CN103934727B - 一种等角螺旋线分区变参数控精密加工方法 - Google Patents

Abstract

本发明一种等角螺旋线分区变参数控精密加工方法属于数控精密加工领域，涉及一种等角螺旋线的分区变参数控精密加工方法。该方法先对等角螺旋线几何模型进行分析，确定恒定工艺参数下等角螺旋线实际加工速度与加工时间的关系，依据等角螺旋线加工误差的产生机理，建立加工误差的数学模型，确定加工误差受等角螺旋线几何特征和NC程序制定的机床加工进给速度影响的规律。建立机床加工进给速度与等角螺旋线几何特征间的关系，对等角螺旋线加工区进行合理划分，对各分区分配相应的机床加工进给速度进行加工。本发明根据几何特征分区制定加工进给速度的分区变参加工方法，实现了等角螺旋线的高精度、高质量、高效率的加工。

Description

一种等角螺旋线分区变参数控精密加工方法

技术领域

本发明属于数控精密加工领域，特别涉及一种等角螺旋线的分区变参数控精密加工方法。

背景技术

随着高端装备性能的不断提高，高端装备中一些关键零件结构愈加复杂、精度要求更高。其中一些存在局部几何急变特征的零件在航空航天、能源动力及涡轮机械等行业具有广泛的应用，如微带螺旋天线、带分流小叶片的整体叶轮等。鉴于该类零件多采用难加工材料和特殊结构，加工难度大，或者虽能加工但效率极低，无法满足高端装备快速发展的需求。随着数控加工技术的飞速发展，五轴数控加工提高了加工的灵活性，作为一种高速、高精度加工技术，在局部几何特征急变类零件制造中展现出一定的潜力，为实现该类零件柔性化设计制造提供了一种有益途径，成为目前工业生产领域研究的热点与难点。

以等角螺旋线为例的局部几何特征急变类零件由于中心区域特征尺寸小、曲率变化大，局部几何特征具有急变性，采用传统的统一工艺参数进行整体加工的加工方法，在局部几何特征急变区域极易造成NC程序与数控机床动态特性不符的情况，加工过程中引起数控机床动态特性剧烈变化，甚至超出数控机床的伺服驱动能力。数控机床动态特性在可达空间中存在较强的非线性和各向异性，由此导致等角螺旋线大的加工误差，甚至破坏工件表面，无法满足等角螺旋线的加工要求，这已成为制约该零件加工质量及效率提高的瓶颈所在。针对等角螺旋线精密高效加工难题，在充分考虑数控机床动态特性的基础上，研究其工艺制定方法，对实现该零件的精密高效加工具有重要意义。

徐建明等人专利公告号为CN102323790A的“两轴数控系统的串联型迭代学习交叉耦合轮廓误差控制方法”，采用增量式串联交叉耦合控制（CCC）与串联型迭代学习控制（ILC）相结合的算法，以CCC控制轮廓误差为基础，通过ILC对控制规律的学习作用提高了轮廓控制精度。然而，商业化的数控机床内部控制参数由数控机床制造厂商设定，针对特定几何特征的零件加工无法对其内部控制参数进行更改。

国立台湾大学机械工程系H.T.Young和L.C.Chuang在“Anintegratedmachiningapproachforacentrifugalimpeller”（TheInternationalJournalofAdvancedManufacturingTechnology,2003,21(8):556-563）中采用了粗加工、半精加工和精加工相结合的加工方法，与相关制造技术相结合，开发出一种离心式叶轮的集成制造技术。针对等角螺旋线，其数控加工过程中的工艺制定传统须以满足等角螺旋线局部几何特征急变区域的加工要求为前提，如此确定的加工工艺相对除局部几何急变特征外的剩余加工区相对保守，限制了等角螺旋线加工效率的提高。

发明内容

本发明的目的是克服现有技术的缺陷，发明了一种等角螺旋线分区变参数控精密加工方法，采用根据几何特征分区制定机床加工进给速度的分区变参加工工艺，解决了等角螺旋线加工质量不高、加工效率低等问题。

本发明所采用的技术方案是一种等角螺旋线分区变参数控精密加工方法，其特征在于，首先对等角螺旋线几何模型进行分析，确定恒定工艺参数下等角螺旋线实际加工速度与加工时间的关系，依据等角螺旋线加工误差的产生机理，建立加工误差的数学模型，确定加工误差受等角螺旋线几何特征和NC程序制定的机床加工进给速度影响的规律；以满足机床动态特性及加工精度为约束条件，建立机床加工进给速度与等角螺旋线几何特征间的关系；对等角螺旋线加工区进行合理划分，根据建立的机床加工进给速度与等角螺旋线几何特征间的关系，对各分区分配相应的机床加工进给速度进行加工，最终高质高效加工出等角螺旋线；加工方法具体步骤如下：

(1)对等角螺旋线几何模型进行分析，确定恒定工艺参数下等角螺旋线实际加工速度与加工时间的关系

等角螺旋线几何模型为：

r＝r₀e^aθ(1)

式中，r为矢径，r₀为0°极角时对应的矢径，θ为从极轴到矢径r的角度，称为极角，a为与螺旋角α相关的系数，tanα称为螺旋率；

该等角螺旋线的曲率K表达式为：

$K=\frac{1}{\sqrt{a^2+1}{r}_0{e}^{\mathrm{a\θ}}}---\left(2\right)$

通过速度监控，得到恒定工艺参数下等角螺旋线实际加工速度v_e随实际加工时间t_e的变化曲线，拟合确定二者间函数关系；

(2)建立等角螺旋线加工误差数学模型

等角螺旋线加工误差为理论曲线与实际加工轨迹间的距离，采用理论曲线上的加工点与实际加工轨迹上相对应的直线之间的距离E_r代替，其表达式为：

$\mathrm{Er}=\frac{|\mathrm{am}+\mathrm{bn}+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}---\left(3\right)$

式中，a、b、c为实际加工轨迹的直线段方程ax+by+c＝0的系数，(m,n)为理论加工点坐标值；

第一理论加工点P₁处的加工误差表达式为：

${\mathrm{Er}}_1=\frac{|a_1{m}_1+b_1{n}_1+c_1|}{\sqrt{{a_1}^2+{b_1}^2}}---\left(4\right)$

其中，a₁、b₁、c₁为P₁对应的实际加工轨迹直线方程的系数，(m₁,n₁)为P₁点的坐标值，其值为：

$\left\{\begin{array}{c}{m}_1=r_1\cos {\mathrm{\θ}}_1\\ n_1=r_1\sin {\mathrm{\θ}}_1\end{array}\right.---\left(5\right)$

式中，r₁为P₁点的矢径，θ₁为从极轴到矢径r₁的角度，将θ₁代入式(1)得到m₁、n₁值；

式(4)中的a₁、b₁、c₁为过第一实际加工点Q₁与第二理论加工点P₂的直线方程系数，其表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{a}_1=\frac{n_2-y_1}{m_2-x_1}\\ b_1=-1\\ c_1=\frac{m_2{y}_1-x_1{n}_2}{m_2-x_1}\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中，(m₂,n₂)为P₂点的坐标，其值为：

$\left\{\begin{array}{c}{m}_2=r_2\cos {\mathrm{\θ}}_2\\ n_2=r_2\sin {\mathrm{\θ}}_2\end{array}\right.---\left(7\right)$

式中，r₂为P₂点的矢径，θ₂为从极轴到矢径r₂的角度，将θ₂代入式(1)得到m₂、n₂值；

式(6)中的(x₁,y₁)为Q₁点的坐标。根据实际加工起始点Q₀与第一实际加工点Q₁之间的距离Q₀Q₁与实际加工起始点Q₀与第一理论加工点P₁之间的距离Q₀P₁的比值关系计算Q₁点的坐标值，即：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=(1-\frac{Q_0{Q}_1}{Q_0{P}_1})x_0+\frac{Q_0{Q}_1}{Q_0{P}_1}{m}_1\\ y_1=(1-\frac{Q_0{Q}_1}{Q_0{P}_1})y_0+\frac{Q_0{Q}_1}{Q_0{P}_1}{n}_1\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中，Q₀P₁线段的长度为：

$Q_0{P}_1=\sqrt{{(x_0-m_1)}^2+{(y_0-n_1)}^2}---\left(9\right)$

式(8)和式(9)中，(x₀,y₀)为Q₀点的坐标；在加工过程时，实际加工起始点Q₀与理论加工起始点P₀的坐标相同，即：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_0=m_0=r_0\cos {\mathrm{\θ}}_0\\ y_0=n_0=r_0\sin {\mathrm{\θ}}_0\end{array}\right.---\left(10\right)$

Q₀Q₁为实际加工的线段长度，即：

$Q_0{Q}_1={\∫}_{t_{e0}}^{t_{e1}}{v}_e{\mathrm{dt}}_e---\left(11\right)$

其中，t_e0和t_e1为加工到Q₀点和Q₁点对应的实际加工时间，t_e0＝0，与数控系统计算出的该段加工程序所需理论加工时间t具有线性关系，即：

t_e＝K_tt(12)

K_t为线性系数，其表达式为：

K_t＝2.556×10^-4v²-2.298×10^-2v+1.601(13)

其中，v为NC程序制定的机床加工进给速度，式(12)中的t为数控系统计算出的执行该段加工程序所需理论加工时间；用弧长s近似代替插补直线，通过弧微分公式计算理论加工时间t，即：

$t=s/v{\∫}_{s_0}^{s_1}\mathrm{ds}/v---\left(14\right)$

$\mathrm{ds}=r_0\sqrt{a^2+1}\·a^{\mathrm{a\θ}}\mathrm{d\θ}---\left(15\right)$

s₀、s₁分别为等角螺旋线极角为θ₀和θ₁时对应的弧长；

通过速度监控得到的恒定工艺参数下等角螺旋线实际加工速度v_e随实际加工时间t_e的变化的拟合曲线方程，及式(5)-(15)代入式(4)，得到P₁点处的加工误差Er₁表达式；

采用上述推导过程，计算P₂点处的加工误差，其表达式为：

${\mathrm{Er}}_2=\frac{|a_2{m}_2+b_2{n}_2+c_2|}{\sqrt{{a_2}^2+{b_2}^2}}---\left(16\right)$

式中，a₂、b₂、c₂为过第二实际加工点Q₂与第三理论加工点P₃的直线方程系数，其表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{a}_2=\frac{n_3-y_2}{m_3-x_2}\\ b_2=-1\\ c_2=\frac{m_3{y}_2-x_2{n}_3}{m_3-x_2}\end{array}\right.---\left(17\right)$

其中，(m₃,n₃)为P₃点的坐标，其值为：

$\left\{\begin{array}{c}{m}_3=r_3\cos {\mathrm{\θ}}_3\\ n_3=r_3\sin {\mathrm{\θ}}_3\end{array}\right.---\left(18\right)$

式中，r₃为P₃点的矢径，θ₃为从极轴到矢径r₃的角度，将θ₃代入式(1)得到m₃、n₃值；

式(17)中的(x₂,y₂)为Q₂点的坐标。Q₂点位于直线Q₁P₂上，根据Q₁Q₂与Q₁P₂的比值关系计算出Q₂点的坐标值，即：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_2=(1-\frac{Q_1{Q}_2}{Q_1{P}_2})x_1+\frac{Q_1{Q}_2}{Q_1{P}_2}{m}_2\\ y_2=(1-\frac{Q_1{Q}_2}{Q_1{P}_2})y_1+\frac{Q_1{Q}_2}{Q_1{P}_2}{n}_2\end{array}\right.---\left(19\right)$

其中，Q₁P₂线段的长度为：

$Q_1{P}_2=\sqrt{{(x_1-m_2)}^2+{(y_1-n_2)}^2}---\left(20\right)$

Q₁Q₂为实际加工的线段长度，即：

$Q_1{Q}_2={\∫}_{t_{e1}}^{t_{e2}}{v}_e{\mathrm{dt}}_e---\left(21\right)$

其中，t_e1和t_e2为加工到Q₁点和Q₂点对应的实际加工时间，根据式(12)-(15)得到其表达式；

通过速度监控得到的恒定工艺参数下等角螺旋线实际加工速度v_e随实际加工时间t_e的变化的拟合曲线方程，及式(17)-(21)代入式(16)，得到P₂点处的加工误差Er₂表达式；

由上述可知，Q₁点的坐标通过计算Er₁从而得到Q₁P₂的方程，并计算Q₂点的坐标，实现对Er₂的计算；通过迭代法进行加工误差的计算，得到关于NC程序制定的机床加工进给速度和等角螺旋线极角的加工误差模型为：

${\mathrm{Er}}_i=\frac{|\frac{r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_{i+1}}\sin {\mathrm{\θ}}_{i+1}-y_i}{r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_{i+1}}\cos {\mathrm{\θ}}_{i+1}-x_i}{r}_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_i}\cos {\mathrm{\θ}}_i-r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_i}\sin {\mathrm{\θ}}_i+\frac{r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_{i+1}}\cos {\mathrm{\θ}}_{i+1}{y}_i-r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_{i+1}}\sin {\mathrm{\θ}}_{i+1}{x}_i}{r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_{i+1}}\cos {\mathrm{\θ}}_{i+1}-x_i}}{\sqrt{{\left(\frac{r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_{i+1}}\sin {\mathrm{\θ}}_{i+1}-y_i}{r_0{e}^{{\mathrm{\θ}}_{i+1}}\cos {\mathrm{\θ}}_{i+1}-x_i}\right)}^2+1}}+C_s---\left(22\right)$

式中，C_s为修正因子；

(3)根据建立的加工误差数学模型，确定加工误差受等角螺旋线几何特征和NC程序制定的机床加工进给速度影响的规律，得到加工误差、等角螺旋线曲率和NC程序制定的机床加工进给速度间的耦合关系；

(4)根据建立的加工误差与等角螺旋线曲率、NC程序制定的机床加工进给速度间的关系，得到加工误差为零时，等角螺旋线不同曲率点对应的NC程序制定的机床加工进给速度值，并得到二者间的拟合曲线；在等角螺旋线几何模型的极角范围内，将等角螺旋线进行合理分区，在等角螺旋线曲率与机床加工进给速度拟合曲线上选取各分区中的最小极角所对应的机床加工进给速度作为初选的机床加工进给速度，并取拟合曲线上对应的机床加工进给速度作为最终NC程序制定的机床加工进给速度，对等角螺旋线进行加工。

本发明的显著效果和益处是采用了分区变参加工工艺，克服原有解决方法的不足，所发明的根据几何特征分区制定加工进给速度的分区变参加工方法，满足等角螺旋线局部几何特征急变区域的加工要求，实现了等角螺旋线的高质高效加工。

附图说明

图1等角螺旋线几何模型图。其中，1为等角螺旋线，10、20、30、32分别为矢径r的长度。

图2等角螺旋线中心区域放大图。其中，O为极坐标的极点，r为矢径，r₀为极角为0°时对应的矢径，θ为从极轴到矢径r的角度称为极角。

图3等角螺旋线加工误差产生机理示意图。其中，P₀、P₁、P₂、P₃为理论曲线上的理论加工点，Q₀、Q₁、Q₂、Q₃为实际加工路径上与P₀、P₁、P₂、P₃相对应的实际加工点，O为极坐标的极点，P₀为理论加工起始点，Q₀为实际加工起始点（与P₀重合），v_e为数控机床实际加工速度，θ₁、θ₂、θ₃和r₁、r₂、r₃分别为与P₁、P₂、P₃对应的极角和矢径，Er₁和Er₂为P₁点和P₂点处的加工误差。

图4加工误差随等角螺旋线曲率和NC程序制定的机床加工进给速度变化的变化结果。其中，x轴为等角螺旋线曲率，单位为mm^-1，y轴为NC程序制定的机床加工进给速度，单位为mm/min，z轴为加工误差，单位为μm。

图5加工误差为零时，NC程序制定的机床加工进给速度与等角螺旋线曲率间关系的拟合曲线。其中，x轴为等角螺旋线曲率，单位为mm^-1，y轴为NC程序制定的机床加工进给速度，单位为mm/min，1为NC程序制定的机床加工进给速度与等角螺旋线曲率间的关系点，2为由1中各点拟合出的拟合曲线。

具体实施方式

结合技术方案和附图详细叙述本发明的具体实施方式。由于等角螺旋线中心区域特征尺寸小、曲率变化大，局部几何特征具有急变性，导致其数控加工过程中机床进给轴动态特性变化大。受机床动态特性的限制，数控机床进给轴实际移动位置与NC程序编制的理论位置存在偏差，由此导致等角螺旋线中心区域轮廓误差增大，难以保证加工精度。此外，由等角螺旋线几何特征变化引发的数控机床动态特性变化，导致数控机床振动加剧，使得等角螺旋线边缘锯齿化，影响加工精度。据此，针对等角螺旋线精密加工难题，发明了一种等角螺旋线分区变参数控精密加工方法。

(1)对等角螺旋线几何模型进行分析，确定恒定工艺参数下等角螺旋线实际加工速度与加工时间的关系。

等角螺旋线几何模型如附图1所示，其中心区域放大图如附图2所示。等角螺旋线几何模型为：r＝r₀e^aθ，当r₀＝0.189，a＝0.221时，等角螺旋线极角θ范围为[0,7.3π]，最大矢径为30.03mm，等角螺旋线的曲率K由式(2)计算出来。

毛坯材料为覆铜板，采用数控激光加工方式进行试加工。激光器安装在五轴数控机床Z轴上，数控机床采用“人”形立柱配合水平十字滑鞍的直线轴布置形式。直线轴位置控制方式为全闭环，选用海德汉绝对式光栅；X轴行程为1040mm，精度为0.005μm；Y轴行程为640mm，精度为0.005μm。传动系统通过交流伺服电机驱动滚珠丝杠-螺母副实现；X轴电机额定转速为3000rpm，额定扭矩为20Nm，额定功率为4.6kW；Y轴电机额定转速为3000rpm，额定扭矩为27Nm，额定功率为5.8kW。X/Y轴滚珠丝杠的直径为40mm，螺距为12mm。数控机床控制系统为西门子Siemens840Dsl数控系统。X/Y轴的最大进给速度为24000mm/min，最小进给速度为1mm/min，进给分辨率为0.001mm，加速度为1m/s²，X/Y/Z轴定位精度均为0.003mm，X/Y/Z轴的双向定位精度分别为2.49μm，3.04μm和1.99μm。

通过试加工，并对加工速度监控，得到恒定工艺参数下等角螺旋线实际加工速度v_e随实际加工时间t_e的变化曲线，拟合确定二者间函数关系为：

v_e＝156.2t_e ⁶-1297t_e ⁵+3109t_e ⁴-594.2t_e ³-6822t_e ²+9107t_e+32.11(23)

(2)建立等角螺旋线加工误差数学模型

如附图3所示，等角螺旋线加工误差为理论曲线与实际加工轨迹间的距离，采用理论曲线上的加工点与实际加工轨迹上相对应的直线之间的距离E_r代替。

由式(23)，及式(5)-(15)代入式(4)，得到P₁点处的加工误差Er₁表达式为：

${\mathrm{Er}}_1=\frac{|\frac{r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_2}\sin {\mathrm{\θ}}_2-y_1}{r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_2}\cos {\mathrm{\θ}}_2-x_1}{r}_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_1}\cos {\mathrm{\θ}}_1-r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_1}\sin {\mathrm{\θ}}_1+\frac{r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_2}\cos {\mathrm{\θ}}_2{y}_1-r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_2}\sin {\mathrm{\θ}}_2{x}_1}{r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_2}\cos {\mathrm{\θ}}_2-x_1}|}{\sqrt{{\left(\frac{r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_2}\sin {\mathrm{\θ}}_2-y_1}{r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_2}\cos {\mathrm{\θ}}_2-x_1}\right)}^2+1}}+C_s---\left(24\right)$

式(24)中，x₁和y₁的值为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=(1-\frac{Q_0{Q}_1}{Q_0{P}_1})x_0+\frac{Q_0{Q}_1}{Q_0{P}_1}{r}_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_1}\cos {\mathrm{\θ}}_1\\ y_1=(1-\frac{Q_0{Q}_1}{Q_0{P}_1})y_0+\frac{Q_0{Q}_1}{Q_0{P}_1}{r}_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_1}\sin {\mathrm{\θ}}_1\end{array}\right.---\left(25\right)$

式(25)中，Q₀Q₁和Q₀P₁的表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{Q}_0{Q}_1=\left(\begin{array}{c}2.556\×{10}^{-4}{v}^2\\ -2.298\×{10}^{-2}v\\ +1.601\end{array}\right)[\left(\begin{array}{c}0.372{t_1}^7-3.603{t_1}^6\\ +10.363{t_1}^5-2.476{t_1}^4\\ -37.9{t_1}^3+75.892{t_1}^2\\ +0.535t_1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0.372{t_0}^7-3.603{t_0}^6\\ +10.363{t_0}^5-2.476{t_0}^4\\ -37.9{t_0}^3+75.892{t_0}^2\\ +0.535t_0\end{array}\right)]---\left(26\right)\\ Q_0{P}_1=\sqrt{{(x_0-r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_1}\cos {\mathrm{\θ}}_1)}^2+{(y_0-r_0{a}^{a{\mathrm{\θ}}_1}\sin {\mathrm{\θ}}_1)}^2}\end{array}\right.$

式(26)中，

$\left\{\begin{array}{c}{t}_0=0\\ t_1=\frac{r_0\sqrt{a^2+1}}{\mathrm{av}}(e^{a{\mathrm{\θ}}_1}-1)\end{array}\right.---\left(27\right)$

式(24)中的C_s为根据实际加工结果对加工误差模型进行修正的修正因子，值为0.025mm。

由式(23)，及式(17)-(21)代入式(16)，得到P₂点处的加工误差Er₂表达式；

${\mathrm{Er}}_2=\frac{|\frac{r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_3}\sin {\mathrm{\θ}}_3-y_2}{r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_2}\cos {\mathrm{\θ}}_3-x_2}{r}_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_2}\cos {\mathrm{\θ}}_2-r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_2}\sin {\mathrm{\θ}}_2+r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_2}\sin {\mathrm{\θ}}_2+\frac{r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_3}\cos {\mathrm{\θ}}_3{y}_2-r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_3}\sin {\mathrm{\θ}}_3{x}_2}{r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_3}\cos {\mathrm{\θ}}_3-x_3}|}{\sqrt{{\left(\frac{r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_3}\sin {\mathrm{\θ}}_3-y_2}{r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_3}\cos {\mathrm{\θ}}_3-x_2}\right)}^2+1}}+C_s---\left(28\right)$

式(28)中，x₂和y₂的值为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_2=(1-\frac{Q_1{Q}_2}{Q_1{P}_2})x_1+\frac{Q_1{Q}_2}{Q_1{P}_2}{r}_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_2}\cos {\mathrm{\θ}}_2\\ y_2=(1-\frac{Q_1{Q}_2}{Q_1{P}_2})y_1+\frac{Q_1{Q}_2}{Q_1{P}_2}{r}_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_2}\sin {\mathrm{\θ}}_2\end{array}\right.---\left(29\right)$

式(29)中，Q₁Q₂和Q₁P₂的表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{Q}_1{Q}_2=\left(\begin{array}{c}2.556\×{10}^{-4}{v}^2\\ -2.298\×{10}^{-2}v\\ +1.601\end{array}\right)[\left(\begin{array}{c}0.372{t_2}^7-{{3.603t}_2}^6\\ +10.363{t_2}^5-{{2.476t}_2}^4\\ -37.9{t_2}^3+75.982{t_2}^2\\ +0.535t_2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0.372{t_1}^7-3.603{t_1}^6\\ +10.363{t_1}^5-2.476{t_1}^4\\ -37.9{t_1}^3+75.892{t_1}^2\\ +0.535t_1\end{array}\right)]---\left(30\right)\\ Q_1{P}_1\sqrt{{(x_1-r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_2}\cos {\mathrm{\θ}}_2)}^2+{(y_1-r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_2}\sin {\mathrm{\θ}}_2)}^2}\end{array}\right.$

式(30)中，

$\left\{\begin{array}{c}{t}_1=\frac{r_0\sqrt{a^2+1}}{\mathrm{av}}(e^{a{\mathrm{\θ}}_1}-1)\\ t_2=\frac{r_0\sqrt{a^2+1}}{\mathrm{av}}(e^{a{\mathrm{\θ}}_2}-1)\end{array}\right.---\left(31\right)$

以此类推，通过迭代法进行加工误差的计算，得到关于NC程序制定的机床加工进给速度和等角螺旋线极角的加工误差模型Er_i为：

${\mathrm{Er}}_i=\frac{|\frac{r_0{e}^{{\mathrm{\θ}}_{i+1}}\sin {\mathrm{\θ}}_{i+1}-y_i}{r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_{i+1}}\cos {\mathrm{\θ}}_{i+1}-x_i}{r}_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_i}\cos {\mathrm{\θ}}_i-r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_i}\sin {\mathrm{\θ}}_i+\frac{r_{0}a{\mathrm{\θ}}_{i+1}\cos {\mathrm{\θ}}_{i+1}{y}_i-r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_{i+1}}\sin {\mathrm{\θ}}_{i+1}{x}_i}{r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_{i+1}}\cos {\mathrm{\θ}}_{i+1}-x_i}|}{\sqrt{{\left(\frac{r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_{i+1}}\sin {\mathrm{\θ}}_{i+1}-y_i}{r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_{i+1}}\cos {\mathrm{\θ}}_{i+1}-x_i}\right)}^2+1}}+C_s$

其中，x_i和y_i的值为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_i=(1-\frac{Q_{i-1}{Q}_i}{Q_{i-1}{P}_i})x_{i-1}+\frac{Q_{i-1}{Q}_i}{Q_{i-1}{P}_i}{r}_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_i}\cos {\mathrm{\θ}}_i\\ y_i=(1-\frac{Q_{i-1}{Q}_i}{Q_{i-1}{P}_i})y_{i-1}+\frac{Q_{i-1}{Q}_i}{Q_{i-1}{P}_i}{r}_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_i}\sin {\mathrm{\θ}}_i\end{array}\right.---\left(32\right)$

Q_i-1Q_i和Q_i-1P_i的表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{Q}_{i-1}{Q}_i=\left(\begin{array}{c}2.556\×{10}^{-4}{v}^2\\ -2.298\×{10}^{-2}\\ +1.1601\end{array}\right)[\left(\begin{array}{c}0.372{t_i}^7-3.603{t_i}^6\\ +10.363{t_i}^5-2.476{t_i}^4\\ -37.9{t_i}^3+75.892{t_i}^2\\ +0.535t_i\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{{0.372t}_{i-1}}^7-{{3.603t}_{i-1}}^6\\ {{+10.363t}_{i-1}}^5-{{-2.476t}_{i-1}}^4\\ {{-37.9t}_{i-1}}^3+{{75.892}_{i-1}}^2\\ {+0.535t}_{i-1}\end{array}\right)]---\left(33\right)\\ Q_{i-1}{P}_i=\sqrt{{(x_{i-1}-r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_i}\cos {\mathrm{\θ}}_i)}^2+{(y_{i-1}-r_0{e}^{a{\mathrm{\θ}}_i}\sin {\mathrm{\θ}}_i)}^2}\end{array}\right.$

式(33)中，

$\left\{\begin{array}{c}{t}_{i-1}=\frac{r_0\sqrt{a^2+1}}{\mathrm{av}}(e^{a{\mathrm{\θ}}_{i-1}}-1)\\ t_i=\frac{r_0\sqrt{a^2+1}}{\mathrm{av}}(e^{a{\mathrm{\θ}}_i}-1)\end{array}\right.---\left(34\right)$

等角螺旋线加工误差迭代模型的初始值为：

θ₀＝0(35)

根据式(2)可得到等角螺旋线曲率与等角螺旋线极角间的关系式为：

$\mathrm{\θ}=\frac{1}{a}1n\left(\frac{1}{r_0\sqrt{a^2+1K}}\right)---\left(36\right)$

(3)建立加工误差、等角螺旋线曲率、NC程序制定的机床加工进给速度三者间的关系

根据建立的等角螺旋线加工误差数学模型，如式(22)，确定加工误差受等角螺旋线几何特征和NC程序制定的机床加工进给速度影响的规律，得到加工误差、等角螺旋线曲率和NC程序制定的机床加工进给速度间的耦合关系。

附图4为等角螺旋线曲率和NC程序制定的机床加工进给速度同时变化时，加工误差随之变化的结果。从图中可以看出，NC程序制定的机床加工进给速度不变，等角螺旋线曲率达到一定值时加工误差最大；而NC程序制定的机床加工进给速度越大，使加工误差达到最大的等角螺旋线曲率越大。当等角螺旋线曲率减小时，在NC程序制定的机床加工进给速度下，加工误差均会减小，等角螺旋线曲率减小到一定程度时，实际加工点可以很快到达理论加工点，即加工误差减小至零。

(4)根据等角螺旋线几何特征对加工区进行划分，并分配相应的机床加工进给速度，对等角螺旋线进行加工。

根据建立的加工误差与等角螺旋线曲率、NC程序制定的机床加工进给速度间的关系，得到加工误差为零时，等角螺旋线不同曲率下对应的NC程序制定的机床加工进给速度值，拟合曲线如附图5所示。实施中，在等角螺旋线几何模型的极角范围内，将等角螺旋线的极角θ等分成三段，并进行适当调整，即分为θ₁＝[0,2.57π)，θ₂＝[2.57π,4.99π)、θ₃＝[4.99π,7.3π]三段。在拟合曲线上选取每段中的最小极角所对应的机床加工进给速度作为NC程序制定的机床加工进给速度，实现对等角螺旋线的高质高效加工。

Claims (1)

1.一种等角螺旋线分区变参数控精密加工方法，其特征在于，先对等角螺旋线几何模型进行分析，确定恒定工艺参数下等角螺旋线实际加工速度与加工时间的关系，依据等角螺旋线加工误差的产生机理，建立加工误差的数学模型，确定加工误差受等角螺旋线几何特征和NC程序制定的机床加工进给速度影响的规律；以满足机床动态特性及加工精度为约束条件，建立机床加工进给速度与等角螺旋线几何特征间的关系；对等角螺旋线加工区进行合理划分，根据建立的机床加工进给速度与等角螺旋线几何特征间的关系，对各分区分配相应的机床加工进给速度进行加工，最终加工出等角螺旋线；加工方法具体步骤如下：

(1)对等角螺旋线几何模型进行分析，确定恒定工艺参数下等角螺旋线实际加工速度与加工时间的关系

等角螺旋线几何模型为：

r＝r₀e^aθ(1)

式中，r为矢径，r₀为0°极角时对应的矢径，θ为从极轴到矢径r的角度，称为极角，a为与螺旋角α相关的系数，其值为tanα称为螺旋率；

该等角螺旋线的曲率K表达式为：

$K=\frac{1}{\sqrt{a^2+1}{r}_0{e}^{a\mathrm{\θ}}}---\left(2\right)$

通过速度监控，得到恒定工艺参数下等角螺旋线实际加工速度v_e随实际加工时间t_e的变化曲线，拟合确定二者间函数关系；

(2)建立等角螺旋线加工误差数学模型

等角螺旋线加工误差为理论曲线与实际加工轨迹间的距离，采用理论曲线上的加工点与实际加工轨迹上相对应的直线之间的距离E_r代替，其表达式为：

$Er=\frac{|am+bn+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}---\left(3\right)$

式中，a、b、c为实际加工轨迹的直线段方程ax+by+c＝0的系数，(m,n)为理论加工点坐标值；

第一理论加工点P₁处的加工误差表达式为：

${\mathrm{Er}}_1=\frac{|a_1{m}_1+b_1{n}_1+c_1|}{\sqrt{{a_1}^2+{b_1}^2}}---\left(4\right)$

其中，a₁、b₁、c₁为P₁对应的实际加工轨迹直线方程的系数，(m₁,n₁)为P₁点的坐标值，其值为：

$\left\{\begin{array}{c}{m}_1=r_1{\mathrm{cos\θ}}_1\\ n_1=r_1{\mathrm{sin\θ}}_1\end{array}\right.---\left(5\right)$

式中，r₁为P₁点的矢径，θ₁为从极轴到矢径r₁的角度，将θ₁代入式(1)得到m₁、n₁值；

式(4)中的a₁、b₁、c₁为过第一实际加工点Q₁与第二理论加工点P₂的直线方程系数，其表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{a}_1=\frac{n_2-y_1}{m_2-x_1}\\ b_1=-1\\ c_1=\frac{m_2{y}_1-x_1{n}_2}{m_2-x_1}\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中，(m₂,n₂)为P₂点的坐标，其值为：

$\left\{\begin{array}{c}{m}_2=r_2{\mathrm{cos\θ}}_2\\ n_2=r_2{\mathrm{sin\θ}}_2\end{array}\right.---\left(7\right)$

式中，r₂为P₂点的矢径，θ₂为从极轴到矢径r₂的角度，将θ₂代入式(1)得到m₂、n₂值；

式(6)中的(x₁,y₁)为Q₁点的坐标；根据实际加工起始点Q₀与第一实际加工点Q₁之间的距离Q₀Q₁与实际加工起始点Q₀与第一理论加工点P₁之间的距离Q₀P₁的比值关系计算Q₁点的坐标值，即：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=\left(1-\frac{Q_0{Q}_1}{Q_0{P}_1}\right)x_0+\frac{Q_0{Q}_1}{Q_0{P}_1}{m}_1\\ y_1=\left(1-\frac{Q_0{Q}_1}{Q_0{P}_1}\right)y_0+\frac{Q_0{Q}_1}{Q_0{P}_1}{n}_1\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中，Q₀P₁线段的长度为：

$Q_0{P}_1=\sqrt{{(x_0-m_1)}^2+{(y_0-n_1)}^2}---\left(9\right)$

式(8)和式(9)中，(x₀,y₀)为Q₀点的坐标；在加工过程时，实际加工起始点Q₀与理论加工起始点P₀的坐标相同，即：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_0=m_0=r_0{\mathrm{cos\θ}}_0\\ y_0=n_0=r_0{\mathrm{sin\θ}}_0\end{array}\right.---\left(10\right)$

Q₀Q₁为实际加工的线段长度，即：

$Q_0{Q}_1={\∫}_{t_{e0}}^{t_{e1}}{v}_e{\mathrm{dt}}_e---\left(11\right)$

其中，t_e0和t_e1为加工到Q₀点和Q₁点对应的实际加工时间，t_e0＝0，与数控系统计算出的该段加工程序所需理论加工时间t具有线性关系，即：

t_e＝K_tt(12)

K_t为线性系数，其表达式为：

K_t＝2.556×10^-4v²-2.298×10^-2v+1.601(13)

其中，v为NC程序制定的机床加工进给速度，式(12)中的t为数控系统计算出的执行该段加工程序所需理论加工时间；用弧长s近似代替插补直线，通过弧微分公式计算理论加工时间t，即：

$t=s/v={\∫}_{s_0}^{s_1}ds/v---\left(14\right)$

$ds=r_0\sqrt{a^2+1}\·e^{a\mathrm{\θ}}d\mathrm{\θ}---\left(15\right)$

s₀、s₁分别为等角螺旋线极角为θ₀和θ₁时对应的弧长；

通过速度监控得到的恒定工艺参数下等角螺旋线实际加工速度v_e随实际加工时间t_e的变化的拟合曲线方程，及式(5)-(15)代入式(4)，得到P₁点处的加工误差Er₁表达式；

采用上述推导过程，计算P₂点处的加工误差，其表达式为：

${\mathrm{Er}}_2=\frac{|a_2{m}_2+b_2{n}_2+c_2|}{\sqrt{{a_2}^2+{b_2}^2}}---\left(16\right)$

式中，a₂、b₂、c₂为过第二实际加工点Q₂与第三理论加工点P₃的直线方程系数，其表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{a}_2=\frac{n_3-y_2}{m_3-x_2}\\ b_2=-1\\ c_2=\frac{m_3{y}_2-x_2{n}_3}{m_3-x_2}\end{array}\right.---\left(17\right)$

其中，(m₃,n₃)为P₃点的坐标，其值为：

$\left\{\begin{array}{c}{m}_3=r_3{\mathrm{cos\θ}}_3\\ n_3=r_3{\mathrm{sin\θ}}_3\end{array}\right.---\left(18\right)$

式中，r₃为P₃点的矢径，θ₃为从极轴到矢径r₃的角度，将θ₃代入式(1)得到m₃、n₃值；

式(17)中的(x₂,y₂)为Q₂点的坐标；Q₂点位于直线Q₁P₂上，根据Q₁Q₂与Q₁P₂的比值关系计算出Q₂点的坐标值，即：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_2=\left(1-\frac{Q_1{Q}_2}{Q_1{P}_2}\right)x_1+\frac{Q_1{Q}_2}{Q_1{P}_2}{m}_2\\ y_2=\left(1-\frac{Q_1{Q}_2}{Q_1{P}_2}\right)y_1+\frac{Q_1{Q}_2}{Q_1{P}_2}{n}_2\end{array}\right.---\left(19\right)$

其中，Q₁P₂线段的长度为：

$Q_1{P}_2=\sqrt{{(x_1-m_2)}^2+{(y_1-n_2)}^2}---\left(20\right)$

Q₁Q₂为实际加工的线段长度，即：

$Q_1{Q}_2={\∫}_{t_{e1}}^{t_{e2}}{v}_e{\mathrm{dt}}_e---\left(21\right)$

其中，t_e1和t_e2为加工到Q₁点和Q₂点对应的实际加工时间，根据式(12)-(15)得到其表达式；

通过速度监控得到的恒定工艺参数下等角螺旋线实际加工速度v_e随实际加工时间t_e的变化的拟合曲线方程，及式(17)-(21)代入式(16)，得到P₂点处的加工误差Er₂表达式；

由上述可知，Q₁点的坐标通过计算Er₁从而得到Q₁P₂的方程，并计算Q₂点的坐标，实现对Er₂的计算；通过迭代法进行加工误差的计算，得到关于NC程序制定的机床加工进给速度和等角螺旋线极角的加工误差模型为：

${\mathrm{Er}}_i=\frac{|\frac{r_0{e}^{{\mathrm{a\θ}}_{i+1}}{\mathrm{sin\θ}}_{i+1}-y_i}{r_0{e}^{{\mathrm{a\θ}}_{i+1}}{\mathrm{cos\θ}}_{i+1}-x_i}{r}_0{e}^{{\mathrm{a\θ}}_i}{\mathrm{cos\θ}}_i-r_0{e}^{{\mathrm{a\θ}}_i}{\mathrm{sin\θ}}_i+\frac{r_0{e}^{{\mathrm{a\θ}}_{i+1}}{\mathrm{cos\θ}}_{i+1}{y}_i-r_0{e}^{{\mathrm{a\θ}}_{i+1}}{\mathrm{sin\θ}}_{i+1}{x}_i}{r_0{e}^{{\mathrm{a\θ}}_{i+1}}{\mathrm{cos\θ}}_{i+1}-x_i}|}{\sqrt{{\left(\frac{r_0{e}^{{\mathrm{a\θ}}_{i+1}}{\mathrm{sin\θ}}_{i+1}-y_i}{r_0{e}^{{\mathrm{a\θ}}_{i+1}}{\mathrm{cos\θ}}_{i+1}-x_i}\right)}^2+1}}+C_s---\left(22\right)$

式中，C_s为修正因子；

(3)根据建立的加工误差数学模型，确定加工误差受等角螺旋线几何特征和NC程序制定的机床加工进给速度影响的规律，得到加工误差、等角螺旋线曲率和NC程序制定的机床加工进给速度间的耦合关系；

(4)根据建立的加工误差与等角螺旋线曲率、NC程序制定的机床加工进给速度间的关系，得到加工误差为零时，等角螺旋线不同曲率点对应的NC程序制定的机床加工进给速度值，并得到二者间的拟合曲线；在等角螺旋线几何模型的极角范围内，将等角螺旋线进行合理分区，在等角螺旋线曲率与机床加工进给速度拟合曲线上选取各分区中的最小极角所对应的机床加工进给速度作为初选的机床加工进给速度，并取拟合曲线上对应的机床加工进给速度作为最终NC程序制定的机床加工进给速度，对等角螺旋线进行加工。