CN107561484B - 基于内插互质阵列协方差矩阵重建的波达方向估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于内插互质阵列协方差矩阵重建的波达方向估计方法，主要解决现有技术中基于虚拟域统计信号处理存在的信息丢失问题。其实现步骤是：接收端架构互质阵列；利用互质阵列接收入射信号并建模；根据内插的思想将互质阵列转变为一个均匀线性阵列，并构建相应的接收信号模型；计算内插互质阵列的采样协方差矩阵；构造与内插互质阵列采样协方差矩阵相对应的投影矩阵；设计基于核范数最小化的凸优化问题实现内插互质阵列协方差矩阵的Toeplitz化重建；根据重建的内插互质阵列协方差矩阵进行波达方向估计。本发明提高了信号波达方向估计的自由度及准确度，可用于无源定位和目标探测。

Description

基于内插互质阵列协方差矩阵重建的波达方向估计方法

技术领域

本发明属于信号处理技术领域，尤其涉及对雷达信号、声学信号及电磁信号的波达方向估计，具体是一种基于内插互质阵列协方差矩阵重建的波达方向估计方法，可用于无源定位和目标探测。

背景技术

波达方向(Direction-of-Arrival,DOA)估计是阵列信号处理领域的一个重要分支，它是指利用阵列天线接收空域信号，并通过现代信号处理技术和各类优化方法实现对接收信号统计量的有效处理，从而实现信号的DOA估计，在雷达、声呐、语音、无线通信等领域有着重要的应用价值。

均匀线性阵列是现有DOA估计方法中最常用的一类阵列结构，因为其满足奈奎斯特采样定理，能够实现有效的DOA估计。但是，采用均匀线性阵列的DOA估计方法其自由度受限于实际天线阵元的个数。具体而言，对于一个包含L个天线阵元的均匀线性阵列，其自由度为L-1。因此，当某个空域范围内入射信号源的个数大于阵列中天线阵元的个数时，现有采用均匀线性阵列的方法将无法进行有效的DOA估计。

作为互质采样技术在空间域上的一个典型表现形式，互质阵列提供了一个系统化的稀疏阵列架构方案，能够突破传统均匀线性阵列自由度受限的瓶颈，实现在天线阵元个数一定的前提下增加DOA估计的自由度，因而受到了学术界的广泛关注。现有的基于互质阵列的DOA估计方法主要通过利用质数的性质将互质阵列推导至虚拟域，并形成等价虚拟均匀线性阵列接收信号以实现DOA估计。由于虚拟阵列中包含的虚拟阵元数大于实际的天线阵元数，自由度因此得到了有效的提升。但是，由互质阵列推导而来的虚拟阵列属于非均匀阵列，导致了很多现有基于均匀线性阵列的信号处理方法无法直接应用于虚拟阵列等价接收信号实现DOA估计。当前采用互质阵列的DOA估计方法常用的一个解决方案是，仅利用虚拟阵列中所包含的连续虚拟阵元部分进行DOA估计，但是这造成了部分原始信息的丢失和相关估计性能的降低。

发明内容

本发明的目的在于针对上述现有技术存在的不足，提出一种基于内插互质阵列协方差矩阵重建的波达方向估计方法，利用了内插的思想直接填补非均匀互质阵列中的非连续阵元部分，并重建该内插互质阵列的协方差矩阵，充分利用了互质阵列接收信号中所包含的全部信息，提高了DOA估计的自由度与估计准确度。

本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：一种基于内插互质阵列协方差矩阵重建的波达方向估计方法，该方法包含以下步骤：

(1)接收端使用M+N-1个天线，并按照互质阵列结构进行架构；其中M与N为互质整数；

(2)假设有K个来自θ₁,θ2,…,θ_K方向的远场窄带非相干信号源，则(M+N-1)×1维互质阵列接收信号x(t)可建模为：

其中，s_k(t)为信号波形，n(t)为与各信号源相互独立的噪声分量，a(θ_k)为θ_k方向的导引矢量，表示为：

其中，p_id,i＝1,2,…,M+N-1表示互质阵列中第i个物理天线阵元的实际位置，且p₁＝0；d为入射窄带信号波长λ的一半，即d＝λ/2，

[·]^T表示转置操作；

(3)根据内插的思想将互质阵列转变为均匀线性阵列并构建相应的接收信号模型：通过阵元内插的方式，将虚拟阵元内插入非均匀的互质阵列，以形成一个包含L＝max((M-1)N+1,(N-1)M+1)个阵元、阵元间距为d的均匀线性阵列；由于内插的虚拟阵元并非实际存在，实际中无法接收信号，故内插互质阵列的接收信号可建模为：

其中，l＝0,1,…,L-1，<·>_l表示位于ld位置上的阵元所接收到的信号；

(4)计算内插互质阵列的采样协方差矩阵：根据内插互质阵列接收信号y(t)，内插互质阵列的采样协方差矩阵

可计算为：

其中，T为采样快拍的个数，(·)^H表示共轭转置；

(5)构造与内插互质阵列采样协方差矩阵相对应的投影矩阵P：投影矩阵P为一个L×L维的二值矩阵，P中的元素与内插互质阵列采样协方差矩阵

中的元素一一对应：若

中某个位置上的元素为零，则P中相对应位置上的元素设置为0；若

中某个位置上的元素不为零，则P中相对应位置上的元素设置为1；

(6)内插互质阵列协方差矩阵的重建：基于核范数最小化的内插互质阵列协方差矩阵重建问题可表示为：

其中，

表示以矢量z为第一列的厄米特对称Toeplitz矩阵；°表示Hadamard积，即矩阵中各元素一一点乘；‖·‖_F表示Frobenius范数；‖·‖_*表示核范数，μ为正则化参数，用于权衡重建误差与

的核范数；

保证重建的内插互质阵列协方差矩阵满足半正定条件。求解上述凸优化问题可得到最优化值

相应地，重建的Toeplitz矩阵

为内插互质阵列协方差矩阵；

(7)根据重建的内插互质阵列协方差矩阵

进行波达方向估计。

进一步地，步骤(1)所述的互质阵列结构可具体描述为：首先选取一对互质整数M、N；然后，构造一对稀疏均匀线性子阵列，其中第一个子阵列包含M个间距为Nd的天线阵元，其位置为0,Nd,…,(M-1)Nd，第二个子阵列包含N个间距为Md的天线阵元，其位置为0,Md,…,(N-1)Md；接着，将两个子阵列按照首个阵元重叠的方式进行子阵列组合，获得实际包含M+N-1个天线阵元的非均匀互质阵列架构。

进一步地，步骤(7)中的波达方向估计，可采用以下方法：多重信号分类方法、旋转不变子空间方法、求根多重信号分类方法、协方差矩阵稀疏重建方法等。

进一步地，步骤(7)中，通过多重信号分类方法进行波达方向估计，具体为：画出空间功率谱P_MUSIC(θ)：

其中d(θ)是L×1维内插互质阵列导引矢量，对应于位置为由0到(L-1)d的一段均匀线性阵列；E_n是L×(L-K)维矩阵，表示内插互质阵列协方差矩阵

的噪声子空间；θ是假定的信号波达方向；通过谱峰搜索寻找空间功率谱P_MUSIC(θ)上的峰值，并将这些峰值所对应的响应值从大到小排列，取前K个峰值所对应的角度方向，即为波达方向估计结果。

本发明与现有技术相比具有以下优点：

(1)本发明避免了在等价虚拟阵列上进行统计信号处理，而是在实际的互质阵列上内插以将其转换为一个等价的均匀线性阵列，保留了互质阵列接收信号的全部信息，保证了DOA估计的准确度；

(2)本发明根据互质阵列接收信号的采样协方差实现内插互质阵列协方差矩阵的Toeplitz化重建，增加了DOA估计的自由度。

附图说明

图1是本发明的方法总体流程框图。

图2是本发明中互质阵列的结构示意图。

图3是本发明中内插互质阵列的结构示意图。

图4是用于体现本发明所提方法自由度性能的空间功率谱示意图。

图5是本发明所提方法与现有各方法均方根误差与信噪比之间的对比结果图，采样快拍数为500。

图6是本发明所提方法与现有各方法均方根误差与采样快拍数之间的对比结果图，信噪比为10dB。

具体实施方式

以下参照附图，对本发明的技术方案和效果作进一步的详细说明。

现有的互质阵列波达方向估计方法通常通过等价虚拟阵列信号的计算和统计信号处理，以突破物理阵元数量对自由度的限制，实现自由度性能的提升。但是由于虚拟阵列所存在的非均匀性，一个普遍的做法是选取虚拟阵列中连续的虚拟阵元部分进行DOA估计，从而导致了信息损失。为了充分利用互质阵列接收信号所包含的所有信息，本发明提供了一种基于内插互质阵列协方差矩阵重建的波达方向估计方法，参照图1，本发明的实现步骤如下：

步骤一：在接收端使用M+N-1个天线阵元架构互质阵列；首先，选取一组互质整数M、N；然后，构造一对稀疏均匀线性子阵列，其中第一个子阵列包含M个间距为Nd的天线阵元，其位置为0,Nd,…,(M-1)Nd；第二个子阵列包含N个间距为Md的天线阵元，其位置为0,Md,…,(N-1)Md；单位间距d取为入射窄带信号波长λ的一半，即d＝λ/2；接着，将两个子阵列的首个天线阵元视为参考阵元，参照图2，将两个子阵的参考阵元重叠以实现子阵列组合，获得实际包含M+N-1个天线阵元的非均匀互质阵列架构。

步骤二：利用互质阵列接收入射信号并建模。假设有K个来自θ₁,θ₂,…,θ_K方向的远场窄带非相干信号源，采用步骤一架构的非均匀互质阵列接收入射信号，得到(M+N-1)×1维互质阵列接收信号x(t)，可建模为：

其中，s_k(t)为信号波形，n(t)为与各信号源相互独立的噪声分量，a(θ_k)为θ_k方向的互质阵列导引矢量，表示为

其中，p_id,i＝1,2,…,M+N-1表示互质阵列中第i个物理天线阵元的实际位置，且p₁＝0，

[·]^T表示转置操作。

步骤三：根据内插的思想将互质阵列转变为均匀线性阵列并构建相应的接收信号模型。通过阵元内插的方式，在非均匀互质阵列中各孔洞位置(如图3中的空心圆所示)上插入虚拟阵元，以形成一个包含L＝max((M-1)N+1,(N-1)M+1)个阵元、阵元间距为d的均匀线性阵列，且阵列孔径与步骤一中架构的互质阵列相同。内插的虚拟阵元并非真实存在的物理阵元，在实际中并不能接收信号，因此内插虚拟阵元相应位置的接收信号表示为0。内插互质阵列的接收信号可建模为：

其中，l＝0,1,…,L-1，<·>_l表示位于ld位置上的阵元所接收到的信号。

步骤四：计算内插互质阵列的采样协方差矩阵。根据步骤三中建模的内插互质阵列接收信号模型，内插互质阵列的采样协方差矩阵

可计算为：

其中，T为采样快拍的个数，(·)^H表示共轭转置。显然，由于步骤三中建模的内插互质阵列接收信号y(t)中包含零元素，

中对应于内插虚拟阵元的行与列上的元素均为零。

步骤五：构造与内插互质阵列采样协方差矩阵相对应的投影矩阵。构造一个与内插互质阵列采样协方差矩阵

维度相同的L×L维二值矩阵P，P中的元素与内插互质阵列采样协方差矩阵

中的元素一一对应：若

中某个位置上的元素为零，则P中相对应位置上的元素设置为0；若

中某个位置上的元素不为零，则P中相对应位置上的元素设置为1。

步骤六：设计基于核范数最小化的凸优化问题实现内插互质阵列协方差矩阵的重建。将采样协方差矩阵

作为参考值，内插互质阵列协方差矩阵的重建可通过构建以下优化问题实现：

其中，

表示以矢量z为第一列的厄米特对称Toeplitz矩阵；°表示Hadamard积，即矩阵中各元素一一点乘；‖·‖_F表示Frobenius范数；‖·‖_*表示核范数，μ为正则化参数，用于权衡重建误差与

的核范数；

保证了重建的内插互质阵列协方差矩阵满足半正定条件。求解上述凸优化问题可得到最优化值

相应地，重建的Toeplitz矩阵

为内插互质阵列协方差矩阵。

步骤七：根据重建的内插互质阵列协方差矩阵

进行波达方向估计。通过引入经典的方法，如多重信号分类方法、旋转不变子空间方法、求根多重信号分类方法、协方差矩阵稀疏重建方法等，可以求得波达方向估计结果。以多重信号分类方法为例，画出空间功率谱P_MUSIC(θ)

其中d(θ)是L×1维内插互质阵列导引矢量，对应于位置为由0到(L-1)d的一段均匀线性阵列；E_n是L×(L-K)维矩阵，表示内插互质阵列协方差矩阵

的噪声子空间；θ是假定的信号波达方向；通过谱峰搜索寻找空间功率谱P_MUSIC(θ)上的峰值，并将这些峰值所对应的响应值从大到小排列，取前K个峰值所对应的角度方向，即为波达方向估计结果。

本发明一方面通过内插直接将非均匀互质阵列转变为均匀线性阵列，避免了虚拟域统计信号处理过程中因虚拟阵列的非均匀性所导致的信息损失问题，在充分利用全部互质阵列接收信号信息的同时，有效地提升了DOA估计方法的自由度；另一方面，通过重建Toeplitz结构的内插互质阵列协方差矩阵，最大限度地保证了其与理论值的接近程度，确保了DOA估计的准确性。

下面结合仿真实例对本发明的效果做进一步的描述。

仿真实例1：采用互质阵列接收入射信号，参数选取为M＝3，N＝5，即架构的互质阵列共包含M+N-1＝7个物理阵元，阵列孔径为12d。假定有11个方向均匀分布于-50°至50°空间角度域范围内的非相干窄带平面波入射信号，信噪比设置为0dB，采样快拍数T＝500；正则化参数μ设置为0.25。

本发明所提出的基于内插互质阵列协方差矩阵重建的波达方向估计方法空间功率谱如图4所示，其中垂直虚线代表入射信号源的实际方向。可以看出，本发明所提方法仅利用了7个物理阵元即可实现该11个入射信号源的有效分辨。而对于传统采用均匀线性阵列的方法，利用7个物理天线阵元最多只能分辨6个入射信号源，以上结果说明本发明所提方法提升了DOA估计方法的自由度。

仿真实例2：采用互质阵列接收入射信号，其参数同样选取为M＝3，N＝5，即架构的互质阵列共包含M+N-1＝7个物理天线阵元；假定有一个远场窄带入射信号，方向随机产生且满足均值为0度、方差为1度的标准正态分布。本发明所提方法将与稀疏信号重建方法、空间平滑协方差矩阵多重信号分类方法以及利用均匀线性阵列的多重信号分类方法相比较。各方法的均方根误差随信噪比与采样快拍数之间的变化如图5、图6所示，其中图5取采样快拍数为500，图6取信噪比为10dB。对于稀疏信号重建方法及本发明所提方法，正则化参数μ设置为0.25，优化问题中的预定义网格点范围为[-90°,90°]，间距为0.1°的均匀网格点。对于空间平滑协方差矩阵多重信号分类方法和利用均匀线性阵列的多重信号分类方法，空间功率谱的谱峰搜索范围为[-90°,90°]，搜索间距为0.1°。与此同时，克拉美罗界也在图5与图6中给出，用来指示估计性能的下界。针对每一组仿真参数设置，均方根误差均通过500次蒙特卡洛实验求平均获得。

由图5与图6所示的均方根误差性能对比示意图可以看出，本发明所提方法的DOA估计均方根误差性能优于其他现有的方法，且在信噪比大于5dB情况下的性能与克拉美罗界基本重合，体现了本发明所提方法优越的DOA估计准确度。

综上所述，本发明所提方法通过内插的方法有效地增加了DOA估计的自由度，能够在信号源个数大于等于物理阵元个数的情况下实现有效的DOA估计；此外，本发明充分利用了互质阵列接收信号所包含的全部信息实现内插互质阵列协方差矩阵的重建，保证了DOA估计的准确度。

Claims (4)

1.一种基于内插互质阵列协方差矩阵重建的波达方向估计方法，其特征在于，包含以下步骤：

(1)接收端使用M+N-1个天线，并按照互质阵列结构进行架构；其中M与N为互质整数；

(2)假设有K个来自θ₁,θ₂,…,θ_K方向的远场窄带非相干信号源，则(M+N-1)×1维互质阵列接收信号x(t)建模为：

其中，s_k(t)为信号波形，n(t)为与各信号源相互独立的噪声分量，a(θ_k)为θ_k方向的导引矢量，表示为：

其中，p_id,i＝1,2,…,M+N-1表示互质阵列中第i个物理天线阵元的实际位置，且p₁＝0；d为入射窄带信号波长λ的一半，即d＝λ/2，

[·]^T表示转置操作；

(3)根据内插的思想将互质阵列转变为均匀线性阵列并构建相应的接收信号模型：通过阵元内插的方式，将虚拟阵元内插入非均匀的互质阵列，以形成一个包含L＝max((M-1)N+1,(N-1)M+1)个阵元、阵元间距为d的均匀线性阵列；由于内插的虚拟阵元并非实际存在，实际中无法接收信号，故内插互质阵列的接收信号建模为：

其中，l＝0,1,…,L-1，<·>_l表示位于ld位置上的阵元所接收到的信号；

(4)计算内插互质阵列的采样协方差矩阵：根据内插互质阵列接收信号y(t)，内插互质阵列的采样协方差矩阵

计算为：

其中，T为采样快拍的个数，(·)^H表示共轭转置；

(5)构造与内插互质阵列采样协方差矩阵相对应的投影矩阵P：投影矩阵P为一个L×L维的二值矩阵，P中的元素与内插互质阵列采样协方差矩阵

中的元素一一对应：若

中某个位置上的元素为零，则P中相对应位置上的元素设置为0；若

中某个位置上的元素不为零，则P中相对应位置上的元素设置为1；

(6)内插互质阵列协方差矩阵的重建：基于核范数最小化的内插互质阵列协方差矩阵重建问题表示为：

其中，

表示以矢量z为第一列的厄米特对称Toeplitz矩阵；°表示Hadamard积，即矩阵中各元素一一点乘；‖·‖_F表示Frobenius范数；‖·‖_*表示核范数，μ为正则化参数，用于权衡重建误差与

的核范数；

保证重建的内插互质阵列协方差矩阵满足半正定条件；求解上述优化问题得到最优化值

相应地，重建的Toeplitz矩阵

为内插互质阵列协方差矩阵；

(7)根据重建的内插互质阵列协方差矩阵

进行波达方向估计。

2.根据权利要求1所述的基于内插互质阵列协方差矩阵重建的波达方向估计方法，其特征在于：步骤(1)所述的互质阵列结构具体描述为：首先选取一对互质整数M、N；然后，构造一对稀疏均匀线性子阵列，其中第一个子阵列包含M个间距为Nd的天线阵元，其位置为0,Nd,…,(M-1)Nd，第二个子阵列包含N个间距为Md的天线阵元，其位置为0,Md,…,(N-1)Md；接着，将两个子阵列按照首个阵元重叠的方式进行子阵列组合，获得实际包含M+N-1个天线阵元的非均匀互质阵列架构。

3.根据权利要求1所述的基于内插互质阵列协方差矩阵重建的波达方向估计方法，其特征在于：步骤(7)中的波达方向估计，采用以下方法之一：多重信号分类方法、旋转不变子空间方法、协方差矩阵稀疏重建方法。

4.根据权利要求1所述的基于内插互质阵列协方差矩阵重建的波达方向估计方法，其特征在于：步骤(7)中，通过多重信号分类方法进行波达方向估计，具体为：画出空间功率谱P_MUSIC(θ)：

其中d(θ)是L×1维内插互质阵列导引矢量，对应于位置为由0到(L-1)d的一段均匀线性阵列；E_n是L×(L-K)维矩阵，表示重建的内插互质阵列协方差矩阵

的噪声子空间；θ是假定的信号波达方向；通过谱峰搜索寻找空间功率谱P_MUSIC(θ)上的峰值，并将这些峰值所对应的响应值从大到小排列，取前K个峰值所对应的角度方向，即为波达方向估计结果。

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