CN109015661A - 工业机器人迭代学习修正轨迹误差的方法 - Google Patents

Abstract

一种工业机器人迭代学习修正轨迹误差的方法，采用以下步骤，步骤1：确定具体的被控对象，将电流环或者速度闭环作为被控对象，对整个控制环路进行控制参数的优化整定；步骤2：根据改变学习增益φ调整N(z)奈氏曲线的起点位置及曲线幅值大小，引入的离线超前补偿因子将N(z)奈氏曲线进行平移，使其更多曲线落入单位圆中；γ＝1,2,3,…n，式中，q是反馈增益，为采样周期；本发明针对工业机器人多次运行同一轨迹这一特点提出机器人迭代学习控制器设计，使机器人拥有自我矫正的能力，吸取先前运行轨迹过程中的“经验”而去指导后续轨迹的运行，使机器人越运行越准确，大幅度缩小跟随误差，提高轨迹运行的准确度。

Description

工业机器人迭代学习修正轨迹误差的方法

技术领域

本发明涉及运动控制领域，具体涉及工业机器人迭代学习修正轨迹误差的方法。

背景技术

工业机器人以其高度的通用性、环境适应性、耐久性和可靠性等特点在工业领域获得广泛的应用，为提高工业生产效率、改善劳动条件和实现工业高度自动化等做出了卓越贡献。其中，工业机器人重要应用场景之一是固定轨迹的跟踪，例如焊接机器人、喷涂机器人等，要求机器人末端执行器准确地按照既定的路径运行。而同一既定路径往往需要机器人循环往复地运行。例如汽车生产流水线上的焊接机器人需要对每一台到达的汽车车身焊缝进行焊接，而同一流水线上的汽车焊缝轨迹是固定的，因此需要焊接机器人重复运行同一焊缝轨迹。现在已有的机器人系统没有轨迹学习功能，即使是重复运行再多次的同一轨迹，现有的工业机器人也只是当做第一次运行，而没有利用先前运行轨迹的“经验”去指导后续轨迹的运行，造成“经验”的浪费，导致准确度低下。

在迭代学习控制器设计过程中，系统的最终收敛并不能保证迭代运行单调收敛。如果没有考虑到瞬态问题，那么在实际迭代运行或仿真过程中很可能出现误差先是收敛然后发散最终又收敛到零误差这种现象。如图2所示，前20次迭代运行过程中误差是逐渐收敛的，但是随后误差又迅速发散，但最终在经历足够多次运行后，误差又趋向于收敛。显而易见，误差的发散会导致学习收敛算法的失败，需要分析其发散原因并提出解决方案。

发明内容

本发明针对现有技术的不足，提出工业机器人迭代学习修正轨迹误差的方法，具体技术方案如下：工业机器人迭代学习修正轨迹误差的方法，其特征在于：一种工业机器人迭代学习修正轨迹误差的方法，其特征在于：

采用以下步骤，

步骤1：确定具体的被控对象，将电流环或者速度闭环作为被控对象，通过扫频实验对被控对象参数进行辨识，从而得到被控对象的传递函数G(z)，然后对整个控制环路进行控制参数的优化整定，确定控制器传递函数C(z)，使系统达到相应鲁棒性与稳定性要求；

步骤2：根据学习收敛因子改变学习增益φ和超前补偿因子γ，调整N(z)奈氏曲线的起点位置及曲线幅值大小，使N(z)的奈氏曲线代表的频率成分最大范围的落入以(1,0)点为圆心，1为半径的单位圆中，自行衰减；

式中，γ为超前补偿因子，φ为学习增益，G(z)为步骤一所确定的被控对象传递函数，C(z)为步骤一经过整定后的控制器传递函数；

步骤3：控制器采用迭代学习算法，在迭代学习控制过程中，两次迭代运行中间的时间空隙进行离线超前补偿，利用步骤1中得到的频率特性G(z)，结合学习增益φ画出zφG(z)的奈奎斯特图，选取奈奎斯特图穿出单位圆时，对应的频值点，该频值点为截止频率；

选择不同的超前误差补偿因子γ，确定不同的超前误差补偿因子γ对应的穿出单位圆的截止频率，然后将不同的补偿因子γ对应的截止频率进行比较，得到穿出单位圆的最大截止频率ω_c及其对应的最优化的超前补偿因子γ；

步骤4：对误差量信号中误差中大于ω_c的频率成分进行零相位滤波；

步骤5：判断误差是否达到预期，误差收敛到期望水平时，进入步骤6，否则，回到步骤2；

步骤6：停止迭代，锁定此时的控制量，作为以后的前馈控制信号。

进一步地：所述步骤2具体为：

设定学习增益φ，迭代学习前馈部分表达式为：

u_j(k)＝w_j(k)+C(z)e_j(k)

w_j(k)＝w_j-1(k)+φe_j-1(k+1)

式中，w代表控制量大小，右下标j表示第j次迭代运行，e表示误差量大小

离散系统的输出可以表示为：

式中V(z)代表重复性扰动，取式w_j(k)＝w_j-1(k)+φe_j-1(k+1)的z变换，同时引入代表两个连续批次j和j-1之间差值的后向差分算子δ_jz(k)＝z_j(k)-z_j-1(k)，得到

δ_jU(z)＝φzE_j-1(z)+C(z)δ_jE(z)

上述式子中，G(z)表示被控对象的传递函数，y_d为参考输入，y_j为第j次运行实际输出，e_j为误差，w_j为其输出，C(z)为系统反馈控制器，u_j为叠加了迭代前馈信号与反馈控制信号的总输出，寄存器对误差e_j-1以及控制量信号u_j-1进行存储，φ代表学习增益；

由误差定义：

可以得到连续两个批次之间的误差关系：

如果对于小于奈奎斯特频率的所有频率值ω都满足

误差的频率成分ω将会随着迭代过程的进行而单调收敛，当系统采用控制率如式所示时，系统学习瞬态单调衰减的实现条件便是其中，令

画出N(z)奈奎斯特图，利用曲线上的点到(1,0)点的距离来判断不同频率对收敛性的影响，确定奈奎斯特曲线与以(1,0)为圆心的单位圆的关系，只要奈奎斯特曲线不超出单位圆，误差频率成分就能满足的要求，单位圆内的误差频率成分会实现单调收敛；

引入超前学习因子γ(γ＝1,2,3,…)，设离线超前补偿前的离散控制信号为U(z)，将其超前γ(γ＝1,2,3,…)个采样周期得到离线超前补偿后的控制信号表示为z^γU(z)；

未经超前误差补偿的迭代学习控制律为：

u_i(t)＝u_i-1(t)+qe_i-1(t)

经过离线误差超前补偿处理后得到，

u_i(k)＝u_i-1(k)+q·e_i-1(k+γ)

W_i(k)＝u_i(k)+e_i(k)

经过超前补偿后的上次迭代运行过程中产生误差e_i-1(k+γ)乘以学习因子q再叠加上次运行过程中的控制量u_i-1(k)，就组成了当次迭代运行的学习控制前馈量u_i(k)，前馈量u_i(k)与当次迭代运行误差值e_i(k)组成了当次控制量W_i(k)，

如下式所示：

W_i(k)＝u_i(k)+e_i(k)

控制量W_i(k)即为要输送给被控对象的控制信号，其中，前馈信号主要作用是缩小跟随误差，而当次运行的反馈信号作用是维持系统的稳定性与鲁棒性。

根据改变学习增益φ和超前学习因子γ调整N(z)奈氏曲线的起点位置及曲线幅值大小，引入的离线超前补偿因子实现将N(z)奈氏曲线进行平移，使其更多曲线落入单位圆中；

式中，q是反馈增益，γ＝1,2,3,…n。

进一步地：所述步骤4包括如下过程：

步骤4-1：首先将信号通过滤波器

y₁(n)＝x(n)·h(n)

步骤4-2：将所得到的信号y₁(n)进行逆转

y₂(n)＝y₁(N-1-n)

步骤4-3：将得到的信号y₂(n)再通过滤波器

y₃(n)＝y₂(n)·h(n)

步骤4-4：将得到的信号y₃(n)逆转后再输出，即可得到无相位差的输出信号

y₄(n)＝y₃(N-1-n)

式中，y(n)为零相位输出信号，x(n)为输入信号信号，h(n)数字滤波器冲激响应序列。

本发明的有益效果为：本发明针对工业机器人多次运行同一轨迹这一特点提出机器人迭代学习控制器设计，使机器人拥有自我矫正的能力，吸取先前运行轨迹过程中的“经验”而去指导后续轨迹的运行，使机器人越运行越准确，大幅度缩小跟随误差，提高轨迹运行的准确度。

本发明可以使普通工业机器人具有自学习轨迹矫正的功能，在一些具有重复性工作的场合下可以大幅度提高工业机器人轨迹运行精度，在控制层面将跟踪误差缩小至接近零。

附图说明

图1为工业机器人规划算法与控制算法架构；

图2为迭代运行过程中的过冲现象；

图3为控制系统设计图；

图4为零相位滤波效果示意图；

图5为超前补偿原理示意图；

图6为不同超前补偿拍数对N(z)奈氏曲线与单位圆相对位置的影响；

图7迭代学习控制运行流程图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的较佳实施例进行详细阐述，以使本发明的优点和特征能更易于被本领域技术人员理解，从而对本发明的保护范围做出更为清楚明确的界定。

如图1所示：运动规划算法主要研究机器人末端执行器的姿态、行经的路线以及动作过程中的速度规划，即研究机器人以什么样的速度，什么样的姿态去运行什么样的轨迹。例如弧焊机器人焊枪以一定的角度先加速后匀速再减速地重复运行一段汽车外壳直线焊缝。在这过程中，直线焊缝首先根据等时插补的方法按照加速、匀速及减速过程离散成一系列笛卡尔空间位置(position)、时间(time)点，然后经过运动学逆解运算将笛卡尔空间点及末端执行器姿态转换成关节空间角度值，最后将关节空间角度值依据减速器齿轮比等比值换算成脉冲发送给伺服电机驱动器。至此，运动规划层任务完成，接下来的工作将交由控制层完成。运动规划层的任务是做好轨迹和速度的优化，使机器人可以光顺地、快速地按照既定的轨迹运行，轨迹中间无坏点，速度运行无跳变。而控制层的作用是使被控对象(工业机器人)能按照运动规划层传送过来的规划数据以一定的跟随误差运行，而机器人运行过程中的跟随误差的大小则是判断控制层作用效果好坏的标准。工业机器人从运动规划层到运动控制层的整体架构如下图1所示。

其中,控制算法层C(z)代表控制器，G(z)代表被控对象，两个寄存器分别存储上次运行过程中的误差及控制量数据，可以理解为上次运行过程中所积累的“经验”。

本专利所提出的工业机器人自学习误差矫正功能主要是从控制算法层面来完成的。机器人在笛卡尔空间里的各种轨迹经过运动学逆解运算及减速比、脉冲角度换算比等运算转化为控制伺服电机所必须的脉冲。给伺服电机发送脉冲的个数决定电机旋转的角度，而给伺服电机发送脉冲的速度决定电机旋转的角速度。在工业机器人自学习误差矫正过程中，期望的运动轨迹是确定不变的，而控制器通过引入上次运行过程中所存储起来“经验”来指导后续轨迹的运行，随着同一轨迹运行次数的增加，“经验”也逐渐地积累，机器运行的轨迹也逐渐地逼近期望轨迹，最终实现大幅度缩小跟随误差的效果，提高轨迹运行精度。

本发明在控制层引入的控制算法为迭代学习控制算法。

迭代学习控制原理简介

迭代学习控制区别于其他学习型控制策略。自适应控制改变的对象是系统的控制参数，然而迭代学习控制调整的是控制器的输入信号。通过执行一次控制任务，得到了相应的控制量和跟踪误差信号。当再次执行这一任务时，我们在反馈的基础上叠加了上次的控制信号，即：

u_i(t)＝u_i-1(t)+qe_i(t) (4-1)

式中，q是反馈增益，也是学习增益。迭代学习控制正是通过上述过程来实现渐进地逼近期望轨迹。作为对比，先对纯反馈情况u_i(t)＝qe_i(t)进行分析。在控制目标和被控对象不变的前提下，纯反馈系统面对需要重复执行的控制任务时系统响应也是一致的，即纯反馈系统无法改善系统响应。因为控制器不能从先前的操作中“学”到有用信息。而迭代学习控制则建立起了当次控制过程与前次控制过程之间的联系。做如下设想：在迭代学习过程中，随着学习行为的进行，上次的控制量u_i-1(t)已充分逼近所需之值，则u_i-1(t)作为本次控制信号u_i(t)的组成部分已经能够胜任，从而本次运行的误差值e_i(t)充分小，甚至无需反馈信号系统也能正常运行。可以看出，u_i-1(t)在当次的控制量u_i(t)中扮演的前馈角色。如果u_i-1(t)无法完成控制任务，使得误差信号e_i(t)变大，此时，反馈项qe_i(t)便发挥作用，与前馈信号一起完成控制任务。可以看出,qe_i(t)扮演了误差修正角色，修正后的控制量为u_i(t)＝u_i-1(t)+qe_i(t)。有效的利用上次的控制量u_i-1(t)可以弥补控制先验知识的不足。迭代学习控制过程和人类学习过程是类似的，我们通过不断地重复修正某一行为，从而最终达到理想效果。然后再通过成百上千次的强化学习训练，有意识的动作会转化为下意识或本能的行为。从控制角度来看，迭代学习过程实现的是反馈主导转化为最终前馈主导。

迭代学习运行过程中的过冲现象

在迭代学习控制器设计过程中，系统的最终收敛并不能保证迭代运行单调收敛。如果没有考虑到瞬态问题，那么在实际迭代运行或仿真过程中很可能出现误差先是收敛然后发散最终又收敛到零误差这种现象。如图2所示，前20次迭代运行过程中误差是逐渐收敛的，但是随后误差又迅速发散，但最终在经历足够多次运行后，误差又趋向于收敛。显而易见，误差的发散会导致学习收敛算法的失败，需要分析其发散原因并提出解决方案。

零相位滤波器设计

本文针对的控制系统及控制器设计如图3所示。

G(z)表示被控对象的传递函数，y_d和y_j分别为参考输入和第j次运行实际输出，e_j为误差。虚线框内为开环迭代学习前馈控制器，w_j为其输出。C(z)为系统反馈控制器，u_j为叠加了迭代前馈信号与反馈控制信号的总输出。寄存器对误差e_j-1以及控制量信号u_j-1进行存储，φ代表学习增益。由上述分析可以得到迭代学习前馈部分表达式为：

u_j(k)＝w_j(k)+C(z)e_j(k)

w_j(k)＝w_j-1(k)+φe_j-1(k+1) (4-2)

离散系统的输出可以表示为：

Y_j(z)＝G(z)U_j(z)+V(z) (4-3)

式中V(z)代表重复性扰动。取式(4-2)的z变换，同时引入代表两个连续批次j和j-1之间差值的后向差分算子δ_jz(k)＝z_j(k)-z_j-1(k)，得到

δ_jU(z)＝φzE_j-1(z)+C(z)δ_jE(z) (4-4)

考虑到误差定义：

可以得到连续两个批次之间的误差关系

如果对于小于奈奎斯特频率的所有频率值ω都满足

我们可以得到，误差的频率成分ω将会随着迭代过程的进行而单调收敛，当系统采用控制率如式(4-2)所示时，系统学习瞬态单调衰减的实现条件便是式(4-7)。

考虑到不等式(4-7)，令

画出N(z)奈奎斯特图，那么我们就可以利用曲线上的点到(1,0)点的距离来判断不同频率对收敛性的影响。直观上体现在，奈奎斯特曲线与以(1,0)为圆心的单位圆的关系。只要奈奎斯特曲线不超出单位圆，误差频率成分就能满足(4-7)的要求，单位圆内的误差频率成分会实现单调收敛。对于一个叠加了迭代学习前馈控制与反馈控制的系统，奈奎斯特曲线往往会经过单位圆，然后随着频率ω的增长，奈奎斯特曲线将会在某个频点ω_c穿出单位圆。误差频率成分中超出单位圆的部分会逐渐被放大，导致系统发散。为了解决这一暂态问题，需要对误差中超出单位圆的频率成分进行滤波。由于普通滤波器会引入相位差，所以本发明将对误差中大于ω_c的频率成分进行零相位滤波。

任意信号输入到线性时不变系统(LTI)，信号中每一频率的幅值和相位都会发生改变。以离散系统为例来表示上述过程

|Y(e^jω)|＝|H(e^jω)|·|X(e^jω)| (4-9)

Arg[Y(e^jω)]＝Arg[H(e^jω)]+Arg[X(e^jω)] (4-10)

式(4-9)中|H(e^jω)|代表系统在某一频点上产生的幅值增益，Arg[H(e^jω)]代表系统在某一频点上产生的相角位移。X，Y分别代表系统输入与输出信号。如果这种幅值和相位的改变不是按照我们所希望的形式进行，那么就称之为幅值和相位失真。

普通滤波器将会引入相位差，想当于新的误差源，这是我们所不希望的。如果对信号进行零相位滤波处理，就可以得到无相位失真的信号。零相位滤波器是一种离线滤波器，首先需要将信号正向通过滤波器，然后将所得到的信号再反向通过滤波器。这样处理信号会产生两倍的幅值衰减，但是不会再产生相位差。其原理如下。

首先将信号通过滤波器

y₁(n)＝x(n)·h(n) (4-11)

将所得到的信号y₁(n)进行逆转

y₂(n)＝y₁(N-1-n) (4-12)

将得到的信号y₂(n)再通过滤波器

y₃(n)＝y₂(n)·h(n) (4-13)

将得到的信号y₃(n)逆转后再输出，即可得到无相位差的输出信号

y₄(n)＝y₃(N-1-n) (4-14)

式中，y(n)为零相位输出信号，x(n)为输入信号信号，h(n)数字滤波器冲激响应序列。

首先设计待滤波的信号为：S＝3cos(5t-pi/6)+cos(50t-pi/2)，此信号含有两个频率成分，然后将其分别通过零相位低通滤波器和巴特沃斯低通滤波器，两个滤波器的截止频率均为20rad/s。其结果如图4所示。

如图4可知，经过零相位滤波后，信号的相位并未发生变化，由于信号两次通过滤波器，相较于普通滤波，信号幅值衰减幅度更大。

误差超前补偿设计

无论选取怎样的学习增益φ，N(z)总会在某一频点穿出单位圆，从而导致过冲现象。所以需要一种补偿机制来使得N(z)更多的频率成分落入单位圆中，从而得到更小的收敛误差，本发明引入超前补偿因子。

超前补偿指的是将控制信号提前几个采样周期施加到被控对象上，这样便可以做到提前对被控对象施加控制，提前对抗扰动。假设离散控制信号为U(z)，将其超前γ(γ＝1,2,3,…)个采样周期得到超前补偿后的控制信号表示为z^γU(z)，原理如图5所示。

从图5可以看出，我们不可能做到实时的超前补偿，这违反了客观物理定律。所以只能离线实现超前补偿。而在迭代学习控制过程中，两次迭代运行中间的时间空隙便可以进行这种离线的超前补偿。超前γ个采样周期的迭代学习控制律可以表示为：

u_i(k)＝u_i-1(k)+q·e_i-1(k+γ) (4-15)

引入超前补偿因子后的N(z)表达式变为：

改变学习增益φ可以调整N(z)奈氏曲线的起点位置及曲线幅值大小，引入超前补偿因子则可以实现将N(z)奈氏曲线进行平移，使其更多曲线落入单位圆中，如图6所示，显示出不同超前补偿拍数对N(z)奈氏曲线与单位圆相对位置的影响。

从图6可以看出，引入超前补偿因子可以对N(z)奈氏曲线进行平移，使得N(z)奈氏曲线大部分落入单位圆中，而落入单位圆中的误差频率成分可以在迭代学习过程中自行衰减。引入超前补偿机制后，可以有效提高能够使误差单调收敛的截止频率。

但我们需要确定最优化的超前步数及其对应的最大截止频率，当不使用超前补偿因子的时候，需要做的工作为选取学习增益φ，然后确定截止频率。我们根据先前实验得到的频率特性G(e^jωT)再结合学习增益φ画出zφG(z)的奈奎斯特图，观察在奈氏图哪一频值点穿过单位圆，然后进行比较，从而得到最优化的超前拍数和对应最大截止频率。

迭代学习控制运行流程分析

经过以上分析，为了解决迭代学习过程中的过冲现象，使得迭代学习控制可以实现工程应用，需要设计基于零相位滤波的迭代学习控制器。

整个工作过程如图7所示：

按照流程图7所示，开始阶段需要确定具体的被控对象，将电流环作为被控对象，抑或将速度闭环作为被控对象，然后查看相关资料及对应参数，进行数学建模。模型确立之后，其中的具体参数需要设计相关的扫频实验，依据最小二乘原理进行模型参数的辨识，从而得到具体的被控对象数学模型。得到数学模型后，还需要对整个控制环路进行控制参数的优化整定，使得系统的动态特性达到最优化。至此，完整的闭环控制系统已经建立。

为克服迭代学习应用过程中的过冲现象，需要引入适当的滤波器及相关的补偿环节，而确定最优化的超前补偿步数γ及对应的最大截止频率ω_c需要前面已经得到的被控对象的模型知识。

迭代运行过程中，需要提前确定好期望的输入值。期望输入经过被控对象后得到相应的误差值和控制量并进行存储。在下一次迭代运行之前，需要将所存储的上一次运行的误差值按照先前确定的超前补偿步数进行超前补偿，并将结果进行存储以备后续迭代运行使用。离线误差超前补偿是一种非常有效又十分简便的补偿方式，离线误差补偿策略可以使迭代运行误差更加快速高效的收敛，但是还是不能保证误差能够一直收敛，即不能从根本上解决误差单调收敛问题。要想使误差能够一直单调快速收敛，还是需要引入零相位滤波器，将超出单位圆的误差中的高频成分过滤掉。

超前补偿完毕，还需对所存储的控制量依据最大截止频率ω_c进行零相位滤波，并将滤波后的控制量结果进行存储。综上所述，两次迭代运行之间的时间空隙，是进行误差离线超前补偿和控制量零相位滤波的时间，而得到误差以及控制量数据将会在下一次的迭代运行中使用。

随着迭代过程的继续，误差将持续收敛，等到误差收敛到期望水平时，将停止迭代，锁定此时的控制量，作为以后的前馈控制信号。若误差未能达到期望水平，则继续误差超前补偿与控制量零相位滤波过程，直至误差收敛到期望值。

Claims (3)

1.一种工业机器人迭代学习修正轨迹误差的方法，其特征在于：

采用以下步骤，

步骤1：确定具体的被控对象，将电流环或者速度闭环作为被控对象，通过扫频实验对被控对象参数进行辨识，从而得到被控对象的传递函数G(z)，然后通过对整个控制环路进行控制参数的优化整定，确定控制器传递函数C(z)，使系统达到设定的鲁棒性与稳定性要求；

步骤2：取学习收敛因子改变学习增益φ和超前补偿因子γ，调整N(z)奈氏曲线的起点位置及曲线幅值大小，使N(z)的奈氏曲线代表的频率成分最大范围的落入以(1,0)点为圆心，1为半径的单位圆中，自行衰减；

式中，γ为超前补偿因子，φ为学习增益，G(z)为步骤一所确定的被控对象传递函数，C(z)为步骤一经过整定后的控制器传递函数；

步骤3：控制器采用迭代学习算法，在迭代学习控制过程中，两次迭代运行中间的时间空隙进行离线超前补偿，利用步骤1中得到的频率特性G(z)，结合学习增益φ画出zφG(z)的奈奎斯特图，选取奈奎斯特图穿出单位圆时，对应的频值点，该频值点即对应的截止频率；

选择不同的超前误差补偿因子γ，确定不同的超前误差补偿因子γ对应的穿出单位圆的截止频率，然后将不同的补偿因子γ对应的截止频率进行比较，得到穿出单位圆的最大截止频率ω_c及其对应的最优化的超前补偿因子γ；

步骤4：对误差量信号中误差大于ω_c的频率成分进行零相位滤波；

步骤5：判断误差是否达到预期，误差收敛到期望水平时，进入步骤6，否则，回到步骤2；

步骤6：停止迭代，锁定此时的控制量，作为以后的前馈控制信号。

2.根据权利要求1所述工业机器人迭代学习修正轨迹误差的方法，其特征在于：所述步骤2具体为：

设定学习增益φ，迭代学习前馈部分表达式为：

u_j(k)＝w_j(k)+C(z)e_j(k)

w_j(k)＝w_j-1(k)+φe_j-1(k+1)

式中，w代表控制量大小，右下标j表示第j次迭代运行，e表示误差量大小

离散系统的输出可以表示为：

Y_j(z)＝G(z)U_j(z)+V(z)

式中V(z)代表重复性扰动；

取式的z变换，同时引入代表两个连续批次j和j-1之间差值的后向差分算子δ_jz(k)＝z_j(k)-z_j-₁(k)，得到

δ_jU(z)＝φzE_j-1(z)+C(z)δ_jE(z)

上述式子中，G(z)表示被控对象的传递函数，y_d为参考输入，y_j为第j次运行实际输出，e_j为误差，w_j为其输出，C(z)为系统反馈控制器，u_j为叠加了迭代前馈信号与反馈控制信号的总输出，寄存器对误差e_j-1以及控制量信号u_j-1进行存储，φ代表学习增益；

由误差定义：δ_jE(z)＝E_j(2)-E_j-1(z)

＝Y_d-Y_j-(Y_d-Y_j-1)

＝-δ_jY(z)

可以得到连续两个批次之间的误差关系：

如果对于小于奈奎斯特频率的所有频率值ω都满足

误差的频率成分ω将会随着迭代过程的进行而单调收敛，当系统采用控制率如式所示时，

系统学习瞬态单调衰减的实现条件便是其中，令命名N(z)为学习收敛因子；

画出N(z)奈奎斯特图，利用曲线上的点到(1,0)点的距离来判断不同频率对收敛性的影响，确定奈奎斯特曲线与以(1,0)为圆心的单位圆的关系，只要奈奎斯特曲线不超出单位圆，误差频率成分就能满足的要求，单位圆内的误差频率成分会实现单调收敛；

引入超前学习因子γ(γ＝1,2,3,…)，设离线超前补偿前的离散控制信号为U(z)，将其超前γ(γ＝1,2,3,…)个采样周期得到离线超前补偿后的控制信号表示为z^γU(z)；

未经超前误差补偿的迭代学习控制律为：

u_i(t)＝u_i-1(t)+qe_i-1(t)

经过离线误差超前补偿处理后得到，

u_i(k)＝u_i-1(k)+q·e_i-1(k+γ)

W_i(k)＝u_i(k)+e_i(k)

经过超前补偿后的上次迭代运行过程中产生误差e_i-1(k+γ)乘以学习因子q再叠加上次运行过程中的控制量u_i-1(k)，就组成了当次迭代运行的学习控制前馈量u_i(k)，前馈量u_i(k)与当次迭代运行误差值e_i(k)组成了当次控制量W_i(k)，

如下式所示：

W_i(k)＝u_i(k)+e_i(k)

控制量W_i(k)即为要输送给被控对象的控制信号，其中，前馈信号主要作用是缩小跟随误差，而当次运行的反馈信号作用是维持系统的稳定性与鲁棒性。

根据改变学习增益φ和超前学习因子γ调整N(z)奈氏曲线的起点位置及曲线幅值大小，引入的离线超前补偿因子实现将N(z)奈氏曲线进行平移，使其更多曲线落入单位圆中；

式中，q是反馈增益，γ＝1,2,3,…n。

3.根据权利要求1所述工业机器人迭代学习修正轨迹误差的方法，其特征在于：所述步骤4中，要求N(z)奈氏曲线超出单位圆的频率进行零相位滤波，零相位滤波的具体过程如下：

步骤4-1：首先将信号通过滤波器

y₁(n)＝x(n)·h(n)

步骤4-2：将所得到的信号y₁(n)进行逆转

y₂(n)＝y₁(N-1-n)

步骤4-3：将得到的信号y₂(n)再通过滤波器

y₃(n)＝y₂(n)·h(n)

步骤4-4：将得到的信号y₃(n)逆转后再输出，即可得到无相位差的输出信号y₄(n)＝y₃(N-1-n)

式中，y(n)为零相位输出信号，x(n)为输入信号信号，h(n)数字滤波器冲激响应序列。