CN109189087B - 一种垂直起降重复使用运载器的自适应容错控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种垂直起降重复使用运载器的自适应容错控制方法，包括以下步骤：步骤一：制导指令获取；步骤二：着陆段容错控制模型建立；步骤三：固定时间收敛扩张状态观测器设计；步骤四：非奇异快速终端滑模面设计；步骤五：自适应容错控制器设计。通过这种设计模式不仅有效提高了系统对复杂外部干扰抑制能力和多种发动机故障模式下的自适应容错能力，同时也能保证姿态制导指令的快速、精确跟踪。

Description

一种垂直起降重复使用运载器的自适应容错控制方法

技术领域

本发明属于飞行器控制技术领域，特别是涉及一种垂直起降重复使用运载器的自适应容错控制方法。

背景技术

垂直起降重复使用运载器从发射场起飞到最终定点软着陆需要经历主动飞行段、调姿飞行段、修航段、高空无动力再入段、高空点火减速飞行段、大气层内栅格舵控制飞行段和垂直着陆段等七个飞行过程。其中，垂直着陆段是最后一个飞行段，主要完成位置、姿态和速度的精确控制，使其位置控制精度在10m以内，着陆姿态精度2°以内，速度控制在2m/s以内。然而，在垂直着陆段由于速度较低(130m/s左右)、风干扰较大(风攻角可达50°～90°)、推力调节响应时间较慢、发动机工作时间短因而位置修正能力有限和发动机执行机构易出现故障等因素，给垂直起降重复使用运载器精确软着陆控制技术带来了极大挑战，亟需研究一种具有强鲁棒、快响应、高精度和自适应的容错控制器，这对于垂直起降重复使用运载器回收定点软着陆技术具有重要的研究意义。

通过对已有技术文献进行检索分析，目前针对运载器的容错控制系统设计主要分为主动容错控制技术和被动容错控制技术两类。其中被动容错控制主要基于鲁棒控制技术设计相应的控制器，不需要依赖于任何在线故障信息，只针对事先已知的故障设计固定的控制器以确保闭环系统的稳定性。而主动容错控制技术一般可直接利用在线故障信息，在线重构控制器以保证故障发生后系统良好的控制性能指标。此外，主动容错控制技术还可以利用间接的故障估计信号，在线调节控制器，从而保持系统的稳定性。在被动容错控制方面，主要有孟洲提出了一种时变的模型参考自适应容错控制方法，通过小扰动线性化方程设计自适应控制器，进而通过李亚普诺夫方法证明其渐进稳定性并保证闭环系统性能指标。然而大部分被动容错控制方法需要设计自适应控制律，存在参数设计复杂、初值选取难以确定、控制精度不高和鲁棒性有限等缺点，难以保证垂直起降重复使用运载器着陆段的高精度姿态控制需求。在主动容错控制器设计方面，赵琳针对执行机构不确定性、未知扰动和部分失效故障提出了一种自适应快速终端滑模容错控制器，利用自适应算法在线估计得到故障信息，进而设计相应的控制器以保证姿态跟踪误差在有限时间内收敛至零。然而该方法的收敛时间受初始状态误差影响较大，需要依赖较为精确的动力学模型及气动模型，鲁棒性不高，控制精度难以提高等缺点。

发明内容

本发明目的是为了解决垂直起降重复使用运载器在着陆段飞行时，存在发动机伺服机构故障条件下的高精度自主着陆控制问题，提出了一种垂直起降重复使用运载器的自适应容错控制方法。

本发明的目的通过以下技术方案实现：一种垂直起降重复使用运载器的自适应容错控制方法，包括以下步骤：

步骤一：设计垂直起降重复使用运载器着陆段的多约束制导律，转换后直接获得俯仰角、偏航角及滚转角的姿态制导指令；

步骤二：建立执行机构为发动机的故障动力学模型基础上的垂直起降重复使用运载器着陆段姿态控制模型；

步骤三：将发动机执行机构故障引起的附加动力学、外部干扰、模型不确定性和耦合干扰统一视为总干扰，采用具有固定时间收敛特性的扩张状态观测器进行估计；

步骤四：根据步骤三所述固定时间收敛扩张状态观测器状态估计结果，进行非奇异快速终端滑模面设计；

步骤五：将固定时间收敛扩张状态观测器和非奇异快速终端滑模面结合，设计自适应增益的容错控制器以实现高精度姿态跟踪控制。

进一步地，所述步骤一具体为：

在垂直起降重复使用运载器着陆段飞行过程中，采用多约束制导律以保证位置、姿态和速度的着陆要求；位置和姿态以过载形式给出的多约束制导律来保证精度要求，速度是通过推力调节控制律进行控制；其中过载制导律为：

u＝a₀-g (1)

其中a₀为垂直起降重复使用运载器当前的加速度矢量，u为推力加速度矢量和气动力加速度矢量和，g为重力加速度；定义u＝[u_x u_y u_z]^T，则获得推力大小及姿态角制导指令为：

式中m为垂直起降重复使用运载器当前飞行时刻的质量，P₀用于火箭发动机推力大小控制，

ψ_c和γ_c为俯仰角、偏航角和滚转角制导指令；u_x，u_y和u_z分别代表推力在体坐标系下的方向矢量值。

进一步地，所述步骤二具体为：

定义姿态角状态变量

姿态角速率向量X₂＝[ω_x ω_y ω_z]^T；

为俯仰角，ψ为偏航角，γ为滚转角，ω_x为俯仰角速率，ω_y为偏航角速率，ω_z为滚转角速率；发动机摆角的控制向量

其中M_RCS为滚转通道RCS控制力矩，

和δ_ψ分别代表俯仰方向和偏航方向的发动机摆角，由此可得姿态动力学方程有：

其中，J_x，J_y和J_z代表垂直起降重复使用运载器的转动惯量，

分别代表滚转角加速度、偏航角加速度和俯仰角加速度；x_R为发动机摆动铰链点位置离箭体顶点的距离，x_T为运载器质心离箭体顶点的距离，D₁代表气动力矩及其他干扰力矩；

姿态运动学方程有：

式中

为

的导数，

为ψ的导数，

为γ的导数；

由式(3)和式(4)可得姿态控制状态空间模型为：

其中

为X₁的导数，

为X₂的导数；

考虑执行机构故障模式下，其故障动力学模型为：

U_F＝ΛU+ρ₁ (6)

其中

为增益矩阵，满足0≤Λ_A≤1，

当Λ_A＝1则表示执行机构无故障；当Λ_A＝0时，表明执行机构完全失效；当0＜Λ_A＜1时，表明执行机构部分失效；而

代表执行机构输出随机偏差；U_F代表发动机执行机构故障后的输出控制指令矢量值，ρ_1γ，ρ_1ψ，

是发动机执行机构在滚转、偏航和俯仰方向的等效摆角随机误差；

将故障动力学模型代入式(5)可得故障模式下的姿态控制模型：

对式(7)中第一个表达式求导可得：

其中

定义制导指令状态向量有

并令姿态角制导跟踪误差向量为

由此可得

进一步简化可得

其中

B＝HJ^-1B₁。

进一步地，所述步骤三具体为：

针对式(10)，设计如下切换形式的扩张状态观测器：

其中

T_u为增益切换时间，k₁，k₂和k₃为观测器增益系数；

sign(x)为符号函数；同理

和

α₁∈(1-ε,1)，α₂＝2α₁-1，α₃＝3α₁-2为幂次系数，ε为一个无穷小的正数；同理β₁∈(1,1+ε₁)，β₂＝2β₁-1，β₃＝3β₁-2，ε₁同样为一个无穷小的正数；Z₁，Z₂，Z₃分别表示对e₁、e₂和D的估计值；

分别表示Z₁，Z₂和Z₃的导数值；Υ表示与扰动有关的增益系数；则观测器观测误差ξ₁＝e₁-Z₁，

和ξ₃＝D-Z₃将在固定的时间T₁内收敛至零。

进一步地，所述步骤四具体为：

将固定时间收敛的扩张状态观测器估计的跟踪误差导数Z₂引入到滑模面设计中，可得到如下所示的滑模面：

其中1＜γ₂＜2，K(e₁)＝diag([k₁(e₁₁),k₂(e₁₂),k₃(e₁₃)])，k_i(e_1i)＞0,i＝1,2,3，且有如下设计结果：

其中0＜ε₀≤1，λ₁＞0，λ₂＞0，γ₁＞1，

则其滑模面将在固定的时间内收敛至零；收敛时间上界为：

其中

进一步地，所述步骤五具体为：

首先依据前述所设计的扩张状态观测器式(11)及滑模面式(12)，设计如下所示的具有固定时间收敛特性的自适应增益的容错控制器：

式中

||S||表示滑模面的模值，c表示幂次系数，sig(S)^μ表示sig^μ(S)＝[|S(1)|^μsign(S(1)) |S(2)|^μsign(S(2)) |S(3)|^μsign(S(3))]^T,0＜k＜1，τ₁＞0，μ＞1，0＜η＜1，K₁＞0，则

将随着||S||值的变化而变化，从而实现增益自适应调整，Z₃为扰动的估计值，同时F定义如下：

其中

定义有如下所示：

其中Z_2l代表的是跟踪误差角导数Z₂向量的第l个分量值；其中l＝1,2,3；

则姿态角制导跟踪误差向量e₁和e₂将在自适应增益的容错控制器的作用下在固定的时间T₃内收敛至零域附近；即有收敛时间上界：

其中

(2V_S)^c中的上标c为幂次系数；则李亚普诺夫函数V_S＝(1/2)S^TS将收敛至下述零域附近：

其李亚普诺夫导数值满足如下所示：

式中ζ表示李亚普诺夫函数导数中大于零的值，θ₁为缩放因子，满足0＜θ₁≤1；

特别地当Ψ(S)＝1时，控制增益为K₁，则收敛时间将变为

定义收敛时间误差

则将式(18)和式(21)相减可得：

由于V_S＝(1/2)S^TS，则可知V_S≥0，因此

可推得t₁＜0，进而有

进一步可得姿态跟踪误差e₁的收敛零域为：

e₂或者

的收敛零域为：

其中

|Ξ_i|表示其绝对值；

综上，无论外部多大的扰动或任何模式的执行器故障，垂直起降重复使用运载器的姿态角将在固定时间内跟踪制导指令；收敛时间上界为：

T_c≤T₁+T₂+T₃ (25)

至此，即完成了针对垂直起降重复使用运载器着陆段的自适应容错控制方法。

本发明有益效果：

本发明首先针对垂直起降重复使用运载器着陆段设计的多约束制导律，获得了姿态角制导指令。随后，建立了垂直着陆段考虑发动机执行机构故障条件下的姿态跟踪控制模型，并将其转化为简单的二阶系统。然后，利用固定时间收敛的扩张状态观测器对系统中的不确定性和故障进行估计，进而设计具有切换形式的非奇异快速终端滑模面。最后基于设计的滑模面和扩张状态观测器设计了具有自适应增益的固定时间收敛滑模容错控制器。该控制器首先将故障和干扰统一考虑，因而具有模型简单、设计过程简洁、无需依赖精确的故障动力学模型和动力学模型等优点。此外，固定时间收敛的扩张状态观测器可以在确定的时间内估计故障和扰动，具有设计参数较少、观测器结构简洁和收敛性好等优点。非奇异终端滑模面基于跟踪误差值大小采用了切换形式的两种传统非奇异终端滑模面，相对于已有方法具有收敛速度更快、可有效避免奇异问题等优点。此外，基于滑模面模值大小而进行自适应增益调节，可以实现滑模面在较小的情况下采用较小的增益，而在较大的条件采用较大增益，因而在减小滑模面抖振的同时，也提高了其收敛速度，具有鲁棒性更强、自适应性更好和控制结构更简单等优点。因而在垂直起降重复使用运载器垂直着陆段姿态容错控制器设计中具有广阔的应用前景。

附图说明

图1是本发明所述一种垂直起降重复使用运载器的自适应容错控制方法的流程图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

结合图1，本发明提出一种垂直起降重复使用运载器的自适应容错控制方法，包括以下步骤：

步骤一：设计垂直起降重复使用运载器着陆段的多约束制导律，转换后直接获得俯仰角、偏航角及滚转角的姿态制导指令；

步骤二：建立执行机构为发动机的故障动力学模型基础上的垂直起降重复使用运载器着陆段姿态控制模型；

步骤三：将发动机执行机构故障引起的附加动力学、外部干扰、模型不确定性和耦合干扰统一视为总干扰，采用具有固定时间收敛特性的扩张状态观测器进行估计；

步骤四：根据步骤三所述固定时间收敛扩张状态观测器状态估计结果，进行非奇异快速终端滑模面设计；

步骤五：将固定时间收敛扩张状态观测器和非奇异快速终端滑模面结合，设计自适应增益的容错控制器以实现高精度姿态跟踪控制，并克服多种常规的执行机构故障模式。

所述步骤一具体为：

在垂直起降重复使用运载器着陆段飞行过程中，采用多约束制导律以保证位置、姿态和速度的着陆要求；位置和姿态以过载形式给出的多约束制导律来保证精度要求，速度是通过推力调节控制律进行控制；其中过载制导律为：

u＝a₀-g (1)

其中a₀为垂直起降重复使用运载器当前的加速度矢量，u为推力加速度矢量和气动力加速度矢量和，g为重力加速度；定义u＝[u_x u_y u_z]^T，则获得推力大小及姿态角制导指令为：

式中m为垂直起降重复使用运载器当前飞行时刻的质量，P₀用于火箭发动机推力大小控制，

ψ_c和γ_c为俯仰角、偏航角和滚转角制导指令。u_x，u_y和u_z分别代表推力在体坐标系下的方向矢量值。

所述步骤二具体为：

定义姿态角状态变量

姿态角速率向量X₂＝[ω_x ω_y ω_z]^T；

为俯仰角，ψ为偏航角，γ为滚转角，ω_x为俯仰角速率，ω_y为偏航角速率，ω_z为滚转角速率；发动机摆角的控制向量

其中M_RCS为滚转通道RCS控制力矩，

和δ_ψ分别代表俯仰方向和偏航方向的发动机摆角，由此可得姿态动力学方程有：

其中，J_x，J_y和J_z代表垂直起降重复使用运载器的转动惯量，

分别代表滚转角加速度、偏航角加速度和俯仰角加速度。x_R为发动机摆动铰链点位置离箭体顶点的距离，x_T为运载器质心离箭体顶点的距离，D₁代表气动力矩及其他干扰力矩；

姿态运动学方程有：

式中

为

的导数，

为ψ的导数，

为γ的导数；

由式(3)和式(4)可得姿态控制状态空间模型为：

其中

为X₁的导数，

为X₂的导数；

考虑执行机构故障模式下，其故障动力学模型为：

U_F＝ΛU+ρ₁ (6)

其中

为增益矩阵，满足0≤Λ_A≤1，

当Λ_A＝1则表示执行机构无故障；当Λ_A＝0时，表明执行机构完全失效；当0＜Λ_A＜1时，表明执行机构部分失效；而

代表执行机构输出随机偏差；U_F代表发动机执行机构故障后的输出控制指令矢量值，

是发动机执行机构在滚转、偏航和俯仰方向的等效摆角随机误差。

将故障动力学模型代入式(5)可得故障模式下的姿态控制模型：

对式(7)中第一个表达式求导可得：

其中

定义制导指令状态向量有

并令姿态角制导跟踪误差向量为

由此可得

进一步简化可得

其中

所述步骤三具体为：

针对式(10)，设计如下切换形式的扩张状态观测器：

其中

T_u为增益切换时间，k₁，k₂和k₃为观测器增益系数；

sign(x)为符号函数；同理

和

α₁∈(1-ε,1)，α₂＝2α₁-1，α₃＝3α₁-2为幂次系数，ε为一个无穷小的正数；同理β₁∈(1,1+ε₁)，β₂＝2β₁-1，β₃＝3β₁-2，ε₁同样为一个无穷小的正数；Z₁，Z₂，Z₃分别表示对e₁、e₂和D的估计值；

分别表示Z₁，Z₂和Z₃的导数值；Υ表示与扰动有关的增益系数。则观测器观测误差ξ₁＝e₁-Z₁，

和ξ₃＝D-Z₃将在固定的时间T₁内收敛至零。

所述步骤四具体为：

将固定时间收敛的扩张状态观测器估计的跟踪误差导数Z₂，即，e₂的估计值，引入到滑模面设计中，可得到如下所示的滑模面：

其中1＜γ₂＜2，K(e₁)＝diag([k₁(e₁₁),k₂(e₁₂),k₃(e₁₃)])，k_i(e_1i)＞0,i＝1,2,3，且有如下设计结果：

其中0＜ε₀≤1，λ₁＞0，λ₂＞0，γ₁＞1，

则其滑模面将在固定的时间内收敛至零；收敛时间上界为：

其中

所述步骤五具体为：

首先依据前述所设计的扩张状态观测器式(11)及滑模面式(12)，设计如下所示的具有固定时间收敛特性的自适应增益的容错控制器：

式中

||S||表示滑模面的模值，c表示幂次系数，sig(S)^μ表示sig^μ(S)＝[|S(1)|^μsign(S(1)) |S(2)|^μsign(S(2)) |S(3)|^μsign(S(3))]^T,0＜k＜1，τ₁＞0，μ＞1，0＜η＜1，K₁＞0，则

将随着||S||值的变化而变化，从而实现增益自适应调整，Z₃为扰动的估计值，即，D的估计值，同时F定义如下：

其中

定义有如下所示：

其中Z_2l代表的是跟踪误差角导数Z₂向量的第l个分量值；其中l＝1,2,3。

则姿态角制导跟踪误差向量e₁和e₂将在自适应增益的容错控制器的作用下在固定的时间T₃内收敛至零域附近；即有收敛时间上界：

其中

(2V_S)^c中的上标c为幂次系数；则李亚普诺夫函数V_S＝(1/2)S^TS将收敛至下述零域附近：

其李亚普诺夫导数值满足如下所示：

式中ζ表示李亚普诺夫函数导数中大于零的值，θ₁为缩放因子，满足0＜θ₁≤1。

特别地当Ψ(S)＝1时，控制增益为K₁，则收敛时间将变为

定义收敛时间误差

则将式(18)和式(21)相减可得：

由于V_S＝(1/2)S^TS，则可知V_S≥0，因此

可推得t₁＜0，进而有

进一步可得姿态跟踪误差e₁的收敛零域为：

e₂或者

的收敛零域为：

其中

|Ξ_i|表示其绝对值。

综上，无论外部多大的扰动或任何模式的执行器故障，垂直起降重复使用运载器的姿态角将在固定时间内跟踪制导指令；收敛时间上界为：

T_c≤T₁+T₂+T₃ (25)

至此，即完成了针对垂直起降重复使用运载器着陆段的自适应容错控制方法。

本发明针对现有自适应容错控制器计算量较大、设计过程较为复杂和无法保证固定时间收敛特性的缺点而提出，将发动机等执行机构发生故障模式下引起的附加动力学、参数不确定性和外部干扰统一视为总干扰，从而利用固定时间收敛扩张状态观测器进行观测估计，进而设计相应的滑模面和具有自适应增益的滑模容错控制器。通过这种设计模式不仅有效提高了系统对复杂外部干扰抑制能力和多种发动机故障模式下的自适应容错能力，同时也能保证姿态制导指令的快速、精确跟踪。

以上对本发明所提供的一种垂直起降重复使用运载器的自适应容错控制方法，进行了详细介绍，本文中应用了具体个例对本发明的原理及实施方式进行了阐述，以上实施例的说明只是用于帮助理解本发明的方法及其核心思想；同时，对于本领域的一般技术人员，依据本发明的思想，在具体实施方式及应用范围上均会有改变之处，综上所述，本说明书内容不应理解为对本发明的限制。

Claims (1)

1.一种垂直起降重复使用运载器的自适应容错控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一：设计垂直起降重复使用运载器着陆段的多约束制导律，转换后直接获得俯仰角、偏航角及滚转角的姿态制导指令；

步骤二：建立执行机构为发动机的故障动力学模型基础上的垂直起降重复使用运载器着陆段姿态控制模型；

步骤三：将发动机执行机构故障引起的附加动力学、外部干扰、模型不确定性和耦合干扰统一视为总干扰，采用具有固定时间收敛特性的扩张状态观测器进行估计；

步骤四：根据步骤三所述固定时间收敛特性的扩张状态观测器状态估计结果，进行非奇异快速终端滑模面设计；

步骤五：将固定时间收敛特性的扩张状态观测器和非奇异快速终端滑模面结合，设计自适应增益的容错控制器以实现高精度姿态跟踪控制；

所述步骤一具体为：

在垂直起降重复使用运载器着陆段飞行过程中，采用多约束制导律以保证位置、姿态和速度的着陆要求；位置和姿态以过载形式给出的多约束制导律来保证精度要求，速度是通过推力调节控制律进行控制；其中过载制导律为：

u＝a₀-g (1)

其中a₀为垂直起降重复使用运载器当前的加速度矢量，u为加速度矢量与重力加速度的差值，g为重力加速度；定义u＝[u_x u_y u_z]^T，则获得推力大小及姿态角制导指令为：

式中m为垂直起降重复使用运载器当前飞行时刻的质量，P₀用于火箭发动机推力大小控制，

ψ_c和γ_c为俯仰角、偏航角和滚转角制导指令；u_x，u_y和u_z分别代表推力在体坐标系下的方向矢量值；

所述步骤二具体为：

定义姿态角状态变量

姿态角速率向量X₂＝[ω_x ω_y ω_z]^T；

为俯仰角，ψ为偏航角，γ为滚转角，ω_x为俯仰角速率，ω_y为偏航角速率，ω_z为滚转角速率；发动机摆角的控制向量

其中M_RCS为滚转通道RCS控制力矩，

和δ_ψ分别代表俯仰方向和偏航方向的发动机摆角，由此得姿态动力学方程有：

其中，J_x，J_y和J_z代表垂直起降重复使用运载器的转动惯量，

分别代表俯仰角加速度、偏航角加速度和滚转角加速度；x_R为发动机摆动铰链点位置离箭体顶点的距离，x_T为运载器质心离箭体顶点的距离，D₁代表气动力矩及其他干扰力矩；

姿态运动学方程有：

式中

为

的导数，

为ψ的导数，

为γ的导数；

由式(3)和式(4)得姿态控制状态空间模型为：

其中

为X₁的导数，

为X₂的导数；

考虑执行机构故障模式下，其故障动力学模型为：

U_F＝ΛU+ρ₁ (6)

其中

为增益矩阵，满足0≤Λ_A≤1，

当Λ_A＝1则表示执行机构无故障；当Λ_A＝0时，表明执行机构完全失效；当0＜Λ_A＜1时，表明执行机构部分失效；而

代表执行机构输出随机偏差；U_F代表发动机执行机构故障后的输出控制指令矢量值，ρ_1γ，ρ_1ψ，

是发动机执行机构在滚转、偏航和俯仰方向的等效摆角随机误差；

将故障动力学模型代入式(5)得故障模式下的姿态控制模型：

对式(7)中第一个表达式求导得：

其中

定义制导指令状态向量有

并令姿态角制导跟踪误差向量为

由此得到

进一步简化得到：

其中

B＝HJ^-1B₁；

所述步骤三具体为：

针对式(10)，设计如下切换形式的扩张状态观测器：

其中

T_u为增益切换时间，k₁，k₂和k₃为扩张状态观测器增益系数；

sign(x)为符号函数；同理

和

α₁∈(1-ε,1)，α₂＝2α₁-1，α₃＝3α₁-2为幂次系数，ε为一个无穷小的正数；同理β₁∈(1,1+ε₁)，β₂＝2β₁-1，β₃＝3β₁-2，ε₁同样为一个无穷小的正数；Z₁，Z₂，Z₃分别表示对e₁、e₂和D的估计值；

分别表示Z₁，Z₂和Z₃的导数值；Υ表示与扰动有关的增益系数；则扩张状态观测器观测误差ξ₁＝e₁-Z₁，

和ξ₃＝D-Z₃将在固定的时间T₁内收敛至零；

所述步骤四具体为：

将固定时间收敛的扩张状态观测器估计的跟踪误差角导数Z₂，即，e₂的估计值，引入到滑模面设计中，得到如下所示的滑模面：

其中1＜γ₂＜2，K(e₁)＝diag([k₁(e₁₁),k₂(e₁₂),k₃(e₁₃)])，k_i(e_1i)＞0,i＝1,2,3，且有如下设计结果：

其中0＜ε₀≤1，λ₁＞0，λ₂＞0，γ₁＞1，

则其滑模面将在固定的时间内收敛至零；收敛时间上界为：

其中

所述步骤五具体为：

首先依据所设计的扩张状态观测器式(11)及滑模面式(12)，设计如下所示的具有固定时间收敛特性的自适应增益的容错控制器：

式中

||S||表示滑模面的模值，c表示幂次系数，sig(S)^μ表示sig^μ(S)＝[|S(1)|^μsign(S(1)) |S(2)|^μsign(S(2)) |S(3)|^μsign(S(3))]^T，0＜k＜1，τ₁＞0，μ＞1，0＜η＜1，K₁＞0，则

将随着||S||值的变化而变化，从而实现增益自适应调整，Z₃为扰动的估计值，即，D的估计值，同时F定义如下：

其中

定义有如下所示：

其中Z_2l代表的是跟踪误差角导数Z₂向量的第l个分量值；其中l＝1,2,3；

则姿态角制导跟踪误差向量e₁和e₂将在自适应增益的容错控制器的作用下在固定的时间T₃内收敛至零域附近；即有收敛时间上界：

其中

(2V_S)^c中的上标c为幂次系数；则李亚普诺夫函数V_S＝(1/2)S^TS将收敛至下述零域附近：

其李亚普诺夫导数值满足如下所示：

式中ζ表示李亚普诺夫函数导数中大于零的值，θ₁为缩放因子，满足0＜θ₁≤1；

当Ψ(S)＝1时，控制增益为K₁，则收敛时间将变为

定义收敛时间误差

则将式(18)和式(21)相减得到：

由于V_S＝(1/2)S^TS，则可知V_S≥0，因此

能够推得t₁＜0，进而有

进一步得到姿态跟踪误差e₁的收敛零域为：

e₂或者

的收敛零域为：

其中

|Ξ_i|表示其绝对值；

综上，无论外部多大的扰动或任何模式的执行器故障，垂直起降重复使用运载器的姿态角将在固定时间内跟踪制导指令；收敛时间上界为：

T_c≤T₁+T₂+T₃ (25)

至此，即完成了针对垂直起降重复使用运载器着陆段的自适应容错控制方法。

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