CN107341285A - 一种地震力作用下节理岩质边坡倾倒破坏极限承载力分析下限法 - Google Patents
一种地震力作用下节理岩质边坡倾倒破坏极限承载力分析下限法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明提供了一种地震力作用下节理岩质边坡倾倒破坏的极限承载能力分析方法，属于岩质边坡稳定性分析技术领域。本发明以节理岩质边坡为研究对象，根据拟静力法原理计算岩块形心的水平向或竖直向地震惯性力，即地震惯性力是边坡高度、岩块形心高度和地震参数的函数，以岩块结构面的法向力、剪力和内力弯矩为未知量建立岩块的力和力矩平衡方程，同时建立岩块倾倒破坏、结构面剪切滑移、拉伸脱离的屈服条件，结合外荷载的超载系数，构建节理岩质边坡在地震作用下发生倾倒破坏的极限承载能力的下限法线性数学规划模型，最后采用单纯形法求解边坡倾倒破坏的极限状态，可获得倾倒破坏模式对应的极限荷载或强度储备系数。
Description
技术领域
本发明是一种节理岩质边坡倾倒破坏的极限承载力分析的下限方法，特别涉及一种地震力作用下的岩体倾倒分析法。属于岩质边坡稳定性分析技术领域。
背景技术
我国山地面积占全国国土面积的60％以上，客观上存在着大量的岩质边坡。同时，我国是一个地震多发国家，据大量的地震资料调查表明，在我国中西部地区由于地震诱发的岩质边坡失稳是地震灾害的主要类型，其中就边坡的失稳破坏类型而言，节理岩质边坡倾倒破坏的数量高居第二位，仅次于剪切滑动破坏。节理岩质边坡倾倒破坏承载力分析已成为岩土工程领域的研究热点之一。
当地震发生时，地震荷载是随着时间变化的动荷载，岩质边坡体结构也会随着地震出现相应的动力响应。目前地震作用下岩质边坡稳定性的分析方法一般有拟静力法、Newmark滑块分析法和地震数值分析方法等。这些方法的主要区别主要在于：地震力以什么方式作用于边坡。拟静力法是将地震作用简化为水平、垂直方向的不变加速度作用，此加速度产生作用在岩土体重心的惯性力。拟静力法由于理论简单、计算便捷，基于拟静力法的刚体极限平衡法被我国各行业的规范所采用。Newmark滑块分析法以屈服加速度概念为基础，认为边坡稳定与否取决于地震时引起的变形，通过对超过屈服加速度的那部分加速度进行时间积分可估算出边坡的滑动位移。目前地震数值分析方法主要有有限元法、有限差分法、离散单元法、流形元法等等，这些数值方法主要基于连续或非连续的力学模型，根据地震动荷载并结合岩体材料动参数、本构关系等求解边坡的运动方程，其可真实模拟边坡在地震过程中的动力特征和破坏机理。由于节理岩质边坡的复杂性和地震的随机性，目前关于节理岩质边坡稳定性分析的研究仍然有一些不足，具体表现在：
(1)节理岩质边坡在地震过程中有可能发生剪切滑移破坏或倾倒破坏，大部分计算分析方法只能模拟边坡的剪切滑移破坏，不能模拟倾倒破坏；
(2)岩体材料的动力本构模型还不太成熟，限制了很多数值计算方法在地震分析中的应用；
(3)地震是一个动态过程，岩体破坏是发生剪切滑移破坏还是倾倒破坏，其判别准则有待进一步研究；
(4)岩体倾倒破坏时，采用常规的分析方法其临界的极限状态很难捕捉。
本发明基于国家自然科学基金项目(资助编号：51564026)的研究工作，将拟静力法、塑性极限分析下限法和数学规划结合起来，提出了一种地震作用下节理岩质边坡倾倒破坏极限承载能力分析的下限法
发明内容
本发明的目的是提供一种地震作用下节理岩质边坡倾倒破坏的极限承载能力分析方法，为节理岩质边坡倾倒破坏分析提供一种新方法。
本发明的基本原理是：以节理岩质边坡为研究对象，根据拟静力法原理计算岩块形心的水平向或竖直向地震惯性力，即地震惯性力是边坡高度、岩块形心高度和地震参数的函数，以岩块结构面的法向力、剪力和内力弯矩为未知量建立岩块的力和力矩平衡方程，同时建立岩块倾倒破坏、结构面剪切滑移、拉伸脱离的屈服条件，结合外荷载的超载系数，构建节理岩质边坡在地震作用下发生倾倒破坏的极限承载能力的下限法线性数学规划模型，最后采用单纯形法求解边坡倾倒破坏的极限状态，可获得倾倒破坏模式对应的极限荷载或强度储备系数。
本发明的技术路线如图1所示。
本发明的节理岩质边坡倾倒破坏极限承载力分析下限法的技术方案依次按以下步骤进行：
一、拟定节理岩质边坡的计算参数
根据节理岩质边坡的实际情况，拟定需要的计算参数，主要包括：岩质边坡的几何参数、节理参数、岩体材料的物理力学参数(容重、凝聚力、内摩擦角、抗拉强度等)、地震荷载参数、边坡荷载参数等信息。
二、地震作用下岩块的倾倒受力分析
节理岩质边坡中的岩体被节理切割后形成形状不规则的岩块，一般认为节理岩质边坡是由岩块和岩块之间的结构面组成。任意一个岩块的受力如图2所示，相邻岩块结构面k的受力如图3所示，岩块在地震作用下受到的各种作用力包括：
①岩块i形心gi处的体积力向量Fi b：
Fi b＝(0,Gi,0)T (1)
上式中：Fi b是岩块i的体积力向量；Gi是岩块i形心gi处的自重；水平方向的体积力为0。
②岩块i形心gi处的地震惯性力向量Fi e：
上式中：Fi e是岩块i的地震惯性力向量；是岩块i形心gi处的水平向地震惯性力；是岩块i形心gi处的竖直向地震惯性力。
③岩块i边界上受到集中外力Fi ex、分布荷载作用，其移植到岩块i形心gi处形成等效荷载力向量Fi：
Fi＝(fxi,fyi,mi)T (3)
上式中：fxi是形心处沿x方向的等效外力，fyi是形心处沿y方向的等效外力，mi是外力等效弯矩(规定逆时针为正向)。
④相邻岩块之间的结构面k形心ck上的内力向量Qk：
Qk＝(Nk,Vk,Mk)T (4)
上式中：Nk是沿结构面形心ck上外法线nk方向的法向力(拉正压负)，Vk是沿结构面形心ck上切向sk方向的剪力(使块体产生逆时针转动为正)，Mk为结构面的内力弯矩(规定逆时针为正向)。
三、岩块的地震力计算
本发明采用拟静力法模拟岩块所受的地震力，岩块形心处的地震惯性力是边坡高度和岩块形心高度的函数，岩块受地震惯性力如图4所示。
水平向地震惯性力按下式计算：
上式中：αh是水平向设计地震加速度代表值，设计烈度为7、8、9度时分别取0.1g、0.2g与0.4g；ξ为地震作用效应的折减系数，一般ξ取0.25；Gi是岩块形心gi处的自重力；αi是岩块形心处的地震加速度分布系数。
地震加速度分布系数的分布图形如图5所所示。当边坡高度H≤40m时，岩块形心gi处的地震加速度分布系数按下式计算：
上式中：Hi是岩块形心至边坡坡脚的垂直高度；H是岩质边坡的总高度；地震设计烈度7度时am＝3.0，地震设计烈度8度时am＝2.5，地震设计烈度9度时am＝2.0。
当边坡高度40m＜H≤150m时，岩块形心处的地震加速度分布系数按下式计算：
当岩质边坡设计烈度为8、9度时，应同时考虑水平向和竖直向的地震作用。竖直向地震惯性力按下式计算：
上式中：αv是竖直向设计地震加速度代表值，
四、建立地震作用下的节理岩质边坡倾倒破坏承载能力分析下限法数学规划模型
本发明的目的是求解节理岩质边坡在地震荷载作用下的极限状态，根据下限定理需要建立静力许可应力场，要建立边坡的静力许可应力场岩体必须满足平衡方程、屈服条件。
(1)、目标函数
本发明方法将节理岩质边坡的超载系数定义为：
Kf＝Fcollapse/Fa (9)
上式中，Fcollapse是极限荷载，Fa是边坡当前实际施加的外荷载，对于节理岩质边坡，求极限状态时其超载的外荷载可以是自重、面力、集中力或者地震荷载。
根据下限定理，岩质边坡在达到极限状态时，需求超载系数的最大值。本发明将超载系数设为目标函数如下：
Maximize:Kf (10)
(2)、刚性块体单元平衡方程.
要建立节理岩质边坡的倾倒破坏力学模型，需同时考虑岩块的平动和转动平衡方程。对于图2所示的岩块，其受自重、表面外荷载、相邻岩块的作用力以及地震荷载等的作用而保持平衡。对于含有nb个岩块的节理岩质边坡，其平衡方程包括力的平衡方程和力矩的平衡方程。
任意岩块i的力的平衡方程包括水平方向力的平衡方程和竖直方向力的平衡方程为：
上式中：nb是边坡中岩块的数量；是岩块i上的结构面的数量；αk是nk轴与x轴的夹角(逆时针为正)；Kf为超载系数。
任意岩块i绕其形心gi的力矩的平衡方程为：
上式中：δ1是图2中结构面k形心ck到Dk点的距离；δ2是图2中结构面k上的Dk点到岩块i形心gi的距离(点Dk为块体单元形心gi到结构面k的垂线的垂足)。
根据式(11)、式(12)对于任意一个岩块其力和力矩平衡方程可写为：
上式中：Qk＝(Nk,Vk,Mk)T是结构面k形心ck上作用的内力向量；Fi＝(fxi,fyi,mi)T是刚性块体单元i形心gi处的等效荷载力向量；是刚性块体单元i形心gi处的地震惯性力向量；Tk是坐标转换矩阵，
(3)、结构面的屈服条件
为了简化计算，本发明假设岩块为刚体，节理岩质边坡的破坏只会发生在相邻块体单元之间的结构面上；并假设岩块会同时发生倾倒、剪切滑移、相互脱离三种破坏模式(如图6所示)。三种破坏模式的屈服条件分别如下：
①岩块倾倒破坏的屈服条件
当相邻岩块发生倾倒破坏时，相邻岩块的结构面在极限状态下的受力如图7所示。岩块有可能分别绕结构面的两个端点D1、D2发生两种倾倒破坏。图8为岩块绕D1点或D1点倾倒破坏临界状态下的受力图，则结构面k的法向力和内力弯矩需满足下式：
上式中：ns是整个边坡中结构面的数量，lk是结构面k的长度,Nk是结构面k的法向力(规定以拉力为正),Mk是结构面k的内力弯矩。
②结构面滑移屈服条件
对于任意一条结构面k(如图3所示)，假设结构面材料为理想刚塑性材料，在局部坐标系(nk,sk)中其形心上作用有内力向量Qk＝(Nk,Vk,Mk)T，则结构面的剪切滑移破坏Mohr-Coulomb屈服条件为：
上式中：ns是整个边坡中结构面的数量，lk是结构面k的长度，ck是结构面的凝聚力，是结构面的内摩擦角，Nk是结构面k的法向力(规定以拉力为正)，Vk是结构面k的剪力。
③结构面抗拉强度条件
由于岩块之间的结构面一般不能都承受拉应力(结构面抗拉强度取σT＝0)，为了保证相邻岩块不能相互脱离开，结构面k需满足抗拉屈服条件：
上式中：ns为整个边坡中结构面的数量，Nk为结构面k的法向力(规定以拉力为正)。
将式(14)、式(15)、式(16)集成后得到岩块同时发生倾倒、剪切滑移、相互脱离三种破坏模式的屈服条件如下：
上式可写成矩阵、向量形式如下：
CkQk≤Bk,(k＝1,…,ns) (18)
上式中：Qk＝(Nk,Vk,Mk)T是结构面k形心ck上作用的内力向量；Ck是屈服矩阵，Bk是屈服条件系数矩阵，Bk＝[0 0 cklk cklk 0]T。
(4)、地震作用下节理岩质边坡倾倒破坏承载力分析下限法数学规划模型
根据下限定理，综合目标函数式(10)、平衡方程式(13)、屈服条件式(18)，则可得到地震作用下节理岩质边坡倾倒破坏承载力分析下限法数学规划模型：
上式为岩质边坡倾倒破坏的下限法线性数学规划模型，在无数个倾倒破坏的静力许可应力场中，只有使Kf取最大值的静力许可应力场才是极限状态下的应力场。
五、优化算法求解节理岩质边坡倾倒破坏的极限承载力
通过上述步骤建立了地震作用下节理岩质边坡倾倒破坏极限承载能力分析的下限法数学规划模型，本发明方法的求解精度主要取决于所采用的线性数学规划求解器的求解精度，本发明采用单纯形法对线性数学规划模型进行求解。
对于节理岩质边坡，有时候除了超载系数还需要求解强度储备系数，本发明的将强度储备系数定义为：
上式中：为结构面的凝聚力和摩擦角，为结构面进行强度折减以后的凝聚力和摩擦角。
如果直接求解强度储备系数Km，式(15)Mohr-Coulomb屈服条件会变成非线性约束，从而导致下限法模型式(19)为非线性规划模型。为了避免求解非线性规划模型，本发明基于式(19)采用“迭代法”求解强度储备系数Km，迭代法具体迭代过程详见图1，具体方法是：在式(20)中逐步降低材料强度参数并带入式(15)，然后使用式(19)循环求解Kf，当Km使得Kf充分接近于1时(误差小于0.001)即为所求的强度储备系数的最大值。
本发明采用Fortran编写了求解岩质边坡倾倒破坏极限承载力的下限法计算程序，程序包括4个部分：
①前处理：收集节理岩质边坡中岩块和结构面的几何信息、地质参数、材料物理力学参数、地震荷载参数等。
②构建下限法数学规划模型：计算每个岩块的地震荷载，根据力、力矩的平衡方程、岩块倾倒破坏、结构面的剪切滑移破坏和拉伸破坏的屈服条件，建立坡边坡倾倒破坏承载力分析的下限法数学规划模型。
③优化求解：采用单纯形法对下限法的线性数学规划模型进行求解，获得岩质边坡倾倒破坏的极限状态；如果需要求解强度储备系数，采用程序用迭代法循环求解强度储备系数。
④后处理：根据优化求解的结果，计算极限荷载或强度储备系数，根据结构面的内力、材料参数计算边坡的屈服区。
本发明的特点是：本发明方法为一种求解地震作用下岩质边坡倾倒破坏极限状态的下限法，本方法假设岩块为刚性体，同时考虑岩块倾倒破坏、结构面的剪切滑移破坏和拉伸破坏，采用拟静力法计算岩块形心处的水平和竖直向地震惯性力，建立岩块同时满足平动的力的平衡方程、转动的力矩的平衡方程，根据下限定理建立岩质边坡倾倒破坏的静力许可应力场，并采用单纯形法求解岩质边坡倾倒破坏的极限状态。
本发明具有以下有益效果：
1、本发明方法是一种求解节理岩质边坡倾倒破坏的方法，可同时考虑岩块倾倒破坏、结构面的剪切滑移破坏和拉伸破坏，并同时考虑岩块的平动、转动的平衡，是一种求解岩质边坡倾倒破坏的新方法。
2、本发明方法最终求解的是一个线性数学规划模型，可直接求解获得倾倒时刻的极限状态，相比传统的刚体极限平衡法，此方法可以自动判别岩体结构面的滑移破坏、拉伸破坏和倾倒破坏，计算前不用对岩体的破坏形式做任何的假设。
3、本发明在力、力矩的平衡方程中计入了地震惯性力荷载，地震惯性力的计算参照现行主流规范中的拟静力法的计算原理，这便于本方法的计算结果直接应用于工程实践。
4、本发明方法有效结合了下限法理论、拟静力法原理、岩体的平动、转动力学效应以及数学规划技术，是下限法在地震作用下岩质边坡倾倒破坏分析中的一次创新。
附图说明
图1为本发明技术路线图；
图2为地震力作用下岩块法受力图；
图3为相邻岩块之间结构面受力图；
图4为岩块地震惯性力示意图；
图5为岩块形心地震加速度分布系数示意图；
图6为岩块之间结构面破坏模式：倾倒破坏、剪切破坏、拉伸破坏；
图7为岩块倾倒破坏受力示意图；
图8为岩块倾倒破坏极限状态示意图；
图9为实施例1节理岩质边坡的几何形状示意图；
图10为实施例1节理岩质边坡7度地震作用下破坏模式示意图；
图11为实施例1节理岩质边坡8度地震作用下破坏模式示意图；
图12为实施例1节理岩质边坡9度地震作用下破坏模式示意图。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明。
本发明的实施例1如下：
实施例1为使用式(19)求解一个含有15个岩块的反倾层状节理岩质边坡的强度储备系数。
(一)、拟定节理岩质边坡的计算参数。
图9为实施例1节理岩质边坡的几何形状示意图。此岩质边坡高度为28.01m，坡面倾角为70°。边坡中有两组节理：J1是14个平行节理面组成的成组节理，节理倾角为68°，平行节理面的间距为5m；J2是一条单一节理，节理倾角为22°。J1垂直J2，边坡被两组节理切割后，共形成15个岩块，29个节理面。边坡材料的物理力学参数详见表1。本实施例的目的是求解边坡在7度、8度、9度地震工况下的强度储备系数和对应的破坏模式。
表1理岩质边坡材料的物理力学参数表
| 材料名称 | 重度/(kN·m-3) | 黏聚力/kPa | 内摩擦角/(°) | 抗拉强度/kPa |
| 完整岩块 | 25 | 3000.0 | 48.0 | 1000 |
| 节理面 | / | 0.0 | 30.0 | 0.0 |
(二)、地震作用下岩块的受力分析
采用编制的计算程序，对15个岩块的分别进行了受力分析；计算了每个岩块的自重、岩块形心坐标、节理面中点坐标；并将29个节理面的法向力、剪力和弯矩设为未知量，共计87个未知量。
(三)、岩块地震力计算
在受力分析的基础，分别计算了15个岩块的地震加速度分布系数、水平向地震惯性力、竖直向地震惯性力，形成每个岩块形心作用的地震荷载力向量。
(四)、建立地震作用下的节理岩质边坡倾倒破坏承载力分析下限法数学规划模型
在岩块受力分析的基础上，建立了每个岩块的平衡方程，共计30个力的平衡方程、15个力矩平衡方程；建立了24个节理面的剪切滑移屈服条件、抗拉强度条件和15个岩块的倾倒屈服条件，最后根据式(19)建立了地震作用下的节理岩质边坡倾倒破坏承载力分析的下限法数学规划模型。
(五)、优化算法求解节理岩质边坡倾倒破坏的极限承载力
根据式(19)建立的下限法模型，采用编制的单纯形法优化程序求解，按照图1中迭代求解强度储备系数的流程计算得到了7度、8度、9度地震情况下边坡的强度储备系数。计算结果列于表2中。通过后处理程序，计算得到了边坡对应的破坏模式。
根据表2的结果可知，在无地震作用的自然状态下边坡的强度储备系数为1.356，处于稳定状态；在7度、8度地震作用下边坡的强度储备系数分别为1.208和1.107，均处于稳定状态；在9度地震作用下边坡的强度储备系数为0.965，说明在9度地震作用下边坡已经发生失稳。
表2节理岩质边坡各工况的强度储备系数计算结果
| 计算工况 | 强度储备系数 | 边坡状态 |
| 无地震 | 1.356 | 稳定 |
| 7度地震 | 1.208 | 稳定 |
| 8度地震 | 1.107 | 稳定 |
| 9度地震 | 0.965 | 失稳破坏 |
图10为实施例1节理岩质边坡7度地震作用下破坏模式示意图。在7度地震作用下，强度储备系数取1.208的条件下，岩块1、岩块2、岩块3、岩块6发生剪切滑移破坏，岩块4、岩块5同时发生剪切滑移破坏和逆时针的倾倒破坏。岩块9～12发生逆时针的倾倒破坏，但岩块7、岩块8、岩块15的底面并未发生剪切屈服，屈服区为连通，因此岩块7～15不会发生整体滑移破坏。
图11为实施例1节理岩质边坡8度地震作用下破坏模式示意图。在8度地震作用下，强度储备系数取1.107的条件下，岩块1、岩块2、岩块3发生剪切滑移破坏，岩块4、岩块5、岩块6、岩块7同时发生剪切滑移破坏和逆时针的倾倒破坏，岩块9～15由于边坡底面屈服区未连通，处于稳定状态。
图12为实施例1节理岩质边坡9度地震作用下破坏模式示意图。在9度地震作用下，强度储备系数取0.965的条件下，岩块1、岩块2、岩块3发生剪切滑移破坏，岩块4、岩块5、岩块6同时发生剪切滑移破坏和逆时针的倾倒破坏，岩块7～15由于边坡底面屈服区未连通，处于稳定状态。
从以上分析可知，随着地震烈度的增大，岩块1～岩块5的强度储备系数逐步变小、稳定性越来越差。
Claims (4)
1.一种地震作用下节理岩质边坡倾倒破坏极限承载能力分析下限法，其特征在于：以节理岩质边坡为研究对象，根据拟静力法原理计算岩块形心的水平向或竖直向地震惯性力，即地震惯性力是边坡高度、岩块形心高度和地震参数的函数，以岩块结构面的法向力、剪力和内力弯矩为未知量建立岩块的力和力矩平衡方程，同时建立岩块倾倒破坏、结构面剪切滑移、拉伸脱离的屈服条件，结合外荷载的超载系数，构建节理岩质边坡在地震作用下发生倾倒破坏的极限承载能力的下限法线性数学规划模型，最后采用单纯形法求解边坡倾倒破坏的极限状态，可获得倾倒破坏模式对应的极限荷载或强度储备系数。
2.根据权利要求1所述的地震作用下节理岩质边坡倾倒破坏极限承载能力分析下限法，其特征在于：具体步骤如下：
一拟定节理岩质边坡的计算参数
根据节理岩质边坡的实际情况，拟定需要的计算参数，包括：岩质边坡的几何参数、节理参数、、地震荷载参数、边坡荷载参数和岩体材料的物理力学参数，岩体材料的物理力学参数包括容重、凝聚力、内摩擦角、抗拉强度；
二地震作用下岩块的倾倒受力分析
岩块在地震作用下受到的各种作用力包括：
①岩块i形心gi处的体积力向量Fi b：Fi b＝(0,Gi,0)T，
上式中：Fi b是岩块i的体积力向量；Gi是岩块i形心gi处的自重；水平方向的体积力为0；
②岩块i形心gi处的地震惯性力向量Fi e：
上式中：Fi e是岩块i的地震惯性力向量；是岩块i形心gi处的水平向地震惯性力；是岩块i形心gi处的竖直向地震惯性力；
③岩块i边界上受到集中外力Fi ex、分布荷载作用，其移植到岩块i形心gi处形成等效荷载力向量Fi：Fi＝(fxi,fyi,mi)T，
上式中：fxi是形心处沿x方向的等效外力，fyi是形心处沿y方向的等效外力，mi是外力等效弯矩，规定逆时针为正向；
④相邻岩块之间的结构面k形心ck上的内力向量Qk：Qk＝(Nk,Vk,Mk)T，
上式中：Nk是沿结构面形心ck上外法线nk方向的法向力(拉正压负)，Vk是沿结构面形心ck上切向sk方向的剪力，使块体产生逆时针转动为正，Mk为结构面的内力弯矩，规定逆时针为正向；
三岩块的地震力计算
采用拟静力法模拟岩块所受的地震力，岩块形心处的地震惯性力是边坡高度和岩块形心高度的函数，水平向地震惯性力
上式中：αh是水平向设计地震加速度代表值，ξ为地震作用效应的折减系数，Gi是岩块形心gi处的自重力；αi是岩块形心处的地震加速度分布系数；
四建立地震作用下的节理岩质边坡倾倒破坏承载能力分析下限法数学规划模型
根据下限定理建立静力许可应力场，建立边坡的静力许可应力场岩体必须满足平衡方程、屈服条件；
(1)目标函数
将超载系数设为目标函数如下：Maximize:Kf，Kf＝Fcollapse/Fa，
上式中，Fcollapse是极限荷载，Fa是边坡当前实际施加的外荷载，对于节理岩质边坡，求极限状态时其超载的外荷载为自重、面力、集中力或者地震荷载；
(2)刚性块体单元平衡方程
对于含有nb个岩块的节理岩质边坡，其平衡方程包括力的平衡方程和力矩的平衡方程；
任意岩块i的力的平衡方程包括水平方向力的平衡方程和竖直方向力的平衡方程为：
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</mrow>
</mrow>
上式中：nb是边坡中岩块的数量；是岩块i上的结构面的数量；αk是nk轴与x轴的夹角，逆时针为正；
任意岩块i绕其形心gi的力矩的平衡方程为：
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<mo>=</mo>
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</mrow>
上式中：δ1是结构面k形心ck到Dk点的距离；δ2是结构面k上的Dk点到岩块i形心gi的距离，点Dk为块体单元形心gi到结构面k的垂线的垂足；
对于任意一个岩块其力和力矩平衡方程可写为：
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</mrow>
上式中：Qk＝(Nk,Vk,Mk)T是结构面k形心ck上作用的内力向量；Fi＝(fxi,fyi,mi)T是刚性块体单元i形心gi处的等效荷载力向量；是刚性块体单元i形心gi处的地震惯性力向量；Tk是坐标转换矩阵，
(3)结构面的屈服条件
为了简化计算，假设岩块为刚体，节理岩质边坡的破坏只会发生在相邻块体单元之间的结构面上；并假设岩块会同时发生倾倒、剪切滑移、相互脱离三种破坏模式，三种破坏模式的屈服条件分别如下：
①岩块倾倒破坏的屈服条件
结构面k的法向力和内力弯矩满足下式：
<mrow>
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</mrow>
</mrow>
上式中：ns是整个边坡中结构面的数量，lk是结构面k的长度,Nk是结构面k的法向力，规定以拉力为正,Mk是结构面k的内力弯矩；
②结构面滑移屈服条件
对于任意一条结构面k，假设结构面材料为理想刚塑性材料，在局部坐标系(nk,sk)中其形心上作用有内力向量Qk＝(Nk,Vk,Mk)T，则结构面的剪切滑移破坏Mohr-Coulomb屈服条件为：
上式中：ns是整个边坡中结构面的数量，lk是结构面k的长度，ck是结构面的凝聚力，是结构面的内摩擦角，Nk是结构面k的法向力，规定以拉力为正，Vk是结构面k的剪力；
③结构面抗拉强度条件
结构面k需满足抗拉屈服条件：
<mrow>
<mfenced open = "[" close = "]">
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</mrow>
上式中：ns为整个边坡中结构面的数量，Nk为结构面k的法向力，规定以拉力为正；
岩块同时发生倾倒、剪切滑移、相互脱离三种破坏模式的屈服条件如下：
上式写成矩阵、向量形式如下：
CkQk≤Bk,(k＝1,…,ns)
上式中：Qk＝(Nk,Vk,Mk)T是结构面k形心ck上作用的内力向量；Ck是屈服矩阵，Bk是屈服条件系数矩阵，Bk＝[0 0 cklk cklk 0]T；
(4)地震作用下节理岩质边坡倾倒破坏承载力分析下限法数学规划模型
根据下限定理，综合目标函数式、平衡方程式、屈服条件式，得到地震作用下节理岩质边坡倾倒破坏承载力分析下限法数学规划模型：
<mrow>
<mfenced open = "" close = "}">
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</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>;</mo>
</mrow>
五优化算法求解节理岩质边坡倾倒破坏的极限承载力
采用单纯形法对线性数学规划模型进行求解。
3.根据权利要求2所述的地震作用下节理岩质边坡倾倒破坏极限承载能力分析下限法，其特征在于：所述地震加速度分布系数αi计算如下：
当边坡高度H≤40m时，岩块形心gi处的地震加速度分布系数按下式计算：
<mrow>
<msub>
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<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
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<msub>
<mi>H</mi>
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</msub>
</mrow>
<mi>H</mi>
</mfrac>
</mrow>
上式中：Hi是岩块形心至边坡坡脚的垂直高度；H是岩质边坡的总高度；地震设计烈度7度时am＝3.0，地震设计烈度8度时am＝2.5，地震设计烈度9度时am＝2.0；
当边坡高度40m＜H≤150m时，岩块形心处的地震加速度分布系数按下式计算：
<mrow>
<msub>
<mi>&alpha;</mi>
<mi>i</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<mfenced open = "{" close = "">
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<mtd>
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<mo>+</mo>
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<mi>m</mi>
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<mrow>
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</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
</mrow>
当岩质边坡设计烈度为8、9度时，应同时考虑水平向和竖直向的地震作用，竖直向地震惯性力按下式计算：
<mrow>
<msubsup>
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<msub>
<mi>&alpha;</mi>
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</msub>
<mo>/</mo>
<mi>g</mi>
</mrow>
上式中：αv是竖直向设计地震加速度代表值，
4.根据权利要求1所述的地震作用下节理岩质边坡倾倒破坏极限承载能力分析下限法，其特征在于：所述强度储备系数其中c,为结构面的凝聚力和摩擦角，c',为结构面进行强度折减以后的凝聚力和摩擦角；采用迭代法求解强度储备系数Km。
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