CN109299853B - 一种基于联合概率分布的水库调度函数提取方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于联合概率分布的水库调度函数提取方法，通过收集水库基础资料和长系列实测径流资料，对水库进行确定性优化调度得到最优调度过程样本系列，确定决策变量和状态变量的边缘概率分布函数，并利用Copula函数构建决策变量和状态变量的联合概率分布函数，进而推求给定状态变量时决策变量的条件概率分布函数，进行水库调度函数提取及不确定性分析。本发明提取的水库调度函数能准确地捕捉决策变量与状态变量内在的非线性和异方差相关性结构，计算的置信区间估计值能够定量评估水库调度的不确定性，为决策风险分析提供了有益的参考依据。

Description

一种基于联合概率分布的水库调度函数提取方法

技术领域

本发明属于水库调度领域，特别涉及一种基于联合概率分布的水库调度函数提取方法。

背景技术

水库调度函数是水库调度规则的一种重要形式，它表达了面临时段水库下泄水量(决策变量)与当前蓄水量以及面临时段入库水量(状态变量)之间的函数关系，是水库中长期实际调度操作的重要依据。通常采用隐随机优化方法制定水库调度函数，即首先根据长系列实测径流资料，运用确定性优化方法得到最优调度过程样本，然后对该样本进行统计分析获取水库最优调度函数。

由于水库确定性优化调度相对较为成熟，国内外学者的研究焦点主要集中在如何构建决策变量与状态变量样本的统计回归关系。目前常用的水库调度函数提取方法主要包括多元线性回归、人工神经网络、支持向量机和遗传规划等。多元线性回归直观、简便，但难以准确表示水库调度决策变量状态变量间的非线性关系。虽然人工神经网络、支持向量机和遗传规划等人工智能方法可以在一定程度上描述变量间的非线性特征，但都仍然存在着一些问题和不足。人工神经网络需要大量的参数，且网络结构的选择至今尚无统一而完整的理论指导，只能由经验选定。支持向量机对缺失数据敏感，对非线性问题没有通用解决方案，必须谨慎选择核函数来处理。遗传规划需要随机产生大规模的初始种群不可避免地导致收敛效率低，且存在回归公式过于复杂和不稳定的问题。此外，以上方法均只提取一个确定性的水库调度函数，得到决策变量的点估计值，无法反映这一点估计值的精度和可靠程度，给实际风险决策带来较大的困难。

Copula理论可以将多个相关随机变量的边缘分布连接起来构造联合分布，能很好地捕捉水文变量的非正态特征和它们之间的非线性、异方差关系，在水文水资源领域的得到了广泛的应用。目前，没有文献将基于Copula理论的联合概率分布方法应用于水库调度函数提取研究中。

发明内容

针对现有技术存在的不足，本发明提供了一种基于联合概率分布的水库调度函数提取方法。

为解决上述技术问题，本发明采用如下的技术方案：

一种基于联合概率分布的水库调度函数提取方法，包括步骤：

步骤1，收集水库基础资料和长系列实测径流资料；

步骤2，根据步骤1中的数据资料，对水库进行确定性优化调度，得到最优调度过程，统计决策变量和状态变量样本系列；

步骤3，根据步骤2中的决策变量和状态变量样本系列，利用核密度估计方法计算边缘概率分布函数；

步骤4，根据步骤2中的样本系列，采用Copula函数构造决策变量和状态变量的联合概率分布函数，并估计Copula函数的参数；

步骤5，根据步骤3估计的边缘概率分布函数和步骤4构建的联合概率分布函数推求给定状态变量时决策变量的条件概率分布函数；

步骤6，依据步骤5所得的条件概率分布函数，进行水库调度函数提取及不确定性分析。

所述步骤2中，用户根据实际情况选择适当的确定性优化方法，包括但不限于动态规划法(DP)，离散微分动态规划方法(DDDP)，逐次优化算法(POA)和遗传算法(GA)。

所述步骤2中，将面临时段水库下泄水量作为决策变量，时段初水库蓄水量和面临时段入库水量作为状态变量。

所述步骤3中，将高斯分布作为核密度估计的核函数，窗口带宽采用试错法确定。

所述步骤4中，采用Gumbel-Hougaard Copula函数构造决策变量和状态变量的联合概率分布函数，分别采用Kendall秩相关性系数法和极大似然法估计二维和三维非对称Gumbel-Hougaard Copula函数的参数。

本发明通过收集水库基础资料和长系列实测径流资料，对水库进行确定性优化调度得到最优调度过程样本系列，确定决策变量和状态变量的边缘概率分布函数，并利用Copula函数构建决策变量和状态变量的联合概率分布函数，进而推求给定状态变量时决策变量的条件概率分布函数，进行水库调度函数提取及不确定性分析。

与现有技术相比，本发明的有益效果在于：

(1)本发明能很好地捕捉决策变量与状态变量内在的非线性和异方差相关性结构。

(2)本发明计算的置信区间估计值能够定量评估估计的不确定性，为水库调度风险分析提供了有益的参考依据。

附图说明

图1是本发明方法的流程图。

图2是基于联合概率分布提取的水库调度函数示意图。

具体实施方式

下面通过实施例，并结合附图对本发明作进一步说明。

如图1-图2所示，一种基于联合概率分布的水库调度函数提取方法，收集水库基础资料和长系列实测径流资料，对水库进行确定性优化调度得到最优调度过程样本系列，确定决策变量和状态变量的边缘概率分布函数，并利用Copula函数构建决策变量和状态变量的联合概率分布函数，进而推求给定状态变量时决策变量的条件概率分布函数，进行水库调度函数提取及不确定性分析。图1是本实施例的计算流程图，按照以下步骤进行：

1.收集水库基础资料和长系列实测径流资料。

本具体实施中收集的相关水库基础资料包括水位库容曲线、下游水位流量关系和水电站出力限制、最大过流能力限制、最小下泄流量等。收集的水库长系列实测径流资料的时间尺度为月，长度为n年。

2.水库确定性优化调度。

确定性水库优化调度问题的基本思路是：对于调度期T，在已知入库流量过程和满足各约束条件的前提下，寻求使得总效益最大化或损失最小化的最优水库调度策略。根据步骤1中的数据资料，建立确定性水库优化调度模型，选取适当的优化算法进行求解，本步骤包括两个子步骤：

2.1建立水库优化调度模型

本具体实施中调度时段长为月，调度期的总时段数为T＝12n。模型主要包括目标函数和约束条件两部分。

本具体实施中采用的目标函数为总效益最大化，即优化目标为：

其中，F_T表示调度期T内的总效益；E_t为第t时段的效益。

本具体实施中的约束条件为：

(1)水量平衡约束：

S_t+1＝S_t+I_t-R_t (2)

其中，S_t、S_t+1分别为第t时段和第t+1时段初水库蓄水量；I_t和R_t分别代表第t时段的入库水量和水库下泄水量。

(2)水库库容约束：

其中，

为第t时段的库容下界，一般是死库容；

为第t时段的库容上界，在汛期为汛限水位对应的库容，非汛期为正常蓄水位对应的库容。

(3)下泄水量约束：

其中，

为第t时段按综合利用要求确定的最小下泄水量；

为第t时段水库允许的最大过流能力。

(3)初始与终止库容约束：

S₁＝S_b；S_T+1＝S_e (5)

其中，S_b和S_e分别为调度期初、末水库蓄水量。

2.2优化求解

确定性水库优化调度是一个典型的多阶段决策问题，优化目标具有可分离性，决策具有无后效性。本具体实施中采用动态规划方法求解建立的水库优化调度模型，具体算法如下：

(1)阶段变量：阶段变量为水库运行计算时段序号t。则t为面临时段，t+1～T为余留时期。

(2)状态变量：以第t时段初水库蓄水量S_t为状态变量。

(3)决策变量：以第t时段水库下泄水量R_t为决策变量，允许的取值范围为决策集合D_t，即R_t∈D_t。

(4)状态转移方程：状态转移方程为水量平衡方程，即式(2)。

(5)递推方程：将总效益最大化的目标函数按动态规划原理及其逐时段递推算法表达为如下递推方程：

其中，

表示水库由调度计算期初始状态出发沿最优运行轨迹转移至S_t的累积效益。利用以上方法逐阶段使用递推方程(6)，就可以得到各时段的最优调度过程，即逐时段的水库下泄水量和时段初水库蓄水量过程。

本具体实施中将面临时段水库下泄水量R_t作为决策变量，时段初水库蓄水量S_t和面临时段入库水量I_t作为状态变量，以此建立决策变量R_t与状态变量S_t、I_t的统计关系作为水库调度函数。

由于在研究水库随机优化调度时，假定水库优化调度过程具有以年为周期的变化特性，即各年中相同时段的水库调度函数具有相同的变化规律。本具体实施中调度时段长为月，因此就有12个不同的水库调度函数。本具体实施中将调度期的总时段数T＝12n分解为12个决策变量R_t与状态变量S_t、I_t样本系列，每个系列的长度为n。

3.确定决策变量和状态变量的边缘概率分布函数。

根据步骤2中得到的决策变量R_t与状态变量S_t、I_t样本系列，利用核密度估计方法计算边缘概率分布函数。常用的核函数主要有均匀分布、三角分布、伽玛和高斯分布等，其中高斯分布使用最为广泛。

本具体实施中采用高斯分布作为核密度估计的核函数，并利用试错法确定窗口带宽。

4.利用Copula理论构建决策变量和状态变量的联合概率分布函数。

根据步骤2中得到的决策变量R_t与状态变量S_t、I_t样本系列以及步骤3中估计的边缘概率分布函数，选取适当的Copula函数作为连接函数构造R_t与S_t、I_t的联合概率分布函数，并估计其参数，本步骤包括两个子步骤：

4.1选择Copula函数

令R_t、S_t和I_t的边缘分布函数分别为

和

相应的概率密度函数分别为

和

由Copula理论可知，S_t和I_t的联合概率分布函数可以用一个二维Copula函数C表示：

本具体实施中，采用Gumbel-Hougaard Copula函数构造S_t和I_t的联合概率分布函数，表达式如下：

其中，θ为二维Copula函数的参数，且满足θ≥1。

同理，根据Copula理论可以将R_t、S_t和I_t的联合概率分布函数写为：

一般而言，R_t、S_t和I_t之间存在正相关关系且相关性不对称。本具体实施中，采用三维非对称Gumbel-Hougaard Copula函数构造R_t、S_t和I_t的联合概率分布函数，其表达式如下：

其中，参数θ＝{θ₂，θ₁}为三维Copula函数的参数，且满足θ₂≥θ₁≥1。

4.2估计Copula函数的参数

目前常用来估计Copula函数的参数的方法主要有Kendall相关系数法、非参数法、极大似然法、边际推断法和核密度估计法等。其中，Kendall相关系数法基于相关系数τ与参数θ的关系，通过样本计算相关系数τ来反算参数θ，适用于二维情形。极大似然法的思想是将似然函数关于参数θ最大化，得到参数向量θ的估计值，广泛应用于三维及以上Copula函数的参数估计。

本具体实施中，采用Kendall秩相关性系数法估计二维Gumbel-Hougaard Copula函数的参数，极大似然法估计三维非对称Gumbel-Hougaard Copula函数的参数。

5.求解给定状态变量的决策变量条件概率分布函数。

给定状态变量S_t和I_t取值时，所对应的决策变量R_t的取值并非唯一，而是可大可小，只是出现不同取值的概率有所不同，存在着一个条件概率分布函数

F_t(r_t|s_t，i_t)＝P(R_t≤r_t|S_t＝s_t，I_t＝i_t) (11)

借助Copula函数，条件概率分布函数F_t(r_t|s_t，i_t)可以表示为：

其中，

为二维Copula函数的密度函数。

6.水库调度函数提取及不确定性分析。

得到决策变量R_t的条件概率分布函数F_t(r_t|s_t，i_t)后，，可以计算得到中位数作为决策变量R_t点估计值，据此得到的决策变量R_t中位数函数即为提取的水库调度函数。同时，获取给定置信水平下的区间估计进行不确定性分析。

决策变量R_t的中位数r_tm通过下式求解：

F_t(r_tm|s_t，i_t)＝0.5 (13)

本具体实施中采用二分法试算求解式(13)得到数值解。

通过求解任意给定S_t＝s_t、I_t＝i_t时的决策变量R_t的中位数r_tm，就可以得到基于联合概率分布提取的水库调度函数，如下式所示：

R_t＝r_tm(S_t，I_t) (14)

如图2所示，给出了基于联合概率分布提取的水库调度函数示意图。其中，圆点为决策变量R_t与状态变量S_t、I_t样本系列，光滑曲面代表水库调度函数。

选择一定的置信水平(1-ξ)，令决策变量R_t取值出现在分布两端的概率为ξ，就可以定义R_t的区间估计，置信下、上限分别由以下两式给出：

F_t(r_tl|s_t，i_t)＝ξ₁ (15)

F_t(r_tu|s_t，i_t)＝1-ξ₂ (16)

其中，ξ₁+ξ₂＝ξ，表示显著性水平；本具体实施中取ξ₁＝ξ₂＝ξ/2。

本具体实施中采用二分法试算求解式(15)、(16)得到数值解。因此

P(r_tl≤R_t≤r_tu)＝1-ξ (17)

即[r_tl，r_tu]为决策变量R_t的置信水平(1-ξ)的区间估计，根据置信区间可以对决策变量R_t估计值的不确定性进行定量评估。

综上，本发明通过收集水库基础资料和长系列实测径流资料，对水库进行确定性优化调度得到最优调度过程样本系列，确定决策变量和状态变量的边缘概率分布函数，并利用Copula函数构建决策变量和状态变量的联合概率分布函数，进而推求给定状态变量时决策变量的条件概率分布函数，进行水库调度函数提取及不确定性分析。本发明提取的水库调度函数能准确地捕捉决策变量与状态变量内在的非线性和异方差相关性结构，计算的置信区间估计值能够定量评估水库调度的不确定性，为决策风险分析提供了有益的参考依据。

Claims (3)

1.一种基于联合概率分布的水库调度函数提取方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤1，收集水库基础资料和长系列实测径流资料；

步骤2，根据步骤1中的数据资料，对水库进行确定性优化调度，得到最优调度过程，统计决策变量R_t和状态变量S_t、I_t样本系列；将面临时段水库下泄水量作为决策变量R_t，时段初水库蓄水量S_t和面临时段入库水量作为状态变量I_t；

步骤3，根据步骤2中的决策变量R_t和状态变量S_t、I_t样本系列，选取适当的边缘概率分布函数线型，并估计边缘概率分布函数的参数；

步骤4，根据步骤2中的样本系列，采用Copula函数构造决策变量R_t和状态变量S_t、I_t的联合概率分布函数，并估计Copula函数的参数；采用Gumbel-Hougaard Copula函数构造决策变量R_t和状态变量S_t、I_t的联合概率分布函数，分别采用Kendall秩相关性系数法和极大似然法估计二维和三维非对称Gumbel-Hougaard Copula函数的参数；

步骤5，根据步骤3估计的边缘概率分布函数和步骤4构建的联合概率分布函数推求给定状态变量S_t、I_t时决策变量R_t的条件概率分布函数；

步骤6，依据步骤5所得的条件概率分布函数，进行水库调度函数提取及不确定性分析；

其中步骤4中利用Copula理论构建决策变量R_t和状态变量S_t、I_t的联合概率分布函数；根据步骤2中得到的决策变量R_t与状态变量S_t、I_t样本系列以及步骤3中估计的边缘概率分布函数，选取适当的Copula函数作为连接函数构造R_t与S_t、I_t的联合概率分布函数，并估计其参数，包括两个子步骤：

4.1选择Copula函数

令R_t、S_t和I_t的边缘分布函数分别为

和

相应的概率密度函数分别为

和

由Copula理论可知，S_t和I_t的联合概率分布函数可以用一个二维Copula函数C表示：

采用Gumbel-Hougaard Copula函数构造S_t和I_t的联合概率分布函数，表达式如下：

其中，θ为二维Copula函数的参数，且满足θ≥1；

同理，根据Copula理论可以将R_t、S_t和I_t的联合概率分布函数写为：

采用三维非对称Gumbel-Hougaard Copula函数构造R_t、S_t和I_t的联合概率分布函数，其表达式如下：

其中，参数

为三维Copula函数的参数，且满足θ₂≥θ₁≥1；

4.2估计Copula函数的参数：采用Kendall秩相关性系数法估计二维Gumbel-HougaardCopula函数的参数θ，基于相关系数τ与参数θ的关系，通过样本计算相关系数τ来反算参数θ；采用极大似然法估计三维非对称Gumbel-Hougaard Copula函数的参数

通过将似然函数关于参数

最大化，得到参数向量

的估计值。

2.如权利要求1所述的一种基于联合概率分布的水库调度函数提取方法，其特征在于：所述步骤2中，用户根据实际情况选择适当的确定性优化方法，包括但不限于动态规划法(DP)，离散微分动态规划方法(DDDP)，逐次优化算法(POA)和遗传算法(GA)。

3.如权利要求1所述的一种基于联合概率分布的水库调度函数提取方法，其特征在于：所述步骤3中，将高斯分布作为核密度估计的核函数，窗口带宽采用试错法确定。

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