CN107423546A - 基于Copula函数的多变量水文不确定性处理方法 - Google Patents

基于Copula函数的多变量水文不确定性处理方法 Download PDF

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Abstract

本发明提供一种基于Copula函数的多变量水文不确定性处理方法，采用该方法能够进行水文预报，其特征在于，包括以下步骤：步骤1. 收集流域的水文气象基础资料和定量降水预报数据；步骤2. 建立水文模型得到不同预见期的预报流量过程；步骤3. 确定实测流量和预报流量的边缘分布函数；步骤4. 利用Copula函数构建实测流量和预报流量的联合概率分布函数；步骤5. 根据步骤3估计的边缘分布函数和步骤4构建的联合概率分布函数求解不同预见期实测流量的贝叶斯后验转移概率密度函数；步骤6. 依据步骤5所得的不同预见期实测流量的贝叶斯后验转移概率密度函数，通过全概率公式获取实测流量过程的贝叶斯后验联合概率密度函数。

Description

基于Copula函数的多变量水文不确定性处理方法
技术领域
本发明属于水库洪水预报领域，具体涉及一种基于Copula函数的多变量水文不确定性处理方法。
技术背景
洪水预报是防洪非工程措施的重要内容之一，直接服务于防汛抢险、水资源合理利用与保护、水利工程建设和调度运用管理。水文模型输入、参数和结构等不确定性的存在，必将导致水文模型输出的洪水预报结果也存在不确定性。因此，以概率分布的形式定量描述和估计水文预报不确定性，不仅在理论上更加科学合理，而且在实践应用中能使决策者定量考虑风险信息，实现水文预报与决策过程的有机结合。
贝叶斯概率预报系统(Bayesian Forecasting System，BFS)是一个基于贝叶斯统计原理进行概率预报的方法性框架，可以与任意确定性水文模型协同工作。水文不确定性处理器(Hydrologic Uncertainty Processor，HUP)作为贝叶斯预报系统(BFS)的一个重要组件，用来量化除定量降水预报不确定性以外的其他所有不确定性，在实际中应用相当广泛。然而，HUP只能独立地给出各预见期实测流量的贝叶斯后验概率密度，而没有考虑它们之间的内在相关性结构，属于单变量结构类型。Krzysztofowicz和Maranzano(2004)以转移概率密度为工具，提出了基于转移概率预报(Probabilistic Transition Forecast，PTF)的多变量水文不确定性处理器(multivariate HUP，MHUP)，可以在给定确定性预报过程的条件下提供实测流量过程的后验联合概率密度函数，考虑了不同预见期流量之间的内在相关性结构。PTF是MHUP的基本组成构件，目前通常采用基于正态分位数转换(NQT)和线性-正态假设的亚高斯(meta-Guassian)模型计算其先验密度和似然函数。这种正态分位数转换在外推极端事件时效果不稳健，且逆转换时也可能使结果偏离最优值，影响了该法的适用性。目前，没有文献将Copula函数引入PTF和MHUP的研究中。
发明内容
本发明是为了解决上述问题而进行的，目的在于提供一种基于Copula函数的多变量水文不确定性处理方法。
本发明为了实现上述目的，采用了以下方案：
本发明提供一种基于Copula函数的多变量水文不确定性处理方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1.收集流域的水文气象基础资料和定量降水预报数据；
步骤2.建立水文模型得到不同预见期的预报流量过程：
根据步骤1中的水文气象基础资料建立水文模型，并将步骤1水文气象基础资料中的实测降水数据和定量降水预报数据输入建立的水文模型，得到不同预见期的预报流量过程；
步骤3.确定实测流量和预报流量的边缘分布函数：
根据步骤1水文气象基础资料中的实测流量数据和步骤2中得到的预报流量数据资料，选取适当的边缘分布线型，并估计其参数，确定实测流量和预报流量的边缘概率分布函数；
步骤4.利用Copula函数构建实测流量和预报流量的联合概率分布函数：
根据步骤1中的实测流量数据和步骤2中得到的预报流量数据资料，采用Copula函数构造实测流量和模拟流量的联合概率分布函数，并估计Copula函数的参数；
步骤5.根据步骤3估计的边缘分布函数和步骤4构建的联合概率分布函数求解不同预见期实测流量的贝叶斯后验转移概率密度函数；
步骤6.依据步骤5所得的不同预见期实测流量的贝叶斯后验转移概率密度函数，通过全概率公式获取实测流量过程的贝叶斯后验联合概率密度函数。
本发明提供的基于Copula函数的多变量水文不确定性处理方法，还可以具有以下特征：
在步骤5中，根据贝叶斯公式，预见期k实测流量Hk的贝叶斯后验转移概率密度函数为：
其中，φk(hk|hk-1,sk)为Hk的后验转移概率密度函数；rk(hk|hk-1)为先验转移概率密度函数，代表了实测流量过程的先验转移不确定性；对于确定的Sk＝sk，函数fk(sk|hk-1,hk)为Hk的似然函数，反映了确定性预报模型的预报能力；
借助Copula函数，给定Hk-1＝hk-1、Sk＝sk时，预见期k实际流量Hk的贝叶斯后验转移概率密度函数表示为：
其中，为三维Copula函数的密度函数。
本发明提供的基于Copula函数的多变量水文不确定性处理方法，还可以具有以下特征：
在步骤6中，实测流量过程具备一阶马尔可夫过程的性质。
本发明提供的基于Copula函数的多变量水文不确定性处理方法，还可以具有以下特征：
在步骤6中，是令当前实测流量H0＝h0、确定性预报过程随机向量SK＝(S1,...,SK)的实现值为sK＝(s1,...,sK)，推求得到实测流量过程随机向量HK＝(H1,...,HK)的贝叶斯后验联合概率密度函数；
利用全概率公式，贝叶斯后验联合概率密度函数ξ(hK|h0,sK)为：
利用贝叶斯后验转移概率密度函数计算每一个因式φk(hk|hk-1,sk)(k＝1,2,...,K)，可以得到实测流量过程的贝叶斯后验联合概率密度函数ξ(hK|h0,sK)。
发明的作用与效果
与现有技术相比，本发明的有益效果在于：
(1)本发明提供了基于Copula函数的概率转移预报方法(Copula-PTF)，不需要进行线性-正态假设，可以在原始流量数据空间给出PTF贝叶斯后验转移密度函数的解析表达式，能够很好地捕捉流量过程的非线性和非正态特征，适用范围更广。
(2)本发明提出的基于Copula函数的多变量水文不确定性处理方法(Copula-MHUP)，可以在已知确定性预报过程的条件下，更加灵活地给出考虑实测流量过程内在相关性结构的后验联合概率密度函数，为分析水文预报不确定性在时间上的演变规律提供了有效工具。
附图说明
图1为本发明实施例所涉及的基于Copula函数的多变量水文不确定性处理方法的流程图；
图2为本发明实施例中基于Copula函数的贝叶斯后验转移概率密度函数的示意图。
具体实施方式
以下结合附图对本发明涉及的基于Copula函数的多变量水文不确定性处理方法的具体实施方案进行详细地说明。
<实施例>
如图1所示，本实施例所提供的基于Copula函数的多变量水文不确定性处理方法包括以下步骤：
步骤1.收集流域的水文气象基础资料和定量降水预报数据：
本实施例中收集的流域水文气象基础资料包括实测降雨、蒸发和流量数据资料。降雨资料指的是研究流域的面平均降雨量，通过流域上多个代表性降雨站点利用算术平均法计算得到，流域蒸发资料可以从气象站获得，流量资料是指流域出口断面的代表性水文站的实测流量过程，从水文站的水文年鉴获取；
流域定量降水预报数据可以从欧洲中期天气预报中心(ECMWF)、中国气象局(CMA)、美国国家环境预报中心(NCEP)及日本气象厅(JMA)等预报中心获取；本实施例中定量降水预报数据来源于CMA天气预报中心，采用流域各栅格点的CMA预报降水的算术平均值作为流域面平均降水量预报值；
步骤2.建立水文模型得到不同预见期的预报流量过程：
步骤2-1.建立水文模型：
根据步骤1中的水文气象基础资料建立水文模型，新安江模型的产流采用蓄满产流的方式，模型由蒸散发、蓄满产流、流域水源划分和汇流四个部分组成。把径流总量划分为地面径流、壤中流和地下径流，用流域蓄水曲线体现下垫面的不均匀对产流的影响；本实施例中，在汇流计算时，地面径流采用单位线法，壤中流和地下径流采用线性水库法计算，河道汇流计算用马斯京根分段演算法；
根据流域的气候、地质地貌、植被土壤实际情况，本实施例中选用新安江模型作为模拟流域降雨径流关系的水文模型；
步骤2-2.计算不同预见期的预报流量过程：
根据步骤1中的实测降雨、蒸发和流量数据资料，采用遗传算法自动率定所选水文模型的参数；
本实施例中新安江模型参数率定的目标函数，采用实测和计算流量误差平方和最小准则，如下式所示：
式中：Qt和分别为实测流量和模拟流量，n表示实测资料的时段数；
将步骤1中的实测降水和定量降水预报数据，输入步骤2建立的水文模型，得到不同预见期的预报流量过程。
步骤3.确定实测流量和预报流量的边缘概率分布函数：
令H0表示预报时刻的当前实际流量，Hk、Sk(k＝1,2,…,K)分别表示待预报的实际流量和确定性预报流量，K为预见期长度；h0、hk、sk分别为H0、Hk、Sk的实现值，考虑到实测变量H0和Hk具有相同的边缘概率分布，在表示概率分布函数和密度函数时统一表示为随机变量H；
本实施例中需要估计H和Sk的边缘概率分布函数，由于H和Sk的总体分布频率线型是未知的，通常选用能较好拟合多数水文样本资料系列的线型，对于我国大部分河流的流量资料拟合较好的P-III型分布作为H和Sk的边缘分布线型；
选定频率分布线型后，需要估计频率分布的参数，目前常用的方法主要包括矩法、极大似然法、适线法、概率权重矩法、权函数法和线性矩法等，其中，线性矩法对序列的极值没有常规矩那么敏感，求得的参数估计值比较稳健，因此本实施例中采用线性矩法对参数进行估计；
步骤4.利用Copula函数构建实测流量和预报流量的联合概率分布函数：
PTF中预见期k的实测流量Hk被认为同时与预见期k-1的实测流量Hk-1和对应的预报流量Sk相关，令Hk-1、Hk和Sk的边缘分布函数分别为u1＝FH(hk-1)、u2＝FH(hk)和相应的概率密度函数分别为fH(hk-1)、fH(hk)和依据Copula函数理论，Hk-1、Hk和Sk的联合概率分布函数可以表示为如下公式：
一般而言，Hk-1、Hk和Sk之间存在正相关关系且相关性不对称，本实施例中，采用三维非对称Frank Copula函数构造Hk-1、Hk和Sk的联合概率分布函数，其表达式如下：
其中，参数θ＝{θ2,θ1}为三维Copula函数的参数，且满足θ2≥θ1＞0；
目前常用来估计三维Copula函数的参数的方法主要有极大似然法、边际推断法和核密度估计法等。极大似然法在实际中应用广泛，本实施例中采用极大似然法来估计三维非对称Frank Copula函数的参数；
步骤5.求解不同预见期实测流量的贝叶斯后验转移概率密度函数：
根据步骤3估计的边缘分布函数和步骤4构建的联合概率分布函数求解不同预见期实测流量的贝叶斯后验转移概率密度函数；
根据贝叶斯公式，预见期k实测流量Hk的后验转移概率密度函数为：
其中，φk(hk|hk-1,sk)为Hk的后验转移概率密度函数；rk(hk|hk-1)为先验转移概率密度函数，代表了实测流量过程的先验转移不确定性；对于确定的Sk＝sk，函数fk(sk|hk-1,hk)为Hk的似然函数，反映了确定性预报模型的预报能力；
借助Copula函数，给定Hk-1＝hk-1、Sk＝sk时，预见期k实际流量Hk的后验转移概率密度函数可以表示为：
其中，为三维Copula函数的密度函数。
任意给定预见期k-1的实测流量Hk-1和确定性预报流量Sk的取值，就可以求解实测流量Hk的后验转移概率密度函数，实现流量的转移概率预报；需要指出的是，在实际分析实测流量Hk的后验不确定性时，实测流量Hk-1的真实取值是未知的，其取值状态可以是可行域中的任何值，因此是多种多样的；图2给出了基于Copula函数的贝叶斯后验转移概率密度函数的示意图；
步骤6.获取实测流量过程的贝叶斯后验联合概率密度函数：
多变量水文不确定性处理方法(MHUP)的目的是在给定当前实测流量H0＝h0、确定性预报过程随机向量SK＝(S1,...,SK)的实现值sK＝(s1,...,sK)的条件下，推求得到实测流量过程随机向量HK＝(H1,...,HK)的后验联合概率密度函数；
利用全概率公式，后验联合概率密度函数ξ(hK|h0,sK)可以因式分解为：
其中，φk(hk|h0,...,hk-1,sk)为后验条件概率密度函数；
本实施例中假设实测流量过程实测流量过程具备一阶马尔可夫过程的性质，即预见期k的实测流量hk仅与预见期k-1的实测流量hk-1有关，而与之前预见期的实测流量无关，φk(hk|h0,...,hk-1,sk)可以简化为φk(hk|hk-1,sk)。
相应地，式(6)可以表示为：
利用式(5)计算每一个因式φk(hk|hk-1,sk)(k＝1,2,...,K)，可以得到实测流量过程的贝叶斯后验联合概率密度函数ξ(hK|h0,sK)。
综上，本发明通过收集流域水文气象基础资料和定量降水预报数据，建立水文模型得到不同预见期的预报流量过程的基础上，确定实测流量和预报流量的边缘概率分布函数，利用Copula函数构建实测流量和预报流量的联合概率分布函数，进而求解不同预见期实测流量的贝叶斯后验转移概率密度函数，获取实测流量过程的贝叶斯后验联合概率密度函数。本发明提出的基于Copula函数的概率转移预报方法(Copula-PTF)，不需要进行线性-正态假设，可以在原始流量数据空间给出PTF贝叶斯后验转移概率密度函数的解析表达式，能够很好地捕捉流量过程的非线性和非正态特征，适用范围更广。进而提出的基于Copula函数的多变量水文不确定性处理方法(Copula-MHUP)，可以在已知确定性预报过程的条件下，更加灵活地给出考虑实测流量过程内在相关性结构的后验联合概率密度函数，为分析水文预报不确定性在时间上的演变规律提供了有效工具。
以上实施例仅仅是对本发明技术方案所做的举例说明。本发明所涉及的基于Copula函数的多变量水文不确定性处理方法并不仅仅限定于在以上实施例中所描述的内容，而是以权利要求所限定的范围为准。本发明所属领域技术人员在该实施例的基础上所做的任何修改或补充或等效替换，都在本发明的权利要求所要求保护的范围内。

Claims (4)

1.一种基于Copula函数的多变量水文不确定性处理方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1.收集流域的水文气象基础资料和定量降水预报数据；
步骤2.建立水文模型得到不同预见期的预报流量过程：
根据步骤1中的水文气象基础资料建立水文模型，并将步骤1水文气象基础资料中的实测降水数据和定量降水预报数据输入建立的水文模型，得到不同预见期的预报流量过程；
步骤3.确定实测流量和预报流量的边缘分布函数：
根据步骤1水文气象基础资料中的实测流量数据和步骤2中得到的预报流量数据资料，选取适当的边缘分布线型，并估计其参数，确定实测流量和预报流量的边缘概率分布函数；
步骤4.利用Copula函数构建实测流量和预报流量的联合概率分布函数：
根据步骤1中的实测流量数据和步骤2中得到的预报流量数据资料，采用Copula函数构造实测流量和模拟流量的联合概率分布函数，并估计Copula函数的参数；
步骤5.根据步骤3估计的边缘分布函数和步骤4构建的联合概率分布函数求解不同预见期实测流量的贝叶斯后验转移概率密度函数；
步骤6.依据步骤5所得的不同预见期实测流量的贝叶斯后验转移概率密度函数，通过全概率公式获取实测流量过程的贝叶斯后验联合概率密度函数。
2.根据权利要求1所述的基于Copula函数的多变量水文不确定性处理方法，其特征在于：
在步骤5中，根据贝叶斯公式，预见期k实测流量Hk的贝叶斯后验转移概率密度函数为：
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其中，φk(hk|hk-1,sk)为Hk的后验转移概率密度函数；rk(hk|hk-1)为先验转移概率密度函数，代表了实测流量过程的先验转移不确定性；对于确定的Sk＝sk，函数fk(sk|hk-1,hk)为Hk的似然函数，反映了确定性预报模型的预报能力；
借助Copula函数，给定Hk-1＝hk-1、Sk＝sk时，预见期k实际流量Hk的贝叶斯后验转移概率密度函数表示为：
<mrow> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>h</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>u</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>u</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>u</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>3</mn> </msup> <mi>C</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>u</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>u</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>u</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>/</mo> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>H</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>h</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
其中，为三维Copula函数的密度函数。
3.根据权利要求2所述的基于Copula函数的多变量水文不确定性处理方法，其特征在于：
在步骤6中，实测流量过程具备一阶马尔可夫过程的性质。
4.根据权利要求3所述的基于Copula函数的多变量水文不确定性处理方法，其特征在于：
在步骤6中，是令当前实测流量H0＝h0、确定性预报过程随机向量SK＝(S1,...,SK)的实现值为sK＝(s1,...,sK)，推求得到实测流量过程随机向量HK＝(H1,...,HK)的贝叶斯后验联合概率密度函数；
利用全概率公式，贝叶斯后验联合概率密度函数ξ(hK|h0,sK)为：
<mrow> <mi>&amp;xi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>h</mi> <mi>K</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>h</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>K</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Pi;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>h</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
利用步骤5得到的贝叶斯后验转移概率密度函数计算每一个因式φk(hk|hk-1,sk)(k＝1,2,...,K)，得到实测流量过程的贝叶斯后验联合概率密度函数ξ(hK|h0,sK)。
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