CN107274028A - 一种基于混合Copula函数的多风场出力预测方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于混合Copula函数的多风场出力预测方法,它包括以下步骤:1)构建混合Copula函数模型;2)模型选择和参数估计;3)具有相关性的多风场出力预测。本发明通过结合4种Copula函数构建混合Copula函数模型,提出了一种基于混合Copula函数的多风场出力预测方法,它对相同区域内的风电场风出力之间存在较强的相关性进行分析,解决了地域上具有相关性的多风场并网出力预测问题。
Description
技术领域
本发明涉及一种基于混合Copula函数的多风场出力预测方法, 属于电气工程技术领域。
背景技术
风能作为目前使用最广泛的可持续新资源之一,其资源开发具 有集中式、连片式的特点。由于地域和气候的相似性,一定区域内 的风电场风电出力之间具有很强的相关性。由于这种相关性会影响 电力系统安全稳定运行而受到越来越多的研究者的重视。
在实际系统运行过程中,通过分析风电场出力的随机特性,构 建典型风电出力场景,针对典型场景制定应对风功率随机变化的措 施,是求解含风电电力系统优化运行问题的一种重要手段。
传统的风电出力预测模型中假定并网风电的预测误差服从正态 分布,虽然符合统计学规律,但没有考虑并网之前多风场之间的相 关性。当并网风电是从两个或多个区域风电场合并得到时,各风场 出力是具有时空上的相关性的。相同区域内的风电场风出力之间存 在较强的相关性,而传统的风场出力预测方法并没有考虑相关性。
发明内容
针对现有技术的不足,本发明提出了一种基于混合Copula函数 的多风场出力预测方法,其能够有效解决地域上具有相关性的多风 场并网出力预测问题。
本发明解决其技术问题采取的技术方案是:一种基于混合Copula函数的 多风场出力预测方法,其特征是,包括以下步骤:
1)构建混合Copula函数模型;
2)模型选择和参数估计;
3)具有相关性的多风场出力预测。
进一步地,在步骤1)中,所述的混合Copula函数模型为:
其中,Ck(u1,u2;θk)为已知的Copula函数,u1,u2为随机变量,θk为相依参数, λk为权重系数,满足0≤λk≤1,K=4,已知的Copula函数包括Gauss-Copula 函数、Frank-Copula函数、Gumbel-Copula函数和Clayton-Copula函数。
进一步地,在步骤2)中,模型选择和参数估计的过程包括以下步骤:首 先构建惩罚似然函数,其次对边缘分布的估计,然后对混合Copula函数中的 权重参数和相依参数进行估计,最后采用交叉验证法来对γ和α进行估计。
进一步地,所述构建惩罚似然函数的过程为:
假设二维随机变量(X,Y)的边缘分布为X~FX(x;α),Y~GY(y;β),且其 混合Copula函数为则(X,Y)的联合分布为:
其中,
则(X,Y)的密度函数为:
其中,
在得到参数Φ的估计值之前,首先求出(X,Y)的极大似然函数:
其中,fx(xi;α)和gy(yi;β)为边缘密度函数;(xn,yn)为来自(X,Y)的样本, n=1,2,…,N,N为样本容量;
构建的惩罚似然函数为:
其中,{pγT}是光滑参数,控制模型的复杂性。
进一步地,所述对边缘分布的估计的过程就是对采用非参数核密度估计,得到密度函数的估计值和从而得到边缘分 布函数的估计值和
所述对混合Copula函数中的权重参数和相依参数进行估计的过程为:把边 缘分布函数的估计值代入二元Gauss-Copula的概率密度函数,得到:
并采用EM算法来估计(λk,θk)。
进一步地,所述非参数核密度估计为:
设K1(·)为R1上的一个给定概率密度函数。hm>0是一个与m有关的常数, 满足n→∞,hm→0,则称
为f(x)的一个核密度估计,其中,K1(·)为核函数,hm称为窗宽或光滑参数。
进一步地,所述采用EM算法来估计(λk,θk)的过程为:
E步,求期望:给定观测数据X和当前系数估计值,计算完全数据的对 数似然函数lnp(X,Y|θ)关于未知数据Y的条件期望分布,即:
其中,θi-1为已知的当前系数的估计值;
M步,求极大值:将Q(θ|θi-1,Y)关于θ极大化,即找一个θi点,使得
从而形成了一次迭代θi→θi-1;
最后将上述E步和M步进行迭代直至||θi-θi-1||或||Q(θi|θi-1,Y)-Q(θi-1|θi-1,Y)||充分小为止。
进一步地,在采用EM算法来估计(λk,θk)的过程需要用到而该式没有显式表达形式,采用拟牛顿法中的BFGS算法来得到θ的更新方 程;
设采用拟牛顿法中的BFGS算法 来得到θ的更新方程的具体过程包括以下步骤:
Step1:给定初始点θ1,允许误差ε>0;
Step2:设矩阵H1=IK(K阶单位矩阵),计算出在θ1处的梯度置i=1;
Step3:令迭代方向di=-Higi;
Step4:从θi出发,沿着方向di进行线性搜索,使它满足令θi+1=θi+αidi;
Step5:检验是否满足收敛准则,若则停止迭代,得到近似 解θ=θi+1,否则,进行Step6;
Step6:若i=K,则令θ1=θi+1,返回进行Step2,否则进行Step7;
Step7:令pi=θi+1-θi,qi=gi+1-gi,同时令
置i=i+1,返回Step3。
进一步地,所述采用交叉验证法来对γ和α进行估计的过程为:
设D为完整的数据集,把完整的数据分成m分,Di,i=1,2,…,m,把 Di作为检验集,D-Di作为交叉验证训练集;对任意给定罚函数的参数(γ,α), 先首先采用D-Di的数据,通过上面的EM算法分别得到权重系数λ和相依系 数θ的估计值然后计算选择使得下式最大的光滑参数: 最后得出(γ,α)的估计值
进一步地,在步骤3)中,具有相关性的多风场出力预测的具体过程为:
设两相邻风电场一天T=96个时段的风电出力为随机变量,即T组相关 的二元随机变量(u11,u21),(u12,u22),…,(u1T,u2T),通过对其进行分析确定 混合Copula函数的各项参数;
所述确定混合Copula函数的各项参数的过程包括以下步骤:首先,对混合 Copula函数的拟合效果进行检验;然后,用MC法产生服从各Copula函数的 随机变量的概率;最后,对以上随机变量进行累积分布逆变换,即非参数核 密度估计,从而生成服从风电场出力联合分布的预测结果。
本发明的有益效果如下:
本发明通过结合4种Copula函数构建混合Copula函数模型, 提出了一种基于混合Copula函数的多风场出力预测方法,它对相同 区域内的风电场风出力之间存在较强的相关性进行分析,解决了地 域上具有相关性的多风场并网出力预测问题。
本发明结合4种Copula函数构建混合Copula函数模型,其拟 合精度优于单一Copula函数,对相同区域内的风电场风出力之间存 在较强的相关性进行分析,在应用于调度时有利于风电的消纳。当 风电采用多风场并网的方式时,采用本发明提出的多风场出力预测 方法不仅优于假设预测场景的误差分布呈正态分布的出力预测方 法,而且在并网调度时更有利于系统对风电的消纳。
附图说明
图1为本发明的方法流程图;
图2为本发明的模型选择和参数估计流程图;
图3为本发明算例中第一组预测场景风电出力的数据曲线图;
图4为本发明算例中第二组预测场景风电出力的数据曲线图。
具体实施方式
为能清楚说明本方案的技术特点,下面通过具体实施方式,并 结合其附图,对本发明进行详细阐述。下文的公开提供了许多不同 的实施例或例子用来实现本发明的不同结构。为了简化本发明的公 开,下文中对特定例子的部件和设置进行描述。此外,本发明可以 在不同例子中重复参考数字和/或字母。这种重复是为了简化和清楚 的目的,其本身不指示所讨论各种实施例和/或设置之间的关系。应 当注意,在附图中所图示的部件不一定按比例绘制。本发明省略了 对公知组件和处理技术及工艺的描述以避免不必要地限制本发明。
如图1所示,本发明的一种基于混合Copula函数的多风场出力预测 方法,它包括以下步骤:
1)构建混合Copula函数模型;
2)模型选择和参数估计;
3)具有相关性的多风场出力预测。
在步骤1)中,混合Copula函数模型描述如下:
不同类型的Copula函数描述变量相关性的侧重点不同。Gauss-Copula函 数和Frank-Copula函数适合描述数据间的对称相关性;Gumbel-Copula函数 刻画了非对称的上尾相关性,Clayton-Copula函数刻画了非对称的下尾相关 性。这样如果在实际应用中只用某一种Copula函数来拟合数据,可能会出现 失真的情况。由于不同的Copula函数对相关性描述的侧重点不同,因此考虑 把这几种Copula函数混合在一起,这样混合Copula函数就能更好地描述数 据间的相关性,更好地融合数据。二元混合Copula的函数模型如下:
其中,为已知的Copula函数,θk为相依参数,λk为权重系数,满足 0≤λk≤1,且混合Copula函数仍是Copula函数。
在步骤2)中,如图2所示,混合Copula函数模型的模型选择和参数估 计流程如下:
这一步要解决的是混合Copula函数的模型选择和参数估计问题。利用惩罚 似然函数对混合Copula函数进行模型选择和参数估计,选择和估计的步骤分 为两步:首先就是对边缘分布的估计,本文引入非参数中核密度估计对边缘 分布进行参数估计;接着就是对混合Copula函数中的权重参数和相依参数进 行估计。由于惩罚似然函数中涉及到多重求和的函数形式,对其最大化比较 困难,故采用EM(Expectation&Maximization)算法[101]进行处理。其中, 对EM算法中M步,利用最优化方法中的BFGS[102]算法进行解决,从而完成对混合Copula函数的模型选择和参数估计。
1、惩罚似然函数
假设二维随机变量(X,Y),设其边缘分布为X~FX(x;α),Y~GY(y;β), 且设其混合Copula函数为则的联合分布为(X,Y) 为:
其中,则可知(X,Y)的密度函数为:
其中,
想要得到参数Φ的估计值,首先求出(X,Y)的极大似然函数,即:
其中,fx(xi;α)和gy(yi;β)为边缘密度函数;(xn,yn),n=1,2,…,N。为来自(X, Y)的样本,N为样本容量。
如果只是对求得的极大似然函数进行估计的话,可能会把不显著的 Copula函数(相关性描述不显著)选进去,这样会造成模型失真。这其实是 一个模型选择的问题,因此,通过引入惩罚函数来对权重参数进行惩罚选择。 这样可以利用惩罚函数把一些不显著的Copula函数剔除,从而可以使模型更 好地拟合数据。为此构建惩罚似然函数:
其中,{pγT}是光滑参数,控制模型的复杂性。本节对各个权重的惩罚函数 均采用SCAD惩罚(smoothly clipped absolute deviation penalty)函数, 该函数满足一个好的惩罚函数需要具有的无偏性、稀疏性和连续性,三个性 质。
2、两步估计惩罚函数
对二元Gauss-Copula的概率密度函数参数的估计,可以分成两步。首先 就是对边缘分布的参数进行估计,然后对混合Copula函数的权重参数及相依 参数进行估计。具体步骤如下:
第一步:
对采用非参数核密度估计,得到密度函数的估计 值从而得到边缘分布函数的估计值
第二步:
把边缘分布函数的估计值代入二元Gauss-Copula的概率密度函数,得到:
对阿基米德Copula的概率密度函数采用EM法来估计(λk,θk)。
(1)边缘分布的核密度估计
从对边缘分布的估计,有学者采用经验分布对边缘分布进行估计,然而 经验分布一般不连续或光滑性不够,用来表述边缘分布会产生较大的误差。 还有的学者就直接假设其分布,然后去验证。然而采用这种方法会使得验证 步骤变得繁琐,所以具有一定局限性。对此,本发明采用非参数的方法,即, 核密度估计来对边缘分布进行估计,从而实现用数据来拟合边缘分布,使模 型更加真实。
非参数核密度估计是由Rosenblatt和Parzen提出的,下面给出核密度 估计的定义:
设K1(·)为R1上的一个给定概率密度函数。hm>0是一个与m有关的常数, 满足n→∞,hm→0,则称
为f(x)的一个核密度估计。其中,K1(·)为核函数,hm称为窗宽或光滑参数。 本发明采用高斯核,窗宽采用经验法则[104]:具体为 ksdensity/Matlab函数。
(2)EM算法
这样在边缘分布利用非参数核密度估计估计出边缘分布函数后,接下来 要估计的是混合Copula的权重系数和相依系数。由于混合Copula的极大似 然函数很复杂,无法用求偏导的方法进行解决,因此本发明采用EM算法来解 决此问题。
EM算法是一种迭代算法,由DemPster.Laird和Rubin于1977年提出的。 它可广泛地应用于不完全数据,如缺损数据、截尾数据、成群数据、带有讨 厌参数的数据。EM算法主要有两步:第一步,求期望,即E步;第二步,求 极大值,即M步。具体地讲:
E步:给定观测数据X和当前系数估计值,计算完全数据的对数似然函数 lnp(X,Y|θ)关于未知数据Y的条件期望分布,即:
其中,θi-1为已知的当前系数的估计值。
M步:将Q(θ|θi-1,Y)关于θ极大化,即找一个θi点,使得
从而形成了一次迭代θi→θi-1。将上述E步和M步进行迭代直至||θi-θi-1||或 ||Q(θi|θi-1,Y)-Q(θi-1|θi-1,Y)||充分小为止。
在用EM法解决二元Copula概率密度函数参数估计的过程中需要用到而该式没有显式表达形式,所以采用拟牛顿法中的BFGS算法 来解决。
(3)BFGS算法
BFGS算法是拟牛顿法中的一种应用较为广泛的解决非线性优化问题的算 法。其主要是在牛顿法的基础上进行改进。由于牛顿法中需要计算二阶偏导 数而且要求目标函数的Hesse矩阵为对称正定矩阵,这些条件较为苛刻。因 此对牛顿法进行改进,学者们提出拟牛顿法。拟牛顿法主要是根据Taylor公 式的近似展开式得到的拟牛顿方程来构造矩阵,以此来近似Hesse矩阵或其 逆矩阵,并求得迭代方向。由于构造矩阵的方法不同,从而出现不同的拟牛 顿法,本发明采用由Broyden,Foldfarb和Shanno于1970年提出的BFGS算 法。
设下面具体给出BFGS算法的计 算步骤:
Step1:给定初始点θ1,允许误差ε>0。
Step2:设矩阵H1=IK(K阶单位矩阵),计算出在θ1处的梯度置i=1。
Step3:令迭代方向di=-Higi。
Step4:从θi出发,沿着方向di进行线性搜索,使它满足令θi+1=θi+αidi(更新方程)。
Step5:检验是否满足收敛准则,若则停止迭代,得到近 似解θ=θi+1,否则,进行Step6。
Step6:若i=K,则令θ1=θi+1,返回进行Step2,否则进行Step7。
Step7:令pi=θi+1-θi,qi=gi+1-gi,同时令
置i=i+1,返回Step3。这样通过BFGS算法可以得到θ的更新方程。
通过上面EM算法和BFGS算法的结合可以得到权重系数λ=(λ1,...,λK)T和相 依系数θ=(θ1,...,θK)T的估计值。在上面的估计过程中要用到SCAD惩罚函数中的 光滑参数γ和α。下面采用交叉验证法来对γ和α进行估计。
(4)交叉验证法
交叉验证法一般是采用平均平方误差准则,其基本原理就是把数据分为 两部分:第一部分作为检测集用来预测(或检验),第二部分作为训练集用来 进行估计。具体如下:
设D为完整的数据集,把完整的数据分成m分,Di(i=1,2,…,m)。这里把 Di作为检验集,D-Di作为交叉验证训练集。对任意给定罚函数的参数(γ,α), 先首先采用D-Di的数据,通过上面的EM算法分别得到权重系数λ和相依系 数θ的估计值然后计算选择使得下式最大的光滑参数: 这样得出(γ,α)的估计值后,继续利用前面的EM算法对完整数据集D进行参数估计得出权重系数及相 依系数的估计值。
在步骤3)中,具有相关性的多风场出力预测表述如下:
设两相邻风电场一天T=96个时段的风电出力为随机变量,即T组相关的二 元随机变量(u11,u21),(u12,u22),…,(u1T,u2T)。对其进行分析,确定混合 Copula函数的各项参数。首先,对混合Copula函数的拟合效果进行检验。然 后,用MC法产生服从各Copula函数的随机变量的概率,可调用Matlab中的 copularnd函数生成。最后,对以上随机变量进行累积分布逆变换,即非参数 核密度估计,可调用Matlab中的ksdensity函数生成。从而生成服从风电场 出力联合分布的预测结果。
下面通过算例来验证本发明对两个风场出力进行预测的情况。
(1)第一组风电数据,两风电场大约相距80公里。风电场一 最大出力为422MW,风电场二最大出力为472MW,并网最大出力为 860MW。图3为第一组预测场景风电出力曲线图,表1为第一组数据 下不同Copula函数的对比。
表1第一组数据下不同Copula函数的对比
由表1可以看出,第一组数据中两风场出力的相关性最符合 Clayton-Copula分布;混合Copula函数权重系数λ3=1,其余为零。拟合效 果相同,选择完全服从Clayton-Copula分布。
(2)第二组风电数据,两风电场大约相距40公里。风电场一 最大出力为615MW,风电场二最大出力为538MW,并网最大出力为 1050MW。图4为第二组预测场景风电出力曲线图,表2为第二组数 据下不同Copula函数的对比。
表2第二组数据下不同Copula函数的对比
由表2可以看出,混合Copula函数权重系数λ3=0.5351,λ4=0.4649, 其余为零。对第二组数据的拟合效果优于用几种Copula单独拟合得到的结果。 综上,混合Copula得到的拟合数据总是优于(至少不弱于)几种Copula单 独拟合得到的结果。
以上所述只是本发明的优选实施方式,对于本技术领域的普通 技术人员来说,在不脱离本发明原理的前提下,还可以做出若干改 进和润饰,这些改进和润饰也被视为本发明的保护范围。
Claims (10)
1.一种基于混合Copula函数的多风场出力预测方法,其特征是,包括以下步骤:
1)构建混合Copula函数模型;
2)模型选择和参数估计;
3)具有相关性的多风场出力预测。
2.如权利要求1所述的一种基于混合Copula函数的多风场出力预测方法,其特征是,在步骤1)中,所述的混合Copula函数模型为:
其中,Ck(u1,u2;θk)为已知的Copula函数,u1,u2为随机变量,θk为相依参数,λk为权重系数,满足0≤λk≤1,K=4,已知的Copula函数包括Gauss-Copula函数、Frank-Copula函数、Gumbel-Copula函数和Clayton-Copula函数。
3.如权利要求2所述的一种基于混合Copula函数的多风场出力预测方法,其特征是,在步骤2)中,模型选择和参数估计的过程包括以下步骤:首先构建惩罚似然函数,其次对边缘分布的估计,然后对混合Copula函数中的权重参数和相依参数进行估计,最后采用交叉验证法来对γ和α进行估计。
4.如权利要求3所述的一种基于混合Copula函数的多风场出力预测方法,其特征是,所述构建惩罚似然函数的过程为:
假设二维随机变量(X,Y)的边缘分布为X~FX(x;α),Y~GY(y;β),且其混合Copula函数为则(X,Y)的联合分布为:
其中,
则(X,Y)的密度函数为:
其中,
在得到参数Φ的估计值之前,首先求出(X,Y)的极大似然函数:
其中,fx(xi;α)和gy(yi;β)为边缘密度函数;(xn,yn)为来自(X,Y)的样本,n=1,2,…,N,N为样本容量;
构建的惩罚似然函数为:
其中,{pγT}是光滑参数,控制模型的复杂性。
5.如权利要求4所述的一种基于混合Copula函数的多风场出力预测方法,其特征是,所述对边缘分布的估计的过程就是对采用非参数核密度估计,得到密度函数的估计值和从而得到边缘分布函数的估计值和
所述对混合Copula函数中的权重参数和相依参数进行估计的过程为:把边缘分布函数的估计值代入二元Gauss-Copula的概率密度函数,得到:
并采用EM算法来估计(λk,θk)。
6.如权利要求5所述的一种基于混合Copula函数的多风场出力预测方法,其特征是,所述非参数核密度估计为:
设K1(·)为R1上的一个给定概率密度函数。hm>0是一个与m有关的常数,满足n→∞,hm→0,则称
为f(x)的一个核密度估计,其中,K1(·)为核函数,hm称为窗宽或光滑参数。
7.如权利要求5所述的一种基于混合Copula函数的多风场出力预测方法,其特征是,所述采用EM算法来估计(λk,θk)的过程为:
E步,求期望:给定观测数据X和当前系数估计值,计算完全数据的对数似然函数lnp(X,Y|θ)关于未知数据Y的条件期望分布,即:
其中,θi-1为已知的当前系数的估计值;
M步,求极大值:将Q(θ|θi-1,Y)关于θ极大化,即找一个θi点,使得
从而形成了一次迭代θi→θi-1;
最后将上述E步和M步进行迭代直至||θi-θi-1||或||Q(θi|θi-1,Y)-Q(θi-1|θi-1,Y)||充分小为止。
8.如权利要求7所述的一种基于混合Copula函数的多风场出力预测方法,其特征是,在采用EM算法来估计(λk,θk)的过程需要用到而该式没有显式表达形式,采用拟牛顿法中的BFGS算法来得到θ的更新方程;
设采用拟牛顿法中的BFGS算法来得到θ的更新方程的具体过程包括以下步骤:
Step1:给定初始点θ1,允许误差ε>0;
Step2:设矩阵H1=IK(K阶单位矩阵),计算出在θ1处的梯度g1=▽M(θ1),置i=1;
Step3:令迭代方向di=-Higi;
Step4:从θi出发,沿着方向di进行线性搜索,使它满足令θi+1=θi+αidi;
Step5:检验是否满足收敛准则,若||▽M(θi+1)||≤ε,则停止迭代,得到近似解θ=θi+1,否则,进行Step6;
Step6:若i=K,则令θ1=θi+1,返回进行Step2,否则进行Step7;
Step7:令gi+1=▽M(θi+1),pi=θi+1-θi,qi=gi+1-gi,同时令置i=i+1,返回Step3。
9.如权利要求8所述的一种基于混合Copula函数的多风场出力预测方法,其特征是,所述采用交叉验证法来对γ和α进行估计的过程为:
设D为完整的数据集,把完整的数据分成m分,Di,i=1,2,…,m,把Di作为检验集,D-Di作为交叉验证训练集;对任意给定罚函数的参数(γ,α),先首先采用D-Di的数据,通过上面的EM算法分别得到权重系数λ和相依系数θ的估计值 然后计算选择使得下式最大的光滑参数:最后得出(γ,α)的估计值
10.如权利要求1至9任意一项所述的一种基于混合Copula函数的多风场出力预测方法,其特征是,在步骤3)中,具有相关性的多风场出力预测的具体过程为:
设两相邻风电场一天T=96个时段的风电出力为随机变量,即T组相关的二元随机变量(u11,u21),(u12,u22),…,(u1T,u2T),通过对其进行分析确定混合Copula函数的各项参数;
所述确定混合Copula函数的各项参数的过程包括以下步骤:首先,对混合Copula函数的拟合效果进行检验;然后,用MC法产生服从各Copula函数的随机变量的概率;最后,对以上随机变量进行累积分布逆变换,即非参数核密度估计,从而生成服从风电场出力联合分布的预测结果。
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