CN110297462A - 一种考虑机床几何误差影响的磨齿精度预测建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑机床几何误差影响的磨齿精度预测建模方法，首先由齿轮设计参数建立理想砂轮曲面参数模型；然后分别在理想情况下和考虑机床几何误差情况下，由砂轮曲面推导成形磨削加工后的螺旋齿面；最后由螺旋齿面的法向误差模型预测评定磨齿精度。本发明主要用于解决由数控成形磨齿机几何误差引起的齿面误差数值计算及齿轮精度预测评定的技术问题。该方法可为机床几何误差对磨削精度的定量影响分析提供数学支撑，为后续几何误差的控制方案设计奠定理论基础；同时，由于热平衡时的热误差、稳态切削时的力误差可以视作准静态误差，等效于某些几何误差项，因此本发明也可为热误差、力误差对磨齿精度的定量影响分析提供部分理论支撑。

Description

一种考虑机床几何误差影响的磨齿精度预测建模方法

技术领域

本发明涉及数控机床误差分析与精度控制技术领域，特别是一种考虑机床几何误差影响的磨齿精度预测建模方法。

背景技术

数控成形磨齿机是硬齿面齿轮精密加工的专用机床，特别适用于大规格、复杂齿形的齿轮精加工，提高该设备加工精度对制齿行业具有重大意义。然而磨齿机作为齿轮精加工装备，加工精度受多源误差共同影响，包括准静态的几何误差以及动态变化的热误差、力致变形误差等。其中，几何误差是数控机床加工误差最为基础的误差来源，后续动态误差有效控制的基本前提便是几何误差的先行控制，也即几何误差的控制优先级高于动态误差。为消除几何误差对成形磨齿机加工精度的影响，必须先行分析各项几何误差对齿轮加工精度的定量影响，也即需要基于已知的几何误差数值大小，对磨齿精度的实际等级进行准确的计算评定。

为提高齿轮加工精度，已有学者进行过齿面误差建模，但其主要是针对少数误差项对齿轮加工精度的定性分析，或者仅考虑某几项误差对齿面误差的影响，譬如考虑机床X轴附加移动、C轴附加转动等误差对齿面误差进行计算。目前，缺少针对成形磨齿机床几何误差影响下的齿面误差系统化建模方法，也未有较为成熟、成体系地针对几十项几何误差到齿轮磨齿精度的定量计算模型。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的在于提供一种考虑机床几何误差影响的磨齿精度预测建模方法，可以基于机床几何误差标定值定量计算磨齿误差大小，从而预测评定磨齿精度，为误差控制和消除提供理论依据。

为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：

本发明采用的技术方案为考虑机床几何误差影响的磨齿精度预测建模方法，包括以下步骤：

步骤一：基于齿轮设计参数按照以下步骤建立理想砂轮曲面参数模型；

步骤1.1：根据齿轮端面廓形曲线建立螺旋齿面参数模型；

步骤1.2：根据磨齿机基本结构计算齿轮坐标系和砂轮坐标系间的理想变换矩阵；

步骤1.3：基于共轭磨齿原理建立理想砂轮曲面参数模型；

步骤二：根据机床几何误差按照以下步骤建立磨削螺旋齿面精度预测模型；

步骤2.1：确定磨齿机床几何误差；

步骤2.2：计算磨齿机床几何误差影响下齿轮坐标系和砂轮坐标系间实际位姿变换矩阵；

步骤2.3：根据磨齿机床几何误差构建磨齿齿面法向误差模型；

步骤2.4：根据齿面法向误差模型预测评定齿轮精度。

进一步，所述步骤1.1中的螺旋齿面参数模型的建立具体按照以下步骤：

按照以下公式确定端面廓形曲线中各段的参数方程：

其中，σ₀表示齿槽半角，O_c表示齿根过渡圆弧圆心，r_c分别表示齿根过渡圆弧的圆心坐标和半径，r_df,α_df分别表示渐开线起始点处的半径和压力角；

u,u_c,u_f均表示齿轮端面廓形参数；

x_AB和y_AB分别为渐开线段AB的坐标值；

x_EF和y_EF分别为渐开线段EF的坐标值；

x_BC和y_BC分别为齿根过渡圆弧段BC的坐标值；

x_DE和y_DE分别为齿根过渡圆弧段DE的坐标值；

x_CD和y_CD分别为齿底直线段CD的坐标值；

确定所述齿轮端面廓形的坐标向量：

r^f(u)＝[x^f(u) y^f(u) 0 1]^T；

其中，u表示齿轮端面廓形参数；

r^f表示齿轮端面廓形坐标向量；

上标f表示齿轮端面廓形坐标系S_f(O_f-x_f，y_f，z_f)；

按照以下公式确定右旋螺旋齿面的坐标向量：

r^g(u,θ)＝M_gf(θ)r^f(u)

其中，r^g表示齿轮螺旋齿面坐标向量；

g表示齿轮坐标系S_g(O_g-x_g,y_g,z_g)；

θ为齿轮螺旋廓形参数；

M_gf表示S_f到S_g的齐次变换矩阵：

按照以下公式确定螺旋齿面的单位法矢：

将齿轮端面廓形与螺旋变换矩阵相乘得到螺旋齿面参数模型。

进一步，所述步骤1.2中的理想变换矩阵的计算具体按照以下步骤进行：

根据数控成形磨齿机基本结构确定X、Y、Z三直线运动轴和A、C两旋转运动轴；

构建与机床床身固连的辅助坐标系S₁(O₁-x₁,y₁,z₁)、辅助坐标系S₂(O₂-x₂,y₂,z₂)和辅助坐标系S₃(O₃-x₃,y₃,z₃)；所述坐标系之间满足以下关系：

当辅助坐标系S₁(O₁-x₁,y₁,z₁)绕z₁轴逆时针旋转得到齿轮坐标系S_g(O_g-x_g,y_g,z_g)；

当时，辅助坐标系S₁(O₁-x₁,y₁,z₁)与齿轮坐标系S_g(O_g-x_g,y_g,z_g)重合；辅助坐标系S₁(O₁-x₁,y₁,z₁)沿x₁轴正向平移距离a得到辅助坐标系S₂(O₂-x₂,y₂,z₂)；

当辅助坐标系S₂(O₂-x₂,y₂,z₂)绕x₂轴逆时针旋转γ得到辅助坐标系S₃(O₃-x₃,y₃,z₃)；

当γ＝0时，当辅助坐标系S₂(O₂-x₂,y₂,z₂)与辅助坐标系S₃(O₃-x₃,y₃,z₃)重合；辅助坐标系S₃(O₃-x₃,y₃,z₃)沿z₂轴正向平移距离得到砂轮坐标系S_w(O_w-x_w,y_w,z_w)；其中，p为螺旋参数；

当z＝0时，辅助坐标系S₃(O₃-x₃,y₃,z₃)与砂轮坐标系S_w(O_w-x_w,y_w,z_w)重合；

按照以下公式计算齿轮坐标系S_g到砂轮坐标系S_w的变换矩阵：

其中，

计算得：

同理，按照以下公式计算砂轮坐标系S_w到齿轮坐标系S_g的变换矩阵：

其中，M表示齐次变换矩阵，上标i表示理想状态，两下标依次表示坐标变换的目标坐标系和原始坐标系；

表示螺旋加工参数，γ表示砂轮安装角，a表示砂轮中心到齿轮轴线的距离，表示齿轮轴向加工参数。

进一步，所述步骤1.3中的理想砂轮曲面参数模型的建立过程具体按照以下步骤进行：

根据齿轮与砂轮的共轭接触条件确定齿轮螺旋面上的接触点，所述接触条件为：

其中，u表示齿轮端面廓形参数；θ表示螺旋廓形参数；表示螺旋加工参数；γ表示砂轮安装角，γ＝π/2-β，β表示齿轮螺旋角；

R^w表示从砂轮坐标系向齿轮螺旋面上的点做径矢；n^w表示螺旋面上该点的法线；k^w表示刀具轴线；

确定齿轮端面廓形参数u取值范围内的n个等距离散值u_j(j＝1,2,3,...,n)，根据二分法求得相应的θ_j；

将(u_j，θ_j)代入r^w和n^w，得到接触线离散点的坐标向量和单位法矢

确定第j个接触点的表示为

将接触线离散点旋转投影到砂轮轴向廓形坐标系S_q(O_q-x_q,y_q,z_q)中，得到砂轮轴向廓形离散点：

其中，M_qwj(η_j)表示旋转投影变换矩阵：

按照以下公式确定变换方程组：

其中，根据将和表示为和

则砂轮轴向廓形参数模型为：

将砂轮轴向廓形绕砂轮中心轴线旋转，形成的轨迹面即是砂轮曲面，则砂轮曲面参数模型为：

其中，φ表示砂轮旋转参数，取值范围为[0,2π]；M_wq(φ)表示旋转变换矩阵。

进一步，所述步骤2.1中的磨齿机床几何误差包括位移误差和角度误差。

进一步，所述步骤2.2中的实际位姿变换矩阵按照以下步骤进行计算：

根据齐次变换矩阵和坐标系间的相邻关系(g-1-2-3-w)，建立相邻坐标系间的实际位姿变换矩阵，分别表示为：

其中，

表示齿轮坐标系S_g到辅助固定坐标系S₁的实际齐次变换矩阵；

表示辅助固定坐标系S₁到辅助固定坐标系S₂的实际齐次变换矩阵；

表示辅助固定坐标系S₂到辅助固定坐标系S₃的实际齐次变换矩阵；

表示辅助固定坐标系S₃到砂轮坐标系S_w的实际齐次变换矩阵；

ΔM_1g(E_c)表示齿轮坐标系S_g到辅助固定坐标系S₁的误差变换矩阵；

表示齿轮坐标系S_g到辅助固定坐标系S₁的理想齐次变换矩阵；

ΔM₂₁(E_x)表示辅助固定坐标系S₁到辅助固定坐标系S₂的误差变换矩阵；

表示辅助固定坐标系S₁到辅助固定坐标系S₂的理想齐次变换矩阵；

ΔM₃₂(E_a)表示辅助固定坐标系S₂到辅助固定坐标系S₃的误差变换矩阵；

表示辅助固定坐标系S₂到辅助固定坐标系S₃的理想齐次变换矩阵；

ΔM_w3(E_z)表示辅助固定坐标系S₃到砂轮坐标系S_w的误差变换矩阵；

表示辅助固定坐标系S₃到砂轮坐标系S_w的理想齐次变换矩阵；

ε_xz表示X轴的z向角度误差；ε_xy表示X轴的y向角度误差；ε_xx表示X轴的x向角度误差；ε_az表示A轴的z向角度误差；ε_ay表示A轴的y向角度误差；ε_ax表示A轴的x向角度误差；

δ_xz表示X轴的z向线性误差；δ_xy表示X轴的y向线性误差；δ_xx表示X轴的x向线性误差；δ_az表示A轴的z向线性误差；δ_ay表示A轴的y向线性误差；δ_ax表示A轴的x向线性误差；

E_k＝[δ_kx δ_ky δ_kz ε_kx ε_ky ε_kz]^T,k＝{c,x,a,z}；

k表示运动轴；c表示C轴运动；x表示X轴运动；a表示A轴运动；z表示Z轴运动；

δ_kx表示k轴x向线性误差；δ_ky表示k轴y向线性误差；δ_kz表示k轴z向线性误差；ε_kx表示k轴x向角度误差；ε_ky表示k轴y向角度误差；ε_kz表示k轴z向角度误差；

p表示螺旋参数；

φ表示砂轮旋转参数；

s_xz表示机床X、Z滑轨间的垂直度误差；

按照以下公式确定砂轮坐标系S_w与齿轮坐标系S_g间的齐次变换矩阵：

其中，表示齿轮坐标系S_g到砂轮坐标系S_w的实际齐次变换矩阵；

E表示所有误差集合；

表示X轴误差集合；

表示Z轴误差集合；

表示A轴误差集合；

表示C轴误差集合；

s_xz表示机床X、Z滑轨间的垂直度误差；

E_1×25表示25项误差集合。

进一步，所述步骤2.3中的磨齿齿面法向误差模型按照以下步骤进行构建：

按照以下公式确定接触条件：

其中，

f()表示接触函数；

η表示砂轮轴向廓形参数；

φ表示砂轮旋转廓形参数；

表示转台转角；

γ表示砂轮安装角；

a表示砂轮与齿轮中心距；

k^g表示齿轮轴线；

r^g表示从齿轮坐标系原点向砂轮曲面上的点作出的径矢；

p表示螺旋参数；

n^g表示砂轮曲面上该点的法线；

确定砂轮曲面上的接触点；

根据η取值范围内的n个等距离散值η_j(j＝1,2,3,...,n)，采用二分法求解相应的φ_j；

再将(η_j,φ_j)代入r^g和n^g，计算得到接触线离散点的坐标向量和单位法矢；

将第j个接触点简化表示为

其中，表示齿轮坐标系中的第j个接触点的坐标向量；表示齿轮坐标系中的第j个接触点的单位法矢；

将接触线表示为

其中，表示齿轮坐标系中的接触线的坐标向量；

表示齿轮坐标系中的第j个接触点的坐标向量；

表示齿轮坐标系中的接触线的单位法矢；

表示齿轮坐标系中的第j个接触点的单位法矢；

分别数值求解第k条理想磨削接触线和考虑几何误差影响的实际磨削接触线

其中，表示齿轮坐标系中第k条理想接触线的坐标向量；

表示齿轮坐标系中第k条理想接触线的单位法矢；

表示齿轮坐标系中第k条实际接触线的坐标向量；

表示齿轮坐标系中第k条实际接触线的单位法矢；

将实际磨削接触线与理想磨削接触线上的离散点的坐标作差并与理想接触线上对应点的单位法矢进行点积运算，按照以下公式建立接触线法向误差模型：

其中，Δr_cl(k)表示第k条接触线的法向误差；

dot()表示点积运算；

表示齿轮坐标系中第k条接触线的坐标误差；表示齿轮坐标系中第k条理想接触线的单位法矢；

表示齿轮坐标系中第k条实际接触线的坐标向量；表示齿轮坐标系中第k条理想接触线的坐标向量；表示齿轮坐标系中第k条理想接触线的单位法矢；

将磨削齿面划分为由若干条磨削接触线共同构成；

若以λ条接触线构建磨削齿面，则齿面法向误差模型为：

Δr_gs＝{Δr_cl(k)},k＝1,2,...,λ；

其中，

Δr_gs表示齿面法向误差；

Δr_cl(k)表示第k条理想接触线的法向误差；

进一步，所述步骤2.4中的评定齿轮精度的预测具体按照以下步骤进行：

根据齿面法向误差模型计算得到齿廓和齿向的精度信息；

根据齿廓精度标准获得齿廓精度评定指标，所述齿廓精度评价指标包括齿廓总偏差F_α、齿廓形状偏差f_fα和齿廓斜率偏差f_Hα；

根据齿向精度标准获取齿向精度评价指标，所述齿向精度评价指标包括螺旋线总偏差F_β、螺旋线形状偏差f_fβ和螺旋线斜率偏差f_Hβ。

进一步，所述齿廓精度评定指标按照以下步骤进行：

将理想和实际磨削接触线离散点螺旋投影到齿轮端面廓形坐标系中，得到齿轮端面廓形离散点的坐标向量和单位法矢：

其中，

表示齿轮端面坐标系中的第j个接触点的坐标向量；表示齿轮坐标系中的第j个接触点的坐标向量；表示齿轮端面坐标系中的第j个接触点的单位法矢；表示齿轮坐标系中的第j个接触点的单位法矢；

M_fgj(ξ_j)表示螺旋投影变换矩阵：

其中，ξ_j表示第j个接触点的螺旋投影参数；p表示螺旋参数；

根据螺旋投影变换矩阵计算得到如下方程组：

其中，

表示齿轮端面坐标系中的第j个接触点的x坐标；表示齿轮端面坐标系中的第j个接触点的y坐标；表示齿轮坐标系中的第j个接触点的x坐标；表示齿轮端面坐标系中的第j个接触点的y坐标；；表示齿轮端面坐标系中的第j个接触点的z坐标；

η_j表示第j个接触点的旋转投影参数；ξ_j表示第j个接触点的螺旋投影参数；

表示齿轮端面坐标系中的第j个接触点的x向单位矢量值；表示齿轮端面坐标系中的第j个接触点的y向单位矢量值；表示齿轮坐标系中的第j个接触点的x向单位矢量值；表示齿轮坐标系中的第j个接触点的y向单位矢量值；表示齿轮坐标系中的第j个接触点的z向单位矢量值；

将齿轮端面廓形离散点表示为令ξ＝{ξ_j}，则齿轮端面廓形为：

其中，r^f(ξ)表示齿轮端面廓形的坐标向量；n^f(ξ)表示齿轮端面廓形的单位法矢；表示齿轮端面廓形第j个离散点的坐标向量；表示齿轮端面廓形第j个离散点的单位法矢；

将齿轮端面廓形的实际坐标向量r^fa与理想坐标向量r^fi作差，再与理想单位法矢n^fi作点积即可得到齿廓法向偏差：

Δr_α＝dot(Δr^f,n^fi)＝dot(r^fa-r^fi,n^fi)

其中，Δr_α表示齿廓法向偏差；dot()表示点积运算；Δr^f表示齿轮端面廓形坐标向量误差；

根据齿廓偏差信息获取齿廓精度评价指标，所述齿廓精度评价指标包括齿廓总偏差F_α、齿廓形状偏差f_fα和齿廓斜率偏差f_Hα。

本发明的有益效果在于：

本发明提供了一种考虑机床几何误差影响的磨齿精度预测建模方法，为准确分析机床几何误差对磨齿精度的量化影响，保证后续误差控制有效性，提出了一种考虑机床几何误差影响的磨齿精度预测建模方法。首先由齿轮设计参数建立理想砂轮曲面参数模型；然后分别在理想情况下和考虑机床几何误差情况下，由砂轮曲面推导成形磨削加工后的螺旋齿面；最后由螺旋齿面的法向误差模型预测评定磨齿精度。本发明主要用于解决由数控成形磨齿机几何误差引起的齿面误差数值计算及齿轮精度预测评定的技术问题。

该方法可为机床几何误差对磨削精度的定量影响分析提供数学支撑，为后续几何误差的控制方案设计奠定理论基础；同时，由于热平衡时的热误差、稳态切削时的力误差可以视作准静态误差，等效于某些几何误差项，因此本发明也可为热误差、力误差对磨齿精度的定量影响分析提供部分理论支撑。通过仿真算例，可以验证本发明所提方法的可行性。

本发明的其他优点、目标和特征在某种程度上将在随后的说明书中进行阐述，并且在某种程度上，基于对下文的考察研究对本领域技术人员而言将是显而易见的，或者可以从本发明的实践中得到教导。本发明的目标和其他优点可以通过下面的说明书来实现和获得。

附图说明

为了使本发明的目的、技术方案和有益效果更加清楚，本发明提供如下附图进行说明：

图1为设计渐开线齿轮端面廓形示意图。

图2为数控成形磨齿机结构简图。

图3为齿轮与砂轮坐标系间的理想位姿关系。

图4为齿轮与砂轮坐标系间的实际相对位姿关系。

图5为齿轮端面廓形。

图6(a)所示的磨削接触线及砂轮轴向廓形。

图6(b)表示砂轮轴向廓形及其法矢。

图7为砂轮曲面。

图8为理想和实际磨削接触线及其单位法矢。

图9为考虑机床几何误差影响的磨齿精度预测建模方法流程图。

图中，11为渐开线段、12为倒角段、13为直线段；61为砂轮轴向廓形、62为磨削接触线；81为实际磨削接触线、82为理想磨削接触线。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明，以使本领域的技术人员可以更好的理解本发明并能予以实施，但所举实施例不作为对本发明的限定。

实施例1

本实施例提供的考虑机床几何误差影响的磨齿精度预测建模方法，包括两大步骤：

(1)由齿轮设计参数建立砂轮曲面参数模型；

(2)考虑机床几何误差建立磨削螺旋齿面精度预测模型。

该方法主要用于解决由数控成形磨齿机几何误差引起的齿面误差数值计算及齿轮精度预测评定的技术问题，该方法具体包括以下步骤：

步骤一：基于齿轮设计参数建立理想砂轮曲面参数模型

基于给定的齿轮设计参数，建立螺旋齿面双参数模型；考虑成形磨齿运动关系，利用齐次变换矩阵理论，构建理想情况下齿轮坐标系与砂轮坐标系间的位姿变换矩阵；以设计齿轮为虚拟刀具，基于共轭磨齿原理，推导理想齿轮与砂轮间的共轭磨削接触线，并将其旋转变换投影到砂轮轴向廓形坐标系中，得到理想砂轮轴向廓形，再将其绕砂轮中心轴线进行旋转变换，建立理想砂轮曲面参数模型。

步骤1.1：齿轮端面廓形与螺旋齿面参数模型

如图1所示，图1为设计渐开线齿轮端面廓形示意图，其中，11为渐开线段、12为倒角段、13为直线段；理想情况下，齿轮设计参数分别为：齿数z_g，法向模数m_n，基圆半径r_b，螺旋角β，齿轮宽度b，齿轮端面廓形曲线由多段曲线首尾相接组合而成，包括渐开线段AB、EF，齿根过渡圆弧段BC、DE以及齿底直线段CD。

此外，端面廓形曲线中各段的参数方程为：

其中，σ₀表示齿槽半角，O_c表示齿根过渡圆弧圆心，r_c分别表示齿根过渡圆弧的圆心坐标和半径，r_df,α_df分别表示渐开线起始点处的半径和压力角，u,u_c,u_f均表示齿轮端面廓形参数。为便于描述，下文均以u表示齿轮端面廓形参数。

所述齿轮端面廓形的坐标向量为：

r^f(u)＝[x^f(u) y^f(u) 0 1]^T

其中，r^f表示齿轮端面廓形坐标向量，

上标f表示齿轮端面廓形坐标系S_f(O_f-x_f,y_f,z_f)。

由于设计螺旋齿面可通过将齿轮端面廓形与螺旋变换矩阵相乘得到。

因此，在齿轮坐标系中，右旋螺旋齿面的坐标向量为：

r^g(u,θ)＝M_gf(θ)r^f(u)

其中，r^g表示齿轮螺旋齿面坐标向量，上标g表示齿轮坐标系S_g(O_g-x_g,y_g,z_g)；θ为齿轮螺旋廓形参数；M_gf表示S_f到S_g的齐次变换矩阵：

此外，螺旋齿面的单位法矢可通过下式得到：

至此，螺旋齿面参数模型可由r^g(u,θ)与n^g(u,θ)联合表示。

步骤1.2：磨齿机基本结构及齿轮/砂轮坐标系间的理想变换矩阵计算

数控成形磨齿机基本结构如图2所示，包括X、Y、Z三直线运动轴和A、C两旋转运动轴。

在理想成形磨齿过程中，固定于砂轮的坐标系S_w(O_w-x_w,y_w,z_w)与固定于齿轮的坐标系S_g(O_g-x_g,y_g,z_g)间的相对运动关系可以用变换矩阵M_gw表示，两者的相对位姿关系可如图3简化表示。

为便于分析，构建了S₁(O₁-x₁,y₁,z₁)，S₂(O₂-x₂,y₂,z₂)，S₃(O₃-x₃,y₃,z₃)三个辅助固定坐标系。

辅助坐标系S₁(O₁-x₁,y₁,z₁)与机床床身固连，当其绕z₁轴逆时针旋转可得到齿轮坐标系S_g(O_g-x_g,y_g,z_g)，当时，S₁与S_g重合；S₁沿x₁轴正向平移距离a可得到辅助坐标系S₂(O₂-x₂,y₂,z₂)；S₂绕x₂轴逆时针旋转γ得到辅助坐标系S₃(O₃-x₃,y₃,z₃)，当γ＝0时，S₂与S₃重合；S₃沿z₂轴正向平移距离得到砂轮坐标系S_w(O_w-x_w,y_w,z_w)，其中p为螺旋参数，当z＝0时，S₃与S_w重合。

此外，图中点P表示砂轮和齿轮理想磨削接触点，表示由砂轮坐标系原点引向磨削接触点的坐标向量，表示由齿轮坐标系原点引向磨削接触点的坐标向量。

理想情况下，齿轮坐标系S_g到砂轮坐标系S_w的变换矩阵为：

其中，

计算可得：

同理，砂轮坐标系S_w到齿轮坐标系S_g的变换矩阵为：

其中，M表示齐次变换矩阵，上标i表示理想状态，两下标依次表示坐标变换的目标坐标系和原始坐标系；表示螺旋加工参数，γ表示砂轮安装角，a表示砂轮中心到齿轮轴线的距离，表示齿轮轴向加工参数。

步骤1.3：基于共轭磨齿原理建立理想砂轮曲面参数模型

已知齿轮参数模型时，可将齿轮设想为虚拟刀具，对砂轮进行加工得到理想砂轮。

此时，齿轮与砂轮的共轭接触条件可表述为：从砂轮坐标系向齿轮螺旋面上的点做径矢R^w，如果R^w和螺旋面上该点的法线n^w以及刀具轴线k^w共面，则这一点就是齿轮螺旋面上的接触点。该接触条件可以数学形式表示为：

其中，由于齿轮参数已知，故齿轮螺旋角β、砂轮与齿轮中心距a以及砂轮安装角γ＝π/2-β均为常数。同时，由于理想情况下接触线形状不受螺旋加工参数影响，接触函数f只与齿轮端面廓形参数u和螺旋廓形参数θ相关。

若将u取值范围内的n个等距离散值u_j(j＝1,2,3,...,n)当作已知，可根据二分法求得相应的θ_j，再将(u_j,θ_j)代入r^w和n^w，即可求得接触线离散点的坐标向量和单位法矢根据接触条件，可知θ是u的函数，则第j个接触点可简化表示为

若将接触线离散点旋转投影到砂轮轴向廓形坐标系S_q(O_q-x_q,y_q,z_q)中，即可得到砂轮轴向廓形离散点：

其中，M_qwj(η_j)表示旋转投影变换矩阵：

上式变换等价于方程组：

其中，由于可认为u_j是η_j的函数。故而和可以简化表示为和

则砂轮轴向廓形参数模型为：

若将砂轮轴向廓形绕砂轮中心轴线旋转，形成的轨迹面即是砂轮曲面，则砂轮曲面参数模型为：

其中，φ表示砂轮旋转参数，取值范围为[0,2π]；M_wq(φ)表示旋转变换矩阵：

步骤二：考虑机床几何误差建立磨削螺旋齿面精度预测模型

考虑数控成形磨齿机床几何误差，基于齐次变换矩阵理论，计算几何误差影响下齿轮和砂轮坐标系间的实际位姿变换矩阵；以砂轮曲面为刀具，基于共轭磨齿原理，分别计算齿轮与砂轮间的理想磨削接触线和考虑机床几何误差影响的实际磨削接触线，从而建立磨齿接触线法向误差模型，并进一步构建齿面法向误差模型；基于齿面法向误差模型，经过代数运算提取出齿廓、齿向精度信息，参照ISO 1328-1-1997标准进行齿轮精度评价。

步骤2.1：磨齿机床几何误差定义

数控机床功能部件难免存在着安装偏差和制造缺陷，产生机床几何误差。在立式成形磨齿机加工过程中，仅有Z、C轴联动进行磨削，这两个轴分别存在与位置相关的6项几何误差；X、A轴位置始终保持不变，分别存在X＝a位置处的6项几何误差和A＝γ位置处的6项几何误差。具体而言，成形磨齿机的各轴几何误差定义如表1所示。此外，还需要考虑机床X、Z滑轨间的垂直度误差s_xz。

表1 数控成形磨齿机几何误差定义

步骤2.2：几何误差影响下齿轮和砂轮坐标系间的实际位姿变换矩阵计算

实际磨削加工过程中，机床几何误差会导致齿轮和砂轮坐标系间的位姿变换关系产生偏差。基于几何误差与机床位置参数，齿轮与砂轮坐标系间的实际相对位姿关系如图4所示。

由此，根据齐次变换矩阵和坐标系间的相邻关系(g-1-2-3-w)，可以建立相邻坐标系间的实际位姿变换矩阵，分别表示为：

其中，E_k＝[δ_kx δ_ky δ_kx ε_kx ε_ky ε_kz]^T,k＝{c,x,a,z}；s_xz表示机床X、Z滑轨间的垂直度误差。

故而，砂轮坐标系S_w与齿轮坐标系S_g间的齐次变换矩阵可表示为：

其中，

步骤2.3：考虑机床几何误差的磨齿齿面法向误差模型

在以砂轮对齿坯进行磨削加工时，齿轮与砂轮间的共轭接触条件可表述为：从齿轮坐标系原点向砂轮曲面上的点作径矢r^g，如果这一点绕齿轮轴线k^g作螺旋运动时的线速度矢量与砂轮曲面上该点的法线n^g垂直，则这一点就是砂轮曲面上的接触点。该接触条件可以数学形式表示为：

其中，由于砂轮安装角γ、砂轮与齿轮中心距a、螺旋参数p均为常数，当值取任一合理常量时，接触函数f只与砂轮轴向廓形参数η和砂轮旋转廓形参数φ相关。根据η取值范围内的n个等距离散值η_j(j＝1,2,3,...,n)，可采用二分法求解相应的φ_j；再将(η_j,φ_j)代入r^g和n^g，即可算得接触线离散点的坐标向量和单位法矢。此外，根据接触条件，可知φ是η的函数，从而将第j个接触点简化表示为从而，接触线可表示为

参照上述计算流程，可分别数值求解第k条理想磨削接触线和考虑几何误差影响的实际磨削接触线将实际磨削接触线与理想磨削接触线上的离散点的坐标作差并与理想接触线上对应点的单位法矢进行点积运算，则可建立接触线法向误差模型：

同时，磨削齿面可视为由若干条磨削接触线共同构成。若以λ条接触线构建磨削齿面，则齿面法向误差模型为：

Δr_gs＝{Δr_cl(k)},k＝1,2,...,λ

步骤2.4：根据齿面法向误差模型预测评定齿轮精度

基于齿面法向误差模型，经过简单的代数运算可提取出齿廓、齿向精度信息。若将端截面上离散接触点的法向误差提取出来，即可得到齿廓偏差信息；若将分度圆柱齿线上的离散接触点的法向误差提取出来，即可得到螺旋线偏差信息。齿廓精度可参照ISO 1328-1-1997标准进行评定，评价指标包括齿廓总偏差(F_α)、齿廓形状偏差(f_fα)和齿廓斜率偏差(f_Hα)；同理，齿向精度评价指标包括螺旋线总偏差(F_β)、螺旋线形状偏差(f_fβ)和螺旋线斜率偏差(f_Hβ)。

针对齿廓精度评价，可将理想和实际情况下的磨削接触线离散点螺旋投影到齿轮端面廓形坐标系S_f(O_f-x_f,y_f,z_f)中，得到齿轮端面廓形离散点的坐标向量和单位法矢：

其中，M_fgj(ξ_j)表示螺旋投影变换矩阵：

上式变换等价于方程组：

其中，由于可知η_j是ξ_j的函数，故齿轮端面廓形离散点可简化表示为令ξ＝{ξ_j}，则齿轮端面廓形为：

然后将齿轮端面廓形的实际坐标向量r^fa与理想坐标向量r^fi作差，再与理想单位法矢n^fi作点积即可得到齿廓法向偏差：

Δr_α＝dot(Δr^f,n^fi)＝dot(r^fa-r^fi,n^fi)

基于齿廓偏差信息，可参照ISO 1328-1-1997标准进行齿廓精度评价，评价指标包括齿廓总偏差(F_α)、齿廓形状偏差(f_fα)和齿廓斜率偏差(f_Hα)。

实施例2

为了对本技术方案更好地理解，下面结合仿真实例对本技术方案作进一步说明。

(1)基于齿轮设计参数计算理想砂轮曲面

齿轮设计参数如表2所示，齿轮端面廓形如图5所示。

表2 齿轮设计参数

参照步骤一，可求得如图6(a)和图6(b)为砂轮坐标系中的磨削接触线及砂轮轴向廓形；其中，图6(a)所示的磨削接触线及砂轮轴向廓形；61为砂轮轴向廓形、62为磨削接触线；图6(b)表示砂轮轴向廓形及其法矢。

然后，将砂轮轴向廓形绕砂轮中心轴线旋转，则可得到如图7的砂轮曲面。

(2)基于机床几何误差值预测评价磨齿精度

依照参照步骤二，可分别计算理想磨削接触线和考虑机床几何误差的实际磨削接触线，如图8所示，其中，81为实际磨削接触线、82为理想磨削接触线，然后，可以计算相应的法向误差。

若由12条磨削接触线构成磨削齿面，即可建立相应的磨削齿面法向误差模型。然后，再基于齿面法向误差模型，若将端截面上离散接触点的法向误差提取出来，可以得到齿廓偏差信息；若将分度圆柱齿线上的离散接触点的法向误差提取出来，可以得到螺旋线偏差信息。齿廓与齿向精度可参照ISO 1328-1-1997标准进行评定。

值得注意的是，在考虑机床几何误差时，基于提出的预测模型，既可以采用控制变量法依次分析任一项几何误差对磨齿精度的定量影响，也可以同时考虑多项几何误差的耦合效应，这也是本技术方案的显著优点。

以上对本发明提供的一种考虑机床几何误差影响的磨齿精度预测建模方法进行了详细介绍。具体实施例的说明只是用于帮助理解本发明的方法及其核心思想。应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，以上所述实施例仅是为充分说明本发明而所举的较佳的实施例，在不脱离本发明原理的前提下，还可以对本发明进行若干改进和修饰，这些改进和修饰也落入本发明权利要求的保护范围内。

Claims (9)

1.一种考虑机床几何误差影响的磨齿精度预测建模方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤一：基于齿轮设计参数按照以下步骤建立理想砂轮曲面参数模型；

步骤1.1：根据齿轮端面廓形曲线建立螺旋齿面参数模型；

步骤1.2：根据磨齿机基本结构计算齿轮坐标系和砂轮坐标系间的理想变换矩阵；

步骤1.3：基于共轭磨齿原理建立理想砂轮曲面参数模型；

步骤二：根据机床几何误差按照以下步骤建立磨削螺旋齿面精度预测模型；

步骤2.1：确定磨齿机床几何误差；

步骤2.2：计算磨齿机床几何误差影响下齿轮坐标系和砂轮坐标系间实际位姿变换矩阵；

步骤2.3：根据磨齿机床几何误差构建磨齿齿面法向误差模型；

步骤2.4：根据齿面法向误差模型预测评定齿轮精度。

2.如权利要求1所述的方法，其特征在于：所述步骤1.1中的螺旋齿面参数模型的建立具体按照以下步骤：

按照以下公式确定端面廓形曲线中各段的参数方程：

其中，σ₀表示齿槽半角，O_c表示齿根过渡圆弧圆心，r_c分别表示齿根过渡圆弧的圆心坐标和半径，r_df,α_df分别表示渐开线起始点处的半径和压力角；

u,u_c,u_f均表示齿轮端面廓形参数；

u_min,u_max分别表示齿轮端面廓形参数的最小值和最大值；

x_AB和y_AB分别为渐开线段AB的坐标值；

x_EF和y_EF分别为渐开线段EF的坐标值；

x_BC和y_BC分别为齿根过渡圆弧段BC的坐标值；

x_DE和y_DE分别为齿根过渡圆弧段DE的坐标值；

x_CD和y_CD分别为齿底直线段CD的坐标值；

确定所述齿轮端面廓形的坐标向量：

r^f(u)＝[x^f(u) y^f(u) 0 1]^T；

其中，u表示齿轮端面廓形参数；

r^f表示齿轮端面廓形坐标向量；

上标f表示齿轮端面廓形坐标系S_f(O_f-x_f,y_f,z_f)；

按照以下公式确定右旋螺旋齿面的坐标向量：

r^g(u,θ)＝M_gf(θ)r^f(u)

其中，r^g表示齿轮螺旋齿面坐标向量；

g表示齿轮坐标系S_g(O_g-x_g,y_g,z_g)；

θ为齿轮螺旋廓形参数；

M_gf表示S_f到S_g的齐次变换矩阵：

p表示螺旋参数；

按照以下公式确定螺旋齿面的单位法矢：

将齿轮端面廓形与螺旋变换矩阵相乘得到螺旋齿面参数模型。

3.如权利要求1所述的方法，其特征在于：所述步骤1.2中的理想变换矩阵的计算具体按照以下步骤进行：

根据数控成形磨齿机基本结构确定X、Y、Z三直线运动轴和A、C两旋转运动轴；

构建与机床床身固连的辅助坐标系S₁(O₁-x₁,y₁,z₁)、辅助坐标系S₂(O₂-x₂,y₂,z₂)和辅助坐标系S₃(O₃-x₃,y₃,z₃)；所述坐标系之间满足以下关系：

当辅助坐标系S₁(O₁-x₁,y₁,z₁)绕z₁轴逆时针旋转得到齿轮坐标系S_g(O_g-x_g,y_g,z_g)；

当时，辅助坐标系S₁(O₁-x₁,y₁,z₁)与齿轮坐标系S_g(O_g-x_g,y_g,z_g)重合；辅助坐标系S₁(O₁-x₁,y₁,z₁)沿x₁轴正向平移距离a得到辅助坐标系S₂(O₂-x₂,y₂,z₂)；

当辅助坐标系S₂(O₂-x₂,y₂,z₂)绕x₂轴逆时针旋转γ得到辅助坐标系S₃(O₃-x₃,y₃,z₃)；

当γ＝0时，当辅助坐标系S₂(O₂-x₂,y₂,z₂)与辅助坐标系S₃(O₃-x₃,y₃,z₃)重合；辅助坐标系S₃(O₃-x₃,y₃,z₃)沿z₂轴正向平移距离得到砂轮坐标系S_w(O_w-x_w,y_w,z_w)；其中，p为螺旋参数；

当z＝0时，辅助坐标系S₃(O₃-x₃,y₃,z₃)与砂轮坐标系S_w(O_w-x_w,y_w,z_w)重合；

按照以下公式计算齿轮坐标系S_g到砂轮坐标系S_w的变换矩阵：

其中，

计算得：

同理，按照以下公式计算砂轮坐标系S_w到齿轮坐标系S_g的变换矩阵：

其中，M表示齐次变换矩阵，上标i表示理想状态，两下标依次表示坐标变换的目标坐标系和原始坐标系；

表示螺旋加工参数，γ表示砂轮安装角，a表示砂轮中心到齿轮轴线的距离，表示齿轮轴向加工参数。

4.如权利要求1所述的方法，其特征在于：所述步骤1.3中的理想砂轮曲面参数模型的建立过程具体按照以下步骤进行：

根据齿轮与砂轮的共轭接触条件确定齿轮螺旋面上的接触点，所述接触条件为：

其中，θ表示螺旋廓形参数；γ＝π/2-β，β表示齿轮螺旋角；

R^w表示从砂轮坐标系向齿轮螺旋面上的点做径矢；n^w表示螺旋面上该点的法线；k^w表示刀具轴线；

确定齿轮端面廓形参数u取值范围内的n个等距离散值u_j(j＝1,2,3,...,n)，根据二分法求得相应的θ_j；

将(u_j,θ_j)代入r^w和n^w，得到接触线离散点的坐标向量和单位法矢

确定第j个接触点的表示为

将接触线离散点旋转投影到砂轮轴向廓形坐标系S_q(O_q-x_q,y_q,z_q)中，得到砂轮轴向廓形离散点：

其中，M_qwj(η_j)表示旋转投影变换矩阵：

按照以下公式确定变换方程组：

其中，根据将和表示为和

则砂轮轴向廓形参数模型为：

将砂轮轴向廓形绕砂轮中心轴线旋转，形成的轨迹面即是砂轮曲面，则砂轮曲面参数模型为：

其中，φ表示砂轮旋转参数，取值范围为[0,2π]；M_wq(φ)表示旋转变换矩阵。

5.如权利要求1所述的方法，其特征在于：所述步骤2.1中的磨齿机床几何误差包括位移误差和角度误差。

6.如权利要求1所述的方法，其特征在于：所述步骤2.2中的实际位姿变换矩阵按照以下步骤进行计算：

根据齐次变换矩阵和坐标系间的相邻关系(g-1-2-3-w)，建立相邻坐标系间的实际位姿变换矩阵，分别表示为：

其中，

表示齿轮坐标系S_g到辅助固定坐标系S₁的实际齐次变换矩阵；

表示辅助固定坐标系S₁到辅助固定坐标系S₂的实际齐次变换矩阵；

表示辅助固定坐标系S₂到辅助固定坐标系S₃的实际齐次变换矩阵；

表示辅助固定坐标系S₃到砂轮坐标系S_w的实际齐次变换矩阵；

△M_1g(E_c)表示齿轮坐标系S_g到辅助固定坐标系S₁的误差变换矩阵；

表示齿轮坐标系S_g到辅助固定坐标系S₁的理想齐次变换矩阵；

△M₂₁(E_x)表示辅助固定坐标系S₁到辅助固定坐标系S₂的误差变换矩阵；

表示辅助固定坐标系S₁到辅助固定坐标系S₂的理想齐次变换矩阵；

△M₃₂(E_a)表示辅助固定坐标系S₂到辅助固定坐标系S₃的误差变换矩阵；

表示辅助固定坐标系S₂到辅助固定坐标系S₃的理想齐次变换矩阵；

△M_w3(E_z)表示辅助固定坐标系S₃到砂轮坐标系S_w的误差变换矩阵；

表示辅助固定坐标系S₃到砂轮坐标系S_w的理想齐次变换矩阵；

ε_xz表示X轴的z向角度误差；ε_xy表示X轴的y向角度误差；ε_xx表示X轴的x向角度误差；ε_az表示A轴的z向角度误差；ε_ay表示A轴的y向角度误差；ε_ax表示A轴的x向角度误差；

δ_xz表示X轴的z向线性误差；δ_xy表示X轴的y向线性误差；δ_xx表示X轴的x向线性误差；δ_az表示A轴的z向线性误差；δ_ay表示A轴的y向线性误差；δ_ax表示A轴的x向线性误差；

E_k＝[δ_kx δ_ky δ_kz ε_kx ε_ky ε_kz]^T,k＝{c,x,a,z}；

k表示运动轴；c表示C轴运动；x表示X轴运动；a表示A轴运动；z表示Z轴运动；

δ_kx表示k轴x向线性误差；δ_ky表示k轴y向线性误差；δ_kz表示k轴z向线性误差；ε_kx表示k轴x向角度误差；ε_ky表示k轴y向角度误差；εkz表示k轴z向角度误差；

s_xz表示机床X、Z滑轨间的垂直度误差；

按照以下公式确定砂轮坐标系S_w与齿轮坐标系S_g间的齐次变换矩阵：

其中，表示齿轮坐标系S_g到砂轮坐标系S_w的实际齐次变换矩阵；

E表示所有误差集合；

表示X轴误差集合；

表示Z轴误差集合；

表示A轴误差集合；

表示C轴误差集合；

s_xz表示机床X、Z滑轨间的垂直度误差；

E_1×25表示25项误差集合。

7.如权利要求1所述的方法，其特征在于：所述步骤2.3中的磨齿齿面法向误差模型按照以下步骤进行构建：

按照以下公式确定接触条件：

其中，

f()表示接触函数；

η表示砂轮轴向廓形参数；

φ表示砂轮旋转廓形参数；

表示转台转角；

a表示砂轮与齿轮中心距；

k^g表示齿轮轴线；

r^g表示从齿轮坐标系原点向砂轮曲面上的点作出的径矢；

n^g表示砂轮曲面上该点的法线；

确定砂轮曲面上的接触点；

根据η取值范围内的n个等距离散值η_j(j＝1,2,3,...,n)，采用二分法求解相应的φ_j；

再将(η_j,φ_j)代入r^g和n^g，计算得到接触线离散点的坐标向量和单位法矢；

将第j个接触点简化表示为

其中，表示齿轮坐标系中的第j个接触点的坐标向量；表示齿轮坐标系中的第j个接触点的单位法矢；

将接触线表示为

其中，表示齿轮坐标系中的接触线的坐标向量；

表示齿轮坐标系中的第j个接触点的坐标向量；

表示齿轮坐标系中的接触线的单位法矢；

表示齿轮坐标系中的第j个接触点的单位法矢；

分别数值求解第k条理想磨削接触线和考虑几何误差影响的实际磨削接触线

其中，表示齿轮坐标系中第k条理想接触线的坐标向量；

表示齿轮坐标系中第k条理想接触线的单位法矢；

表示齿轮坐标系中第k条实际接触线的坐标向量；

表示齿轮坐标系中第k条实际接触线的单位法矢；

将实际磨削接触线与理想磨削接触线上的离散点的坐标作差并与理想接触线上对应点的单位法矢进行点积运算，按照以下公式建立接触线法向误差模型：

其中，△r_cl(k)表示第k条接触线的法向误差；

dot()表示点积运算；

表示齿轮坐标系中第k条接触线的坐标误差；表示齿轮坐标系中第k条理想接触线的单位法矢；

表示齿轮坐标系中第k条实际接触线的坐标向量；表示齿轮坐标系中第k条理想接触线的坐标向量；表示齿轮坐标系中第k条理想接触线的单位法矢；

将磨削齿面划分为由若干条磨削接触线共同构成；

若以λ条接触线构建磨削齿面，则齿面法向误差模型为：

△r_gs＝{△r_cl(k)},k＝1,2,...,λ；

其中，

△r_gs表示齿面法向误差；

△r_cl(k)表示第k条理想接触线的法向误差。

8.如权利要求1所述的方法，其特征在于：所述步骤2.4中的评定齿轮精度的预测具体按照以下步骤进行：

根据齿面法向误差模型计算得到齿廓和齿向的精度信息；

根据齿廓精度标准获得齿廓精度评定指标，所述齿廓精度评价指标包括齿廓总偏差F_α、齿廓形状偏差f_fα和齿廓斜率偏差f_Hα；

根据齿向精度标准获取齿向精度评价指标，所述齿向精度评价指标包括螺旋线总偏差F_β、螺旋线形状偏差f_fβ和螺旋线斜率偏差f_Hβ。

9.如权利要求8所述的方法，其特征在于：所述齿廓精度评定指标按照以下步骤进行：

将理想和实际磨削接触线离散点螺旋投影到齿轮端面廓形坐标系中，得到齿轮端面廓形离散点的坐标向量和单位法矢：

其中，

表示齿轮端面坐标系中的第j个接触点的坐标向量；表示齿轮坐标系中的第j个接触点的坐标向量；表示齿轮端面坐标系中的第j个接触点的单位法矢；表示齿轮坐标系中的第j个接触点的单位法矢；

M_fgj(ξ_j)表示螺旋投影变换矩阵：

其中，ξ_j表示第j个接触点的螺旋投影参数；

根据螺旋投影变换矩阵计算得到如下方程组：

其中，

表示齿轮端面坐标系中的第j个接触点的x坐标；表示齿轮端面坐标系中的第j个接触点的y坐标；表示齿轮坐标系中的第j个接触点的x坐标；表示齿轮端面坐标系中的第j个接触点的y坐标；；表示齿轮端面坐标系中的第j个接触点的z坐标；

η_j表示第j个接触点的旋转投影参数；ξ_j表示第j个接触点的螺旋投影参数；

表示齿轮端面坐标系中的第j个接触点的x向单位矢量值；表示齿轮端面坐标系中的第j个接触点的y向单位矢量值；表示齿轮坐标系中的第j个接触点的x向单位矢量值；表示齿轮坐标系中的第j个接触点的y向单位矢量值；表示齿轮坐标系中的第j个接触点的z向单位矢量值；

将齿轮端面廓形离散点表示为令ξ＝{ξ_j}，则齿轮端面廓形为：

其中，r^f(ξ)表示齿轮端面廓形的坐标向量；n^f(ξ)表示齿轮端面廓形的单位法矢；表示齿轮端面廓形第j个离散点的坐标向量；表示齿轮端面廓形第j个离散点的单位法矢；

将齿轮端面廓形的实际坐标向量r^fa与理想坐标向量r^fi作差，再与理想单位法矢n^fi作点积即可得到齿廓法向偏差：

△r_α＝dot(△r^f,n^fi)＝dot(r^fa-r^fi,n^fi)

其中，△r_α表示齿廓法向偏差；△r^f表示齿轮端面廓形坐标向量误差；

根据齿廓偏差信息获取齿廓精度评价指标，所述齿廓精度评价指标包括齿廓总偏差F_α、齿廓形状偏差f_fα和齿廓斜率偏差f_Hα。