CN109586313A - 无功优化的高效内点求解方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种无功优化的高效内点求解方法，内点法以其优良的计算性能，在电力系统无功优化中得到广泛的应用，然而内点法无功优化中，Hessian中元素和网络的参数、当前迭代的电压/相位以及拉格朗日乘子有关，尤其是拉格朗日乘子与电压/相位的正余弦均为乘积关系，导致大规模非常数Hessian矩阵求逆，这一步严重影响内点法计算效率，本专利针对此问题，抓住电力系统的运行特点，采用极坐标形式的潮流矩阵形式，首先将Hessian的电压/相位部分常数化，接着利用潮流方程的矩阵形式给出了Hessian矩阵的简化形式，进一步的，通过节点分组和矩阵求逆辅助定理快速的求解Hessian矩阵的逆，进而大大的提高了内点法无功优化的效率。

Description

无功优化的高效内点求解方法

技术领域

本发明涉及一种无功优化的高效内点求解方法，属于电力系统自动运行与控制技术领域。

背景技术

上世纪60年代初，法国EDF的J.Carpentier提出了最优潮流(Optimal PowerFlow，OPF)问题，被引入为运行人员提供指导。1968年，日本Kyushu电力公司首先在AGC系统上增加了系统电压自动控制功能，这可以看作是从全局的观点出发进行电压/无功闭环控制的第一步。

无功优化可以归结为求解面向无功电压的最优潮流问题。最优潮流是一种同时考虑静态安全性和系统运行经济性的数学规划问题，可以处理大量的等式与不等式约束。与经典经济调度方法相比，它能将安全运行和经济运行等问题综合地用统一的数学模型来描述，从而把经济调度和安全监控有效地结合起来。

在众多最优潮流算法中，牛顿算法由于具有较强的鲁棒性和较快的收敛速度而逐渐被广大研究者和能量管理系统开发厂商所接受，目前，已出现了以牛顿算法为核心的最优潮流商品化软件，并在实际能量管理系统中应用，国内也有类似软件。但该算法需要用附加迭代来确定有效约束集，这是它的主要缺陷。尽管在确定有效约束集方面已取得很多进展，但如何快速高效地确定有效约束集仍是制约牛顿算法在实际应用中的主要瓶颈，同时利用牛顿算法处理不等式函数约束的效果也不够理想。

内点算法于90年代初引入电力系统优化领域，由于其本质是Lagrangian函数、牛顿算法和对数壁垒函数三者的结合，因此可以很好地继承牛顿最优潮流算法的优点，并可以将函数型不等式约束与变量型不等式约束一并处理，同时也不需要构建确定单独的有效约束集程序。基于内点算法的最优潮流程序不仅能够获得系统的最优解，使系统的各种资源得到合理配置，更重要的是它还可以获得大量的经济信息，利用这些经济信息可以计算出输电费用、实时电价等重要信息，从而成为电力市场研究及实际应用中的一个极为重要的工具。这一切都使得内点算法获得了广泛关注，目前已取得的大量优秀研究成果和应用经验，使内点算法逐渐成熟，已成为当前开发最优潮流程序的首选算法。作为电网调度追求的高级目标，最优潮流已逐渐成为能量管理系统的核心软件之一，而内点算法的出现使最优潮流在实用化方面迈进了一大步。

然而，现有的内点法无功优化中，Hessian矩阵中元素和网络的参数、当前迭代的电压/相位以及拉格朗日乘子有关，尤其是拉格朗日乘子与电压/相位的正余弦均为乘积关系，导致大规模非常数Hessian矩阵求逆，这一步严重影响内点法计算效率。故需要进一步挖掘无功优化的特点加快计算速度。

发明内容

目的：为了克服现有技术中存在的不足，本发明提供一种无功优化的高效内点求解方法。

技术方案：为解决上述技术问题，本发明采用的技术方案为：

一种无功优化的高效内点求解方法，包括步骤如下：

步骤1：将电力系统所有节点分成K组，迭代次数起始值j＝1；

步骤2：当进行第j次迭代时，迭代初始组i＝1；

步骤3：建立第i组，i∈[1，...，K]所有节点列出KKT方程；

步骤4：第i组利用矩阵辅助求逆定理求解H′的逆矩阵；

步骤5：H′的逆矩阵得到后，利用分块矩阵求逆方法求得KKT方程组中系数矩阵的逆；

步骤6：求解KKT方程，得到第j次第i组更新变化量Δx，Δy；

步骤7：更新第j次第i组变量x_j和y_j为第j次迭代过程中第i组变量更新后的值；

步骤8：保持i组变量不变，重复步骤3-7更新第j次第i+1组变量；

步骤9：直至第j次第K组变量更新完毕；

步骤10：检查所有组第j次和j-1次计算结果，如果相邻两次迭代误差小于阈值δ＝10^-3，则无功优化求解结束，转至步骤11，否则转至步骤2进行第j+1次迭代，令k表示迭代次数，直至完成第k次迭代；

步骤11：无功优化的目的是得到电容器、发电厂无功出力、主变档位，而最终得到每个组的变量x＝[x₁，…，x_n]包括电容器、发电厂无功出力、主变档位信息，将以上信息从x取出。

作为优选方案，所述KKT方程矩阵形式为：

这里H′为无功优化第i组对应的Hessian矩阵；

其中，x为原始变量向量；y、z、w为拉格朗日乘子向量，即对偶变量向量；Δx，Δy，Δz，Δw为变量和等式约束对应的拉格朗日乘子的变化量，为等式约束对x的一阶导数，为等式约束对x的二阶导数，为等式约束对x的一阶导数，为等式约束对x的二阶导数。

作为优选方案，所述步骤4具体步骤如下：

4.1：将全网所有节点的电压向量V分为K组，得到更新组i电压对应的拉格朗日乘子的时Hessian矩阵为：

其中，L_vv(i)表示更新组i电压对应的拉格朗日乘子的时Hessian矩阵，B_ij为组i和组j之间的互导纳，B_ii为组i自导纳，其中，i，j∈K，λ_i为组i拉格朗日乘子，H_f为常数；

4.2：采用矩阵求逆辅助定律简化计算，由于更新组i电压对应的拉格朗日乘子的时Hessian矩阵为

L_vv(i)可以进一步写成如下形式：

其中：B_i(n，：)表示组i内的导纳矩阵的第n行，e(n)表示单位行向量，其第n个元素为1；

4.3：对组i而言，无功优化对应的Hessian矩阵为

令A＝H_f，而可写成

其中：

利用矩阵求逆辅助定理(A+BCD^T)^-1＝A^-1-A^-1B(DA^-1B+C^-1)D^TA^-1，快速的得到L_vv的逆矩阵。

作为优选方案，所述步骤5中系数矩阵的逆，求解方法如下：

有益效果：本发明提供的无功优化的高效内点求解方法，主要针对内点法中KKT方程组求解过程中复杂程度高的问题，根据电力系统的实际提供了一种hessian矩阵求逆高效方法，首先将Hessian的电压/相位部分常数化，接着利用潮流方程的矩阵形式给出了Hessian矩阵的简化形式，进一步的，通过节点分组和矩阵求逆辅助定理快速的求解Hessian矩阵的逆，进而以加快无功优化内点法的求解速度。

具体实施方式

从经济性角度出发的无功经典模型是考虑系统的网损最小化，目标函数为：

上式中：V_i表示节点i的电压幅值、V_j表示节点j的电压幅值；j∈i表示有支路连接于节点i与节点j之间；θ_ij表示节点i和j的电压相角差；G_ij表示连接于节点i和j之间的支路的电导；N表示系统节点数目。

无功优化问题的目标函数可以简化表示为：

f＝min f(x) (2)

无功优化模型中，变量x分为两大类：一类是控制变量，另一类是状态变量。

控制变量表示可以控制的自变量，包括：

(1)除平衡节点外，其他发电机组的有功出力；

(2)所有发电机及无功补偿装置的无功出力或相应的节点电压幅值；

(3)移相器抽头位置、带负荷调压变压器抽头位置。

状态变量表示控制变量的因变量，需经过潮流计算才能求得，包括各节点电压和各支路功率。

进行无功优化计算后的潮流，必须满足基本的潮流方程，即等式约束条件，表示为：

式中：P_Gi、Q_Gi分别为节点i处的发电机有功和无功出力；P_Li、Q_Li分别为节点i的有功和无功负荷；Q_Ci为节点i处的无功补偿装置的无功输出；G_ij为节点i、j之间的电导，B_ij为节点i、j之间的电纳，N为系统节点总数。

对电网进行无功优化配置和优化运行计算，需要保证电力系统一定的安全性和可靠性，因此对控制变量和通过潮流计算得出的其他变量(状态变量和函数变量)的取值应加以限制，这样就产生了大量的不等式约束条件。无功优化问题包括的不等式约束条件有：

(1)发电机节点无功出力的约束

Q_{Gi min}≤Q_Gi≤Q_{Gi max} i∈{N_PV，N_Vθ} (5)

(2)节电电压幅值的约束

V_{i min}≤V_i≤V_{i max} i∈N (6)

(3)可调变压器变比的约束

T_{i min}≤T_i≤T_{i max} i∈N_T (7)

(4)无功补偿装置最大允许补偿容量的约束

Q_{ci min}≤Q_ci≤Q_{ci max} i∈N_c (8)

(5)各支路有功传输约束

式中：

P_ij＝V_i ²G_ij-V_iV_j(G_ijcosθ_ij+B_ijsinθ_ij) (10)

式(5)-(10)中，N_T表示可调变压器的节点集；N_c表示无功补偿节点集；N_PV表示PV节点集；N_Vθ表示平衡节点集；T_i表示变压器i的变比；V_{i max}、V_{i min}表示节点i的电压上下限；Q_{Gi max}、Q_{Gi min}表示无功源i的无功功率上下限；T_{i max}、T_{i min}表示变压器i的变比的上下限；Q_{ci max}、Q_{ci min}功补偿节点i的无功装设容量上下限；表示各支路有功传输约束上限。

上述不等式约束条件可以统一表示为：

综上所述，本专利以下将电力系统无功优化问题的数学模型表示成如下非线性规划模型：

min f(x) (12)

s.t.h(x)＝0 (13)

式中：f(x)是目标函数；x＝[x₁，…，x_n]为变量组成的n维向量，包括：电容器、发电厂无功出力、主变档位、母线电压；h(x)＝[h₁(x)，…，h_m(x)]^T为潮流平衡约束条件组成的m维向量；g(x)＝[g₁(x)，…g_r(x)]^T为电容器、发电厂无功出力、主变档位、母线电压组成的r维向量；和g表示变量约束的上限、下限。

首先，引入松弛变量将不等式约束化为等式约束及变量不等式约束，将上述约束条件(14)化为：

根据式(1)，式(2)及式(4)加入对数障碍函数，可定义拉格朗日函数：

式中：x为原始变量向量；y、z、w为拉格朗日乘子向量，即对偶变量向量；下标i表示向量的第i个元素；和g表示变量约束的上限、下限；u和l分别对应于上限值、下限值的松弛变量；μ为罚因子，且μ＞0；需注意正约束条件实际上是隐含在对数障碍函数的定义中的。

无功优化中需要对拉格朗日L(x，y，l，u，z，w)函数对应的Hessian矩阵H′进行求逆，当系统规模较大时，该矩阵求逆计算量很大，为了使无功优化求解速度更快，本专利挖掘无功优化中Hessian矩阵H′的特点。

本发明基于以下三种假设：

1、无功优化中，通常只考虑电压以及无功的不等式限值，不考虑支路潮流的约束，故h(X)＝0；

2、无功优化中认为节点相位不变，这样状态变量仅剩电压幅值。

3、对于拉格朗日函数中的f项，无论是网损还是电压偏差，都是电压的二次型，且由于电力系统节点相位差很小，通常f_XX可以常数化为H_f。

在此基础上，本专利采用以下技术进行加速求解无功优化问题：

1、节点分组：

电力系统电压无功存在强相关性，这意味着电气距离很近区域的电压无功在计算上调节方向和大小容易保持一致，故本专利采用分区的方式将电压进行分类，再此基础上依次更新电压对应的拉格朗日乘子，方法如下：

将全网所有节点的电压向量V分为K组(电压节点分组方法是电力系统是电力系统成熟的技术，本专利只是应用其结果，故不再赘述)，组内节点强耦合，组间节点弱耦合，以下将一个系统分为4组的例子：

这里B_ij为组i和组j之间的互导纳，B_ii为组i自导纳，其中，i，j∈K；则对上述分成4组的系统而言，由于组之间弱耦合，更新组i的电压对应的拉格朗日乘子时，则可忽略其他组之间的自导纳和互导纳，以组1为例，此时无功优化对应的Hessian矩阵可分成：

以更新组1的拉格朗日乘子λ₁为例，利用组内节点强相关特性，则对应的四组拉格朗日乘子中，组2、3、4的拉格朗日乘子更新量为0，λ₁的更新只通过B₁₁，B₁₂，B₁₃，B₁₄实现。

综上，更新组i电压对应的拉格朗日乘子的时Hessian矩阵为：

这里L_vv(i)表示更新组i电压对应的拉格朗日乘子的时Hessian矩阵。

2、矩阵辅助求逆定理：

当更新组i的拉格朗日乘子λ_i时，仍然要计算B_ii的逆矩阵，当组i的规模较大时，计算量仍然比较大，为此本专利采用矩阵求逆辅助定律简化计算，由于更新组i电压对应的拉格朗日乘子的时Hessian矩阵为

L_vv(i)可以进一步写成如下形式：

这里B_i(n，：)表示组i内的导纳矩阵的第n行，e(n)表示单位行向量，其第n个元素为1。

对组i而言，无功优化对应的Hessian矩阵为

如令A＝H_f，而可写成

其中：

可见利用矩阵求逆辅助定理(A+BCD^T)^-1＝A^-1-A^-1B(DA^-1B+C^-1)D^TA^-1，L_vv的逆矩阵可以快速的得到。

综上所属，一种无功优化的高效内点求解方法，包括如下步骤：

步骤1：将电力系统所有节点分成K组，迭代次数起始值j＝1。

步骤2：当进行第j次迭代时，迭代初始组i＝1；

步骤3：建立第i组(i∈[1，...，K])所有节点列出KKT方程，此时其他K-1组对应的优化变量x、y、z、w保持为该组第j-1次计算结果，并写成矩阵形式为：

这里H′为无功优化第i组对应的Hessian矩阵。

其中Δx，Δy，Δz，Δw为变量和等式约束对应的拉格朗日乘子的变化量，为等式约束对x的一阶导数，为等式约束对x的二阶导数，为等式约束对x的一阶导数，为等式约束对x的二阶导数。

步骤4：第i组利用矩阵辅助求逆定理求解H′的逆矩阵；

步骤5：H′的逆矩阵得到后，利用分块矩阵求逆方法求得KKT方程组中系数矩阵的逆，求解方法如下：

步骤6：求解得到第j次第i组更新变化量Δx，Δy。

步骤7：更新第j次第i组变量这里x_j和y_j为第j次迭代过程中第i组变量更新后的值。

步骤8：保持i组变量不变，重复步骤3-7更新第j次第i+1组变量。

步骤9：直至第j次第K组变量更新完毕。

步骤10：检查所有组第j次和j-1次计算结果，如果相邻两次迭代误差小于阈值δ＝10^-3，则无功优化求解结束，转至步骤11，否则转至步骤2进行第j+1次迭代，令k表示迭代次数，直至完成第k次迭代。

步骤11：无功优化的目的是得到电容器、发电厂无功出力、主变档位，而最终得到每个组的变量x＝[x₁，…，x_n]包括电容器、发电厂无功出力、主变档位信息，将以上信息从x取出。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (4)

1.一种无功优化的高效内点求解方法，其特征在于：包括步骤如下：

步骤1：将电力系统所有节点分成K组，迭代次数起始值j＝1；

步骤2：当进行第j次迭代时，迭代初始组i＝1；

步骤3：建立第i组，i∈[1，...，K]所有节点列出KKT方程；

步骤4：第i组利用矩阵辅助求逆定理求解H′的逆矩阵；

步骤5：H′的逆矩阵得到后，利用分块矩阵求逆方法求得KKT方程组中系数矩阵的逆；

步骤6：求解KKT方程，得到第j次第i组更新变化量Δx，Δy；

步骤7：更新第j次第i组变量x_j和y_j为第j次迭代过程中第i组变量更新后的值；

步骤8：保持i组变量不变，重复步骤3-7更新第j次第i+1组变量；

步骤9：直至第j次第K组变量更新完毕；

步骤10：检查所有组第j次和j-1次计算结果，如果相邻两次迭代误差小于阈值δ＝10^-3，则无功优化求解结束，转至步骤11，否则转至步骤2进行第j+1次迭代，令k表示迭代次数，直至完成第k次迭代；

步骤11：无功优化的目的是得到电容器、发电厂无功出力、主变档位，而最终得到每个组的变量x＝[x₁，…，x_n]包括电容器、发电厂无功出力、主变档位信息，将以上信息从x取出。

2.根据权利要求1所述的无功优化的高效内点求解方法，其特征在于：所述KKT方程矩阵形式为：

这里H′为无功优化第i组对应的Hessian矩阵；

其中，x为原始变量向量；y、z、w为拉格朗日乘子向量，即对偶变量向量；Δx，Δy，Δz，Δw为变量和等式约束对应的拉格朗日乘子的变化量，为等式约束对x的一阶导数，为等式约束对x的二阶导数，为等式约束对x的一阶导数，为等式约束对x的二阶导数。

3.根据权利要求1所述的无功优化的高效内点求解方法，其特征在于：所述步骤4具体步骤如下：

4.1：将全网所有节点的电压向量V分为K组，得到更新组i电压对应的拉格朗日乘子的时Hessian矩阵为：

其中，L_vv(i)表示更新组i电压对应的拉格朗日乘子的时Hessian矩阵，B_ij为组i和组j之间的互导纳，B_ii为组i自导纳，其中，i，j∈K，λ_i为组i拉格朗日乘子，H_f为常数；

4.2：采用矩阵求逆辅助定律简化计算，由于更新组i电压对应的拉格朗日乘子的时Hessian矩阵为

L_vv(i)可以进一步写成如下形式：

其中：B_i(n，：)表示组i内的导纳矩阵的第n行，e(n)表示单位行向量，其第n个元素为1；

4.3：对组i而言，无功优化对应的Hessian矩阵为

令A＝H_f，而可写成

其中：

利用矩阵求逆辅助定理(A+BCD^T)^-1＝A^-1-A^-1B(DA^-1B+C^-1)D^TA^-1，快速的得到L_vv的逆矩阵。

4.根据权利要求2所述的无功优化的高效内点求解方法，其特征在于：所述步骤5中系数矩阵的逆，求解方法如下：