CN109507882A - 一种基于rbf-arx模型的快速鲁棒预测控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于RBF‑ARX模型的快速鲁棒预测控制方法，首先采用数据驱动技术离线建立被控系统的非线性状态相依RBF‑ARX模型。其次，利用建立的非线性RBF‑ARX模型构造出能够包裹被控系统非线性动态特性的多面体。然后，利用min‑max优化原理、基于不变集设计方法，在未知系统的稳态平衡点信息的情况下，设计基于RBF‑ARX模型的可通过求解凸优化问题实现最优输出跟踪的鲁棒预测控制算法。最后，为了解决在线求解凸优化问题存在的繁重计算量问题，本发明将离线计算方法和在线综合技术相结合，设计了基于RBF‑ARX模型的快速鲁棒预测控制方法。

Description

一种基于RBF-ARX模型的快速鲁棒预测控制方法

技术领域

本发明属于自动控制技术领域，涉及一种基于RBF-ARX模型设计的快速鲁棒预测控制方法，尤其涉及一种用于快速系统的快速鲁棒预测控制方法。

背景技术

在实际的工业中，生产设备往往是非常复杂的、具有较强的非线性，它们的工作范围大、工作环境复杂多变、对象参数不精确。例如，磁悬浮球系具有非线性、快速响应、开环不稳定的特点，易受电源及工作环境的影响，某些参数具有较强的不确定性，无法精确测量。

在过去几十年中，基于线性模型的预测控制技术已发展的相当成熟，但实际的工业系统并不都适合被简化为线性系统来进行控制器的设计，例如，磁悬浮系统、搅拌釜系统等复杂被控系统，具有很强的非线性和快速性特性。对于这类强非线性快速系统，线性调节器会使控制性能较差。因此，对于大部分的非线性系统，必须采用非线性预测控制。在非线性预测控制中，一般采用非线性模型来预测被控系统未来的输出，在每个采样时刻，通过在线求解非线性规划问题来对被控系统的输入量、状态量以及输出量进行约束。然而，这类控制算法存在一些明显缺点：1)实际的被控系统通常是快速、时变、约束的复杂非线性过程，这些复杂系统的精准数学模型很难获得；2)这类算法在理论上尚未解决诸如控制系统收敛性、鲁棒性和闭环系统稳定性等问题。因此，针对复杂非线性快速被控系统，提出一种系统性的、可实现的非线性系统建模与鲁棒控制方法成为亟待解决的问题。

经对现有技术的文献检索发现，目前主要的针对非线性系统的建模及控制方法有：2015年4月16日公开的申请号为CN201510180614.7的专利“一种磁悬浮球位置控制方法”发明了一种基于函数权RBF-ARX模型的预测控制方法来实现对磁悬浮球位置的控制。但是，该方法在优化计算控制输入的过程中并未考虑系统的约束条件和模型的不确定性对系统控制性能的影响，也就是该方法所设计的控制器不具有鲁棒性，致使系统的抗干扰性较弱。对于实际工业生产过程中稳态平衡点信息是未知的或不可测的非线性系统，专利“一种一阶连续搅拌釜式反应器的鲁棒预测控制方法”(申请号：CN201610139588.8)公开了一种基于数据驱动技术的RBF-ARX模型的、考虑了控制输入一个自由度的、不依赖于CSTR系统的稳态信息的鲁棒预测控制器设计方法。但是，该方法是一种需要在线求解含LMIs(LinearMatrix Inequalities)约束的优化问题的方法，有繁重的在线计算负担，该方法很难在实际生产中进行应用，尤其是对于实际生产中的快速被控对象，较小的采样周期使得复杂的在线优化计算难以完成。因此，本发明将离线计算方法和在线综合技术相结合提出一种基于RBF-ARX模型的、不考虑控制输入自由度的快速鲁棒预测控制方法，并在实施案例中将其应用到快速非线性的磁悬浮球系统。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是，针对现有技术不足，提供一种基于RBF-ARX模型的快速鲁棒预测控制方法，利用RBF-ARX模型构造出能够包裹被控系统非线性动态特性的线性多面体，在未知系统稳态平衡点信息的情况下，将离线计算方法和在线综合技术相结合，设计基于RBF-ARX模型的能在线实现的快速鲁棒预测控制方法。

为解决上述技术问题，本发明所采用的技术方案是：一种基于RBF-ARX模型的快速鲁棒预测控制方法，该方法包括以下步骤：

首先，采用一种基于数据驱动技术的建模方法，离线建立非线性被控系统的RBF-ARX模型。本发明所述一种用来描述被控系统动态特性的RBF-ARX模型结构如下：

其中：y和u分别代表被控系统的输出和输入；n₀为系统输出输入的阶次；为状态量w(t)的函数型系数；ξ(t+1)为高斯白噪声；状态向量定义为w(t)＝[y(t) y(t-1)]^T，y(t)为t时刻系统的输出；{z_j,λ_j|j＝yoru}为RBF神经网络的中心向量和比例因子；为常数系数的转置；为2范数； 是高斯神经网络相应的权重系数；非线性参数{z_j,λ_j|j＝yoru}和线性参数 均通过SNPOM优化方法离线优化计算得到。

基于上述RBF-ARX模型构造出一种能够包裹系统非线性动态特性的多面体。本发明所述构造能够包裹CSTR系统非线性动态的多面体模型过程如下：

首先,将系统的RBF-ARX模型转换成如下多项式结构：

定义如下偏差变量：

其中：u(t+j₁)为t+j₁时刻的控制输入量；u(t+j₁-1)为t+j₁-1时刻的控制输入量；y(t+i₁)为t+i₁时刻的控制输出量；为t+j₁时刻的控制输入增量；为t+i₁时刻的控制输出偏差；y_r为t时刻系统的期望输出。

由上式得到一步向前预测的输出偏差如下：

其中：为非线性RBF-ARX模型的建模误差ξ(t+1|t)的平均值。

根据以上RBF-ARX模型和定义的变量，可获得的描述系统当前行为X(t+1|t)和将来行为X(t+g+1|t)的两个状态空间模型结构分别如下：

其中，系数矩阵A_t,B_t,Ξ(t)和X(t|t)分别是t时刻RBF-ARX模型的系数矩阵和状态向量；由状态相依系数常量a_1,t+g|t和b_1,t+g|t构成的未来未知状态矩阵[A_t+g|t,B_t+g|t]可由如下两个凸线性多面体动态包裹：

其中：为多面体时变线性系数,且 当l＝1时A_l＝A₁，当l＝2时A_l＝A₂；同理，当k＝1时B_k＝B₁，当k＝2时B_k＝B₂；A_l，B_k中的各元素从系统RBF-ARX模型中状态相依函数型系数的上下限计算得到：

其中,为高斯神经网络相应的权重系数，由SNPOM方法优化得到；为关于变量w(t)的函数的上限值，为关于变量w(t)的函数的下限值；为关于变量w(t)的函数的上限值，为关于变量w(t)的函数的下限值；表示对于任意的w(t)。

3)基于上述构造的、能够包裹被控系统非线性动态的多面体模型，利用min-max优化原理、基于不变集设计方法，在未知系统的稳态平衡点信息的情况下，设计基于RBF-ARX模型的可通过求解凸优化问题实现的最优输出跟踪的鲁棒预测控制算法如下：

s.t.

Q_lk＞0,

l,k,α,β＝1,2

其中：符号*代表矩阵的对称结构；W和R分别为状态量X和控制增量的权重系数；和分别是的最小值、最大值；Z是一个对称矩阵；F(t)＝YG^-1为反馈增益矩阵；Q_lk和Q_αβ为求解凸优化问题的中间矩阵变量，其中l,k,α,β取值为1或2，为求解凸优化问题的中间矩阵变量；上述线性矩阵不等式中，X(t|t)是t时刻根据测得的系统输入输出数据和RBF-ARX模型计算得到的状态向量；Y,G,Q_lk,和Z均为最小化变量γ求解过程中的中间变量，在求解最小化问题时，优化函数会根据上述约束条件自动寻找满足使γ最小的中间变量Y,G,Q_lk,和Z是否存在，当找到合适的中间变量Y,G,Q_lk,和Z时，则t时刻最小化优化求解过程结束，进而可计算F(t)＝YG^-1。

基于上述设计的优化算法，将离线计算方法和在线综合技术结合，设计快速鲁棒预测控制方法如下：

离线计算算法:

(1)设定是离线设计的状态向量,(当2≤i₀≤10时，)是的第一个元素,其它元素均为0；是系统输出偏差的最大值，其值由系统的特性确定，κ是由和控制系统的控制精度设置的比例因子，令i₀＝1，执行以下步骤(2)；

(2)对于添加约束条件(当i₀＝1时，该附加约束条件忽略)求解3)中优化问题获得和然后计算将和保存到列表；

(3)令i₀＝i₀+1，如果i₀≤10返回(2)，否则，离线计算算法结束；

在线综合:

(1)给定X₀满足

(2)在t时刻,根据离线辨识得到的RBF-ARX模型和状态向量的定义计算X(t|t)，从i₀＝1开始搜索离线算法得到的列表；

(3)判断i₀是否满足和若满足，则令并执行步骤(5)，否则，执行下一步骤(4)；

(4)令i₀＝i₀+1，如果i₀＜10返回(3)，如果i₀＝10，令F(t)＝F₁₀并执行步骤(5)；

(5)计算控制输入增量执行控制输入到被控系统。

与现有技术相比，本发明所具有的有益效果为：对于平衡点信息未知、响应快速的非线性系统，本发明利用非线性RBF-ARX模型的结构特点构造能够包裹被控系统非线性动态的多面体，利用min-max优化原理、基于不变集设计方法，设计基于非线性RBF-ARX模型的、考虑了系统约束的鲁棒稳定、控制性能良好、可通过求解凸优化问题实现的、结合了离线计算方法和在线综合技术的快速鲁棒预测控制算法。最后，以非线性快速磁悬浮球系统为例说明该方法的设计步骤。

附图说明

图1为本发明的磁悬浮球系统结构图。

具体实施方式

如图1所示。所述磁悬浮球系统仅能控制钢球上下方向自由移动。PC机9通过设计的控制器输出控制电压，经D/A转换器8传输给电磁绕组驱动电路7，电磁绕组2在通以相应电流的情况下产生电磁感应，在绕组下方形成电磁场，使处于电磁场中的钢球1在电磁感应力F的作用下上/下移动，通过调整电磁铁与钢球间的气隙g(即钢球位置)，使得电磁力F与钢球重力G达到平衡；同时，LED光源3与光电板4构成的光电传感器用来检测钢球位置，相应的电压信号经处理电路5及A/D转换器6传回PC机输出。图1所示系统中，钢球1的半径为12.5毫米、质量为22克，电磁绕组2的匝数为2450、等效电阻为13.8欧姆。

本发明所述一种磁悬浮球系统的基于RBF-ARX模型设计的快速鲁棒预测控制方法：首先，利用数据驱动的系统辨识技术，基于非线性状态相依RBF-ARX模型离线建立磁悬浮球系统的动态数学模型。其次，利用RBF-ARX模型构造出一种能够包裹系统非线性动态特性的多面体模型。然后，在未知系统稳态平衡点信息的情况下，设计基于非线性RBF-ARX模型的鲁棒稳定、控制性能良好、可通过求解凸优化问题实现最优输出跟踪的鲁棒预测控制算法。最后，将离线计算方法和在线综合技术相结合，基于鲁棒不变集的概念设计快速鲁棒预测控制方法，并将其应用到非线性快速磁悬浮球系统。

磁悬浮球系统的基于非线性RBF-ARX模型设计的快速鲁棒预测控制方法其特征在于，该方法包括以下步骤：

1)采集磁悬浮球系统的模型辨识数据

根据磁悬浮球系统的控制输入电磁绕组输入电压v和系统输出小球位移s之间的关系，获得系统动态特性的辨识数据。在t时刻磁悬浮球系统的控制输出量为小球位移s(t)，对应的t时刻的输入量为电磁绕组输入电压v(t)。采集磁悬浮球系统的输入输出数据4000点，采样时间为20s，采样周期为0.005s。用于辨识系统非线性RBF-ARX模型的辨识数据应是在其有效范围内充分激发磁悬浮球系统的各种模态与动态特性的数据。

2)采用一种非线性状态相依RBF-ARX模型的建模方法，离线建立非线性磁悬浮球系统的动态模型

在步骤1)获得系统辨识数据的基础上，采用一种非线性RBF-ARX建模方法，离线建立磁悬浮球系统的动态模型。本发明所述一种描述磁悬浮球系统的非线性RBF-ARX模的型结构如下：

其中：为状态量w(t)的函数型系数；ξ(t+1)为高斯白噪声；状态向量定义为w(t)＝[s(t) s(t-1)]^T，s(t)为t时刻系统的输出；{z_j,λ_j|j＝sorv}为RBF神经网络的中心向量和比例因子；为常数系数的转置；为2范数； 是高斯神经网络相应的权重系数；非线性参数{z_j,λ_j|j＝sorv}和线性参数 均通过SNPOM优化方法离线优化计算得到(详见：Peng H,Ozaki T,Haggan-Ozaki V,ToyodaY.2003，A parameter optimization method for the radial basis function typemodels)。

3)建立能够包裹磁悬浮球系统非线性动态特性的多面体模型

为了建立能够包裹磁悬浮球系统非线性动态特性的多面体模型，首先将描述磁悬浮球系统的模型(1)结构的非线性RBF-ARX模型转换成如下多项式结构：

定义如下偏差变量：

其中：v(t+j₁)为t+j₁时刻的控制输入量；v(t+j₁-1)为t+j₁-1时刻的控制输入量；s(t+i₁)为t+i₁时刻的控制输出量；为t+j₁时刻的控制输入增量；为t+i₁时刻的控制输出偏差；s_r为t时刻系统的期望输出。

由式(2)和式(3)可得到一步向前预测的输出偏差如下：

其中：为RBF-ARX模型(2)的建模误差平均值，可通过在系统实时控制过程中对历史样本平均值计算得到。如式(5)定义的ψ_t变量的绝对值|ψ_t|可被看作是控制系统是否进入稳定平衡点的指标，因为当|ψ_t|等于零时，系统输入量{u(t)}是控制量输入最佳值，输出量{s(t)}也稳定在期望的输出s_r上。由上述ψ_t的定义以及公式(4)可根据以下线性时变模型(6)近似磁悬浮球系统的未来非线性特性，同时通过设计一组最佳的系统控制增量输入使得|ψ_t+j|t|等于零，来规范系统输出增量的最优未来动态特性轨迹如下：

其中：

由模型(2)可以看出，在t时刻未来的状态量无法获得，因此式(6)中的系数矩阵a_k,t+j和b_k,t+j也无法精确获得。但根据模型参数上下边界可知的特点可得到未来的系数矩阵a_k,t+j和b_k,t+j的变化范围，从而构造出能够包裹系统非线性动态的多面体模型。

首先定义以下系统状态向量：

通过定义上述状态向量可得到模型(4)和(6)分别对应的两个状态空间模型结构如下：

和

其中，模型(12)中系统状态向量X(t|t)，Ξ(t)以及状态矩阵[A_t,B_t]均可在离线辨识得到的RBF-ARX模型(2)和测得的系统的输入输出数据得出。与此同时，根据RBF-ARX模型(2)及状态空间模型(10)，可以得出未来状态矩阵[A_t+g|t,B_t+g|t]的范围，可由如下两个凸线性多面体动态包裹：

其中：为多面体时变线性系数,且 当l＝1时A_l＝A₁，当l＝2时A_l＝A₂；同理，当k＝1时B_k＝B₁，当k＝2时B_k＝B₂；A_l，B_k中的各元素从系统RBF-ARX模型中状态相依函数型系数的上下限计算得到：

综上所述，获得的局部线性状态空间模型(9)用来表示非线性系统的当前行为，系统将来非线性行为则由一个线性参数时变的凸多面体模型(10)动态包裹，其中动态矩阵A_t+g|t属于式(11)所示凸多面体Ω_A，动态矩阵B_t+g|t属于式(12)所示凸多面体Ω_B。基于该多面体模型，可设计出通过求解带线性矩阵不等式约束的线性规划问题获得最优控制量的鲁棒预测控制器。

4)基于RBF-ARX模型设计的一种在系统平衡点信息未知情况下的输出跟踪鲁棒预测控制算法。

基于步骤3)中构造的两个包裹系统非线性动态特性的线性多面体模型(9)和(10)，利用min-max优化原理、基于不变集设计方法，在未知磁悬浮球系统稳态平衡点信息的情况下，设计一种输出跟踪鲁棒预测控制算法如下：

首先，定义X(t+j|t)为t时刻模型预测的t+j时刻的系统状态向量，为t时刻预测的t+j时刻的输入控制增量，选择如下带约束的优化目标函数：

其中：W＝1.7,R＝0.05。为控制输入增量约束。

系统控制输入增量由如下状态反馈控制率获得：

如下提供一种基于线性矩阵不等式综合的无穷时域预测控制算法。首先，定义如下二次型函数：

V(j,t)＝X(t+j|t)^TP(j,t)X(t+j|t),j≥0. (19)

其中：在t时刻，对于假设V(j,t)满足如下不等式：

当j从0到∞，将式(20)累加求和，可得到J^∞(t)的最坏情况下的上限约束如下：

因此，伪min-max鲁棒预测控制问题(17)可转化如下优化问题：

假如存在李雅普诺夫矩阵P_lk(l,k＝1,2)，则可构建一个随时间变化的参数依赖的李雅普诺夫矩阵，矩阵如下：

则优化问题(22)的求解可转化为在每个采样时刻t求解如下凸优化问题：

其中：符号*代表矩阵的对称结构；W＝1.7,R＝0.05； Z是一个对称矩阵；F(t)＝YG^-1为反馈增益矩阵；Q_lk、Q_αβ,为求解凸优化问题的中间矩阵变量，其中l,k,α,β取值为1或2，为求解凸优化问题的中间矩阵变量；上述线性矩阵不等式中，X(t|t)是t时刻根据测得的系统输入输出数据和RBF-ARX模型计算得到的状态向量；Y,G,Q_lk,和Z均为最小化变量γ求解过程中的中间变量，在求解最小化问题时，优化函数会根据上述约束条件自动寻找满足使γ最小的中间变量Y,G,Q_lk,和Z是否存在，当找到合适的中间变量Y,G,Q_lk,和Z时，则t时刻最小化优化求解过程结束，进而可计算F(t)＝YG^-1。

基于上述设计的优化算法，本发明将离线计算方法和在线综合技术相结合，设计快速鲁棒预测控制方法如下：

离线计算算法:

(1)设定是离线设计的状态向量,是的第一个元素,其它元素均为0；设定为8，κ是设置的比例因子-0.75(即，X_1,1＝7.25，X_2,1＝6.50，X_3,1＝5.75，X_4,1＝5.00，X_5,1＝4.25，X_6,1＝3.50，X_7,1＝2.75，X_8,1＝2.00，X_9,1＝1.25，X_10,1＝0.5)，令i₀＝1，执行以下步骤(2)；

(2)对于添加约束条件(当i₀＝1时，该附加约束条件忽略)求解3)中优化问题获得和然后计算将和保存到列表；

(3)令i₀＝i₀+1，如果i₀≤10返回(2)，否则，离线计算算法结束。

在线综合:

(1)给定X₀满足

(2)在t时刻,根据离线辨识得到的RBF-ARX模型和状态向量的定义计算X(t|t)，从i₀＝1开始搜索离线算法得到的列表；

(3)判断i₀是否满足和若满足，则令并执行步骤(5)，否则，执行下一步骤(4)；

(4)令i₀＝i₀+1，如果i₀＜10返回(3)，如果i₀＝10，令F(t)＝F₁₀并执行步骤(5)；

(5)计算控制输入增量执行控制输入到磁悬浮球系统。

通过在线算法进行实时调节磁悬浮球系统的输入电磁绕组输入电压v(t)，达到系统输出小球位移s(t)跟踪给定目标轨迹。

Claims (2)

1.一种基于RBF-ARX模型的快速鲁棒预测控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)对被控系统离线建立描述系统动态特性的非线性状态相依RBF-ARX模型：

其中：y和u分别代表被控系统的输出和输入；n₀为系统输出输入的阶次； 为状态量w(t)的函数型系数；ξ(t+1)为高斯白噪声；状态向量定义为w(t)＝[y(t) y(t-1)]^T，y(t)为t时刻系统的输出；{z_j,λ_j|j＝y或u}为RBF神经网络的中心向量和比例因子；为常数系数的转置；x^Tx为2范数；是高斯神经网络相应的权重系数；非线性参数{z_j,λ_j|j＝yoru}和线性参数均通过SNPOM优化方法离线优化计算得到；

2)基于上述RBF-ARX模型的结构特点构造出能够包裹系统非线性动态的多面体模型；

3)基于上述多面体模型，设计基于RBF-ARX模型的可通过求解凸优化问题实现的最优输出跟踪的鲁棒预测控制方法：

其中：符号*代表矩阵的对称结构；W和R分别为状态量X和控制增量的权重系数；和分别是的最小值、最大值；Z是一个对称矩阵；F(t)＝YG^-1为反馈增益矩阵；Q_lk和Q_αβ为求解凸优化问题的中间矩阵变量，其中l,k,α,β取值均为1或2；X(t|t)是t时刻根据测得的系统输入输出数据和RBF-ARX模型计算得到的状态向量；Y,G,Q_lk,和Z均为最小化变量γ求解过程中的中间变量；

4)设计如下离线计算方法和在线计算方法：

离线计算方法：

I)设定X_set＝[X₁,X₂,…,X₁₀],是离线设计的状态向量,当2≤i₀≤10时，是的第一个元素,其它元素均为0；是系统输出偏差的最大值，κ是由和控制系统的控制精度设置的比例因子，令i₀＝1，执行以下步骤II)；i₀＝1,2,…,10；

II)对于添加约束条件求解3)中优化问题获得 和然后计算将和保存到列表；l,k＝1,2；

III)令i₀＝i₀+1，如果i₀≤10返回步骤II)，否则，离线计算算法结束；

在线计算方法：

A)给定X₀满足

B)在t时刻,根据离线辨识得到的RBF-ARX模型和状态向量的定义计算X(t|t)，从i₀＝1开始搜索所述列表；

C)判断i₀是否满足和若满足，则令并执行步骤E)，否则，执行下一步骤D)；

D)令i₀的值加1，如果i₀＜10返回步骤C)，如果i₀＝10，令F(t)＝F₁₀并执行步骤E)；

E)计算控制输入增量输入到被控系统。

2.根据权利要求1所述的基于RBF-ARX模型的快速鲁棒预测控制方法，其特征在于，所述多面体模型如下：

定义如下偏差变量：

其中：u(t+j₁)为t+j₁时刻的控制输入量；u(t+j₁-1)为t+j₁-1时刻的控制输入量；y(t+i₁)为t+i₁时刻的控制输出量；为t+j₁时刻的控制输入增量；为t+i₁时刻的控制输出偏差；y_r为t时刻系统的期望输出；

由上式得到一步向前预测的输出偏差如下：

其中：为RBF-ARX模型的建模误差ξ(t+1|t)的平均值；根据以上RBF-ARX模型和定义的变量，获得描述系统当前行为X(t+1|t)和将来行为X(t+g+1|t)的两个状态空间模型结构分别如下：

其中，系数矩阵A_t,B_t,Ξ(t)和X(t|t)分别是t时刻RBF-ARX模型的系数矩阵和状态向量；由状态相依系数常量a_1,t+g|t和b_1,t+g|t构成的未来未知状态矩阵[A_t+g|t,B_t+g|t]由如下两个凸线性多面体动态包裹：

其中：为多面体时变线性系数,且

由多面体Ω_A的顶点A_l和Ω_B的顶点B_k进行鲁棒控制器优化算法的设计；当l＝1时A_l＝A₁，当l＝2时A_l＝A₂；当k＝1时B_k＝B₁，当k＝2时B_k＝B₂；A_l，B_k中的各元素从系统RBF-ARX模型中状态相依函数型系数的上下限计算得到：

其中,为高斯神经网络相应的权重系数，由SNPOM方法优化得到；为关于变量w(t)的函数的上限值，为关于变量w(t)的函数的下限值；为关于变量w(t)的函数的上限值，为关于变量w(t)的函数的下限值；表示对于任意的w(t)。