CN108196449A - 最优着陆轨迹设计的协变量初值确定方法 - Google Patents

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CN108196449A CN201711433110.7A CN201711433110A CN108196449A CN 108196449 A CN108196449 A CN 108196449A CN 201711433110 A CN201711433110 A CN 201711433110A CN 108196449 A CN108196449 A CN 108196449A
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Abstract

本发明公开的最优着陆轨迹设计的协变量初值确定方法，属于深空探测领域。本发明实现方法如下：建立小天体固联坐标系并建立相应的探测器着陆动力学方程；将小天体最优着陆轨迹设计问题转化为最优控制问题及相应两点边值问题，定义为问题1；对问题1进行近似，将对问题1近似后的问题定义为问题2；求解问题2中协变量初始时刻值λr2(t0),λv2(t0)，以问题2的协变量初始时刻值λr2(t0),λv2(t0)作为问题1的协变量初始时刻值λr1(t0),λv1(t0)的迭代初值设置，并由问题1的协变量初始时刻值λr1(t0),λv1(t0)的迭代初值设置λr2(t0),λv2(t0)确定问题1的协变量初始时刻值λm1(t0)的迭代初值设置，即为最优着陆轨迹设计的协变量初始时刻值的迭代初值设置。本发明能够避免由于初值设置不当而造成相应的两点边值问题不易求解的缺陷。

Description

最优着陆轨迹设计的协变量初值确定方法
技术领域
本发明涉及一种最优着陆轨迹设计方法，尤其涉及一种最优着陆轨迹设计的协变量初值确定方法，属于深空探测领域。
背景技术
小天体探测是人们认识和研究太阳系的起源与演化的重要手段，是21世纪深空探测活动的重要内容。小天体着陆与采样返回是当前小天体探测的主要形式。其中，下降与着陆是小天体着陆及采样返回的关键阶段，对能否安全、准确到达预设目标区域起着决定性的作用。小天体最优着陆轨迹设计需使探测器安全、准确地到达指定着陆区域，满足初始、终端状态约束、控制约束等多重约束，同时使燃耗等性能指标最优化。
在先技术[1](参见Hongwei Yang,Hexi Baoyin.Fuel-Optimal Control forSoft Landing on an Irregular Asteroid[J].IEEE Transactions on Aerospace andElectronic Systems,2015,51(3):1688-1697.)，采用同伦法设计了小天体着陆的燃耗最优轨迹。该方法首先求解小天体着陆的能量最优轨迹，然后通过同伦参数的逐渐变化得到一系列相近的最优控制问题并进行求解，最终得到小天体探测的燃耗最优着陆轨迹。针对首先求解的能量最优控制问题，在推导得到两点边值问题的打靶方程后，需进行协变量初值猜测。由于协变量缺少物理意义，协变量初值猜测往往与真实值差距较大，且打靶方程的求解对协变量初值猜测敏感，因而打靶方程较难求解。协变量初值确定是小天体最优着陆轨迹设计中的关键问题。
发明内容
为解决小天体最优着陆轨迹设计问题中协变量初值难于确定、相应的两点边值问题不易求解的问题。本发明公开的最优着陆轨迹设计的协变量初值确定方法要解决的技术问题是提供能够使最优着陆轨迹设计收敛的协变量迭代初值设置，避免由于现有技术中协变量迭代初值设置不当而造成相应的两点边值问题不易求解的缺陷。进一步的，在利用提供的能够使最优着陆轨迹设计收敛的协变量迭代初值设置的基础上，结合现有技术中最优着陆轨迹设计方法得到最优着陆轨迹，实现探测器着陆轨迹的最优控制。所述的协变量迭代初值设置指协变量初始时刻值的迭代初值设置。
本发明的目的是通过以下方法实现的。
本发明公开的最优着陆轨迹设计的协变量初值确定方法，首先建立小天体固联坐标系并建立相应的探测器着陆动力学方程。将小天体最优着陆轨迹设计问题转化为最优控制问题及相应的两点边值问题，定义为问题1。为在满足收敛条件下便于求解问题1，对问题1进行近似，将对问题1近似后的问题定义为问题2。求解问题2中协变量初始时刻值λr2(t0),λv2(t0)，以问题2的协变量初始时刻值λr2(t0),λv2(t0)作为问题1的协变量初始时刻值λr1(t0),λv1(t0)的迭代初值设置，并由问题1的协变量初始时刻值λr1(t0),λv1(t0)的迭代初值设置λr2(t0),λv2(t0)确定问题1的协变量初始时刻值λm1(t0)的迭代初值设置。问题1的协变量初始时刻值λr1(t0),λv1(t0),λm1(t0)的迭代初值设置即为最优着陆轨迹设计的协变量初始时刻值的迭代初值设置。
进一步的，在利用为最优着陆轨迹设计的协变量初始时刻值的迭代初值设置基础上，结合现有技术中最优着陆轨迹设计方法得到最优着陆轨迹，实现探测器着陆轨迹的最优控制。所述的协变量迭代初值设置指协变量初始时刻值的迭代初值设置。
本发明公开的最优着陆轨迹设计的协变量初值确定方法，包括如下步骤：
步骤一、建立探测器着陆动力学方程。
定义小天体固联坐标系(x,y,z)：原点o位于小天体质心，z轴与小天体最大惯量轴即自转轴重合，x与y轴分别与最小和中间惯量轴重合，x，y，z三轴满足右手法则。
探测器在小天体固联坐标系下的着陆动力学方程为：
其中r＝[x,y,z]T为探测器在小天体固联坐标系下的位置矢量，v＝[vx,vy,vz]T为探测器的速度矢量，m为探测器质量，ω＝[0,0,ω]T为目标天体自旋角速度矢量，g＝[gx,gy,gz]T为探测器受到的目标天体引力加速度，Tmax为探测器的最大推力，Isp为推力器比冲，g0为海平面标准引力加速度，u∈[0,1]为推力器推力与最大推力的比值，α为表示推力方向的单位矢量。
步骤二、将小天体探测器最优着陆轨迹设计问题转化为最优控制问题。
将小天体探测器能量最优着陆轨迹设计问题转化为相应的最优控制问题。初始约束条件为：
终端约束条件为：
其中，t0和tf分别为初始和终端时刻。控制约束为：
能量最优问题的优化指标为：
优化指标式(5)、动力学约束式(1)、初始与终端条件约束式(2)、式(3)、控制约束式(4)共同组成小天体着陆能量最优控制问题。
步骤三、求解步骤二所述的小天体着陆能量最优控制问题。
建立小天体着陆能量最优控制问题的哈密顿函数H1：
其中λr1，λv1，λm1为协变量。根据庞特里亚金极小值原理，最优控制使哈密顿函数取极小值。因此，推力方向矢量α与λv方向相反，即：
将式(7)代入式(6)，哈密顿函数H1化为：
其中ρ为切换函数，其表达式为：
使哈密顿函数最小的最优控制u的取值为：
欧拉-拉格朗日方程为：
由于终端质量无约束，因此有横截条件：
λm1(tf)＝0 (12)
步骤二所述的小天体着陆能量最优控制问题被转化为两点边值问题，即具有14维变量[r v m λr1 λv1 λm1]T的常微分方程组(1)、(11)，边界条件为式(2)、式(3)、式(12)。建立相应的打靶方程：
Φ(λ1(t0))＝[r(tf)-rf v(tf)-vf λm1(tf)]T＝0 (13)
其中为协变量初始时刻值。
步骤二所述的小天体着陆能量最优控制问题及相应的步骤三中的两点边值问题称为原问题，定义为问题1。
步骤四、为在满足收敛条件下便于求解问题1，对步骤三中的问题1进行近似，将对问题1近似后的问题定义为问题2。
为在满足收敛条件下便于求解问题1，在步骤三中的问题1的小天体探测器着陆动力学方程(1)中，将引力加速度g(r)近似为时间t的函数g(t)，即g＝g(t)，探测器质量变化忽略不计，即取消步骤二中式(4)所示的控制约束，对探测器着陆动力学方程(1)进行上述近似，将对问题1近似后的问题定义为问题2，问题2的探测器着陆动力学方程为：
其中
除g,m,α,u外的其他变量和参数的定义与问题1一致。
对问题2取消步骤二中式(4)所示的控制约束，问题2的动力学约束为式(14)，初始和终端约束为：
问题2的优化指标与问题1一致。
优化指标式(5)、动力学约束式(14)、初始与终端条件约束式(15)、式(16)、共同组成问题2的小天体着陆能量最优控制问题。
步骤五、求解步骤四中的问题2。
步骤四中的问题2对应的哈密顿函数H2为：
其中为问题二中的协变量。
根据庞特里亚金极小值原理，使哈密顿函数H2最小的最优控制为：
欧拉-拉格朗日方程为：
步骤四中问题2的的小天体着陆能量最优控制问题被转化为相应的两点边值问题，常微分方程组为：
上式写为：
其中，
式(21)为线性方程，有解析解：
其中，φ为线性系统的状态转移矩阵，满足：
步骤六、由于所述的问题2的协变量初始时刻值λr2(t0),λv2(t0)能够直接求解，以问题2的协变量初始时刻值λr2(t0),λv2(t0)作为问题1的协变量初始时刻值λr1(t0),λv1(t0)的迭代初值设置，并由问题1的协变量初始时刻值λr1(t0),λv1(t0)的迭代初值设置λr2(t0),λv2(t0)确定问题1的协变量初始时刻值λm1(t0)的迭代初值设置。问题1的协变量初始时刻值λr1(t0),λv1(t0),λm1(t0)的迭代初值设置即为最优着陆轨迹设计的协变量初始时刻值的迭代初值设置，避免由于现有技术中最优着陆轨迹设计的协变量迭代初值设置不当而造成相应的两点边值问题不易求解的缺陷。
根据式(22)，有：
令
矩阵中每个元素为6×6矩阵。则有：
x(tf)＝φ1,1x(t0)+φ1,2λ2(t0)+s1 (26)
其中s1满足：
则
式(28)所示的λr2(t0),λv2(t0)即为步骤三的打靶方程(13)中协变量初始时刻值λr1(t0),λv1(t0)的迭代初值设置。
在问题1中，将式(7)代入式(11)，有：
在问题2中，任意时刻的λv2由式(28)求出，因此在探测器质量变化忽略不计，即m(t)＝m(t0)＝m0的条件下，用问题2中每时刻λv2取值对式(29)中λv1进行近似，进而得到步骤三的打靶方程(13)中协变量初始时刻值λm1(t0)的迭代初值设置：
将g(t)代入式(21)中，式(28)中的λr2(t0),λv2(t0)、(31)中的即为问题1中协变量初始时刻值λr1(t0),λv1(t0),λm1(t0)的迭代初值设置。问题1的协变量初始时刻值λr1(t0),λv1(t0),λm1(t0)的迭代初值设置即为最优着陆轨迹设计的协变量初始时刻值的迭代初值设置，避免由于现有技术中最优着陆轨迹设计的协变量迭代初值设置不当而造成相应的两点边值问题不易求解的缺陷。
在步骤六所述的问题2中g(t)的具体求解方法如下：
小天体探测器着陆动力学方程(1)中的引力加速度g为时间的函数，即以g＝g(t)近似g(r)。为获取g(r)的近似值g(t)，设计一条符合初始约束(15)和终端约束(16)的非最优参考轨迹，以该参考轨迹各时刻的引力加速度为问题2中的g(t)的取值。采用多项式法设计该非最优参考轨迹，参考轨迹为：
其中rn为参考位置，vn为参考速度。则在问题2中，有：
g(t)＝g(rn(t)) (33)
还包括步骤七：利用步骤六中得到的最优着陆轨迹设计的协变量初始时刻值λr1(t0),λv1(t0),λm1(t0)的迭代初值设置求解步骤二中的打靶方程(13)，得到小天体探测器能量最优着陆轨迹及相应的最优控制。
利用步骤六中得到的最优着陆轨迹设计的协变量初始时刻值λr1(t0),λv1(t0),λm1(t0)的迭代初值设置求解步骤二中的打靶方程(13)优选牛顿法。
还包括步骤八：利用步骤七得到的小天体探测器能量最优着陆轨迹及相应的最优控制，结合同伦法求解小天体探测器燃耗最优着陆问题，得到小天体探测器燃耗最优着陆轨迹及相应的最优控制。
有益效果：
1、本发明公开的最优着陆轨迹设计的协变量初值确定方法，通过对小天体着陆的原最优控制问题进行合理近似，推导近似问题解的解析表达，利用近似问题的解对原最优控制问题中打靶方程的协变量初值进行近似计算，解决了小天体最优着陆轨迹设计问题中协变量初值难于估计、相应的两点边值问题不易求解的缺陷。
2、本发明公开的最优着陆轨迹设计的协变量初值确定方法，在对原最优控制问题进行近似时，通过设计一条符合初始和终端约束的非最优参考轨迹，以该参考轨迹上各时刻小天体引力加速度值近似原问题中最优轨迹上相同时刻的引力加速度，对原问题进行近似和简化，使问题的解具有解析形式，且该参考轨迹可利用经典的多项式方法设计，因而方法简便易行，计算量小。
3、本发明公开的最优着陆轨迹设计的协变量初值确定方法，得到小天体能量最优着陆问题的协变量初值近似值，并对能量最优着陆问题进行求解后，可进一步结合同伦法得到小天体燃耗最优着陆问题的解，因而方法的适用范围较广。
附图说明
图1为本发明方法的流程图；
图2为本发明方法求得的能量最优着陆控制问题的探测器三轴位置曲线；
图3为本发明方法求得的能量最优着陆控制问题的探测器三轴速度曲线；
图4为本发明方法求得的能量最优着陆控制问题的控制变量α变化曲线；
图5为本发明方法求得的能量最优着陆控制问题的控制变量u变化曲线。
图6为本发明方法求得的燃耗最优着陆控制问题的探测器三轴位置曲线；
图7为本发明方法求得的燃耗最优着陆控制问题的探测器三轴速度曲线；
图8为本发明方法求得的燃耗最优着陆控制问题的控制变量α变化曲线；
图9为本发明方法求得的燃耗最优着陆控制问题的控制变量u变化曲线。
具体实施方式
下面结合附图与实施例对本发明作进一步说明。
实施例1：
如图1所示，以小天体最优着陆轨迹设计为例，本实施例最优着陆轨迹设计的协变量初值确定方法，具体实现步骤如下：
步骤一、建立探测器着陆动力学方程。
定义小天体固联坐标系(x,y,z)：原点o位于小天体质心，z轴与小天体最大惯量轴即自转轴重合，x与y轴分别与最小和中间惯量轴重合，x，y，z三轴满足右手法则。
探测器在小天体固联坐标系下的着陆动力学方程为：
其中r＝[x,y,z]T为探测器在小天体固联坐标系下的位置矢量，v＝[vx,vy,vz]T为探测器的速度矢量，m为探测器质量，ω＝[0,0,ω]T为目标天体自旋角速度矢量，g＝[gx,gy,gz]T为探测器受到的目标天体引力加速度，Tmax为探测器的最大推力，Isp为推力器比冲，g0为海平面标准引力加速度，u∈[0，1]为推力器推力与最大推力的比值，α为表示推力方向的单位矢量。
步骤二、将小天体探测器最优着陆轨迹设计问题转化为最优控制问题。
将小天体探测器能量最优着陆轨迹设计问题转化为相应的最优控制问题。初始约束条件为：
终端约束条件为：
其中，t0和tf分别为初始和终端时刻。控制约束为：
能量最优问题的优化指标为：
优化指标式(5)、动力学约束式(1)、初始与终端条件约束式(2)、式(3)、控制约束式(4)共同组成小天体着陆能量最优控制问题。
步骤三、求解步骤二所述的小天体着陆能量最优控制问题。
建立小天体着陆能量最优控制问题的哈密顿函数H1：
其中λr1,λv1,λm1为协变量。根据庞特里亚金极小值原理，最优控制使哈密顿函数取极小值。因此，推力方向矢量α与λv方向相反，即：
将式(7)代入式(6)，哈密顿函数H1化为：
其中ρ为切换函数，其表达式为：
使哈密顿函数最小的最优控制u的取值为：
欧拉-拉格朗日方程为：
由于终端质量无约束，因此有横截条件：
λm1(tf)＝0
步骤二所述的小天体着陆能量最优控制问题被转化为两点边值问题，即具有14维变量[r v m λr1 λv1 λm1]T的常微分方程组(1)、(11)，边界条件为式(2)、式(3)、式(12)。建立相应的打靶方程：
Φ(λ1(t0))＝[r(tf)-rf v(tf)-vf λm1(tf)]T＝0
其中为协变量初始时刻值。
步骤二所述的小天体着陆能量最优控制问题及相应的步骤三中的两点边值问题称为原问题，定义为问题1。
步骤四、为在满足收敛条件下便于求解问题1，对步骤三中的问题1进行近似，将对问题1近似后的问题定义为问题2。
为在满足收敛条件下便于求解问题1，在步骤三中的问题1的小天体探测器着陆动力学方程(1)中，将引力加速度g(r)近似为时间t的函数g(t)，即g＝g(t)，探测器质量变化忽略不计，即取消步骤二中式(4)所示的控制约束，对探测器着陆动力学方程(1)进行上述近似，将对问题1近似后的问题定义为问题2，问题2的探测器着陆动力学方程为：
其中
除g,m,α,u外的其他变量和参数的定义与问题1一致。
对问题2取消步骤二中式(4)所示的控制约束，问题2的动力学约束为式(14)，初始和终端约束为：
问题2的优化指标与问题1一致。
优化指标式(5)、动力学约束式(14)、初始与终端条件约束式(15)、式(16)、共同组成问题2的小天体着陆能量最优控制问题。
步骤五、求解步骤四中的问题2。
步骤四中的问题2对应的哈密顿函数H2为：
其中为问题二中的协变量。
根据庞特里亚金极小值原理，使哈密顿函数H2最小的最优控制为：
欧拉-拉格朗日方程为：
步骤四中问题2的的小天体着陆能量最优控制问题被转化为相应的两点边值问题，常微分方程组为：
上式写为：
其中，
上式为线性方程，有解析解：
其中，φ为线性系统的状态转移矩阵，满足：
步骤六、由于所述的问题2的协变量初始时刻值λr2(t0),λv2(t0)能够直接求解，以问题2的协变量初始时刻值λr2(t0),λv2(t0)作为问题1的协变量初始时刻值λr1(t0),λv1(t0)的迭代初值设置，并由问题1的协变量初始时刻值λr1(t0),λv1(t0)的迭代初值设置λr2(t0),λv2(t0)确定问题1的协变量初始时刻值λm1(t0)的迭代初值设置。问题1的协变量初始时刻值λr1(t0),λv1(t0),λm1(t0)的迭代初值设置即为最优着陆轨迹设计的协变量初始时刻值的迭代初值设置，避免由于现有技术中最优着陆轨迹设计的协变量迭代初值设置不当而造成相应的两点边值问题不易求解的缺陷。
根据式(22)，有：
令
矩阵中每个元素为6×6矩阵。则有：
x(tf)＝φ1,1x(t0)+φ1,2λ2(t0)+s1
其中s1满足：
则
上式所示的λr2(t0),λv2(t0)即为步骤三的打靶方程(13)中协变量初始时刻值λr1(t0),λv1(t0)的迭代初值设置。
在问题1中，将式(7)代入式(11)，有：
在问题2中，任意时刻的λv2由式(28)求出，因此在探测器质量变化忽略不计，即m(t)＝m(t0)＝m0的条件下，用问题2中每时刻λv2取值对式(29)中λv1进行近似，进而得到步骤三的打靶方程(13)中协变量初始时刻值λm1(t0)的迭代初值设置：
将g(t)代入式(21)中，式(28)中的λr2(t0),λv2(t0)、(31)中的即为问题1中协变量初始时刻值λr1(t0),λv1(t0),λm1(t0)的迭代初值设置。问题1的协变量初始时刻值λr1(t0),λv1(t0),λm1(t0)的迭代初值设置即为最优着陆轨迹设计的协变量初始时刻值的迭代初值设置，避免由于现有技术中最优着陆轨迹设计的协变量迭代初值设置不当而造成相应的两点边值问题不易求解的缺陷。
在步骤六所述的问题2中g(t)的具体求解方法如下：
小天体探测器着陆动力学方程(1)中的引力加速度g为时间的函数，即以g＝g(t)近似g(r)。为获取g(r)的近似值g(t)，设计一条符合初始约束(15)和终端约束(16)的非最优参考轨迹，以该参考轨迹各时刻的引力加速度为问题2中的g(t)的取值。采用多项式法设计该非最优参考轨迹，参考轨迹为：
其中rn为参考位置，vn为参考速度。则在问题2中，有：
g(t)＝g(rn(t))
还包括步骤七：利用步骤六中得到的最优着陆轨迹设计的协变量初始时刻值λr1(t0),λv1(t0),λm1(t0)的迭代初值设置，以牛顿法求解步骤二中的打靶方程(13)，得到小天体探测器能量最优着陆轨迹及相应的最优控制。
还包括步骤八：利用步骤七得到的小天体探测器能量最优着陆轨迹及相应的最优控制，结合同伦法求解小天体探测器燃耗最优着陆问题，得到小天体探测器燃耗最优着陆轨迹及相应的最优控制。
实施例1以433Eros小行星为目标小天体进行仿真验证，仿真条件为：在小天体固联坐标系下，探测器的初始位置为[-10177,5056,-3256]Tm，初始速度为[-1,6,4]Tm/s，初始质量为800kg，目标位置为[853,5010,45]Tm，目标速度为零，着陆时间为2000s；发动机比冲Isp＝300s，海平面引力加速度g0＝9.80665m/s2，探测器最大推力为22N。
经过上述步骤的计算，得到的小天体探测器能量最优着陆控制问题的协变量初始时刻值的迭代初值设置为λr1(t0)＝[-3.80×10-4,3.45×10-4,2.90×10-5]T，λv1(t0)＝[-3.30×10-1,1.48×10-1,7.62×10-2]T，λm1(t0)＝1.23×10-2，代入步骤三的打靶方程(13)进行解算，能够使问题收敛，得到打靶方程的高精度的解，即小天体探测器能量最优着陆轨迹及相应的最优控制。相应得到的在小天体固联坐标系下探测器着陆过程三轴的位置、速度曲线分别如图2、图3所示，相应的最优控制变量，即探测器推力方向α及推力大小与探测器最大推力的比值u分别如图4、图5所示。图2、图3显示，探测器在预定的着陆时间到达目标着陆位置，且着陆速度为零，实现精确软着陆；图4、图5显示的最优控制变化平滑，且符合控制约束。
在上述的小天体探测器能量最优着陆控制问题的解的基础上，结合同伦法得到小天体探测器燃耗最优着陆控制问题的解，即小天体探测器燃耗最优着陆轨迹及相应的最优控制。相应得到的在小天体固联坐标系下探测器着陆过程三轴的位置、速度曲线分别如图6、图7所示，相应的最优控制变量，即探测器推力方向α及推力大小与探测器最大推力的比值u分别如图8、图9所示。图6、图7显示，探测器在预定的着陆时间到达目标着陆位置，且着陆速度为零，实现精确软着陆；图8、图9显示的最优控制为bang-bang控制形式，且符合控制约束。上述仿真结果表明，本发明提出的最优着陆轨迹设计的协变量初值确定方法能够提供使最优着陆轨迹设计收敛的协变量迭代初值设置，从而得到小天体能量最优着陆轨迹及相应的最优控制，并结合同伦法得到小天体燃耗最优着陆轨迹及相应的最优控制。
以上所述的具体描述，对发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例，用于解释本发明，并不用于限定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (6)

1.最优着陆轨迹设计的协变量初值确定方法，其特征在于：包括如下步骤：
步骤一、建立探测器着陆动力学方程；
定义小天体固联坐标系(x,y,z)：原点o位于小天体质心，z轴与小天体最大惯量轴即自转轴重合，x与y轴分别与最小和中间惯量轴重合，x，y，z三轴满足右手法则；
探测器在小天体固联坐标系下的着陆动力学方程为：
其中r＝[x,y,z]T为探测器在小天体固联坐标系下的位置矢量，v＝[vx,vy,vz]T为探测器的速度矢量，m为探测器质量，ω＝[0,0,ω]T为目标天体自旋角速度矢量，g＝[gx,gy,gz]T为探测器受到的目标天体引力加速度，Tmax为探测器的最大推力，Isp为推力器比冲，g0为海平面标准引力加速度，u∈[0,1]为推力器推力与最大推力的比值，α为表示推力方向的单位矢量；
步骤二、将小天体探测器最优着陆轨迹设计问题转化为最优控制问题；
将小天体探测器能量最优着陆轨迹设计问题转化为相应的最优控制问题；初始约束条件为：
终端约束条件为：
其中，t0和tf分别为初始和终端时刻；控制约束为：
能量最优问题的优化指标为：
优化指标式(5)、动力学约束式(1)、初始与终端条件约束式(2)、式(3)、控制约束式(4)共同组成小天体着陆能量最优控制问题；
步骤三、求解步骤二所述的小天体着陆能量最优控制问题；
建立小天体着陆能量最优控制问题的哈密顿函数H1：
其中λr1,λv1,λm1为协变量；根据庞特里亚金极小值原理，最优控制使哈密顿函数取极小值；因此，推力方向矢量α与λv方向相反，即：
将式(7)代入式(6)，哈密顿函数H1化为：
其中ρ为切换函数，其表达式为：
使哈密顿函数最小的最优控制u的取值为：
欧拉-拉格朗日方程为：
由于终端质量无约束，因此有横截条件：
λm1(tf)＝0 (12)
步骤二所述的小天体着陆能量最优控制问题被转化为两点边值问题，即具有14维变量[r v m λr1 λv1 λm1]T的常微分方程组(1)、(11)，边界条件为式(2)、式(3)、式(12)；建立相应的打靶方程：
Φ(λ1(t0))＝[r(tf)-rf v(tf)-vf λm1(tf)]T＝0 (13)
其中为协变量初始时刻值；
步骤二所述的小天体着陆能量最优控制问题及相应的步骤三中的两点边值问题称为原问题，定义为问题1；
步骤四、为在满足收敛条件下便于求解问题1，对步骤三中的问题1进行近似，将对问题1近似后的问题定义为问题2；
为在满足收敛条件下便于求解问题1，在步骤三中的问题1的小天体探测器着陆动力学方程(1)中，将引力加速度g(r)近似为时间t的函数g(t)，即g＝g(t)，探测器质量变化忽略不计，即取消步骤二中式(4)所示的控制约束，对探测器着陆动力学方程(1)进行上述近似，将对问题1近似后的问题定义为问题2，问题2的探测器着陆动力学方程为：
其中
除g,m,α,u外的其他变量和参数的定义与问题1一致；
对问题2取消步骤二中式(4)所示的控制约束，问题2的动力学约束为式(14)，初始和终端约束为：
问题2的优化指标与问题1一致；
优化指标式(5)、动力学约束式(14)、初始与终端条件约束式(15)、式(16)、共同组成问题2的小天体着陆能量最优控制问题；
步骤五、求解步骤四中的问题2；
步骤四中的问题2对应的哈密顿函数H2为：
其中为问题二中的协变量；
根据庞特里亚金极小值原理，使哈密顿函数H2最小的最优控制为：
欧拉-拉格朗日方程为：
步骤四中问题2的的小天体着陆能量最优控制问题被转化为相应的两点边值问题，常微分方程组为：
上式写为：
其中，
式(21)为线性方程，有解析解：
其中，φ为线性系统的状态转移矩阵，满足：
步骤六、由于所述的问题2的协变量初始时刻值λr2(t0),λv2(t0)能够直接求解，以问题2的协变量初始时刻值λr2(t0),λv2(t0)作为问题1的协变量初始时刻值λr1(t0),λv1(t0)的迭代初值设置，并由问题1的协变量初始时刻值λr1(t0),λv1(t0)的迭代初值设置λr2(t0),λv2(t0)确定问题1的协变量初始时刻值λm1(t0)的迭代初值设置；问题1的协变量初始时刻值λr1(t0),λv1(t0),λm1(t0)的迭代初值设置即为最优着陆轨迹设计的协变量初始时刻值的迭代初值设置。
2.如权利要求1所述的最优着陆轨迹设计的协变量初值确定方法，其特征在于：还包括步骤七：利用步骤六中得到的最优着陆轨迹设计的协变量初始时刻值λr1(t0),λv1(t0),λm1(t0)的迭代初值设置求解步骤二中的打靶方程(13)，得到小天体探测器能量最优着陆轨迹及相应的最优控制。
3.如权利要求1或2所述的最优着陆轨迹设计的协变量初值确定方法，其特征在于：还包括步骤八：利用步骤七得到的小天体探测器能量最优着陆轨迹及相应的最优控制，结合同伦法求解小天体探测器燃耗最优着陆问题，得到小天体探测器燃耗最优着陆轨迹及相应的最优控制。
4.如权利要求3所述的最优着陆轨迹设计的协变量初值确定方法，其特征在于：步骤六具体实现方法为，
根据式(22)，有：
令
矩阵中每个元素为6×6矩阵；则有：
x(tf)＝φ1,1x(t0)+φ1,2λ2(t0)+s1 (26)
其中s1满足：
则
式(28)所示的λr2(t0),λv2(t0)即为步骤三的打靶方程(13)中协变量初始时刻值λr1(t0),λv1(t0)的迭代初值设置；
在问题1中，将式(7)代入式(11)，有：
在问题2中，任意时刻的λv2由式(28)求出，因此在探测器质量变化忽略不计，即m(t)＝m(t0)＝m0的条件下，用问题2中每时刻λv2取值对式(29)中λv1进行近似，进而得到步骤三的打靶方程(13)中协变量初始时刻值λm1(t0)的迭代初值设置：
将g(t)代入式(21)中，式(28)中的λr2(t0),λv2(t0)、(31)中的即为问题1中协变量初始时刻值λr1(t0),λv1(t0),λm1(t0)的迭代初值设置；问题1的协变量初始时刻值λr1(t0),λv1(t0),λm1(t0)的迭代初值设置即为最优着陆轨迹设计的协变量初始时刻值的迭代初值设置。
5.如权利要求4所述的最优着陆轨迹设计的协变量初值确定方法，其特征在于：在步骤六所述的问题2中g(t)的具体求解方法如下，
小天体探测器着陆动力学方程(1)中的引力加速度g为时间的函数，即以g＝g(t)近似g(r)；为获取g(r)的近似值g(t)，设计一条符合初始约束(15)和终端约束(16)的非最优参考轨迹，以该参考轨迹各时刻的引力加速度为问题2中的g(t)的取值；采用多项式法设计该非最优参考轨迹，参考轨迹为：
其中rn为参考位置，vn为参考速度；则在问题2中，有：
g(t)＝g(rn(t)) (33)
6.如权利要求5所述的最优着陆轨迹设计的协变量初值确定方法，其特征在于：利用步骤六中得到的最优着陆轨迹设计的协变量初始时刻值λr1(t0),λv1(t0),λm1(t0)的迭代初值设置求解步骤二中的打靶方程(13)的方法选牛顿法。
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