CN109814178A - 基于Copula-模型条件处理器的水文概率预报方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于Copula‑模型条件处理器的水文概率预报方法，采用该方法能够进行水文预报，包括以下步骤：步骤1.收集流域的水文气象基础资料和定量降水预报数据；步骤2.建立水文模型得到不同预见期的预报流量过程；步骤3.确定实测流量和预报流量的边缘分布函数；步骤4.利用Copula函数构建实测流量和预报流量的联合概率分布函数；步骤5.根据步骤3估计的边缘分布函数与步骤4构建的联合概率分布函数求得以初始预报值为条件的预报量的分布函数;步骤6.根据步骤5得到的分布函数获取实测流量的中位数和不确定性区间。本发明具有不需进行正态‑线性假设，综合评价水文不确定性的特点，具有更好的适用性。

Description

基于Copula-模型条件处理器的水文概率预报方法

技术领域

本发明属于洪水预报领域，具体地说是一种基于Copula-模型条件处理器的水文概率预报方法。

背景技术

洪水预报是非工程防洪减灾措施的重要组成内容，也是水文科学研究的热点问题。但一直以来，洪水预报提供的都是一种确定性的定值预报。由于自然水文过程的复杂性和人类认识水平的局限性，实时洪水的预报中不可避免地存在输入、模型结构和模型参数的不确定性。这些不确定性的存在，必将导致洪水预报结果也具有不确定性，但在当前的实际防洪工作中，由于采用的是确定性的定值预报结果，因而无法对调度方案及防洪决策的可能风险做出客观评估。因此，通过将确定性水文预报模型与不确定性统计分析相耦合，获得未来洪水过程的概率分布，实现概率预报，不仅能提供与常规洪水预报方法相类同的单值预报结果(如采用分布的均值、中值、众数或其他分位数)，而且可以提供该预报值发生可能性大小的估计，以此进行防洪调度，可以对决策方案的可靠性及风险大小做出定量评价，具有重要的科学意义和应用价值。

模型条件处理器(Model Conditional Processor，MCP)是基于洪水测量信息与确定性模型预报信息的联合概率分布，通过非参数变换技术，将预测不确定性投影至正态空间中，但这种正态分位数转换在外推极端事件时效果不稳健，且逆转换时也可能使结果偏离最优值，影响了该法的适用性。鉴于Copula函数能较好地模拟水文过程的非线性和非正态特征，在构建多变量联合分布和条件分布中具有巨大优势，适用范围更广，应用更加灵活。目前，没有文献将Copula函数引入MCP的研究中。

发明内容

本发明是为了解决上述问题而进行的，目的在于提供一种基于Copula-模型条件处理器的水文概率预报方法。

本发明为了实现上述目的，采用了以下方案：

一种基于Copula-模型条件处理器的水文概率预报方法，其特征是，包括以下步骤：

步骤1.收集流域的水文气象基础资料和定量降水预报数据；

步骤2.建立水文模型得到不同预见期的预报流量过程；

步骤3.确定实测流量和预报流量的边缘分布函数：根据步骤1中的实测流量数据和步骤2中得到的预报流量数据资料，选取适当的边缘分布线型，并估计其参数，确定实测流量和预报流量的边缘分布函数；

步骤4.利用Copula函数构建实测流量和预报流量的联合概率分布函数；

根据步骤1中的实测流量数据和步骤2中得到的预报流量数据资料，采用Copula函数构造实测和预报流量的联合概率分布函数，并估计Copula函数的参数；

步骤5.根据步骤3估计的边缘分布函数与步骤4构建的联合概率分布函数求得以初始预报值为条件的预报量的分布函数；

步骤6.根据步骤5得到的分布函数，应用数理统计原理，计算获取实测流量的中位数作为定值模拟结果，同时也获取给定置信区间下的不确定性模拟区间。

进一步地，所述步骤2中，根据步骤1中的水文气象基础资料建立水文模型，并将步骤1中水文气象基础资料中的实测降水数据和定量降水预报数据输入建立的水文模型，得到不同预见期的预报流量过程。

进一步地，所述步骤3中，将Log–Weibull分布作为实测流量和模拟流量的边缘分布函数线型。

进一步地，所述步骤5中，假设Y是实测流量，是预见期为k的预报流量，y是实测流量Y的实现值，是预报流量的实现值，则以初始预报值为条件的预报量的概率密度函数为:

其中，为实测流量y和预见期为k的预报流量的联合概率密度函数，为预见期为k的预报流量的边缘概率密度函数；

借助Copula函数，实测流量和预报流量的联合概率分布函数可以表示为：

其中，C_θ(u₁,u₂)为以Copula函数表示的实测流量与预报流量联合分布，θ为Copula函数的参数；u₁＝F_y(y)，F_y(y)和为边缘分布函数；

当给定时，Y的条件分布函数可表示为：

其中，u₁＝F_y(y)，F_y(y)和为边缘分布函数；

则其条件分布概率密度函数为：

其中，为以预报流量为条件的实测流量条件分布函数，C_θ(u₁,u₂)与c_θ(u₁,u₂)分别为以Copula函数表示的实测流量与预报流量联合概率分布函数与联合概率密度函数，f_y(y)为实测流量的边缘概率密度函数。

进一步地，所述步骤6中，实测流量的中位数Q₅₀通过下式求解：

其中，是以初始预报值为条件的预报量y的概率密度函数。

进一步地，所述步骤6中，获取给定置信区间下的不确定性模拟区间的方法为：

选择一定的置信水平(1-ξ)，令实测流量取值出现在分布两段的概率为ξ，定义实测流量的区间估计，随机变量Y的置信上、下限分别由以下两式给出：

其中：是以初始预报值为条件的预报量y的概率密度函数，h₁与h₂分别为Y的置信上、下限，ξ₁+ξ₂＝ξ，为显著性水平，ξ₁和ξ₂根据实际问题任意选择，取ξ₁＝ξ₂＝ξ/2；

因此有

P(h₁≤Y≤h₂)＝1-ξ (18)

即[h₁,h₂]为随机变量的置信水平(1-ξ)的区间估计,根据置信区间对实测流量估计值的不确定性进行定量评价。

本发明考虑了大量水文过程既不是线性的也不是正态的，直接利用Copula函数构建实测流量和模拟流量的联合概率分布函数，得到以初始预报值为条件的预报量的分布函数，从而获取实测流量的中位数和不确定性区间，据此分析水文模型的综合不确定性。

与现有技术相比，本发明的有益效果在于：

(1)本发明提供了基于Copula-模型条件处理器(MCP)的水文概率预报方法，不需要进行非参数变换技术将预测不确定性投影至正态空间中，运用Copula函数直接联合实测流量与模拟流量，减少了空间转换过程中的不确定性，适用范围更广。

(2)本发明可以与任一复杂度的确定性水文模型进行耦合，不需对模型进行任何假定，为分析水文模型的综合不确定性提供了通用性的理论框架。

(3)本发明提出的基于Copula-模型条件处理器(MCP)的水文概率预报方法，可以再已知确定性预报过程的条件下，更加灵活地给出考虑实测流量过程内在相关性结构的条件概率密度函数，为综合水文不确定性分析提供了更广适用性的理论框架。

附图说明

图1为本发明实施例所涉及的基于Copula-模型条件处理器(MCP)的水文概率预报方法的流程图。

图2为依时段延后多次模拟示意图。

图3为实测流量理论边缘分布函数值(采用Log-Weibull分布计算得到)与经验边缘概率分布函数值对的情况示意图。

图4为模拟流量理论边缘分布函数值(采用Log-Weibull分布计算得到)与经验边缘概率分布函数值对比情况示意图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式，进一步阐明本发明，应理解下述具体实施方式仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围。

下面结合实例对本发明作更进一步的说明。

步骤1.收集流域的水文气象基础资料和定量降水预报数据；

步骤2.建立水文模型得到不同预见期的预报流量过程；

步骤3.确定实测流量和预报流量的边缘分布函数；

步骤4.利用Copula函数构建实测流量和预报流量的联合概率分布函数；

步骤5.根据步骤3估计的边缘分布函数与步骤4构建的联合概率分布函数求得以初始预报值为条件的预报量的分布函数(或概率密度函数)；

步骤6.根据步骤5得到的分布函数，应用数理统计原理，计算获取实测流量的中位数作为定值模拟结果，同时也可以获取给定置信区间下的不确定性模拟区间。

具体实施过程如下：基于Copula-模型条件处理器(MCP)的水文概率预报方法，包括如下步骤：

1.收集流域的水文气象基础资料和定量降水预报数据。

本实施例中收集的流域水文气象基础资料包括实测降雨、蒸发和流量数据资料。降雨资料指的是研究流域的面平均降雨量，通过流域上多个代表性降雨站点利用算术平均法计算得到，流域蒸发资料可以从气象站获得，流量资料是指流域出口断面的代表性水文站的实测流量过程，从水文站的水文年鉴获取。

2.建立水文模型得到不同预见期的预报流量过程

2-1建立水文模型

根据步骤1中的水文气象基础资料建立合适的水文模型，新安江模型的产流采用蓄满产流的方式，模型由蒸散发、蓄满产流、流域水源划分和汇流四个部分组成。把径流总量划分为地面径流、壤中流和地下径流，用流域蓄水曲线体现下垫面的不均匀对产流的影响。

根据流域的气候、地质地貌、植被土壤实际情况，本实施例中选用新安江模型作为模拟流域降雨径流关系的水文模型。

2-2计算不同预见期的预报流量过程

一般流域洪水只有二十场左右，远远小于Copula计算所需洪水场次，且不同预见期的洪水规律不同，因此我们可以先将已知的洪水输入水文模型，得到预见期k的模拟结果。与刚刚起始时段相隔一个时段开始，与刚模拟出的模拟结果再输入水文模型进行模拟，得到模拟结果。重复上述步骤，可得到Copula计算所需场次数。

图2给出了依时段延后多次模拟得到模拟流量的示意图

3.确定实测流量和预报流量的边缘分布函数

3-1选择边缘分布函数线型

由于实测流量和模拟流量的总体分布频率线型是未知的，通常选用能较好拟合多数水文样本资料系列的线型。本实施中我们选取Log-Weibull分布来拟合实测流量和模拟流量的边缘分布函数。

3-2估计边缘分布函数线型的参数

当频率分布线型选定后,接下来需要进行估计频率分布的参数。目前常用的方法主要有矩法、极大似然法、适线法、概率权重矩法、权函数法和线性矩法等。本实例中采用矩法。

图3与图4分别给出了采用Log-Weibull分布计算得到的实测流量、模拟流量理论边缘概率分布函数值与经验边缘概率分布函数值对比图。其中经验边缘概率分布函数值采用期望值公式计算求得。

4.利用Copula函数构建实测流量和预报流量的联合概率分布函数。

根据步骤1中的实测流量数据、步骤2中得到的预报流量数据资料和步骤3中估计的边缘概率分布函数，采用适当的Copula函数构造实测和预报流量的联合概率分布函数，并估计Copula函数的参数。

4-1选择Copula函数

令Y表示实测流量系列，表示模拟流量系列(k＝1,2,…,K),K为预见期长度；y和分别为Y和的实现值。F_y(y)和是边缘分布函数，相应的概率密度函数为f_y(y)和由Sklar定理可知,Y和的联合分布可以用一个二维Copula函数C表示：

其中，θ为Copula函数的参数；u₁＝f_y(y)，F_y(y)和为边缘分布函数。

本具体实施例中，采用Gumbel-Hougaard Copula函数、Clayton Copula函数和Frank Copula函数分别构造实测流量和模拟流量的联合分布函数，其表达式分别如下：

Gumbel-Hougaard Copula函数：

Clayton Copula函数：

Frank Copula函数：

4-2估计Copula函数参数

本具体实施中,采用Kendall秩相关性系数法估计三个Copula函数的参数。Kendall相关系数τ与Copula函数参数θ的分别关系为：

Gumbel-Hougaard Copula函数：

Clayton Copula函数：

Frank Copula函数：

实际计算中，先计算出实测流量与模拟流量两序列的Kendall秩相关系数τ，再根据以上关系求得Copula函数的参数值，继而得到联合分布函数。采用均方根误差与AIC信息准则对理论联合分布函数的拟合优度进行评价。

均方根误差是用来衡量观测数据和真值之间的偏差。它的计算公式如下：

式中：F_em(x_i1,x_i2,…x_it)为经验概率联合分布，C(u_i1,u_i2,…u_it)为理论联合分布值，N为观测数据长度，k是模型中未知参数的个数。

AIC信息准则是用于评价模型优劣的一种统计方法。当样本容量较大时，其分析结果可靠性相对较好。其计算公式如下：

AIC＝Nln(MSE)+2k(10)

公式中各参数意义同均方根误差表达形式。当AIC计算值越小时，其所对应的Copula函数与经验联合分布拟合的效果也越好。

根据均方根误差与AIC信息准则的结果优选Copula函数。

5.根据步骤3估计的边缘分布函数与步骤4构建的联合概率分布函数求得以初始预报值为条件的预报量的分布函数(或概率密度函数)以初始预报值为条件的预报量的概率密度函数为:

其中，实测流量和预见期为k的预报流量的联合概率密度函数，为预见期为k的预报流量的边缘概率密度函数。

借助Copula函数，实测流量和预报流量的联合概率分布函数可以表示为：

其中，θ为Copula函数的参数；u₁＝f_y(y)，F_y(y)和为边缘分布函数；

当给定时，Y的条件分布函数可表示为：

则其条件分布概率密度函数为：

6.根据步骤5得到的分布函数，应用数理统计原理，计算获取实测流量的中位数作为定值模拟结果，同时也可以获取给定置信区间下的不确定性模拟区间。

实测流量的中位数Q₅₀通过下式求解：

其中，是以初始预报值为条件的预报量y的概率密度函数。

选择一定的置信水平(1-ξ)，令实测流量取值出现在分布两段的概率为ξ，就可以定义实测流量的区间估计。随机变量Y的置信上、下限分别由以下两式给出：

其中：是以初始预报值为条件的预报量y的概率密度函数，

ξ₁+ξ₂＝ξ，为显著性水平，ξ₁和ξ₂可以根据实际问题任意选择，本具体实施例中取ξ₁＝ξ₂＝ξ/2。

因此有

P(h₁≤Y≤h₂)＝1-ξ(18)

即[h₁,h₂]为随机变量的置信水平(1-ξ)的区间估计,根据置信区间可以对实测流量估计值的不确定性进行定量评价。

以上实施例仅仅是对本发明技术方案所做的举例说明。本发明所涉及的基于Copula-模型条件处理器(MCP)的水文概率预报方法并不仅仅限定于在以上实施例中所描述的内容,而是以权利要求所限定的范围为准。本发明所属领域技术人员在该实施例的基础上所做的任何修改或补充或等效替换,都在本发明的权利要求所要求保护的范围内。

Claims (6)

1.一种基于Copula-模型条件处理器的水文概率预报方法，其特征是，包括以下步骤：

步骤1.收集流域的水文气象基础资料和定量降水预报数据；

步骤2.建立水文模型得到不同预见期的预报流量过程；

步骤3.确定实测流量和预报流量的边缘分布函数：根据步骤1中的实测流量数据和步骤2中得到的预报流量数据资料，选取适当的边缘分布线型，并估计其参数，确定实测流量和预报流量的边缘分布函数；

步骤4.利用Copula函数构建实测流量和预报流量的联合概率分布函数；

根据步骤1中的实测流量数据和步骤2中得到的预报流量数据资料，采用Copula函数构造实测和预报流量的联合概率分布函数，并估计Copula函数的参数；

步骤5.根据步骤3估计的边缘分布函数与步骤4构建的联合概率分布函数求得以初始预报值为条件的预报量的分布函数；

步骤6.根据步骤5得到的分布函数，应用数理统计原理，计算获取实测流量的中位数作为定值模拟结果，同时也获取给定置信区间下的不确定性模拟区间。

2.根据权利要求1所述的基于Copula-模型条件处理器的水文概率预报方法，其特征是，所述步骤2中，根据步骤1中的水文气象基础资料建立水文模型，并将步骤1中水文气象基础资料中的实测降水数据和定量降水预报数据输入建立的水文模型，得到不同预见期的预报流量过程。

3.根据权利要求1所述的基于Copula-模型条件处理器的水文概率预报方法，其特征是，所述步骤3中，将Log-Weibull分布作为实测流量和模拟流量的边缘分布函数线型。

4.根据权利要求1所述的基于Copula-模型条件处理器的水文概率预报方法，其特征是，所述步骤5中，假设Y是实测流量，是预见期为k的预报流量，y是实测流量Y的实现值，是预报流量的实现值，则以初始预报值为条件的预报量的概率密度函数为：

其中，为实测流量y和预见期为k的预报流量的联合概率密度函数，为预见期为k的预报流量的边缘概率密度函数；

借助Copula函数，实测流量和预报流量的联合概率分布函数可以表示为：

其中，C_θ(u₁，u₂)为以Copula函数表示的实测流量与预报流量联合分布，θ为Copula函数的参数；u₁＝F_y(y)，F_y(y)和为边缘分布函数；

当给定时，Y的条件分布函数可表示为：

其中，u₁＝F_y(y)，F_y(y)和为边缘分布函数；

则其条件分布概率密度函数为：

其中，为以预报流量为条件的实测流量条件分布函数，C_θ(u₁，u₂)与c_θ(u₁，u₂)分别为以Copula函数表示的实测流量与预报流量联合概率分布函数与联合概率密度函数，f_y(y)为实测流量的边缘概率密度函数。

5.根据权利要求1所述的基于Copula-模型条件处理器的水文概率预报方法，其特征是，所述步骤6中，实测流量的中位数Q₅₀通过下式求解：

其中，是以初始预报值为条件的预报量y的概率密度函数。

6.根据权利要求1所述的基于Copula-模型条件处理器的水文概率预报方法，其特征是，所述步骤6中，获取给定置信区间下的不确定性模拟区间的方法为：

选择一定的置信水平(1-ξ)，令实测流量取值出现在分布两段的概率为ξ，定义实测流量的区间估计，随机变量Y的置信上、下限分别由以下两式给出：

其中：是以初始预报值为条件的预报量y的概率密度函数，h₁与h₂分别为Y的置信上、下限，ξ₁+ξ₂＝ξ，为显著性水平，ξ₁和ξ₂根据实际问题任意选择，取ξ₁＝ξ₂＝ξ/2；

因此有

P(h₁≤Y≤h₂)＝1-ξ (18)

即[h₁，h₂]为随机变量的置信水平(1一ξ)的区间估计，根据置信区间对实测流量估计值的不确定性进行定量评价。