CN107451680A - 一种电‑气互联系统随机最优潮流启发式计算方法 - Google Patents

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CN107451680A CN201710564159.XA CN201710564159A CN107451680A CN 107451680 A CN107451680 A CN 107451680A CN 201710564159 A CN201710564159 A CN 201710564159A CN 107451680 A CN107451680 A CN 107451680A
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Abstract

本发明公布了一种电‑气互联系统随机最优潮流启发式计算方法，本发明首先在电‑气互联综合能源系统模型的基础上计及多种随机性，引入机会约束建立了基于机会约束规划的电‑气互联综合能源系统随机最优潮流模型。随后介绍了基于半不变量法和内点法的启发式算法，通过半不变量法结合Cornish‑Fisher级数的概率潮流方法将机会约束转化为确定性约束，迭代求解上述模型。算例计算结果表明基于半不变量法和内点法的启发式算法能够高效可靠的求解基于机会约束规划的电‑气互联综合能源系统随机最优潮流。

Description

一种电-气互联系统随机最优潮流启发式计算方法
技术领域
本发明涉及一种电-气互联系统随机最优潮流启发式计算方法，属于综合能源系统运行调度领域。
技术背景
能源互联网(Energy Internet,EI)已经成为全社会的共识。能源互联网是电力系统与天然气系统、交通系统等其他系统紧密耦合而形成的复杂多网流系统。其中，由于天然气的诸多优势以及联合循环轮机技术的发展，天然气系统与电力系统的联系最为紧密，使得电-气互联综合能源系统成为能源互联网的核心。
最优潮流是电-气互联综合能源系统经济调度、规划与运行、可靠性分析等问题的基础。但目前有关电-气互联综合能源系统最优潮流问题的研究考虑的均是恒定电力负荷、恒定天然气负荷以及确定性约束条件下的情形，未能计及系统运行过程中的随机因素影响。实际上，这些随机因素均会对电-气互联综合能源系统安全稳定运行产生重大影响，因此有必要在系统最优潮流分析中计及随机因素。
机会约束规划用于解决在给定置信度水平下具有不确定因素的优化问题，在电-气互联综合能源系统随机因素的处理中还鲜有涉及。对于机会约束规划的求解，随机模拟方法大多精度不高且耗时太长，因此本发明提出一种基于半不变量法和内点法的启发式算法求解基于机会约束规划的电-气互联综合能源系统随机最优潮流问题。
发明内容
发明目的：本发明针对现有方法求解效果不理想的问题提出一种电-气互联系统随机最优潮流启发式计算方法。
技术方案：本发明为实现上述目的，采用如下技术方案：
一种电-气互联系统随机最优潮流启发式计算方法，包括以下步骤：
1)建立电-气互联综合能源系统模型，包括：电力系统模型、天然气系统模型和耦合元件模型，其中天然气系统模型包括管道流量方程、压缩机消耗能量方程和节点流量平衡方程，耦合元件为燃气轮机；
2)建立基于机会约束规划的电-气互联综合能源系统随机最优潮流模型，包括：目标函数、确定性约束和机会约束，其中确定性约束包括电力系统功率平衡约束、平衡节点相角平衡约束、发电机出力约束、线路功率约束，天然气网络节点流量平衡约束、气源点天然气供应量约束、压缩机压缩比约束，机会约束包括电力系统节点电压机会约束和天然气系统节点压力机会约束；
3)导入输入随机变量数据，随机变量包括接入风电场出力的随机性、电力负荷及天然气负荷的随机性；
4)判断输入随机变量分布函数是否已知，如果输入随机变量分布函数已知继续判断输入随机变量是否服从正态分布，如果输入随机变量服从正态分布则采用常规数值方法计算半不变量，如果输入随机变量分布函数未知或不服从正态分布则采用蒙特卡洛抽样方法计算半不变量，其中，风速服从威布尔分布，电力负荷和天然气负荷均服从正态分布；
5)计算输入随机变量的各阶半不变量，对于服从正态分布和离散分布的输入随机变量，采用常规数值方法对分布函数的解析式进行推导以求得各阶半不变量的解析式；而对于服从其他分布或分布函数未知的输入随机变量，可以采用蒙特卡罗抽样方法来计算其各阶半不变量；
6)不考虑波动性，将输入随机变量期望值带入模型，形成确定性最优潮流模型，采用内点法求解，得到系统基准运行点；
7)在基准运行点处线性化，计算灵敏度矩阵；
8)根据输出随机变量和输入随机变量的线性关系、步骤5)计算的输入随机变量的各阶半不变量以及半不变量的性质计算输出随机变量的各阶半不变量；
9)采用Cornish-Fisher级数拟合输出随机变量的分位函数；
10)比较输出随机变量在机会约束置信水平的分位数与变量的边界，如果所有约束均满足，计算结束，输出结果，如果有约束违反则转步骤11)；
11)判断是否达到迭代次数，如果达到迭代次数则计算结束，如果没有达到迭代次数则调整变量的边界，转步骤6)。
进一步地，所述步骤1)中，其中天然气系统模型包括：
1)天然气管道流量方程
对于理想绝热输气管道k，其首末节点分别为m、n，其稳态流量fk,mn可表示为：
式中：fk,mn为第k条天然气管道由首节点m流向末节点n的天然气流量；cmn为与管道效率、温度、长度、内径、压缩因子等有关的常数；πm、πn分别为节点m、n的压力值；Smn反映了管道流量的方向，+1为正方向，-1为反方向；
2)压缩机消耗能量方程
压缩机k消耗的能量和等效流量可表示为：
式中：Hk,mn为位于首末节点之间的压缩机k消耗的能量；Bk为与压缩机效率、温度、天然气热值有关的常数；fcom,k为流过压缩机k的流量；Zk为与压缩机压缩因子和天然气热值有关的常数；τcom,k为压缩机k消耗能量的等效流量；αk、βk、γk为能量转换效率常数；
3)节点流量平衡方程
类似于电力系统中的节点功率平衡，根据流量守恒定律可以列写出天然气系统中节点流量平衡方程，用矩阵的形式表示为：
(A+U)f+w-Tτ＝0
式中：A为节点-管道关联矩阵；U为节点-压缩机关联矩阵；T为节点与压缩机能量消耗的关联矩阵；f为管道以及通过压缩机流量向量；τ为压缩机消耗流量向量；w为节点净注入天然气流量向量；
(2)耦合元件模型
天然气系统与电力系统通过燃气轮机组耦合，耦合关系可表示为：
式中：为燃气轮机i消耗的天然气流量；PGT,i为燃气轮机i有功出力；K2i、K1i、 K0i为燃气轮机i耗量系数。
进一步地，所述步骤2)中，基于机会约束规划的电-气互联综合能源系统随机最优潮流模型包括：
(1)目标函数
基于机会约束规划的电-气互联综合能源系统随机最优潮流模型以系统运行成本最低为目标函数，可表示为：
式中：F为系统运行成本；ΩGF为火电机组集合；ai、bi、ci为火电机组i耗量特性曲线参数；PGF,i为火电机组i有功出力；Ωg为气源点集合；Cg,j为气源点j供应天然气的成本系数；wg,j为气源点j供应的天然气流量；
(2)确定性约束
基于机会约束规划的电-气互联综合能源系统最优潮流模型约束条件分为确定性约束和机会约束，其中确定性约束包括电力系统功率平衡约束、平衡节点相角平衡约束、发电机出力约束、线路功率约束，天然气网络节点流量平衡约束、气源点天然气供应量约束、压缩机压缩比约束；
(3)机会约束
电-气互联综合能源系统中，电力系统节点电压和天然气系统节点压力是两个重要的状态量，其波动性对系统安全稳定运行影响重大，故将其改为机会约束形式，可表示为：
式中：Pr{·}表示机会约束成立的概率；Vi表示节点i的电压；Vi,max、Vi,min分别表示节点i电压的上下限；PV,max、PV,min分别表示电压上下限约束的置信水平；πj,max、πj,min分别表示节点j压力的上下限；Pπ,max、Pπ,min分别表示压力上下限约束的置信水平。
进一步地，所述步骤4)中，输入随机变量包括：
(1)风电随机性
风电受到风速等多种自然环境因素的影响，具有天然的间歇性和波动性；一般采用威布尔分布描述风速的变化，其概率密度函数可表示为：
式中：f(·)表示概率密度函数；v表示风速；k表示形状参数；c表示尺度参数；
用一台风机等效代替整个风电场，并假设无功就地完全补偿，即风电场无功出力为零。则风电场出力与风速的关系可表示为：
式中：Pw(·)表示风电场有功出力；Pr表示风电场的额定有功功率；vci表示风机的切入风速；vr表示风机的额定风速；vco表示风机的切出风速；
(2)电力负荷、天然气负荷随机性
电力负荷和天然气负荷预测存在一定的误差，假设它们均服从正态分布，其概率密度函数可表示为：
式中：EL表示电力负荷/天然气负荷；和分别表示电力负荷/天然气负荷的期望值和标准差。
进一步地，所述步骤5)中，计算输入随机变量的各阶半不变量包括：
(1)电力负荷、天然气负荷半不变量
电-气互联综合能源系统中电力负荷、天然气负荷均服从正态分布，其各阶中心矩可表示为：
式中：Mυ表示电力负荷/天然气负荷的υ阶中心矩；
根据给出的各阶半不变量和中心矩的关系有电力负荷/天然气负荷一阶半不变量二阶半不变量其余阶半不变量均为零；
(2)风电出力半不变量
风速服从威布尔分布，常规数值方法难以求得其半不变量，故采用蒙特卡罗抽样方法计算；首先根据分布函数由蒙特卡罗抽样技术得到N个样本{xs1,xs2,…,xsN}，然后计算各阶原点矩χυ：
再由各阶半不变量与原点矩的关系求得其各阶半不变量κυ：
式中：表示从υ个不同元素中取j个元素的组合数。
进一步地，所述步骤7)中基准运行点处线性化包括：
假设各随机变量独立，采用交流潮流模型，首先在基准运行点处线性化，用矩阵的形式可表示为：
式中：ΔX、ΔY分别表示电力系统状态量(电压幅值和相角)和天然气系统状态量(压力和通过压缩机流量)的不平衡量；ΔZ、ΔW分别表示节点注入功率和注入天然气流量的不平衡量；及SE0、SG0分别表示电力系统和天然气系统在基准运行点处的雅可比矩阵的逆和灵敏度矩阵。
进一步地，所述步骤8)中，计算输出随机变量的各阶半不变量包括：
输出随机变量是输入随机变量的线性和，知道输入随机变量的各阶半不变量即可计算输出随机变量的各阶半不变量；输出随机变量的各阶半不变量可由其性质得到：
式中：分别表示SE0、SG0的υ次幂。
进一步地，拟合输出随机变量的分位函数包括：
对于非正态分布的随机变量，Cornish-Fisher级数拟合其概率分布时具有更高的精度，因此本文采用Cornish-Fisher级数拟合输出随机变量的分位函数，以便在启发式算法中与机会约束边界比较；
式中：Z(α)表示随机变量在α处的分位数；ξ(α)表示标准正态分布的反函数；gυ表示规格化的υ阶半不变量，根据f(α)＝Z-1(α)即可求得输出随机变量的概率分布函数。
进一步地，所述步骤11)中，变量边界调整包括：
如果Z(Px,max)＞xi,max，则调整随机变量xi上限：
如果Z(1-Px,min)＜xi,min，则调整随机变量xi下限：
式中：xi表示输出随机变量，即电力系统节点电压或天然气系统节点压力；α为调整参数，防止随机变量上下限不合理的调整，可取1％～5％。
有益效果：本发明相对于现有技术而言：
1、在电-气互联综合能源系统模型的基础上计及风电场出力随机性以及电力负荷、天然气负荷波动性，并引入电力系统节点电压机会约束和天然气系统节点压力机会约束，建立了基于机会约束规划的电-气互联综合能源系统随机最优潮流模型，改进了现有模型，使其更接近实际运行工况。
2、提出一种基于半不变量法和内点法的启发式算法，能够高效可靠的求解基于机会约束规划的电-气互联综合能源系统随机最优潮流问题。该算法是一种解析方法，较随机模拟类方法实现简单，计算高效，是求解机会约束规划问题的有效算法。
附图说明
图1为本发明算法流程图；
图2为计算所得电力系统节点12电压概率密度曲线图；
图3为计算所得天然气系统节点16压力概率密度曲线图。
具体实施方案
下面结合附图对发明的技术流程进行详细说明：
一种基于机会约束规划的电-气互联系统随机最优潮流启发式计算方法，包括以下步骤：
1)建立电-气互联综合能源系统模型，包括：电力系统模型、天然气系统模型和耦合元件模型，其中天然气系统模型包括管道流量方程、压缩机消耗能量方程和节点流量平衡方程，耦合元件为燃气轮机；
2)建立基于机会约束规划的电-气互联综合能源系统随机最优潮流模型，包括：目标函数、确定性约束和机会约束，其中确定性约束包括电力系统功率平衡约束、平衡节点相角平衡约束、发电机出力约束、线路功率约束，天然气网络节点流量平衡约束、气源点天然气供应量约束、压缩机压缩比约束，机会约束包括电力系统节点电压机会约束和天然气系统节点压力机会约束；
3)导入输入随机变量数据，随机变量包括接入风电场出力的随机性、电力负荷及天然气负荷的随机性；
4)判断输入随机变量分布函数是否已知，如果输入随机变量分布函数已知继续判断输入随机变量是否服从正态分布，如果输入随机变量服从正态分布则采用常规数值方法计算半不变量，如果输入随机变量分布函数未知或不服从正态分布则采用蒙特卡洛抽样方法计算半不变量，其中，风速服从威布尔分布，电力负荷和天然气负荷均服从正态分布；
5)计算输入随机变量的各阶半不变量，对于服从正态分布和离散分布的输入随机变量，采用常规数值方法对分布函数的解析式进行推导以求得各阶半不变量的解析式；而对于服从其他分布或分布函数未知的输入随机变量，可以采用蒙特卡罗抽样方法来计算其各阶半不变量；
6)不考虑波动性，将输入随机变量期望值带入模型，形成确定性最优潮流模型，采用内点法求解，得到系统基准运行点；
7)在基准运行点处线性化，计算灵敏度矩阵；
8)根据输出随机变量和输入随机变量的线性关系、步骤5)计算的输入随机变量的各阶半不变量以及半不变量的性质计算输出随机变量的各阶半不变量；
9)采用Cornish-Fisher级数拟合输出随机变量的分位函数；
10)比较输出随机变量在机会约束置信水平的分位数与变量的边界，如果所有约束均满足，计算结束，输出结果，如果有约束违反则转步骤11)；
11)判断是否达到迭代次数，如果达到迭代次数则计算结束，如果没有达到迭代次数则调整变量的边界，转步骤6)。
电-气互联综合能源系统模型实施例
(1)天然气系统模型
1)天然气管道流量方程
对于理想绝热输气管道k，其首末节点分别为m、n，其稳态流量fk,mn可表示为：
式中：fk,mn为第k条天然气管道由首节点m流向末节点n的天然气流量；cmn为与管道效率、温度、长度、内径、压缩因子等有关的常数；πm、πn分别为节点m、n的压力值；Smn反映了管道流量的方向，+1为正方向，-1为反方向。
2)压缩机消耗能量方程
压缩机k消耗的能量和等效流量可表示为：
式中：Hk,mn为位于首末节点之间的压缩机k消耗的能量；Bk为与压缩机效率、温度、天然气热值有关的常数；fcom,k为流过压缩机k的流量；Zk为与压缩机压缩因子和天然气热值有关的常数；τcom,k为压缩机k消耗能量的等效流量；αk、βk、γk为能量转换效率常数。
3)节点流量平衡方程
类似于电力系统中的节点功率平衡，根据流量守恒定律可以列写出天然气系统中节点流量平衡方程，用矩阵的形式表示为：
(A+U)f+w-Tτ＝0
式中：A为节点-管道关联矩阵；U为节点-压缩机关联矩阵；T为节点与压缩机能量消耗的关联矩阵；f为管道以及通过压缩机流量向量；τ为压缩机消耗流量向量；w为节点净注入天然气流量向量。
(2)耦合元件模型
天然气系统与电力系统通过燃气轮机组耦合，耦合关系可表示为：
式中：为燃气轮机i消耗的天然气流量；PGT,i为燃气轮机i有功出力；K2i、K1i、K0i为燃气轮机i耗量系数。
基于机会约束规划的电-气互联综合能源系统随机最优潮流模型实施例
(1)目标函数
基于机会约束规划的电-气互联综合能源系统随机最优潮流模型以系统运行成本最低为目标函数，可表示为：
式中：F为系统运行成本；ΩGF为火电机组集合；ai、bi、ci为火电机组i耗量特性曲线参数；PGF,i为火电机组i有功出力；Ωg为气源点集合；Cg,j为气源点j供应天然气的成本系数；wg,j为气源点j供应的天然气流量。
(2)确定性约束
基于机会约束规划的电-气互联综合能源系统最优潮流模型约束条件分为确定性约束和机会约束，其中确定性约束包括电力系统功率平衡约束、平衡节点相角平衡约束、发电机出力约束、线路功率约束，天然气网络节点流量平衡约束、气源点天然气供应量约束、压缩机压缩比约束。
(3)机会约束
电-气互联综合能源系统中，电力系统节点电压和天然气系统节点压力是两个重要的状态量，其波动性对系统安全稳定运行影响重大，故将其改为机会约束形式，可表示为：
式中：Pr{·}表示机会约束成立的概率；Vi表示节点i的电压；Vi,max、Vi,min分别表示节点i电压的上下限；PV,max、PV,min分别表示电压上下限约束的置信水平；πj,max、πj,min分别表示节点j压力的上下限；Pπ,max、Pπ,min分别表示压力上下限约束的置信水平。
输入随机变量实例
(1)风电随机性
风电受到风速等多种自然环境因素的影响，具有天然的间歇性和波动性。一般采用威布尔分布描述风速的变化，其概率密度函数可表示为：
式中：f(·)表示概率密度函数；v表示风速；k表示形状参数；c表示尺度参数。
用一台风机等效代替整个风电场，并假设无功就地完全补偿，即风电场无功出力为零。则风电场出力与风速的关系可表示为：
式中：Pw(·)表示风电场有功出力；Pr表示风电场的额定有功功率；vci表示风机的切入风速；vr表示风机的额定风速；vco表示风机的切出风速。
(2)电力负荷、天然气负荷随机性
电力负荷和天然气负荷预测存在一定的误差，假设它们均服从正态分布，其概率密度函数可表示为：
式中：EL表示电力负荷/天然气负荷；和分别表示电力负荷/天然气负荷的期望值和标准差。
计算输入随机变量的各阶半不变量实施例
(1)电力负荷、天然气负荷半不变量
电-气互联综合能源系统中电力负荷、天然气负荷均服从正态分布，其各阶中心矩可表示为：
式中：Mυ表示电力负荷/天然气负荷的υ阶中心矩。
根据给出的各阶半不变量和中心矩的关系有电力负荷/天然气负荷一阶半不变量二阶半不变量其余阶半不变量均为零。
(2)风电出力半不变量
风速服从威布尔分布，常规数值方法难以求得其半不变量，故采用蒙特卡罗抽样方法计算。首先根据分布函数由蒙特卡罗抽样技术得到N个样本{xs1,xs2,…,xsN}，然后计算各阶原点矩χυ：
再由各阶半不变量与原点矩的关系求得其各阶半不变量κυ：
式中：表示从υ个不同元素中取j个元素的组合数。
基准运行点处线性化实施例
假设各随机变量独立，采用交流潮流模型，首先在基准运行点处线性化，用矩阵的形式可表示为：
式中：ΔX、ΔY分别表示电力系统状态量(电压幅值和相角)和天然气系统状态量(压力和通过压缩机流量)的不平衡量；ΔZ、ΔW分别表示节点注入功率和注入天然气流量的不平衡量；及SE0、SG0分别表示电力系统和天然气系统在基准运行点处的雅可比矩阵的逆和灵敏度矩阵。
计算输出随机变量的各阶半不变量实施例
输出随机变量是输入随机变量的线性和，知道输入随机变量的各阶半不变量即可计算输出随机变量的各阶半不变量。输出随机变量的各阶半不变量可由其性质得到：
式中：分别表示SE0、SG0的υ次幂。
拟合输出随机变量的分位函数实施例
对于非正态分布的随机变量，Cornish-Fisher级数拟合其概率分布时具有更高的精度，因此本文采用Cornish-Fisher级数拟合输出随机变量的分位函数，以便在启发式算法中与机会约束边界比较。
式中：Z(α)表示随机变量在α处的分位数；ξ(α)表示标准正态分布的反函数；gυ表示规格化的υ阶半不变量，根据f(α)＝Z-1(α)即可求得输出随机变量的概率分布函数。
变量边界调整实施例
如果Z(Px,max)＞xi,max，则调整随机变量xi上限：
如果Z(1-Px,min)＜xi,min，则调整随机变量xi下限：
式中：xi表示输出随机变量，即电力系统节点电压或天然气系统节点压力；α为调整参数，防止随机变量上下限不合理的调整，可取1％～5％。
基于机会约束规划的电-气互联综合能源系统随机最优潮流模型计算实施例
通过燃气轮机组耦合修改的IEEE30节点电力系统和比利时20节点天然气系统，构造电-气互联综合能源系统进行算例分析。
采用提出的基于半不变量法和内点法的启发式算法计算，计算结果如附图2、附图3及表1所示。
算例计算结果表明基于半不变量法和内点法的启发式算法能够高效可靠的求解基于机会约束规划的电-气互联综合能源系统随机最优潮流。
表1不同置信度水平计算结果比较
注：电压单位p.u，压力单位：bar 。

Claims (9)

1.一种电-气互联系统随机最优潮流启发式计算方法，其特征在于：包括以下步骤：
1)建立电-气互联综合能源系统模型，包括：电力系统模型、天然气系统模型和耦合元件模型，其中天然气系统模型包括管道流量方程、压缩机消耗能量方程和节点流量平衡方程，耦合元件为燃气轮机；
2)建立基于机会约束规划的电-气互联综合能源系统随机最优潮流模型，包括：目标函数、确定性约束和机会约束，其中确定性约束包括电力系统功率平衡约束、平衡节点相角平衡约束、发电机出力约束、线路功率约束，天然气网络节点流量平衡约束、气源点天然气供应量约束、压缩机压缩比约束，机会约束包括电力系统节点电压机会约束和天然气系统节点压力机会约束；
3)导入输入随机变量数据，随机变量包括接入风电场出力的随机性、电力负荷及天然气负荷的随机性；
4)判断输入随机变量分布函数是否已知，如果输入随机变量分布函数已知继续判断输入随机变量是否服从正态分布，如果输入随机变量服从正态分布则采用常规数值方法计算半不变量，如果输入随机变量分布函数未知或不服从正态分布则采用蒙特卡洛抽样方法计算半不变量，其中，风速服从威布尔分布，电力负荷和天然气负荷均服从正态分布；
5)计算输入随机变量的各阶半不变量，对于服从正态分布和离散分布的输入随机变量，采用常规数值方法对分布函数的解析式进行推导以求得各阶半不变量的解析式；而对于服从其他分布或分布函数未知的输入随机变量，可以采用蒙特卡罗抽样方法来计算其各阶半不变量；
6)不考虑波动性，将输入随机变量期望值带入模型，形成确定性最优潮流模型，采用内点法求解，得到系统基准运行点；
7)在基准运行点处线性化，计算灵敏度矩阵；
8)根据输出随机变量和输入随机变量的线性关系、步骤5)计算的输入随机变量的各阶半不变量以及半不变量的性质计算输出随机变量的各阶半不变量；
9)采用Cornish-Fisher级数拟合输出随机变量的分位函数；
10)比较输出随机变量在机会约束置信水平的分位数与变量的边界，如果所有约束均满足，计算结束，输出结果，如果有约束违反则转步骤11)；
11)判断是否达到迭代次数，如果达到迭代次数则计算结束，如果没有达到迭代次数则调整变量的边界，转步骤6)。
2.根据权利要求1所述的电-气互联系统随机最优潮流启发式计算方法，其特征在于：所述步骤1)中，其中天然气系统模型包括：
1)天然气管道流量方程
对于理想绝热输气管道k，其首末节点分别为m、n，其稳态流量fk,mn可表示为：
<mrow> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msqrt> <mrow> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <msub> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
式中：fk,mn为第k条天然气管道由首节点m流向末节点n的天然气流量；cmn为与管道效率、温度、长度、内径、压缩因子等有关的常数；πm、πn分别为节点m、n的压力值；Smn反映了管道流量的方向，+1为正方向，-1为反方向；
2)压缩机消耗能量方程
压缩机k消耗的能量和等效流量可表示为：
<mrow> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>k</mi> </msub> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>n</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>m</mi> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>Z</mi> <mi>k</mi> </msub> </msup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>k</mi> </msub> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>k</mi> </msub> <msubsup> <mi>H</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow>
式中：Hk,mn为位于首末节点之间的压缩机k消耗的能量；Bk为与压缩机效率、温度、天然气热值有关的常数；fcom,k为流过压缩机k的流量；Zk为与压缩机压缩因子和天然气热值有关的常数；τcom,k为压缩机k消耗能量的等效流量；αk、βk、γk为能量转换效率常数；
3)节点流量平衡方程
类似于电力系统中的节点功率平衡，根据流量守恒定律可以列写出天然气系统中节点流量平衡方程，用矩阵的形式表示为：
(A+U)f+w-Tτ＝0
式中：A为节点-管道关联矩阵；U为节点-压缩机关联矩阵；T为节点与压缩机能量消耗的关联矩阵；f为管道以及通过压缩机流量向量；τ为压缩机消耗流量向量；w为节点净注入天然气流量向量；
(2)耦合元件模型
天然气系统与电力系统通过燃气轮机组耦合，耦合关系可表示为：
式中：为燃气轮机i消耗的天然气流量；PGT,i为燃气轮机i有功出力；K2i、K1i、K0i为燃气轮机i耗量系数。
3.根据权利要求1所述的电-气互联系统随机最优潮流启发式计算方法，其特征在于：所述步骤2)中，基于机会约束规划的电-气互联综合能源系统随机最优潮流模型包括：
(1)目标函数
基于机会约束规划的电-气互联综合能源系统随机最优潮流模型以系统运行成本最低为目标函数，可表示为：
<mrow> <mi>min</mi> <mi> </mi> <mi>F</mi> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>F</mi> </mrow> </msub> </mrow> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>g</mi> </msub> </mrow> </munder> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>w</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow>
式中：F为系统运行成本；ΩGF为火电机组集合；ai、bi、ci为火电机组i耗量特性曲线参数；PGF,i为火电机组i有功出力；Ωg为气源点集合；Cg,j为气源点j供应天然气的成本系数；wg,j为气源点j供应的天然气流量；
(2)确定性约束
基于机会约束规划的电-气互联综合能源系统最优潮流模型约束条件分为确定性约束和机会约束，其中确定性约束包括电力系统功率平衡约束、平衡节点相角平衡约束、发电机出力约束、线路功率约束，天然气网络节点流量平衡约束、气源点天然气供应量约束、压缩机压缩比约束；
(3)机会约束
电-气互联综合能源系统中，电力系统节点电压和天然气系统节点压力是两个重要的状态量，其波动性对系统安全稳定运行影响重大，故将其改为机会约束形式，可表示为：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>Pr</mi> <mo>{</mo> <msub> <mi>V</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>}</mo> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>V</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>Pr</mi> <mo>{</mo> <msub> <mi>V</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>}</mo> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>V</mi> <mo>,</mo> <mi>min</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>Pr</mi> <mo>{</mo> <msub> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>&amp;pi;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>}</mo> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>Pr</mi> <mo>{</mo> <msub> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <msub> <mi>&amp;pi;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>min</mi> </mrow> </msub> <mo>}</mo> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>,</mo> <mi>min</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
式中：Pr{·}表示机会约束成立的概率；Vi表示节点i的电压；Vi,max、Vi,min分别表示节点i电压的上下限；PV,max、PV,min分别表示电压上下限约束的置信水平；πj,max、πj,min分别表示节点j压力的上下限；Pπ,max、Pπ,min分别表示压力上下限约束的置信水平。
4.根据权利要求1所述的电-气互联系统随机最优潮流启发式计算方法，其特征在于：所述步骤4)中，输入随机变量包括：
(1)风电随机性
风电受到风速等多种自然环境因素的影响，具有天然的间歇性和波动性；一般采用威布尔分布描述风速的变化，其概率密度函数可表示为：
<mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>k</mi> <mi>c</mi> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mi>v</mi> <mi>c</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>exp</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mi>v</mi> <mi>c</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mi>k</mi> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow>
式中：f(·)表示概率密度函数；v表示风速；k表示形状参数；c表示尺度参数；
用一台风机等效代替整个风电场，并假设无功就地完全补偿，即风电场无功出力为零。则风电场出力与风速的关系可表示为：
式中：Pw(·)表示风电场有功出力；Pr表示风电场的额定有功功率；vci表示风机的切入风速；vr表示风机的额定风速；vco表示风机的切出风速；
(2)电力负荷、天然气负荷随机性
电力负荷和天然气负荷预测存在一定的误差，假设它们均服从正态分布，其概率密度函数可表示为：
<mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>E</mi> <mi>L</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msqrt> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> </msqrt> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>E</mi> <mi>L</mi> </msub> </msub> </mrow> </mfrac> <mi>exp</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>E</mi> <mi>L</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <msub> <mi>E</mi> <mi>L</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>E</mi> <mi>L</mi> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：EL表示电力负荷/天然气负荷；和分别表示电力负荷/天然气负荷的期望值和标准差。
5.根据权利要求1所述的电-气互联系统随机最优潮流启发式计算方法，其特征在于：所述步骤5)中，计算输入随机变量的各阶半不变量包括：
(1)电力负荷、天然气负荷半不变量
电-气互联综合能源系统中电力负荷、天然气负荷均服从正态分布，其各阶中心矩可表示为：
式中：Mυ表示电力负荷/天然气负荷的υ阶中心矩；
根据给出的各阶半不变量和中心矩的关系有电力负荷/天然气负荷一阶半不变量二阶半不变量其余阶半不变量均为零；
(2)风电出力半不变量
风速服从威布尔分布，常规数值方法难以求得其半不变量，故采用蒙特卡罗抽样方法计算；首先根据分布函数由蒙特卡罗抽样技术得到N个样本{xs1,xs2,…,xsN}，然后计算各阶原点矩χυ：
<mrow> <msub> <mi>&amp;chi;</mi> <mi>&amp;upsi;</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>N</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>&amp;upsi;</mi> </msubsup> <mo>,</mo> <mi>&amp;upsi;</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> </mrow>
再由各阶半不变量与原点矩的关系求得其各阶半不变量κυ：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;kappa;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;chi;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;kappa;</mi> <mrow> <mi>&amp;upsi;</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;chi;</mi> <mrow> <mi>&amp;upsi;</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>&amp;upsi;</mi> </munderover> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>&amp;upsi;</mi> <mi>j</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;chi;</mi> <mi>j</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;kappa;</mi> <mrow> <mi>&amp;upsi;</mi> <mo>-</mo> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
式中：表示从υ个不同元素中取j个元素的组合数。
6.根据权利要求1所述的电-气互联系统随机最优潮流启发式计算方法，其特征在于：所述步骤7)中基准运行点处线性化包括：
假设各随机变量独立，采用交流潮流模型，首先在基准运行点处线性化，用矩阵的形式可表示为：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>X</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>J</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>Z</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>Z</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>Y</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>J</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>W</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>W</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
式中：ΔX、ΔY分别表示电力系统状态量(电压幅值和相角)和天然气系统状态量(压力和通过压缩机流量)的不平衡量；ΔZ、ΔW分别表示节点注入功率和注入天然气流量的不平衡量；及SE0、SG0分别表示电力系统和天然气系统在基准运行点处的雅可比矩阵的逆和灵敏度矩阵。
7.根据权利要求1所述的电-气互联系统随机最优潮流启发式计算方法，其特征在于：所述步骤8)中，计算输出随机变量的各阶半不变量包括：
输出随机变量是输入随机变量的线性和，知道输入随机变量的各阶半不变量即可计算输出随机变量的各阶半不变量；输出随机变量的各阶半不变量可由其性质得到：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>&amp;Delta;X</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;upsi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>S</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;upsi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>&amp;Delta;Z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;upsi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>&amp;Delta;Y</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;upsi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>S</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;upsi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>&amp;Delta;W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;upsi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
式中：分别表示SE0、SG0的υ次幂。
8.根据权利要求1所述的电-气互联系统随机最优潮流启发式计算方法，其特征在于：拟合输出随机变量的分位函数包括：
对于非正态分布的随机变量，Cornish-Fisher级数拟合其概率分布时具有更高的精度，因此本文采用Cornish-Fisher级数拟合输出随机变量的分位函数，以便在启发式算法中与机会约束边界比较；
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>Z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>&amp;xi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>6</mn> </mfrac> <msub> <mi>g</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mn>3</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mn>3</mn> <mi>&amp;xi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mn>24</mn> </mfrac> <msub> <mi>g</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mn>3</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mn>5</mn> <mi>&amp;xi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mn>36</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>g</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mn>4</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mn>6</mn> <msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>3</mn> </mrow> <mn>120</mn> </mfrac> <msub> <mi>g</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mn>4</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mn>5</mn> <msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mn>24</mn> </mfrac> <msub> <mi>g</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>12</mn> <msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mn>4</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mn>53</mn> <msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mn>324</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>g</mi> <mn>3</mn> <mn>3</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mo>...</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
式中：Z(α)表示随机变量在α处的分位数；ξ(α)表示标准正态分布的反函数；gυ表示规格化的υ阶半不变量，根据f(α)＝Z-1(α)即可求得输出随机变量的概率分布函数。
9.根据权利要求1所述的电-气互联系统随机最优潮流启发式计算方法，其特征在于：所述步骤11)中，变量边界调整包括：
如果Z(Px,max)＞xi,max，则调整随机变量xi上限：
<mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>{</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>Z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>}</mo> </mrow>
如果Z(1-Px,min)＜xi,min，则调整随机变量xi下限：
<mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mo>{</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mi>Z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>}</mo> </mrow>
式中：xi表示输出随机变量，即电力系统节点电压或天然气系统节点压力；α为调整参数，防止随机变量上下限不合理的调整，可取1％～5％。
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