容电压瞬态近似解的系数；公式(11)中，i_Lf表示滤波电感电流的完整瞬态解，i_Lf-steady表示滤波电感电流的稳态解；i_Lf-trans0，i_Lf-trans1，…，i_Lf-transN表示滤波电感电流的零阶瞬态近似解，一阶瞬态近似解，…，N阶瞬态近似解；α_L00，…，α_L0N，β_L00，…，β_L0N，γ_L00，…，γ_L0N，p_L00，…，p_L0N和q_L00，…，q_L0N均为滤波电感电流瞬态近似解的系数；公式(12)中，v_o表示滤波电容电压的完整瞬态解，v_o-steady表示滤波电容电压的稳态解；v_o-trans0，v_o-trans1，…，v_o-transN表示滤波电容电压的零阶瞬态近似解，一阶瞬态近似解，…，N阶瞬态近似解；α_L10，…，α_L1N，β_L10，…，β_L1N，γ_L10，…，γ_L1N，p_L10，…，p_L1N和q_L10，…，q_L1N均为滤波电容电压瞬态近似解的系数。

S5、获取准谐振变换器各单元电路状态变量的近似解析解

对于谐振和滤波单元电路状态变量的稳态周期解，求解出主振荡分量及一、二阶修正分量然后相加就能够得到满足较高精度要求的近似解析解；同样，对于谐振和滤波单元电路状态变量的瞬态解，求解出零阶瞬态解和一阶瞬态解然后相加就能够得到满足较高精度要求的近似解析解表达式。

下面以一种零电流准谐振Buck变换器为实例，采用本发明上述提供的方法进行建模。

如图1所示，为一种零电流准谐振Buck变换器电路，其电路参数为输入电压E＝12V,谐振电感L_r＝30nH,谐振电容C_r＝0.3μF,滤波电感L_f＝5.7μH,滤波电容C_f＝0.63μF,负载电阻R＝0.5Ω，压控振荡器增益f_g＝0.32MHz/V。其中补偿电路选择如图2所示的电路进行补偿校正，其中参数为第一电容C₁＝800pF,第二电容C₂＝6.3nF,第一电阻R₁＝3.1kΩ,第二电阻R₂＝1.0kΩ,第三电阻R₃＝10kΩ,基准电压V_R＝5V。采用的电路传递函数具有两个极点、两个零点，使得补偿后得到较高的低频增益和相位裕度。补偿电路的传递函数如下：

根据本发明方法的上述步骤求变换器的近似解析解的表达式为：

将本发明方法与PSIM软件建立的电路模型的状态变量进行比较，仿真参数和符号分析法运算所采用的参数一致。参见图4a、4b、4c、5a、5b、5c、6a、6b、7a、7b所示，仿真结果对比验证图中虚线为本发明得到的波形，实线为PSIM电路模型仿真得到的波形，从图中能够看出，两条曲线非常的接近，说明本发明提出的方法是有效的。

以上所述实施例只是本发明之较佳实施例，并非以此限制本发明的实施范围。故凡依本发明之形状、原理所作的变化，均应涵盖在本发明的保护范围内。

Claims (1)

1.一种考虑不同时间尺度的准谐振变换器建模分析方法，其特征在于：该方法是根据准谐振变换器具有多时间尺度的特点，按照时间常数的不同将准谐振变换器网络划分成谐振单元电路和滤波单元电路，相应地将准谐振变换器的状态变量分为谐振状态变量和滤波状态变量，并建立其相对应的非线性数学模型，把高阶准谐振变换器状态变量转化为具有不同时间尺度的低阶状态变量的求解，利用等效小参量方法求解状态变量的直流分量与各次谐波分量，然后合并得到其近似解析解的表达式；其包括以下步骤：

S1、根据准谐振变换器具有的不同时间尺度划分单元电路，具体如下：

根据准谐振变换器的元件组成，划分谐振单元电路和滤波单元电路；谐振单元电路包括谐振电感和谐振电容、开关管以及二极管；滤波单元电路的元件包括构成低通滤波器的滤波电感和滤波电容，其对应的时间常数是谐振单元电路时间常数的k倍，k>1；

S2、建立准谐振变换器各单元电路的非线性数学模型，包括以下步骤：

S21、以谐振单元电路中的谐振电感电流和谐振电容电压为待求状态变量，列写谐振单元电路对应的微分方程组如式(1)；以滤波单元电路中的滤波电感电流和滤波电容电压为待求状态变量，写出对应的微分方程组如式(2)：

其中，x_H＝[i_Lr,v_Cr]^Tr表示谐振单元电路的状态变量向量，x_L＝[i_Lf,v_o]^Tr表示滤波单元电路的状态变量向量，上标Tr表示矩阵的转置，i_Lr表示谐振电感电流，v_Cr表示谐振电容电压，i_Lf表示滤波电感电流，v_o表示滤波电容电压；v_in表示输入电压向量，P_H,Q_H,S_H和P_L,Q_L,S_L分别表示谐振单元电路和滤波单元电路的系数矩阵；

S22、滤波电感电流与输入电压组成新的向量W₁＝[i_Lf,E]^Tr，E为输入电压；由此整理式(1)得到如下形式：

其中，l表示在一个开关周期中变换器的工作模态数，n表示变换器所处的工作模态标号，n＝1,2,…,l；G_H0是包含微分算子p＝d/dt的系数矩阵，G_Hn和G_sHn为第n模态与电路参数相关的系数矩阵；

和

为非线性函数，δ⁽ⁿ⁾为表征变换器开关通断状态的开关函数，当变换器处于第n工作模态时δ⁽ⁿ⁾＝1，处于其它工作模态时δ⁽ⁿ⁾＝0；

谐振电容电压与输入电压组成新的向量W₂＝[v_Cr,E]^Tr，由此整理式(2)得到如下形式：

G_L0是包含微分算子p＝d/dt的系数矩阵，G_Ln和G_sLn是第n模态与电路参数相关的系数矩阵；f_L ⁽ⁿ⁾＝δ⁽ⁿ⁾·x_L和

为非线性函数；

S3、利用等效小参量法建立准谐振变换器等效数学模型，包括以下步骤：

S31、将步骤S2模型中的开关函数δ⁽ⁿ⁾、状态变量x以及非线性函数f⁽ⁿ⁾＝δ⁽ⁿ⁾·x展开成幂级数的形式，

其中，在谐振单元电路中x指谐振状态变量x_H，在滤波单元电路中x指滤波状态变量x_L；在谐振单元电路中f⁽ⁿ⁾指非线性函数

在滤波单元电路中f⁽ⁿ⁾指非线性函数f_L ⁽ⁿ⁾；

表示开关函数的主振荡分量，

表示开关函数的第i阶分量，上标和下标中的i为整数，i＝1,2,3,..,N，N表示展开形式的前有限项，ε是引入的一个小量标记；同理，x展开为

其中x₀表示状态变量的主振荡分量，x_i表示状态变量的第i阶分量；f⁽ⁿ⁾展开为

其中f₀ ⁽ⁿ⁾表示非线性函数的主振荡分量，

表示非线性函数的第i阶分量；

S32、把非线性函数写成形式

其中

中包含与x_j具有相同频率成分的项记为主项

其余与x_j具有不同频率的剩余成分的项记为余项

j＝0,1,2,3,..,N；

S33、把开关函数δ⁽ⁿ⁾、状态变量x以及非线性函数f⁽ⁿ⁾展开得到的幂级数形式代入式(3)中，令等号两边小量标记ε具有相同幂次的项相等，能够得到准谐振变换器谐振单元电路的等效数学模型如下：

其中，x_H0，x_H1，x_H2，…，x_HN为谐振状态变量展开成幂级数形式的各项，f

为谐振单元电路对应非线性函数展开成幂级数形式的主项；

为谐振单元电路对应非线性函数展开成幂级数形式的余项；

S34、同样地，把开关函数δ⁽ⁿ⁾、状态变量x以及非线性函数f⁽ⁿ⁾展开得到的幂级数形式分别代入式(4)中，令等号两边小量标记ε具有相同幂次的项相等，能够得到准谐振变换器滤波单元电路的等效数学模型如下：

其中，x_L0，x_L1，x_L2，…，x_LN为滤波状态变量展开成幂级数形式的各项，

为滤波单元电路对应非线性函数展开成幂级数形式的主项，

为滤波单元电路对应非线性函数展开成幂级数形式的余项；

S4、利用谐波平衡法求准谐振变换器各单元电路状态变量的解析解，包括以下步骤：

S41、求解谐振单元电路状态变量和滤波单元电路状态变量的稳态周期解：把状态变量x和开关函数δ⁽ⁿ⁾表示成傅里叶级数的形式，然后代入式(5)和(6)中，能够得到一系列方程组，根据谐波平衡法依次求解得出主振荡分量、一阶修正量、二阶修正量如下所示：

其中，x_H-steady＝[i_Lr-steady,v_Cr-steady]^Tr表示谐振单元电路的状态变量的稳态解，x_L-steady＝[i_Lf-steady,v_o-steady]^Tr表示滤波单元电路的状态变量的稳态解；τ₁＝ω₁t，τ₂＝ω₂t分别代表谐振单元电路和滤波单元电路的归一化时间；ω₁＝2πf₁，ω₂＝2πf₂分别为谐振单元电路和滤波单元电路的角频率；a_H0，a_H1，…，a_HN表示谐振状态变量各分量的系数；a_L0，a_L1，…，a_LN表示滤波状态变量分量的系数；c.c表示共轭复数；

S42、求解谐振单元电路和滤波单元电路状态变量的瞬态解：步骤S41中代入傅里叶级数展开式后得到的方程为线性微分方程组，能够直接求解，依次求出零阶瞬态近似解、一阶瞬态近似解；然后将求得的瞬态近似解的直流部分用步骤S41求得的稳态周期解替代就得到了完整的瞬态解如下：

公式(9)中，i_Lr表示谐振电感电流的完整瞬态解，i_Lr-steady表示谐振电感电流的稳态解；i_Lr-trans0，i_Lr-trans1，…，i_Lr-transN表示谐振电感电流的零阶瞬态近似解，一阶瞬态近似解，…，N阶瞬态近似解；α_H00，…，α_H0N，β_H00，…，β_H0N，γ_H00，…，γ_H0N，p_H00，…，p_H0N和q_H00，…，q_H0N均为谐振电感电流瞬态近似解的系数；公式(10)中，v_Cr表示谐振电容电压的完整瞬态解，v_Cr-steady表示谐振电容电压的稳态解；v_Cr-trans0，v_Cr-trans1，…，v_Cr-transN表示谐振电容电压的零阶瞬态近似解，一阶瞬态近似解，…，N阶瞬态近似解；α_H10，…，α_H1N，β_H10，…，β_H1N，γ_H10，…，γ_H1N，p_H10，…，p_H1N和q_H10，…，q_H1N均为谐振电容电压瞬态近似解的系数；公式(11)中，i_Lf表示滤波电感电流的完整瞬态解，i_Lf-steady表示滤波电感电流的稳态解；i_Lf-trans0，i_Lf-trans1，…，i_Lf-transN表示滤波电感电流的零阶瞬态近似解，一阶瞬态近似解，…，N阶瞬态近似解；α_L00，…，α_L0N，β_L00，…，β_L0N，γ_L00，…，γ_L0N，p_L00，…，p_L0N和q_L00，…，q_L0N均为滤波电感电流瞬态近似解的系数；公式(12)中，v_o表示滤波电容电压的完整瞬态解，v_o-steady表示滤波电容电压的稳态解；v_o-trans0，v_o-trans1，…，v_o-transN表示滤波电容电压的零阶瞬态近似解，一阶瞬态近似解，…，N阶瞬态近似解；α_L10，…，α_L1N，β_L10，…，β_L1N，γ_L10，…，γ_L1N，p_L10，…，p_L1N和q_L10，…，q_L1N均为滤波电容电压瞬态近似解的系数；

S5、获取准谐振变换器各单元电路状态变量的近似解析解，具体如下：

对于谐振和滤波单元电路状态变量的稳态周期解，求解出主振荡分量及一、二阶修正分量然后相加就能够得到满足高精度要求的近似解析解；同样，对于谐振和滤波单元电路状态变量的瞬态解，求解出零阶瞬态解和一阶瞬态解然后相加就能够得到满足高精度要求的近似解析解表达式。

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