CN112835372B - 四旋翼无人机的固定时间控制方法 - Google Patents

四旋翼无人机的固定时间控制方法 Download PDF

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CN112835372B CN202011368767.1A CN202011368767A CN112835372B CN 112835372 B CN112835372 B CN 112835372B CN 202011368767 A CN202011368767 A CN 202011368767A CN 112835372 B CN112835372 B CN 112835372B
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Abstract

本发明涉及四旋翼无人机轨迹跟踪控制技术领域，尤其涉及包括以下步骤：建立四旋翼无人机的动力学模型，计算俯仰角与横滚角的目标跟踪值；基于步骤1建立的动力学模型，设计跟踪误差性能函数，实现预定性能，并对跟踪误差进行转换；设计固定时间扩张状态观测器，并计算固定时间TFxTESO；基于步骤2的跟踪误差性能函数，和步骤3的固定时间扩张状态观测器，设计固定时间非奇异终端滑模控制器，并计算固定时间TFxTNTSMC。与传统的滑模控制相比，本发明中设计的固定时间非奇异终端滑模控制器不仅能够实现固定时间收敛，而且通过引入分段函数ρ(x)巧妙地解决了滑模趋近律的计算过程中存在的奇异性问题。

Description

四旋翼无人机的固定时间控制方法
技术领域
本发明涉及四旋翼无人机轨迹跟踪控制技术领域，尤其涉及一种四旋翼无人机的固定时间控制方法。
背景技术
近年来，随着新材料的应用、电池性能的提高、传感器技术和控制方法的进步，四旋翼无人机因其结构简单、灵活稳固、垂直起降等优点得到了快速发展，并在军事、商业和日常生活中得到了广泛的应用，如战场勘探、航拍摄影、消防安全等。当旋翼高速旋转时，会产生较大的空气阻力，对四旋翼无人机的轨迹跟踪性能产生不利影响；同时，由于特殊的工作场合需求，四旋翼无人机不仅要稳定、快速地跟踪上目标变化，还要满足一定的瞬态跟踪性能要求；此外，由于四旋翼无人机动力学模型具有非线性、多变量、强耦合和欠驱动特性，使得位置和姿态角控制器的设计存在一定困难。因此，设计一个基于预定性能和扩张状态观测器的固定时间控制方法使四旋翼无人机高效、可靠地完成指定任务显得尤为重要。
预定性能是指跟踪误差收敛轨迹的超调和收敛速度满足预定要求，并能最终收敛到非常小的预定邻域内。其核心思想是通过函数变换思想将跟踪误差的预定性能转换为一个新的系统变量的有界性问题。扩张状态观测器的思想就是把能够影响被控输出的外界扰动扩张成一个新的状态变量，用特殊的反馈机制来建立能够观测“被扩张的状态”的观测器。滑模控制与其它控制的不同之处在于系统的“结构”并不固定，而是根据当前的状态，按照给定的“滑动模态”的状态轨迹运动。由于滑动模态可以进行设计且与对象参数及扰动无关，使得其具有快速响应、对参数变化及扰动不敏感、实现简单等优点。但是存在一个严重的缺点就是抖振。由于扩张状态观测器能够实时观测外部扰动，在滑模控制方法中采用恰当方法对扰动加以补偿，就可以有效的减弱抖振现象。固定时间收敛是指系统状态从任意初始条件出发，都将在有限时间内收敛到平衡点，且收敛时间一致有界。将固定时间理论应用观测器与控制器的设计中，可以进一步提高控制品质，实现快速稳定。
传统的非线性控制策略大多基于系统输出与目标值相减得到的跟踪误差进行设计，通过调节控制参数来提升控制系统性能，但是仅通过调节参数使系统同时满足多个预定性能指标几乎不可能实现。
发明内容
本发明的目的在于克服上述技术的不足，而提供一种四旋翼无人机的固定时间控制方法。
本发明为实现上述目的，采用以下技术方案：一种四旋翼无人机的固定时间控制方法，其特征在于：包括以下步骤：
步骤1：建立四旋翼无人机的动力学模型，计算俯仰角与横滚角的目标跟踪值；
步骤2：基于步骤1建立的动力学模型，设计跟踪误差性能函数，实现预定性能，并对跟踪误差进行转换；
步骤3：设计固定时间扩张状态观测器，并计算固定时间TFxTESO；
步骤4：基于步骤2的跟踪误差性能函数，和步骤3的固定时间扩张状态观测器，设计固定时间非奇异终端滑模控制器，并计算固定时间TFxTNTSMC。
优选地，步骤1中，俯仰角与横滚角的目标跟踪值的计算方式如下：
四旋翼无人机的动力学模型可以表示为
其中，s(·)，c(·)分别为sin(·)，cos(·)的缩写；(x，y，z)，分别表示四旋翼无人机的位置和姿态角(横滚、俯仰、偏航)；g为重力加速度；/>为外部扰动；Ix，Iy，Iz分别为沿x，y，z轴的转动惯量；ui(i＝1，2，3，4)为控制输入，为了简化计算，令
其中，(ux，uy，uz)表示虚拟控制量，即可得到俯仰角和横滚角的目标跟踪值为
优选地，所述步骤2中的跟踪误差转换方式如下：针对四旋翼无人机的各位置(x，y，z)和姿态角控制通道，不失一般性地将其转化为以下二阶系统：输入与系统输出，b0＞0为已知常数；d(t)为外部干扰；f(x)为非线性连续函数；将d(t)当作新的状态变量并估计，可以得到扩张状态系统：
其中，有界，zi(t)(i＝1，2，3)分别表示xi(t)(i＝1，2，3)的观测值，跟踪误差σ(t)＝xd(t)-z(t)，为了保证更好的瞬态性能，取误差性能指标函数为λ(t)＝(λ(0)-λ(∞))e-lt+λ(∞)
其中，l为常数，0＜|σ(0)|＜λ(0)，0＜λ(∞)＜λ(0)，设计跟踪误差为
σ(t)＝λ(t)F(ε(t))
跟踪误差性能函数F(ε(t))需满足以下几点要求：
(1)F(ε(t))是一个光滑且连续的单调递增函数；
(2)-1＜F(ε(t))＜1；
(3)limε(t)→+∞F(ε(t))＝1，limε(t)→-∞F(ε(t))＝-1.
根据上述要求，可令易得-λ(t)＜σ(t)＜λ(t)，因此，跟踪误差收敛集为E＝{σ(t)∈R：|σ(t)|≤λ∞(t)}，跟踪误差σ(t)转换为ε(t)，
其中，ε，σ和λ分别为ε(t)，σ(t)和λ(t)的缩写，对ε求导可得
其中，
优选地，步骤3中，所述固定时间扩张状态观测器设计形式如下：
其中，
zi，ei和xi分别为zi(t)，ei(t)和
xi(t)的缩写；指数αi＝iα-(i-1)＜1，且指数
βi＝iβ-(i-1)＞1，且β∈(1，1+δ)，δ＞0为非常小的正数，设计观测器增益ki(i＝1，2，3)使得矩阵
满足Hurwitz条件，然后，针对误差系统设计Lyapunov函数V(e)＝eTPe若存在PA+ATP＝-Q.其中./>为正定对称矩阵，则误差系统是全局渐近稳定的，通过V(e)≤λmax(P)||e||2和/>可得/>其中，λmin(Q)＞0为矩阵Q的最小特征值；λmax(P)＞0为矩阵P的最大特征值；考虑常值扰动，观测误差系统表示为：
满足上述设计，即可保证在固定时间TFxTESo内，误差ei(i＝1，2，3)收敛到零且观测值Zi(t)(i＝1，2，3)跟踪上输出yi(t)(i＝1，2，3)，
TFxTESO＝T1+T2
其中，对固定时间TFxTESO的求解可分两步进行：
(1)当|e1|≤0.1即θ＝1时，
简记可得
所以，函数g(e)相对于权值向量{r1，r2，r3}的齐次度d＝α-1，又由于d＜0，故函数g(e)为全局有限时间稳定，定义Lyapunov函数V(χ)＝χTPχ
其中，
可得，相对于权值向量{r1，r2，r3}，V(χ(Λr(λ)e))的齐次度为2；的齐次度为/>对V(χ)求导可得/>因此跟踪误差收敛到零所需的时间/>
(2)|e1|＞0.1即θ＝0时，与上述(1)过程相似，定义Lyapunov函数
其中，对
求导可得/>令
则/>收敛到γ所需要的时间t1
γ收敛于零所需的时间t2
从/>收敛到零所需的收敛时间
综上所述，在固定时间YFTESO内，观测值zi可以跟踪上输出yi。
优选地，所述步骤4中的固定时间TFxTNTSMC计算方式如下：
设计非奇异终端滑模面：
其中，a，b均为正常数；m，n，p和q均为正奇数，满足m＞n，p＜q＜2p；针对步骤1中扩张状态系统，设计控制律
其中，η和τ均为正数；满足上述设计，即可保证在固定时间TFxTNTSMC内，系统状态ε和/>收敛至零，
TFxTNTSMC＝Tr+Tz+Ts
对s求导可得
设计Lyapunov函数则
优选地，对步骤4中固定时间TFxTNTSMC的求解可分三步进行：
(1)当s≠0.且时，
由k＞0，可得
令p/q＝c，得到/>进一步令μ＝h1-c，则μ→0所需收敛时间为
(2)当s≠0且时，
取τ为非常小的正数，在区间可以近似的令/>则，V将在收敛时间tz内离开区域/>且/>通过(1)和(2)可得，在固定时间Tr+Tz内，s将收敛到零；
(3)当s＝0时，
则，在固定时间内，系统误差状态ε将收敛到零。
本发明的有益效果是：本发明方法实现了外部扰动下的四旋翼无人机轨迹跟踪控制。1、预定性能控制的核心思想是通过函数变换思想将系统状态或跟踪误差的预定性能约束问题转换为一个新的系统变量的有界性问题。因此，本发明采用一种跟踪误差性能函数对跟踪误差进行适当的变形，从而保证跟踪误差在预定范围且渐近趋于零。2、本发明中设计的固定时间扩张状态观测器利用两个非线性项和一个开关项，实现了固定时间收敛。与传统的扩张状态观测器相比，具有更快的收敛速度和更高的观测精度。此外，在计算四旋翼无人机的横滚角、俯仰角的目标跟踪值时，将其作为固定时间微分器使用，避免了直接微分对系统的不利影响。3、与传统的滑模控制相比，本发明中设计的固定时间非奇异终端滑模控制器不仅能够实现固定时间收敛，而且通过引入分段函数ρ(x)巧妙地解决了滑模趋近律的计算过程中存在的奇异性问题。
附图说明
图1为四旋翼无人机机体坐标系和地面坐标系示意图；
图2为四旋翼无人机结构图；
图3为四旋翼无人机控制系统框图；
图4为四旋翼无人机x位置与姿态角跟踪曲线图；
图5为四旋翼无人机y位置与姿态角跟踪曲线图；
图6为四旋翼无人机z位置与姿态角跟踪曲线图；
图7为四旋翼无人机横滚角位置与姿态角跟踪曲线图；
图8为四旋翼无人机俯仰角θ位置与姿态角跟踪曲线图；
图9为四旋翼无人机偏航角ψ位置与姿态角跟踪曲线图；
图10为跟踪误差εz收敛曲线图；
图11为控制输入uz变化曲线图；
图12为位置Z的有限时间控制跟踪曲线对比图；
图13为位置Z的固定时间控制跟踪曲线对比图。
具体实施方式
一种四旋翼无人机的固定时间控制方法，其特征在于：包括以下步骤：
步骤1：建立四旋翼无人机的动力学模型，计算俯仰角与横滚角的目标跟踪值；
图1和图2所示为一种“x”型四旋翼无人机的示意图，它共有位置x，y，z和姿态角六个自由度，并通过调节四个旋翼的转速实现平动和转动。其中oxyz为机体坐标系；OeXeYeZe为地面坐标系。
四旋翼无人机的动力学模型可以表示为
其中，s(·)，c(·)分别为sin(·)，cos(·)的缩写；(x，y，z)，分别表示四旋翼无人机的位置和姿态角(横滚、俯仰、偏航)；g为重力加速度；/>为外部扰动；Ix，Iy，Iz分别为沿x，y，z轴的转动惯量；ui(i＝1，2，3，4)为控制输入，为了简化计算，令
其中，(ux，uy，uz)表示虚拟控制量，即可得到俯仰角和横滚角的目标跟踪值为
步骤2：基于步骤1建立的动力学模型，设计跟踪误差性能函数，实现预定性能，并对跟踪误差进行转换：
针对四旋翼无人机的各位置(x，y，z)和姿态角控制通道，不失一般性地将其转化为以下二阶系统：/>
其中，存在且连续，/>分别为控制输入与系统输出，b0＞0为已知常数；d(t)为外部干扰；f(x)为非线性连续函数；将d(t)当作新的状态变量并估计，可以得到扩张状态系统：
其中，有界，zi(t)(i＝1，2，3)分别表示xi(t)(i＝1，2，3)的观测值，跟踪误差σ(t)＝xd(t)-z(t)，为了保证更好的瞬态性能，取误差性能指标函数为λ(t)＝(λ(0)-λ(∞))e-lt+λ(∞)
其中，l为常数，0＜|σ(0)|＜λ(0)，0＜λ(∞)＜λ(0)，设计跟踪误差为
σ(t)＝λ(t)F(ε(t))
跟踪误差性能函数F(ε(t))需满足以下几点要求：
(1)F(ε(t))是一个光滑且连续的单调递增函数；
(2)-1＜F(ε(t))＜1；
(3)limε(t)→+∞F(ε(t))＝1，limε(t)→-∞F(ε(t))＝-1.
根据上述要求，可令易得-λ(t)＜σ(t)＜λ(t)，因此，跟踪误差收敛集为E＝{σ(t)∈R：|σ(t)|≤λ∞(t)}，跟踪误差σ(t)转换为ε(t)，
其中，ε，σ和λ分别为ε(t)，σ(t)和λ(t)的缩写，对ε求导可得
其中，
步骤3：设计固定时间扩张状态观测器，并计算固定时间TFxTESO
优选地，步骤3中，所述固定时间扩张状态观测器设计形式如下：
其中，
zi，ei和xi分别为zi(t)，ei(t)和
xi(t)的缩写；指数αi＝iα-(i-1)＜1，且α∈(1-∈，1)，指数
βi＝iβ-(i-1)＞1，且β∈(1，1+δ)，δ＞0为非常小的正数，设计观测器增益ki(i＝1，2，3)使得矩阵
满足Huwitz条件，然后，针对误差系统设计Lyapunov函数V(e)＝eTPe若存在PA+ATP＝-Q，其中，/>为正定对称矩阵，则误差系统是全局渐近稳定的，通过V(e)≤λmax(P)||e||2和/>可得/>
其中，λmin(Q)＞0为矩阵Q的最小特征值；λmax(P)＞0为矩阵P的最大特征值；考虑常值扰动，观测误差系统表示为：
满足上述设计，即可保证在固定时间TFxTESO内，误差ei(i＝1，2，3)收敛到零且观测值zi(t)(i＝1，2，3)跟踪上输出yi(t)(i＝1，2，3)，
TFxTESO＝T1+T2
其中，对固定时间TFxTESO的求解可分两步进行：
(1)当|e1|≤0.1即θ＝1时，
简记可得
所以，函数g(e)相对于权值向量{r1，r2，r3}的齐次度d＝α-1，又由于d＜0，故函数g(e)为全局有限时间稳定，定义Lyapunov函数V(χ)＝χTPχ
其中，/>
可得，相对于权值向量{r1，r2，r3}，V(χ(Λr(λ)e))的齐次度为2；的齐次度为/>对V(χ)求导可得/>因此跟踪误差收敛到零所需的时间/>
(2)|e1|＞0.1即θ＝0时，与上述(1)过程相似，定义Lyapunov函数
其中，对
求导可得/>令
则/>收敛到γ所需要的时间t1
γ收敛于零所需的时间t2
收敛到零所需的收敛时间
综上所述，在固定时间TFTESO内，观测值Zi可以跟踪上输出yi。
步骤4：基于步骤2的跟踪误差性能函数，和步骤3的固定时间扩张状态观测器，设计固定时间非奇异终端滑模控制器，并计算固定时间TFxTNTSMC：
设计非奇异终端滑模面：
其中，a，b均为正常数；m，n，p和q均为正奇数，满足m＞n，p＜q＜2p；
针对步骤1中扩张状态系统，设计控制律/>
其中，η和τ均为正数；满足上述设计，即可保证在固定时间TFxTNTSMC内，系统状态ε和/>收敛至零，
TFxTNTsMC＝Tr+Tz+Ts
对s求导可得
设计Lyapunov函数，则
对固定时间TFxTNTSMC的求解可分三步进行：
(1)当s≠0.且时，
由k＞0，可得
令p/q＝C，得到/>进一步令μ＝h1-c，则/>μ→0所需收敛时间为
(2)当s≠0且时，
取τ为非常小的正数，在区间可以近似的令/>则，V将在收敛时间tz内离开区域/>且/>通过(1)和(2)可得，在固定时间Tr+Tz内，s将收敛到零；
(3)当s＝0时，
则，在固定时间内，系统误差状态ε将收敛到零。
综上所示，将控制律设计为上述形式，可以保证系统输出在固定时间TFxTNTSMC内收敛至零。四旋翼无人机固定时间控制系统设计总框图如图3所示。
具体实施方式如下：
本发明中基于预定性能和扩张状态观测器的四旋翼无人机固定时间控制方法的有效性与优越性在MATLAB/SIMULINK中进行了仿真验证。
四旋翼无人机的主要参数m＝1.4kg，g＝9.8m/s2，l＝0.2m，(Ix，Iy，Iz)＝(0.03，0.03，0.04)kg·m2；初始条件
外部扰动di＝0.1；选择有限时间控制作为仿真对比项；控制目标
四旋翼无人机位置与姿态角跟踪曲线如图4-6所示，从图中可以看出固定时间控制可以使系统输出在3s左右跟踪上给定值，而有限时间控制则需要4s以上，即固定时间控制具有更快的收敛速度；四旋翼无人机的跟踪误差εz收敛曲线如图10所示，从图中可以看出通过跟踪误差性能函数转换后的跟踪误差εz一直在预定范围内，且逐渐收敛至零；控制输入uz变化曲线如图11所示，从图中可以看出通过在原点引入分段函数ρ(x)很好的解决了0-0.5s范围内由于奇异性问题引起的控制输入uz的尖峰现象；图12和图13为位置z有限/固定时间控制跟踪曲线对比图，从图中可以看出，有限时间控制的收敛时间与状态初值有关，初始偏差越大，收敛时间越长；固定时间控制的收敛时间上界大约为2s且与状态变量初值无关。
以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (1)

1.一种四旋翼无人机的固定时间控制方法，其特征在于：包括以下步骤：
步骤1：建立四旋翼无人机的动力学模型，计算俯仰角与横滚角的目标跟踪值；
步骤2：基于步骤1建立的动力学模型，设计跟踪误差性能函数，实现预定性能，并对跟踪误差进行转换；
步骤3：设计固定时间扩张状态观测器，并计算固定时间TFxTESO；
步骤4：基于步骤2的跟踪误差性能函数，和步骤3的固定时间扩张状态观测器，设计固定时间非奇异终端滑模控制器，并计算固定时间TFxTNTSMC；
步骤1中，俯仰角与横滚角的目标跟踪值的计算方式如下：
四旋翼无人机的动力学模型可以表示为
其中，s(·)，c(·)分别为sin(·)，cos(·)的缩写；(x，y，z)，分别表示四旋翼无人机的位置和姿态角(横滚、俯仰、偏航)；g为重力加速度；/>为外部扰动；Ix，Iy，Iz分别为沿x，y，z轴的转动惯量；ui(i＝1，2，3)为控制输入，为了简化计算，令
其中，(ux，uy，uz)表示虚拟控制量，即可得到俯仰角和横滚角的目标跟踪值为
所述步骤2中的跟踪误差转换方式如下：针对四旋翼无人机的各位置(x，y，z)和姿态角控制通道，不失一般性地将其转化为以下二阶系统：
其中，和/>存在且连续，/>分别为控制输入与系统输出，b0＞0为已知常数；d(t)为外部干扰；f(x)为非线性连续函数；将d(t)当作新的状态变量并估计，可以得到扩张状态系统：
其中，有界，zi(t)(i＝1，2，3)分别表示xi(t)(i＝1，2，3)的观测值，跟踪误差σ(t)＝xd(t)-z(t)，为了保证更好的瞬态性能，取误差性能指标函数为
λ(t)＝(λ(0)-λ(∞))e-lt+λ(∞)
其中，l为常数，0＜|σ(0)|＜λ(0)，0＜(∞)＜λ(0)，设计跟踪误差为σ(t)＝λ(t)F(ε(t))跟踪误差性能函数F(ε(t))需满足以下几点要求：
(1)F(ε(t))是一个光滑且连续的单调递增函数；
(2)-1＜F(ε(t))＜1；
(3)limε(t)→+∞F(ε(t))＝1，limε(t)→-∞F(ε(t))＝-1；
根据上述要求，可令易得-λ(t)＜σ(t)＜λ(t)，因此，跟踪误差收敛集为E＝{σ(t)∈R：|σ(t)|≤λ∞(t)}，跟踪误差σ(t)转换为ε(t)，
其中，ε，σ和λ分别为ε(t)，σ(t)和λ(t)的缩写，对ε求导可得
其
所述固定时间扩张状态观测器设计形式如下：
和xi(t)的缩写；指数αi＝iα-(i-1)＜1，且α∈(1-∈，1)，/>指数βi＝iβ-(i-1)＞1，且β∈(1，1+δ)，δ＞0为非常小的正数，设计观测器增益ki(i＝1，2，3)使得矩阵
满足Hurwitz条件，然后，针对误差系统设计Lyapunov函数V(e)＝eTPe若存在PA+ATP＝-Q，其中，/>为正定对称矩阵，则
误差系统是全局渐近稳定的，通过V(e)≤λmax(P)||e||2和可得/>
其中，λmin(Q)＞0为矩阵Q的最小特征值；λman(P)＞0为矩阵P的最大特征值；
考虑常值扰动，观测误差系统表示为：
满足上述设计，即可保证在固定时间TFxTESO内，误差ei(i＝1，2，3)收敛到零且观测值zi(T)(i＝1，2，3)跟踪上输出yi(t)(i＝1，2，3)，
TFxTESO＝T1+T2
其中，
对固定时间TFxTESO的求解可分两步进行：
(1)当|e1|≤0.1即θ＝1时，
简记可得
所以，函数g(e)相对于权值向量{r1，r2，r3}的齐次度d＝α-1，又由于d＜0，故函数g(e)为全局有限时间稳定，定义Lyapunov函数V(χ)＝χTPχ
其中，
可得，相对于权值向量{r1，r2，r3}，V(χ(Λr(λ)e))的齐次度为2；的齐次度为对V(χ)求导可得/>因此跟踪误差收敛到零所需的时间/>
(2)|e1|＞0.1即θ＝0时，与上述(1)过程相似，定义Lyapunov函数
其中，对
求导可得/>令
则/>收敛到γ所需要的时间t1
Υ收敛于零所需的时间t2
收敛到零所需的收敛时间
综上所述，在固定时间TFTESO内，观测值zi可以跟踪上输出yi；
所述步骤4中的固定时间TFxTNTSMC计算方式如下：
设计非奇异终端滑模面：
其中，a，b均为正常数；m，n，p和q均为正奇数，满足m＞n，p＜q＜2p；针对步骤1中扩张状态系统，设计控制律
其中，η和τ均为正数；满足上述设计，即可保证在固定时间TFxTNTSMC内，系统状态ε和/>收敛至零，
TFxTNTSMC＝Tr+Tz+Ts
对s求导可得
设计Lyapunov函数则
对步骤4中固定时间TFxTNTSMC的求解可分三步进行：
(1)当s≠0且时，
由k＞0，可得
令p/q＝c，得到/>进一步令μ＝h1-c，则μ→0所需收敛时间为
(2)当s≠0且时，
取τ为非常小的正数，在区间可以近似的令/>则，V将在收敛时间tz内离开区域/>且/>
通过(1)和(2)可得，在固定时间Tr+Tz内，s将收敛到零；
(3)当s＝0时，
则，在固定时间内，系统误差状态ε将收敛到零。
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