CN113467241B - 凸曲率着陆轨迹燃耗优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开的凸曲率着陆轨迹燃耗优化方法，属于深空探测技术领域。本发明将优化问题中的指标和约束均处理为符合二阶锥规划问题的形式，使用内点法求解燃耗优化轨迹，具有优化速度快且无局部最优解的优势；将凸优化方法引入凸曲率轨迹设计中，将凸曲率轨迹特性转化为状态矢量的角度约束，通过构造含曲率相关约束的燃耗优化二阶锥规划问题，使着陆轨迹保留凸曲率轨迹在避障和观测方面既有优势的同时，有效兼顾燃料经济性；将曲率约束和轨迹实时优化方法相结合，设计参数化的曲率调节机制，根据着陆区实际地形条件，调节曲率约束序列函数中的可调参数值，在保证较高燃耗经济性的同时定量控制附着轨迹的弯曲程度，以适应不同任务条件下的各种避障需求。

Description

凸曲率着陆轨迹燃耗优化方法

技术领域

本发明涉及一种行星着陆轨迹优化方法，尤其涉及一种动力下降段几何凸 曲率轨迹优化方法，属于深空探测技术领域。

背景技术

随着火星和小天体探测任务的深入开展，探测任务的复杂程度不断提升， 着陆探测已经成为当前主要的探测手段。由于着陆器在动力下降段受到大气阻力 或不规则引力场等因素带来的复杂扰动，自主实时制导与控制的精度有限。同时 由于着陆器对动力学环境和地形环境的自主感知能力较弱，在不确定性较强的复 杂地形条件下着陆将会面临较大风险。因此，早期的着陆探测任务一般选取地形 开阔平坦的区域作为预定着陆区。为了获取具有更高科学价值的探测数据，未来 的行星着陆任务需要在表面地形更加崎岖，障碍分布更加广泛的区域实施着陆。 为增强着陆器的自主风险应对能力，一方面需要具备更高效的环境感知与障碍识 别功能，另一方面需要设计更加稳健的着陆制导策略，使着陆器在地形障碍不确 知的情况下尽可能规避潜在风险。传统的能量最优反馈制导方法由于无法处理地 形障碍带来的禁飞区约束，在复杂地形着陆任务中不再适用。基于多项式参数优化的着陆轨迹设计方法针对具体的地形障碍设置禁飞区，但在地形环境不确知的 条件下还需要设计更加通用的轨迹形状约束，以降低碰撞风险。曲率制导方法在 能量最优反馈制导律和多项式轨迹的基础上，通过控制着陆轨迹曲率函数的符 号，使着陆器始终沿几何凸曲率轨迹下降。在复杂地形着陆任务中，几何凸曲率 轨迹同时具有提高地形障碍规避能力和扩大着陆区域的可观测范围两大优势。但 在现有方法中，曲率调节规则和使用的调节方法还比较粗糙，属于一种确定性制 导方法，仅能够定性地控制曲率的正负，不能定量调节曲率的数值，也不能兼顾 附着轨迹设计中的其他性能指标的优化，如燃耗、飞行时间等。综上，曲率制导 方法的进一步完善，需要将曲率约束和轨迹实时优化方法相结合，在保持几何凸 曲率原有避障和观测优势的基础上，考虑对燃料消耗等指标的优化，同时设计参 数化的曲率调节机制，定量控制附着轨迹的弯曲程度，提高算法对不同地形条件 的适用性。

发明内容

本发明公开的凸曲率着陆轨迹燃耗优化方法要解决的技术问题为：在凸曲率 轨迹约束下优化着陆轨迹燃耗以实现行星表面稳健着陆。本发明具有如下优点： (1)采用凸优化方法进行轨迹燃耗优化，优化速度快，适用于着陆器自主实时 制导解算；(2)使用凸曲率轨迹，在不确知环境下着陆具有障碍易规避和着陆区 早观测的优势；(3)曲率约束具备参数可调节性，在保证较高的燃耗经济性的同 时能够控制着陆轨迹的弯曲程度，以适应不同任务条件下的各种避障需求。

本发明的目的是通过下述技术方案实现的。

针对现有曲率制导方法中曲率调节策略受解析制导律特性制约，不能有效优 化燃料消耗的问题，本发明公开的凸曲率着陆轨迹燃耗优化方法，在保留凸曲率 着陆轨迹几何特性的基础上，使用二阶锥规划方法，增强着陆轨迹的燃料经济性。 此外，通过设计时变的凸曲率二阶锥约束，用于定量控制着陆轨迹的整体弯曲程 度，以适应不同尺寸，不同分布状况的地形障碍，提高着陆区域地形不确知条件 下的着陆安全性。本发明具体实现方法为：根据给定的着陆器初始飞行状态和末 端期望状态以及飞行时间信息，构造无曲率约束的着陆轨迹二阶锥规划问题，使 用内点法求解标准燃耗优化轨迹，将其作为基础解。分析基础解的轨迹曲率特征， 将轨迹凸曲率约束转化为状态矢量间的角度约束，并将角度约束进一步松弛为二 阶锥约束的形式，综合实际避障需求设计带参数的约束序列函数。根据基础解特 性给定约束序列函数待调参数的基准值，并将基准值下的新约束加入原二阶锥规划问题中，使用内点法得到标准燃耗优化凸曲率解。从基准值出发，改变参数值， 确定可行解存在的参数选取范围，得到弯曲程度不同的凸曲率燃耗优化轨迹族， 针对所述曲率燃耗优化轨迹族，根据着陆区实际地形条件，在曲率约束序列函数 参数的可调范围内选取合适的参数值，保证较高的燃耗经济性的同时能够控制着 陆轨迹的弯曲程度，以适应不同任务条件下的各种避障需求。

本发明公开的凸曲率着陆轨迹燃耗优化方法，包括如下步骤：

步骤一、根据给定的着陆器初始飞行状态和末端期望状态以及飞行时间信 息，构造无曲率约束的着陆轨迹二阶锥规划问题，使用内点法求解标准燃耗优化 轨迹，将其作为基础解。

着陆器在目标天体表面着陆的动力下降阶段，除了受到执行机构提供的控制 力外，还受到目标天体引力作用、天体自旋带来的切向力和惯性力，以及在有大 气行星表面受到的气动力。以预定着陆点为原点建立表面固连坐标系oxyz，其中x轴和y轴在当地基准水平面内，z轴垂直于基准水平面向上。定义着陆器质心 在oxyz系中的位置矢量为r＝[r_xr_y r_z]^T，速度矢量为v＝[v_x v_y v_z]^T，总质 量为m。整体状态矢量为Z＝[r^T v^T m]^T。三自由度动力学方程为

式中，ω为行星自旋角速度矢量，g为行星表面重力加速度矢量，F_c为执行机 构输出的控制力，F_D、F_L分别为气动阻力和升力，I_sp为发动机比冲，g_E为地 球海平面重力加速度的模。在凸曲率着陆轨迹燃耗优化过程中，应根据着陆任务 目标行星的特性忽略自转加速度项或气动力加速度项。

动力下降段飞行时间为t₀～t_f，行星着陆轨迹的燃耗优化问题，给定初始状 态Z(t₀)和末端运动状态r(t_f)、v(t_f)，以及推力幅值约束

T_min≤||T_C||≤T_max (2)

式中，T_min为发动机最小推力幅值，T_max为发动机能够提供的最大推力幅值。

优化指标J为全过程燃料消耗，即

为将上述优化问题转化为二阶锥规划形式，进行约束松弛。引入松弛变量Γ， 将动力学方程(1)中质量微分方程改写为

松弛变量Γ满足约束

定义如下有关状态变量和控制变量的变量σ、u和p以将动力学方程线性化

动力学方程改写为

式中，D为控制加速度以外的环境力及各项扰动。整体状态矢量Z根据新定义 的变量更新为Z＝[r^T v^T p]^T，控制矢量为U＝[u^T σ]^T。

将飞行时间按照h的间隔平均分为N份，时间序列为[t₀ t₁ … t_N]，其中 t_N＝t_f。变形后的动力学方程(7)经过线性化后进一步写为离散形式的状态转 移矩阵

Z_k+1＝A_k·Z_k+B_k·U_k k＝1,2,…,N (8)

式中Z_k+1和Z_k分别为第k+1步和第k步的状态矢量，A_k和B_k分别为第k步状态 转移递推的状态矩阵和控制矩阵。初末状态约束仍按t₀和t_N时刻状态变量的等式 约束形式给出，有关推力幅值的不等式约束变形为

式中，p₀(t_k)＝ln[m(t₀-T_maxt_k/I_spg_E)]，优化指标为

至此原优化问题转化为一个满足二阶锥规划问题特征的离散参数优化问题， 使用内点法得到无曲率约束情况下的标准燃耗优化轨迹，并将其作为基础解。转 入步骤二。

步骤二、分析基础解的轨迹曲率特征，将轨迹凸曲率约束转化为状态矢量间 的角度约束，并将角度约束进一步松弛为二阶锥约束的形式，综合实际避障需求 设计带参数的约束序列函数。

着陆轨迹的曲率定义为轨迹在坐标系oxyz的x-z平面和y-z平面投影曲线 高度方向坐标相对于水平方向坐标的二阶导数。对于x-z平面，轨迹为几何凸 曲率的条件为

对于y-z平面的凸曲率条件同理，只需将式(11)中的下标x替换为y。轨 迹为几何凸曲率的条件为在采用能量最优解析制导律的条件下，由于加速度和速 度、位置变量存在如下关系

所以条件(11)可简化为

r_zv_x-r_xv_z＜0 v_x＜0或r_zv_x-r_xv_z＞0 v_x＞0 (13)

着陆器从初始位置到着陆前一刻的飞行轨迹上曲率函数

始终存在， 即v_x≠0，则由于速度的连续性，r_x也随时间单调变化。因此着陆器沿x轴方向 的运动只有两种情况：r_x＞0,v_x＜0或r_x＜0,v_x＞0。在r_x＞0,v_x＜0情况下，着陆 器z方向高度与x方向水平位置的比值随时间的变化率满足

在r_x＜0,v_x＞0情况下，式(14)所述的变化律表达式符号相反，即小于零 时曲率为凸，上述两种情况下凸曲率条件除正负号外完全相同。

从式(14)分析得到，凸曲率制导下着陆轨迹的避障优势体现在着陆器高度 和水平坐标的比值单调递增，下面将该性质改写为凸约束形式。

定义速度矢量v在x-z平面内的投影矢量为v_xz＝[v_x 0 v_z]^T，位置矢量在 x-z平面内的投影矢量为r_xz＝[r_x 0 r_z]^T，则式(14)等价于

-r_xz×v_xz＞0 (15)

由于式(14)、(15)所示的约束关系并非凸约束形式，为将其加入优化问题 中，应对约束进行松弛。定义沿z轴负方向的单位矢量为n_dir＝[0 0 -1]^T，沿x 轴负方向的单位矢量为h_dir＝[-1 0 0]^T。在r_x＞0,v_x＜0的情况下，式(14)，(15) 条件成立，等价于存在一个角度θ(0＜θ＜π/2)，使得-r_xz与n_dir的夹角小于θ， 同时v_xz与h_dir的夹角小于π/2-θ，即：

当角度量θ大小随时间变化的函数θ(t)已知时，式(16)所示约束为标准 的二阶锥约束形式，适用于着陆轨迹凸优化问题的构建。由于着陆过程中r_z/r_x的 比值单调递增，所以θ(t)应随时间单调递减，带参数的约束序列函数定义为如下 函数：

式中参数b由着陆器初始状态确定，k根据实际避障需求调节。至此，凸曲率轨 迹约束转化为如式(16)所示的二阶锥约束形式，并且带参数的约束序列函数θ(t) 设计完成。

步骤三、根据基础解特性给定约束序列函数待调参数的基准值，并将基准 值下的新约束加入原二阶锥规划问题中，使用内点法得到标准凸曲率轨迹燃耗优 化解。

为了确定约束序列函数θ(t)中参数k和b的基准值，应确定函数在t＝0和 t＝t_f的初始和末端时刻值。定义

其中，上标r代表位置矢量相关夹角，上标v代表速度矢量相关夹角，下标0和f 则分别代表初始和末端时刻。对约束序列函数初值θ(0)赋值为

式中参数k₁满足0＜k₁＜1。

约束序列函数末端值θ(t_f)赋值为

式中参数k₂满足0＜k₂＜1。

将式(19)、(20)代入θ(t)表达式(17)，得参数基准值为

得到参数基准值后，将式(16)所示的新约束加入原二阶锥规划问题中， 考虑到基本解初始状态有一定概率不满足该约束，因此该约束应施加在从t₁到t_f的时间段内，对t₀时刻则不做要求。随后经过内点法解算得到标准凸曲率轨迹燃 耗优化解。

步骤四、从基准值出发，改变参数值，确定可行解存在的参数选取范围， 得到弯曲程度不同的凸曲率燃耗优化轨迹族。

由于初始状态的限制比较严格，对约束序列函数θ(t)表达式参数的调节对 象仅为k，保持b的值为基准值不变。从基准值出发，k的值越小(k始终为正)， 则对着陆轨迹凸曲率的限制越宽松，越接近无曲率约束的燃耗优化基本解。反之， k的值越大，对着陆轨迹凸曲率的限制越严格，轨迹向上弯曲程度越大，对可能 存在的地形障碍规避能力越强，同时会消耗更多的燃料。

构造优化轨迹族时，首先逐渐减小k的值，直到凸优化求解器找不到可行 解为止，得到k能够达到的最小值k_min，然后再逐渐增大k的值，同样到求解器 显示无可行解为止，得到k的最大值k_max。k在[k_min,k_max]范围内求出的着陆轨迹 即构成凸曲率燃耗优化轨迹族。

步骤五、针对步骤四得到的曲率燃耗优化轨迹族，根据着陆区实际地形条 件，在步骤四给出的约束序列函数可调参数取值范围中，选取合适的参数值。通 过上述参数值的合理选取能够在保证较高燃耗经济性的同时控制着陆轨迹的弯 曲程度，以适应不同任务条件下的各种避障需求。

有益效果：

1、本发明公开的凸曲率着陆轨迹燃耗优化方法，将优化问题中的指标和约 束均处理为符合二阶锥规划问题的形式，使用内点法求解燃耗优化轨迹，具有优 化速度快，实时性强，且无局部最优解的优势，适用于着陆阶段自主制导过程中 对轨迹的实时优化更新。

2、本发明公开的凸曲率着陆轨迹燃耗优化方法，针对现有凸曲率着陆制导 策略下，无法兼顾燃耗指标优化的问题，将凸优化方法引入凸曲率轨迹设计中， 将凸曲率轨迹特性转化为状态矢量的角度约束，通过构造含曲率相关约束的燃耗 优化二阶锥规划问题，使着陆轨迹保留凸曲率轨迹在避障和观测方面既有优势的 同时，有效兼顾燃料经济性。

3、本发明公开的凸曲率着陆轨迹燃耗优化方法，将曲率约束和轨迹实时优 化方法相结合，在保持几何凸曲率原有避障和观测优势的基础上，考虑对燃料消 耗等指标的优化，同时设计参数化的曲率调节机制，根据着陆区实际地形条件， 调节曲率约束序列函数中的可调参数值，在保证较高的燃耗经济性的同时定量控 制附着轨迹的弯曲程度，以适应不同任务条件下的各种避障需求。

附图说明

图1为本发明公开的凸曲率着陆轨迹燃耗优化方法步骤流程图；

图2为实施例中无凸曲率约束的燃耗优化着陆轨迹三维曲线；

图3为无凸曲率约束燃耗优化轨迹的控制力曲线；

图4为基础解的位置、速度矢量夹角变化曲线；

图5为标准凸曲率燃耗优化解和基准解着陆轨迹对比图；

图6为标准凸曲率燃耗优化解位置矢量夹角、速度矢量夹角和曲率约束序 列函数随时间变化曲线；

图7为凸曲率燃耗优化可行解轨迹族；

图8为可行解轨迹族中的一部分轨迹与给定地形障碍的关系示意图。

具体实施方式

为了更好的说明本发明的目的和优点，下面结合附图和实例对发明内容做进 一步说明。

实施例1：

为了验证方法的可行性，以某次火星着陆任务动力下降段为例，进行凸曲率 着陆轨迹燃耗优化的仿真计算。在表面固连系下，着陆器初始质量为1905kg， 推力上限为24kN，下限为3.2kN，发动机比冲为225s。初始位置为 [3000 0 1700]m，初始速度为[-85 0 -35]m/s。末端位置为坐标系原点，末 端速度为零。给定动力下降段持续时间为50s。

如图1所示，本实施例公开的凸曲率着陆轨迹燃耗优化方法，具体实现步骤 如下：

步骤一、根据给定的着陆器初始飞行状态和末端期望状态以及飞行时间信 息，构造无曲率约束的着陆轨迹二阶锥规划问题，使用内点法求解标准燃耗优化 轨迹，将其作为基础解。

图2展示了无凸曲率约束情况下，使用凸优化求解器MOSEK得到的燃耗优 化附着轨迹在表面固连系下的三维曲线，图3显示了该燃耗优化轨迹的控制力曲 线，发现轨迹的控制序列为bang-bang形式，符合标准燃耗优化轨迹的特征。全 过程燃耗195.1kg。在相同的条件下使用原凸曲率制导策略，全过程燃耗为 202.4kg，说明经燃耗优化计算的轨迹在燃料经济性上强于原曲率制导轨迹。

步骤二、分析基础解的轨迹曲率特征，将轨迹凸曲率约束转化为状态矢量间 的角度约束，并将角度约束进一步松弛为二阶锥约束的形式，综合实际避障需求 设计带参数的约束序列函数。

根据基础解轨迹中着陆器位置、速度数据知，初始时刻-r_xz矢量与n_dir矢量 夹角为60.46°，v_xz矢量与n_dir矢量夹角为67.62°，末端时刻-r_xz矢量、v_xz矢量 与n_dir矢量夹角均为38.00°。图4显示了基础解轨迹下这两个角度随时间变化曲 线，其中存在v_xz，n_dir夹角小于-r_xz，n_dir夹角的情况，说明基础解不满足凸曲率 相关约束要求，应设计相应的状态矢量约束序列函数θ(t)，加入优化过程。

步骤三、根据基础解特性给定约束序列函数待调参数的基准值，并将基准值 下的新约束加入原二阶锥规划问题中，使用内点法得到标准凸曲率轨迹燃耗优化 解。

根据基础解相关矢量角度变化情况，设k₁＝k₂＝0.9，得到θ(t)函数相关参 数为k＝0.03，b＝0.425，即凸曲率相关约束的参数基准值。

使用基准值代入约束序列函数，并将约束加入原燃耗优化问题中重新求解着 陆轨迹。图5显示了标准凸曲率燃耗优化解和基准解轨迹三维曲线的对比情况， 发现在加入凸曲率相关约束后，着陆轨迹向上弯曲程度增加，即避障能力增强。

图6显示了位置矢量夹角、速度矢量夹角和约束序列函数随时间变化曲线， 发现位置矢量夹角小于等于夹角约束，速度矢量夹角大于等于夹角约束的关系始 终成立，说明凸曲率相关约束得到了满足。

步骤四、从基准值出发，改变参数值，确定可行解存在的参数选取范围， 得到弯曲程度不同的凸曲率燃耗优化轨迹族。

经过对参数k的调节测试，发现k的值位于[0,0.045]区间时，燃耗优化轨迹 存在可行解。图7显示了k从0.01到0.04变化的着陆轨迹三维曲线，可见随着 参数值的增加，着陆轨迹弯曲程度上升，避障能力增强。

步骤五、针对步骤四得到的曲率燃耗优化轨迹族，根据着陆区实际地形条 件，在步骤四给出的约束序列函数可调参数取值范围中，选取合适的参数值。通 过上述参数值的合理选取能够在保证较高燃耗经济性的同时控制着陆轨迹的弯 曲程度，以适应不同任务条件下的各种避障需求。

给定地形障碍距离着陆点500米，高度为700米，要求着陆轨迹在r_x≥500时， 满足r_z＞700的条件，以x-z平面内地形障碍坐标(500,700)为顶点设置矩形禁飞 区。如图8所示，约束序列函数参数k从0.02到0.03均匀增大的5条凸曲率燃 耗优化轨迹中，当k≤0.026时，轨迹与障碍禁飞区冲突，当k≥0.028时，轨迹 满足避障条件。因此选择可调参数k的值为0.028，以最低代价的凸曲率约束实 现燃耗优化避障轨迹设计。至此，针对本实施例特定任务场景的凸曲率轨迹燃耗 优化全部完成。

以上所述的具体描述，对发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详 细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例而已，并不用于限定 本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、 改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (3)

1.凸曲率着陆轨迹燃耗优化方法，其特征在于：包括如下步骤，

步骤一、根据给定的着陆器初始飞行状态和末端期望状态以及飞行时间信息，构造无曲率约束的着陆轨迹二阶锥规划问题，使用内点法求解标准燃耗优化轨迹，将其作为基础解；

步骤一实现方法为，

着陆器在目标天体表面着陆的动力下降阶段，除了受到执行机构提供的控制力外，还受到目标天体引力作用、天体自旋带来的切向力和惯性力，以及在有大气行星表面受到的气动力；以预定着陆点为原点建立表面固连坐标系oxyz，其中x轴和y轴在当地基准水平面内，z轴垂直于基准水平面向上；定义着陆器质心在oxyz系中的位置矢量为

速度矢量为

总质量为m；整体状态矢量为

三自由度动力学方程为

式中，ω为行星自旋角速度矢量，g为行星表面重力加速度矢量，F_c为执行机构输出的控制力，F_D、F_L分别为气动阻力和升力，I_sp为发动机比冲，g_E为地球海平面重力加速度的模；在凸曲率着陆轨迹燃耗优化过程中，应根据着陆任务目标行星的特性忽略自转加速度项或气动力加速度项；

动力下降段飞行时间为t₀～t_f，行星着陆轨迹的燃耗优化问题，给定初始状态Z(t₀)和末端运动状态r(t_f)、v(t_f)，以及推力幅值约束

T_min≤||T_C||≤T_max (2)

式中，T_min为发动机最小推力幅值，T_max为发动机能够提供的最大推力幅值；

优化指标J为全过程燃料消耗，即

为将上述优化问题转化为二阶锥规划形式，进行约束松弛；引入松弛变量Γ，将动力学方程(1)中质量微分方程改写为

松弛变量Γ满足约束

定义如下有关状态变量和控制变量的变量σ、u和p以将动力学方程线性化

动力学方程改写为

式中，D为控制加速度以外的环境力及各项扰动；整体状态矢量Z根据新定义的变量更新为

控制矢量为

将飞行时间按照h的间隔平均分为N份，时间序列为[t₀ t₁ … t_N]，其中t_N＝t_f；变形后的动力学方程(7)经过线性化后进一步写为离散形式的状态转移矩阵

Z_k+1＝A_k·Z_k+B_k·U_k k＝1,2,…,N (8)

式中Z_k+1和Z_k分别为第k+1步和第k步的状态矢量，A_k和B_k分别为第k步状态转移递推的状态矩阵和控制矩阵；初末状态约束仍按t₀和t_N时刻状态变量的等式约束形式给出，有关推力幅值的不等式约束变形为

式中，

优化指标为

至此原优化问题转化为一个满足二阶锥规划问题特征的离散参数优化问题，使用内点法得到无曲率约束情况下的标准燃耗优化轨迹，并将其作为基础解；转入步骤二；

步骤二、分析基础解的轨迹曲率特征，将轨迹凸曲率约束转化为状态矢量间的角度约束，并将角度约束进一步松弛为二阶锥约束的形式，综合实际避障需求设计带参数的约束序列函数；

步骤二实现方法为，

着陆轨迹的曲率定义为轨迹在坐标系oxyz的x-z平面和y-z平面投影曲线高度方向坐标相对于水平方向坐标的二阶导数；对于x-z平面，轨迹为几何凸曲率的条件为

对于y-z平面的凸曲率条件同理，只需将式(11)中的下标x替换为y；轨迹为几何凸曲率的条件为在采用能量最优解析制导律的条件下，由于加速度和速度、位置变量存在如下关系

所以条件(11)可简化为

r_zv_x-r_xv_z＜0 v_x＜0或r_zv_x-r_xv_z＞0 v_x＞0 (13)

着陆器从初始位置到着陆前一刻的飞行轨迹上曲率函数

始终存在，即v_x≠0，则由于速度的连续性，r_x也随时间单调变化；因此着陆器沿x轴方向的运动只有两种情况：r_x＞0,v_x＜0或r_x＜0,v_x＞0；在r_x＞0,v_x＜0情况下，着陆器z方向高度与x方向水平位置的比值随时间的变化率满足

在r_x＜0,v_x＞0情况下，式(14)的变化律表达式符号相反，即小于零时曲率为凸，上述两种情况下凸曲率条件除正负号外完全相同；

从式(14)分析得到，凸曲率制导下着陆轨迹的避障优势体现在着陆器高度和水平坐标的比值单调递增，下面将该性质改写为凸约束形式；

定义速度矢量v在x-z平面内的投影矢量为v_xz＝[v_x 0 v_z]^T，位置矢量在x-z平面内的投影矢量为r_xz＝[r_x 0 r_z]^T，则式(14)等价于

-r_xz×v_xz＞0 (15)

由于式(14)、(15)所示的约束关系并非凸约束形式，为将其加入优化问题中，应对约束进行松弛；定义沿z轴负方向的单位矢量为n_dir＝[0 0 -1]^T，沿x轴负方向的单位矢量为h_dir＝[-1 0 0]^T；在r_x＞0,v_x＜0的情况下，式(14)，(15)条件成立，等价于存在一个角度θ(0＜θ＜π/2)，使得-r_xz与n_dir的夹角小于θ，同时v_xz与h_dir的夹角小于π/2-θ，即：

当角度量θ大小随时间变化的函数θ(t)已知时，式(16)所示约束为标准的二阶锥约束形式，适用于着陆轨迹凸优化问题的构建；由于着陆过程中r_z/r_x的比值单调递增，所以θ(t)应随时间单调递减，带参数的约束序列函数定义为如下函数：

式中参数b由着陆器初始状态确定，k根据实际避障需求调节；至此，凸曲率轨迹约束转化为如式(16)所示的二阶锥约束形式，并且带参数的约束序列函数θ(t)设计完成；

步骤三、根据基础解特性给定约束序列函数待调参数的基准值，并将基准值下的新约束加入原二阶锥规划问题中，使用内点法得到标准凸曲率轨迹燃耗优化解；

步骤三实现方法为，为了确定约束序列函数θ(t)中参数k和b的基准值，应确定函数在t＝0和t＝t_f的初始和末端时刻值；定义

其中，上标r代表位置矢量相关夹角，上标v代表速度矢量相关夹角，下标0和f则分别代表初始和末端时刻；对约束序列函数初值θ(0)赋值为

式中参数k₁满足0＜k₁＜1；

约束序列函数末端值θ(t_f)赋值为

式中参数k₂满足0＜k₂＜1；

将式(19)、(20)代入θ(t)表达式(17)，得参数基准值为

得到参数基准值后，将式(16)所示的新约束加入原二阶锥规划问题中，考虑到基本解初始状态有一定概率不满足该约束，因此该约束应施加在从t₁到t_f的时间段内，对t₀时刻则不做要求；随后经过内点法解算得到标准凸曲率轨迹燃耗优化解；

步骤四、从基准值出发，改变参数值，确定可行解存在的参数选取范围，得到弯曲程度不同的凸曲率燃耗优化轨迹族。

2.如权利要求1所述的凸曲率着陆轨迹燃耗优化方法，其特征在于：还包括步骤五、针对步骤四得到的曲率燃耗优化轨迹族，根据着陆区实际地形条件，在步骤四给出的约束序列函数可调参数取值范围中，选取合适的参数值；通过上述参数值的合理选取能够在保证较高燃耗经济性的同时控制着陆轨迹的弯曲程度，以适应不同任务条件下的各种避障需求。

3.如权利要求1所述的凸曲率着陆轨迹燃耗优化方法，其特征在于：步骤四实现方法为，由于初始状态的限制比较严格，对约束序列函数θ(t)表达式参数的调节对象仅为k，保持b的值为基准值不变；从基准值出发，k的值越小，k始终为正，则对着陆轨迹凸曲率的限制越宽松，越接近无曲率约束的燃耗优化基本解；反之，k的值越大，对着陆轨迹凸曲率的限制越严格，轨迹向上弯曲程度越大，对可能存在的地形障碍规避能力越强，同时会消耗更多的燃料；

构造优化轨迹族时，首先逐渐减小k的值，直到凸优化求解器找不到可行解为止，得到k能够达到的最小值k_min，然后再逐渐增大k的值，同样到求解器显示无可行解为止，得到k的最大值k_max；k在[k_min,k_max]范围内求出的着陆轨迹即构成凸曲率燃耗优化轨迹族。

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