CN108088870B - 非线性热传导模型试验相似准则的建立方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种非线性热传导模型试验相似准则的建立方法，步骤为，利用分离变量法求出该一维非线性热传导微分方程的解析解；依据模型与原型的热参数和几何缩比，确定解析解表达式里各参数的相似常数；将得到的相似常数代入到解析解表达式之中，利用相似转换法推导出各物理量之间应满足的相似准则。本发明的效果是推导出的相似准则能够与单值条件相结合，具有理论清晰，计算方法简单等特点。应用于土的一维冷冻模型试验时，该方法更符合由孔隙水相变引起的非线性热传导过程，该方法的提出有望为冻土模型试验的设计和实施提供理论基础和技术支持。

Description

非线性热传导模型试验相似准则的建立方法

技术领域

本发明涉及一种非线性热传导模型试验相似准则的建立方法，可用于建立土在冷冻过程中的热传导物理模型，为冻土模型试验提供理论依据和技术支持。

背景技术

模型试验是科学研究常用的一种研究方法，它通过将原型进行一定的几何缩比，利用相应的相似准则，将原型与模型之间建立关系，以将复杂大型冻土试验简化。近年来，模型试验在众多学科领域得到广泛应用。相似准则作为模型与原型的联系纽带，是进行模型试验的理论依据。

一维热传导微分方程的解析解直观准确的描述了各参数之间的关系，不但能定量的分析也可以定性的研究各参数之间的关系，能准确有效的检验目前众多数值解。以一维非线性热传导方程的解析解为依托，结合单值条件得到的相似准则，对于指导实际的模型试验和验证既有的相似准则具有重要的理论价值。

人工冻结法由于其很大程度增大土体强度和稳定性等特点，成为当今城市地下工程施工的主要手段。但大多人工冻结施工工序繁琐工作量大，不易进行原位试验以验证工程可行性，因此，模型试验方法在人工冻结法施工中显得尤为重要。

目前，因次分析法和微分方程分析法是冻土模型试验相似准则求取中常用的方法，但该方法未考虑方程实际问题中涉及到的边界条件和初始条件，且多数是以热参数为常数的理想状态建立的，这与热参数随温度或其它条件不断变化的实际情况相差较大，故而这两种方法具有一定的片面性和局限性。因此，依据非线性微分方程建立的相似准则仍有待进一步研究。

本发明的效果是：基于一类一维非线性热传导方程解析解推出来的相似准则，既结合了解析解的精确性，又将单值条件融入到相似准则中，弥补了因次分析法和微分方程求解法中未考虑边界条件的不足。且将热物理参数当成非线性处理更符合实际工程中参数的变化规律，解决了实际工程中热参数过于理想化等弊端，为实际人工冻土模型试验的进行提供必要条件。由本发明公开的此种相似准则的建立方法，可将试验原型较为高效准确的转化为模型，转化前后温度误差值为0.01℃，转化率达到98.9％，精度的提高对原型试验的模型化具有很大参考意义。

附图说明

图1为本发明涉及的一维热传导微分方程中比热随温度变化的曲线图。

具体实施方式

结合附图对本发明的非线性热传导模型试验相似准则的建立方法加以说明。

本发明的设计思想是基于相似第一定理，即两个相似现象必能用同一方程组来描述，且单值条件必须相似。本发明以冻土一维非线性热传导方程的解析解为依托，利用两个相似现象在几何和物理要素方面的相似，借助相似转换法，推导出了相似准则。

本发明公开了一种非线性热传导模型试验相似准则的建立方法，该方法基于相似第一理论思想，即两个相似现象必能用同一方程组来描述，且单值条件必须相似，在一类一维非线性热传导方程解析解的基础上，利用相似转换法，求取一种相似准则，将得到的相似准则应用于大型冻土土层的热传导试验原型中，使得大型试验原型模型化和简易化，从而依据试验模型结果反推原型，达到准确获取冻土热传导过程中试验原型的温度变化情况；该方法包括以下步骤：

(1)深度为l的冻土土层在x＝l处被绝热，在x＝0处有温度为T₁的恒定冷源，冻土土层的初始温度为T₀，则描述该冻土土层瞬态导热的微分控制方程为：

式中：ρ为土体密度；C为比热容；ρC为容积热容量；T为温度；t为时间；λ为导热系数，该冻土土层一维热传导问题的初始条件为：

t＝0,0≤x≤l,T＝T₀ (2)

边界条件为：

x＝l,T<0，T＝T₁ (4)

(2)热参数非线性变化，即容积热容量ρC＝AT^B，A与导热系数λ为有量纲的常数，B为无量纲常数，即方程(1)形式为：

利用分离变量法，求得式(5)的解析解为：

结合冻土土层的初始条件和边界条件，求出式(6)中的未知参数C₂得出的完整解析解为

(3)根据冻土试验原型与模型的几何以及热参数等缩比，得出式(6)中各物理量的相似常数：

式中：c_l、c_λ、c_ρ、c_c、c_T、c_A分别表示土体的几何、导热系数、密度、比热、温度和常数A的相似常数；T₀、l₀、λ₀、ρ₀、c₀分别表示原型土的温度、厚度、导热系数、密度和比热；T₁、l₁、λ₁、ρ₁、c₁分别表示模型土的温度、厚度、导热系数、密度和比热。A_y、A_m分别为原型土和模型土的容积热容量的幂函数系数；T_y、T_m分别为原型土和模型土温度；

(4)将式(8)(9)(10)(11)(12)代入式(6)中得：

由相似第一定理可知，要使模型与原型相似，则式(13)须满足的相似准则为：

继而推出时间相似常数：

由上述推导结果得出，模型与原型的各物理量之间的相似常数之间存在如公式(14)所示的关系，若得知其中的几项相似常数，则其他的相似常数即可得到，从而将复杂原型简化。

实施例：

某冻土层深度为100km，且x＝100km处被绝热，在x＝0处有温度为-20℃的恒定冷源。土层的初始温度为-0.16℃，欲研究该冻土层在一定时间内的温度变化情况。测得的具体热参数为下表1。由于该冻土层深度较厚，原位场地试验复杂难以实现，故而采取相关模型试验进行研究。

已知模型土层深度为50km，且x＝50km处被绝热，在x＝0处有温度为-5℃的恒定冷源。土层的初始温度为-0.04℃，具体热参数取值如下表1。求取该模型试验的相似准则具体步骤如下：

表1参数取值

(1)由上述条件得到描述该土层瞬态导热的微分控制方程为：

式中：ρ为土体密度；C为比热容；ρC为容积热容量；T为温度；t为时间；λ为导热系数。该冻土层一维热传导问题的初始条件为：

t＝0,0≤x≤l,T＝T₀ (2)

边界条件为：

x＝l,T<0，T＝T₁ (4)

(2)热参数非线性变化，即容积热容量ρC＝AT^B，A与导热系数λ为有量纲的常数，B为无量纲常数。即方程(1)形式为：

利用分离变量法，求得式(5)的解析解为：

结合土层的初始条件和边界条件，求出式(6)中的未知参数C₂得出的完整解析解为

(3)根据原型与模型的几何以及热参数等缩比，得出式(6)中各物理量的相似常数：

式中：c_l、c_λ、c_ρ、c_c、c_T、c_A分别表示土体的几何、导热系数、密度、比热、温度和常数A的相似常数；T₀、l₀、λ₀、ρ₀、c₀分别表示原型土的温度、厚度、导热系数、密度和比热；T₁、l₁、λ₁、ρ₁、c₁分别表示模型土的温度、厚度、导热系数、密度和比热。A_y、A_m分别为原型土和模型土的容积热容量的幂函数系数；T_y、T_m分别为原型土和模型土温度。

(4)将式(8)(9)(10)(11)(12)代入式(6)中得：

由相似第一准则可知，要使模型与原型相似，则式(13)须满足的相似准则为：

继而推出时间相似常数：

依据上述各式以及相似准则求得的各参数的相似常数如表2所示：

表2计算得到的相似常数

由表2各物理量的相似常数数值可将原型试验与模型试验之间建立关系，并实现二者之间的转换，从而进行相关理论验证。

Claims (1)

1.一种非线性热传导模型试验相似准则的建立方法，该方法基于相似第一理论思想，即两个相似现象必能用同一方程组来描述，且单值条件必须相似，在一类一维非线性热传导方程解析解的基础上，利用相似转换法，求取一种相似准则，将得到的相似准则应用于大型冻土土层的热传导试验原型中，使得大型试验原型模型化和简易化，从而依据试验模型结果反推原型，达到准确获取冻土热传导过程中试验原型的温度变化情况；该方法包括以下步骤：

(1)深度为l的冻土土层在x＝l处被绝热，在x＝0处有温度为T₁的恒定冷源，冻土土层的初始温度为T₀，则描述该冻土土层瞬态导热的微分控制方程为：

式中：ρ为土体密度；C为比热容；ρC为容积热容量；T为温度；t为时间；λ为导热系数，该冻土土层一维热传导问题的初始条件为：

t＝0,0≤x≤l,T＝T₀ (2)

边界条件为：

x＝l,T＜0，T＝T₁ (4)

(2)热参数非线性变化，即容积热容量ρC＝AT^B，A与导热系数λ为有量纲的常数，B为无量纲常数，即方程(1)形式为：

利用分离变量法，求得式(5)的解析解为：

结合冻土土层的初始条件和边界条件，求出式(6)中的未知参数C₂得出的完整解析解为

(3)根据冻土试验原型与模型的几何以及热参数等缩比，得出式(6)中各物理量的相似常数：

式中：c_l、c_λ、c_ρ、c_c、c_T、c_A分别表示土体的几何、导热系数、密度、比热、温度和常数A的相似常数；T_y、l₀、λ₀分别表示原型土的温度、厚度、导热系数；T_m、l₁、λ₁分别表示模型土的温度、厚度、导热系数；A_y、A_m分别为原型土和模型土的容积热容量的幂函数系数；

(4)将式(8)(9)(10)(11)(12)代入式(6)中得：

由相似第一定理可知，要使模型与原型相似，则式(13)须满足的相似准则为：

继而推出时间相似常数：

由上述推导结果得出，模型与原型的各物理量之间的相似常数之间存在如公式(14)所示的关系，若得知其中的几项相似常数，则其他的相似常数即可得到，从而将复杂原型简化。

Images