CN109116803B - 一种剖分式等基圆锥齿轮切齿运动轨迹计算方法 - Google Patents

Abstract

一种剖分式等基圆锥齿轮切齿运动轨迹计算方法，本方案是基于等基圆曲线齿锥齿轮理论，根据其齿面成形特点，首先建立剖分体切齿加工坐标系，分析齿面每个瞬时的刀具位置姿态，通过刀轴矢量、刀心坐标求解及其坐标变换，得到了轮坯坐标系下的刀位。其次，结合通用机床的结构布局、以及剖分轮坯与机床的安装位置关系，计算切齿加工中每一个瞬时的刀位，再通过后置处理，最终得到了数控切齿时机床运动坐标的表达函数。本发明改变了了在通用数控机床上，当等基圆锥齿轮剖分轮坯的回转中心落在机床之外，无法与机床的某一回转轴线重合时，无法进行加工的问题。

Description

一种剖分式等基圆锥齿轮切齿运动轨迹计算方法

技术领域

本发明涉及一种锥齿轮切齿方法，尤其是涉及一种剖分式等基圆锥齿轮切齿运动轨迹计算方法。

背景技术

特大型锥齿轮是大型重点装备的关键零部件，在国民经济和国防建设中具有不可替代性。目前，大型重点装备中所用的特大型锥齿轮均为直齿锥齿轮。齿轮副的大轮直径大于3000mm以上时，由于其整体轮坯结构特点呈现为环形薄壁件，所以其整体式大轮结构刚性差，加工、运输、装配等环节容易变形，且整体加工常受限于现有制齿设备规格，加工后难以进行公路、铁路运输等，所以，现有特大型直齿锥齿轮的大轮常采用剖分式结构。与曲线齿锥齿轮相比较，直齿锥齿轮承载能力弱、传动平稳性差、冲击大、噪音高，采用剖分式曲线齿锥齿轮替代现有的剖分式直齿锥齿轮，已是行业发展、产业升级的重要方向。

等基圆锥齿轮是我国特有的一种曲线齿锥齿轮，大、小轮均可使用指形铣刀成形加工，所用机床结构简单且多为通用机床，刀具价格低廉，两轴联动即可实现加工，其剖分后单齿加工较易于实现。此外，等基圆锥齿轮螺旋角较小，适于沿齿槽方向对其剖分。因此，剖分式等基圆锥齿轮是替代现有特大型剖分式直齿锥齿轮的理想曲线齿锥齿轮。

现有的等基圆曲线齿锥齿轮切齿理论基于其整体加工而言，加工中齿轮的回转中心必定与机床的某一回转轴重合，这样才能完成切齿运动及切齿时的分度运动。针对特大型等基圆曲线齿锥齿轮，现有机床设备无法加工时，将轮坯进行剖分，然后在较小规格的机床上进行切齿加工时，轮坯剖分体的回转中心不会与机床的某一回转轴重合，原有的切齿运动控制理论显然已经无法适用，并且切齿中的分齿运动已经无法轻松实现。

发明内容

本发明的目的是为解决在通用数控机床上，当等基圆锥齿轮剖分轮坯的回转中心落在机床之外，无法与机床的某一回转轴线重合时，机床无法进行加工的问题，提供一种剖分式等基圆锥齿轮切齿加工方法。

本发明为解决上述技术问题的不足，所采用的技术方案是：

一种剖分式等基圆锥齿轮切齿运动轨迹计算方法，包括如下步骤：

步骤1：将相互啮合的一对特大型等基圆锥齿轮的大轮划分为若干锥齿轮剖分体，建立轮坯坐标系和空间固定坐标系，定义轮坯坐标系

轴和空间固定坐标系

轴的夹角为e

定义被加工的第k个左旋凹齿面的夹角e＝e_mkl，

定义被加工的第k个左旋凸齿面的夹角e＝e_nkl，

定义被加工的第k个右旋凹齿面的夹角e＝e_mkr，

定义被加工的第k个右旋凸齿面的夹角e＝e_nkr，

式(01)～(04)中，“±”在沿逆时针方向依次加工齿面时取“+”，“在沿顺时针方向依次切齿时取“-”；

k＝1,2,3...,

z为锥齿轮齿数；

R_e为大端锥距；

β_e是R_e处对应的齿线螺旋角

R是小端锥距到大端锥距之间任意值，

β——对应R处的齿线螺旋角；

δ_i—锥齿轮分锥角，其中i＝1或2，当i＝1表示相互啮合的特大型锥齿轮中的小轮，当i＝2表示相互啮合的特大型锥齿轮中的大轮；

r₀—理论齿线与其等距线之距离，由刀具尺寸确定；

s—沿理论齿线法向修形量；

步骤2：推导刀心坐标函数

在固定坐标系下根据刀具加工位置建立对应的刀具坐标下，定义固定坐标系中由原点O指向刀具坐标系的原点O_c的向量为

向量

的坐标值即为固定坐标系下的刀心坐标，将

的坐标通过坐标换算公式转换到轮坯坐标系下，得到在轮坯坐标系下的刀心向量

刀心向量

的坐标即为轮坯坐标系下刀心坐标，定义刀心向量

所述的轮坯坐标系下刀心坐标的换算公式为：

对于第k个左旋凹齿面：

对于第k个左旋凸齿面：

对于第k个右旋凹齿面：

对于第k个右旋凸齿面：

式中的e_mkl、e_nkl、e_mkr、e_nkr，通过步骤1计算获得，

R是小端锥距到大端锥距之间任意值，

β为对应R处的齿线螺旋角；

R_e为大端锥距；

β_e是R_e处对应的齿线螺旋角

δ_i—锥齿轮分锥角，i＝1或2，当i＝1表示相互啮合的特大型锥齿轮中的小轮，当i＝2表示相互啮合的特大型锥齿轮中的大轮；

r₀—理论齿线与其等距线之距离；

s—沿理论齿线法向修形量；

步骤3：求解刀轴矢量表达式

定义步骤2中刀具坐标系为S_c:[O_c-i_c,j_c,k_c]，因为在刀具坐标系下铣刀始终绕着i_c轴回转，因此初始的刀具坐标系刀轴矢量定义为

将刀轴矢量

从刀具坐标系S_c转换到空间固定坐标系S下，定义空间固定坐标系S刀轴矢量为

通过坐标变换可得：

其中M_oc为刀具坐标系S_c到空间固定坐标系S的坐标变换矩阵，将其代入并运算化简后可得：

固定坐标系S下的刀轴矢量

转换到轮坯坐标系下刀轴矢量，定义轮坯坐标系下的刀轴矢量为

则：

为空间固定坐标系S到轮坯坐标系S_i的转换矩阵，，计算得出轮坯坐标系的刀轴矢量分别为：

对于第k个左旋凹齿面：

对于第k个左旋凸齿面：

对于第k个右旋凹齿面：

对于第k个右旋凸齿面：

步骤4：求解机床直线移动坐标

在步骤三中计算得到的刀轴矢量在轮坯坐标系的三个坐标轴上的投影都不恒为零，根据后置处理理论，采用五坐标联动方式进行加工，根据加工所使用的机床建立机床坐标系取机床坐标系下刀位信息对应的X、Y、Z三个移动坐标与三个转动坐标A、B、C中的任意二个组成的五坐标联动。根据步骤2中确定数控机床的X、Y、Z三个移动坐标在轮坯坐标系的数据信息，在通过后置处理将轮坯坐标系下的刀心坐标转换为机床坐标系下的刀心坐标，根据机床的具体结构确定对应的后置处理算法，定义五坐标联动为X、Y、Z、A、B五坐标，其中转动坐标A、B的运动由刀具的摆动来实现，剖分轮坯在机床工作台上只有平移运动，

建立轮坯与机床的坐标位置关系图，相对于空间固定坐标系，轮坯坐标系是转动的，因此固定坐标系到轮坯坐标系的转换矩阵会根据转动角度e的取值不同而发生改变，定义e的初值为固定值e₀：

e₀＝θ_c/sinδ_i (14)

对应的转换矩阵设为M_oi，M_oi是矩阵M_io中的参数取e₀时的逆矩阵，

此处的θ_c＝θ±θ_d，“+”用于凹齿面，“－”用于凸齿面；θ是刀具处在R时对应的刀具中心极角

θ_d是冠伦平面上理论齿线极径与刀具中心轨迹极径的夹角

轮坯坐标系S_i到过渡坐标系S_o的齐次坐标变换矩阵为：

过渡坐标系S_o变换到工件安装坐标系S_w的坐标转换矩阵为：

工件安装坐标系S_w到机床坐标系S_m的坐标变换矩阵为：

已知轮坯坐标系下的刀心向量

将其从轮坯坐标系经过渡坐标系、工件安装坐标系，最终转化到机床坐标系，设机床坐标系下，刀心向量为

则：

计算可得：

其中，(x_i,y_i,z_i)的取值由步骤2中的式(05)至(08)确定，根据不同情况将(x_i,y_i,z_i)代入式(18)中，可分别求得对应于左旋凹齿面、左旋凸齿面、右旋凹齿面、右旋凸齿面的机床直线移动坐标X、Y、Z；

步骤5：机床回转运动求解

由步骤3中的式(10)到式(13)，在轮坯坐标系下求得刀轴矢量

根据后置处理原理，将其当作自由矢量处理，只回转不平移，即可求得机床的回转角度，据此，先将其从轮坯坐标系下转换至过渡坐标系下，然后将其转换至工件的安装坐标系下，但此时只回转不平移，所以此时式中的Δz取零。刀轴矢量转换至此，由于工件安装坐标系各轴和机床坐标系各对应轴平行，所以不必继续变换到机床坐标系下，据此就可以求解机床的回转角度，定义工件安装坐标系下的刀轴矢量为

则：

将各式代入上式，化简可得：

根据刀轴矢量的坐标通过后置处理原理计算A、B角，定义A、B角为剖分式数控加工中机床旋转轴的实际回转角度，

将刀轴矢量的起点移动到工件安装坐标系的原点O_w，然后将刀轴矢量绕工件安装坐标系的Y_w轴顺时针旋转到Y_wO_wZ_w平面上，旋转角度为B；再将刀轴矢量绕工件安装坐标系X_w轴顺时针旋转到与Z_w轴方向一致，旋转角度为A，其中A、B角的正负号根据右手螺旋定则来确定，

计算获得A角如下：

B角如下：

当a_zw＝0时，令

至此，加工剖分式等基圆锥齿轮时机床刀具的回转运动A、B求解完成，结合步骤4确定机床直线移动坐标X、Y、Z，依据五坐标联动方式加工各个锥齿轮剖分体上的齿面，根据X、Y、Z和A、B获得刀具的运动轨迹。

本方案是基于等基圆曲线齿锥齿轮理论，根据其齿面成形特点，首先建立剖分体切齿加工坐标系，分析齿面每个瞬时的刀具位置姿态，通过刀轴矢量、刀心坐标求解及其坐标变换，得到了轮坯坐标系下的刀位。其次，结合通用机床的结构布局、以及剖分轮坯与机床的安装位置关系，计算切齿加工中每一个瞬时的刀位，再通过后置处理，最终得到了数控切齿时机床运动坐标的表达函数。

本发明的有益效果是：本发明改变了了在在通用数控机床上，当等基圆锥齿轮剖分轮坯的回转中心落在机床之外，无法与机床的某一回转轴线重合时，通过本方法可以利用X、Y、Z、A、B五坐标运动计算数学模型，可精确计算机床运动轨迹，控制刀具姿态，实现剖分式等基圆曲线齿锥齿轮的自由切齿加工。

附图说明

图1为加工坐标系。

图2为轮坯与机床的坐标关系图。

图3为刀轴矢量回转示意图。

图4为算例齿轮的刀具与齿面的位置关系三维绘图。

具体实施方式

图中所示，具体实施方式如下：

下面以表1所示的齿轮副中大轮的加工为例，结合附图对本发明一种剖分式等基圆锥齿轮切齿运动轨迹计算方法作进一步详细说明。本实施例中大轮剖分体的加工齿数为3个。

表1齿轮副基本几何参数

步骤1：求解不同加工顺序、不同齿面时的夹角e

在等基圆锥齿轮切齿坐标系中(附图1)，轮坯坐标系的

轴与空间固定坐标系

轴的夹角e的取值决定了每个凸、凹齿面在空间固定坐标下的相对位置关系。针对表1中的齿轮副设计参数，以加工大轮剖分体的不同凹、凸齿面为例，根据等基圆锥齿轮理论推得如下算式。

对于第1个被加工的凹齿面：

对于第2个被加工的凹齿面：

对于第3个被加工的凹齿面：

对于第1个被加工的凸齿面：

对于第2个被加工的凸齿面：

对于第3个被加工的凸齿面：

步骤2：推导刀心坐标函数

由附图1所示的加工坐标系图可知，固定坐标系中的向量

由原点O指向刀具坐标系的原点O_c，向量

的模长R_c可求解确定。该矢量随着加工的进行，也就是随着坐标原点O_c的不同，会得到不同取值，矢量

的一系列坐标值就是整个加工过程中的刀心坐标。将

都转换到轮坯坐标系下，就得到缠绕着轮坯的一系列刀心向量

设轮坯坐标系下的刀心向量为

根据齿轮的旋向及齿面的凹凸性不同，经计算、化简后，轮坯坐标系下的刀心坐标计算公式分别为：

对于大轮剖分体上被加工的第1个凹齿面：

对于大轮剖分体上被加工的第2个凹齿面：

对于大轮剖分体上被加工的第3个凹齿面：

对于大轮剖分体上被加工的第1个凸齿面：

对于大轮剖分体上被加工的第2个凸齿面：

对于大轮剖分体上被加工的第3个凸齿面：

步骤3：求解刀轴矢量表达式

在等基圆锥齿轮加工坐标系中(附图1)，刀具坐标系S_c:[O_c-i_c,j_c,k_c]下铣刀始终绕着i_c轴回转，因此初始的刀轴矢量可定义为

然后，将刀轴矢量

从刀具坐标系S_c转换到空间固定坐标系S下，此时的向量定义为

通过坐标变换可得：

其中M_oc为刀具坐标系S_c到空间固定坐标系S的坐标变换矩阵，将其代入并运算化简后可得：

然后将向量

转换到轮坯坐标系下，设轮坯坐标系下的刀轴矢量为

则：

M_io为空间固定坐标系S到轮坯坐标系S_i的转换矩阵，

，将其代入运算、化简后，轮坯坐标系的刀轴矢量分别为：

对于大轮剖分体上被加工的第1个凹齿面：

对于大轮剖分体上被加工的第2个凹齿面：

对于大轮剖分体上被加工的第3个凹齿面：

对于大轮剖分体上被加工的第1个凸齿面：

对于大轮剖分体上被加工的第2个凸齿面：

对于大轮剖分体上被加工的第3个凸齿面：

分析式(35)到式(40)求得的刀轴矢量，发现其在轮坯坐标系的三个坐标轴上的投影都不恒为零，根据后置处理理论，要实现其数控加工，需要五坐标联动。

步骤4：求解机床直线移动坐标

一般来说，五坐标联动是指数控机床的X、Y、Z三个移坐标和绕X、Y、Z轴旋转的三个转动坐标A、B、C中的任意五个坐标的线性插补运动。通常是X、Y、Z与三个转动坐标A、B、C中的任意二个组成的五坐标联动。步骤1、步骤2求得指形铣刀的刀位之后，在后置处理过程中，机床的具体结构不同，后置处理算法不同。不失一般性，以X、Y、Z、A、B五坐标数控机床为例，进行其后置处理计算，并且转动坐标A、B的运动由刀具的摆动来实现，剖分轮坯在机床工作台上只有平移运动。

根据以上分析，建立轮坯与机床的坐标位置关系图(附图2)，相对于空间固定坐标系，轮坯坐标系是转动的，因此固定坐标系到轮坯坐标系的转换矩阵会根据转动角度e的取值不同而发生改变。为了确定转动的轮坯坐标系与固定坐标系的关系，也就是需要确定e的大小，当夹角e的取值固定时，轮坯和固定坐标系的关系此时就固定不变了。根据e的初值，求得此时的夹角为e₀为：

e₀＝θ_c/sinδ_i (41)

对应的转换矩阵设为M_oi，M_oi是矩阵M_io中的参数取e₀时的逆矩阵。

上述各坐标系之间存在相应的齐次变换关系，其中，轮坯坐标系S_i到过渡坐标系S_o的齐次坐标变换矩阵为：

过渡坐标系S_o变换到工件安装坐标系S_w的坐标转换矩阵为：

工件安装坐标系S_w到机床坐标系S_m的坐标变换矩阵为：

已知轮坯坐标系下的刀心向量

将其从轮坯坐标系经过渡坐标系、工件安装坐标系，最终转化到机床坐标系。设机床坐标系下，刀心向量为

则：

将各式代入上式，化简可得：

其中，(x_i,y_i,z_i)的取值由步骤2中的式(28)至(33)确定，根据不同情况将(x_i,y_i,z_i)代入式(45)中，可分别求得对应于左旋凹齿面、左旋凸齿面、右旋凹齿面、右旋凸齿面的机床直线移动坐标。

至此，指形铣刀加工剖分式等基圆锥齿轮时机床的直线移动坐标求解完成。

步骤5：机床回转运动求解

由步骤3中的式(35)到式(40)，在轮坯坐标系下求得刀轴矢量

根据后置处理原理，将其当作自由矢量处理，只回转不平移，即可求得机床的回转角度。据此，先将其从图中的轮坯坐标系下转换至过渡坐标系下，然后将其转换至工件的安装坐标系下，但此时只回转不平移，所以此时式中的Δz取零。刀轴矢量转换至此，由于工件安装坐标系各轴和机床坐标系各对应轴平行，所以不必继续变换到机床坐标系下，据此就可以求解机床的回转角度。设工件安装坐标系下的刀轴矢量为

则：

将各式代入上式，化简可得：

在轮坯与机床的坐标位置关系图(附图2)中，A、B角可根据刀轴矢量的坐标，通过后置处理原理计算得到。此时的A、B角就是剖分式数控加工中机床旋转轴的实际回转角度。

如附图3所示，将刀轴矢量的起点移动到工件安装坐标系的原点O_w，然后将刀轴矢量绕Y_w轴顺时针旋转到Y_wO_wZ_w平面上，旋转角度为B；再将刀轴矢量绕X_w轴顺时针旋转到与Z_w轴方向一致，旋转角度为A，其中A、B角的正负号根据右手螺旋定则来确定。

结合附图3，由三角函数关系可得：

B角的计算公式汇总如下：

特殊情况：当a_zw＝0时，令

至此，加工剖分式等基圆锥齿轮时机床刀具的回转运动A、B求解完成。

针对本实施例，将表1中的齿轮参数，代入公式(28)-(33),可求得刀心运动轨迹，再将刀心轨迹坐标代入式(45)，得到机床直线移动坐标。将表1中的齿轮参数代入公式(35)-(40),求得刀轴矢量，然后将刀轴矢量代入式(47)、式(48)，求得机床的回转坐标。根据求得的数据，在matlab环境下，进行实施例齿轮的刀具与齿面的空间位置关系三维绘图，输出结果如附图4所示。由附图4可见，剖分体上每个齿的加工轨迹各不相同，每个瞬时刀具与齿面的相互位置姿态各异。

本发明所列举的技术方案和实施方式并非是限制，与本发明所列举的技术方案和实施方式等同或者效果相同方案都在本发明所保护的范围内。

Claims (1)

1.一种剖分式等基圆锥齿轮切齿运动轨迹计算方法，其特征在于：包括如下步骤：

步骤1：将相互啮合的一对特大型等基圆锥齿轮的大轮划分为若干锥齿轮剖分体，建立轮坯坐标系和空间固定坐标系，定义轮坯坐标系

轴和空间固定坐标系

轴的夹角为e

定义被加工的第k个左旋凹齿面的夹角e＝e_mkl，

定义被加工的第k个左旋凸齿面的夹角e＝e_nkl，

定义被加工的第k个右旋凹齿面的夹角e＝e_mkr，

定义被加工的第k个右旋凸齿面的夹角e＝e_nkr，

式(01)～(04)中，“±”在沿逆时针方向依次加工齿面时取“+”，“在沿顺时针方向依次切齿时取“-”；

k＝1,2,3...,

z为锥齿轮齿数；

R_e为大端锥距；

β_e是R_e处对应的齿线螺旋角

R是小端锥距到大端锥距之间任意值，

β——对应R处的齿线螺旋角；

δ_i—锥齿轮分锥角，其中i＝1或2，当i＝1表示相互啮合的特大型锥齿轮中的小轮，当i＝2表示相互啮合的特大型锥齿轮中的大轮；

r₀—理论齿线与其等距线之距离，由刀具尺寸确定；

s—沿理论齿线法向修形量；

步骤2：推导刀心坐标函数

在固定坐标系下根据刀具加工位置建立对应的刀具坐标下，定义固定坐标系中由原点O指向刀具坐标系的原点O_c的向量为

向量

的坐标值即为固定坐标系下的刀心坐标，将

的坐标通过坐标换算公式转换到轮坯坐标系下，得到在轮坯坐标系下的刀心向量

刀心向量

的坐标即为轮坯坐标系下刀心坐标，定义刀心向量

所述的轮坯坐标系下刀心坐标的换算公式为：

对于第k个左旋凹齿面：

对于第k个左旋凸齿面：

对于第k个右旋凹齿面：

对于第k个右旋凸齿面：

式中的e_mkl、e_nkl、e_mkr、e_nkr，通过步骤1计算获得，

R是小端锥距到大端锥距之间任意值，

β为对应R处的齿线螺旋角；

R_e为大端锥距；

β_e是R_e处对应的齿线螺旋角

δ_i—锥齿轮分锥角，i＝1或2，当i＝1表示相互啮合的特大型锥齿轮中的小轮，当i＝2表示相互啮合的特大型锥齿轮中的大轮；

r₀—理论齿线与其等距线之距离；

s—沿理论齿线法向修形量；

步骤3：求解刀轴矢量表达式

定义步骤2中刀具坐标系为S_c:[O_c-i_c,j_c,k_c]，因为在刀具坐标系下铣刀始终绕着i_c轴回转，因此初始的刀具坐标系刀轴矢量定义为

将刀轴矢量

从刀具坐标系S_c转换到空间固定坐标系S下，定义空间固定坐标系S刀轴矢量为

通过坐标变换可得：

其中M_oc为刀具坐标系S_c到空间固定坐标系S的坐标变换矩阵，将其代入并运算化简后可得：

固定坐标系S下的刀轴矢量

转换到轮坯坐标系下刀轴矢量，定义轮坯坐标系下的刀轴矢量为

则：

M_io为空间固定坐标系S到轮坯坐标系S_i的转换矩阵，，计算得出轮坯坐标系的刀轴矢量分别为：

对于第k个左旋凹齿面：

对于第k个左旋凸齿面：

对于第k个右旋凹齿面：

对于第k个右旋凸齿面：

步骤4：求解机床直线移动坐标

在步骤三中计算得到的刀轴矢量在轮坯坐标系的三个坐标轴上的投影都不恒为零，根据后置处理理论，采用五坐标联动方式进行加工，根据加工所使用的机床建立机床坐标系取机床坐标系下刀位信息对应的X、Y、Z三个移动坐标与三个转动坐标A、B、C中的任意二个组成的五坐标联动；根据步骤2中确定数控机床的X、Y、Z三个移动坐标在轮坯坐标系的数据信息，在通过后置处理将轮坯坐标系下的刀心坐标转换为机床坐标系下的刀心坐标，根据机床的具体结构确定对应的后置处理算法，定义五坐标联动为X、Y、Z、A、B五坐标，其中转动坐标A、B的运动由刀具的摆动来实现，剖分轮坯在机床工作台上只有平移运动，

建立轮坯与机床的坐标位置关系图，相对于空间固定坐标系，轮坯坐标系是转动的，因此固定坐标系到轮坯坐标系的转换矩阵会根据转动角度e的取值不同而发生改变，定义e的初值为固定值e₀：

e₀＝θ_c/sinδ_i (14)

对应的转换矩阵设为M_oi，M_oi是矩阵M_io中的参数取e₀时的逆矩阵，

此处的θ_c＝θ±θ_d，“+”用于凹齿面，“－”用于凸齿面；θ是刀具处在R时对应的刀具中心极角

θ_d是冠伦平面上理论齿线极径与刀具中心轨迹极径的夹角

轮坯坐标系S_i到过渡坐标系S_o的齐次坐标变换矩阵为：

过渡坐标系S_o变换到工件安装坐标系S_w的坐标转换矩阵为：

工件安装坐标系S_w到机床坐标系S_m的坐标变换矩阵为：

已知轮坯坐标系下的刀心向量

将其从轮坯坐标系经过渡坐标系、工件安装坐标系，最终转化到机床坐标系，设机床坐标系下，刀心向量为

则：

计算可得：

其中，(x_i,y_i,z_i)的取值由步骤2中的式(05)至(08)确定，根据不同情况将(x_i,y_i,z_i)代入式(18)中，可分别求得对应于左旋凹齿面、左旋凸齿面、右旋凹齿面、右旋凸齿面的机床直线移动坐标X、Y、Z；

步骤5：机床回转运动求解

由步骤3中的式(10)到式(13)，在轮坯坐标系下求得刀轴矢量

根据后置处理原理，将其当作自由矢量处理，只回转不平移，即可求得机床的回转角度，据此，先将其从轮坯坐标系下转换至过渡坐标系下，然后将其转换至工件的安装坐标系下，但此时只回转不平移，所以此时式中的Δz取零；刀轴矢量转换至此，由于工件安装坐标系各轴和机床坐标系各对应轴平行，定义工件安装坐标系下的刀轴矢量为

则：

将各式代入上式，化简可得：

根据刀轴矢量的坐标通过后置处理原理计算A、B角，定义A、B角为剖分式数控加工中机床旋转轴的实际回转角度，

将刀轴矢量的起点移动到工件安装坐标系的原点O_w，然后将刀轴矢量绕工件安装坐标系的Y_w轴顺时针旋转到Y_wO_wZ_w平面上，旋转角度为B；再将刀轴矢量绕工件安装坐标系X_w轴顺时针旋转到与Z_w轴方向一致，旋转角度为A，其中A、B角的正负号根据右手螺旋定则来确定，

计算获得A角如下：

B角如下：

当a_zw＝0时，令

至此，加工剖分式等基圆锥齿轮时机床刀具的回转运动A、B求解完成，结合步骤4确定机床直线移动坐标X、Y、Z，依据五坐标联动方式加工各个锥齿轮剖分体上的齿面，根据X、Y、Z和A、B获得刀具的运动轨迹。

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