CN109396567B - 修形摆线齿轮展成磨削中确定蜗杆砂轮廓形的数字包络法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种修形摆线齿轮展成磨削中确定蜗杆砂轮廓形的数字包络法，其将标准摆线齿轮廓形离散成一系列点，并与廓形处的切矢量构成廓形点切矢量，根据修形曲线计算修形摆线齿轮廓形的廓形点切矢量；同时将成形包络轨迹和展成包络轨迹离散成一系列点，廓形点切矢量作成形包络运动和展成包络运动形成空间廓形点切矢量族，再通过坐标变换和投影转换为平面廓形点切矢量族；建立平面廓形点切矢量族的数字包络算法，将二次包络廓形点切矢量族降维成一次包络廓形点切矢量族，利用数字包络算法求取蜗杆砂轮廓形点，经拟合得到蜗杆砂轮廓形。本方法计算简便，能够快速求取蜗杆砂轮廓形，且摆线齿轮廓形点与蜗杆砂轮廓形点之间具有一一对应关系。

Description

修形摆线齿轮展成磨削中确定蜗杆砂轮廓形的数字包络法

技术领域

本发明涉及摆线齿轮精密磨削制造技术领域，特别涉及一种修形摆线齿轮展成磨削中确定蜗杆砂轮廓形的数字包络法。

背景技术

随着工业技术的发展，尤其是机器人、航空航天和国防工业的高速发展，对精密机械传动在质量和数量上提出了更高的要求。摆线减速器具有传动比大、结构紧凑、传动效率高、运转平稳、噪声小、寿命长等优点，能够很好的解决目前工业发展中对精密机械传动装置的高要求，因此摆线齿轮在精密机械传动方面的应用将会越来越广泛。

目前刀具廓形普遍采用共轭轴线法进行计算。Litvin等将共轭轴线法发展为经典的啮合理论，针对性地应用于齿轮设计及加工过程中的齿面包络计算，如滚刀、蜗杆砂轮、成形砂轮的廓形计算，根据啮合齿面的公法线方向垂直于齿面间相对速度矢量的原理建立啮合方程，并联立齿轮的廓形方程求解出曲面上的接触线。Su等将啮合理论扩展应用于蜗轮传动中的包络计算，并给出了相应的啮合方程。Radzevich根据工件拓扑修形齿面，应用曲面生成的微分几何和运动学方法，提出一种新颖的廓形计算方法：R－映射法，并应用于成形砂轮磨削拓扑修形径向剃齿刀时的砂轮轴向廓形参数计算。此外，数字包络法也被应用于齿轮加工过程中的刀具廓形计算。日本Ishibash等提出元素消去法，仿真螺旋曲面包络刀具的过程，并应用于成形砂轮及展成滚刀廓形的计算。周玉山等提出了截线式数字模拟包络计算方法，在计算平面上通过数值模拟的方式计算出砂轮廓形。

针对标准廓形时，以上方法计算比较方便。但是对于类似修形摆线齿轮的非标准廓形，基于解析计算的共轭轴线法存在廓形表示复杂及求解困难等问题，现有的数字法虽然能够精确计算砂轮的轴向廓形，但计算量大、计算时间长，且廓形两端边界处的干涉或过切问题很难处理，还缺乏摆线齿轮廓形与蜗杆砂轮廓形之间的一一映射关系。

发明内容

有鉴于类似修形摆线齿轮的非标准廓形，基于解析计算的共轭轴线法存在廓形表示复杂及求解困难等问题，本发明的目的是提供一种修形摆线齿轮展成磨削中确定蜗杆砂轮廓形的数字包络法，以实现更方便和快速的计算出蜗杆砂轮廓形，且该方法几何通用性好，不需要进行多次复杂运算，在计算过程中摆线齿轮廓形点与蜗杆砂轮廓形点还具有一一对应关系。

本发明修形摆线齿轮展成磨削中确定蜗杆砂轮廓形的数字包络法，包括以下步骤：

步骤一，将标准摆线齿轮廓形按照平均化离散准则进行离散得到标准廓形点，求出标准廓形点处对应的切矢量和法矢量，廓形点与其对应的切矢量构成廓形点切矢量；

步骤二，结合摆线齿轮廓形的修形曲线得到修形廓形点，并计算修形廓形点的切矢量，构成新的廓形点切矢量；

步骤三，所有修形廓形点对应的廓形点切矢量沿成形包络轨迹运动得到成形包络廓形点切矢量族，成形包络廓形点切矢量族沿展成包络轨迹运动得到展成包络廓形点切矢量族；

步骤四，根据摆线齿轮与蜗杆砂轮的空间啮合关系，建立摆线齿轮与蜗杆砂轮的空间啮合坐标系，把表示在摆线齿轮坐标系中的廓形点切矢量转换到在蜗杆砂轮坐标系中，然后沿着蜗杆砂轮螺旋线方向进行螺旋投影至蜗杆砂轮轴截面，使得廓形点切矢量的起点位于蜗杆砂轮轴截面上，再对螺旋投影后的廓形点切矢量平面投影至蜗杆砂轮轴截面上，最终得到蜗杆砂轮轴截面上的平面廓形点切矢量；

步骤五，采用数字包络算法确定对应的蜗杆砂轮廓形点，所有的蜗杆砂轮廓形点经过拟合得到修形摆线齿轮廓形对应的蜗杆砂轮廓形。

进一步，在步骤一中，所述的标准摆线齿轮廓形由一段短幅外摆线的等距曲线构成，根据平均距离、弧长或角度离散准则将标准摆线齿轮廓形离散成一系列点，构成标准廓形点；标准廓形点对应的切矢量为标准摆线齿轮廓形在该点处的切矢量，通过对标准摆线齿轮廓形公式求一阶导数得到，标准廓形点的法矢量根据对应的切矢量求取，切矢量和法矢量的起点为标准廓形点，终点分别为切矢量和法矢量方向上任意一点。

进一步，在步骤二中，所述摆线齿轮廓形的修形曲线是由直线、圆弧及自由曲线构成的平面曲线，根据修形曲线表达式计算标准廓形点对应的修形量，将修形量沿标准廓形点的法矢量方向进行叠加，得到修形廓形点，所有的修形廓形点拟合得到修形摆线齿轮廓形，将标准廓形点的切矢量绕摆线齿轮轴线旋转一定角度得到修形廓形点的切矢量，修形廓形点与其切矢量构成新的廓形点切矢量。

进一步，在步骤三中，所述的成形包络轨迹是摆线齿轮廓形沿摆线齿轮齿面作直线包络运动的轨迹，所述的展成包络轨迹是摆线齿轮廓形绕摆线齿轮轴线作旋转包络运动的轨迹。

进一步，在步骤四中，将成形包络廓形点切矢量族转换形成的平面廓形点切矢量族称为一次包络廓形点切矢量族，将展成包络廓形点切矢量族转换形成的平面廓形点切矢量族称为二次包络廓形点切矢量族，二次包络廓形点切矢量族由若干个一次包络廓形点切矢量族组成；

在步骤五中，通过数字包络算法求取每个一次包络廓形点切矢量族的一系列包络点，所有包络点对应的廓形点切矢量构成包络廓形点切矢量族，二次包络廓形点切矢量族中所有一次包络廓形点切矢量族形成的包络廓形点切矢量族构成一个新的一次包络廓形点切矢量族，再通过数字包络算法求取其一系列包络点，即为蜗杆砂轮廓形点，拟合蜗杆砂轮廓形点得到蜗杆砂轮廓形。

进一步，在步骤五中通过数字包络算法求取每个一次包络廓形点切矢量族的一系列包络点的方法如下：

1)针对一次包络廓形点切矢量族，每一个修形廓形点对应一次包络廓形点切矢量族中的一个分支廓形点切矢量族，所有修形廓形点对应的分支廓形点切矢量族构成一次包络廓形点切矢量族；

2)采用排除法求取分支廓形点切矢量族的包络点，当考察其中某一个廓形点切矢量时，过蜗杆砂轮轴截面上的原点建立一条平行于该廓形点切矢量方向的判别线，比较所有廓形点切矢量的起点到判别线的距离，如果该廓形点切矢量对应的距离为最小，则该廓形点切矢量的起点为包络点，否则排除该点，继续考察分支廓形点切矢量族中其余廓形点切矢量，找出包络点；同理，找出所有分支廓形点切矢量族中的包络点。

进一步，步骤三中所述的展成包络轨迹长度应大于摆线齿轮与蜗杆砂轮啮合重合度，确保展成包络过程的完整性，得到与修形摆线齿轮廓形一一对应的蜗杆砂轮廓形。

本发明的有益效果：本发明修形摆线齿轮展成磨削中确定蜗杆砂轮廓形的数字包络法，该方法建模方便，几何通用性好、计算简单且易编程求解，是一种高鲁棒性、精度可控的方法。且该方法不需要进行多次复杂运算，能够快速的计算蜗杆砂轮廓形，且在计算过程中摆线齿轮廓形点与蜗杆砂轮廓形点之间具有一一对应关系。因此本方法对消除修形摆线齿轮磨削过程中的过切和干涉现象、运动轨迹的优化及摆线齿轮的精密磨削具有很好的指导作用。

附图说明

图1为实施例中建立的摆线齿轮与蜗杆砂轮空间啮合坐标系；

图2为实施例中数字包络算法示意图。

具体实施方式

下面结合附图，以蜗杆砂轮展成磨削修形摆线齿轮为例，进一步阐释本发明。

本实施例中修形摆线齿轮展成磨削中确定蜗杆砂轮廓形的数字包络法，包括如下步骤：

步骤一，将标准摆线齿轮廓形按照平均化离散准则进行离散得到标准廓形点，求出标准廓形点处对应的切矢量和法矢量，廓形点与其对应的切矢量构成廓形点切矢量。所述的标准摆线齿轮廓形由一段短幅外摆线的等距曲线构成，根据平均角度离散准则将标准摆线齿轮廓形离散成一系列点(当然在不同的实施例中也可根据平均距离或平均弧长离散准则将标准摆线齿轮廓形离散成一系列点)，构成标准廓形点；标准廓形点对应的切矢量为标准摆线齿轮廓形在该点处的切矢量，通过对标准摆线齿轮廓形公式求一阶导数得到，标准廓形点的法矢量根据对应的切矢量求取，切矢量和法矢量的起点为标准廓形点，终点分别为切矢量和法矢量方向上任意一点。具体如下：

确定离散精度n(n为正整数)，将标准摆线齿轮廓形按照等角度离散准则离散成n个点，根据标准摆线齿轮廓形公式得到在摆线齿轮转角上平均分布的平面离散点坐标：

式中

根据标准摆线齿轮廓形的几何特性，得到离散点处的切矢量为：

法矢量为：

步骤二，结合摆线齿轮廓形的修形曲线得到修形廓形点，并计算修形廓形点的切矢量，构成新的廓形点切矢量。所述摆线齿轮廓形的修形曲线是由直线、圆弧及自由曲线构成的平面曲线，根据修形曲线表达式计算标准廓形点对应的修形量，将修形量沿标准廓形点的法矢量方向进行叠加，得到修形廓形点，所有的修形廓形点拟合得到修形摆线齿轮廓形，将标准廓形点的切矢量绕摆线齿轮轴线旋转一定角度得到修形廓形点的切矢量，修形廓形点与其切矢量构成新的廓形点切矢量。具体如下：

确定修形曲线表达式

计算出标准廓形点对应的修形量

将修形量沿标准廓形点的法矢量方向叠加到标准廓形点上，得到修形廓形点：

即：

式中

修形曲线与标准廓形点对应的第i个离散点的切矢量为：

则

将标准廓形点的切矢量绕z轴旋转角度δ_i得到修形廓形点的切矢量。

上述公式中，z_g表示摆线齿轮齿数，z_b表示针轮齿数，R_z表示针齿中心分布圆半径，r_z表示针齿半径，K₁表示短幅系数，i(i＝1,2,3,...,n)表示廓形点的序号，x_i、y_i分别表示第i个标准廓形点的横、纵坐标，T_i表示第i个标准廓形点的切矢量，N_i表示第i个标准廓形点的法矢量，x_1i、y_1i分别表示第i个修形廓形点的横、纵坐标，

表示第i个标准廓形点对应的转角，θ_i表示第i个标准廓形点的法矢量旋转至与x轴重合时的最小角度，δ_i表示第i个标准廓形点与修形廓形点的切矢量间的夹角。

步骤三，所有修形廓形点对应的廓形点切矢量沿成形包络轨迹运动得到成形包络廓形点切矢量族，成形包络廓形点切矢量族沿展成包络轨迹运动得到展成包络廓形点切矢量族。所述的成形包络轨迹是摆线齿轮廓形沿摆线齿轮齿面作直线包络运动的轨迹，所述的展成包络轨迹是摆线齿轮廓形绕摆线齿轮轴线作旋转包络运动的轨迹。将成形包络轨迹和展成包络轨迹离散成一系列点，修形廓形点对应的廓形点切矢量沿着直线包络运动和旋转包络运动的轨迹离散点进行包络，形成空间廓形点切矢量族。

步骤四，根据摆线齿轮与蜗杆砂轮的空间啮合关系，建立摆线齿轮与蜗杆砂轮的空间啮合坐标系，把表示在摆线齿轮坐标系中的廓形点切矢量转换到在蜗杆砂轮坐标系中，然后沿着蜗杆砂轮螺旋线方向进行螺旋投影至蜗杆砂轮轴截面，使得廓形点切矢量的起点位于蜗杆砂轮轴截面上，再对螺旋投影后的廓形点切矢量平面投影至蜗杆砂轮轴截面上，最终得到蜗杆砂轮轴截面上的平面廓形点切矢量。具体如下：

建立摆线齿轮与蜗杆砂轮的空间啮合坐标系(如图1所示)，O_g(x_g,y_g,z_g)表示摆线齿轮坐标系，O_f(x_f,y_f,z_f)表示惯性坐标系，O_s(x_s,y_s,z_s)表示蜗杆砂轮坐标系。γ表示蜗杆砂轮磨削摆线齿轮时的安装角，a表示蜗杆砂轮与摆线齿轮的中心距。z_m表示摆线齿轮廓形沿齿面作成形包络运动的移动距离，ξ表示摆线齿轮廓形作展成包络运动的旋转角度。

在进行坐标变换过程中，分别对廓形点切矢量的起点和终点进行变换，变换后廓形点切矢量方向由终点坐标与起点坐标的差值表示。坐标变换公式为：

式中，M_sg表示摆线齿轮坐标系到蜗杆砂轮坐标系的变换矩阵，P_i ^(g)、

分别表示摆线齿轮坐标系中廓形点切矢量的起点和终点坐标，P_i ^(s)、

分别表示蜗杆砂轮坐标系中廓形点切矢量的起点和终点坐标。

选取蜗杆砂轮的轴截面(如图1中的(x_s,y_s)平面)为投影平面，对坐标变换后的廓形点切矢量进行螺旋投影。螺旋投影公式为：

式中，

分别表示第i个廓形点切矢量的起点坐标在蜗杆砂轮坐标系中沿x、z轴的分量，P_i'、Q_i'分别表示螺旋投影后廓形点切矢量的起点和终点坐标，M_t为绕蜗杆砂轮轴线旋转角度β的投影矩阵，Z_g为摆线齿轮齿数，Z_w为蜗杆砂轮头数，L为蜗杆砂轮轴向导程。

螺旋投影后的廓形点切矢量仍是空间廓形点切矢量，选取其在蜗杆砂轮轴截面上的分量为最终的平面廓形点切矢量的方向，再与原起点构成平面廓形点切矢量。

将成形包络运动移动距离z_m平均离散成l(l为正整数)份，以固定步长递增，修形廓形所有廓形点切矢量运动完l个步长后形成一个成形包络廓形点切矢量族；将展成包络运动旋转角度ξ平均离散成m(m为正整数)份，以固定步长递增，成形包络廓形点切矢量族运动完m个步长后构成展成包络廓形点切矢量族(m个成形包络廓形点切矢量族)；然后进行坐标变换及投影，成形包络廓形点切矢量族通过坐标变换及投影在蜗杆砂轮轴截面内得到一次包络廓形点切矢量族，展成包络廓形点切矢量族通过坐标变换及投影在蜗杆砂轮轴截面内得到二次包络廓形点切矢量族(m个一次包络廓形点切矢量族)。

步骤五，采用数字包络算法确定对应的蜗杆砂轮廓形点，所有的蜗杆砂轮廓形点经过拟合得到修形摆线齿轮廓形对应的蜗杆砂轮廓形。

针对一次包络廓形点切矢量族，每一个修形廓形点对应一次包络廓形点切矢量族中的一个分支廓形点切矢量族，所有修形廓形点对应的分支廓形点切矢量族构成一次包络廓形点切矢量族。采用数字包络算法求取一次包络廓形点切矢量族的所有包络点，以某一次包络廓形点切矢量族的一个分支廓形点切矢量族为例(如图2所示)，采用排除法找出包络点。当考察第i个廓形点切矢量时，过蜗杆砂轮轴截面上的原点O_s处建立一条平行于该廓形点切矢量方向的判别线：

y＝kx

式中，k为判别线的斜率，P_i'_x、P_iy'分别表示螺旋投影后廓形点切矢量的起点坐标在蜗杆砂轮轴截面内沿x、y轴的分量，Q_i'_x、Q_i'_y分别表示螺旋投影后廓形点切矢量的终点坐标在蜗杆砂轮轴截面内沿x、y轴的分量。

计算廓形点切矢量族中所有起点到判别线的距离d，在蜗杆砂轮轴截面内的点W(x,y)到判别线的距离为：

通过比较，如果该廓形点切矢量对应的距离为最小，则该廓形点切矢量的起点为包络点，否则排除该廓形点切矢量，继续考察分支廓形点切矢量族中其余廓形点切矢量，找出包络点，采用相同方式找出一次包络廓形点切矢量族中所有分支廓形点切矢量族的包络点，构成包络廓形点切矢量族。

通过数字包络算法找出二次包络廓形点切矢量族中所有一次包络廓形点切矢量族包络形成的包络廓形点切矢量族，构成一个新的一次包络廓形点切矢量族，再通过数字包络算法求取其一系列包络点，即为蜗杆砂轮廓形点，蜗杆砂轮廓形点通过拟合形成蜗杆砂轮廓形。

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (6)

1.修形摆线齿轮展成磨削中确定蜗杆砂轮廓形的数字包络法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤一，将标准摆线齿轮廓形按照平均化离散准则进行离散得到标准廓形点，求出标准廓形点处对应的切矢量和法矢量，廓形点与其对应的切矢量构成廓形点切矢量；

步骤二，结合摆线齿轮廓形的修形曲线得到修形廓形点，并计算修形廓形点的切矢量，构成新的廓形点切矢量；所述摆线齿轮廓形的修形曲线是由直线、圆弧及自由曲线构成的平面曲线，根据修形曲线表达式计算标准廓形点对应的修形量，将修形量沿标准廓形点的法矢量方向进行叠加，得到修形廓形点，所有的修形廓形点拟合得到修形摆线齿轮廓形，将标准廓形点的切矢量绕摆线齿轮轴线旋转一定角度得到修形廓形点的切矢量，修形廓形点与其切矢量构成新的廓形点切矢量；

步骤三，所有修形廓形点对应的廓形点切矢量沿成形包络轨迹运动得到成形包络廓形点切矢量族，成形包络廓形点切矢量族沿展成包络轨迹运动得到展成包络廓形点切矢量族；

步骤四，根据摆线齿轮与蜗杆砂轮的空间啮合关系，建立摆线齿轮与蜗杆砂轮的空间啮合坐标系，把表示在摆线齿轮坐标系中的廓形点切矢量转换到在蜗杆砂轮坐标系中，然后沿着蜗杆砂轮螺旋线方向进行螺旋投影至蜗杆砂轮轴截面，使得廓形点切矢量的起点位于蜗杆砂轮轴截面上，再对螺旋投影后的廓形点切矢量平面投影至蜗杆砂轮轴截面上，最终得到蜗杆砂轮轴截面上的平面廓形点切矢量；

步骤五，采用数字包络算法确定对应的蜗杆砂轮廓形点，所有的蜗杆砂轮廓形点经过拟合得到修形摆线齿轮廓形对应的蜗杆砂轮廓形。

2.根据权利要求1所述的修形摆线齿轮展成磨削中确定蜗杆砂轮廓形的数字包络法，其特征在于：在步骤一中，所述的标准摆线齿轮廓形由一段短幅外摆线的等距曲线构成，根据平均距离、弧长或角度离散准则将标准摆线齿轮廓形离散成一系列点，构成标准廓形点；标准廓形点对应的切矢量为标准摆线齿轮廓形在该点处的切矢量，通过对标准摆线齿轮廓形公式求一阶导数得到，标准廓形点的法矢量根据对应的切矢量求取，切矢量和法矢量的起点为标准廓形点，终点分别为切矢量和法矢量方向上任意一点。

3.根据权利要求1所述的修形摆线齿轮展成磨削中确定蜗杆砂轮廓形的数字包络法，其特征在于：在步骤三中，所述的成形包络轨迹是摆线齿轮廓形沿摆线齿轮齿面作直线包络运动的轨迹，所述的展成包络轨迹是摆线齿轮廓形绕摆线齿轮轴线作旋转包络运动的轨迹。

4.根据权利要求1所述的修形摆线齿轮展成磨削中确定蜗杆砂轮廓形的数字包络法，其特征在于：在步骤四中，将成形包络廓形点切矢量族转换形成的平面廓形点切矢量族称为一次包络廓形点切矢量族，将展成包络廓形点切矢量族转换形成的平面廓形点切矢量族称为二次包络廓形点切矢量族，二次包络廓形点切矢量族由若干个一次包络廓形点切矢量族组成；

在步骤五中，通过数字包络算法求取每个一次包络廓形点切矢量族的一系列包络点，所有包络点对应的廓形点切矢量构成包络廓形点切矢量族，二次包络廓形点切矢量族中所有一次包络廓形点切矢量族形成的包络廓形点切矢量族构成一个新的一次包络廓形点切矢量族，再通过数字包络算法求取其一系列包络点，即为蜗杆砂轮廓形点，拟合蜗杆砂轮廓形点得到蜗杆砂轮廓形。

5.根据权利要求4所述的修形摆线齿轮展成磨削中确定蜗杆砂轮廓形的数字包络法，其特征在于：在步骤五中通过数字包络算法求取每个一次包络廓形点切矢量族的一系列包络点的方法如下：

1)针对一次包络廓形点切矢量族，每一个修形廓形点对应一次包络廓形点切矢量族中的一个分支廓形点切矢量族，所有修形廓形点对应的分支廓形点切矢量族构成一次包络廓形点切矢量族；

2)采用排除法求取分支廓形点切矢量族的包络点，当考察其中某一个廓形点切矢量时，过蜗杆砂轮轴截面上的原点建立一条平行于该廓形点切矢量方向的判别线，比较所有廓形点切矢量的起点到判别线的距离，如果该廓形点切矢量对应的距离为最小，则该廓形点切矢量的起点为包络点，否则排除该点，继续考察分支廓形点切矢量族中其余廓形点切矢量，找出包络点；同理，找出所有分支廓形点切矢量族中的包络点。

6.根据权利要求1所述的修形摆线齿轮展成磨削中确定蜗杆砂轮廓形的数字包络法，其特征在于：步骤三中所述的展成包络轨迹长度应大于摆线齿轮与蜗杆砂轮啮合重合度，确保展成包络过程的完整性，得到与修形摆线齿轮廓形一一对应的蜗杆砂轮廓形。

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