CN100363851C - 航天器大角度机动控制的单框架力矩陀螺群的最优控制法 - Google Patents

Abstract

航天器大角度机动控制的单框架力矩陀螺群的最优控制法属于航天器控制领域，其特点在于：在姿态控制过程中，它先选择具有最大框架角速度的陀螺，再从该陀螺中求出最小框架角速度作为快速大角度机动控制的控制框架角速度；在保证陀螺框架角速度小于给定的驱动电机转速极限的前提下，通过设计空转框架角速度以及修正系数，使得陀螺群动态构型趋进一个给定的最终框架角向量；最后将最优控制角速度与最优空转角速度乘以修正系数求和，并将其作为框架角速度的最优值；本发明有助于提高航天器大角度机动控制的精度、速度以及连续机动能力。

Description

航天器大角度机动控制的单框架力矩陀螺群的最优控制法

技术领域

本发明涉及航天器姿态动力学与控制技术领域。

SGCMG：Single Gimbal Control Moment Gyroscopes。单框架力矩陀螺(图1)。由高速转动的飞轮、支持飞轮的框架以及驱动框架转动的电机组成。一般的，飞轮的转速为一定值，而控制是通过选择框架驱动电机的转速来实现的。也就是说，设计SGCMG控制律的问题实际上就是选择合理的框架转速的问题。

背景技术：

航天器的大角度姿态控制问题是航天器完成特定飞行任务的关键。其控制精度与速度直接影响航天器应用任务的完成情况。从70年代开始，美国、俄罗斯(苏联)的一些高精度大型航天器(如：美国的skylab空间站，苏联的MIR空间站，哈勃天文望远镜，俄罗斯的资源-DK卫星等)都采用了SGCMG控制。今天，一些研究小卫星的学者也在考虑使用这一技术。如：在英国University of Surrey’Surry Space Centre’的V.J.Lappas，Dr.WH Steyn等人就在致力于设计mini-SGCMG，并试图将其安装在小卫星上使用(V.J.Lappas，Dr.WHSteyn，Dr.C.I.Underwood Attitude control for small satellites using control momentgyros.Acta Astronautica Vol.51，No.1-9，pp.101-111，2002.)。这里最重要的原因就在于SGCMG可以保证较高的姿态控制精度与速度。

在SGCMG控制中，最为核心的问题就是SGCMG的控制律问题，即选取SGCMG框架角速度的问题。中外的学者在这一方向做了大量的研究工作。目前在国内，最新的主要相关文献如下：

1.汤亮，徐世杰。采用单框架控制力矩陀螺群的卫星侧摆机动控制研究。《航天控制》，2003，第二期，pp.1-5。

2.吴忠。参数不确定SGCMG系统的鲁棒操纵律设计。《宇航学报》，2004年1月，第25卷，第1期，pp.93-97。

3.吴忠，丑武胜。单框架控制力矩陀螺系统的运动奇异及回避。《北京航天航空大学学报》，2003年7月，第29卷，第7期，pp.579-582。

4.汤亮，贾英宏，徐世杰。使用单框架控制力矩陀螺的空间站姿态控制系统建模与仿真。《宇航学报》，2003年3月，第24卷，第2期，pp.126-131。

5.张锦江，李季苏，吴宏鑫。用单框架控制力矩陀螺的大型航天器姿态控制系统实物仿真研究。《宇航学报》，2004年7月，第25卷，第4期，pp.382-388。

国外目前主要相关文献如下：

1.Wie，B.Singularity analysis and visualization for single-gimbal control moment gyrosystems.Journal of guidance control and dynamics，27(2)：271-282 Mar-Apr，2004.

2.Skelton，CE，Hall，CD.Mixed control moment gyro and momentum wheel attitude controlstrategies.ADV ASTRONAUT SCI 116：887-899 Part 1-3 2003.

3.Ahmed，j，Bernstein，DS.Adaptive control of double-gimbal control-moment gyro withunbalanced rotor.J guid.Control dynam.25(1)：105-115 Jan-Feb 2002.

4.Copoкин A.B.，Башкeeв Н.И.，Яpeмeнко B.B.Γиpocилoвая систeма opиeнтациикосмичeского аппаpата  Pecypc-ДК.IX Caнкт-Пeтepбypгская мeждyнаpоднаяконфepeнция по интeгpиpованным навигационным системaм.Caнкг-Пeтepбypг：2002.268-274.

Sorokin A.V.，Bashkeev N.I.，Yaremenko V.V.SGCMG system for spacecraft resource DK.9^th st.Petersburg-conference of internal navigation system.St.Petersburg：2002.268-274.(in Russian)

5.BacилbeB B.H.Упpaвлeниe кратной минимально иэбыточной системой гиpодиноB.

Mexaникa твepдого тeлa.1995，3：3-1O.

Vasiliev V.N.Control of redundant SGCMG system.Mechanical of rigid body.1995，3：3-1O.(in Russian)

通过对国内外研究现状的具体分析发现：

1.目前缺少解决SGCMG框架角速度限制问题的控制方案。

SGCMG框架角速度：由框架驱动电机提供的转动速度。在星载计算机上，通过一定的控制算法计算求得。并将作为输入信号提供给SGCMG的框架驱动电机，实现控制任务。由于电机的转速一般有上限要求，所以在SGCMG控制律设计过程中应该将其考虑进去。

2.虽然陀螺群构型奇异的问题已经得到了一定的关注，但是目前对于SGCMG‘有益的’ 奇异构型与‘有害的’奇异构型并未进行区别处理。因此，虽然对奇异问题有了相关研究，但大多数控制律会对航天器大角度机动控制的速度产生一定的负面影响。

陀螺群构型奇异：SGCMG作为航天器的姿态控制部件一般不单独使用，而是通过某种特殊的编排，将3个以上的SGCMG组合成特定的系统(即陀螺群)对航天器加以控制的。这种特殊的编排方式称为陀螺群的静态构型。陀螺群的静态构型在航天器飞行过程中是始终保持不变的。在控制过程中，SGCMG可随框架作360度的转动，这个转角被称为SGCMG的框架角。SGCMG的框架角描述了那一时刻飞轮转轴的指向。在控制过程中，不同的时刻飞轮转轴的指向均不相同。也就是说，在不同的时刻陀螺群会拥有不同的陀螺框架角组合，即不同的陀螺群动态构型。而在处在某些动态构型时，陀螺群将无法在某些方向上为航天器提供转动力矩。这时我们说，陀螺群陷入奇异状态。

‘有益的’奇异构型：为了提供较最大的转动角速度，陀螺群必将陷入奇异构型。也就是说，这时陀螺群将无法提供一个力矩使得航天器的角速度超越这个最大值。在进行快速机动的过程中，这种构型奇异将经常出现，它可以提高航天器姿态机动的速度，因此我们说这是一种有益的奇异。

‘有害的’奇异构型：由于SGCMG控制律设计的不合理，使得航天器在慢速转动时，陀螺群的构型也发生了奇异。这是一种必须加以避免的情况，因为它将极大的影响控制的品质。

3.对于快速、高精度、机动性强的航天器，SGCMG的初始以及结束时刻的构型情况是十分关键的。如何使得SGCMG在结束时刻保证较好的构型是解决这一问题的关键。但是，目前尚未见到这方面的文献。

随着电子计算机技术的飞速发展，使得更加复杂的控制律可以在航天器上得以实现。这为新的、更合理的控制方案提供了必要的硬件基础。申请人根据目前存在的问题，设计了新的SGCMG控制律。其目的就是解决以上3个方面的具体问题。

发明内容：

本发明的目的在于：提供一种供快速高精度机动性强的航天器使用的大角度机动控制的单框架力矩陀螺群的最优控制法。

航天器的姿态动力学建模问题已在很多文献中有过详尽的探讨(如：【1】章仁为。卫星轨道姿态动力学与控制。《北京航空航天大学出版社》，1998。)。在【1】中还详细介绍了利用SGCMG实现航天器姿态控制的物理模型。简要的说，利用SGCMG实现航天器姿态控制时，航天器的角动量和SGCMG的和角动量将满足方程：

P+H＝C    (1)

其中，P-航天器的角动量；H-SGCMG的和角动量。在惯性系中，当没有外力作用、并忽略外扰力矩时，C是一个大小和方向均不变的向量。因此，SGCMG控制实质上就是航天器角动量与SGCMG的和角动量的转换过程。通过选择合理的H，就可以实现对航天器姿态的控制。

选择合理的H变化规律的问题，习惯上被称为求解理想控制力矩M^*的问题。这是SGCMG控制律设计的前期工作，本发明并不涉及这方面的内容。我们假设M^*已经通过某种方法求得，而需要应用SGCMG对其进行具体实现。

为了解决这一问题，先简要了解一下SGCMG的工作原理。SGCMG系统一般由多于三个的力矩陀螺组成(如图2中的双平行结构SGCMG系统就是由4个陀螺组成。)，并编排成固定的空间构型(如图2中，当4个陀螺的框架转轴在一个平面上且两两平行时，称为双平行结构。)。每只陀螺由高速(如：2万转/分钟)转动的飞轮(飞轮转动的角速度Ω_i为一定值时，称为定转速SGCMG。)、支持飞轮转动的框架、驱动飞轮转动电机以及驱动框架转动的电机组成(如图1所示)。当飞轮以定角速度Ω_i转动时，就产成一个大小不变的角动量h_i(h_i＝j_iΩ_i，j_i-陀螺的惯量矩阵)。框架的转动迫使飞轮的角动量h_i方向发生改变。从物理学角度，飞轮角动量的改变将产生陀螺反作用力矩M_i，作用在框架基座上(如图1所示)，形成内控力矩。因此，运用SGCMG系统实现航天器的姿态控制，就是选取框架角速度

( $i=\stackrel{\‾}{1,n},$ n-SGCMG系统中陀螺的数量。)的问题。

根据力矩陀螺群的工作原理以及目前存在的问题，提出以下发明方案。为了能实现对SGCMG框架角速度限制及陀螺群动态构型两方面的考虑，设计了以下控制方案。(1)将SGCMG框架角速度分成两部分。(2)SGCMG框架角速度的第一部分将满足大角度机动控制所需的控制力矩。在满足控制力矩的前提下，选取最小的SGCMG框架角速度。(3)SGCMG框架角速度的第二部分不提供任何控制力矩(提供零控制力矩)，以免对控制的干扰。并在此基础上，保证陀螺群动态构型向一个给定的理想状态变化，从而实现对陀螺群动态构型的优化。(4)由于在(3)中所求的框架加速度一般较大，直接使用会超过SGCMG框架角速度的上限，因此必须进行加权处理。在(4)中将求解加权系数。

在系统设计时，为了保证在一些陀螺失效的情况下，SGCMG仍可完成控制任务，SGCMG系统一般被设计成冗余系统(即陀螺的数量n≥3)。这时它的控制模型如下：

$L\left(t\right)\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\left(t\right)=M^{*}\left(t\right)---\left(2\right)$

这里， $\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\left(t\right)={[{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_1\left(t\right),{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_2\left(t\right)...{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_n\left(t\right)]}^T,$ 陀螺的框架角速度矢量；M^*(t)-大角度机动控制的理想控制力矩； $L\left(t\right)=\∂H\left(t\right)/\∂\mathrm{\β}\left(t\right)=L\left(\mathrm{\β}\right)=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\∂H_x}{\∂{\mathrm{\β}}_1}& \frac{\∂H_x}{\∂{\mathrm{\β}}_2}& \·\·\·& \frac{\∂H_x}{\∂{\mathrm{\β}}_n}\\ \frac{\∂H_y}{\∂{\mathrm{\β}}_1}& \frac{\∂H_y}{\∂{\mathrm{\β}}_2}& \·\·\·& \frac{\∂H_y}{\∂{\mathrm{\β}}_n}\\ \frac{\∂H_z}{\∂{\mathrm{\β}}_1}& \frac{\∂H_z}{\∂{\mathrm{\β}}_2}& \·\·\·& \frac{\∂H_z}{\∂{\mathrm{\β}}_n}\end{array}\right];$ H(t)-陀螺群的和角动量。陀螺群的和角动量：陀螺群系统中，所有陀螺角动量的矢量和 $H\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{h}_i\left(t\right)=f\left(\mathrm{\β}\left(t\right)\right);$ H_i-陀螺群和角动量H(t)在i轴上的投影；i＝(x，y，z)-星体坐标系；β(t)＝[β₁(t)，β₂(t)...β_n(t)]^T-SGCMG框架角向量；n-陀螺的数量，n≥3。

式(2)所描述的是一个有无穷多解的线性方程组。对其进行求解，就可以得到满足理想控制力矩的陀螺框架角速度。

如何对(2)求解是问题的关键。通过上文中提及的SGCMG控制中存在的三个方面的问题，本发明提出了以下解决方案。

第一步：

将

分成两个部分：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\left(t\right)={\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_O\left(t\right)+\mathrm{\α}{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\left(t\right)---\left(3\right)$

-满足控制力矩M^*(t)的SGCMG框架角速度；-提供零控制力矩的框架角速度。α-加权系数，0≤α≤1。

第二步：

因考虑到陀螺框架角速度的上限要求

$\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_i\left(t\right)\right|\≤{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\max };i=\stackrel{\‾}{1,n}---\left(4\right)$

所以在控制律设计过程中，需要对SGCMG框架角速度进行合理的选择。为了满足这一要求，提出一个新的优化性能指标：

$\underset{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o}{\min }{q}_1=\underset{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o}{\min }\underset{i=\stackrel{\‾}{1,n}}{\max }\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\mathrm{oi}}\left(t\right)\right|---\left(5\right)$

这一性能指标的意义在于：它可以在实现控制的前提下，极大程度的减少对控制资源(即陀螺框架角速度

的占用。式(5)中取极大值(max)部分选取n个SGCMG中框架角速度最大的一个，记为

接着通过取极小值(min)操作，在

中选取最小的，作为最优解。

联立(2)，(4)，(5)得到式(6)

$\left\{\begin{array}{c}L\left(t\right){\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o\left(t\right)=M^{*}\left(t\right)\\ \underset{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o}{\min }{q}_1\end{array}\right.---\left(6\right)$

对(6)式求解，即可得到

下面以4-陀螺系统为例，并通过图解来说明性能指标(4)的求解过程。

首先，将向量

分成两部分：第一部分是一个1×3的向量；第二部分是一个标量。即将框架角速度向量写成 ${\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_O\left(t\right)={(\underset{1\×3}{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o^{\left(1\right)}},{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{o4})}^T$ 形式；

-向量

的前三项，是一个1×3的向量。

-向量

的第四项，是一个标量。相应的 $L\left(t\right)=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}\underset{3\×3}{L_{11}}& \underset{3\×1}{L_{\text{12}}}\\ \underset{1\×3}{L_{21}}& \underset{1\×1}{L_{22}}\end{array}\right]\end{array}.$ 这样，式(6)中的第一式可写成以下形式：

${\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o^{\left(1\right)}=L_{11}^{-1}(M^{*}\left(t\right)-L_{12}{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{o4})=c_0+c_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{o4}---\left(7\right)$

其中：c₀是一个3×1的向量，c₀＝L^-1 ₁₁M^*(t)；c₁也是一个3×1的向量，c₁＝-L^-1 ₁₁L₁₂。(7)式所描述的是由3条直线所组成的直线族。对(7)式取绝对值，得到：

$\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o^{\left(1\right)}\right|=|c_0+c_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{o4}|---\left(8\right)$

式(8)实际上是一个以

为自变量，为变量的线性方程组(方程组中方程的个数为3)。

如果再引入方程

$\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{o4}\right|=\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{o4}\right|---\left(9\right)$

并设 $Z={\left(\right|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{o1}|,|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{o2}|,|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{o3}|,|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{o4}\left|\right)}^T;$ $C_0={(c_0^T,0)}^T;$ $C_1={(c_1^T,1)}^T;$ $x={\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{o4}.$ 可以得到以下线性的方程组：

Z＝|C₀+C₁x|    (10)

Z是一个由四个方程组成的线性方程组，在(x，Z)平面为一组折线(如图3)。

经过这样的处理，方程组(6)有以下形式：

$\underset{x}{\min }{q}_1=\underset{x}{\min }\underset{i=\stackrel{\‾}{1,n}}{\max }{Z}_i\left(x\right)---\left(11\right)$

这样，求解控制指令的问题就转化成了对(11)式求解的问题。

下面我们通过对图3的分析，具体的说明求解的过程。

在x可能取值区间

上，求取n组折线Z_i(x)的上边界，再从上边界中求取最小值所对应的x、Z_i(x)的值；不难看出，对于相同的控制力矩M^*(t)而言，本控制律将最大程度的减少对控制资源(SGCMG 框架角速度)的占用。而节余的控制资源还以实现其它的功能(如实现下文中将要提到的空转控制)。另一方面，与其它算法相比较，在控制资源相同时，本算法可以提供更大的控制力矩。所以不难看出，控制律

还有助于提高姿态机动的速度。

从以上分析可知，求解控制指令的问题最后转化成了求解极值A的问题。这是一个线性规划问题，可以通过单纯形法进行求解。但是通过尝试发现，运用单纯形法速度较慢。因为在运用该方法时，须将方程组转化成标准型。对于4-SGCMG系统而言，这是一个求解含12个未知数的线性规划问题。在不同的情况下，寻优时间还存在很大的差异，不便于实时控制。

为此，笔者设计了相对简单的控制算法来实现搜索。该算法通过对直线族的所有交点进行比较，寻找最优解。求解步骤详见程序框图(附图6)：

本算法极大的缩短了搜索时间，且对不同情况，搜索时间相同，便于实现实时控制。

第三步：

解决陀螺群动态构型奇异的问题。当SGCMG系统处于奇异状态时，SGCMG将无法在某些方向上为航天器提供控制力矩，所以必须尽量避免SGCMG系统的动态奇异。但是，并不是所有的奇异状态都是‘有害’的。有时航天器为了得到足够大的转动角速度，陀螺群必须进入奇异构型。现有的控制律未对这些情况进行合理的区分，因此就会限制这种的‘有益’的奇异构型，从而阻碍航天器得到必要的转动速度。

为此，发明人设计了新的性能指标：

$\underset{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z}{\min }{q}_2=\underset{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z}{\text{min}}{\{{\mathrm{\β}}_T-\mathrm{\β}\left(t\right)-[{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o\left(t\right)+{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\left(t\right)]\·\mathrm{\Δt}\}}^2---\left(12\right)$

其中，β_T-给定的最终框架角向量。β_T的取值对应不同的应用任务要求；β(t)-当前时刻(t时刻)的SGCMG框架角，将通过传感器测量。(8)式的功能在于：它可以使得陀螺群的动态构型总是朝着一个给定的值β_T变化。当航天器需要较大转动角速度时，它的作用将不很明显；而当航天器的转动角速度较小时，它可以保证陀螺群的动态框架构型迅速的趋进给定值β_T。

为了进行求解，将(12)式与空转指令联立得到：

$\left\{\begin{array}{c}L\left(t\right){\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\left(t\right)=0\\ \underset{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z}{\min }{q}_2\end{array}\right.---\left(13\right)$

(13)式的解析解为：

${\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\left(t\right)=\left\{\right[{\mathrm{\β}}_T-\mathrm{\β}\left(t\right)]/\mathrm{\Δt}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o\left(t\right)\}\{E_n-L^T\left(t\right){\left[L\left(t\right)L^T\left(t\right)\right]}^{-1}L\left(t\right)\}---\left(14\right)$

这里E_n-n×n的单位矩阵。

求解流程详见附图7。

第四步：

式(14)的解

保证框架角，经时间Δt，变为β_T。但由于

一般较大，所以需对

进行加权修正，使其满足SGCMG的框架角速度的限制((4)式)。

将(3)，(4)联立求解得到：

α^-≤α≤α⁺    (15)

其中， ${\mathrm{\α}}^{-}=\underset{i=\stackrel{\‾}{1,n}}{\max }\min \{\frac{-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\max }-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\mathrm{oi}}}{\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\right|};\frac{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\max }-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\mathrm{oi}}}{\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\right|}\}\≤0,$ ${\mathrm{\α}}^{+}=\underset{i=\stackrel{\‾}{1,n}}{\min }\max \{\frac{-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\max }-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\mathrm{oi}}}{\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\right|};\frac{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\max }-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\mathrm{oi}}}{\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\right|}\}\≥0.$ 因此，α必须在区间(15)上取值。为了选择最优的α，观察以下函数

${\mathrm{\γ}}_{\mathrm{\α}}^{*}\left(\mathrm{\α}\right)={\{{\mathrm{\β}}_T-\mathrm{\β}\left(t\right)-[{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o\left(t\right)+\mathrm{\α}\·{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\left(t\right)]\·\mathrm{\Δt}\}}^2---\left(16\right)$

其中

取值为(14)的解。当α＝1时，有 ${\mathrm{\γ}}_{\mathrm{\α}}^{*}\left(1\right)=\underset{{\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}}}_z}{\min }{q}_2,$ 函数(16)取最小值。又因为(16)在区间[0，1]上是单调递减的，所以

即当α⁺≥1时，α＝1；当α⁺＜1时，α＝α⁺。这样通过引入修正参数α，就可以保证q₂取最小值(如图4所示)。求解过程详见附图8。

因此，在不影响控制速度的情况下，将对控制起到辅助的作用。一般情况下，

将尽可能的将SGCMG的框架角控制到给定位置β_T。如果

需要占用更多资源，

在加权系数α的调节下，减少对资源的占有。这样就解决了SGCMG控制速度、框架角速度限制以及奇异的问题。

本发明的特征在于：

它依次含有以下步骤：

第一步，初始化：

向单框架力矩陀螺群，即SGCMG群的框架角速度向量，即

的控制计算机输入以下物理参数：

n为单框架力矩陀螺的数量，n≥3，以及陀螺群的空间构型；

单框架力矩陀螺的下述参数：

角动量h，单位kg·m²/s；框架角速度的上限

单位度/s；框架角加速度的上限

单位度/s²；航天器的转动惯量矩阵I；太阳帆板的结构参数；

姿态机动的边界条件：

初始角速度ω₀，初始姿态四元数Λ₀，终止角速度ω_T，终止姿态四元数Λ_T，陀螺群奇异度指标σ_L，0≤σ_L≤1；

该航天器需要进行快速大角度姿态机动的角度以及角速度；

单框架力矩陀螺群的控制力矩向量M^*(t)，在每个采样周期，根据姿态观测器提供的姿态四元数

和姿态角速度

算出，并由控制力矩控制计算机提供给框架角速度控制计算机；

陀螺框架角速度向量

是各力矩陀螺框架角速度所组成的向量，在框架角速度控制计算机中算出，并由框架角速度控制计算机提供给各陀螺的框架驱动电机；

框架角向量β(t)是各力矩陀螺的转角所组成的向量，通过框架角观测器测得，然后反馈给所述的框架角速度控制计算机；

所述的控制力矩控制计算机、框架角速度控制计算机、单框架力矩陀螺群、框架角观测器以及姿态观测器所组成的闭环系统安装在所要控制的航天器上；

此外，还以软件形式设计了以下数学模型：

以向量形式表述的单框架力矩陀螺群控制的数学模型：

$L\left(t\right)\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\left(t\right)=M^{*}\left(t\right),$

其中， $\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\left(t\right)={[{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_1\left(t\right),{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_2\left(t\right)...{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_n\left(t\right)]}^T,$ n≥3， $L\left(t\right)=\∂H\left(t\right)/\∂\mathrm{\β}\left(t\right)=L\left(\mathrm{\β}\right)=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\∂H_x}{\∂{\mathrm{\β}}_1}& \frac{\∂H_x}{\∂{\mathrm{\β}}_2}& \·\·\·& \frac{\∂H_x}{\∂{\mathrm{\β}}_n}\\ \frac{\∂H_y}{\∂{\mathrm{\β}}_1}& \frac{\∂H_y}{\∂{\mathrm{\β}}_2}& \·\·\·& \frac{\∂H_y}{\∂{\mathrm{\β}}_n}\\ \frac{\∂H_z}{\∂{\mathrm{\β}}_1}& \frac{\∂H_z}{\∂{\mathrm{\β}}_2}& \·\·\·& \frac{\∂H_z}{\∂{\mathrm{\β}}_n}\end{array}\right],$ i＝(x，y，z)是星体坐标系， $H\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{h}_i\left(t\right)=f\left(\mathrm{\β}\left(t\right)\right),$ H(t)为单框架力矩陀螺群的和角动量，即所述的各力矩陀螺角动量的和，而h_i＝j_iΩ_i，j_i为陀螺i的惯量矩阵；β(t)＝[β₁(t)，β₂(t)…β_n(t)]^T，为所述的单框架力矩陀螺群的框架角向量；

框架角速度的数学模型：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\left(t\right)={\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_O\left(t\right)+\mathrm{\α}{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\left(t\right),$

其中，

为控制指令决定的框架角速度，即控制角速度；

为空转指令决定的框架角速度，即空转角速度；α为空转角速度

的加权系数，0≤α≤1；

航天器快速大角度机动控制的最优单框架力矩陀螺控制的数学模型：

$\underset{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o}{\min }{q}_1=\underset{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o}{\min }\underset{i=\stackrel{\‾}{1,n}}{\max }\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\mathrm{oi}}\left(t\right)\right|,$

即，先从n个单框架力矩陀螺中选取框架角速度的绝对值最大的一个力矩陀螺，再在其中选取最小的框架角速度；

保证陀螺群动态构型趋进给定的最终框架角向量β_T的最优控制数学模型：

在航天器大角度姿态控制的过程中，通过最小化β_T与(t+Δt)时刻的框架角的差来求解空转指令所决定的框架角速度

$\underset{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z}{\min }{q}_2=\underset{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z}{\text{min}}{\{{\mathrm{\β}}_T-\mathrm{\β}\left(t\right)-[{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o\left(t\right)+{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\left(t\right)]\·\mathrm{\Δt}\}}^2,$

其中，β(t)由框架角观测器测出，Δt采样周期；

第二步，设定n＝4，根据下述联立方程：

$\left\{\begin{array}{c}L\left(t\right){\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o\left(t\right)=M^{*}\left(t\right)\\ \underset{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o}{\min }{q}_1=\underset{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o}{\min }\underset{i=\stackrel{\‾}{1,n}}{\max }\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\mathrm{oi}}\left(t\right)\right|\end{array}\right.,$

在航天器快速大角度机动控制的阶段，先从n个单框架力矩陀螺中选取框架角速度的绝对值最大的一个力矩陀螺，再在其中选取最小的框架角速度作为最优解，它依次含有以下步骤：

第2.1步，将控制指令确定的n个框架角速度向量

表述为：

${\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_O\left(t\right)={(\underset{1\×3}{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o^{\left(1\right)}},{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{o4})}^T,$

其中，

为向量

的前三项，是一个1×3的向量；为向量

的第四项，是一个标量；相应的 $L\left(t\right)=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}\underset{3\×3}{L_{11}}& \underset{3\×1}{L_{\text{12}}}\\ \underset{1\×3}{L_{21}}& \underset{1\×1}{L_{22}}\end{array}\right];\end{array}$

第2.2步，令 $x={\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{o4},$ $Z={\left(\right|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{o1}|,|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{o2}|,|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{o3}|,|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{o4}\left|\right)}^T,$ 为控制指令所对应的框架角速度向量的绝对值，满足以下方程：

Z＝|C₀+C₁x|，

其中， $C_0={(c_0^T,0)}^T;$ $C_1={(c_1^T,1)}^T;$ c₀＝L^-1 ₁₁M^*(t)c₀，是一个3×1的向量；c₁＝-L^-1 ₁₁L₁₂，是一个3×1的向量；

在(x，Z)平面上，n个框架角速度的绝对值函数Z为一个折线族；

由此得到

$\underset{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o}{\min }{q}_1=\underset{x}{\min }\underset{i=\stackrel{\‾}{1,n}}{\max }{Z}_i\left(x\right),$

即，将求解转化成为：在(x，Z)平面上，x的可能取值区间

上，求取n组折线Z_i(x)的上边界，再从上边界中求取最小值所对应的x、Z_i(x)的值；

这一步骤依次含有以下各步：

第2.2.1步，在框架角速度控制计算机中，计算出折线族Z的所有交点，再把数据存入数组Q中；

第2.2.2步，求解所有交点所在位置的函数Z的最大值，得到上边界s，存入数组D中；

第2.2.3步，比较最大值数组D，并选出其中最小值作为

的解；

第三步，根据下面的联立方程

$\left\{\begin{array}{c}L\left(t\right){\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\left(t\right)=0\\ \underset{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z}{\min }{q}_2=\underset{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z}{\min }{\{{\mathrm{\β}}_T-\mathrm{\β}\left(t\right)-[{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o\left(t\right)+{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\left(t\right)]\·\mathrm{\Δt})\}}^2\end{array}\right.,$

选取空转框架角速度

使得陀螺框架角向量

与最终框架角向量β_T在(t+Δt)时刻的差最小；并将该单框架力矩陀螺的框架角速度

作为空转指令下的框架角速度的最优解，它有以下解析形式：

${\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\left(t\right)=[({\mathrm{\β}}_T-\mathrm{\β}\left(t\right))/\mathrm{\Δt}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o\left(t\right)][E_n-L^T\left(t\right){\left(L\left(t\right)L^T\left(t\right)\right)}^{-1}L\left(t\right)]$

其中，E_n为n×n的单位矩阵，采样时间间隔Δt预设，β(t)由框架角观测器测出；

第四步，按下式求空转指令所对应的框架角速度

的加权系数α，使单框力矩陀螺群的框架角速度满足：

$\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_i\left(t\right)\right|\≤{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\max };i=\stackrel{\‾}{1,n},$

即α应满足

α^-≤α≤α⁺，

其中， ${\mathrm{\α}}^{-}=\underset{i=\stackrel{\‾}{1,n}}{\max }\min \{\frac{-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\max }-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\mathrm{oi}}}{\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\right|};\frac{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\max }-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\mathrm{oi}}}{\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\right|}\}\≤0,$ ${\mathrm{\α}}^{+}=\underset{i=\stackrel{\‾}{1,n}}{\min }\max \{\frac{-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\max }-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\mathrm{oi}}}{\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\right|};\frac{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\max }-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\mathrm{oi}}}{\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\right|}\}\≥0;$

第五步，得到修正后的

和α，

$\underset{{\mathrm{\β}}_Z}{\min }{q}_2=\underset{{\mathrm{\β}}_Z}{\text{min}}{\{{\mathrm{\β}}_T-\mathrm{\β}\left(t\right)-[{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o\left(t\right)+\mathrm{\α}\·{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\left(t\right)]\·\mathrm{\Δt}\}}^2,$

优化α为：

通过上式计算的α保证了q₂取最小值，即α为空转指令所对应的框架角速度的最优解

的最优加权系数；

第六步，由步骤3～6得到：

单框架力矩陀螺群的框架角速度向量

$\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\left(t\right)={\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_O\left(t\right)+\mathrm{\α}{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\left(t\right);$

第七步，框架角速度控制计算机将所求的框架角速度

提供给单框力矩陀螺群的各个框架角驱动电机进行控制；然后再次测量并反馈框架角向量。

综上所述，本项发明是针对应用SGCMG控制的高精度航天器而设计。通过考虑陀螺框架角速度、陀螺群奇异等问题，提出了新的设计方案。考察工程实践要求，提出了新的性能指标，并在此基础上设计了新的SGCMG最优控制律。通过理论分析以及计算机仿真试验发现，新控制律将有助于提高航天器的大角度机动控制的精度、速度以及连续机动能力。

附图说明：

图1.SGCMG工作原理简图。

图2.双平行结构SGCMG-4示意图。

图3.控制指令角速度求解示意图。

其中四条细折线表示折线族Z(x)；粗折线s代表Z(x)的上边界。

图4.选取加权系数α的示意图。

图5.本发明的控制程序流程图。

图6.本发明的控制指令程序流程图。

图7.本发明的空转指令求解程序流程图。

图8.求解加权系数α的程序流程图。

图9.航天器姿态控制原理框图。

图10.航天器角速度的变化曲线(控制律A)。

其中标记(◆，■，▲)分别代表航天器角速度在形体坐标系(x，y，z)下的投影分量。

图11.航天器角速度的变化曲线(控制律B)。

其中标记(◆，■，▲)分别代表航天器角速度在形体坐标系(x，y，z)下的投影分量。

图12.姿态四元数的变化曲线(控制律A)。

其中标记(●，◆，■，▲)分别代表航天器姿态四元数的四个分量(λ₀，λ₁，λ₂，λ₃)。

图13.姿态四元数的变化曲线(控制律B)。

其中标记(●，◆，■，▲)分别代表航天器姿态四元数的四个分量(λ₀，λ₁，λ₂，λ₃)。

图14.陀螺框架角的变化曲线(控制律A)。

其中标记(●，◆，■，▲)分别代表陀螺框架角(β₁，β₂，β₃，β₄)。

图15.陀螺框架角的变化曲线(控制律B)。

其中标记(●，◆，■，▲)分别代表陀螺框架角(β₁，β₂，β₃，β₄)。

图16.陀螺群奇异度的变化曲线(控制律A)。

图17.陀螺群奇异度的变化曲线(控制律B)。

图18.陀螺框架角速度的变化曲线(控制律A)。

其中标记(●，◆，■，▲)分别代表陀螺框架角速度(

)。

图19.陀螺框架角速度的变化曲线(控制律B)。

其中标记(●，◆，■，▲)分别代表陀螺框架角速度(

)。

图20.特定飞行任务中角速度模的变化规律。

图21.特定飞行任务中陀螺群奇异度的变化规律。

具体实施方式：

航天器姿态控制的一般流程：首先通过姿态确定系统确定航天器当前的姿态四元数

姿态角速度

在计算控制力矩模块中，通过对当前状态量

与所需状态量(Λ^*(t)，ω^*(t))的比较，计算出所需的控制力矩向量M^*(t)。将信号M^*(t)传给SGCMG控制律模块。通过所设计的新控制律求解

然后将

提交给硬件，通过SGCMG实现航天器的转动控制。最后姿态确定系统将确定新的姿态参数，并重复这一过程(见图9，图中SGCMG控制律模块为本发明的内容)。

仿真计算的目的在于检验SGCMG控制律的合理性与可行性。试验虽不涉及具体硬件，但是通过和已有控制律的对比以及模拟特定控制任务，实现了对控制律性能的评测。

仿真计算程序实现图9中的计算控制力矩、SGCMG控制律模块。航天器姿态确定以及硬件实现模块被认为是理想环节。仿真中的比较环节，比较相同条件下不同控制律的表现情况。而特定任务模拟环节，将提供航天器连续进行7次大角度机动控制时，新控制律的表现情况。

(1)与已有的SGCMG控制律的对比

选择目前应用较为广泛的一种SGCMG控制律，该控制律将保证性能指标这时可以得到解析解：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}=L^T\left(t\right){\left(L\left(t\right)L^T\left(t\right)\right)}^{-1}{M}^{*}\left(t\right)---\left(17\right)$

下面通过仿真试验对这两种控制律(发明的控制律-控制律A；控制律(17)  -控制律B)进行比较。

假设航天器需要进行180°的快速(平均转动角速度1°/s )大角度姿态机动。姿态机动的边界条件为：初始角速度ω₀＝(0，0，0)°/s；初始姿态四元数 ${\mathrm{\Λ}}_0={\mathrm{\λ}}_0+{\mathrm{\λ}}_0=(\mathrm{0,1}/\sqrt{3},1/\sqrt{3},1/\sqrt{3});$ 终止角速度ω_T＝(0，0，0)°/s；终止姿态四元数Λ_T＝(1，0，0，0)。航天器转动惯量矩阵 $I=\left(\begin{array}{ccc}1500& 0& 0\\ 0& 3000& 0\\ 0& 0& 4000\end{array}\right).$ 太阳帆板(弹性杆)的结构参数为：阻尼系数ε₁＝0.41/s，ε₂＝0.35l/s；振动频率w₁＝7.75l/s，w₂＝8.37l/s；耦合系数 $v_1=4.6\sqrt{\mathrm{kg}}\·m,$ $v_2=0.51\sqrt{\mathrm{kg}}\·m.$ SGCMG的参数为：h＝25kg*m²/s， ${\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\max }=10o/s,$ ${\stackrel{\·\·}{\mathrm{\β}}}_{\max }=30o/s^2;$ 陀螺群：4-SGCMG，双平行结构。陀螺群奇异度指标 ${\mathrm{\σ}}_L=\frac{\det \left(L\left(t\right)L^T\left(t\right)\right)}{P},$ 其中 $P=\underset{\mathrm{\β}}{\max }\det \left(L\left(\mathrm{\β}\right)L^T\left(\mathrm{\β}\right)\right).$ 因此，0≤σ_L≤1。陀螺群奇异度σ_L越大，陀螺群动态构型越好，反之则越差。在附图10-19中，给出了航天器姿态机动过程中，使用不同控制律(A，B)的相应参数变化曲线：

通过对仿真结果的分析得出以下结论：

1.通过分析附图10-13发现，使用控制律A或B均可实现所要求的高精度、快速大角度机动控制。平均转动角速度1°/s，控制误差：姿态角误差ε_Λ＜0.1°；角速度误差ε_Λ＜0.01°。

2.通过分析陀螺群运转的属性(附图14-19)发现，使用不同的SGCMG控制律将有相当大的差别。控制律A在完成控制的前提下，还保证了控制结束时陀螺群的良好动态构型，σ_L＝0.81(附图16)。而控制律B在控制结束时却使得陀螺群的动态构型变得很糟，σ_L＝0.01(附图17)。

3.在40～100s的区域内，为了使航天器达到较大的转动角速度，无论使用控制律A或B，陀螺群都将进入有益的奇异状态，这是一种有益的、必然的趋势。所不同的是，控制律A在100s以后将陀螺群动态构型向着一个良好的方向导向，并最终实现了控制结束时的良好动态构型。而控制律B却不能实现这一效果。

4.由于使用控制律A可以保证控制结束时陀螺群的良好动态构型，因此，航天器的下一次姿态机动将开始于一种较为理想的状态。这大大提高了航天器的连续姿态机动能力。

(2)特定飞行任务模拟仿真

这一仿真试验旨在表现新控制律的连续控制能力。初始条件见表1，任务完成情况见表2，附图20，21分别给出了角速度模的变化规律以及陀螺群奇异度的变化规律。图中的虚线为每次姿态机动控制初始时刻的标志。通过分析连续7次的姿态机动控制的完成情况，发现新的SGCMG控制律具有相当高的连续机动能力。

任务	ω<sub>0</sub>，度/s	ω<sub>T</sub>，度/s	转角	注释
					1	(0，0，0)	(0，0，0)	30°	ω<sub>0</sub>＝ω<sub>T</sub>＝0
2	(0，0，0)	(0.07，0.1，0)	45°	ω<sub>0</sub>＝0，ω<sub>T</sub>＝0
					3	(0.07，0.1，0)	(-0.035，-0.05，0)	120°	(ω<sub>0</sub>||ω<sub>T</sub>)λ<sub>0</sub>
4	(-0.035，-0.05，0)	(-0.1，0.07，0)	60°	ω<sub>0</sub>ω<sub>T</sub>λ<sub>0</sub>
					5	(-0.1，0.07，0)	(0，0，0.1)	0°	ω<sub>0</sub>ω<sub>r</sub>，λ<sub>0</sub>＝(0，0，0)
6	(0，0，0.1)	(0，0，-0.05)	180°	ω<sub>0</sub>||ω<sub>T</sub>||λ<sub>0</sub>
					7	(0，0，-0.05)	(0，0，0)	90°	ω<sub>0</sub>λ<sub>0</sub>，ω<sub>T</sub>＝0

表1姿态机动控制的初始条件

表2姿态机动控制的完成情况

Claims (1)

1.航天器大角度机动控制的单框架力矩陀螺群的最优控制法，其特征在于，它依次含有以下步骤：

第一步，初始化：

向单框架力矩陀螺群，即SGCMG群的框架角速度向量，即

的控制计算机输入以下物理参数：

n为单框架力矩陀螺的数量，n≥3，以及陀螺群的空间构型；

单框架力矩陀螺的下述参数：

角动量h，单位kg·m²/s；框架角速度的上限单位度/s；框架角加速度的上限单位度/s²；航天器的转动惯量矩阵I；太阳帆板的结构参数；

姿态机动的边界条件：

初始角速度ω₀，初始姿态四元数Λ₀，终止角速度ω_T，终止姿态四元数Λ_T，陀螺群奇异度指标σ_L，0≤σ_L≤1；

该航天器需要进行快速大角度姿态机动的角度以及角速度；

单框架力矩陀螺群的控制力矩向量M^*(t)，在每个采样周期，根据姿态观测器提供的姿态四元数和姿态角速度

算出，并由控制力矩控制计算机提供给框架角速度控制计算机；

陀螺框架角速度向量

是各力矩陀螺框架角速度所组成的向量，在框架角速度控制计算机中算出，并由框架角速度控制计算机提供给各陀螺的框架驱动电机；

框架角向量β(t)是各力矩陀螺的转角所组成的向量，通过框架角观测器测得，然后反馈给所述的框架角速度控制计算机；

所述的控制力矩控制计算机、框架角速度控制计算机、单框架力矩陀螺群、框架角观测器以及姿态观测器所组成的闭环系统安装在所要控制的航天器上；

此外，还以软件形式设计了以下数学模型：

以向量形式表述的单框架力矩陀螺群控制的数学模型：

$L\left(t\right)\stackrel{\text{.}}{\mathrm{\β}}\left(t\right)=M^{*}\left(t\right),$

其中， $\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\left(t\right)={[{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_1\left(t\right),{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_2\left(t\right)...{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_n\left(t\right)]}^T,$ n≥3， $L\left(t\right)=\∂H\left(t\right)/\∂\mathrm{\β}\left(t\right)=L\left(\mathrm{\β}\right)=\left[\begin{array}{cccc}\frac{{\∂H}_x}{{\∂\mathrm{\β}}_1}& \frac{{\∂H}_x}{{\∂\mathrm{\β}}_2}& ...& \frac{{\∂H}_x}{{\∂\mathrm{\β}}_n}\\ \frac{{\∂H}_y}{{\∂\mathrm{\β}}_1}& \frac{{\∂H}_y}{{\∂\mathrm{\β}}_2}& ...& \frac{{\∂H}_y}{{\∂\mathrm{\β}}_n}\\ \frac{{\∂H}_z}{{\∂\mathrm{\β}}_1}& \frac{{\∂H}_z}{{\∂\mathrm{\β}}_2}& ...& \frac{{\∂H}_z}{{\∂\mathrm{\β}}_n}\end{array}\right],$ i＝(x，y，z)是星体坐标系， $H\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{h}_i\left(t\right)=f\left(\mathrm{\β}\left(t\right)\right),$ H(t)为单框架力矩陀螺群的和角动量，即所述的各力矩陀螺角动量的和，而h_i＝j_iΩ_i，j_i为陀螺i的惯量矩阵；

β(t)＝[β₁(t)，β₂(t)...β_n(t)]^T，为所述的单框架力矩陀螺群的框架角向量；

框架角速度的数学模型：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\left(t\right)={\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_O\left(t\right)+\mathrm{\α}{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\left(t\right),$

其中，

为控制指令决定的框架角速度，即控制角速度；

为空转指令决定的框架角速度，即空转角速度；α为空转角速度

的加权系数，0≤α≤1；

航天器快速大角度机动控制的最优单框架力矩陀螺控制的数学模型：

$\underset{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o}{\min }{q}_1=\underset{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o}{\min }\underset{i=\stackrel{\‾}{1,n}}{\max }\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\mathrm{oi}}\left(t\right)\right|,$

即，先从n个单框架力矩陀螺中选取框架角速度的绝对值最大的一个力矩陀螺，再在其中选取最小的框架角速度；

保证陀螺群动态构型趋进给定的最终框架角向量β_T的最优控制数学模型：

在航天器大角度姿态控制的过程中，通过最小化β_T与(t+Δt)时刻的框架角 $\{\mathrm{\β}\left(t\right)+[{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o\left(t\right)+{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\left(t\right)]\·\mathrm{\Δt}\}$ 的差来求解空转指令所决定的框架角速度

$\underset{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z}{\min }{q}_2=\underset{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z}{\min }{\{{\mathrm{\β}}_T-\mathrm{\β}\left(t\right)-[{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o\left(t\right)+{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\left(t\right)]\·\mathrm{\Δt}\}}^2,$

其中，β(t)由框架角观测器测出，Δt采样周期；

第二步，设定n＝4，根据下述联立方程：

$\left\{\begin{array}{c}L\left(t\right){\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o\left(t\right)=M^{*}\left(T\right)\\ \underset{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o}{\min }{q}_1=\underset{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o}{\min }\underset{i=\stackrel{\‾}{1,n}}{\max }\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\mathrm{oi}}\left(t\right)\right|\end{array}\right.,$

在航天器快速大角度机动控制的阶段，先从n个单框架力矩陀螺中选取框架角速度的绝对值最大的一个力矩陀螺，再在其中选取最小的框架角速度作为最优解，它依次含有以下步骤：

第2.1步，将控制指令确定的n个框架角速度向量

表述为：

${\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o\left(t\right)={({\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\underset{1\×3}{o}}^{\left(i\right)},{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{o4})}^T,$

其中，

为向量的前三项，是一个1×3的向量；

为向量

的第四项，是一个标量；相应的 $L\left(t\right)=\left[\begin{array}{cc}\underset{3\×3}{L_{11}}& \underset{3\×1}{L_{12}}\\ \underset{1\×3}{L_{21}}& \underset{1\×1}{L_{22}}\end{array}\right];$

第2.2步，令 $x={\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{o4},$ $Z={\left(\right|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{o1}|,|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{o2}|,|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{o3}|,|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{o4}\left|\right)}^T,$ 为控制指令所对应的框架角速度向量的绝对值，满足以下方程：

Z＝|C₀+C₁x|，

其中， $C_0={(c_0^T,0)}^T;$ $C_1={(c_1^T,1)}^T;$ c₀＝L^-1 ₁₁M^*(t)c₀，是一个3×1的向量；c₁＝-L^-1 ₁₁L₁₂，是一个3×1的向量；

在(x，Z)平面上，n个框架角速度的绝对值函数Z为一个折线族；由此得到

$\underset{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o}{\min }{q}_1=\underset{x}{\min }\underset{i=\stackrel{\‾}{1,n}}{\max }{Z}_i\left(x\right),$

即，将求解

转化成为：在(x，Z)平面上，x的可能取值区间

上，求取n组折线Z_i(x)的上边界，再从上边界中求取最小值所对应的x、Z_i(x)的值；

这一步骤依次含有以下各步：

第2.2.1步，在框架角速度控制计算机中，计算出折线族Z的所有交点，再把数据存入数组Q中；

第2.2.2步，求解所有交点所在位置的函数Z的最大值，得到上边界s，存入数组D中；

第2.2.3步，比较最大值数组D，并选出其中最小值作为

的解；

第三步，根据下面的联立方程

$\left\{\begin{array}{c}L\left(t\right){\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\left(t\right)=0\\ \underset{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z}{\min }{q}_2=\underset{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z}{\min }{\left\{{\mathrm{\β}}_T-\mathrm{\β}\left(t\right)-[{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o\left(t\right)+{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\left(t\right)]\·\mathrm{\Δt})\right\}}^2\end{array}\right.,$

选取空转框架角速度使得陀螺框架角向量

与最终框架角向量β_T在(t+Δt)时刻的差最小；并将该单框架力矩陀螺的框架角速度

作为空转指令下的框架角速度的最优解，它有以下解析形式：

${\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\left(t\right)=[({\mathrm{\β}}_T-\mathrm{\β}\left(t\right))/\mathrm{\Δt}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o\left(t\right)][E_n-L^T\left(t\right){\left(L\left(t\right)L^T\left(t\right)\right)}^{-1}L\left(t\right)]$

其中，E_n为n×n的单位矩阵，采样时间间隔Δt预设，β(t)由框架角观测器测出；

第四步，按下式求空转指令所对应的框架角速度

的加权系数α，使单框力矩陀螺群的框架角速度满足：

$\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_i\left(t\right)\right|\≤{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\max };i=\stackrel{\‾}{1,n},$

即α应满足

α^-≤α≤α⁺，

其中， ${\mathrm{\α}}^{-}=\underset{i=\stackrel{\‾}{1,n}}{\max }\min \{\frac{-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\max }-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\mathrm{oi}}}{\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\right|};\frac{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\max }-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\mathrm{oi}}}{\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\right|}\}\≤0,$ ${\mathrm{\α}}^{+}=\underset{i=\stackrel{\‾}{1,n}}{\min }\max \{\frac{-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\max }-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\mathrm{oi}}}{\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\right|};\frac{{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\max }-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{\mathrm{oi}}}{\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\right|}\}\≥0;$

第五步，得到修正后的和α，

$\underset{\mathrm{\βz}}{\min }{q}_2=\underset{\mathrm{\βz}}{\min }{\{{\mathrm{\β}}_T-\mathrm{\β}\left(t\right)-[{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_o\left(t\right)+\mathrm{\α}\·{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\left(t\right)]\·\mathrm{\Δt}\}}^2,$

优化α为：

通过上式计算的α保证了q₂取最小值，即α为空转指令所对应的框架角速度的最优解

的最优加权系数；

第六步，由步骤3～6得到：

单框架力矩陀螺群的框架角速度向量

$\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\left(t\right)={\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_O\left(t\right)+\mathrm{\α}{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_z\left(t\right);$

第七步，框架角速度控制计算机将所求的框架角速度

提供给单框力矩陀螺群的各个框架角驱动电机进行控制；然后再次测量并反馈框架角向量。

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