CN104597078A - 基于小平面热源的各向异性材料热导率测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明一种测量各向异性材料热导率的方法，该方法包括：建立了直角坐标系中特定形式热干扰作用下被测样品的三维传热模型；采用拉普拉斯变换、分离变量、超越方程求解和拉普拉斯反变换方法，获得了各向异性材料内的温度变化在时域中的解析解；通过灵敏度计算，分析法向热导率和切向热导率的灵敏度系数的线性相关性以及参数对温度变化的影响；建立实验测量系统，实时采集温度的瞬态响应数据；采用改进的高斯牛顿参数估计方法，同时确定被测各向异性材料的法向热导率和切向热导率。本发明的优点在于：提供了实施方便、步骤简单、测量快速、适用范围广的瞬态测量方法，能够通过一次测量获得矩形各向异性材料的法向热导率和切向热导率。

Description

基于小平面热源的各向异性材料热导率测量方法

技术领域

本发明属于材料热物性测量技术领域，特别是提供了一种通过一次测量同时获得正交方向热导率的新测量方法，通过测量被测样品中一个点的温度变化，确定各向异性材料的法向热导率和切向热导率。

背景技术

近年来，随着高新科技和工业应用的快速发展，各向异性复合材料的开发和应用已成为研究热点。具有各向异性特征的复合材料由于其强度高、韧度高、抗热冲击好等诸多优点，不仅在航空航天、核能利用生命科学等尖端领域，在建筑、电子机械、医疗体育等各个行业中都具有巨大的应用潜力。各向异性材料热物性数据的准确测量，是材料性能评价及可靠性分析的基础，对提高复合材料的设计与制造水平、满足我国国民经济和国防领域对标准数据的需求等方面都具有非常重要的意义。

目前，传统的测量方法针对各向异性材料进行热物性测量时都存在各种各样的局限性。如传统的热线法和热带法是基于各向同性材料建立的测量模型，当用于各向异性材料测量时，会引入不可避免的原理性误差。而稳态法、传统的平面热源法和激光法，理论上可以通过多次变换测量方向来确定材料不同方向的热导率，但实验步骤繁琐，会引入大量无法精确评估的测量误差。并且，在高温下测量系统中的环境热损不可忽略，而这些方法中假设的绝热边界条件降低了实验测量的精确度。hot-disk方法虽然是基于三维热传导模型建立的，但模型推导中是假设材料为各向同性，在用于同时测量正交热导率的情况下，法向热导率和切向热导率相差较大，测量精度尚有待商榷。

由于科学研究和工业应用对各向异性复合材料热物性的急切需求，以及传统测量方法的各种各样局限性，研究者们在适用于各向异性材料热物性测量的新方法上进行了不懈的探索。但这些测量模型在具体实施中尚存在一定的不足和限制条件。如有的方法需要同时给予待测样品两个分别垂直和平行于纤维走向的热干扰信号，并保持其他试样边界满足绝热条件，在实验中实现起来难度较大；有的方法在参数求解中采用数值计算或简化的解析解，精度较低；有的方法在使用中针对不同的测试样品都需要重新进行的物理建模和网格划分，或需要采用两种方法，使用程序繁琐，也降低了系统的实用性；还有的方法中需要将被测材料制备成圆柱体形状，这为新型或特定用途的材料的开发与制备带来了难题和挑战，对实际测量提出了诸多限制条件。

鉴于已有测量模型的使用局限性，开发一种高效准确、通过一次测量即可同 时获得正交各向异性材料的法向热导率和切向热导率的测量模型显得尤为重要。

发明内容

本发明的目的在于：根据层状正交各向异性材料导热主轴确定的典型特征，基于阶跃式平面热源法，提供一种通过一次测量可同时获得正交各向异性材料的法向热导率和切向热导率的方法。

为了实现上述目的，提供了一种通过测量热干扰作用下矩形被测样品中的一点的温度变化来确定材料的法向热导率和切向热导率的方法。

该方法包括：首先，对高度H为0.01m～0.10m、长和宽为0.06m～0.20m的矩形被测各向异性材料、长和宽为0.03m～0.10m的热源片，建立了直角坐标系中阶跃热干扰作用下的三维传热模型，其控制方程如式1所示：

${\mathrm{\λ}}_x\frac{{\∂}^{2}T(x,y,z,t)}{\∂x^2}+{\mathrm{\λ}}_y\frac{{\∂}^{2}T(x,y,z,t)}{\∂y^2}+{\mathrm{\λ}}_z\frac{{\∂}^{2}T(x,y,z,t)}{\∂z^2}=\mathrm{\ρCp}\frac{\∂T(x,y,z,t)}{\∂t}$   (式1)

初始条件和边界条件如式2所示：

T(x,y,z,0)＝Ti  (式2a)

$\frac{\∂T(0,y,z,t)}{\∂x}=0$   (式2b)

$\frac{\∂T(x,0,z,t)}{\∂y}=0$   (式2c)

$-{\mathrm{\λ}}_x=\frac{\∂T(b,y,z,t)}{\∂x}=h[T(b,y,z,t)-\mathrm{Ti}]$   (式2d)

$-{\mathrm{\λ}}_y=\frac{\∂T(x,b,z,t)}{\∂x}=h[T(x,b,z,t)-\mathrm{Ti}]$   (式2e)

T(x,y,∞,t)＝Ti  (式2f)

$\mathrm{\φ}(x,y,0,t)=-{\mathrm{\λ}}_z\frac{\∂T(x,y,0,t)}{\∂z},\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\φ}(x,y,0,t)=\mathrm{\φ},& |x,y|\≤a\\ \mathrm{\φ}(x,y,0,t)=0,& a\≤|x,y|\≤b\end{array}\right.$   (式2g)

式中，T为被测样品温度；Ti为环境温度；λ_x、λ_y、λ_z分别为样品在x，y和z轴方向的热导率；ρ为样品的密度；C_p为样品的定压比热；t为时间；x为长度方向坐标，y为宽度方向坐标，z为高度方向坐标；φ为平面热源提供的热流密度；a为热源片的1/2边长；b为被测样品的1/2边长；h为样品与环境之间的综合传热系数。

所述的传热模型中，所述特定形式的热干扰信号为阶跃热流。所测量的矩形各向异性材料的特性参数的取值范围如表1所示。

表1 测量系统采用的参数值

Table 1 The parameter values used in the measuring system 

本发明首先对上述控制方程、初始条件和边界条件进行了拉普拉斯变换，得到频域中的数学模型表达，然后采用分离变量法和超越方程求解方法，获得了被测样品内部温度场分布的频域解析解，最后通过拉普拉斯反变换，求解得到直角坐标系下各向异性材料内的温度变化的时域解析解。

此外，考虑到实际测温中热电偶及温度采集系统均具有一定的延迟时间t_d，样品在t时刻的温升实际是在t+t_d时刻才被测量到。因此，本项目最终采用的是考虑延迟时间影响后的样品温升解析解。

为了确定是否能够以满意的精度同时估计出被测样品的法向热导率和切向热导率，本发明进行了灵敏度分析，以确定待估参数β_j发生微小变化时对测量值(样品中测量点的温度变化)T(t_j,β)的影响程度，灵敏度系数采用二阶中心差商法计算，其定义如式3所示：

$X_{\mathrm{ij}}(x,y,z,t;\mathrm{\β})=\frac{\∂T_i(x,y,z,t)}{\∂{\mathrm{\β}}_j}\≈\frac{T_i(x,y,z,t;{\mathrm{\β}}_j+\mathrm{\Δ}{\mathrm{\β}}_j)-T_i(x,y,z,t;{\mathrm{\β}}_j-\mathrm{\Δ}{\mathrm{\β}}_j)}{2\mathrm{\Δ}{\mathrm{\β}}_j}$   (式3)

式中，X为灵敏度系数，β为待估参数，T为绝对温度，i为整个测试时间范围内的第i个采样时刻，j为第j个待估参数，取Δβ_j＝0.0001β_j，t为时间。

根据式3对法向热导率和切向热导率的灵敏度系数进行计算，分析两个参数的灵敏度系数之间的线性相关性，以及这两个热导率对温度变化的影响，从而确定通过一次测量获得法向热导率和切向热导率的可能性。计算结果表明，法向热导率和切向热导率的灵敏度系数随时间的变化趋势不同，两者之比不是常数，说明这两个待测参数是线性无关的，且其绝对值和试样温升△T₀处在同一数量级，因此，法向热导率和切向热导率可通过合适的参数估计算法同时获得。

本发明基于最小二乘法，即利用残差平方和最小的方法来定义目标函数，采用改进的高斯牛顿算法，开发了多个参数同时估计的算法，用于计算待测样品的 法向热导率和切向热导率。本发明采用的改进的高斯牛顿算法是在传统高斯算法的基础上，在每次计算新的待估参数的迭代中引入松弛因子，用于保证每一步的迭代都朝着是目标函数下降的方向推进，该松弛因子与参数的灵敏度系数和每一步的目标函数有关。

在上述理论研究的基础之上，建立了各向异性材料的温度测量系统。将电加热片置于形状相同的两个被测的矩形试样之间，以提供可定量的热干扰信号。实际测量中，在矩形各向异性材料表面施加热流为0.1W/m²～1000W/m²的阶跃恒定热流干扰信号，在加热时间为100s～500s的条件下，通过温度数据采集仪器、信号处理模块(冷端补偿和滤波等)，采集得到在热干扰信号作用下的被测试样内、中心轴线上的测量点的实时温度变化数据。

将通过解析解计算得到的温度响应数据与实际测量获取的温度响应数据相结合，应用改进的高斯牛顿参数估计方法，即可同时计算得到矩形各向异性材料的法向热导率和切向热导率。

本发明的优点在于：提供了一种实施方便、步骤简单、测量快速、适用范围广的瞬态测量方法，能够通过一次测量即可获得矩形各向异性材料的法向热导率和切向热导率。

附图说明

图1本发明测量方法的测量的原理图。

图中，标注1表示片状的电加热片；标注2表示的I和II是两个完全相同的待测矩形各向异性材料，用于提供阶跃的热流干扰信号；标注3表示在样品轴向中心线上距加热片z距离位置上的一个测量温点。

具体实施方式

下面将参照附图说明本发明的具体实施方式。在下面的说明中，没有详细说明公认的功能或结构，以避免出现不必要的细节而混淆本发明。

在具体的实施中，假设在测量的温度范围内，矩形各向异性材料具有正交各向异性特征，其法向热导率和切向热导率为未知的待估参数，其他尺寸参数和物性参数均为常数。建立的直角坐标系下高度H＝0.05m、长和宽的边长b＝0.10m的矩形各向异性材料的三维传热模型中，控制方程和边界条件分别如式4和式5所示：

${\mathrm{\λ}}_x\frac{{\∂}^{2}T(x,y,z,t)}{\∂x^2}+{\mathrm{\λ}}_y\frac{{\∂}^{2}T(x,y,z,t)}{\∂y^2}+{\mathrm{\λ}}_z\frac{{\∂}^{2}T(x,y,z,t)}{\∂z^2}=\mathrm{\ρCp}\frac{\∂T(x,y,z,t)}{\∂t}$   (式1)

初始条件和边界条件如式5所示：

T(x,y,z,0)＝Ti  (式2a)

$\frac{\∂T(0,y,z,t)}{\∂x}=0$   (式2b)

$\frac{\∂T(x,0,z,t)}{\∂y}=0$   (式2c)

$-{\mathrm{\λ}}_x=\frac{\∂T(b,y,z,t)}{\∂x}=h[T(b,y,z,t)-\mathrm{Ti}]$   (式2d)

$-{\mathrm{\λ}}_y=\frac{\∂T(x,b,z,t)}{\∂x}=h[T(x,b,z,t)-\mathrm{Ti}]$   (式2e)

T(x,y,∞,t)＝Ti  (式2f)

$\mathrm{\φ}(x,y,0,t)=-{\mathrm{\λ}}_z\frac{\∂T(x,y,0,t)}{\∂z},\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\φ}(x,y,0,t)=\mathrm{\φ},& |x,y|\≤a\\ \mathrm{\φ}(x,y,0,t)=0,& a\≤|x,y|\≤b\end{array}\right.$   (式2g)

其中，综合考虑各向异性材料热物理特性以及模拟实验时环境条件这两方面的因素，计算中采用的参数值如表2所示。

表2 实施例采用的参数值

Table 2 The parameter values used in the specific example 

本实例中，针对公式4和5，采用拉普拉斯变换、分离变量方法，对控制方程、初始条件和边界条件进行了转换，然后对超越方程进行求解，获得了频域中被测样品内部温度场分布的解析解。在此基础上，通过拉普拉斯反变换，最终求解得到各向异性材料内的温度变化在时域中的解析解。计算时，初始温度场设为室温，其他参数按表2设置。

为了验证解析解的正确性，采用Fluent软件对被测样品在相同工况下的传热过程进行数值模拟。对比试样内部点温升的数值解和解析解，结果表明在相同工况下，各向异性样品温度场的数值解和解析解的结果完全一致，充分证明了解析解的正确性。

采用上述获得的数学模型4和5的解析解，对涉及的各向异性材料的法向热导率和切向热导率进行灵敏度分析，采用式6计算其灵敏度系数：

$X_{\mathrm{ij}}(x,y,z,t;\mathrm{\β})=\frac{\∂T_i(x,y,z,t)}{\∂{\mathrm{\β}}_j}\≈\frac{T_i(x,y,z,t;{\mathrm{\β}}_j+\mathrm{\Δ}{\mathrm{\β}}_j)-T_i(x,y,z,t;{\mathrm{\β}}_j-\mathrm{\Δ}{\mathrm{\β}}_j)}{2\mathrm{\Δ}{\mathrm{\β}}_j}$   (式3)

其中取Δβ_j＝0.0001β_j。

灵敏度系数的计算结果表明，法向热导率和切向热导率的灵敏度系数的大小与试样的空间温升响应是处于同一数量级。进一步分析发现，在被测试样的轴向中心线上、距加热片z距离位置上的一个测量温点上，法向热导率和切向热导率的灵敏度系数随时间的变化趋势不同，相互之间的比值不是常数，这说明二者是非线性相关的，因此，有可能通过一次测量同时估计这两个待测参数。

基于上述解析求解和灵敏度分析的结果，建立实验系统进行试验测量。在加热片上施加q＝500W/m²的阶跃热流，并按照原理图将加热片置于两个相同的试样之间，加热时间设为400s。从试验测量开始，使用T型或K型热电偶、温度数据采集器，测量被测样品轴向中心线上、距加热片z距离位置上的测量点的瞬态温度响应，实时获取温度变化的数据，通过与上位机通信将数据传输到上位机，同时，对温度信号进行冷端温度补偿和滤波等信号处理，得到被测样品中测温点上的温度变化实验值。

最后，结合通过解析解获得的测量点的温度计算值和通过实际测量获得的温度变化数据，采用改进的高斯牛顿参数估计方法，同时确定被测各向异性材料的法向热导率和切向热导率。

尽管本发明是参照其特定的具体实施方式来描述的，但本领域的技术人员应该理解，在不脱离由所附权利要求限定的本发明的范围的情况下，可以对其进行形式和细节的各种修改。

Claims (5)

1.一种基于小平面热源的各向异性材料热导率测量方法，该方法用于通过测量矩形被测样品中一个点的温度变化，确定各向异性材料法向热导率和切向热导率，其特征在于：对高度为0.01m～0.05m、边长为0.06m～0.20m的矩形各向异性材料，建立了特定形式热干扰作用下的三维传热模型；具体步骤如下：

步骤1：建立在阶跃信号的热干扰作用下、直角坐标系中各向异性材料的三维传热模型的控制方程式，如式1所示：

    (式1)，

其初始条件和边界条件，如式2所示：

T(x,y,z,0)＝Ti    (式2a),

    (式2b),

    (式2c),

    (式2d),

    (式2e),

T(x,y,∞,t)＝Ti    (式2f),

    (式2g),

式中，T为被测样品温度；Ti为环境温度；λ_x、λ_y、λ_z分别为样品在x，y和z轴方向的热导率；ρ为样品的密度；C_p为样品的定压比热；t为时间；x为长度方向坐标，y为宽度方向坐标，z为高度方向坐标；φ为平面热源提供的热流密度；a为热源片的1/2边长；b为被测样品的1/2边长；h为样品与环境之间的综合传热系数。

步骤2：采用拉普拉斯变化、分离变量、超越方程求解以及拉普拉斯反变换的方法，求解矩形各向异性材料内的温度变化的时域解析解；

步骤3:计算待估参数的灵敏度系数，进行灵敏度分析；

步骤4：实时采集温度的瞬态响应数据；

步骤5：应用参数估计方法，确定矩形各向异性材料的法向热导率和切向热导率。

2.如权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤1中的三维传热模型，隐含认为是材料的长和宽方向的热导率相同，所述特定形式的热干扰为阶跃热流。

3.如权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤2中解析求解方法中，采用拉普拉斯变换和分离变量法对控制方程、初始条件和边界条件进行了转换，然后通过超越方程求解的方法，获得了频域中被测样品内部温度场分布的解析解，在此基础上，进行拉普拉斯反变换，最终求解得到各向异性材料内的温度变化在时域中的解析解。

4.如权利要求1所述的方法，其中，所述步骤3中的热参数β_j的灵敏度系数为：

    (式6)

式中：X为灵敏度系数，β为待估参数，T为绝对温度，i为整个测试时间范围内的第i个采样时刻，j为第j个待估参数，取Δβ_j＝0.0001β_j；t为时间。

灵敏度分析包括下列步骤：

a、计算法向热导率和切向热导率的灵敏度系数；

b、确定待估参数的灵敏度系数之间的相关性。

5.如权利要求1所述的方法，其中，所述步骤5中的参数估计方法是采用改进的高斯牛顿方法进行参数估计，采用被测样品中一个点的温度变化数据对待估参数进行计算，最终同时确定各向异性材料的法向热导率和切向热导率。